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P110 運動量と確率

後野? (2018-12-28 (金) 14:03:40)

P110 6行目の終わりの方から、「確率はΨ*Ψに比例するから、運動量がħnになる確率はFₙ*Fₙに比例する」とあります。この部分に論理の飛躍があると思います。これは実験で分かったことなのでしょうか。それとも、論理的に導き出されるのでしょうか。どれが実験事実で、どれが導出できるものなのか、区別がつきません。
Ψ*Ψはそもそも、位置の存在確率であって、運動量が存在する確率とは異なるものだと思います。

  • 量子力学での要請(証明無しに正しいとする仮定)の一つは、93ページ辺りで説明している射影仮説です。 -- 前野? 2018-12-28 (金) 21:43:44
  • ある波動関数Ψがある成分φを含んでいるとき、φの状態が実現する確率は$\int \phi^*\phi dx$になる -- 前野? 2018-12-28 (金) 21:48:15
  • というのが確立解釈で、この「成分φ」は位置演算子xの固有関数である場合もあるし、運動量の固有関数の場合もあります。 -- 前野? 2018-12-28 (金) 21:49:52
  • ここは「確率は$\int \psi^*\psi dx$に比例するから」と書いた方が良かったかもしれません。 -- 前野? 2018-12-28 (金) 21:52:38
  • つまり、「Ψ*Ψが位置の存在確率であること」と「∫Φₙ*Φₙdxが運動量pₙの存在確率に比例する」ことは実験事実からのようせいなのですか。 -- 後野? 2018-12-30 (日) 01:39:47
  • 要請は上に書いた通り。この二つは要請からの結果。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 01:49:12
  • P92,P93での射影仮説というのは次のものですか。量子力学は「波動関数で表される量子状態では、粒子の位置や運動量が確定しない」、「観測した時にいろんな波動関数で表される状態の中からひとつの状態が確率的に選ばれる」ことを前提にする。 -- 後野? 2018-12-30 (日) 13:34:17
  • この仮説から「Ψ*Ψが位置の存在確率であること」と「∫Φₙ*Φₙdxが運動量pₙの存在確率に比例する」は導くことが出来ないように思えます。 -- 後野? 2018-12-30 (日) 13:37:18
  • P92では射影仮説の中身をちゃんと述べてません。「一つの状態が選ばれる」の選ばれ方の部分を述べてないからです。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 14:41:09
  • なお、射影仮説は「観測した時にいろんな波動関数で表される状態の中からひとつの状態が確率的に選ばれる」の部分だけです。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 14:41:51
  • 波動関数が$\psi=\phi_1+\phi_2+\cdots$のような重ね合わせになっていて、その中から「観測の結果」として$\phi_1$もしくは$\phi_2$などが選ばれます。その観測は$\phi_1,\phi_2,\cdots$を区別するものになります。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 14:45:33
  • たとえば位置を観測して「$x_1$のあたり」と観測されたなら、波動関数は「$x_1$のあたりに局在した波動関数」へと射影されます(このあたりをp92では説明している)。そのように射影される確率は、元の波動関数から「$x_1$あたり」を切り出した(射影した)波動関数が$\phi_1$だとすれば$\int\phi_1^*\phi_1\mathrm dx$(この積分は事実上、$x_1$付近しか積分してない)に比例します。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 14:48:43
  • $\phi_1(x)$は$\psi(x)$から射影されたものだから、$x_1$付近の値は$\psi$と同じです。以上から結果として「$x_1$あたりにいる確率は$\psi^*(x_1)\psi(x_1)$に比例する」となるわけです。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 14:50:51
  • 運動量の場合は、$\psi(x)$を$F_1\mathrm e^{ip_1x}+F_2\mathrm e^{ip_2x}+\cdots$のような「運動量の固有関数の和」として、運動量を観測することによってどれか一つに射影される(残りは捨てられる)という状況になってます。その場合でも確率は各成分について$\int\psi^+(x)\psi(x)\mathrm dx$を計算したものになります。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 14:53:00
  • このあたりの「波動関数が分解され射影される」というあたりの感覚はなかなか難しいので、ある程度話が進んでからということで、7章でまとめて説明しているので、もう少し読み進んでからもう一度このあたりを見た方がわかりやすいかもしれません。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 14:56:24

P132 (6.36)2変数の交換関係

後野? (2018-12-27 (木) 13:10:30)

(6.36)ではp119の(4)を二変数の場合にも用いていますが、それはいつでも成り立つのでしょうか。
Hにxやtの偏微分が入っている場合は成り立たないと思います。

  • また、[∂/∂x,H]などの場合もp119の(4)は使えないと思います。 -- 後野? 2018-12-27 (木) 13:12:02
  • 偏微分だと使えなくなる理由は何もないと思います。 -- 前野? 2018-12-28 (金) 21:35:04
  • (4)は、交換関係[A,B]の結果がBと交換するときに使えます。よってそうでなかったら使えません。 -- 前野? 2018-12-28 (金) 21:37:14
  • 偏微分というのは偏微分演算子のことです。ある演算子について、Hを偏微分した時に、ほかの偏微分演算子がきえてしまうということです。(6.36)は[x,H]とHの交換関係は成り立っているのですか。 -- 後野? 2018-12-30 (日) 00:00:41
  • すいません、意味がわかりません。消えたら何が困るんです? -- 前野? 2018-12-30 (日) 00:28:39
  • 例えば$x,y$の二変数で、ハミルトニアンが$H(x,y,p_x,p_y)$だったとしても、$[x,H]=[x,p_x]{\partial H\over\partial p_x}=i\hbar{\partial H\over\partial p_x}$となるだけのことです。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 00:32:29
  • 「(6.36)は[x,H]とHの交換関係は成り立っているのですか」の意味もわかんないです。[x,H]とHの位置を交換する計算はどこでもしてません。 -- 2018-12-30 (日) 00:33:46
  • ここで位置を交換しているのは[x,p]を前に持ってきただけです。$[x,p]=i\hbar$はたんなる数ですから位置の交換は自由にできます(それは(4)の式が使える条件ということで、上でも述べた通りです)。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 00:34:55
  • 偏微分演算子のことは勘違いでした。すみません。 交換関係ではなく、「[x,H]とHの交換関係は成り立っているのですか」ではなく、「[x,H]とHは交換するのですか」が正しい表現でした。p119の(4)を(6.36)に用いるなら交換するのか明らかにする必要があると思います。 -- 後野? 2018-12-30 (日) 00:51:06
  • 訂正 偏微分演算子のことは勘違いでした。すみません。 「[x,H]とHの交換関係は成り立っているのですか」ではなく、「[x,H]とHは交換するのですか」が正しい表現でした。p119の(4)を(6.36)に用いるなら[x,H]とHが交換するのか明らかにする必要があると思います。 -- 後野? 2018-12-30 (日) 00:52:42
  • 上でも述べましたが、[x,H]とHの交換なんて、(6.36)では使ってません。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 00:58:28
  • p119の(4)では、[A,B]がBと交換することは使ってます。(6.36)で言えば「[x,p]がxおよびpと交換すること」に対応します。[x,p]は普通の数$i\hbar$なので、それは自明です。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 01:00:55
  • p119の(4)を求めるときに使った計算を見直してください。[A,B]が他の演算子と交換する量になっていれば、他には何の条件も使わなくても証明できます。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 01:02:23
  • p119の(4)と違ってハミルトニアンがx,pの両方の関数だということを心配しているのかもしれませんが、xとH(x,p)の交換関係を考えるとき、x同士は交換するのだからそこ計算結果に寄与しません。結局考えなくてはいけないのは[x,p]に比例する部分だけです。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 01:04:24
  • 当然ながら、[x,H]とHは交換しない場合だって普通にあります。しかしそんなことはここの計算には何の関係もありません。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 01:10:47
  • よくわかりました。ありがとうございました。 -- 後野? 2018-12-30 (日) 01:35:28

物理量演算子に対してのライプニッツ則

後野? (2018-12-27 (木) 00:49:53)

P351で[H,p]=iħ∂H/∂tとあります。このとき、ライプニッツ則を使ったと思います。演算子に対して必ずしもライプニッツ則は成り立たないのではないでしょうか。たとえばある演算子が微分して2乗をするものだったら、この演算子に対してライプニッツ則は成り立ちません。ハミルトニアンは必ずライプニッツ則が適用できるのでしょうか。また、いつライプニッツ則は適用できなくなるのでしょうか。

  • 演算子のライプニッツ則に対応するものは6.1.2節で説明してあります。 -- 前野? 2018-12-27 (木) 05:36:36
  • ええと、交換関係自体についてではなく、∂/∂x(演算子A・f(x))=∂/∂x(演算子A)・f(x)+(演算子A)・∂/∂x(f(x)) がいつなりたつのかということを聞いたつもりでした。 -- 後野? 2018-12-27 (木) 12:41:34
  • ああ、ここでは正準交換関係をつかってるのですね -- 後野? 2018-12-27 (木) 12:55:47

Hが必ずエルミートである

後野? (2018-12-24 (月) 15:17:49)

P132でHが多くの場合エルミートであることより、(6.39)を導きましたが、そもそも、我々は(6.39)の運動方程式からVを作ったのでこの世にあるHは全てエルミートになるはずですが、ちがいますか。
つまり、6.4の議論の結論は「運動方程式よりVを定義するとハミルトニアンはエルミートとなる」ではないですか。

  • ハミルトニアンがエルミートであるのは、物理量を表す演算子はエルミートなので、当然です。 -- 前野? 2018-12-24 (月) 17:53:01
  • 当然というか、最初からの前提ですね。だから「この世にあるHはすべてエルミート」というのは当たり前のことであると考えてくれていいです。 -- 前野? 2018-12-24 (月) 17:54:12
  • 6.4の議論の結論は「シュレーディンガーでも期待値の意味では運動方程式が成り立っている(あくまで、期待値の意味で、であって運動方程式そのものが成り立ってるわけではない)」ということです。 -- 前野? 2018-12-24 (月) 17:55:59
  • 物理量を表す演算子が全てエルミートというのは本に証明はのっているのでしょうか。古典力学を満たすようにシュレーディンガー方程式を作ったので、そこから当然、期待値の運動方程式が導かれることを確認したのですね。 -- 後野? 2018-12-26 (水) 19:53:24
  • 物理量を演算子で表現したとき、「固有値と期待値が実数」「固有値が違う状態は直行する」などの条件を満たさなくてはいけないので、そういう性質を持つ演算子はエルミートとなります。 -- 前野? 2018-12-27 (木) 05:41:32
  • 固有値が違う状況は直交するべきというのが、わかりません。固有値と期待値が実数であるべき、というのはよく分かります。 -- 後野? 2018-12-30 (日) 00:37:40
  • 固有値が違う2つの状態ということは「ある物理量が違う値が観測される状態」ということなので、「互いに無関係な、独立な状態」でなくてはいけません(x方向とベクトルとy方向のベクトルのように、互いに独立でベクトルとして直交した関係)。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 01:06:57
  • このあたりはブラとケットによる表記を知った後の方が理解しやすいかもしれません。 -- 前野? 2018-12-30 (日) 01:07:25

エルミート共役について

後野? (2018-12-24 (月) 13:09:03)

(6.2)で積分範囲が示されていませんが、この場合は積分の中身が同じということにはなりませんか?
中身が同じだからこそ、(6.33)に(6.34)を使って(6.35)になるのですよね。

  • なりません、これは積分結果が同じです。積分範囲は波動関数の定義域全部です。 -- 前野? 2018-12-24 (月) 14:17:34
  • 誤解していました。よくわかりました。 -- 後野? 2018-12-24 (月) 14:51:50

P349(4)

後野? (2018-12-21 (金) 20:56:27)

解説では微分演算子についてテイラー展開をやっていますが、これは成り立つのでしょうか。よく考えましたが、わかりませんでした。

  • マクローリン展開でなりたちました。解決しました。 -- 後野? 2018-12-24 (月) 12:38:21

運動量の期待値

後野? (2018-12-20 (木) 14:27:06)

位置のその場所での期待値はxΨΨ*で計算できます。運動量の場合はそのような計算は出来ないのでしょうか。つまり、5章のように積分して-πからπまでの運動量の期待値をだすのではなくて、その場所のみでの期待値はΨ(-iħ∂/∂x)Ψ*と計算出来ないのでしょうか。

  • それ、本に書いてあるから読んでください。 -- 前野? 2018-12-20 (木) 14:33:58
  • あ、直接その内容が書いてあるという意味ではありません。運動量の期待値という言葉の意味がわかってれば、場所のみで期待値を計算するのは無理なことがわかると思います。 -- 前野? 2018-12-20 (木) 14:35:06
  • 波数がk₁とk₂とk₃の波の重ね合わせなら、∑(振幅の大きさ)²kᵢ でその場所での運動量の期待値が出せそうですが、違うのでしょうか。 -- 後野? 2018-12-20 (木) 15:29:56
  • ∑(振幅の大きさ)²kᵢħでした。 -- 後野? 2018-12-20 (木) 18:48:28
  • 期待値というのは固有値を確率の重みで足し上げたものです。固有値がそもそも全体の関数で定義されてるものです。 -- 前野? 2018-12-20 (木) 19:02:02
  • 解決しました。ありがとうございました。 -- 後野? 2018-12-20 (木) 19:10:33

波の重ね合わせでエネルギーが小さくなる

後野? (2018-12-19 (水) 16:22:43)

平面波を重ね合わせ手できた波の周期は重ね合わせる前の波の周期の最小公倍数になると思います。
よって、重ね合わせたあとの波はエネルギーが小さくなります。この推論はただしいですか。

  • 全然ダメです。 -- 前野? 2018-12-19 (水) 16:54:50
  • どこがだめなのですか。いつでもエネルギー=ħωとは限らないのでしょうか。 -- 後野? 2018-12-19 (水) 17:20:50
  • そもそも、エネルギーが$\hbar\omega$と考えているときの$\omega$は${\mathrm e}^{-{\mathrm i}\omega t}$という単純な指数関数で表される振動の話なので、「2つの波を重ねたら周期が最小公倍数」と言っている時点で、全然違う話になってます。 -- 前野? 2018-12-19 (水) 22:50:22
  • エネルギーが$\hbar\omega$と言えるのは、そういう単一振動数の波になっているときだけです。2つ重なっている(たとえば${\mathrm e}^{-{\mathrm i}\omega_1 t}+{\mathrm e}^{-{\mathrm i}\omega_2t}$は、「エネルギーが$\hbar\omega_1$の状態とエネルギーが$\hbar\omega_2$の状態の重ね合わせ」です(というふうなことは、本の中で説明してあります)。最小公倍数の周期に対応する別のエネルギーの状態になるなんてことは起こりません。 -- 前野? 2018-12-19 (水) 22:52:26
  • ありがとうございます。もう少し考えてみます。 -- 後野? 2018-12-20 (木) 11:47:16
  • 実際は色々な波数と角振動数の指数関数の波が重なり合っていて、観測すると、その中のひとつの波が観測できるということでしょうか。 -- 後野? 2018-12-20 (木) 12:42:49
  • 「観測すると」というのが、「振動数を観測すると」という意味なら、そうです。このあたりのことは第5章で説明してます。 -- 前野? 2018-12-20 (木) 14:07:25
  • ありがとうございます。 -- 後野? 2018-12-20 (木) 14:20:40

シュレーディンガー方程式 2

後野? (2018-12-17 (月) 20:27:49)

P83でシュレーディンガー方程式はエネルギー保存から導きました。
運動量保存から導く
d/dt(ih(∂/∂x)Ψ)=(∂/∂x)V
は見かけません。なぜですか。

  • そもそもシュレーディンガー方程式はエネルギー保存から導いたわけでもないし、書かれたこの式は間違ってますし、なにか大きな誤解をされているものと思います。 -- 前野? 2018-12-17 (月) 20:54:00
  • エネルギー保存と言うよりは波でのħωがエネルギーになるという式が(4.9)でした。ħkがpになるという式をシュレーディンガー方程式に採用しないのは何故ですか。 -- 後野? 2018-12-18 (火) 12:59:45
  • すでに、$E\to {\mathrm i}\hbar{\partial\over\partial t}$と$p\to -{\mathrm i}\hbar{\partial\over\partial x}$という置き換えを行った結果がシュレーディンガー方程式なんですから、とっくにそれは使ってます。 -- 前野? 2018-12-19 (水) 06:08:48
  • よくわかりました。ありがとうございます。 -- 後野? 2018-12-19 (水) 11:46:33

P108 定常状態がΦ(x)exp*1

後野? (2018-12-13 (木) 19:29:19)

(5.13)の下2行で
「特殊な解」をもとめたことになるが、全ての解がこの解の重ね合わせで書ける
とある。
それはどのように考えればその結論が得られますか。

  • 任意のxだけの関数f(x)を足すことはできないのですか。 -- 後野? 2018-12-13 (木) 19:39:56
  • ああ、それは出来なそうでした。すみません。 -- 後野? 2018-12-13 (木) 19:40:46
  • エルミート演算子(この場合H)の固有関数は完全系をなす(重ね合わせであらゆる関数を作れる)ことが知られてます。証明は面倒なので本には書いてません。 -- 前野? 2018-12-14 (金) 06:40:47
  • わかりました。調べてみます。 -- 後野? 2018-12-17 (月) 13:04:48

P83 (4.9) シュレディンガー方程式は正確じゃない

後野? (2018-12-10 (月) 20:30:12)

(4.9)は正確ではなく、正しくは
iħ∂/∂tΨ (ħ→0)=((-h²/2m)∂²/∂²x +V)Ψ
ではありませんか?
ħを0に持ってくと不確定性がなくなり、古典粒子として扱えるので、ħk→mv(=p)、ħω→1/2mv²+Vとなるのではないのですか。

  • 意味がわからないです。古典粒子の話がしたいのなら、シュレーディンガー方程式に出番はありません。量子力学のはなsがしたいのなら「古典的粒子として扱」うのは、むしろダメな事です。いったい、何はしたいんです??量子力学を考えたいなら、シュレーディンガー方程式をそのまま使えばよく、hを0にする必要はないです。 -- 前野? 2018-12-10 (月) 21:22:26
  • 古典粒子というのはp83の3行目に書いてありました。そもそもエネルギーという概念は古典力学から導出したものでした。量子力学でいうħωはħを0に近いとみなすことで、古典力学で得たエネルギーに近似出来るのではないのですか? -- 後野? 2018-12-11 (火) 12:30:49
  • つまり、ħωがエネルギーという意味合いを持つのはħが0と見なせるときだけだ。ということです。エネルギーを古典力学で定義したのだから当たり前のことと思っていたのですが、違うのですか。 -- 後野? 2018-12-11 (火) 12:32:33
  • 古典的粒子と、量子論的な粒子は違うけど、対応がある(その対応はどういうものかは、83ページに至る前に書いてあります)。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 12:52:02
  • 「ħωがエネルギーという意味合いを持つのはħが0と見なせるときだけ」という意味がよくわからないです。それじゃあエネルギーは全部0になってしまう。実際にはたとえば光子が一粒のエネルギーは、ちゃんとħωで表される有限の値を持っていて、極限をとらないとこの値にならないなんてことはありません(光電効果のところをよく読んでください。光子一粒のエネルギーは極限なんかとらなくても測定できている量です)。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 12:54:10
  • 要はエネルギーがħωだとか運動量がh/λだとか言うのは、実験事実から来ているわけで「古典力学との対応を極限を取って考える」なんてことから出てきたもんではないです。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 12:56:02
  • ħが0とみなせる時、というよりは、十分微小である場合。ですね。実験事実といわれても、本当は広がりがあるものを粒子として観測したものであるので、その時点でħが微小であるとみなしており、その場合ħωがエネルギーということですよね。そもそも、量子力学の基礎となるシュレディンガー方程式に、古典力学で導いたVが入っている時点で不合理です。古典力学は量子力学を特殊にしたものであると主張するのに、なぜ、量子力学の式に古典力学で導いたVが必要なのでしょう。論理的に破綻している気がします。 -- 後野? 2018-12-11 (火) 13:10:10
  • なんか全然話が理解できてない気がします。古典力学は量子力学に含まれている(特殊にしたもの)のですから、古典力学で現れるもの(Vもそう)は量子力学でもその対応物があるはずで、それがシュレーディンガー方程式に出てくるVです。不合理と言われても、我々の経験に合うように量子力学を作らなきゃ意味がないでしょう。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 13:30:47
  • たとえば↓で48ページにある波の屈折の話をしたわけですが。こういう屈折を起こす作用があるからこそ、電子が原子核の周りを回る(に対応する現象)があるわけです。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 13:32:19
  • 48ページでは、まさに「Vがあるがゆえに波が曲がる(屈折する)」という説明がしてあります。つまり、Vがあるからこそ起こる現象を見てます。シュレーディンガー方程式はそれを波動方程式の形で実現してます。不合理なことはなんにもありません。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 13:33:24
  • P48の話も正しくない気がします。振動数が等しいことより(2.28)を導いていますが、これは1つの波の中心側(r)と外側(r+δr)でエネルギーが等しいという式です。波の内側と外側でエネルギーが等しいなどど言うことが出来るのでしょうか。 -- 後野? 2018-12-11 (火) 14:04:11
  • 等しいです。これは「外を動く粒子」と「内を動く粒子」を比べているわけではなく(もしそうならエネルギーが等しいなんてことはない)。ある一個の粒子の状態を構成している波の「外側」と「内側」です。一個の粒子を表す波なんだから、「粒子のエネルギー」は全体で一つです。特にここで考えているのはエネルギー固有状態で、重ね合わせにもなってませんから、エネルギーは「粒子一個につき一つ」です。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 14:12:56
  • あと、振動数が等しいことについては、前にも書いてますが「そうじゃなかったらどうなるか」を考えてみてください。波とはいえない不連続な状態になります。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 14:15:42
  • ええと、私がVの話を持ち出してしまったので当初の疑問から離れてしまいました。一番、気になるのはħω=Eとすることは観測事実から認めたが、観測するときは、ħを微小とみなして、位置と運動量が確定させています。それより、シュレディンガー方程式(4.9)はħが微小とした場合のみになりたつのではないのか。ということです。 -- 後野? 2018-12-11 (火) 14:22:08
  • 「観測するときは、ħを微小とみなして、位置と運動量が確定させています」←そんなことはしてません。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 14:26:32
  • シュレーディンガー方程式は極限なんて取らなくても成り立ちます。古典力学と対応をつけたいときに極限が必要ですが、対応させずにそのまま使っていくのが普通の使い方で、それによって不正確になることもありません。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 14:27:57
  • これは「外を動く粒子」と「内を動く粒子」を比べているわけではなく(もしそうならエネルギーが等しいなんてことはない)。ある一個の粒子の状態を構成している波の「外側」と「内側」です。とあります。それなら波の外側と内側で質量がmずつというのは理に合わなくないですか。 -- 後野? 2018-12-11 (火) 14:46:00
  • 質量も「波全体」で定義されている量で、外と内にそれぞれ質量があったりしませんよ(それだったら質量が∞個ないと計算が合わない)。波はそもそも「一個二個」と数えられるものですらないです。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 14:48:06
  • ħω=エネルギー と言ってる時点で(エネルギーと言ってる時点で)粒子についての話ですよね。粒子というのはħが0、つまり、運動量と位置が確定している極限なのではないのですか。 -- 後野? 2018-12-11 (火) 14:54:20
  • 全然違います。「一個の粒子」を表すのが、「広がった波(運動量も位置も確定してない状態)」です。一点に収縮させなければエネルギーが定義できないなんてことは、全く」 -- 前野? 2018-12-11 (火) 14:58:05
  • 一個の粒子を表す波動関数が広がって存在していて、どんなふうに広がっているかを計算するのがシュレーディンガー方程式という「近似でも極限でもない、正確な方程式」です。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 14:59:24
  • (2.28)で波の外側と内側に質量がmずつだということをやっていませんか。 -- 後野? 2018-12-11 (火) 14:59:36
  • やってません。この場合のmは波全体の性質を表すパラメータで、これを粒子として解釈したら質量に対応する数です。とにかく「波全体に対して一つ」存在してます。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 15:04:57
  • もしかして図に2本の曲線が書いてあるのを「2個の質量mの粒子が飛んでいる」と解釈してますか。そんな意味の図ではないですよ。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 15:05:26
  • 物体は平面波の重ね合わせなので位置と運動量がぼやけます。ħk=pというのは、物体の運動量がpである場合に物体を波の重ね合わせとみたら波数がkであるということだとおもいます。実験でpは正確に測れるとして、kはどのようにわかるのでしょうか。波の重ね合わせなので色々なkが存在するとおもいます。 -- 後野? 2018-12-11 (火) 16:07:13
  • 話が急に変わりましたが。波の波長は干渉を起こさせれば測ることができます。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 16:10:30
  • にこの粒子が飛んでいると思っている訳では無いです。質量mというのは1つ1つの波に与えられる固有の物理量なのですね。(2.28)で運動量が左辺と右辺で違うというのは粒子は色々な運動量の重ね合わせだということを表すのですか。 -- 後野? 2018-12-11 (火) 16:43:52
  • 運動量はここではh÷波長なので、場所によって違います(場所によって波長が違うから)。一個の波だが波長が場所によって違うのは(図にある通り)、起こり得ることです。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 16:48:08
  • 話が急に変わったのは、エネルギーがħωより、運動量がħkとなることを考えた方がわかりやすそうだったからです。波長はそのように測るとして、運動量はどのように測るのですか。物体が波の重ね合わせなので運動量がぼやけてしまうと思います。 -- 後野? 2018-12-11 (火) 17:06:22
  • 運動量も測り方はいろいろあります。光子ならあたった電子がどれくらい飛ぶかとか(コンプトン効果)。ぼやけるという意味では、測定は常にぼやけます。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 17:32:16
  • それならどうやってp=ħkを得たのですか。 -- 後野? 2018-12-11 (火) 17:41:47
  • 一つの実験なり理論からわかるもんではなくて、たくさんの実験結果から理論式を作り、それらの理論からの予言が実現するかをまた実験し、、、という繰り返しの果ですね。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 18:09:06
  • たとえばどんな実験がされてそれからどういうことがわかって、、、というのは本にいろいろ書いてあると思いますが。 -- 前野? 2018-12-11 (火) 18:09:48
  • pの期待値がħkで、エネルギーノ期待値がħωを取るということですか。 -- 後野? 2018-12-12 (水) 11:14:10
  • ??? 期待値と言っているということはいろんなkやいろんなωの重ね合わせを考えているということではないのですか??(それにさっきまでの実験の話とは全く違う話になりましたが、質問の意図はなんでしょう??) -- 前野? 2018-12-12 (水) 11:30:30
  • ħkは干渉を使って図ることが出来るが、pはぼやけてしまうということなので、p=ħkのpは期待値を使っているのかと思ったのです。 -- 後野? 2018-12-12 (水) 11:54:22
  • どっちもぼやけますよ。「測定は常にぼやけます」と上にも書きました。「測ることができる」というのは「誤差0(ぼやけなし)で測れる」という意味ではありません(ぼやけない測定は存在しない)。 -- 前野? 2018-12-12 (水) 12:04:45
  • なるほど。よくわかりました。ありがとうございました。 -- 後野? 2018-12-12 (水) 12:33:41

P75

後野? (2018-12-07 (金) 17:52:17)

上から1行目でド・ブロイの式p=h/λを認めてとあります。E=ħωも認めますか。

  • ここでは使ってません。認めないわけじゃないけど。 -- 前野? 2018-12-07 (金) 19:22:08

P65 フーリエ変換のデルタ関数のひょうげんについて

後野? (2018-12-06 (木) 15:24:35)

(3.22)の下4行で、ほとんどの場所では答は0になる。
とありますが、本当に0になるのでしょうか。波の重ね合わせで、∑e^(ikn) (n:-∞→∞)が0になるならn:-∞→∞+1で0では無い値を持つと思います。

  • これはもちろんn→∞の極限を取った話で、その極限を取れば$x=0$以外の場所では0になります。「本当に」というのは「n→∞の極限は取れないのではないか?」という心配でしょうか(そりゃ、nが有限なら0にはなりません)。 -- 前野? 2018-12-06 (木) 15:36:37
  • 質問の中にある「∞+1」って何ですか? 「n→∞」の極限のあとで「さらに∞に1を足す」という操作をしたらどうなるか?という意味ですか??? もしそういう数学的には無茶な話をしているのでしたら、極限を取るという言葉の意味から(他の本で)勉強してください。 -- 前野? 2018-12-06 (木) 15:38:20
  • 数学的には「∞+1」というのは意味のない記号です。 -- 前野? 2018-12-06 (木) 15:41:49
  • 波数が異なるたくさんの波を重ね合わせたら0になるのが納得出来ないです。もし、重ね合わせて0になったとして、そこにn+1の波を足すと、n+1の波だけ残るのではないのでしょうか。(0にn+1の波を足したのだから)それゆえにいくら波を足したって0になることは無いと言いたかったのです。 -- 後野? 2018-12-06 (木) 15:58:28
  • n個の波と「∞個の波」を同じに考えてはいけません。これが0になるのは「∞個」だから(n→∞の極限を取ったから)です。∞はさらに1足すという計算には意味がありません。 -- 前野? 2018-12-06 (木) 16:00:35
  • (3.22)を実際に積分すると (1/(2πi))eixk [-∞,∞]となって、0にならない気がします。例えば、無限の数の人間が同時にしゃべった時、無音になるのでしょうか。 -- 後野? 2018-12-06 (木) 16:26:58
  • 無限の数の人間がそれぞれ少しずつ違う位相で音を出せば、音は干渉で消えます。 -- 前野? 2018-12-06 (木) 16:37:03
  • うーん、なかなか納得できません。-1から1の間の数をランダムに無限個足す時、期待値は0になることは分かりますが、それ自体が0になることが分かりません。 -- 後野? 2018-12-06 (木) 16:56:01
  • やっているのは積分ですから、足しているのは「−1から1」じゃなくて「$-\mathrm dx$から$\mathrm dx$」ですよ。 -- 前野? 2018-12-06 (木) 17:02:39
  • あ、違った、kで積分だから$\mathrm dk$か。 -- 前野? 2018-12-06 (木) 17:04:43
  • ああ、なるほど。直感的にはよく分かりました。これは数式で0に収束することは示せますか。 -- 後野? 2018-12-06 (木) 19:14:22
  • 収束の証明は、フーリエ変換の本などを見れば載っているかと思います。 -- 前野? 2018-12-07 (金) 07:33:05
  • わかりました。探してみます。 -- 後野? 2018-12-07 (金) 17:48:38

P45の図についてのコメント

後野? (2018-12-05 (水) 15:08:08)

n=5の図の下に、実際の物質波には、振動の方向はない。とあります。物質波は何が振動しているのですか。

  • 本に書いてありますから読んでください。 -- 前野? 2018-12-05 (水) 15:20:02
  • 物質波は「何か」が振動しているようなものではなく、波動関数としか言いようがないものです。「 何が?」という質問に「物質より小さい物質みたいな何か」を期待してるなら、そんなものはありません。 -- 前野? 2018-12-05 (水) 15:30:45
  • もう少し読み進めてみます。 -- 後野? 2018-12-05 (水) 15:34:40

P48

後野? (2018-12-05 (水) 10:31:57)

(2.28)の上二行で、内側を通る波と外側を通る波の振動数が等しい
とありますが、なぜですか。

  • 頭んなかで動いている波を思い浮かべてください。振動数が違ってたら「波」とはいえないむちゃくちゃな状況になります(振動状況がつながらない)。 -- 2018-12-05 (水) 10:49:33
  • 同じ波で振動数が違うのはありえなく、波長が違うのは認めるということですか。 -- 後野? 2018-12-05 (水) 11:40:51
  • 認めるとか認めないとかそういう人間の事情じゃなくて、「一つの波の隣り合う場所が違う振動数で振動したりしたらいったいどんな変なことになるのか」という物理を考えてみてください。 -- 前野? 2018-12-05 (水) 12:10:49
  • 「波長が違うのはありえるのか」というのも、物理を考えてください。そういう現象が起こり得るのかどうか、という問題です。 -- 前野? 2018-12-05 (水) 12:11:27
  • 振動数が変化する場合は、同じ方位角にたいして、位相が違うことが起きそうです。これは不合理なのでしょうか。わたしは量子力学では何が正しいか、何が正しくないかよくわかっていません… -- 後野? 2018-12-05 (水) 12:26:09
  • 量子力学どうこうではなく、普通の波の問題です。となりあう波が違う振動数で振動したら「ここの波」と「となりの波」がつながらなくなりますが、波というのはよほど変な条件をつけない限り、連続的なものです(音でも光でも海の波でも)。 -- 前野? 2018-12-05 (水) 12:55:07
  • 繰り返しますが、物理を考えてください。普通の波のと共通の問題です。 -- 前野? 2018-12-05 (水) 12:55:15
  • わかりました、ありがとうございました。 -- 後野? 2018-12-05 (水) 13:02:01

p330の質問

あお? (2018-10-04 (木) 11:03:39)

式(A.47)から、どのように(A.48) 導かれるのかが、理解できません。
どのようにして、(A.48)の右辺にEやVが現れるのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

  • (A.46)と(A.47)を比較して対応を考えると(A.48)になります。 -- 前野? 2018-10-04 (木) 11:12:26
  • 理解できました。ご対応頂き、ありがとうございました。 -- あお? 2018-10-04 (木) 13:48:36

演習問題13-1の質問

あお? (2018-10-04 (木) 10:58:38)

問題文の一番最後の文章について、質問があります。「ポテンシャルエネルギーが3より大きい範囲のlの違い」を考察する、ありますが、なぜ、ポテンシャルエネルギーが3のときを考えるのでしょうか。エネルギー固有値が-1/4なので、ポテンシャルエネルギーが-1/4より大きい範囲のlの違いを考察してはいけないのでしょうか。
また、ヒントの2文目に、「全エネルギーが3」とありますが、ここも上と同様に全エネルギーが-1/4と思えるのですが、どのように理解したらよいのでしょうか。
また、ヒント3文目に「この範囲では運動エネルギーが負になる」とありますが、位置エネルギーが全エネルギーより小さい範囲では、運動エネルギーは正であると思えてしまい、理解ができません。

  • すいません、おっしゃるとおり、ここは$-{1\over4}$にした方が筋が通りますね。そのように訂正してください。 -- 前野? 2018-10-04 (木) 11:30:00
  • 早速のご回答ありがとうございました。 -- あお? 2018-10-04 (木) 13:48:56

演習問題11-4について

けみすと? (2018-09-30 (日) 23:06:57)

11-4の解答では11-3の(2)を用いてξφm*φnの項の積分を行なっています。しかしξφm*φnの積分を、ξとφm*φnの積の積分と考えて部分積分して答えを求める方法はなぜ間違っているのでしょうか?

  • そうやりたかったらそうやっても構わないと思いますが。 -- 前野? 2018-09-30 (日) 23:09:44
  • ここでは前もって計算してある式を使った方が楽だということです。 -- 前野? 2018-09-30 (日) 23:11:24
  • そのように部分積分したとすると(11.90)式から、ξδmn - インテグラルdξ δmnになると思いますが、これで正しいのでしょうか? -- 2018-09-30 (日) 23:42:10
  • ??? その式の意味がわかりません。そんなふうにはならないと思います。 -- 前野? 2018-10-01 (月) 00:09:51
  • 部分積分のやり方から間違っているように思います。たとえば(11.90)式の積分ってのはー∞から∞までの定積分ですが、そういう計算ちゃんとやってますか。他にも計算間違いをいろいろしないとそんな式は出てきそうにありません -- 前野? 2018-10-01 (月) 00:12:42
  • では部分積分は正しくは(φm*φnの不定積分をΨとして)、[ξΨ(ξ=∞) - ξΨ(ξ=-∞)] - インテグラルdξΨ(ξ=-∞から∞)でよろしいでしょうか? -- 2018-10-01 (月) 00:49:56
  • Ψや、それの±無限大での値やらがちゃんと計算できるならそういうやり方もできます。一般にやるのはややこしそうですが。 -- 前野? 2018-10-01 (月) 01:04:43
  • 自分が試みようとしてた方法はひどく難しい(というかできない?)のがよく分かりました。ありがとうございます。 -- けみすと? 2018-10-01 (月) 01:09:59

p.152 (7.46)の式変形について

けみすと? (2018-09-09 (日) 23:32:47)

(7.46)のすぐ下の式変形の説明なのですが、A(-ih∂/∂p)を(D.20)のようにテイラー展開して、pについて部分積分することでA(ih∂/∂p)をψに懸かるようにするという理解で正しいのでしょうか?

  • そうです。 -- 前野? 2018-09-10 (月) 01:42:02
  • わかりました!ありがとうございます -- けみすと? 2018-09-10 (月) 02:15:10

演習問題7-2について

けみすと? (2018-09-07 (金) 16:19:50)

E.8式についてですがx=ih∂/∂pはどのように求めているのでしょうか?

  • 152ページを見てください。 -- 前野? 2018-09-07 (金) 17:21:36
  • わかりました、もう一度考えてみます -- けみすと? 2018-09-08 (土) 22:40:16

p.154について

けみすと? (2018-09-04 (火) 21:33:29)

(7.51)、(7.52)、(7.54)の積分ではなぜdx^3なんでしょうか?

  • サポートページに書いてありますが、それはミスです。3は不要です。すみません。 -- 前野? 2018-09-05 (水) 03:03:48
  • わかりました。返信ありがとうございます -- けみすと? 2018-09-05 (水) 03:23:22

P88の「一つずつ光子を発射する図」について

昔の物理学生? (2018-08-22 (水) 10:30:30)

以下のような考え方で正しいでしょうか。

P88の「一つずつ光子を発射する図」を古典論と量子論で考えてみます。
古典論で考えた場合には、最終的な確率分布は、スリット1を通る光子の確率分布とスリット2を通る光子の確率分布の線形結合となり、干渉項は存在しない。つまり、干渉縞は生じない。これは混合状態である。
一方、量子論で考えた場合には、最終的な確率分布は、「スリット1を通る光子の波動関数」と「スリット2を通る光子の波動関数」の重ね合わせによる波動関数の絶対値の自乗であり、干渉項が残る。つまり、干渉縞は生じる。これは混合状態ではなく、純粋状態の重ね合わせである。

  • はい、その解釈です。 -- 前野? 2018-08-22 (水) 11:22:50
  • お忙しいところ、早々のご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-08-22 (水) 13:11:18

御礼申し上げます

昔の物理学生? (2018-08-17 (金) 13:58:19)

お陰様をもちまして一月ほど前に「よくわかる」シリーズ四冊を全ての付録と演習問題を含め、読破することができました。
全ての計算過程と図表を含め、章ごと人に説明できるようになる(実際にはノートに書く)まで勉強したところ、ノート200冊を要しました。
具体的には、数学者の河東泰之さんが「セミナーの準備のしかたについて」で説明しておられた「何を聞いても即答できる」という状態になるように勉強しました。
独学にも関わらず、このような手間のかかる勉強を最後まで続けることができた理由は、
第一に「よくわかる」シリーズが非常に面白かったこと、
第二に、掲示板で質問できたこと、
です。
読んでいる最中には、学生時代に「よくわかる」シリーズがあれば、どんなに助かっただろうかと何度も思いました。
大変に素晴らしい教科書を有難うございます。
現在、「新版 量子論の基礎」(清水明)を読んでいますが、「これは、よくわかる量子力学のあそこにあったあのことか」と「よくわかる」シリーズを読破した効果を感じています。
最後に、「よくわかる〇〇」次回作を楽しみにお待ちしつつ、引き続きのご活躍を心よりお祈り致しております。
略儀ながら御礼まで申し上げます。

  • ありがとうございます。何よりそんなに手間を掛けて丁寧に読んでいただけたということ、著者冥利に尽きるというものです。書いてよかったと思えます。また、たくさんの私のエラーを見つけていただいたこともありがとうございました。よくわかるのシリーズは今「特殊相対論」と「熱力学」を(なかなか進んでなくて申し訳ないのですが)準備中です。また、よろしくお願いします。 -- 前野? 2018-08-18 (土) 11:32:29
  • 「よくわかる特殊相対論」と「よくわかる熱力学」については、気長にお待ちしております。あまりご無理なさらず、くれぐれも御身御自愛下さい。 -- 昔の物理学生? 2018-08-18 (土) 11:50:10

p64について

(2018-08-09 (木) 00:48:19)

p64に書いてある図について、-ΔとΔの中間はx=0という捉え方でいいんでしょうか。またその場合、その積分範囲で積分すると1になるとありますが、階段関数の定義から-Δから0まで0、0からΔまでが1となって、書いてある図と合わず、また階段関数は0か1しか取らないのにΔの大きさにしたがって伸び縮みしているところはどう考えればいいんでしょうか

  • $-\Delta $と$\Delta$の中間はもちろん、0でいいです。 -- 前野? 2018-08-09 (木) 02:49:52
  • 積分して1になると言っている関数は、図にある${\theta(x+\Delta)-\theta(x-\Delta)\over 2\Delta}$です。「この関数」が示しているものが明瞭でなかったかもしれませんが、(3.18)のことです。 -- 前野? 2018-08-09 (木) 02:51:23
  • ありがとうございます -- 2018-08-09 (木) 22:03:46

演習問題3-2について

(2018-08-08 (水) 22:34:09)

第 1 項は積分の端で δ(x) = 0 とすれば(つまり x が a, b に一致しないとすれば)0 である、とありますがなぜでしょか。第2項は定義通りだとすれば a<0<bだから第1項はf(0)になるかなと考えてしまったのですが...

  • $\left[f(x)\delta(x)\right]^b_a$なので、$f(b)\delta(b)-f(a)\delta(a)$です。 -- 前野? 2018-08-09 (木) 02:47:57
  • 単純にδ(0)以外は0でいいということでしょうか -- 2018-08-09 (木) 13:46:49
  • 定義により、そうです。むしろそうじゃなかったらそれはデルタ関数とは呼ばない。 -- 前野? 2018-08-09 (木) 13:49:37
  • ありがとうございます -- 2018-08-09 (木) 21:58:13

演習問題2-4について

(2018-08-06 (月) 00:57:19)

xをコサインを使って置き換えていますが、これはどういうことなんでしょうか

  • 「どういうこと?」ってのが何を聞きたいのか不明瞭な質問ですが「どうやってこれを思いついたのか?」という意味でしょうか? 一つには積分変換ってのはいろいろ試行錯誤してみるもので、$x$は$x_-$と$x_+$の間を変化するので、そうなる関数として${x_++x_-\over2}+{x_--x_+\over2}\cos\theta$を思いついてやってみる、という感じですかね。思考錯誤ですからこれがだめなら他にいろいろ考えてみるわけです。 -- 前野? 2018-08-06 (月) 16:17:21
  • こうやってみると、積分をする上でうっとおしい、$\sqrt{~}$が外れてくれます。これもとりあえず適当な関数${x_++x_-\over2}+{x_--x_+\over 2}t$とかを入れてやってみると、「あ、この$t$が$\cos\theta$ならルート外れるな」とかわかります。 -- 前野? 2018-08-06 (月) 16:23:12
  • ありがとうございました -- 2018-08-07 (火) 16:59:25

演習問題1-3について

(2018-08-05 (日) 03:41:26)

答えは0.0037秒ではないでしょうか
また、なぜ表面積で考えるのでしょうか

  • すいません。1秒に入ってくるエネルギーが$1.83\times10^{-21}$で、$t$秒で$5.0\times10^{-19}$だけたまるとして、$1.83\times10^{-21}\times t=5.0\times10^{-19}$という式になるので、「$5.0\times10^{-19}$を$1.83\times10^{-21}$で割る」という計算になります。 -- 前野? 2018-08-05 (日) 06:47:22
  • 表面積で考える理由は、「やってくる光の運んでくるエネルギー」を考えているので、その光に垂直な面(光を受ける面)の面積に比例してきます。ですから、ルクスの定義は「1平方メートルあたり」のエネルギーになってます。 -- 前野? 2018-08-05 (日) 06:52:03
  • 問題文に球とあったので3ん次元に捉えてしまっていました -- 2018-08-05 (日) 23:43:24
  • ありがとうございます -- 2018-08-05 (日) 23:44:04

階段ポテンシャルについて

(2018-07-19 (木) 11:04:54)

既出の質問でしたら申し訳ありません。
階段ポテンシャルにおいて、E>V0の場合やE < V0の場合の波動関数は求められたのですが、E= V0の場合は波動関数はどのようになるのでしょうか。

  • その場合、$E>V_0$から極限を考えても$E<V_0$から極限を考えても、$k'$や$\kappa$が0になります。つまり壁の中で波動関数が$x$によらないという解になります。 -- 前野? 2018-07-19 (木) 22:50:41

P311[問13-4]の解答P367の(D.106)について

昔の物理学生? (2018-06-20 (水) 10:53:29)

P311[問13-4]の解答P367の(D.106)の一行目右辺の積分が
((3R+1)/2)esp(-2R)
となっておりますが、
((3R+2)/4)esp(-2R)
となるものと思いますが、如何でしょうか?

  • espではなくexpです。 -- 昔の物理学生? 2018-06-20 (水) 11:11:42
  • 確かにそのとおりです。修正します。 -- 前野? 2018-06-20 (水) 17:40:46
  • お忙しいところ、ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-06-20 (水) 18:51:54

ルジャンドル陪関数について。

初学者? (2018-06-17 (日) 16:42:34)

演習問題12-7で(12.96)と(12.97)が本質的に同じであることがわかるので、(12.98)の形に持っていくにはmが負の時には(12.96)を採用して、mが正の時には(12.97)を採用するのがベストではないのでしょうか?(12.97)だけを採用すると(12.98)で、なぜ絶対値がつくのかがわかりません。また(12.106)と(12.109)での絶対値の有無はどこからくるのでしょうか?

  • (12.97)を使うか(12.98)を使うかなんてのは(どうせ同じなのだから)人の勝手というか、そのときそのときの気分で変えたって別に構いません(もちろん、mの正負で定義を変えたかったらそれでもいいです)。ここでは(12.97)の方を使ったというだけのことです。 -- 前野? 2018-06-17 (日) 16:56:48
  • で、(12.97)で$m=|m|$に置き換えた式を作っておいて、$m$が正でも負でもよいことにした、というのが(12.98)です。この式を「$m$が正なら(12.97)、負なら(12.96)」を採用したと考えても、結果は同じです。というわけで、どっちでもいいんじゃないでしょうか。 -- 前野? 2018-06-17 (日) 17:00:42
  • (12.109)は、絶対値が外れているのが間違いで、ついてなくてはいけませんね。 -- 前野? 2018-06-17 (日) 17:02:36
  • (12.109)については次の版で訂正します。 -- 前野? 2018-06-17 (日) 17:02:56
  • 確かにそうですね!またまた、本質とは関係のない質問で申し訳ないのですが、(12.109)の右辺の一番最初の符号はどういったルールで決まっているのでしょうか?mの正負偶奇にかかわらず、+1なので付いている意味はあるのでしょうか? -- 初学者? 2018-06-17 (日) 18:22:02
  • すみません。正の時は変わりますね。負の時は常に+1ですか? -- 初学者? 2018-06-17 (日) 18:28:14
  • 正なら$-1$、負なら$+1$で、大した意味はないといえばそのとおりです。 -- 前野? 2018-06-18 (月) 09:01:35
  • わかりました。ありがとうございました。 -- 初学者? 2018-06-18 (月) 15:42:07

P304のグラフについて

昔の物理学生? (2018-06-14 (木) 14:44:36)

自分でψ100を計算するとマイナスの符号が付きます。
一方、P304のグラフにはマイナスの符号が付いていません。
これは、波動関数の符号には意味はないので省略した、という解釈でよろしいでしょうか?

  • いえ、この符号はこれで正しいです。$\psi_{100}$は(13.44)によれば$-{\cal N}_{00}L^1_1(\rho)Y_0^0$となります。このうち$L_1^1$は${\mathrm d\over\mathrm d\rho}L_1(\rho)$で、$L_1(\rho)$は302ページの脚注14の式から計算すると$\mathrm e^{x}{\mathrm d\over\mathrm dx}(x\mathrm e^{-x})=1-x$ですから、$L_1^1=-1$です。(13.44)のマイナスと、このマイナスと、符号が2回出てくるので答えはプラスです。 -- 前野? 2018-06-15 (金) 08:10:23
  • p302の1行目に$L_{1,\ell}=\rho-2-2\ell$とあるのでそれを使って計算されたのかもしれませんが、ここでは302ページの暫定的な式ではなく、Laguerre多項式の公式の方を使ってます。 -- 前野? 2018-06-15 (金) 08:11:37
  • 教えて頂いたように再計算したところ、マイルスが出てきました。お忙しい中、有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-06-15 (金) 09:11:14
  • マイルスでなく、マイナスです。 -- 昔の物理学生? 2018-06-15 (金) 09:11:34

P298(13.27)について

昔の物理学生? (2018-06-12 (火) 08:40:00)

P298(13.27)のΣのnはn'ではないかと思いますが、如何でしょうか?

  • そうですね。’が抜けてました。すみません。 -- 前野? 2018-06-15 (金) 08:12:37
  • お忙しいところ、ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-06-15 (金) 09:10:28

P297上から4行目について

昔の物理学生? (2018-06-10 (日) 14:48:13)

P297上から4行目において
「ke^2がλとなるように」とありますが、(13.20)を使って具体的に計算すると
λ=((ke^2)/ħ)(-μ/2E)^(1/2)
となるということでよろしいでしょうか?

  • これは、最初に$\hbar,-4E,2\mu$を1にして、最後に$ke^2=\lambda$にする、と解釈してください。 -- 前野? 2018-06-11 (月) 08:13:47
  • お忙しいところ、早々のご対応有難うございます!理解できました。 -- 昔の物理学生? 2018-06-11 (月) 10:01:12

P294(13.9)について

昔の物理学生? (2018-06-09 (土) 19:53:37)

P291の下の図では
xr=x-X
となっていますので、P294(13.9)は
∂(X-x)/∂X=1
ではなく、
∂(x-X)/∂X=-1
となると思いますが、如何でしょうか?
また、このことに対応して、[問13-1]の解答の符号も変わるのではないかと思いますが、如何でしょうか?

  • P294(13.9)の一行下の式と二行下の式の符号も変わるのではないでしょうか。 -- 昔の物理学生? 2018-06-09 (土) 19:55:06
  • たしかに、このあたり、「陽子を起点とした電子の位置」を表す、と書きながら引算を逆にしてしまってますね。(13.3)の下の説明から修正していく必要があるようです。 -- 前野? 2018-06-11 (月) 08:12:14
  • お忙しいところ、ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-06-11 (月) 09:59:53

P293の下から4行目について

昔の物理学生? (2018-06-09 (土) 19:36:05)

μ=(m1m2)/(m1+m2)
とありますが、
μ=(Mm)/(M+m)
ではないかと存じます。
如何でしょうか?

  • すいません、ここも修正します。 -- 前野? 2018-06-11 (月) 08:08:48
  • お忙しいところ、ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-06-11 (月) 09:58:34

P344[問い13-1]のヒント

昔の物理学生? (2018-06-07 (木) 14:34:02)

P293同様、X,xとなるべきところx1、x2となっていると思いますが、如何でしょうか?

  • すいません、そのとおりです。こちらも修正します。 -- 前野? 2018-06-09 (土) 18:30:36
  • ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-06-09 (土) 19:30:47
  • ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-06-11 (月) 09:58:23

P293の下から二行目について

昔の物理学生? (2018-06-07 (木) 12:31:17)

「微分演算子∇1、∇2を」は「微分演算子∇X、∇xを」ではないかと存じますが、如何でしょうか?

  • 確かにそのとおりです。$x_1,x_2$だったのを$X,x$に直したときの直し忘れです。次の刷で訂正します。 -- 前野? 2018-06-07 (木) 13:09:44
  • お忙しいところ、ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-06-07 (木) 13:50:12

式(10.47)について

初学者? (2018-06-05 (火) 15:49:51)

演習問題10-2は、具体的にどのような物理的状況なのでしょうか?一点から負の運動エネルギーが左右に染み出してくるということですか?また、この問題の面白い応用例があれば教えてください。

  • これは定常状態ですしエネルギーが染み出す、なんてことは起きてません。粒子にある一点で引力(符号によっては斥力)なポテンシャルがあるというだけです。 -- 前野? 2018-06-07 (木) 08:44:07
  • この問題は、「狭い範囲に引力または斥力が働いている状態」のモデルです。原子などに働く力をこういうモデルで記述することもあります。 -- 前野? 2018-06-07 (木) 08:45:14
  • よくわかりました。ありがとうございました。 -- 初学者? 2018-06-07 (木) 16:16:49

ポテンシャル障壁の不連続性について

初学者? (2018-05-21 (月) 15:18:18)

ポテンシャル障壁が不連続だと、どんな高さでも境界で無限大の力がかかってしまいませんか?181ページの下の図でエネルギーがポテンシャルより大きかったら越えられることはわかるのですが、電磁気学などは連続なポテンシャルしかみたことがなく、無限大の力がかかるようなポテンシャルは安心して扱って良いのか気になります。

  • 古典力学ではその場にいる粒子に無限の力が働いてしまいますが、これは量子力学で、そこにいるのは波動関数で、波動関数の時間発展はシュレーディンガー方程式で決まります。つまりシュレーディンガー方程式の解がちゃんと出れば問題はありません。ちゃんと出ることはその後の計算の通りです。 -- 前野? 2018-05-22 (火) 00:13:19
  • 納得できました!ありがとうございました。 -- 初学者? 2018-05-22 (火) 07:41:05

エネルギー固有状態でない状態について

初学者? (2018-05-20 (日) 21:21:52)

たびたびすみません。エネルギー固有状態でない状態が何なのかが、つかみきれません。式(9.15)のように、二つの異なる振動数を持った波動関数を重ね合わせると、複素空間上で振幅が時間変化するのは、イメージができるのですが、この粒子はどのようなエネルギー状態なのでしょうか?この粒子のエネルギーは量子化されていないということなのですか?つまり、基底状態と励起状態の中間に存在しているようなものだけれども、観測すればE1とE2のどちらかになるということですか?

  • 今回は、φ1、φ2がそれぞれ直交しているのでどうやら式(6.28)のようにできて、E1とE2の状態が等確率で現れるようですが、この考え方であっているのでしょうか?また、関数同士が直交していない場合はどうすれば良いのでしょうか? -- 初学者? 2018-05-20 (日) 21:41:47
  • 結局のところ、(9.15)のような粒子がE1とE2の重ね合わせで書けることはどのようにしてわかるのですか?実験によってでしょうか? -- 初学者? 2018-05-20 (日) 22:44:00
  • 重ね合わせは文字通り重ね合わせなので、式の通りに理解してください。エネルギーを観測すればどちらかが観測されます。 -- 前野? 2018-05-21 (月) 01:26:23
  • エネルギー固有値が違う状態は必ず直交するので、直交していない場合の心配は無用です。 -- 前野? 2018-05-21 (月) 01:26:46
  • どうやってわかるかといえば、そりゃ実験でしょう。 -- 前野? 2018-05-21 (月) 01:27:16
  • 釈然としないところがやっとわかりました。ありがとうございました。 -- 初学者? 2018-05-21 (月) 08:20:08

式(8.14)について

初学者? (2018-05-20 (日) 15:06:49)

いつもお世話になっております。式(8.14)で、αを純虚数にしたのは不確定性関係を導出するためですか?†12にあるように、bが実数でなければならないというだけであったら、αが実数でもいいと思ます。しかし、そうすると、(8.17)で反交換関係が出てきてしまい、bが綺麗に整理できなくなってしまいます。ということは、やはり意味のある関係を得るためには天下り的にαが純虚数でなければらないということなのでしょうか?

  • 天下り的にというわけではなく、交換関係を出したいということから逆算して選んでいると思ってください。 -- 前野? 2018-05-20 (日) 18:55:53
  • わかりました。ありがとうございました。 -- 初学者? 2018-05-20 (日) 19:18:33

p38 1番下

jfk? (2018-05-16 (水) 04:53:50)

「ボーアの理論」とは何のことですか?(いきなり説明なしに出てきた気がするのですが…。これより前に説明されていたらすいません。)

  • 直後に出てくるボーアの原子模型のことです。 -- 前野? 2018-05-16 (水) 07:35:56
  • あ、次に出てくるもののことだったのですね。ありがとうございました。 -- jfk? 2018-05-16 (水) 08:18:52

離散型の固有ブラケットについて

初学者? (2018-05-14 (月) 23:22:06)

お忙しのところすみません。連続型の固有ブラケットを用いて、エルミート演算子を対角化する具体例は思いつくのですが、離散型の固有ブラケットを用いてエルミート演算子を対角化するよい具体例が思いつきません。例えば、連続型だったら(5.22)などが運動量演算子をx表示で対角化して、期待値を求められる良例となっていると思います。このような具体例は離散型の場合、量子力学で出てくるのでしょうか?演算子が微分演算子を含むものしか今のところ見受けられないので、行列演算子が初等的線形代数のエルミート行列のように、離散的固有値で対角化される例があるのか、ないのかがわかりません。

  • たとえばスピンを表現するパウリ行列なんてのは、離散的固有値を対角化した結果の例です。スピンのz成分が${\hbar\over2}\left(\begin{array}{cc} 1&0\\0&-1\end{array}\right)$と対角化されてます。 -- 前野? 2018-05-15 (火) 07:44:40
  • わかりました!ありがとうございました。 -- 初学者? 2018-05-15 (火) 08:00:54

演習問題6-2について

初学者? (2018-05-06 (日) 15:06:01)

(6.41)の右辺のエルミート性はどうやって示すのでしょうか?Aの期待値が取れるということは、Aはエルミートという前提なので、(1/iℏ)[A,H]の項は全体でエルミートだと思うのですが、(∂/∂t)Aの方はどうなのでしょうか?

  • 時間微分というのは用は引き算÷時間ですから、エルミートな演算子の引き算はエルミートです。 -- 前野? 2018-05-06 (日) 15:36:25
  • そういう見方をすれば確かにエルミートですね!この場合、∂/∂tは演算子と見なくても良いということなのでしょうか? -- 初学者? 2018-05-06 (日) 18:44:19
  • 微分はAにかかっているのであって、状態(波動関数)に掛かっているのではないので、ここで考えているエルミート性うんぬんとは関係ないです(ここでのエルミート性というのは「後ろの状態に掛けたとき」と「前の状態に掛けたとき」を比べる話)。 -- 前野? 2018-05-06 (日) 19:12:32
  • そうでした!波動関数の和は特に今考えていないから、エルミート性などは気にしなくていいということですよね。ありがとうございました。 -- 初学者? 2018-05-06 (日) 19:45:38

p35 下の表

jfk? (2018-05-04 (金) 01:12:01)

いきなり「換算質量」がでてきたのですが何のことを指しているのですか?(原子核と電子で換算質量をとっていますか?)

  • 水素原子の原子核と電子の換算質量です。 -- 前野? 2018-05-04 (金) 06:49:43
  • 原子核と電子を合わせて -- jfk? 2018-05-06 (日) 05:05:47
  • 誤送信してしまいました。わかりました。ありがとうございました。 -- jfk? 2018-05-06 (日) 05:07:03

p45について

初学者? (2018-04-29 (日) 21:27:49)

お忙しいところすみません。p45のn=5の図で"「振動の方向」はない"とありますが、これは横波で言うところの上下振動がない、ということですか?また、2.5節まで読んでみると、むしろ電子そのものが波であって、粒子である方がおかしい解釈のようにも思われます。量子力学で電子が粒子性も持つ必要性は何ですか?

  • 横波で言う上下振動はもちろん、縦波で言う前後振動もありません。方向を持った振動ではないと言うことです。 -- 前野? 2018-04-30 (月) 09:41:32
  • 電子が粒子である証拠は現実にいくらでもあります。壁に向かって放射すると一点(と思えるぐらいに狭い領域)に当たるとか、電荷が量子化されてるとか。 -- 前野? 2018-04-30 (月) 09:43:18
  • ということは、図の状態で波形が止まっているかのようにみえるということですか?確かに波形が円の中心を軸にして回転していたら、電子の波の先端があることになって一周前の波形と位相がずれてしまいエネルギー保存則が満たされないことになってしまいそうですね。 -- 初学者? 2018-04-30 (月) 10:26:37
  • いいえ。変化しているけどそれは運動ではなく波動関数なるものが時間変化しているということです。 -- 前野? 2018-04-30 (月) 12:22:18
  • 波形を空間に波が存在していると思ってはいけないのです。なんでしたら、架空の方向なり「あの世の方向」なりに運動していると思って下さい。 -- 前野? 2018-04-30 (月) 12:23:59
  • 実際の運動ではなく、波動関数が肝になってくるということなのですね。浅学で申し訳ありません。重ねて質問なのですが、3.1.2節をオフシェルで議論しているのは何故ですか? 「よくわかる解析力学」の12.3節ではオンシェルになっています。式(3.6)の変分を実際にやってみると、古典力学でいうところのオイラーラグランジュ方程式の方ではなく、部分積分の端点項に2π(δx/λ-νδt)が現れてきます。 -- 初学者? 2018-04-30 (月) 13:22:49
  • それとも、位相の方の比較でt→t+δt、とするのではなく、t→t+dtとすればいいのでしょうか?こうすると波の位相差と、作用(ハミルトン主関数ではなく)の変分の中身の位相差に見える部分がきちんと対応しているように思えます。 -- 初学者? 2018-04-30 (月) 13:57:25
  • すいません、質問の意味がとれなくて返事ができなかったのですが、off-shellで考える理由は「量子力学の話であって、古典力学の運動方程式は満たされて無くて当たり前だから」ということになります。後オイラーラグランジュ方程式が出てこないという意味もよくわかりません(端点はこの場合も固定して考えます)。 -- 前野? 2018-05-03 (木) 15:30:31
  • 「位相の方の比較でt→t+δt、とするのではなく、t→t+dtと」もどういう意味なのかわからないのでそれでいいのかどうかもよくわかりません(端点は固定した話なので、時間はずらさなくていいはずです)。 -- 前野? 2018-05-03 (木) 15:31:17
  • 「位相の方の比較で」というのは、普通の波で位相差を求めたときのことです。54ページの下から9〜10行目でなぜt→t+dt、x→x+dxとするのではなく、t→t+δt、x→x+δxとしているのかがわからないということです。 -- 初学者? 2018-05-03 (木) 20:46:35
  • 54ページの下から9〜10行めのことなら、ここは変分を取っている話ではないです。実際に存在している波のある場所ある時刻と、そことちょっと離れた場所、離れた時刻での波を比べました、という話です。 -- 前野? 2018-05-03 (木) 21:30:52
  • やっと解決しました。変分の意味では無くて差としてのδ記号でしたか。長らくありがとうございました。 -- 初学者? 2018-05-03 (木) 22:07:00

時間微分のエルミート共役について

ちゃまろ? (2018-04-18 (水) 16:05:04)

時間微分d/dtに関しても、空間座標微分同様、エルミート共役をとるとマイナスがつくと思ってよいのでしょうか?

  • やってみればわかりますが、なります。 -- 前野? 2018-04-18 (水) 18:23:14
  • 例えばDirac方程式では、Lorentz signature と Euclid signature の違いで、エルミート共役をとったときの応答は変わると思いますが、質問をした時間微分はLorentz signatureでの話と思ってよいのですか? -- ちゃまろ? 2018-04-19 (木) 00:40:15
  • 質問が分かりづらかったかもしれません。(\partial_{0})^{\dagger}=-\partial_{0}とするならば、これをEuclid化したとき(\partial^{E}_{0})^{\dagger}=\partial^E_{0} (Eの添え字はEuclidの意味)となってエルミートになると思います。二つとも同時にエルミート共役をとった時にマイナスをつくようにはできないという解釈であっていますか? -- ちゃまろ? 2018-04-19 (木) 00:53:02
  • Dirac方程式を考えていたのですか? もっともその場合でも微分演算子がエルミート共役を取ったら符号が変わるのは同じです。ユークリッド化しててもです。そもそもこうなる理屈は部分積分なので、ユークリッドかローレンツかに関係あるはずがありません。 -- 前野? 2018-04-19 (木) 08:43:55
  • Dirac方程式の場合、ユークリッドかローレンツかで変わってくるのはガンマ行列の定義と内積の定義です。ガンマ行列は$\left\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\right\}=2g^{\mu\nu}$などのような式で定義されるんですから、変わってきて当然で、この行列がエルミートか反エルミートかがローレンツ計量を取るかどうかで変えます。そっちで調整されるので微分演算子の方のエルミート性は計量に影響されません。 -- 前野? 2018-04-19 (木) 08:45:51
  • なるほど。積分の下で考えるべきで、愚直に$(\partial_{0})^{\dagger}=-\partial_{0}$としてはいけないわけですね。 -- ちゃまろ? 2018-04-19 (木) 11:20:42
  • 本の内容からはずれていますが、これに関連して質問があります。 藤川の方法で、ユークリッドで$\gamma^{\mu}D_{\mu}$はエルミートというものを見かけます。これをLorentzに変換すると、時間成分のところだけずれて($\gamma^{0}$と$\gamma^{i}$のエルミート共役に対する応答が違うため)、エルミートにはなりません。こういうことはあっても良いことなのでしょうか。 -- ちゃまろ? 2018-04-19 (木) 16:14:05
  • いや、上に書いたことよく読んで下さい。ガンマ行列のえるみーと性がユークリッドにすると変わります。 -- 前野? 2018-04-19 (木) 16:18:42
  • すみません。わかりました。 -- ちゃまろ? 2018-04-19 (木) 16:25:10

p29 1行目

jfk? (2018-04-14 (土) 23:01:05)

「古典的な波動としての光にも運動量はちゃんとある」とありますが、光子の質量は0なので、光の運動量も0のような気がしていまいます。

  • 「運動量はmv」とか考えてしまうとそうなりますが、「力によって運動量が時間変化する(${\mathrm dp\over \mathrm dt}=F$)」の方を運動量の定義と考えると、力を出して何かを押したり引いたりできるものは運動量があることになります。具体的にどんな量が電磁場の運動量になるかはその下に書いてあるとおりです。 -- 前野? 2018-04-15 (日) 07:43:25
  • なぜこの場面では運動量はp=mvと考えてはいけないのですか? -- jfk? 2018-04-17 (火) 01:55:47
  • 「力によって運動量が時間変化する」という定義の方が一般的な定義です。電磁場の場合はmなんてないんだから一般的に考えます。 -- 前野? 2018-04-17 (火) 05:58:54
  • わかりました。ありがとうございます。 -- jfk? 2018-04-25 (水) 04:23:20

P286下から7行目について

昔の物理学生? (2018-04-13 (金) 15:07:20)

「さらにξRl(ξ)=S(ξ)と書くことで」
とありますが、
S(ξ)
ではなく、
Sl(ξ)
かと思います。
如何でしょうか?

  • すいません、たしかにここの添字$\ell$が抜けてます。 -- 前野? 2018-04-14 (土) 12:25:50
  • お忙しいところ、早々のご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-04-14 (土) 14:26:18

積の微分

物理のヒヨコ? (2018-04-11 (水) 19:35:55)

今晩は、お世話になっています。

P.105の式(5.6)は、
d/dt∫dx ψ*(x,t)xψ(x,t) = ∫dx(∂/∂tψ*(x,t)xψ(x,t) + ψ*(x,t)x∂/∂tψ(x,t))
の順番でなくても良いのでしょうか?

  • 足し算の順番なんてどうでもいいのでは。 -- 前野? 2018-04-11 (水) 19:38:46
  • 確かに公式では {f(x)+g(x)}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ですが、足し算のルールでは f(x)g'(x) + f'(x)g(x) でも同じですね。初級者的には気になってしまい…失礼しました。回答ありがとうございます。 -- 物理のヒヨコ? 2018-04-12 (木) 03:24:30

P280の2行目

昔の物理学生? (2018-04-10 (火) 16:13:36)

P280の2行目で
 hl(l+1)
とありますが、
 h^2l(l+1)
ではないかと存じます。
如何でしょうか?

  • すいません、ここも同じ間違いをしてます。 -- 前野? 2018-04-11 (水) 07:35:56
  • お忙しいところ、ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-04-11 (水) 15:58:40

p33 下から7行目

jfk? (2018-04-10 (火) 00:29:24)

「原子の出す光が元素固有のスペクトルを持つ」とありますが、ここでいう「スペクトル」とはどういう意味でしょうか?
自分でも調べて見ましたが様々な表現方法・用法があるようで、どれが適当かわかりませんでした。
「スペクトル」の定義を教えて下さい。
よろしくお願いします。

  • スペクトルというのは、出す光がどんな振動数の成分をどれだけ含んでいるか、を示します。同じ原子なら同じ振動数の光を同じ割合で含んでます。 -- 前野? 2018-04-10 (火) 06:51:31
  • よくわかりました。ありがとうございます。 -- jfk? 2018-05-03 (木) 07:54:40

P271の最後の行

昔の物理学生? (2018-04-07 (土) 15:46:40)

P271の最後の行で
「固有値がhl(l+1)」
とありますが、
「固有値がh^2l(l+1)」
ではないかと存じます。
如何でしょうか?

  • すいません、確かにその通りです。 -- 前野? 2018-04-08 (日) 16:20:03
  • お忙しいところ、ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-04-08 (日) 16:42:28

p154の(7.51)について

けい? (2018-04-03 (火) 16:15:31)

(7.51)で積分が三次元となっていますが、これは何故ですか?

  • 何故と言われても、、、まぁ一般的な話としては何次元でもいいです。 -- 前野? 2018-04-03 (火) 16:45:33
  • ああそうかここまでではまだ1次元の波動関数しか考えてないから3次元が出てくるのは唐突でしたか。1次元に読み替えて呼んでください。 -- 前野? 2018-04-03 (火) 16:47:24
  • わかりました。ありがとうございます。 -- けい? 2018-04-03 (火) 18:24:10
  • わかりました。ありがとうございます。 -- けい? 2018-04-03 (火) 19:13:29

p29 下の方

jfk? (2018-04-02 (月) 08:47:28)

波長が伸びる、という現象は、なぜドップラー効果によるものなのですか?X線の発生源も観測者も静止しているのではないのですか?

  • 電子がいったんX線を吸収し、動きながらX線を出したと考えると、この場合の発生源は電子で、動いてます。 -- 前野? 2018-04-02 (月) 09:15:02
  • そういうことだったんですね!わかりました。ありがとうございました。 -- jfk? 2018-04-03 (火) 13:47:38

P286下から4行目について

昔の物理学生? (2018-03-27 (火) 10:36:31)

二箇所Sl(ξ)0とありますが、S0(ξ)ではないかと存じます。
如何でしょうか?

  • 確かにその通りです。これも次で直します。 -- 前野? 2018-03-27 (火) 14:20:02
  • お忙しいところ、ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-03-28 (水) 07:57:19

P364の[問い12-11]の解答について

昔の物理学生? (2018-03-26 (月) 11:27:40)

(D.90)の下から3行目の波括弧の下に
ℏLz
とありますが、
2ℏLz
かと存じます。
如何でしょうか?

  • 訂正履歴を見ると第5刷で訂正されたことになっているのですが、訂正漏れのようです。次で直します。 -- 前野? 2018-03-27 (火) 14:19:21
  • お忙しいところ、ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-03-28 (水) 07:57:11

P362の[問い12-5]の解答について

昔の物理学生? (2018-03-23 (金) 15:05:43)

一行目の最初の式の最も内側の括弧の中身が
1-x^2
となっておりますが、
x^2-1
かと存じます。
また、一行目の最後の式
1-x^2=(1+x)(1-x)
についても同様かと存じます。
如何でしょうか?

  • 確かに、なぜかここだけ符号が変わってます。次で修正します。 -- 前野? 2018-03-24 (土) 10:42:48
  • お忙しいところ、早々のご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-03-24 (土) 10:56:20

P363の[問い12-8]の解答(D.85)について

昔の物理学生? (2018-03-22 (木) 13:17:23)

最後の式のカッコ内
(sinθ(dψ*/δθ))

(sinθ(dψ*/dθ))
かと存じますが、如何でしょうか?

  • すいません、これは確かにミスです。 -- 前野? 2018-03-23 (金) 08:35:40
  • お忙しいところ、ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-03-23 (金) 09:55:36

P273(12.79)の2行下について

昔の物理学生? (2018-03-20 (火) 13:28:02)

P273(12.79)の2行下で
|L|^2-(Lz)^2±ℏLz
とありますが
|L|^2-(Lz)^2∓ℏLz
かと存じます。
如何でしょうか?

  • 確かにこれは、下の(12.80)でやってる計算が正しいので$\pm\to \mp$です。 -- 前野? 2018-03-20 (火) 21:18:17
  • お忙しいところ、早々のご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-03-21 (水) 07:40:17

7.6節について

tt? (2018-03-09 (金) 09:03:27)

お忙しいところすみません。
(7.71)で「$x$に」「$x'$に」と説明してあるところが分からないです。
$\^{x}$はただの$x$と思って計算すると思ったのですが…
あと、演算子が通常のように右にかかるのか左にかかるのかは文脈や話の流れから判断するほかないのですか?
それともp159の補足の最後のように、どちらにかけても結果は同じになるのですか??

  • 「←xに」となっているのは、左の$\langle x\big|$に$\hat x$が掛かった結果、$\langle x\big|\hat x=\langle x\big| x$のように固有値に変わる、ということです。 -- 前野? 2018-03-09 (金) 10:40:23
  • 「$x'$に→」の方は$\hat x$を右の$\big|x'\rangle$に掛けます。 -- 前野? 2018-03-09 (金) 10:40:56
  • 演算子をどっちに掛けるかというと、「ちゃんと計算するならどっちに掛けたっていい」です。ただし、$\langle x\big|\hat x \hat p \big| x'\rangle$という式の場合、$\hat x$を右のケットに掛けようとすると、後ろ(右)にある$\hat p$が邪魔で、左のブラに掛ける方が楽です。 -- 前野? 2018-03-09 (金) 10:42:38 $\def\bra#1{\langle#1\big|}\def\ket#1{\big|#1\rangle}$
  • $\hat{x} \ket{x}=x \ket{x}$や$\hat{x} \ket{x'}=x' \ket{x}$というのは固有値方程式ということでわかるのですが、$\bra{x} \hat{x}=\bra{x} x$が演算子のかかる相手がかわっても同様に成り立つことが分かりません。演算子の定義は、(補足のところのように)左右どちらかかるかで変わるんではないですか? -- tt? 2018-03-09 (金) 18:54:06
  • $\bra{x}\hat x=\bra{x}x$という式は、$\hat x\ket{x}=x\ket{x}$という式のエルミート共役です。$\hat x$はエルミートなのでこれが成り立ちます。 -- 前野? 2018-03-09 (金) 19:01:34
  • その計算というのは、$\hat{x} |x> = x|x>$の両辺のエルミート共役をとり、左辺は$(\hat{x} |x>)^{\dagger} = (|x>)^{\dagger} (\hat{x})^{\dagger} = <x| \hat{x}$、右辺は$(x |x>)^{\dagger}=x <x| = <x| x$という計算をするということですか? -- tt? 2018-03-09 (金) 21:06:06
  • その計算というか、その通りの事を上でも書いたつもりですが。 -- 前野? 2018-03-10 (土) 14:36:45

P364~365[問い12-12]の解答について

昔の物理学生? (2018-03-08 (木) 14:32:09)

お忙しいところ、誠に恐縮ですが、二点お教え下さい。
1.(D.92)の下の行の
=-(2/ξ^3)+(2/ξ^2)(d/dξ)
の第二項の分子が2になっているのが分かりません。
自分で計算すると1になってしまいます。

2.(D.94)の左辺(l+1)の後が+になり、右辺(l+1)の後ろが-になっているのが分かりません。
自分で計算すると符号が逆になります。

  • (D.92)ですが、その上の行の${d\over d\xi}\left({1\over \xi^2}\right)$を$-{2\over \xi^3}$としていませんか。これは実は「さらに後ろに任意の関数$f(\xi)$がある」と思って計算する必要があります。 -- 前野? 2018-03-08 (木) 15:24:04
  • そう思って計算すると、${d\over d\xi}\left({1\over \xi^2}f(\xi)\right)=-{2\over \xi^3}f(\xi)+{1\over \xi^2}{d\over d\xi}f(\xi)$となります。(D.92)は「後ろにある$f(\xi)$」を省略した書き方になっていることに注意してください(演算子の計算をするときはこうします)。 -- 前野? 2018-03-08 (木) 15:26:05
  • (D.94)の符号ですが、その前の(D.92)の結果が${2\over \xi^2}\left(-{1\over\xi}+{d\over d\xi}\right)$ですね(ここの符号が間違っている)。 -- 前野? 2018-03-08 (木) 15:51:24
  • そのため、(D.93)の第2項の符号も逆です($+2\alpha \cdots$となる)。(D.94)は合ってます。 -- 前野? 2018-03-08 (木) 15:52:37
  • お忙しいところ、早々のご対応有難うございます!完全に理解できました。演算子の計算には注意します。 -- 昔の物理学生? 2018-03-08 (木) 16:01:02

p99について

けい? (2018-03-07 (水) 13:36:40)

お忙しい中すみません。
$e^{i(kx-\omega t)}$で$t=0$とおいた$e^{ikx}$から進行方向がわかるとあるのですが、なぜ$e^{ikx}$だけから分かるのでしょうか。例えば$e^{i(kx+\omega t)}$でも$t=0$では$e^{ikx}$ですが、これは実際には$x$軸負の向きに進むと思います。

  • 下の方に同じ質問がありますのでその答えを読んでみてください(別の方ですよね??) -- 前野? 2018-03-07 (水) 13:56:00
  • すみません、読んでみましたがよくわかりません。シュレディンガー方程式の解として$t$依存の部分は$e^{i\omega t}$なので$x$依存の部分の符号で判断できるということでしょうか。そうならば、初期条件云々ではなく解の形から進行方向を判断していることにならないでしょうか。 -- けい? 2018-03-08 (木) 00:19:02
  • $e^{i\omega t}$ではなく$e^{-i\omega t}$の間違いです。 -- けい? 2018-03-08 (木) 00:20:13
  • ここでやっていることは「波動関数が複素数となる意味」です。つまり「波動関数を実数関数だとした場合」と「波動関数を複素数とした場合」を比較してます。だから「解の形から」というのはまさにその通りのことをやってます。 -- 前野? 2018-03-08 (木) 06:13:52
  • 実数解とした場合、平面波解は$A\cos(kx-\omega t +\alpha)$または$A\cos(kx+\omega t+\alpha)$です。ところが、$t=0$の初期条件だけを見たのではこの二つのどちからは判断できません。 -- 前野? 2018-03-08 (木) 06:15:39
  • 複素数解とした場合、平面波解は$Ae^{i(kx-\omega t+\alpha)}$または$Ae^{i(-kx-\omega t +\alpha)}$です。他に$Ae^{i(kx+\omega t+\alpha)}$と$Ae^{i(-kx+\omega t+\alpha}$も有りそうに思えますが、シュレーディンガー方程式の形からこっちは考えなくていいです。 -- 前野? 2018-03-08 (木) 06:17:32
  • 時間依存部分が$e^{-i\omega t}$であることを知っているから判断できる、というのはその通りです。 -- 前野? 2018-03-08 (木) 06:19:05
  • 大事なポイントは、実数解の場合は$t=0$にするとどちらも全く同じ形になってしまうが、複素数解はそうではないということです。 -- 前野? 2018-03-08 (木) 06:20:21
  • つまり実数解と複素数解を比べると、初期条件の持っている情報が複素数解の方が多い(それがゆえに向きの情報を持たせられる)、ということです。 -- 前野? 2018-03-08 (木) 06:21:28

p28 6行目

jfk? (2018-03-06 (火) 17:01:47)

「しかし光子は1秒で10^20個も出てくるのだから、1秒に10回ぐらいは「光子が2発当たる」ということが起こっていいことになる。」
とあるのですが、何故このように考えることができるのですか?「1秒に10回ぐらいは」の部分がわからないです。
よろしくお願い致します。

  • その直前の「平均で4000秒に1回しか当たらないものが$10^{-6}$秒の間に2回あたる確率は、$10^{-19}$程度である」は御理解いただいているでしょうか?? -- 前野? 2018-03-06 (火) 17:10:35
  • $10^{20}$個の光子が1秒に出て、確率$10^{-19}$で2回あたるのだから、$10^{20}\times 10^{-19}=10$で、10個ぐらい2回当たることになる、という単純な計算です。 -- 前野? 2018-03-06 (火) 17:12:05
  • 前者に関しては、前野先生に丁寧にレスポンスして頂いたおけげで完璧に理解できております! -- jfk? 2018-03-06 (火) 17:55:18
  • 10^20というのは「1秒間」での話ですよね?一方10^(-19)とういうのは「10^(-6)秒間」の話ですよね?時間が異なっているので、掛けて求めることができるという部分に引っかかっております。 -- jfk? 2018-03-06 (火) 17:59:22
  • $10^{20}$個の光子一個一個が、それぞれ電子にあたって(当たらないのもある)$10^{-6}$秒の間に、その電子にもう一個の光子が当たる確率が$10^{-19}$なわけです。つまり「$10^{-6}$秒の間に$10^{-19}$の確率で起こること」が1秒の間に$10^{20}$回繰り返して行われる、ということです。 -- 前野? 2018-03-06 (火) 18:58:50
  • 「10^(−6)秒の間に10^(−19) の確率で起こること」ということはつまり”確率”にフォーカスしているわけですね? -- jfk? 2018-03-07 (水) 11:59:00
  • その確率で起きる現象が、1秒間で10^20回起こると。? -- jfk? 2018-03-07 (水) 12:00:57
  • 一個に対し確率$10^{-19}$で、それが$10^{20}$個。 -- 前野? 2018-03-07 (水) 13:11:08
  • だから掛けて求めることができるのですね!ようやく理解にたどり着きました。ありがとうございました。 -- jfk? 2018-03-08 (木) 18:55:24

p99について

phys? (2018-03-03 (土) 16:09:49)

$Y(x,0)=Ae^(i(kx+\alpha))$をみて、どうして波の進行方向がわかるのですか?
あと「波の進行方向」とは、$t$が増えていったときに波が進む方向で合っていますか?

  • 後ろに$e^{-i\omega t}$が掛かる、ということ(つまり掛算の結果が$e^{i(kx-\omega t)}$のようになること)からわかります。 -- 前野? 2018-03-03 (土) 16:32:41
  • 「波が進む方向」であってますが、厳密に言うなら「同位相の点($kx-\omega t+\alpha$が同じ値になる点)の移動する方向」です。 -- 前野? 2018-03-03 (土) 16:33:23
  • 「掛け算の結果」というのはどういうことですか?$Ae{i{kx-\omega t}}$というのをみれば+x方向に進むのはわかります。 -- phys? 2018-03-03 (土) 16:59:56
  • $e^{ikx}$と$e^{-i\omega t}$を掛けたら$e^{i(kx-\omega t)}$になる、ということですよ。 -- 前野? 2018-03-03 (土) 17:02:01
  • すみません、$Ae^{i(kx-\omega t)}$です。 -- phys? 2018-03-03 (土) 17:03:00
  • $e^{i(kx-\omega t)}$をかけるというのはどこからでてきたのですか? -- phys? 2018-03-03 (土) 17:05:20
  • この章の始まりあたりからずっと、エネルギーが$\hbar\omega$である状態の波動関数は$e^{-i\omega t}$という因子を持つ、という話がされてますが、そこは読んでいないのでしょうか。 -- 前野? 2018-03-03 (土) 17:08:33
  • そもそも、4.3節の始まりは$A\cos(kx-\omega t+\alpha)$と$Ae^{i(kx-\omega t)}$の比較の話です。ですから、$e^{-i\omega t}$は最初から掛かっていて、とりあえず$t=0$にしたから少しの間消えていただけです。 -- 前野? 2018-03-03 (土) 17:11:46
  • $A cos(kx-\omega t+ \alpha)=A cos(k(x-\frac{\omega}{k} t)+\alpha)$でも、$+x$方向に$\frac{\omega}{k}$の速さで進むとわかるのではないんですか? -- phys? 2018-03-03 (土) 21:20:55
  • cosの方の式だと、$t=0$にした式$A\cos(kx+\alpha)$から、元の式を復元する方法がありません。$e^{ikx}$の方は$e^{-i\omega t}$を掛ければ元に戻ることはわかってます。「ある瞬間での値」だけからどっちに進んでいるかわかる、というのが大事なポイントです(ということを長々と説明しているのがこの節なので、じっくり読んでください)。 -- 前野? 2018-03-03 (土) 21:34:27
  • 物分かりが悪くてすみません…ここの箇所何度も読み返しているのですが理解に至っていません。$Ae^{kx-\omega t}$は実部と虚部の実数2成分をもち、$A cos(kx-\omega t)$は実数1成分だけを持っているという点で違い、またシュレディンガー方程式は一階なので$\psi$はxとpの両方を含まないといけないというのは解りますが、実数2成分をもつから進行方向の情報がちゃんと波動関数にはいってくるというところがわかりません。 -- phys? 2018-03-03 (土) 22:00:36
  • $Ae^{i(kx+\omega t)}$は-x方向に進み,$Ae^{i(kx-\omega t)}$ -- phys? 2018-03-03 (土) 22:02:33
  • は+x方向に進むと思うのですが、$Ae^{ikx}$をみただけではどちらかわからなくないですか? -- phys? 2018-03-03 (土) 22:04:15
  • いや、だから時間発展が$e^{-i\omega t}$なのは最初から決まっているんですってば(シュレーディンガー方程式の解なら)。ということも説明してあるので、読んでください。 -- 前野? 2018-03-03 (土) 22:52:05
  • 理解できました、ありがとうございました! -- phys? 2018-03-09 (金) 08:48:28

P363[問い12-6]の解答について

昔の物理学生? (2018-03-02 (金) 22:12:40)

(D.84)において、(-1)^(l+m)とありますが、(-1)^(m-l)ではないかと思います。
如何でしょうか。

  • $\ell$は整数なので、どちらでも同じです。 -- 前野? 2018-03-03 (土) 01:29:15
  • P277の(12.95)から(12.96)のところでm→-mと置き直したのと同様に、l=-lと置き直した、という解釈で宜しいでしょうか? -- 昔の物理学生? 2018-03-03 (土) 09:18:55
  • どうせ一緒なのであまり細かい事は気にしてないです。 -- 前野? 2018-03-03 (土) 09:32:21
  • ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-03-03 (土) 11:03:49

(4.13)について

phys? (2018-03-02 (金) 16:19:32)

(4.13)がどのようにして出てくるのかがわかりません。

  • $\psi=e^{{i\over\hbar}\bar S}$を(4.13)に代入すると(厳密に一致するわけではないけど)、(4.12)になります、ということが説明してありますが、それはわかるでしょうか。 -- 前野? 2018-03-02 (金) 16:27:35
  • Sにi/hをかけてexpの肩にのせるということや、それを(4.13)という形の式に入れるとハミルトンヤコビ方程式を再現するということはどうやって思いつけるのでしょうか。成り立っていることはわかるのですが… -- phys? 2018-03-02 (金) 23:02:35
  • 3.1.2節で説明してあります。 -- 前野? 2018-03-03 (土) 01:16:35
  • 理解できました。ありがとうございました! -- phys? 2018-03-03 (土) 10:21:38

P237の(12.82)について

昔の物理学生? (2018-02-28 (水) 15:24:00)

P237の(12.82)において、全ての式の右辺の先頭にħがつくと思いますが如何でしょうか。

  • ああ、すみません。これは$\hbar$が必要です。 -- 前野? 2018-03-02 (金) 16:28:39
  • お忙しいところ、ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-03-02 (金) 16:59:58

P361[問い12-1]の解答について

昔の物理学生? (2018-02-21 (水) 13:25:54)

P361[問い12-1]の解答の最後の行で
「やはりeθと外積を取ると0。」
とありますが、
「やはりeΦと外積を取ると0。」
ではないかと思いますが、如何でしょうか。

  • すいません、これはコピペミスですね。$\vec{\mathbf e}_\phi$が正解です。 -- 前野? 2018-02-22 (木) 12:45:37
  • ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-02-23 (金) 15:07:56

本当のゼロについて

(2018-02-11 (日) 11:03:23)

色々と間違っている事があるかもしれませんが
思った事書きます(素人です)。
量子力学で位置と運動量やエネルギーと時間
波動と粒子は相補性があると知りました。
結局、自分が思うのは電子雲というより
電子の運動量が早すぎて確率で出す
しかないんじゃないかと思いました。
だから、逆に本当にビッグバンの時からの時間と
電子の回る始まりの位置がわかれば
逆算で電子の位置が特定できて波動の性質を
打ち消せるのかなと…

あと、電子がジャンプしたりと突拍子のない
行動起こすのは時折光速を超えてしまうとか
逆に遅くなるとか、自分の運動の波に重ね合わせ
で光速超えたりしないのかなとか
すいませんこれは自分の妄想です。

独り言みたいですいませんでした。

  • ちなみに後者が成り立ったら前者の電子の位置の特定はむずかしい -- 2018-02-11 (日) 11:07:57
  • ですね(汗) -- 2018-02-11 (日) 11:09:01
  • 「よくわかる量子力学」をちゃんと読めば量子力学はそういう話ではないとわかるはずなので、まずは読んでください。 -- 前野? 2018-02-11 (日) 19:45:51
  • すいません。どうしても量子力学って計算や実験に組み込むものがマクロなら陽子核と電子の運動を気にする必要がないのがミクロになるにつれてそのめちゃくちゃに早い運動を計算に入れていかなければならないから波や確率の考えを入れざるを得ない気がしました。 -- 2018-02-12 (月) 11:11:03
  • 本当に直感なんですけど光の速さで動ける観測装置があれば量子力学の計算もすごく単純な古典力学の式になるんじゃないかとか… -- 2018-02-12 (月) 11:15:38
  • ここは書籍「よくわかる量子力学」のサポート掲示板なので、本を読んでわからないところがあって質問するのでしたらしてください。あなたの直感を披露するための場所ではないです。 -- 前野? 2018-02-12 (月) 12:29:27

[演習問題11-4]の解答(30w)について

昔の物理学生? (2018-01-29 (月) 11:57:14)

[演習問題11-4]の解答(30w)の1行目、2行目、5行目、6行目のΦm,Φnで*が6箇所抜けていると思いますが、如何でしょうか?

  • 返信遅れました、すみません。これは$\phi$が実数なのでなくてもいいのですが、式としてはついていた方がいいですね。 -- 前野? 2018-03-03 (土) 16:39:48
  • ご対応有り難うございました。 -- 昔の物理学生? 2018-03-21 (水) 08:12:22

P246[演習問題11-4]の(11.89)について

昔の物理学生? (2018-01-20 (土) 17:07:37)

P246[演習問題11-4]の(11.89)のHnはHkではないかと思いますが如何でしょうか?

  • 確かにこれは間違ってます。御指摘ありがとうございます。 -- 前野? 2018-01-20 (土) 21:31:56
  • 早々のご対応ありがとうございます。 -- 昔の物理学生? 2018-01-21 (日) 00:15:29


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Last-modified: 2019-01-25 (金) 00:32:11 (210d)