「よくわかる量子力学」サポート掲示板2017年7月まで

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P139のXとUについて †

昔の物理学生? (2017-07-13 (木) 15:08:03)

P139からの流れですとX=(x y)、U=(u v)になりそうですが、(7.10)とその次の行の「左辺はベクトルUに」だけU=(x y)が前提となって話が進んでおります。
読めば理解はできるのですが、(7.10)のUとその次の行の「左辺はベクトルUに」をXにしておいたほうが読みやすいのではないかと思います。

• 「P139からの流れですと」ではなく「P138からの流れですと」です。 -- 昔の物理学生? 2017-07-13 (木) 15:42:02
• 確かにそうですね。次の版から直しておきます。 -- 前野? 2017-07-15 (土) 14:59:03
• 猛暑の中、有難うございます。くれぐれも御身ご自愛下さい。 -- 昔の物理学生? 2017-07-15 (土) 17:42:20

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p.231の(11.31)式について †

ぽ? (2017-07-07 (金) 17:24:57)

いつもお世話になっております。

上昇演算子を(11.31)のように置くのは、何か依拠するところがあるのでしょうか。
それと、(11.31)式に出てくる、xとpは演算子という認識でよろしいでしょうか。

初学者でお恥ずかしい質問かとは思いますが、どうかよろしくお願いします。

• 「仮定する」なので、「一番簡単な１次式から試してみるか」という程度のいものです。もちろんｘもｐも演算子です。 -- 前野? 2017-07-10 (月) 20:27:59

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演習問題7-2の解答22wの(F.48)について †

昔の物理学生? (2017-07-05 (水) 22:45:22)

右辺のexpの[]内の分子がimgとなっておりますが、hバーが抜けているのではないでしょうか？
同様にその二行上の微分するとの次の式においても分子にhバーが抜けているのではないでしょうか？

• hバーが抜けているのは、分子ではなく分母の方です。 -- 昔の物理学生? 2017-07-05 (水) 22:58:26
• 確かに、分母には$\hbar$が必要です。すみません。 -- 前野? 2017-07-06 (木) 04:26:28
• お忙しいところ、有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2017-07-06 (木) 06:46:42

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P353(D.35)について †

昔の物理学生? (2017-07-04 (火) 22:55:29)

右から二番目の式でexp(ipx/h)となっていますが、iの前にマイナスが入り、exp(-ipx/h)となるのではないでしょうか。

• おっしゃる通り、ここはマイナスです。 -- 前野? 2017-07-05 (水) 08:41:39
• ありがとうございました。 -- 昔の物理学生? 2017-07-05 (水) 09:22:29

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P159の(7.80)の3行上について †

昔の物理学生? (2017-07-03 (月) 21:09:47)

「<x|exp(ipx/h)|x'>を二通りの方法で」とありますが、ipxではなく、ipaではないでしょうか。

• 確かにそうです。知らせていただいてありがとうございます。 -- 前野? 2017-07-04 (火) 05:32:40
• ありがとうございました。 -- 昔の物理学生? 2017-07-04 (火) 14:21:03

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P154の(7.53)について †

昔の物理学生? (2017-07-01 (土) 15:36:53)

完全性の条件の説明で(7.51)、(7.52)、(7.54)、(7.55)ではd3xとなっていますが、(7.51)ではdxです。
他書では、dxに統一しているケースが多いのですが、d3xとdxを使い分けているのは何か理由があるのでしょうか。
また、仮に全てd3xに統一したとして、(7.50)で三次元ベクトルの話を引き合いに出しているので、それでd3xにしているようにも感じるのですが、あえてd3xにする理由が何かあるのでしょうか。

• ここは３次元のつもりでやっているので、すべて（(7.53)も）$\mathrm d^3x$が正しいです。 -- 前野? 2017-07-02 (日) 06:50:00
• 本来、３次元の話をしているなら$\mathrm d^3x$、１次元問題を考えているのなら$\mathrm dx$と使い分けるべきです。 -- 前野? 2017-07-02 (日) 06:50:33
• ここを3次元の話にしているのは、３次元ベクトルが出てきた後なので波動関数が存在する空間の方も３次元にしておこう、という感じです（本当はこの世は３次元なので全部３次元でやるのがいいのでしょうが、簡単のため１次元でやっていることが多いですね）。 -- 前野? 2017-07-02 (日) 06:52:22
• なるほど大変良く理解できました。ご懇切な解説を有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2017-07-02 (日) 14:39:25

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P152の(7.45)の次の行について †

昔の物理学生? (2017-06-30 (金) 16:57:49)

A(x)→A(-i∂/∂p)となっていますが、iと∂の間にhバーが抜けているのではないでしょうか？

• すいません、確かに抜けてます（普段は自然単位系を使っているので、ついついうっかりします）。 -- 前野? 2017-07-01 (土) 09:06:53
• 有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2017-07-01 (土) 09:18:05

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[問い6-3]の解答P350(D.23)について †

昔の物理学生? (2017-06-06 (火) 16:49:48)

P350(D.23)の二行目の左辺において、φの前にCが抜けているのではないでしょうか。

• あ、すいません、抜けてます。 -- 前野? 2017-06-07 (水) 09:27:26
• ご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2017-06-07 (水) 14:54:32

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P110.(5.18)について †

昔の物理学生? (2017-05-16 (火) 09:14:30)

細かいことで恐縮です。
(5.18)の下向きの中括弧の下にψ*、ψとなっていますが、これは√2πψ*、√2πψかと思いますが如何でしょうか？
あるいは、中括弧の下のψ*、ψをそのままにして、(1/2π)をなくして(1/√2π)をそれぞれ（F1*・・・）と（F1・・・）の前に掛けるか、ということで如何でしょうか？

• すいません、たしかにここには$\sqrt{2\pi}$が必要です。 -- 前野? 2017-05-16 (火) 11:28:08
• 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2017-05-16 (火) 23:51:46

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光の波長と光子の確率波の波長の関連について †

平船? (2017-05-12 (金) 15:59:03)

光の持つ運動量というのはp=h/λで表され、このλは光の波長です。
光子の持つ運動量も同じ式で与えられ、そのλは今度は光子の存在確率波の波長です。
つまり、このλはある1つの値だとしてもマクロな視点で見れば光の波長として観測され、ミクロな視点で見れば光子の存在確率波の波長として解釈できるということでいいでしょうか？
もっと言うと光・電磁波には1mなどの比較的長い波長をもつものもありますが、これをミクロな観点で見ると1mという値は光子の確率波の波長ともみなせる、今このように考えていますが、この解釈は正しいでしょうか？

• 「光の波長」が「存在確率の波長」でいいかというと、もちろんそういう解釈でいいのですが、古典的な意味で「光」と我々が言うときは光子がたくさん集まった状態を指していることが多いです。そのたくさんの光子が波長や位相が揃った状態で集合してないと「集団としての光の波長」というのが定義できないので、そこには注意が必要です（実際に位相がちゃんと揃っている光というのはレーザーのような状態です）。 -- 前野? 2017-05-12 (金) 16:41:25
• 分かりました。ありがとうございます。 -- 平船? 2017-05-12 (金) 16:51:46

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エネルギー固有値とエネルギー †

kenji? (2017-05-05 (金) 09:51:10)

「E=hν　は光や物質で一般に成立する」とあります．
これが，シュレンディンガー方程式から導き出されるかどうか考えています．
エネルギー固有値Eがエネルギーを表しているとすれば，
導きだせます．
しかし，「エネルギー固有値がエネルギーそのものである(定数分ずれていいことは分かりました)」理由がわかりません．
このことが，いえる根拠は何なんでしょうか？

なにか見当ちがいな質問をしている気もします．
よろしくお願いいたします。

• どのレベルで悩んでおられるのかよくわからないのですが、「実験事実としてあった」のがE=ｈνで、それに合うようにシュレーディンガー方程式を作っている、というのが本書で書いた流れです。 -- 前野? 2017-05-08 (月) 16:42:56
• 回答ありがとうございます。 回答の本の流れ，理解しました。 電磁気学では、マクセル方程式とローレンツ力の式から、 クーロンの法則や、ファラデーの法則を導くことができます。 (ファラデーの法則が不完全であることは、前野先生の電磁気学で理解できました) つまり、微分形が完成形と古典電磁気学では考えてよい。 同様に、シュレディンガー方程式から光子のエネルギーE=hνが導かれるのかというのがもともとの疑問です。 11.2.4にこれについての記載があり、 これだ!と思ったのですが、 やはりエネルギー固有値がエネルギーそのものを表しているのかという疑問はのこりました。 そうかんがえると、そもそも、量子力学におけるエネルギーが何か理解していないようです。 古典物理では結局運動エネルギーとの関係でいろんなエネルギーを定義しました。 量子力学でも、もっと先まで勉強すると、なにかと相互作用することでエネルギー固有値がエネルギーそのものであることがわかるということなのでしょうか。 本の質問からはずれた書き込みなのは承知しています。 回答いただけたら嬉しいです。 参考文献などの提示でも助かります． -- kenji? 2017-05-11 (木) 00:24:02
• もし、シュレーデンガー方程式を「第１原理」として（つまり実験とか古典力学ではこうだったとか）考えずに量子力学を構築していくなら、そのときのエネルギーは、まず『ハミルトニアンの固有値』として定義されるものになります。そしてハミルトニアンの固有値は時間に依って変化しない量であることがシュレーディンガー方程式からわかる、という形でわかることになります。 -- 前野? 2017-05-12 (金) 16:35:48
• そもそも、どんな性質があったら「これはエネルギーだ」と判断しますか？？　それがたとえば「系と系が相互作用しても時間的に保存するものをエネルギーと呼びたい」ということであれば、シュレーディンガー方程式で記述される系では「ハミルトニアンと交換する量の期待値は保存する」ということは言えます（これは本にも書いてある通り）。ハミルトニアンはハミルトニアンと交換しますから、「ハミルトニアンの期待値は時間変化しない」と言えるので、「そういう量はエネルギーだ」と思っていいわけです。 -- 前野? 2017-05-12 (金) 16:37:59
• 丁寧な回答ありがとうございます。ゆっくり考えてみます。 -- kenji? 2017-05-13 (土) 16:45:40

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P323(A.19)について †

kenji? (2017-03-22 (水) 19:35:53)

左辺にdtはいらないのでしょうか？
同じく(A.18)にもdtはいらないのでしょうか？

• すいません、確かに抜けてます（第７版で修正されるはずです）。 -- 前野? 2017-03-23 (木) 09:51:05
• お忙しいところありがとうございます．前野先生の解析力学は正しく記載されていました．先に見ればよかったです． -- kenji? 2017-03-23 (木) 10:49:55

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P330(A.46)について †

昔の物理学生? (2017-03-20 (月) 10:17:53)

右辺の前に±が抜けているかと思いますが、如何でしょうか？

• ここは複号は＋を取ったものとして話を進めてます。 -- 前野? 2017-03-20 (月) 14:45:34
• 理解できました。お忙しいところ、有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2017-03-20 (月) 16:36:27

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P329について †

昔の物理学生? (2017-03-19 (日) 12:30:56)

P329の二行目のカッコ内のx座標にはマイナスは不要かと思いますが、如何でしょうか？
また(a.41)の後ろの項の一つ目のカッコ内ではマイナスが付き、2つめのカッコ内ではマイナスは不要かと思いますが、如何でしょうか？

• こちらもその通りです。 -- 前野? 2017-03-19 (日) 12:50:04
• 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2017-03-19 (日) 13:08:59

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P328(A40)について †

昔の物理学生? (2017-03-19 (日) 12:19:04)

P328(A40)の二行目のp座標の式の最後の項は+ではなく-かと思いますが、如何でしょうか？
もしそうだとすれば、P328(A40)の最後の行の二番目の括弧内のp座標でも-が抜けていることになり、P328の最後の行の「δt後には」の次の括弧内のp座標でも-が抜けていることになります。

• 確かにその通りで、符号が一貫して間違っているようです。 -- 前野? 2017-03-19 (日) 12:49:56
• 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2017-03-19 (日) 13:08:53

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P324の(A.27)とP325の(A.30)について †

昔の物理学生? (2017-03-17 (金) 11:19:40)

P324の(A.27)については
1.左辺のSの上にバーがつくのではないでしょうか？
2.P323(A.23)のように左辺にεがつくのではないでしょうか？

P325の(A.30)については、左辺のSの上にバーがつくのではないでしょうか？

• これについても御指摘の通りです。 -- 前野? 2017-03-18 (土) 09:53:43
• お忙しいところ、ご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2017-03-18 (土) 09:58:39

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P323の(A.23)と(A.24)について †

昔の物理学生? (2017-03-17 (金) 10:00:56)

(A.23)のSと(A.24)の後ろの式のSは、出発点と到着点のみの関数なのでSの上にバーがつくと思うのですが、如何でしょうか？

• つけておくべきでした。新しい版では修正します。 -- 前野? 2017-03-18 (土) 09:50:51
• ご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2017-03-18 (土) 09:58:25

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演習問題4-4の解答19wの(F.26)について †

昔の物理学生? (2017-03-15 (水) 11:04:53)

ε=-(mv^2/2)/hとなっていますが、マイナスの符号は不要ではないでしょうか？

• たしかに、要りません。削除しておきます（しておいてください）。 -- 前野? 2017-03-18 (土) 09:34:43

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演習問題4-2と4-3のヒントについて †

昔の物理学生? (2017-03-15 (水) 09:06:10)

3wにおいて演習問題4-2と4-3のヒントが逆になっていると思いますが、如何でしょうか？

• 入れ替わってます。修正しておきます。 -- 前野? 2017-03-18 (土) 09:44:05
• ご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2017-03-18 (土) 09:58:06

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P89の(4.20)について †

昔の物理学生? (2017-03-11 (土) 17:17:15)

細かいことですが、(4.20)の右辺の一行目は（ψR+iψI)（ψR-iψI)ではなく、（ψR-iψI)（ψR+iψI)かと存じます。
無論右辺二行目は変わりません。

• すいません、たしかに順番どおりだとそうですね。 -- 前野? 2017-03-18 (土) 09:33:08
• ご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2017-03-18 (土) 09:57:48

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P91　波動関数の収縮について †

昔の物理学生? (2017-03-11 (土) 14:48:46)

波動関数の収縮について「広がっていた電子が（超高速で！）収縮する」とあります。
波動関数が何かの物理的実態を表現するものだとすれば、「広がっていた電子が（超高速で！）収縮する」ということに違和感があるのは理解できます。
しかし、そうではなく、
1.波動関数は何らかの物理的実態を表すものではない。従って、電子の物理的実態が広がっているのではない。
2.波動関数は、場所と確率を表現する空間上に単に数値として広がっているだけである。
3.従って、収縮するのは、確率であって、電子という物理的実態ではない。
4.確率が収縮するのであれば、収縮するのは物理的実態ではなく、場所と確率を表現する空間上における数学的な問題なので、超高速どころか、全く時間がかからず収束する、いわば、突然に、つまり、不連続に新たな点が現われる。
と解釈すれば、「波動関数の収縮」に違和感を感じません。
むしろ、非常に自然だと感じます。
私のこの解釈のどこが間違っているのでしょうか。

• 収縮するのは（つまり波動関数は）物理的実体ではないというのはその通りです（「物理的実体」の定義はなんだ、という点はまぁ常識的な線で置いておくことにして）。「違和感」を感じるか否かはその人がそれまでに持っている概念との違いによるものなので、感じなくて自然だと思うことは別に間違ってないと思います。 -- 前野? 2017-03-11 (土) 15:08:11
• 早々のご対応有難うございます。今後とも宜しくお願い致します。 -- 昔の物理学生? 2017-03-11 (土) 15:38:41

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~f(k) †

物理のひよこ? (2017-02-22 (水) 07:10:51)

お早うございます。
お世話になっています。

p.62の上から6行目で、「f(x)を(3.11)と選んだから・・」となっていますが、
「~f(k)を(3.11)と選んだから・・」でなくても良いのでしょうか？

• $f(x)$を選ぶことと$\tilde f(k)$を選ぶことは同じことなので、どっちでもいいといえばどっちでもいいです。(3.11)は確かに$\tilde f(k)$の式ですが。 -- 前野? 2017-02-22 (水) 09:45:11
• 次の版では「$\tilde f(k)$を(3.11)と（$f(x)$を(3.12)と）」と訂正しておきます。 -- 前野? 2017-02-22 (水) 09:47:20
• ＞ f(x)を選ぶことと~f(k)を選ぶことは同じ　そうなんですか！なんとなくそう思ったのですが、 -- 物理のひよこ? 2017-02-23 (木) 04:30:06
• だいぶ前にフーリエ変換を勉強したのでド忘れしてました（笑（物理や数学は勉強する量（分野）が多くて(^^;） -- 物理のひよこ? 2017-02-23 (木) 04:32:22
• 復習しておきます。返答ありがとう御座います。 -- 物理のひよこ? 2017-02-23 (木) 04:33:27
• あっ、それと、上から9行目の「もっといい関数f(x)を選べば⊿p⊿xを・・・」のほうは、このままでいいのですね？ -- 物理のひよこ? 2017-02-23 (木) 04:43:42
• ９行目はどちらでも構いません。f(x)の方が馴染み深い「関数」なのでこれでいいかと思います。 -- 前野? 2017-02-23 (木) 08:02:43

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関係式 †

物理のひよこ? (2017-02-20 (月) 05:06:18)

お早うございます。
お世話になっています。

p.54の上から10行目の「粒子の運動量/エネルギーと波の波長/振動数の関係式」は、
「粒子の運動量/波の波長とエネルギー/振動数の関係式」の方が、シックリくると
思うのですが？

• 「粒子の持っている属性」と「波の持っている属性」の対比であるということを示すためにこういう語順になってます。 -- 前野? 2017-02-20 (月) 09:12:06
• あっ、そう区切るのですね^^;失礼しました。 -- 物理のひよこ? 2017-02-20 (月) 11:36:42

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P70の(3.28)の1行下について †

昔の物理学生? (2017-01-28 (土) 12:20:18)

「さっきやった2つの波の足し算の式で言うと、2cos(Δkx-Δwt)」とありますが、「よくわかる量子力学」のP70以前のページを探しても、「さっきやった2つの波の足し算」に該当する部分はありません。
これは、もしかすると、丸善出版の「量子力学入門」のP26(2.15)のことなのではないか、と思いましたが、如何でしょうか？

• すいません、おそらくこの式に対応する部分は原稿にあったのが削除されたのに記述を変更してないようです。なかみは「量子力学入門」の方にある計算です。この部分は次の版では削除しておきます。 -- 前野? 2017-01-29 (日) 03:08:57
• なるほど、そうでしたか。有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2017-01-29 (日) 09:19:18

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問3-3(2)の解答P346～347について †

昔の物理学生? (2017-01-27 (金) 14:42:12)

cx=tと置換した後の積分の範囲がx1/c～x2/cとなっていますが、これはcx1～cx2ではないでしょうか？

• 確かにその通りです。訂正したいと思います。 -- 前野? 2017-01-27 (金) 23:57:43
• 早々のご対応有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2017-01-28 (土) 00:07:11

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ランダウ準位について †

(2017-01-05 (木) 18:39:51)

一様な磁場中の自由電子の波動関数をランダウゲージで計算したあとに、対称ゲージでの波動関数を求めたい場合は、ランダウゲージで求めた波動関数にただ指数関数の位相因子を掛ければいいだけでしょうか？

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章末演習問題のヒント1wの[演習問題1-2]について †

昔の物理学生? (2016-12-28 (水) 10:58:15)

分子の光速度が3.0*10^-8となっていますが3.0*10^8かと思いますが、如何でしょうか？

• すいません、おっしゃる通り、ミスタイプです。 -- 前野? 2016-12-28 (水) 13:48:20
• 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2016-12-28 (水) 14:53:50

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演算子について †

ラッキー? (2016-12-20 (火) 11:24:10)

先日、「質量について」質問させていただきありがとうございました。質問の続きなのですが、非相対論的量子力学ではある物理量が演算子になるのか、ならないのかを判断する一般的な原理はあるのでしょうか？経験的（実験的）に知られている区別を使っているということなのでしょうか？（例えば、運動量は演算子で、質量はそうでないという区別など）

• 古典力学における「力学変数」は量子力学になると演算子になります -- 前野? 2016-12-20 (火) 12:16:05
• ご回答いただき、ありがとうございました。もう一度、古典力学と量子力学の変数のとらえ方の違いをしっかりと理解しようと思います。 -- ラッキー? 2016-12-21 (水) 16:54:18

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P334(B.3)について †

昔の物理学生? (2016-12-20 (火) 10:06:43)

P334(B.3)の下の式で式の先頭に(1/2L)が付いています。
しかし、これはインテグラルのe(-inπ/L)xとe(imπ/L)xの前にそれぞれ(1/√2L)という形で掛からなければ、インテグラルからdxまでがδmnとならないのではないかと思いますが如何でしょうか？もちろん先頭に(1/2L)があっても最終的にfnになるのは同じであることは理解できます。

• これは1行目にある二つの${1\over\sqrt{2L}}$をまとめて前に出す、と言う計算をやった結果です。 -- 前野? 2016-12-20 (火) 10:10:13
• あ、すいません、1/2Lの位置がおかしいというご指摘ですね。 -- 前野? 2016-12-20 (火) 10:11:50
• はいそうです。さもなくば、（B.3）の下の行の更に下にある「=δmn」は「=2Lδmn」になります。最終的な計算結果はfnで同じですが。 -- 昔の物理学生? 2016-12-20 (火) 10:19:38
• 修正したいと思います。ありがとうございました。 -- 前野? 2016-12-20 (火) 10:25:28
• お忙しいところ、有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2016-12-20 (火) 10:27:01

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P333の最後の行について †

昔の物理学生? (2016-12-20 (火) 09:43:42)

P333の最後の行にf-n=f*nとありますが、これは複素共役のことを説明しているという解釈で宜しいでしょうか？

• ＊はもちろん複素共役です。f(x)が実数である条件を示してます。 -- 前野? 2016-12-20 (火) 09:54:52
• 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生? 2016-12-20 (火) 10:01:30

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質量について †

ラッキー? (2016-12-02 (金) 12:07:33)

エーレンフェストの定理の部分について質問させていただきます。p133の(6.39)で、運動量の期待値$\langle p \rangle$から質量mを外に出していますが、量子力学においても質量は確定した値mを持っており、揺らぎがないということなのでしょうか？
素粒子は、相対論から速度によって質量が変化すると理解しているのですが、本来は運動量が揺らげば、質量も揺らぎ、質量も演算子としての扱いが必要にならないのでしょうか？

• ここでの質量は非相対論的な量子力学なので相対論的な意味での質量の変化は考えません。相対論的にした場合は量子力学ではなく量子場の理論で考えることになります。 -- 前野? 2016-12-03 (土) 15:13:24
• 量子場の理論では、「実効的な質量」がもともと理論に入っていた質量とは違う値になる、ということは起こりますが、それはここよりだいぶ先のお話になります。 -- 前野? 2016-12-03 (土) 15:14:17
• ご教示ありがとうございました。ここでは質量の変化を区別しないことはわかりました。重ねて、質問なのですが、非相対論的量子力学ではある物理量が演算子になるのか、ならないのかを判断する一般的な原理はあるのでしょうか？経験的（実験的）に知られている区別を使っているということなのでしょうか？ -- ラッキー? 2016-12-10 (土) 16:47:25
• ご教示ありがとうございました。ここでは質量の変化を区別しないことはわかりました。重ねて、質問なのですが、非相対論的量子力学ではある物理量が演算子になるのか、ならないのかを判断する一般的な原理はあるのでしょうか？経験的（実験的）に知られている区別を使っているということなのでしょうか？ -- ラッキー? 2016-12-10 (土) 20:06:55

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運動方程式 †

物理のひよこ? (2016-11-20 (日) 13:15:06)

今日は。
お世話になっています。

P.99の表の中の古典力学の項で、基本（運動）方程式が
m・d²xi/dt = fi になっています。
正しくは、d²xi/dt² ではないでしょうか？

• すいません、たしかにえらく基本的なところでミスってます。次の版で修正します。 -- 前野? 2016-11-22 (火) 09:35:21

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小さすぎる？ †

物理のひよこ? (2016-10-21 (金) 18:45:10)

今晩は。
お世話になっています。

p.56の【重ねて、注意】の中で、「我々は量子力学を実感するには大きすぎ、
相対論を実感するには小さすぎる」とありますが、もしかして「小さすぎる」
ではなくて「遅すぎる」ですか？

• 「遅すぎる」も該当はしますね。ここで「大き過ぎる」と書いたのは、たとえば頭から腕まで光が届くのに１日掛かるほどに人間がでかかったから、「光速」を実感できるので相対論も実感しやすくなるだろう、というつもりでした。 -- 前野? 2016-10-21 (金) 19:16:09
• あっ！もし人間が物凄く大きかったら、歩いただけでも光速近くになりますね。返答ありがとうございます。 -- 物理のひよこ? 2016-10-21 (金) 21:18:34

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p.176について †

ちゃまろ? (2016-08-27 (土) 17:23:00)

自由粒子の場合、[H,p]=0が成立するので同時固有状態だと思います。すると、(9.12)に運動量演算子pを作用させて、固有値が求まると思うのですが、実際にやってみるとsinxがcosxに変わってしまい、うまくできません。これはなぜなのですか？

• まず第一に、[H,p]=0は「同時固有状態を作ることができる条件」で「常に同時固有状態になる」条件ではないです。 -- 前野? 2016-08-27 (土) 17:26:29
• 次に、この場合粒子は「箱に閉じ込められている」という状況なので、実はハミルトニアンに「箱の外だと∞になる位置エネルギー」が（明記されてないけど）付いていることになります。その明記されてない位置エネルギーも含めて考えると、[H,p]≠0なのです。 -- 前野? 2016-08-27 (土) 17:28:39
• なるほど、よくわかりました。　「常に同時固有状態になる」条件ではない　とのことですが、もし境界条件のないような自由粒子を考えるのであれば、常に固有状態は成立しますよね？　 -- ちゃまろ? 2016-08-27 (土) 17:39:50

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p.308について †

ちゃまろ? (2016-08-22 (月) 18:23:40)

n=2のとき、なぜl=1からではなくl=0から電子は入るのですか？

• この本の範囲では説明してませんが、ここでは考慮してない電子と電子の相互作用などが入ると、エネルギー順位は同じｎでもずれが生じるからです。ということ本文にも書きましたね。その理由を説明ということなら、もっと複雑なんで本書の範囲を越えます。 -- 前野? 2016-08-22 (月) 18:33:37
• わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-22 (月) 18:41:05

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13.22式について †

ちゃまろ? (2016-08-22 (月) 13:56:13)

この式を出す際、13.21の第一項での微分で出てくる2つの項のうち一つを落としていますが、Rの形によっては落とせないのではないのですか？

• あっ、そういう解を仮定すると無限遠方で発散してしまうからだめだということですか？ -- ちゃまろ? 2016-08-22 (月) 14:00:27
• R→∞でどうなるかという話をしているので、発散するような解は最初から考慮外です。 -- 前野? 2016-08-22 (月) 14:25:31
• わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-22 (月) 14:39:01

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水素原子について †

ちゃまろ? (2016-08-22 (月) 13:42:56)

何度もすみません。p.297で水素原子のエネルギーが負になる理由についての質問です。位置エネルギーが負になることはわかりますが、運動エネルギーも負といえるのですか？

• 運動エネルギーは正です。運動エネルギーと位置エネルギーの和は負です。そうでなかったら、無限遠に到着できる（束縛状態ではない）ということになります。ここでは束縛状態だけを考えてます。 -- 前野? 2016-08-22 (月) 13:48:45
• なるほど。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-22 (月) 13:52:49

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ルジャンドルの陪関数の式について †

ちゃまろ? (2016-08-21 (日) 22:23:22)

12.96や12.97での（1-x^2）の指数と12.89での指数はなぜ逆符号なのですか？

• 12.96のほうがm<0に対応しているのですか？ -- ちゃまろ? 2016-08-21 (日) 22:24:06
• (12.89)ですか？？(12.96)や(12.97)は$x$による微分ですし、これは$\Theta$の形を示したもの。(12.89)は$L_-$を$\Theta$で表したもので、式が違いますが（もしかして式番号が手元のファイルとずれている？？） -- 前野? 2016-08-22 (月) 08:45:50
• (12.90)ならば$\sin\theta^{-m}{d\over d\theta}(\sin\theta\Theta)$となっていて、別に指数は逆になっていませんが。 -- 前野? 2016-08-22 (月) 08:46:51
• あっ、すみません。入力ミスです。12.89ではなく12.98です。 -- ちゃまろ? 2016-08-22 (月) 10:22:50
• (12.98)だと、どこも符号は逆転してないですが。(12.97)のmを|m|になおしているだけですよね。すぐ上に説明してあるように$P^m_\ell$と$P^{-m}_\ell$は同じ関数なので、どっちで考えても同じです。 -- 前野? 2016-08-22 (月) 10:32:29
• 例えば、m=2とすると、12.96での指数は-1になりますが、　12.98での指数は1となりずれてませんか？ -- ちゃまろ? 2016-08-22 (月) 10:48:37
• その変わり微分の階数が違いますよ。 -- 前野? 2016-08-22 (月) 10:50:14
• m=2なら、(12.96)は$\ell-2$階微分、(12.97)は$\ell+2$階微分です。 -- 前野? 2016-08-22 (月) 10:51:15
• あー、なるほど。そういうことでしたか。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-22 (月) 10:54:10

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p.283について †

ちゃまろ? (2016-08-21 (日) 22:21:08)

図のすぐ下の文章で黒と白は逆ではないですか？

• あ、確かに逆です。 -- 前野? 2016-08-22 (月) 08:39:32

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（12.84式）について †

ちゃまろ? (2016-08-21 (日) 19:25:01)

12.84の第一項で、sin^2がありますが、これを微分すると係数2が出てきますよね？　これがあると(12.65)と一致しないと思うのですが、どうやって2を消すのですか？

• ここでの計算は(12.65)→(12.84)なんですが、逆にやりたいのですか？？だったら、微分演算子が${d\over dx}$じゃなく${d\over d\theta}$に変わっていることをちゃんと考えて計算すれば係数はちゃんと合います。 -- 前野? 2016-08-21 (日) 20:00:52
• ただ、計算はたぶん(12.65)→(12.84)の方が簡単です。その計算で、sinが自乗になる理由も納得できると思います。 -- 前野? 2016-08-21 (日) 20:02:45
• d/dx（(sinθ)^2）の計算で連鎖律を使って、d/dθ（（sinθ）^2)×dθ/dx　でどうしても2が出てしまうのですが。 -- ちゃまろ? 2016-08-21 (日) 20:42:57
• ええ、そこでは出るかもしれませんが、最後まで面倒な計算をやり終えればちゃんと元の形にまとまります。最後までやっても消えませんでしたか？？？ -- 前野? 2016-08-21 (日) 20:45:51
• あ、重ねていいますがこれは(12.65)→(12.84)の方向で計算して、結果を逆にたどった方が理解しやすいので、そっちでやることをお勧めします。 -- 前野? 2016-08-21 (日) 20:47:02
• あっ、すみません。なりました。失礼しました。 -- ちゃまろ? 2016-08-21 (日) 20:59:49

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p.219について †

ちゃまろ? (2016-08-18 (木) 17:21:21)

3つのうちの真ん中の図の電流の向きが逆ではないのですか？

• ああそうか、この図だと電子の運動の向きになっちゃってますね。 -- 前野? 2016-08-18 (木) 17:31:26

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p.213について †

ちゃまろ? (2016-08-18 (木) 15:43:35)

(10.31)のあとの文章で、「微分dψ/dxは連続的につながる」とありますが、左極限と右極限が一致するからといって連続とは言えないのではないのでしょうか？

• ？？　左極限と右極限が一致するのに連続でないというのはどういう状況を考えてますか？？ -- 前野? 2016-08-18 (木) 16:14:38
• あ、左極限と右極限は一致しているけど、その場所での関数の値がどちらとも一致しない、という場合でしょうか。そんな恐ろしい関数はここでは扱ってないのでそこまで考える必要はないと思いますが。 -- 前野? 2016-08-18 (木) 16:23:52
• わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-18 (木) 16:35:13

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有限の高さ•幅のポテンシャル障壁について †

ちゃまろ? (2016-08-17 (水) 22:51:49)

壁の中での存在確率はなぜ0になるのですか？壁を通り抜けることがあるなら、中にあってもおかしくないと思うのですが。　　|R|^2+|P|^2=1なので、すべて壁の外にあるのですよね？

• ？？？　有限の高さなら０ではなく、たとえトンネル効果のような場合でも$\mathrm e^{-Kx}$のような形になっていると書いたと思いますが、どこかに０だとありますか？？ -- 前野? 2016-08-17 (水) 23:45:49
• 私が0だと思った理由は、|R|^2+|P|^2=1となることからで、透過して壁から抜けたものの確率と反射したものの確率を足して1になるのだから、壁と壁の間には粒子はないと思いました。これは間違えていますか？ -- ちゃまろ? 2016-08-18 (木) 01:43:03
• はい、間違えてます。壁の中にいるかどうかは壁の中の波動関数を見て判断しましょう。 -- 前野? 2016-08-18 (木) 02:02:55
• それに古典的に見ても、「100%跳ね返る」ことと「内部に侵入しない」はイコールじゃないですね(内部に侵入した後で跳ねかえってもいいので) -- 前野? 2016-08-18 (木) 02:04:30
• わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-18 (木) 11:55:11
• ということは、壁と壁の間で観測された粒子は、必ず壁の外に出るということでしょうか？　もしそうなら、なぜ壁の外に出るのでしょうか？　ポテンシャルの傾きはないので力を受けるようには思えないのですが。 -- ちゃまろ? 2016-08-18 (木) 12:45:12
• すいません、質問の意味がわかりません。どの問題のどの部分についてか、具体的にお願いします。 -- 前野? 2016-08-18 (木) 12:49:04
• すみません。丁寧に書きます。前野先生の御回答によると、［内部に侵入した後で跳ねかえってもいいから、矛盾はない]とのことでした。これを受けての質問なのですが、結果的に100%跳ね返るのであれば、壁の中で観測された粒子は壁の外に出ないということでしょうか？ -- ちゃまろ? 2016-08-18 (木) 13:31:48
• p.207の10.4の内容に関してです。 -- ちゃまろ? 2016-08-18 (木) 13:32:59
• すみません、修正します。後半部分がおかしかったです。結果的に100%跳ね返るのであれば、壁の中で観測された粒子は壁の外に出るということでしょうか？ -- ちゃまろ? 2016-08-18 (木) 13:34:59
• ちょっと混乱してますが、10.4の内容ということは、「100%跳ね返る」に対応してませんね。一部は通りぬけ、一部は反射し、通り抜けたものと跳ね返ったものの確率を足すと１００％ってことですね。 -- 前野? 2016-08-18 (木) 16:06:51
• 10.4.2の場合を考えているのでしたら、そもそも「壁と壁の間で観測された粒子」という前提がおかしいです。ここでは「観測」はしていないし、この壁と壁の間（$0<x<d$）では粒子は観測できません。 -- 前野? 2016-08-18 (木) 16:08:17
• 「観測する」ということはその場所波動関数を収束させるという意味を持ちます。もし観測してしまったらその時点で今計算した波動関数とは全く違う関数に変わってしまっています。だから観測前の波動関数を見て「観測された後で外に出るのか？」と考えるのは意味がありません。 -- 前野? 2016-08-18 (木) 16:10:35
• 波動関数を一個計算できたということは、その計算が行われている間、誰も「観測」などの横槍を入れなかったということです。観測してしまったらそこで計算やり直しです。 -- 前野? 2016-08-18 (木) 16:11:41
• あと「粒子がいる」という言葉の意味にも注意してください。これを「粒子の存在確率が０でない」という意味にとれば、この波動関数はどの場所でも０でない確率で粒子が存在してます。 -- 前野? 2016-08-18 (木) 16:12:46
• なるほど。よくわかりました。何度もありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-18 (木) 16:39:28

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プランクの輻射式について †

ちゃまろ? (2016-07-11 (月) 23:14:20)

グラフが頭打ちになる理由をお金のやり取りで例えているところがありますが、「低い振動数の光は100円玉や1000円札でもお金を受け取る」のであれば、低い振動数のエネルギー密度がなぜ小さいのですか？

• 低い振動数の光は人数が少ないからで、彼等はエネルギーの分配を十分受け取りますが、自由度が高い振動数の光に比べ小さいので、エネルギー総量で負けます。 -- 前野? 2016-07-12 (火) 04:48:47
• この場合の、光の自由度とはどういう意味でしょうか？ -- ちゃまろ? 2016-07-12 (火) 10:03:08
• 電磁場の振動モードの数です。空洞内に存在する電磁波を定常波でモード分解した一個一個のモードに(統計力学でいう等分配の法則によって)エネルギーが分配されますが -- 前野? 2016-07-12 (火) 12:21:09
• モードの数が同じならエネルギーも同じと思いきやそうはならないというところからプランクのアイデアが生まれました。 -- 前野? 2016-07-12 (火) 12:22:08
• なるほど。よくわかりました。少し話は変わるのですが、この頭打ちになる理由は、統計力学での二準位系での比熱のそれと同じですか？ -- ちゃまろ? 2016-07-12 (火) 12:27:13
• それはまた別の話です。 -- 前野? 2016-07-12 (火) 23:11:55
• ありがとうございました。 -- ちゅまろ? 2016-07-14 (木) 15:09:11

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|x>について †

ちゃまろ? (2016-05-12 (木) 01:12:40)

質問①|ψ>=∫|x>ψ(x)d^3x (7.51)で各|x>に対して係数としてψ(x)をつけていますが、なぜ係数が|ψ>と対応したψ(x)である必要があるのでしょうか？別の関数でも完全系は張れますよね？
質問②<x|x'>=δ(x-x')であることから、|x>は有限の高さを持ったピークではありませんよね？すると、質問①での係数に何を持ってきてもあまり意味がない(∞になってしまうから)ように思えて、本当に完全系をなすのかも疑問です。

• 質問１について：ここで扱っているのは一般のψ(x)で、「なんでも良い関数」としてψ(x)を出しているだけ（その「なんでもよい関数」が<x|ψ＞と表せることが(7.53）でわかる）です。任意の関数であって、特別なψ(x)を選び出したわけではありません。 -- 前野? 2016-05-12 (木) 02:29:51
• 質問１について続き：「完全系を張る」という言葉の意味を何か誤解しておられるのではないかと思われます。この場合「完全系を張る」のは|x>の方です。任意の波動関数に対応する状態を|x>で分解できることを「完全系を張る」と表現します。ψ(x)は「|x>という完全系を使って表現できる、一つの（任意の）関数」です。 -- 前野? 2016-05-12 (木) 02:31:25
• 質問２について：これについては実際に計算している(7.53)の結果を見れば、ちゃんと意味のある計算になっていることがわかると思います。デルタ関数は発散しても、デルタ関数を積分した結果は発散していません。 -- 前野? 2016-05-12 (木) 02:32:31
• なるほど、ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-05-12 (木) 10:59:26
• 任意の関数でψ(x)を選んだ。ということですが、それではψ(x)の代わりにφ(x)という別の関数を持ってきてもよいのですか？私の認識では、完全系は「適切な係数」を持って来ることで任意の関数を表せるというものだと思っていたのですが。 -- ちゃまろ? 2016-05-12 (木) 11:50:02
• ψ(x)を持ってこようがφ(x)を持ってこようが大丈夫だからこそ「任意の関数」と呼ぶことができるんですが。 -- 前野? 2016-05-12 (木) 12:04:39
• あ、私が言っているのは、あるケットベクトル|ψ>がすでに与えられているときの話です。このときは係数としての関数は決まりますよね？ -- ちゃまろ? 2016-05-12 (木) 13:14:50
• もちろん｜ψ＞が決まればψ(x)は一つに決まります。 -- 前野? 2016-05-12 (木) 13:19:55
• ではある|ψ>が決まった時に、|ψ>=∫|x>ψ(x)d^3x と書けると仮定していますが、このとき係数は、|ψ>と対応しているψ(x)であるというのは当たり前のことなのでしょうか？　ここで「対応している」というのは、|ψ>がψ(x)という関数をベクトル的な表現にしたものという意味です。　|ψ>とは関係のない関数φ(x)を係数に選ぶということはダメなのでしょうか？ -- ちゃまろ? 2016-05-12 (木) 13:34:45
• |ψ＞からψ（ｘ）を計算する手段は示してありますから、その手段通りにやれば一つに決まります。手順のどこかにψ(x)がいろんな物を持ってこれるような「抜け道」があれば別ですが、それはないと思えます。 -- 前野? 2016-05-12 (木) 13:41:27
• |ψ＞からψ（ｘ）を計算する手段とは<x|ψ>=ψ(x)ということでしょうか？ -- ちゃまろ? 2016-05-12 (木) 13:50:00
• (7.53)がまさにその計算ですね。 -- 前野? 2016-05-12 (木) 14:12:46
• しかし、これは先ほどの仮定をしているから当然のことだと思うのです。例えば、、|ψ>=∫|x'>φ(x')d^3x' (φは|ψ>と対応したものとは限らない。)　この両辺に左から<x|をかけても、<x|ψ>=φ(x)となりますよね？　φ(x)=ψ(x)しかありえないことは証明できるのでしょうか？ -- ちゃまろ? 2016-05-12 (木) 14:30:08
• ますます？？？となってきましたが、<x|ψ>=φ(x)になってしまうと御自分で示しているのだから、それは「φ(x)=ψ(x)しか有り得ない」と言っていることと同じでは？？？ -- 前野? 2016-05-12 (木) 16:29:55
• <x|ψ>=φ(x)=ψ(x)だと言えるのは、<x|ψ>が|ψ>の中から|x>に関するものを取り出してくるということを知っていなくてはできないと思うのですが。　前野先生の本だと、|ψ>=∫|x>ψ(x)d^3xを仮定してそこから、<x|ψ>=ψ(x) と言っていますよね？ -- ちゃまろ? 2016-05-12 (木) 16:37:11
• なんか誤解があるような気がしますが、|ψ＞＝∫dx|x><x|ψ>ってのは、その少し前に書いてあるように、$\vec A=A_x\vec e_x+A_y\vec e_y+A_z\vec e_z$というベクトルの書き方と同じで、$\vec A$と書いても$(A_x,A_y,A_z)$と書いても表現の仕方が違うだけで同じものを表してます。ベクトルの場合に$A_x$が$A_x=\vec e_x\cdot \vec A$として取り出すことができるのは$\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$が完全系になっているからです。 -- 前野? 2016-05-12 (木) 18:39:19
• 同様に、「|x>も完全系を張っている」ということは「<x|ψ>で|ψ＞の|ｘ＞成分を取り出せる」ということと同じことです。 -- 前野? 2016-05-12 (木) 18:40:18
• (7.51)では、｜ｘ＞がそういう完全系であるということは仮定してます（「分解できるとしよう」と書いてあります）。ベクトルでやっていることをケットベクトルでもできると考えて、同じことをやってみせているわけです。いったい何を問題としているんでしょう？？？ -- 前野? 2016-05-12 (木) 18:42:44
• ｜ｘ＞が完全系を貼るのはここの文脈では仮定です。その仮定が正しければψ(x)=＜x|ψ＞と書けます。本の中ではそれだけしか言ってません。 -- 前野? 2016-05-12 (木) 18:44:12
• なるほど。丁寧に説明していただきありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-05-12 (木) 19:55:45

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コンプトン効果について（問い1-1） †

たくみ? (2016-04-24 (日) 16:05:40)

p31の問い1-1を解いてみて解答を見てみたのですが、よくわかりませんでした（答えは一応出たのですが回答が不安です。）。途中までは教科書と同じやり方なのですが、近似式（マクローリン展開）を使いました。答え合わせのようになってしまい申し訳ありませんが、私の回答でも問題ないか見て頂けないでしょうか。

運動量保存則より、
(mv)^2=(h/λ)^2+(h/λ')^2-2(h/λ)・(h/λ')cosθ ・・・①
エネルギー保存則より
h・(c/λ)=h・(c/λ'）+1/2mv^2　　　・・・②

①、②よりv^2を消去する。
②より、v^2=h(c/λ - c/λ')・2/m ・・・①'

①'を②に代入して
m^2h(c/λ - c/λ')・2/m =(h/λ)^2+(h/λ')^2-2(h/λ)・(h/λ')cosθ
(=)2mc/h ・(1/λ - 1/λ')=(1/λ^2 - 1/λ'^2)-2(1/λλ')cosθ　　・・・③

（ここまでは教科書と同じなので大丈夫だと思います。）

ここで、③の両辺にλλ'を掛けて整理すると、
2mc/h・(λ'-λ)={(λ'/λ)+(λ/λ')}-2cosθ

更に、λ'=λ+Δλとすると、
2mc/h・Δλ={(λ+Δλ/λ)+(λ/λ+Δλ)}-2cosθ
(=)2mc/h・Δλ=1+Δλ+{1/(1+Δλ/λ)}-2cosθ

ここで、1/(1+Δλ/λ)をマクローリン展開し、1次まで近似すると、

2mc/h・Δλ=1+(Δλ/λ)+1-(Δλ/λ)-2cosθ
(=)2mc/h・Δλ=2-2cosθ
(=)mc/h・Δλ=1-cosθ

∴λ'-λ=h/mc・(1-cosθ)

長くなってしまい申し訳ありません。よろしくお願いいたします。

• 近似はどうやったっていいので、これでも問題ないですよ。 -- 前野? 2016-04-25 (月) 07:17:55
• 回答ありがとうございます。 近似を使うタイミングが不安だったので、助かりました。 -- たくみ? 2016-04-25 (月) 21:19:24

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p.357 †

ゆーき? (2016-04-01 (金) 11:59:36)

p.357の【問い9-7】の5行目の√(m^2g)は、√(2m^2g)が正しいような気がするのですが、いかがでしようか。

• そうですね、 -- 前野? 2016-04-02 (土) 03:52:06
• それに伴って、その後の数値計算も答えが変わります、すみません。 -- 前野? 2016-04-02 (土) 03:53:07
• ありがとうございます。 -- ゆーき? 2016-04-07 (木) 20:12:31

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ハミルトニアンのエルミート性について †

ゆーき? (2016-03-25 (金) 22:58:17)

p.123の下から2行目から3行目にかけて、ψの偏微分がなぜ(1/ih)Hψとなるのかわかりません。
ψの関数はここでは特に定義されていないので、このような計算はできないと思うのですが。

• ψは特に定義されてないとはいえ、シュレーディンガー方程式を満たすので、この置き換えができます。 -- 前野? 2016-03-26 (土) 00:33:25
• そうなんですね。ありがとうございます。 -- ゆーき? 2016-03-26 (土) 11:36:27

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調和振動子について †

equality? (2016-03-09 (水) 19:30:22)

座標表示のシュレーディンガー方程式を解くときに、波動関数が無限遠で0になるという境界条件からエネルギー固有値が離散化されるということでした。一方で、P230以降の演算子による解法では、ハミルトニアンの期待値が下限を持つということから、エネルギー固有値が離散化されているように見えます。この下限を持つという条件は波動関数の境界条件とは無関係に成り立つように思えます。
座標表示の時は、無限遠で0にならない解を手で捨てる必要があったのに、演算子による解法ではその必要がないのは何故でしょうか?

• すいません、この質問を見落としていたみたいです。演算子による解法では、ある意味「ノルムが有限である」ということが前提となった計算をしているので、その条件が目に見える形で出てこない、ということだと思います。 -- 前野? 2016-04-01 (金) 12:32:32
• なるほど、多分わかりました。ありがとうございます。 -- equality? 2016-04-08 (金) 10:50:54

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波動関数の減衰について †

ちゃまろ? (2016-02-04 (木) 23:13:34)

p.193の波動関数の減衰について質問があります。
(9.43)式で、expの中身の積分の係数が-1/ℏになっていますが、ガモフ因子では-2/ℏになっていますよね。この違いは何でしょうか。

• この式は波動関数の式で、ガモフ因子はその自乗である確率密度の式だからでしょう。 -- 前野? 2016-02-04 (木) 23:22:03
• なるほど。解答ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-02-05 (金) 00:05:49

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