「よくわかる量子力学」サポート掲示板２
直感的に理解出来ていない †
後野? (2019-03-06 (水) 18:59:26)
p262の(12.50)の下の「(当然ながら𝐋はrも∂/∂rも、さらには𝐞ᵣも含まない)」
の「当然ながら」ということが分かりません。
𝐞ᵣ方向を含まないのは𝐋＝𝐫×𝐩であるのでよくわかります。rや∂/∂rを含まないことはどのように直感的に分かるのですか。教えてください。
- 角運動量は$r$とは独立な物理量なので、演算子として$r$および$p_r$と交換しなくてはいけない、と考えると理解できるかと思います。 -- 前野?
- 角運動量はrとは独立な物理量ということがわかりません。𝐋＝𝐫×𝐩なのでrに依存しませんか。また、独立なら演算子が交換するということも分かりません。例えば位置と運動量が独立だからといってxと(－ħ²/2m)・(∂²/∂x²)は交換しませんよね。 -- 後野?
- 「 xと(－ħ²/2m)・(∂²/∂x²)は交換しませんよね」ではなく、「xと－iħ∂/∂xは交換しませんよね」でした。間違えました。 -- 後野?
- 「位置と運動量が独立」というのは古典力学の頭で考えるからそうなるのです。量子力学で言い換えると「$x$と$-i\hbar{\partial \over \partial x}$が独立」ってことになりますが、そんなことにはならないです。 -- 前野?
- 量子力学では、交換する演算子でないと「独立な量」にはなれないです。$\vec L$は$r$と交換します（実際に計算してそうなってます）。確認したければ、たとえば$L_z=xp_y-yp_x$と$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$の交換関係が０であることを計算してみてください。 -- 前野?
- 分かりました。ありがとうございます。 -- 後野?
λは整数に限るか †
後野? (2019-03-01 (金) 22:24:42)
p236のように、1次元調和振動子のエネルギー最低状態の波動関数にa†をかけたもの(エネルギーが(1/2)＋1の関数)も解であることは納得できます。ここで、解はエネルギーが最低の波動関数𝝍₀(x)にa†をn回(n＝0,1,···)かけたものだけが解ということは分かるのでしょうか。
- 理論に登場する演算子は$a,a^\dagger$とその関数になるものしかないのですから、これで作ることができる状態以外の状態はありません。 -- 前野?
- 解決しました。ありがとうございます。ご -- 後野?
接続条件に余分な式がある †
後野? (2019-02-27 (水) 16:39:19)
P213の(10.34)の一つめの式は余分ではないですか。普通の場合は波動関数の微分が境界で定義出来るために(シュレーディンガー方程式が境界でもなりたつために)波動関数が連続であることを要求します。しかし、今の場合は微分が定義できていないことを(10.32)でみとめているので、(10.34)の一つめの式は要らないと考えます。この考えは間違えですか。波動関数が連続という要請はほかの部分から出てくるのでしょうか。
- (10.32)を出すときにすでにx=aでのψがψ(a)という一つの値になることを使ってます。 -- 前野?
- 解決しました。ありがとうございます。 -- 後野?
どのような考えを用いているのか †
後野? (2019-02-27 (水) 14:24:44)
p207の第２段落で「偶関数または奇関数であるため必然的に左行きの波と右行きの波が同じ重みで(同じ振幅で)入っている。」と書かれています。
なぜその考えになるのかがわからないです。解を
𝝍(x)＝∑ⱼ(αⱼexp(ikⱼx)＋βⱼexp(－ikⱼx)
と表すと、偶関数なら𝝍(x)＝𝝍(－x)なので、αⱼ＝βⱼとなりませんか。振幅(絶対値)だけでなく、偏角も一致しませんか。
- 偏角が一致するかどうかについては何も本では述べませんけど。 -- 前野?
- わかりました。偶関数と奇関数についてどちらについても成り立つ、「 左行きの波と右行きの波が同じ重みで(同じ振幅で)入っている。」という表現をしたのですね。 -- 後野?
運動量は観測できないのか †
後野? (2019-02-26 (火) 13:54:05)
波動関数をp̂の固有関数exp(ikⱼx)で展開すると
𝝍(x,t)＝∑ⱼαⱼ𝜑ⱼ(t)exp(ikⱼx)
となり、シュレーディンガー方程式より、
∑ⱼ(iħ∂/∂t)αⱼ𝜑ⱼ(t)exp(ikⱼx)＝∑ⱼ𝐻αⱼ𝜑ⱼ(t)exp(ikⱼx)
です。このとき、
(iħ∂/∂t)αⱼ𝜑ⱼ(t)exp(ikⱼx)＝𝐻αⱼ𝜑ⱼ(t)exp(ikⱼx)
とは限らないので、運動量観測後の関数はシュレーディンガー方程式を満たさず、一般的に波動関数になりません。これは運動量が観測できないことを表すのでしょうか。それとも以上の考えで間違いがあったのでしょうか。
- 間違ってます。運動量観測後の波動関数は、その時刻においてexp(ikx)のような形ですが、ある時刻$t_1$で$e{ikx}$になる波動関数は、シュレーディンガー方程式の解$\phi_i(x,t)$の時刻$t_1$での関数の重ね合わせで$e^{ikx}=\sum_i \alpha_i\phi_i(x,t=t_1)$のように書けます。後はシュレーディンガー方程式に従って時間発展します。シュレーディンガー方程式の解にならないという考え方がおかしいです。 -- 前野?
- ああ、よく分かりました。どんな関数(xとtを変数に持ち、t＝t₁と固定されたもの)も定常状態のシュレーディンガー方程式の解𝜙ⱼ(x)にexp(－iωⱼt₁)をかけたものでで展開できるので、その関数の物理量が観測できるのですね。 -- 後野?
ħとxの係数の積が運動量を表すのではない †
後野? (2019-02-24 (日) 14:09:16)
p204で「エネルギー固有値の大小はkの大小、つまりは運動量の大小で決まる」とあります。これは間違いではありませんか。ħkが運動量を示すのは、波動関数をexp(ikx)に展開した場合であり、(10.14)のkは実際に観測される運動量ħkのkではないと思います。
- 正確に示すなら「井戸の中での運動量に対応するものの大小」でしょうけど、それぐらいは文脈読んでください。 -- 前野?
- 井戸の中では波動関数は単なる$e^{\pm ikx}$なので、これらの部分が「運動量$\pm\hbar k$を持っている」と考えても間違いではありません。 -- 前野?
- p190の下の方の説明で「関数の定義域全体」という話があったので、それを考えると井戸の中だけとかを考えるのはダメなのだと思ったのです。 -- 後野?
- もう少し文脈を読むようにします。 -- 後野?
波動関数のしみだし †
後野? (2019-02-20 (水) 22:11:27)
9.3節のVとEの状態で、x＞0では波動関数がしみだします。このとき、x＞0ではv＝0になってしまうのを防ぐために質量が減少して、そのエネルギーによってv＝0となるのを食い止めたりするのでしょうか。
- どっからそう思ったのか皆目わかりませんし「そのエネルギーによってv=0となるのを食い止める」というのは意味不明（おそらく物理的に間違い）です。そんなことは起きません。 -- 前野?
- 「質量が減少して」なんてことも起こりません。そんなことは本には書いてないはずです。 -- 前野?
- それではE＜Vである領域で粒子の速度はどうなっているのでしょうか。 -- 後野?
- この領域で粒子の速度なんてのはそもそも考えてはいけません。これは古典力学の問題じゃないんですから。 -- 前野?
- さらにいえば、今考えているのは定常状態（エネルギーの固有状態）なんですから、「粒子の速度」という意味での運動はありません。古典力学的な意味の運動はエネルギー固有状態を重ね合わせないと出てこない、って話は１７９ページあたりに書いてあります。 -- 前野?
- だいたい、「粒子の速度はどうなっているか」が疑問だからといって質量を減らすだの、エネルギーによってV=0になるのを食い止めるだのという話になるのは、むちゃくちゃです。 -- 前野?
- 下の方でも、古典力学でのエネルギーの意味がわかってないのではないかと思われる質問がありましたが、そこからなにか誤解があるのではないですか。 -- 前野?
- 「 この領域で粒子の速度なんてのはそもそも考えてはいけません。」というのがよくわからないです。その領域粒子の位置を確定し続ければ速度というのは考えられるのではないですか。 -- 後野?
- 「 古典力学的な意味の運動はエネルギー固有状態を重ね合わせないと出てこない 」古典力学的な運動と〈x〉の時間発展のことだと思います。私が考えているのは期待値ではなく、粒子の位置を時々刻々と追っていった場合E＜Vのときに、壁の向こう側で粒子の位置はどのように変化するのか(速度vはどのように変化するのか)ということです。 -- 後野?
- 「 「粒子の速度はどうなっているか」が疑問だからといって質量を減らすだの、エネルギーによってV=0になるのを食い止めるだのという話になるのは、むちゃくちゃです。 」たしかに、むちゃくちゃなことを言っていたと反省しています。E＝p²/2m＋Vというのは期待値として成り立てば良く、E＜Vの場合に壁の向こう側にいても矛盾はないわけですね。 -- 後野?
- 「その領域粒子の位置を確定し続ければ」←一回確定した時点で、もう今求めた波動関数とは違う波動関数になってます。観測するということは波動関数を収縮させるということ。 -- 前野?
- 「私が考えているのは期待値ではなく、粒子の位置を時々刻々と追っていった場合」←「粒子の位置を時々刻々と追う」ということはもう、せっかく求めた波動関数は壊してしまう、ということです。 -- 前野?
- 「古典力学でのエネルギーの意味がわかってないのではないかと思われる質問がありましたが、そこからなにか誤解があるのではないですか 」古典力学でのエネルギーは(1/2)mv²＋V(x)であり、量子力学では〈ħω〉＝〈(1/2)mv²＋V(x)〉となるようにシュレーディンガー方程式をつくった、という考えです。合ってますか。 --
- 「 せっかく求めた波動関数は壊してしまう」位置とエネルギーが同時に確定できないので、E＜Vとなっているときの粒子の様子は観察できないということですね。 -- 後野?
- さっきのは間違えで、位置とエネルギーの演算子は交換するので、同時に確定し続けることはできそうです。 -- 後野?
- 古典力学がわかってないのでは、と心配になるのは、「そのエネルギーによってv=0となるのを食い止める」のような「食い止める」という作用のようなもの（？）は普通エネルギーの意味するところから外れているからです。シュレーディンガー方程式が出てくる前のお話。 -- 前野?
- 「位置とエネルギーの演算子は交換」←位置とハミルトニアンは交換しません。 -- 前野?
- 勘違いした理由は古典力学では運動エネルギーが0になることはあり得るが、量子力学でそれが起きたらv＝0となって、位置も運動量も定まってしまうからなんとかして運動エネルギーを持つようになるだろうと考え、質量を使って加速すれば解決するだろうと安易に考えたからです。たぶん古典力学がわかってないのでは無いです。 -- 後野?
- 「←位置とハミルトニアンは交換しません。」位置とiħ∂/∂tは交換しませんか？ -- 後野?
- 「ハミルトニアン」と言ってます。ハミルトニアンと$i\hbar{\partial\over\partial t}$は（シュレーディンガー方程式の解に掛けたときの効果は同じですが）、同じではありません。 -- 前野?
- そうですね。ハミルトニアンとiħ∂/∂tは同じではないです。iħ∂/∂tとxは交換するので、粒子の角振動数と位置を同時に測定することは出来ますよね。ħωがVよりも小さい場合に、壁の向こう側に行った粒子の位置の様子はどのような振る舞いをするのか疑問でしたが、ħω＜(1/2)mv²＋V となっても良いことから粒子の質量が減ってしまうことはなさそうだと気づきました。 -- 後野?
- 同時に測定できません。波動関数の収縮のところをちゃんと勉強し直してください。観測により、状態はエネルギーの固有状態や位置演算子の固有状態になります。 -- 前野?
- iħ∂/∂tとxの同時固有状態はないということですか。𝝍(x,t)＝δ(x)exp(iωt)というのは同時固有状態ではないですか。 -- 後野?
- それ、シュレディンガー方程式の解じゃないでしょ。 -- 前野?
- シュレーディンガー方程式の解を𝝍(x,t)＝∑∑δ(x－xₘ)exp(iωₙt)のようにいつでも展開できませんか。 -- 後野?
- 𝝍(x,t)＝∑∑δ(x－xₘ)exp(iωₙt)ではなく、𝝍(x,t)＝∑∑αₘₙδ(x－xₘ)exp(iωₙt)です -- 後野?
- できません。解を重ね合わせたらやっぱり解です。解じゃないものは解の重ね合わせになりません。 -- 前野?
- 解を重ね合わせたものが解ということは正しいと思います。波動関数を直交関数で展開した時、それらが解になってるかどうかはそれとは別だと思います。 -- 後野?
- 展開したら成分が解なのに、展開前はが解じゃないというのは線形微分方程式では有り得ないです。「思います」じゃなくて真面目に考えてください。 -- 前野?
- 計算したら解であるかどうかはわかる物なので、思い込みで判断しないでください。 -- 前野?
- 「展開したら成分が解なのに、展開前は解じゃない」ということは言ったつもりはなかったです。展開前が解で展開後の成分が解である必然性はないということを伝えたかったです。 -- 後野?
- なるほど、解であるものをあえて解ではない関数で展開しようとしていたのですか（それってどういう意味が？）。どっちにしろあなたの示した「展開前の解」𝝍(x,t)＝δ(x)exp(iωt)が解じゃないんだから、意味がないです。 -- 前野?
- 「同時固有状態でありさえすればいいから、シュレーディンガー方程式の解でなくてもよい」という状況でしょうか。物理的には意味はないですね。 -- 前野?
- 𝝍(x,t)＝δ(x)exp(iωt)というのが間違っていました。シュレーディンガー方程式の解の波動関数を 𝝍(x,t)＝∑∑αₘₙδ(x－xₘ)exp(iωₙt)と展開できるので、位置(x)とエネルギー(ħω) を同時に測定できるということを確認したかったです。 -- 後野?
- できません。どう展開できようが、観測によって一方の固有状態になればもう一方のl固有状態ではなくなるという事情は変わりません。 -- 前野?
- 波動関数を同時固有状態の重ね合わせで表せるのに、なぜ同時に観測できないのでしょうか。 -- 後野?
- 波動関数を位置演算子xとエネルギー演算子iħ∂/∂tの同時固有状態の重ね合わせで表せるのに、なぜ位置xとエネルギーħωを同時に観測できないのでしょうか。 - -- 後野?
- その同時固有状態とあなたが主張するものはシュレディンガー方程式の解になってないから、意味ないです。 -- 前野?
- 例えば、p109の(5.16)はexp(inx)というのがシュレーディンガー方程式を満たしていることが必要なのですか。それなら(5.23)は破綻すると思います。 -- 後野?
- 波動関数の性質に次があると思ってましたがちがうのですか。演算子Aの固有関数で波動関数を𝝍(x,t)＝∑αⱼ𝜑ⱼと表すと、│αⱼ│²がAⱼが観測される確率を表し、𝜑ⱼはシュレーディンガー方程式を満たす必要はない。 -- 後野?
- 「𝜑ⱼはシュレーディンガー方程式を満たす必要はない。」というところがおかしい。満たしてなきゃおかしい。波動関数の時間発展は（収縮そのもの以外は）全部シュレーディンガー方程式で決まります。ある時刻$t_1$で観測が行われれば、その時点で波動関数の形が$\psi(x,t_1)$に変わるわけですが、その後の時間発展は当然、シュレーディンガー方程式に沿って起こります（だから、「シュレーディンガー方程式を満たさない」波動関数に出番はない）。 -- 前野?
- あなたが同時固有状態と主張する波動関数$\delta(x-x_0)e^{-i\omega t}$は時間発展まで含めて指定していて、しかもその指定の仕方がシュレーディンガー方程式を満たなさい指定なので、この世界に存在しない波動関数になってます。 -- 前野?
- 波動関数の収縮がよく分かってないです。前野先生の説明から考えた私の解釈は次の通りです。「波動関数をiħ∂/∂tの固有関数で展開すると(次のようにどんな関数も展開できる。iħ∂/∂tがエルミート演算子であるから)𝝍(x,t)＝∑𝜙ⱼ(x)exp(－iωⱼt)であり、エネルギーħωₙぐらいを時刻t₁ぐらいで観測すると波動関数は収縮し、t₁付近でエネルギーがħωₙ付近になるような新しい波動関数𝝍'(x,t)になる。この新しい波動関数も波動関数なのでシュレーディンガー方程式を満たす。収縮後も波動関数なのでシュレーディンガー方程式を満たす」という解釈です。 -- 後野?
- もうすこし波動関数の収縮について勉強してきます。 -- 後野?
- $i\hbar{\partial \over\partial t}$の、ではなく「Hの固有関数$\varphi(x)$」で展開、と考えるべきです（$H$の固有関数なら一定の振動数を持つから、$\varphi(x)e^{-i\omega t}$という時間発展をする。 -- 前野?
- 観測する量が$A$だとすると、ある時刻の波動関数$\psi(x)$を「$A$の固有関数$\phi_A(x)$」で展開する（$\psi(x)=\sum_A \alpha_A \phi_A(x)$）。$A$を観測すると、一つの$\phi_A$が選ばれる。 -- 前野?
- $A$と$H$が交換しないなら、$\phi_A$は$H$の固有関数ではないから、$\phi_A(x)$のその後の時間発展は複雑（知りたければ$H$の固有関数で展開すべき）で、$\phi_A(x)e^{-i\omega t}$のようには書けない。 -- 前野?
- 波動関数をHの固有関数𝜑(x)で展開すると 𝝍(x,t)＝∑ⱼexp(－iωⱼt)𝜑ⱼ(x) であり、どの𝜑(x)の選ばれる確率も等しくなります。例えばここで観測によってエネルギーをħωₙとわかった場合波動関数は新たに 𝝍(x,t)＝exp(－iωₙt)𝜑ₙ(x) となるのでしょうか。観測した状態を初期条件として時間発展していくような話がよくわかりません。 -- 後野?
- 「𝝍(x,t)＝∑ⱼexp(－iωⱼt)𝜑ⱼ(x) であり、どの𝜑(x)の選ばれる確率も等しくなります 」というのは間違いで𝝍(x,t)＝∑ⱼαⱼexp(－iωⱼt)𝜑ⱼ(x) で、𝜑(x)が選ばれる確率はαによって変わるのですね。 -- 後野?
- 本にも書いてあることですが、ハミルトニアンに限らず、物理量$A$を観測すれば結果は演算子$A$の固有状態に「収縮」します。$A$がハミルトニアン$H$でも同じです。 -- 前野?
- 観測するエネルギーに対応する演算子は$i\hbar{\partial \over\partial t}$ではなく、$H$の方です。この二つは同じではありません（シュレーディンガー方程式の解である関数にかかる場合は同じになる）。 -- 前野?
- ハミルトニアンの固有関数$\varphi_i(x)$（$H\varphi_i(x)=\hbar\omega_i\varphi(x)$を満たす）の重ね合わせである$\sum_i \alpha_i\varphi_i(x)e^{-i\omega_i t}$の状態に対してエネルギーを観測すれば、観測されたエネルギーに対応して波動関数はある固有状態$\varphi_i(x)e^{-i\omega_i t}$に変わります。 -- 前野?
- 観測する物理量$A$がハミルトニアンと交換しなかった場合、結果としてある波動関数$\psi(x)$（$\psi(x)$は$A$の固有状態）ができたとします。時間がたてばこの波動関数は変化しますが、それはシュレーディンガー方程式に沿ってです。$\psi(x)=\sum_i \beta_i \varphi_i(x)$と展開できたとすると、この後の時間発展は$\psi(x,t)=\sum_i\beta_i\varphi_i(x)e^{-i\omega_i t}$です。この状態は特定の振動数で変化しません（$H$の固有状態じゃないから）。当然、時間が経過した後ではもう$A$の固有状態ではありません。 -- 前野?
- 観測するエネルギーに対応する演算子がiħ∂/∂tではなくハミルトニアン𝐻なのはなぜですか。 -- 後野?
- 同時固有状態が存在するには演算子が交換することと、シュレーディンガー方程式を満たす事(収縮後、シュレーディンガー方程式に従わなければこの世に存在できない、つまり観測できない)の2つが必要なのですね。 -- 後野?
- 観測後の時間発展の話はよくわかりました。ありがとうございます。 -- 後野?
波動関数の連続性 †
後野? (2019-02-20 (水) 17:06:05)
P183下1行で𝝍や∂𝝍/∂xが繋がっていなかったら、2回微分が発散して困る
というのはどういうことでしょうか。フーリエ変換によって固有関数で展開できなくなり、固有状態を持たないことはありえないことに反するからでしょうか。
- ああ、フーリエ変換は特に関係なさそうでした。 -- 後野?
- そもそも二階微分が発散したらシュレーディンガー方程式の解になりません。 -- 前野?
- 位置の2階微分が発散し、時間の1階微分が発散する場合は解になりますか。 -- 後野?
- 発散するということはその点での値が定義されてないので、解にはなりません。 -- 前野?
- なるほど。よくわかりました。ありがとうございます。 -- 後野?
任意のエネルギーの場合はどうなるのか †
後野? (2019-02-20 (水) 15:18:28)
P177で波動関数は(9.12)の重ね合わせでかけることを示しました。この場合、ħω＝n²π²ħ²/(2mL²) とならないようなħωの粒子を入れたらħωはn²π²ħ²/(2mL²)のどれかに変化するのでしょうか。そのときに光を出したりするのですか。
- 時間発展はシュレーディンガー方程式で決まるので、「任意のωの粒子を入れる」ということは不可能です。ある粒子（というか、ある形の波動関数）を箱に入れれば、後はシュレーディンガー方程式に従って、各波長のモード成分がそれぞれの振動数で時間発展します（ということも本には書いてある）。 -- 前野?
- 任意のωの粒子が箱に入らないというのがよくわからないです。もう少し考えてみます。 -- 後野?
- 「入らない」んじゃないです。ωを決めるのはあなた（実験者）でなくてシュレーディンガー方程式ですから、箱に入れる前に「お前は角振動数ωで振動しろ」と粒子に命令しても粒子はその命令をきいてくれませんし、今ωで振動している粒子を箱に入れたとしても同じ振動数で振動し続けたりしません。 -- 前野?
- よくわかりました。ありがとうございます. -- 後野?
運動量とエネルギー †
後野? (2019-02-19 (火) 16:33:05)
私の認識では、
p≔mv＝(ド・ブロイの関係式より)ħk
E≔(1/2)mv²＋V(x)＝(ド・ブロイの関係より)ħω
です。(実際に我々が観測出来るのは、期待値の形での上2式である)こうでなければシュレーディンガー方程式を導くことができないと考えます。違いますか。違うなら前野先生の運動量とエネルギーの定義を教えてください。
何度も似たような質問をしてすみません。
- ごめんなさい。質問の意味がわからない。シュレーディンガー方程式をどう作るのかは本にも書いたとおりで、$E=i\hbar{\partial\over\partial t},p=-i\hbar{\partial \over\partial x}$という置き換えを行ったうえで、$E\psi=\left({p^2\over 2m}+V\right)\psi$というふうに「物理量」を「$\psi$に係る演算子」へと置き換えて$\psi$の式を作ります。 -- 前野?
- だから、まさに$p=\hbar k,E=\hbar\omega$が出てくるようにして出しているわけです。それなのに「違いますか？」というのはいったいどの点に対して「違いますか？」と尋ねているのでしょう？？ -- 前野?
- 後野さんは、本で説明したシュレーディンガー方程式の作り方（第四章の頭のあたり）のどのあたりが「$p=\hbar k,E=\hbar\omega,E={p^2\over2m}+V$」という式とは違うものになっていると感じているのでしょう？？？ 第四章で説明しているのは、固有値や期待値の形で$E={p^2\over2m}+V$が出てくるように$\psi$という関係式を出しているわけですが。 -- 前野?
- いまだ何を問題にしているのかがわからないです。想像で答えた、「${1\over 2m}\left<p^2\right>$と${1\over2m}\left<p\right>^2$は違うけど、どっちが運動エネルギーですか」という話は、やっぱり私の想像が違ってましたか？？（だとすると相変わらず、質問の意図がわからないので答えようがないのです）。 -- 前野?
- ここでもう一回シュレーディンガー方程式の作り方を説明しようかと思いましたが、本（第四章）に書いてあるんですよねぇ。第四章の記述のどのあたりが引っかかるのでしょうか？（私は本当に、後野さんの疑問がどこにあるのかわからなくて、途方にくれてます）。 -- 前野?
- 第四章の説明では、$\psi$に対する微分演算子の固有値が観測される運動量やエネルギーになる、ということを手がかりにすると書いてありますね。もしかして、これが「固有値」であって「期待値」じゃないのが、引っかかるポイントでしょうか？？ -- 前野?
- 「違いますか。」というのはp≔mv＝(ド・ブロイの関係式より)ħk E≔(1/2)mv²＋V(x)＝(ド・ブロイの関係より)ħωの式についてです。この前の質問は、〈p〉²/2mと〈p²〉/2mのどちらが運動エネルギーですか。という意図で質問した訳ではありませんせでした。シュレーディンガー方程式の作り方については自分の中ではもう納得しています。納得していないのは運動量やエネルギーの定義とそれについての要請です。p≔mv＝(ド・ブロイの関係式より)ħk E≔(1/2)mv²＋V(x)＝(ド・ブロイの関係より)ħωが正しいとすると、p81の(4.2)の下の「実験的にも確認されている」が矛盾します。この式は実験的に確認しようがないです。pについてはmvを正確に決めるためにはxを正確に決めなければならず、そうすると1/λは決まらないはずです。(4.1)も同様です。E≔p²/2m＋V(x)＝h𝛎は実験ではpを決めたらV(x)は決まらないので、E≔p²/2m＋V(x)＝h𝛎を正確に確認することができません。 -- 後野?
- どういう実験でλが測られているかですが、これは波にものさしを当てて測るというような測定をしているわけではありません。だから「ｍｖを正確に決めるためにはｘを測る」という話はあたりません。 -- 前野?
- たとえば電子波の波長を測るのは、９０ページに書いてあるような金属結晶による散乱で、干渉パターンから波長を算出します（電子の存在位置ｘを正確に測るなんてことはしてない）。 -- 前野?
- $E={p^2\over2m}+V$についてはこれをｐを測ってVを測ってというふうに一個一個別々に測るなんてことはしません。$E={p^2\over 2m}+V$をシュレーディンガー方程式に直し、そのシュレーディンガー方程式に対応した波ができてるかどうかを測定します。これも、波そのものを測定したりはしません。たとえば（具体的計算はずっと後ですが）シュレーディンガー方程式を水素原子の場合に適用する（Vにクーロンポテンシャルを入れる）と電子のエネルギーが出ますが、それが原子から出る光のスペクトルからわかる電子エネルギーと一致しているかどうかを見ます。 -- 前野?
- 量子力学と古典力学は別ものです。古典力学ならｐを測って次にｘを測って、ということをやりますが、量子力学ではそれはできない。後野さんはそれを「実験的に確認しようがない」と表現したのでしょうか。だったら、それはそのとおりです。 -- 前野?
- ただ、それは「シュレーディンガー方程式は使えない」という意味ではないです。シュレーディンガー方程式が予言する現象（電子波の回折・干渉とか、水素原子だとか）が起きていることが「実験的確認」であって、「ｐとｘを測ってEを求める」なんてことは量子力学ではそもそもやらない（やってもだめ）な話です。 -- 前野?
- $E={p^2\over 2m}+V$というのは古典力学の式ですから、「これが成り立たないからおかしい」と量子力学に言っても仕方ないです。シュレーディンガー方程式が成り立つかどうかが大事です。 -- 前野?
- たとえば電子波の波長を測るのは、９０ページに書いてあるような金属結晶による散乱で、干渉パターンから波長を算出します というのはわかります。ではそれがmvに等しいことはどうやって確認するのですか。 -- 後野?
- 「シュレーディンガー方程式が予言する現象（電子波の回折・干渉とか、水素原子だとか）が起きていることが「実験的確認」であって」について。p≔mv＝ħk 、E≔(1/2)mv²＋V(x)＝ħωを直接確かめたのではなく、その2式を導入した理論が実験的に正しいことをもって2式を確認したのですか。それなら納得です。 -- 後野?
- 電子線は自分で用意して自分で加速するので、加速電圧で速度を変えられます。確認というよりは、設定する。 -- 前野?
- もう一回言いますが、$E={1\over2}mv^2+V$というのは古典力学の式なんですから、量子力学の話をしているときにそれを確認しようとすること自体が意味ないです。 -- 前野?
- 電子銃の場合は自分で速度を設定するので全ての時刻での位置が分かるようにならないんですか。E＝(1/2)mv²＋V(x)は古典力学の式だが、量子力学のシュレーディンガー方程式の導出に用いる、のは良いのですか。量子力学ではp≔mv＝ħk、E≔ħωですか。 -- 後野?
- 速度がわかるというのも位置がわかるというのも、もちろん不確定性関係による幅を持ってしかわかりません。 -- 前野?
- 何度も何度も同じことを言ってますが、古典力学を手がかりにしてシュレーディンガー方程式を作りました。手がかりにしただけなので、成り立つわけではありません。 -- 前野?
- 量子力学のｐもE（H）も演算子です。固有値に置き換えられる場合は数になりますが、一般には演算子であって、数と＝で結べるものではありません（ということも、本には書いてあります）。 -- 前野?
- 例えば、量子力学の要請としてp≔ħk、E≔p²/2m ＋V(x)＝ħωとするとシュレーディンガー方程式ほとんど論理的に導けます。これでは何か不都合があるのですか。pやEの本質を演算子にしようという意図がよく分かりません。本質は数であるとすればいいと思います。 -- 後野?
- (4.1)と(4.2)は実験で確認したのは〈(1/2)mv²＋V(x)〉＝〈h𝛎〉と〈mv〉＝〈ħk〉ですよね。そこから類推して量子力学の要請として、p≔ħk、E≔p²/2m ＋V(x)＝ħωで良いと思うんですが。 -- 後野?
- まず期待値で式が成り立つのと、等式として成り立つのは全く違います。一般の$\psi$はそもそも、特定の$E$や特定の$p$（もちろん特定の$x$も）持ってません。-- 前野?
- 量子力学的な一つの状態は、$E$も$p$も$x$も複雑な重ね合わせです。固有関数で展開して初めて「一つの$E$を持つ状態（$H$の固有状態）」の和に書き直すことができます。 -- 前野?
- そして、$E$の固有状態は$p$の固有状態とは限りません（自由粒子の場合は両方の固有状態です）。もちろん、$p$と$x$の同時固有状態はありませんし、$x$と$E$でも同様です。ですから、一つの状態に対して$E={p^2\over2m}+V(x)$という式は成り立ちません。しかし、$i\hbar{\partial \over\partial t}\psi=\left(-{\hbar^2\over2m}{\partial^2\over\partial x^2}+V(x)\right)\psi$は成り立つわけです。 -- 前野?
- シュレーディンガー方程式が成り立つのは固有状態に対してだけではなく、任意の状態です。一方、$E={p^2\over2m}+V(x)$は、固有状態ですら成り立ちません。量子力学で要請できるのは、$E={p^2\over2m}+V(x)$が成り立つことではなく、これを演算子に置き換えたものを$\psi$に掛けると成り立つということです。 -- 前野?
- E＝p²/2m ＋V(x)が固有状態ですら成り立たたないということはないでしょう。シュレーディンガー方程式に固有状態𝝍(x,t)＝exp(i(kx-ωt))を入れればちゃんとE＝p²/2m ＋V(x)になります。 -- 後野?
- なりません。その演算子を掛けた結果はもとの関数の定数倍ではないです。 -- 前野?
- 固有状態というのは、（演算子）×（固有状態）＝（固有値という定数）×（固有状態）が成り立つ場合です。$\exp(i(kx-\omega t)$は$i\hbar{\partial\over \partial t}$や$-i\hbar{\partial \over\partial x}$に対しては固有状態ですが、$-{\hbar^2\over2m}{\partial^2\over \partial x^2}+V(x)$に対しては固有状態じゃないです。 -- 前野?
- Hに対して固有状態といったのではなく、iħ∂/∂tについて固有状態といったのです。 -- 後野?
- $i\hbar{\partial\over\partial t}$に対して固有状態で、Hに対して固有状態じゃないってことは、シュレーディンガー方程式の解じゃないってことです。 -- 前野?
- exp(i(kx-ωt))はシュレーディンガー方程式の解だとずっと勘違いしていました。よくわかりました。ありがとうございます。 -- 後野?
運動エネルギーはp²/2mとしてよいか †
後野? (2019-02-17 (日) 14:45:55)
量子力学の要請でp＝ħk。ここでのpというのはm〈v〉＝〈p〉となるような量です。
古典力学では運動エネルギーは(1/2)mv²でしたが、量子力学でp²/2mとしてよいのでしょうか。
- していいです、というかしてます。 -- 前野?
- 古典力学ではE＝(1/2)mv²＝p²/2mである。それはつまり、〈E〉＝(1/2)m〈v²〉＝〈p²〉/2mである。そこからE＝p²/2mとするのは間違いではないでしょうか。 -- 後野?
- 「それはつまり」というのは量子力学的に見て(ミクロに見て)ということです。 -- 後野?
- 質問の意味が全然わかりません。 -- 前野?
- 〈E〉＝(1/2)m〈v²〉＝〈p²〉/2mではなく、〈E〉＝(1/2)m〈v〉²＝〈p〉²/2mでした。(自由粒子の場合) 運動量pというものが、p＝ħkとシュレーディンガー方程式を使うと〈p〉＝m〈v〉ということが分かった(古典力学を再現できることを確認できた)ように、E＝ħωとシュレーディンガー方程式を用いて自由粒子の場合は〈E〉＝(1/2)m〈v〉²＝〈p〉²/2m というのがあとから確認出来る(つまりE＝p²/2mというのは必要無く、余計なものである)のではないでしょうか。 -- 後野?
- 「(自由粒子の場合)」は直前の文を修飾しています。分かりにくくてすみません。 -- 後野?
- まだ質問の意味がさっぱりわからないので想像で答えます。${1\over2m}<p^2>$と${1\over 2m}<p>^2$は違うけど、どっちが運動エネルギーですか、ということですか？？だったらシュレーディンガー方程式に出てくる${p^2\over 2m}$の方の期待値${1\over 2m}<p^2>$の方が古典論での運動エネルギーに近いです。 -- 前野?
- 古典論と量子論は別ものなので、「古典論での運動エネルギーはこれだ」というものは量子力学には存在してません。あくまで「近いもの」です。 -- 前野?
- 質問の意味がうまく伝えられなかったようです。簡潔に言うと、E＝ħωとE＝p²/2m＋V(x)とすると、式が余分なので、E＝p²/2m＋V(x)は前提ではなく、E＝ħωから平均値の形で導き出されるであろう、ということです。そう考えた理由はp＝ħkからp＝mvが平均値として導かれたからです。(p107) -- 後野?
- やっぱりわかりません。「式が余分」って何がですか？？ シュレーディンガー方程式の形にまとめれば、余分な式なんてどこにもありません。 -- 前野?
- また、$E=\hbar\omega$になるのはエネルギー固有状態に対してだけです。「簡潔に言うと」と言われてもわからないものを簡潔に言われたら余計わからないです。 -- 前野?
- うーん、何度も読んでみたけど、「式が余分」もわからないしE＝p²/2m＋V(x)は前提ではなく、E＝ħωから平均値の形で」の部分も意味がわからない。私の本の中でそんなこと書いてますか？？ -- 前野?
- 余分な式という表現は誤りだったかもしれないです。E＝p²/2m＋V(x)というのはエネルギーの定義なのでしょうか。運動量については、私は、p＝ħkを定義とし、m〈v〉＝〈p〉を得ました(p107)。エネルギーの方も同様に、E＝ħωをエネルギーの定義として、〈E〉＝〈p²/2m＋V(x)〉＝〈(1/2)mv²＋V(x)〉が得られるものなのではないか、と思ったのです。 -- 後野?
- 前野先生の本では「式が余分」「E＝p²/2m＋V(x)は前提ではなく、E＝ħωから平均値の形で」という記述はありませんでした。 -- 後野?
- 何が定義で何が導出されたことなのかよくわからなくなったので質問しました。 -- 後野?
- 量子力学では$E={p^2\over 2m}+V$なんて式はなく、シュレーディンガー方程式があるだけです。そして、エネルギーの期待値なら、確かに$\left<{p^2\over 2m}+V\right>$になります。量子力学をやっているのですから、古典力学的な$E={p^2\over 2m}+V$は期待値の意味で成り立つ、と思ってください。 -- 前野?
- ありがとうございます。わかりました。 -- 後野?
標準偏差はなぜ(8.6)で書ける †
後野? (2019-02-17 (日) 01:01:02)
(8.6)の第二辺と第三辺が等号で結ばれる理由がわかりません。〈p〉は(5.23)で表すはずであり、pは表せないと思います。
- (8.6)は$\left<A\right>=\int \psi^* A\psi dx$の$A$に$(p-\left<p\right>)^2$が代入されているだけの式です。 -- 前野?
- もちろん、(8.6)の中の<p>も(5.23)で表せるものです。(5.23)で表したものを(8.6)の中に入れてはいけない理由はありません。 -- 前野?
- (p-〈p〉)²というのは演算子のつもりで書かれたのですか。 -- 後野?
- (p-〈p〉)²というのは演算子のつもりで書かれたのですか。 -- 後野?
- pはもちろん演算子です。＜p＞は演算子でなく、数です。 -- 前野?
- なっとくしました。ありがとうございます -- 後野?
(E.8)はなぜ成り立つ †
後野? (2019-02-17 (日) 00:27:00)
𝝍(p)というのは、(7.43)の𝝍(p)だと思います。これがなぜ(E.8)を満たすのですか。また、位置がなぜiħ∂/∂pであらわせるのですか。
- (7.43)の両辺にハミルトニアンを掛ければ導けます。位置が$i\hbar{\partial\over\partial p}$になるのは、(7.45)〜(7.46)から(7.47)と続くところに説明してありますが、この説明では不足ですか？ -- 前野?
- ttps://d.kuku.lu/04ee73de99 -- 後野?
- (7.43)にハミルトニアンをかけました。この後はどうすれば良いのですか。 -- 後野?
- 7.45から7.47へと続くところで書いてあるのと同様の計算を実行してください。 -- 前野?
- 7.45から7.47は平均値の計算をしています。今の場合は複素共役などがないので、7.47のように上手くいかないと思います。 -- 後野?
- できます。できないと決めつけずに計算してみてください。本質は$e^{{i\over \hbar}px}$の前では$p$は$-i\hbar{\partial\over\partial x}$に等価で、$x$は$i\hbar{\partial\over\partial x}$に等価だということです。 -- 前野?
- よくわかりました。ありがとうございます。 -- 後野?
ゲージ場の行列表示について †
ちゃまろ? (2019-02-16 (土) 14:07:51)
前野さんの本の7章で微分に対する行列表示が描いてありますが、共変微分のようなゲージ場がついている場合、どのような行列表示が正しいのでしょうか？
例えば$A$を素直に対角要素のみに並べる表示が正しいのだとすると、CS actionなどに入る $\partial A$は上手く微分の意味を再現しません。何か統一的なルールがあれば教えていただきたいです。
- 共変微分だろうが、普通の微分と同様に離散化して不都合は生じないと思いますが？？ -- 前野?
- 例えば、$D=\left(\begin{array}{ccc} -1+A& 1 & \cdots \\ 0 & -1+A & 1 \\ 0 & 0 & -1+A \end{array} \right)$のように行列表示した場合 -- ちゃまろ?
- (すみません。先ほどの式の左辺は共変微分です。)上のような行列表示をした場合、$\partial A$は$\partial A = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & \cdots \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} A & 0 & \cdots \\ 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & A \end{array} \right)$と書けることになり、$A$に対する微分の表式と一致しないのではないかという質問でした。 -- ちゃまろ?
- 「書けることになり」の意味がわかりません。そんな式出ないですが。 -- 前野?
- 質問下手ですみません。前野さんの本では縦ベクトル$\psi$に無限×無限の行列$\partial_{x}$を左から作用させて、$\psi$を微分したものの行列表示を書いています。また、前野さんのご意見では共変微分の場合も同じということなので、微分の行列表示に -- ちゃまろ?
- （先ほどのはミスです。）前野さんのご意見では共変微分も同じということなので、微分の行列表示に$A$を対角的に並べた行列を足すということで再現されると思います。つまり、$A$の行列表示は無限×無限の対角成分だけ入った行列になるということだとおもいます。しかし、例えば$\partial A$を評価しようとする際には(微分の行列)$\cdot$(Aの行列)となり、前野さんの本にあるような$\psi$に対する微分の表式は得られないのではないかと思います。 -- ちゃまろ?
- 共変微分を表す行列の中にAがいるからと言って、関数である場の微分を考えるときのAまで行列にする意味が私にはわかりません。AはAでｘの関数であり、$\left(\begin{array}{c}A(x_1)\\ A(x_2)\\ A(x_3)\\ \vdots\end{array}\right)$と考えるべきだと思います。 -- 前野?
- ありがとうございます。何を混乱しているのかと申しますと、det($D^2$)の評価(detはスピノル、座標について)を考えたとき、共変微分を無限×無限の行列だと思って（ゲージ場は対角的に入っている）評価を行うことが多いと思います。しかし、これをdet($D^2$)=det($\partial^2+i\partial A+2iA\partial-A^2$)として評価しているものも見かけられ、この場合の$\partial A$とは何かということになりました。この場合のゲージ場は縦ベクトルなのでしょうか？ -- ちゃまろ?
- 共変微分の二階微分の話をしていたのですね。それなら$\partial A$に対応する部分を行列で書くなら、$\partial A - A\partial $のような交換関係に対応する部分にしないとおかしいです。この部分の極限は$A$の微分に対応する量になります。-- 前野?
- なるほど、ということは縦ベクトルで書かれるような微分ではなく、無限×無限の行列のoff-diagonal成分に微分成分が入ったものになるということでいいのでしょうか？ -- ちゃまろ?
- やってみればいいんじゃないですかね。 -- 前野?
- やってみた結果の結論だったのですが、縦ベクトルの表式にはなりませんでした。関数の微分$\partial A=$無限×無限の行列$\partial A -A \partial$ならどうやっても縦ベクトルにはならないように思えるのですが。 -- ちゃまろ?
- そりゃ、縦ベクトルにはならないのは当然です。この場合の$¥partial A$は演算子ですから。極限をちゃんととれば、$¥partial A$が対角にずらっとならぶ行列になるはずです。 -- 前野?
- 理解しました。おつきあい頂きありがとうございます。もし参考文献などあれば教えて頂けると幸いです。 -- ちゃまろ?
文章の意味が分からない †
後野? (2019-02-13 (水) 23:33:08)
補足の下4行目
何か実験を行った時「何かが起こる時刻」はそれぐらいの幅の間のどこで起こるのか予測不可能になる
というのは次のような意味ですか。
「起こる」のに、h/ΔEの長い時間が必要であるので、「ある瞬間で起こった」とは言えない。
- 「予測不可能」という話をしているので「起こった」という過去の話とは違います。 -- 前野?
- 「実験を行う」と、量子力学でいう「観測」つまり波動関数の収縮を行うことになりますが、h/ΔEに比べて極端に短い時間しか立っていないと、まだ波動関数の状態があまり変化してないので、観測結果は「時間変化する前」と同じになってしまう確率が高くなります。それでは「変化」が観測できない。 -- 前野?
- すみません。p130というのが抜けてました。ご迷惑をおかけしました。 -- 後野?
- 収縮した波動関数はまた収縮前の状態に戻るのですか。また、その時間は摂動項の周期に等しいのですか。 -- 後野?
- 前の状態に戻るわけないです。もちろん、周期に等しいわけでもないです。本にも詳しく書いてありますが、波動関数の収縮はシュレーディンガー方程式による時間発展とは全く別の現象です。 -- 前野?
- 波動関数が収縮すると、収縮した状態を初期状態として、その後シュレーディンガー方程式に従って時間発展していきます（次に収縮が起こるまでは）。 -- 前野?
- よく分かりました。ありがとうございます。 -- 後野?
運動量の定義はなにか †
後野? (2019-02-12 (火) 21:29:12)
ド・ブロイの条件で
p＝ħk
このpはmvのことですか。
p＝mvだと考えていたらp107 (5.12)の主張と矛盾します。p107の主張はm〈v〉＝〈p〉であり、mv＝pとは限らないということです。
ド・ブロイの条件とは
p≔ħk(ħkをpと定義する)
ということだったのでしょうか。お
- ドブロイの式のｐはもちろんｍｖです。測定できる運動量は期待値＜ｐ＞を中心にばらつく（その分散が小さいときは古典論で問題ない）わけで、ドブロイは古典論との対応から式を出しているので、ばらつきが小さくて古典的に考えていいような期待値の式に対応していて、別に矛盾はありません。 -- 前野?
- ド・ブロイの条件を量子力学の立場から正しくいえば〈p〉＝ħkというわけですか。 -- 後野?
- m〈v〉＝〈p〉＝ħkということですか。(5.12)はマクロに見るとmv＝pとなることを確認した式なわけですね。 -- 後野?
- m〈v〉＝〈p〉は古典的に定義した式で、(5.12)でそれを再確認したということですね。 -- 後野?
波動関数の意味は何か †
後野? (2019-02-11 (月) 20:36:07)
P110の「確率は𝝍*𝝍に比例するから、運動量がħnになる確率はFₙ*Fₙに比例する」
の説明わかりません。私が考える波動関数の意味が間違っているから分からないのだと思います。
波動関数𝝍(x,t)の次の性質のみを持つと考えていました。
𝝍(x,t)*𝝍(x,t)は粒子が(x,t)に存在する確率である
この性質だけではなく、次の性質も持ちますか。
粒子のある物理量kを用いて、波動関数を𝝍＝𝝍(k,t)とあらわすと𝝍(kⱼ,t)*𝝍(kⱼ,t)が粒子の物理量kがkⱼになる確率である
- 次のように考えるのが正しいですか。 波動関数の特性は次である。 波動関数を∑αᵢ𝜑ᵢと表した場合、状態𝜑ᵢとなる確率は、∫(αᵢ𝜑ᵢ)*αᵢ𝜑ᵢdx である。その特殊な場合として、𝝍(x,t)*𝝍(x,t)が位置の確率をあらわす。その理由は次の通り。 次のように考えるのが正しいですか。 波動関数の特性は次である。 波動関数を∑αᵢ𝜑ᵢと表した場合、状態𝜑ᵢとなる確率は、∫(αᵢ𝜑ᵢ)*αᵢ𝜑ᵢdx である。その特殊な場合として、𝝍(x,t)*𝝍(x,t)が位置の確率をあらわす。その理由は次の通り。∫(αᵢ𝜑ᵢ)*αᵢ𝜑ᵢdxにおいて 𝜑ᵢをδ(x－xᵢ)とすると状態がδ(x－xᵢ)になる確率は│αᵢ│²δ(x－xᵢ)で、∫(αᵢ𝜑ᵢ)*αᵢ𝜑ᵢdxの被積分がデルタ関数なので、∫(αᵢ𝜑ᵢ)*αᵢ𝜑ᵢdx＝𝝍(xᵢ,t)*𝝍(xᵢ,t)とすることができ、そして、δ(x－xᵢ)＝(1/2π)∫exp(i(kx－ωt))dkと表せるので、δ(x－xᵢ)は運動量が完全に不確定なので、不確定性原理より、位置がxᵢに確定している状態といえること。 -- 後野?
- すみません、文章が重なってしまいました。正しいものをまた送ります -- 後野?
- 次のように考えるのが正しいですか。 波動関数の特性は次である。 波動関数を∑αᵢ𝜑ᵢと表した場合、状態𝜑ᵢとなる確率は、∫(αᵢ𝜑ᵢ)*αᵢ𝜑ᵢdx である。その特殊な場合として、𝝍(x,t)*𝝍(x,t)が位置の確率をあらわす。その理由は次の通り。∫(αᵢ𝜑ᵢ)*αᵢ𝜑ᵢdxにおいて 𝜑ᵢをδ(x－xᵢ)とすると状態がδ(x－xᵢ)になる確率は│αᵢ│²δ(x－xᵢ)で、∫(αᵢ𝜑ᵢ)*αᵢ𝜑ᵢdxの被積分がデルタ関数なので、∫(αᵢ𝜑ᵢ)*αᵢ𝜑ᵢdx＝𝝍(xᵢ,t)*𝝍(xᵢ,t)とすることができ、そして、δ(x－xᵢ)＝(1/2π)∫exp(i(kx－ωt))dkと表せるので、δ(x－xᵢ)は運動量が完全に不確定なので、不確定性原理より、位置がxᵢに確定している状態といえること。 -- 後野?
- δ(x－xᵢ)＝(1/2π)∫exp(i(kx－ωt))dkではなく、δ(x－xᵢ)＝(1/2π)∫exp(i(k(x－xᵢ)－ωt))dkです -- 後野?
- 考え方はそれでよくて、射影仮説というのは、$\psi_1+\psi_2+\cdots$のような重ね合わせの波動関数があって$\psi_n$を区別するような観測を行うと、$\int\psi^*_1\psi_1 dx$に比例する確率で$\psi_1$の状態へと「射影」されるというものです（以下、$\psi_2$なども同様）。波動関数というのはそういう性質を持っているものです。 -- 前野?
- 射影仮説の中身については最初$x$の範囲の話しかしてませんが、運動量やエネルギーなど、一般の「物理量を表現するエルミートな演算子」全部について「観測すると波動関数の自乗積分に比例する確率でその演算子の固有状態に射影される」という一般的な仮説になります（そしてその仮説は実験的に正しい）。 -- 前野?
- 110ページあたりで行っているのは、運動量の期待値に対応する量が$\int \psi^*(-i\hbar{\partial \over\partial x})\psi dx$と出てきた（5.12の辺り）ので、これが$\int\psi^*\psi dx$を確率として「確率×（値）の和」という意味での期待値になっていることを確認した（５．４節でやっていること）という流れです。 -- 前野?
- ただし、$\int\psi^*\psi dx$に$\psi=\alpha\delta(x-x_i)$を代入するという計算は実はうまくいかないです（デルタ関数の自乗は定義できない量なので）。そういう話をするときは、波束のような「有限区間にある程度広がった波」を考える必要があります（かなり面倒）。 -- 前野?
- というわけで$\int \psi^* A \psi dx$が「$A$の期待値」（$A$は一般の物理量を表す演算子）になっていて、それが「$\psi$が$\phi_n$の重ね合わせでできているとすると、$\phi_n$が実現する確率は$\int \phi_n^* \phi_n dx$に比例する」という関係ができている、と考えるといいと思います。 -- 前野?
- そう考えると$\int \psi^* x\psi dx$が$x$の期待値という話と、$\int \psi^* p \psi dx$が$p$の期待値、という話がちゃんと無矛盾に繋がっている、ということがわかります。 -- 前野?
- ありがとうございます。分からないことがあります。Aがエルミート演算子の場合∫𝝍(x,t)*A𝝍(x,t)dxはいつでも〈A〉になるのでしょうか。波動関数をいつでもAの固有関数で展開できればそう言えますが、展開できない場合もあると思います。 -- 後野?
- Aが物理量に対応する演算子でないと期待値をとる意味がないので、期待値になるのは物理量に対応するエルミート演算子であったときのみです。 -- 前野?
- ちゃんと定義されたエルミート演算子であれば「エルミート演算子の固有値が違う状態は直交する」という性質のおかげで任意の波動関数がAの固有関数で展開できます。 -- 前野?
- 物理量に対するエルミート演算子の固有関数は無限に存在するのですか。それなら展開出来るのが納得できます。 -- 後野?
- エネルギーや運動量の場合、下限はあっても上限はありませんから、固有値も無限個、固有関数も無限個あります。 -- 前野?
- わかりました。ありがとうございます。 -- 後野?
量子力学の要請 †
後野? (2019-02-10 (日) 21:04:34)
P110で
運動量がħｎになる確率はFₙ*Fₙに比例する
と書かれてあります。
これは量子力学の要請ですか。
「よく分かる量子力学」p110までで、量子力学の
要請は
①p＝ħkとE＝ħω(ド・ブロイの条件)
②それぞれの粒子に波動関数があり、その粒子の存在確率は波動関数の絶対値の自乗である
③粒子の波動関数は、その粒子のシュレーディンガー方程式の解であり、その解のみがその粒子の波動関数である
だと思います。
これに加え、
④波動関数をexp(ikₙx)で展開し表現した場合の、それぞれの係数Fₙの絶対値の２乗が、運動量がħkₙになる確率である
として良いですか。
- (4.4)で運動量が$-i\hbar\times$微分と置き換えられている時点で、$\hbar k$が運動量だと言うのと、$e^{ikx}$が運動量$\hbar k$の状態だと言うのは同じ事です。 -- 前野?
- それとも、④波動関数を𝝍(x,t)＝∑aⱼ𝜑ⱼのように直交関数𝜑で展開された表現の場合、観測される粒子の状態はある𝜑ᵢであり、そうなる確率は│aᵢ│²である が正しいですか。 -- 後野?
- 運動量に限らず一般の演算子で表される物理量を観測すると、観測後はその演算子の固有状態になる、と言うのは正しいです(射影仮説j。 -- 前野?
説明がもう少し欲しい †
後野? (2019-02-09 (土) 00:57:08)
P99表の下3行目でシュレーディンガー方程式は一階の微分方程式なので、𝝍(x,t)の中にはxとpに対応する量が両方入っていないとあります。この理由が分かりません。教えてください。
- 両方入っていない ではなく、 両方入っていなくてはいけない です。 -- 後野?
- その前の98ページに書いてある内容なんですが、98ページは理解できているでしょうか。 -- 前野?
- 二階微分方程式であるニュートンの運動方程式では$x(t),{dx(t)\over dt}$が初期値、一階微分方程式である正準方程式では$x(t),p(t)$が初期値。シュレーディンガー方程式は一階の微分方程式で、対応としては正準方程式に近い・・という説明が９８ページあたりでされてます。つまり「ある時刻の波動関数を知れば、$x(t),p(t)$の両方（に対応する量）がわかる」ようになっているということです（これも９８ページに書いてある）。 -- 前野?
- P98で内容が理解出来ていないところがあるので質問します。p98の下から2段落目で、量子力学では初期状態𝝍(x,t＝t₀)を与えたら「その波(粒子)はどのような速さでどっち向きに動いているのか」という情報も与えられていることになる。とあります。波動関数によって速さも決めることが出来るのですか。波動関数は粒子の存在確率だけを決めるものでは無いのですか。 -- 後野?
- 波動関数は、ある時刻の波を見ただけで、どっち向きの波なのかを決めることができます（もちろん、波自体が「どっちむき」でもないなら「どっち向きでもない」という情報を持ってます）。 -- 前野?
- そのことは９７ページで例として${\mathrm e}^{\mathrm ikx}$という波があればそれはｘの正の向きに進む波だとわかる、という話でやってます。 -- 前野?
- 波動関数は存在確率だけを決めるものではないです。その話を、９７ページやその前からずっとしてあります。 -- 前野?
- 波(粒子)の速さとしていますが、ω/kが粒子の速さではないですよね。波の位相の速さですよね。 -- 後野?
- それは位相速度です。多くの場合粒子の速度である群速度とは一致しません。向きは一致します。位相速度と群速度が一致しないからといって、波動関数に粒子の運動方向の情報が無いと言うことにはなりません。ー -- 前野?
- シュレーディンガー方程式は一階の微分方程式なので、𝝍(x,t)の中にはxとpに対応する量が両方入っていなくてはいけない、というのは古典力学で2つの運動運動をみくらべた時、(x(t＝0),p(t＝0)) という組が異なってれば良く、量子力学で𝝍(x,0)が異なっているときに違う運動とみなせるので、「𝝍(x,0)⇔(x(t＝0),p(t＝0))」がなりたつには波動関数にxとpに対応する量が必要ということですか。 -- 後野?
- はい。波動関数の中には古典力学でいえば「pの違い」に対応する情報も入ってます。 -- 前野?
- 波動関数に粒子の運動方向と速さが含まれるのは導出出来ることなのですか。それとも要請なのですか。よく分かりません。 -- 後野?
- 「𝝍(x,0)が異なる⇔(x(t＝0),p(t＝0))が異なる」でした。 -- 後野?
- 作り方の時点で運動量の情報が入るようになってます。 -- 前野?
- 運動量は波動関数から論理的にわかるということですか。p99までではその事が出てきてないので、これより後でそれがわかるということですか。 -- 後野?
- そもそもシュレーディンガーの猫方程式を作る時に運動量を微分演算子に置き換えてます。 -- 前野?
- シュレーディンガー方程式の導出の際、運動量を演算子に置き換えているので、波動関数に運動量の情報を含むというのは論理的に飛躍があると思います。シュレーディンガー方程式の導出に対する私の考えが以下です。波動関数exp(i(kx-ωt))が実在するのでexp(i(kx-ωt))は波動方程式を満たす。ゆえにexp(i(kx-ωt))か満たす方程式の中に波動方程式がある。粒子はexp(i(kx-ωt))の重ね合わせなので、波動方程式は重ね合わせが成り立つ。これより波動方程式の候補にシュレーディンガー方程式は相応しく、実際にシュレーディンガー方程式により、上手く波動関数を当てることができるので、シュレーディンガー方程式は波動方程式である。 -- 後野?
- 物資の状態を表現するために波動関数を作ってるんですから、運動量の情報を含まない波動関数なんて意味はありません。 -- 前野?
- いまそこにある、運動量があって、その運動量がプランク定数割る波長で表せる粒子と言う物理的実態があるからこそ、それに合わせて式を作りました。 -- 前野?
- いきなり「波動関数exp(i(kx-ωt))が実在する」なんて人間にわかるわけありません。最初にあるのは「波があって波長が運動量と関係してる。なんだこりゃ？」です。 -- 前野?
- シュレーディンガー方程式の導出に(4.4)を使ったからと言って波動関数に運動量が入っているとはよくわからないと思います。 -- 後野?
- じゃあ、4.4に出てくる運動量は何の持っている運動量でしょう？波動関数が運動量と言う属性を持っているから、微分する事でそれを引き出す事ができる、と言うのが4.4の意味するところです。 -- 前野?
- 「波動関数exp(i(kx-ωt))が実在する」なんて人間にわかるわけありません。ということについて、ある粒子の位置と運動量とエネルギーを何回も観測して、運動量がħk、エネルギーがħω、位置が完全に不確定と言うことになれば、「波動関数exp(i(kx-ωt))が実在する」といえるのではないでしょうか。 -- 後野?
- そもそも、運動量の情報が入っている関数ができる事を期待して波動関数やシュレーディンガー方程式を作った、と言うのが歴史です。 -- 前野?
- 「ある粒子の位置と運動量とエネルギーを何回も観測して、運動量がħk、エネルギーがħω、位置が完全に不確定と言うことになれば、「波動関数exp(i(kx-ωt))が実在する」といえるのではないでしょうか。 」←それはシュレディンガー方程式が出来上がった後の話で、今はどうやってシュレディンガー方程式作ったまで戻って考えて(そうすれば運動量が入って無いわけないでしょ)って話をしてます。 -- 前野?
- 4.4の運動量は波動関数がexp(i(kx-ωt))である粒子の場合限定の運動量です。 -- 後野?
- 「波動関数に粒子の運動方向と速さが含まれるのは導出出来ることなのですか。」と言う質問があったので、「最初からそうなるように作ったんだから」って話をしてるわけです。その前提なしにいきなり関数が出てきて「この中に運動量があるか無いかlを考えているわけではありません。 -- 前野?
- 「4.4の運動量は波動関数がexp(i(kx-ωt))である粒子の場合限定の運動量です。 」←そうです。それを手掛かりにまず方程式を作る、という話をしたでもだいぶしたではないですか。 -- 前野?
- すみません。話が複雑でよく分からなくなってしまいました。私の主張は2つです。まず、シュレーディンガー方程式の導出には論理的な飛躍が含まれるが、実際に波動関数をを正確に算出することができる。2つ目は、シュレーディンガー方程式の導出に(4.4)を使ったからと言って波動関数に運動量の情報が入っているとは断言することは出来ない。ということです。 -- 後野?
- シュレディンガー方程式の導出は色々飛躍というか、うまくいくようにやってみたらうまく行った、の側面はあります。 -- 前野?
- ただ運動量の情報が入っていると言う部分は「そうなるように作った」のであって、入ってるに決まってる、と断言できる部分です。シュレディンガー方程式を作るにあたっての飛躍はあるとしても他んところにある。 -- 前野?
- もう少しよく考えてみます。ありがとうございます。 -- 後野?
ある時刻での𝝍(x,t)がわかればそれ以後の𝝍(x,t)が分かるのは本当か。 †
後野? (2019-02-08 (金) 17:38:17)
P98の(4.27)の上3行目で
シュレーディンガー方程式は一階微分方程式なので、ある時刻での𝝍(x,t)がわかれば、それより後の時刻での𝝍(x,t)もわかる
と記載があります。
シュレーディンガー方程式は一階の微分方程式なのですか。p83(4.9)を見る限り、そうは思えません。
また2変数の場合一階の微分方程式だったら本当にある時刻での𝝍(x,t)が分かればそれ以後も分かるのでしょうか。例えば
(∂/∂x)𝝍(x,t)＝xtだった場合、解は𝝍(x,t)＝½x²t＋f(t)
でfは任意のtの関数になると思います。
- この「一階」というのは「時間微分」が一階ということです。 -- 前野?
- 気にしておられる例はｘに関して一階ですから、時間に関して一階な${\partial\over\partial t}\psi(x,t)=xt$の場合で考えます。 -- 前野?
- これの解は$\psi(x,t)={1\over 2}xt^2 +f(x)$です。しかしある時刻での関数の値、たとえば$\psi(x,0)$がわかっているなら、$f(x)$はそれで決まってしまいます。 -- 前野?
- ｔに関して一階微分で、$t=0$（０でなくても定数ならいい）にしたときの$\psi(x,t)$（つまり$\psi(x,0)$）が決まれば、関数は一つに決まります。 -- 前野?
- よく分かりました。ありがとうございます。 -- 後野?
│x,p〉の意味が分からない †
後野? (2019-01-26 (土) 23:17:44)
P155の2段落目の下から3行目で│x,p〉がでてきているがこの意味がわかりません。いままで│𝜑〉などというように1文字しか入っていませんでしたが、2文字入ると何を表すのですか。
- 多変数関数と同じで、二つの変数の値を決めると一つ決まる状態です。ただし、この|x,p>は本に書いてある通り存在しません。 -- 前野?
- xとpの2変数関数なら∂/∂xと∂/∂pの順番を入れ替えても結果が同じになるのに、∂/∂xと∂/∂pの順番を入れ替えると結果がiħズレるので、f(x,p)という関数は存在しないということですか。 -- 後野?
- そんな事は書いてない。 -- 前野?
- 本に書いてある通りなので、書いてもいない、x微分とp微分が交換しないなんて情報えお読み取らないでください。 -- 前野?
- 間違えました。∂/∂xと∂/∂pではなくx^とp^でした -- 後野?
- なぜ[x,p]＝iħであると、xとpの2変数関数はできないのですか。 -- 後野?
- ちゃんと本に書いてあると思うんですが、どこがわからないのでしょう？ -- 前野?
- 正確にはできないのは「２変数関数」というよりは「ｘとｐの同時固有状態」ですね。できたとしたら矛盾が起こります。 -- 前野?
- x^p^とp^x^を│x,pに〉作用させた時同じ値になるが、[x,p]＝iħより同じ値にならないので、│x,p〉は存在しないということですね。よく分かりました。ありがとうございます。 -- 後野?
P108 𝝍(x,t)＝𝜙(x)exp(－iEt/h) †
後野? (2019-01-25 (金) 15:04:58)
波動関数が、𝝍(x,t)＝𝜙(x)exp(－iEt/h)という形に変数分離できたと仮定する
とありますが、シュレーディンガー方程式をp82で導く際に𝝍(x,t)＝exp(2πi(x/λ－𝛎t)としているので、𝝍(x,t)は常に変数分離出来るのではないでしょうか。
- 式を作る最初の手がかりとして変数分離できる形を利用しただけで、できあがったシュレーディンガー方程式の解が変数分離できるものに限られるわけではありません。 -- 前野?
- (4.4)と(4.5)はexp(i(kx－ωt))の定数倍でしか使えないので、シュレーディンガー方程式は、波動関数がexp(i(kx－ωt))の定数倍の時にしか当てはまらないと思います。そうではないのですか。 -- 後野?
- だから、(4.4)や(4.5)はシュレーディンガー方程式を作るために「平面波解ならこうなる」という対応関係を見ただけで、それはシュレーディンガー方程式の解は平面波解しかないと言っているのではないです。 -- 前野?
- そもそも、シュレーディンガー方程式の導出をよく理解出来てませんでした。シュレーディンガー方程式の導出について疑問があります。以下は私の考えです。正しいか教えてください。 単色波は存在する。単色波を重ね合わせた波(椅子や机)も存在する。つまり、波の方程式(これを満たさない波は存在できない)を単色波を足し合わせ後も満たす。しかし、単色波が満たしている方程式が波の方程式とは限らない。それゆえ、シュレーディンガー方程式が波の方程式とは限らない。 -- 後野?
- すみません。解決しました。 -- 後野?
シュレーディンガー方程式 †
後野? (2019-01-24 (木) 19:13:15)
P83のシュレーディンガー方程式でE＝(1/2m)p²＋V(x)を用いています。なぜ、運動エネルギーを用いず、全エネルギーを用いるのかがわかりません。V(x)を含めると、あたかも粒子がV(x)のエネルギーを本当に蓄えているように思えます。本質的に粒子はエネルギーV(x)を蓄えていると言うことなのでしょうか。
- すいません、質問の意味がわかりません。運動エネルギーしか入れなかったら、自由粒子しか扱えません（$V(x)$があるという物理的状況を無視した話しかできません）から、位置エネルギーが式に入ってくるのは当然のことです。「エネルギーを本当に蓄えている」という意味もわかりません。「蓄える」ってどういう意味ですか？？ -- 前野?
- この位置エネルギーの項があることによってどのように「運動」が（例えば、重力場中で放物線を描いて落ちるなどの状況が）記述されるかという話はここに至るまでに説明してます（たとえば４７ページの古典力学と量子力学の関係のところとか、７１ページの図とか）。そこは理解できているでしょうか？？ -- 前野?
- 質問の意味がわかりにくく、すみません。運動エネルギーが角振動数(ħω)に影響するのは分かるのですが、位置エネルギーが角振動数に影響を与えるのが全くイメージできません。位置エネルギーが異なる粒子q₁とq₂の運動エネルギーが等しい場合、その粒子を区別できないと思います。つまり、角振動数に位置エネルギーは角振動数に影響しないと思うのです。古典力学では物体が位置エネルギーV(x)をもつと表現しますが、それはエネルギーをもっているのではなく、将来受け取ることができる運動エネルギーがV(x)なのであり、現在V(x)を持っていないはずです。現在に関係ないV(x)がなぜ、現在の角振動数に影響を及ぼすのかよく分からないのです。 -- 後野?
- 「蓄える」について。もし、「V(x)は将来受け取るであろう(受け取る余地のある)エネルギーのこと」ではなく、本質的に粒子に内在しているのとする。これを私は蓄えていると表現したかったのです。 -- 後野?
- かなり何か勘違いをしておられる感じなんですが、「振動数」という言葉から「振動＝運動エネルギー」というイメージなんでしょうか。それは完全に間違いで、量子力学なのだから古典力学的な「動いているから運動エネルギー」みたいな考え方は捨ててください。波動関数の振動と、古典的な運動は別ものです。 -- 前野?
- 位置エネルギーが振動数に関係するのは、波動関数というものをどう作ってきたか、ということがわかっていれば当然のことです。そこを誤解したままここまで読んでしまわれたようなので、もっとまえ（４７ページとか）に戻って理解し直しましょう -- 前野?
- 古典力学に関しても怪しいです。位置エネルギーは古典力学でも「粒子（あるいは系）」に内在しているものです。古典力学で出てくるV(x)だって「将来受け取るであろうエネルギーのこと」などという解釈はありません（古典力学でも、です）。 -- 前野?
- そもそもE＝ħωのEは光子が電子に与えるエネルギーのことであり、物体の全エネルギーであると要請されてないと思います。 -- 後野?
- 古典力学でも内在しているものというのであれば、運動エネルギー同じで位置エネルギーが異なる二つの粒子を詳しく見てみると、違いを発見できるというのでしょうか。違いがなければ内在していると言えないと思います。 -- 後野?
- もし一様重力場があったとすると、上下に遠く離れた運動エネルギーの等しい二つの粒子は角振動数が異なるのでしょうか。異なるのであれば普遍性がないような気がします。 -- 後野?
- 「そもそもE＝ħωのEは光子が電子に与えるエネルギーのことであり、物体の全エネルギーであると要請されてないと思います。 」←これが全然間違ってます。古典力学でも量子力学でも、エネルギーは「状態量」で、ある瞬間の「系の状態」に対して一つ定義されている量です（量子力学では、複数のエネルギー固有状態の重ね合わせを許す分だけ古典力学より確定的でなくなりますが、エネルギー固有状態に対して一つエネルギーが決まるのは同じです）。「これから受け取るであろうエネルギー」などという、将来を見越さなくては定義できない量ではありません。 -- 前野?
- 運動エネルギーが同じでも位置エネルギーが異なるということは「存在している場所が違う（高い低いとか、荷電粒子で電荷の近くか遠くかとか）ということなのだから、「違いは発見」できて当然ではないですか。古典力学のmghというエネルギーは、hという「状態を表す変数」から計算できます（バネのエネルギーやら万有引力のエネルギーでも一緒）。 -- 前野?
- 「もし一様重力場があったとすると、上下に遠く離れた運動エネルギーの等しい二つの粒子は角振動数が異なる」←そのとおりです。そして、その逆に、振動数が同じなら（あるいは全エネルギーが同じなら）、高いところの方が位置エネルギーが増え運動エネルギーが減り、結果として波長が長くなります。振動数が同じなら波長の違いが出るゆえに、物体が落ちるという現象がおきます（このあたりも本では前に説明してあります）。 -- 前野?
- 「異なるのであれば普遍性がない」という意味が私にはわかりません。シュレーディンガー方程式という普遍性がある方程式の答えとして「運動エネルギーが同じで位置エネルギーが違えば振動数が違う」という普遍的な結果が出ています。そしてそのシュレーディンガー方程式の計算結果は実験に合います。いったいどんな「普遍性がない」というのでしょうか？？？ -- 前野?
- 普遍性が無いというのは表現が正しくないかも知れません。たぶん対称性と言った方が近かったです。違いが分かってしまうと、一様重力場のどこらへんにいるのか分かってしまいます。たとえば無限に続く廊下で自分の位置がどの辺だとか、分かっていいのでしょうか。 -- 後野?
- 高さｈがわかればｍｇｈがわかりますが、それは「わかっていいのですか？」と言われたら「いいに決まっています」としか言いようがないです。高さｈを測る方法がないときには、エネルギーもわかりません。もしかして、「エネルギー＝振動数」だから、「エネルギーの絶対値がわかる」とか思ってますか。だったらそれも誤解です。古典力学でも量子力学でも、エネルギーには定数を足すだけの不定性は常にありますから、絶対値はわからず、相対的な値しかわかりません。 -- 前野?
- エネルギーの原点ずらしが量子力学でも意味がないということは、問い5-1でも書いてます。 -- 前野?
- よく分かりました。ありがとうございます。誤解したまま勉強するところでした。 -- 後野?
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