p319の式変形について

AME? (2012-12-22 (土) 11:09:42)

こんにちは。勉強していてわからないことがでてきたので、質問させてください。
p319の式変形で、
(∇×B)×C=B(∇・C)-∇(B・C)
という公式を使っているように見えるのですが、これは正しいのでしょうか?成分計算をしてみると、成り立ってないように思えます。
∇(B・C)=B・∇C+C・∇B+B×(∇×C)+C×(∇×B)
より、いま、∇×C=∇×(∇ξ)=0とすると、
(∇×B)×C=B・∇C+C・∇B-∇(B・C)
となるように思えます。よろしくお願いします。

  • ∇が、BもCも微分するとして計算していませんか??この場合の∇はBだけしか微分しません(もともとそういう式から出発しているので)。ですからB・∇Cのような式は出てこないのです。 -- 前野? 2012-12-22 (土) 11:50:49
  • ええと、∇(B・C)の∇はBもCも微分すると考えて良いのですか? -- AME? 2012-12-22 (土) 15:58:20
  • ええと、∇(B・C)の∇はBもCも微分すると考えて良いのですか?それと、B(∇・C)という式はおかしくないでしょうか。(C・∇)B、かつ∇(B・C)の∇はBのみ微分すると考えると合う気がするのですが……。 -- AME? 2012-12-22 (土) 16:00:11
  • Bしか微分しちゃダメです。元々の(∇×B)×Cで∇がBしか微分してないのに、右辺にきてCを微分するはずがありません。B(∇・C)も、∇は前にあるBを微分します。ここでは最初に微分する相手を決めているので、どういう順番に並んでいるかということと何を微分するかは関係ありません(そういう書き方をしました、と文章中にも書いてあるはず)。 -- 前野? 2012-12-22 (土) 18:54:19
  • どうしても微分の順番を守りたいなら、ベクトル記号を使って書くのは諦めるしかないですが、式が長くなるか、テンソル記法を使って書くか、どっちかが必要になります。 -- 前野? 2012-12-22 (土) 18:55:03
  • 文章の意味をよく理解できていなかったようです。やはり順番に関して固定観念があるようですので、もう一度考えなおしてみます。ありがとうございました。 -- AME? 2012-12-22 (土) 19:39:08
  • v -- 2014-03-10 (月) 20:49:34

ベクトルポテンシャルについて

Gon? (2012-12-10 (月) 15:25:24)

先生の「よくわかる電磁気学」には大変お世話になっております。
ベクトルポテンシャルについて教えてください。
228ページの(9.21)式で、電流が持つ位置エネルギーとして
 U=-j.A (ベクトル記号が書けなくて申し訳ありません。)
となっています。そうすると、この電流には
 F=-gradU=grad(j.A)
の力が働くと思います。これは、181ページの(6.2)式の
 F=IxB=Ix rot A
と、同じ力にならなければならないと思います。(もちろんIとjの間の変換をして。)
私が計算をした限りでは、なかなか同じであると示すことができませんでした。
方法をご教授頂ければ幸いです。
また。無限長のソレノイドコイルの外側ではB=0ですから、電流に働く力は0で、この力を無限遠から積分して得られる位置のエネルギーも0となります。一方、アハラノフボーム効果からも明らかなように、ここではベクトルポテンシャルAは0ではありません。
従って、j.Aの値も0ではない有限な値になってしまうように思います。これはどのように考えたら良いのでしょうか。

  • これはなかなか面白い問題です。 これは単純なgradでは計算できないのです。電荷の場合確かに$\vec F= -q{\rm grad }V$で力が計算できますが、それはgradという微分演算子がまさに「電荷の位置を変える」演算になっているからです。つまりx成分の式を書いて、$F_x = -q{\partial V(x,y,z)\over \partial x}$としたとすると、これは $$-q\lim_{\Delta x\to0}{V(x+\Delta x,y,z)-V(x,y,z)\over \Delta x}$$ で、それは電荷が$(x+\Delta x,y,z)$にいるときのエネルギーと、$(x,y,z)$にいるときのエネルギーの差を計算してますね。

ところが、たとえば電流がz方向に流れているとして、 $$ \lim_{\Delta x\to0}{j_z(x+\Delta x,y,z)A_z(x+\Delta x,y,z)-j_z(x,y,z)A_z(x,y,z)\over \Delta x} $$ を計算しても、それは電流が$\Delta x$だけ位置を変えた時のエネルギーの差になっていません。図で示すと、

#ref(): File not found: "EnergyjA.png" at page "よくわかる電磁気学サポート掲示板"

です。電流の一箇所だけを動かしても動かした後は「正しい電流」になってないので「このときどういう力が働くか」を示す物理的に意味のある量にならないのです。

ではどうすればよいかというと、

#ref(): File not found: "EnergyjA2.png" at page "よくわかる電磁気学サポート掲示板"

のように、ちゃんとつながった電流でエネルギー差を計算します。図をみてもらうと、この計算はちょうど$I\times{\rm rot}\vec A$を計算しているので、ローレンツ力がちゃんと出ます。-- 前野?

  • もう1つのアハロノフボームですが、これは「たとえAがあっても${\rm rot}\vec A=0$つまりB=0ならその中でどんなふうに電流が動いてもエネルギーが変わらない、ということで理解できるのではないかと思います。電流が動いた時のエネルギーの増減は上のような状況では(rot A=0なら)必ず0になるわけです。 -- 前野? 2012-12-10 (月) 17:01:19
  • 図が間違っていたので貼り直しました。 -- 前野? 2012-12-10 (月) 21:09:36
  • 素早いご返事に深謝いたします。電流が連続しなければならないとの図でのご説明に関心しました。AB効果についてはまだ納得できていない点がありますが、よく考えてみます。 -- Gon? 2012-12-11 (火) 10:49:04

p39,z=rのときの電場について

AME? (2012-11-03 (土) 07:00:31)

はじめまして。他の教科書と比べ、よくわかる電磁気学は図での説明が非常にわかりやすく助かっています。
さて、質問させていただきたいことがあります。p39でz=rのときの電場がσ/(2εo)となっていますが、この理由がわかりません。
疑問は以下の通りです。
・そもそもθ=0,z=rではRは0になるから、発散する式を積分しているのではないか?
・ガウスの法則からすると、0かσ/εoとなるのではないか?
・球の表面に分布しているのであるから、ちょうど球殻上で閉曲面をとると内部に電荷がなく、電場は0になるのではないか?(これに関しては私の分布に関するイメージが間違っているのではないかと思っています。)
・仮にσ/(2εo)となるなら、なぜそうなるのだろうか。コンデンサーのエネルギーに1/2がつくのと同じ論法で説明されるのか?
・そもそもz=rというのは、球殻内部なのだろうか?表面なのだろうか?またはそのどちらでもないのだろうか?
・仮に金属等の導体球殻なら、z=rは0になるのか?
・以上のように考えてみても、z=rの電場を正確に実験で検証することができるのだろうか?

以上です。疑問ばかりですが、よろしくお願いします。

  • まず後ろから答えておくと、実験的には測定できません。z=rというのは「一点」ですから。そういう意味ではここの議論は単なる数学的興味で、現実的意味はありません。 -- 前野? 2012-11-03 (土) 11:54:28
  • 数学的には、r>zでσ/ε_0、r<zで0ですから、ちょうどr=zではその中間、ということになります。物理的な現象でこういう不連続な面がある時はたいてい、「まさに境界」ではその中間の値を取ることがよくありますが、これもひとつの例になってます。だからz=rは内部でも外部でもない場所を考えていることになります。 -- 前野? 2012-11-03 (土) 11:57:16
  • 球殻の面を閉曲面にしてガウスの法則を使ったら、ということですが、今の場合電荷密度(体積あたり)がρ(r)=σδ(r-R)のようにδ関数で表現されてます。δ関数を積分するとき、積分領域内にδ関数の発散点があれば答は1(なければ0)ですが、ちょうど積分の端っこでδ関数が発散したら答は何?という問題があります。実はこれも(多くの場合)1/2という答にします。こうするとガウスの法則どおりです。 -- 前野? 2012-11-03 (土) 12:02:03
  • 最後に一番最初の疑問「発散する積分では?」ということですが、積分する前の式でr=zにしてみると、$R^2=2r^2-2r^2\cos\theta=2r^2(1-\cos\theta)$となり、分母にこれの(3/2)乗があります。分子に$r-r\cos\theta$があるので、分母に$\sqrt{1-\cos\theta}$が残ることになります。これは確かにθ=0で0になってやばそうなんですが、分子にはもうひとつsinθがあって、θ=0の極限であぶなくない関数になっていますから、この積分はちゃんと収束します。 -- 前野? 2012-11-03 (土) 12:08:41
  • ありがとうございます。境界面とδ関数については心に留めておいて、類似の問題が出てくの楽しみにしたいと思います。 -- AME? 2012-11-03 (土) 12:47:48
  • 積分に関しては一応自分でチェックはしたつもりなんですが、少々勘違いをしていました。。 -- 2012-11-03 (土) 12:48:49
  • 何度も送信してしまって申し訳ありません。電磁気学をもう少し勉強した後、解析力学を勉強して、量子論でもお世話になる予定でいます。その時もよろしくお願いします!ありがとうございました。 -- AME? 2012-11-03 (土) 12:53:59

問い3-3について質問です。

ゼロカロリー? (2012-08-13 (月) 13:19:29)

P309の微小面積を求める式(B.6)について、色々と計算を試してみたのですが、結局右辺に辿りつけませんでした。途中どのようなテクニックが隠されているのでしょうか。御教授お願いします。

  • 計算すべき量は$\tan^2\theta$を微分している、と思ってもいいですし、$\tan(\theta+\mathrm d\theta)=\tan\theta + {\mathrm d \tan\theta \over\mathrm d \theta }\mathrm d\theta$として、${\mathrm d \tan\theta \over\mathrm d \theta }={1\over \cos^2\theta}$を代入して後は整理していけばよいと思います。隠しているテクニックなんて何もないのですよ。 -- 前野? 2012-08-13 (月) 15:54:06
  • 念の為ですが、もちろん$(\mathrm d\theta)^2$などは高次の微小量なので消去します。 -- 前野? 2012-08-13 (月) 15:56:31
  • 無事に右辺へ辿りつくことが出来ました。ありがとう御座いました。 -- ゼロカロリー? 2012-08-13 (月) 17:48:59

p304.式(A.13)について

かず? (2012-08-03 (金) 05:10:22)

右辺の(rotW)・Wの部分は(rotW)・Vではないでしょうか。
既出ならすみません。

  • ほんとだそのとおりです。すみません。 -- 前野? 2012-08-03 (金) 22:25:12

演習問題9-3について

ゆうき? (2012-07-22 (日) 23:04:39)

(1)の解答で,$B_{\bot} = \frac{r}{2} \Delta B$でなく$B_{\bot} = \frac{r \Delta B}{2 \Delta z} $ではないでしょうか。

  • ああ、もちろんそうですね。これも今夜直しておきます。 -- 前野? 2012-07-23 (月) 13:22:55

ベクトルポテンシャル

機械学部? (2012-07-22 (日) 20:51:16)

先生のテキストでは、試験電流Jベクトル、ベクトルポテンシャル自身の
生みの親である電流J’ベクトルを導入して、磁場のエネルギー密度
は以下のベクトルの内積により、
 -1/2(Jベクトル)x(J’ベクトルによって生まれたベクトルポテンシャル)
とされています。符号はマイナスです。
これが試験電流自身Jが、ベクトルポテンシャル自身の
生みの親の電流J’と異なる電流であるからだと理解しています。
つまりJベクトルとJ’ベクトルが同方向を向く電流であれば、
近づくことを表現しています。
以上を理解しているつもりです。


ここからベクトルポテンシャルの
生みの親自身あるJ’を用いて、磁場のエネルギー密度は
1/2(J'ベクトル)x(J’によって生まれたベクトルポテンシャル)
となることをどのように論理的に繋げたらよろしいのでしょうか。
ここで符号は、試験電流Jのときと異なり、+になっています。
このベクトルポテンシャルの生みの親の電流J’はアンペールの法則rotH=J'の式を満たすと考えていますが、
いかがでしょうか。

どのように同じ磁場のエネルギー密度の式に対して論理的に考えれば
よろしいのでしょうか。

このような質問の機会をいただきまして、
サポート掲示板に感謝いたします。

  • ちょっとややこしいのですが、まずjとAが役割分担されている時なら、エネルギーは-jAでよいです(1/2はいらない)役割分担してない時は、「役割を交代した奴」を2回計算してしまうので、1/2が必要です。 -- 前野? 2012-07-23 (月) 13:11:10
  • 後の問題については、今夜。 -- 前野? 2012-07-23 (月) 13:21:43
  • すいません、質問を読み違えていて違う話を書いてしまったのでいったん消しました。まず磁場のエネルギー密度が${1\over2\mu_0}|\vec B|^2$だというところから出発しましょう。$\vec B={\rm rot}\vec A$と部分積分、およびクーロンゲージ${\rm div}\vec A=0$を使うと、この式は$-{1\over2}\vec A\cdot\triangle \vec A$と変形できます。$\triangle\vec A=-\mu_0\vec j$を使うと、磁場のエネルギーは${1\over2}\vec j\cdot\vec A$と書けます。 -- 前野? 2012-07-24 (火) 23:01:24
  • ではエネルギーは$+{1\over2}\vec A\cdot\vec j$ということになるわけですが、これは$\vec A$と$\vec j$が同じ方向を向いていれば$\vec A$が大きいほどエネルギーが高い、となっていて「同行電流同士が近づく」という話と逆に思えます。 -- 前野? 2012-07-24 (火) 23:25:25
  • しかし、「電流同士が近づく」という話をしている時は、実はその電流には電池(かなにか)がつながっていて、電流を一定に保とうとうする作用(外力のようなもの)が働いている場合です。この場合、その外力のなす仕事を勘定にいれる必要があります。 -- 前野? 2012-07-24 (火) 23:27:21
  • 電池のような外力なしに「電流同士が近づいた」場合、電流は減ります。$+{1\over2}\vec j\cdot\vec A$という式を見て電流が近づくとエネルギーが増えそうに見えますが、実は$\vec j$が減ることでやはりエネルギーは減るようになっているわけです。では$\vec j$が減らない、という条件のもとでのエネルギーを考えてあげれば、「電流同士に働く力は?」という問題を考えるのに都合がいい、ということになります。 -- 前野? 2012-07-24 (火) 23:36:52
  • この「$\vec j$を変えなようにしてくれる電池などの外力発生源」のエネルギーが$-\vec j\cdot\vec A$で表されるので、この部分のエネルギーまで含めて考えるならば全エネルギーを$-{1\over2}\vec j\cdot\vec A$にしなくてはいけない、ということになります。 -- 前野? 2012-07-24 (火) 23:40:33
  • ではなぜこれを$-\vec j\cdot\vec A$にするとよいのか、というのに直感的なうまい説明が思いつかないので、もう少しそこを考えさせてください。「熱力学で内部エネルギーUからPが一定という条件で使いやすいエネルギーを求める時にU+PV=H(エンタルピー)を使えばよい」という話に似ていると言えば似ています(というと余計混乱してしまうかもしれませんが)。 -- 前野? 2012-07-24 (火) 23:42:28
  • お忙しい中、質問に答えていただきましてありがとうございます。先生の直観的な説明が思いつきましたら、またご指導ご鞭撻のほどよろしくお願いいたします。さて、少し上の方で電池がいきなり出現していますが、電池を加味した場合のつながりが理解できませんでした。電池が加味された-J・Aなどの理解が難しく分かりませんでした。 -- 機械学部? 2012-07-25 (水) 11:51:59

演習問題3-2について

ゆうき? (2012-07-14 (土) 23:01:37)

「電荷分布を求めよ」の解答がサポートページに載ってません…。どれもxy面内の分布がz方向に一様になるはずで,(a)が2kε_0,(b)が0,(d)が4kxε_0 のような感じになりそうですが,(b),(d)ではこれ以外にも電荷がないといけませんよね…。無限遠に無限大の電荷があったり,デルタ関数のようなもので表すことが必要な線電荷(面電荷)があったりするのでしょうか?

  • すみません,円筒座標に変換して,(a)はθ成分がないので解けたのですが(z軸を中心とする無限に長い円柱に一様に電荷が分布),(b),(d)はrとθをどうやって分離したらよいのか分からなくなってしまいました。一成分しかなくなるような,うまい曲線座標があるような気もしますが,どうやって見つけたらよいでしょう。等電位面に沿った軸と,等電位面に垂直な軸を採用すれば良いような気もしますが…。 -- ゆうき? 2012-07-15 (日) 08:08:29
  • たとえば(b)はdiv Eがどこでも0なのですから、電荷分布はどこまでいっても0、というのが正解です。ではどこから電気力線が来たかといえば、「無限遠から来て無限遠に去った」ということになります。 -- 前野? 2012-07-15 (日) 14:46:14
  • 「無限遠から来て無限遠に去る電気力線なんて変だ」と思うかもしれませんが、物理法則である${\rm div}\vec E={\rho\over\varepsilon_0}$および${\rm rot}\vec E=0$にはそれを禁止する法則は入ってませんから、「そんなのない筈だ」というのは単なるフィーリングの問題で、物理的にそれを排除する理由はないわけです。通常はなんらかの境界条件(無限遠では電場は0とする、とか)をおいて排除しますが、この問題ではそれを置かずに全ての場所の電場を与えているので、そのまま文字通りに${\rm div}\vec E$を計算すればよいことになります。 -- 前野? 2012-07-15 (日) 14:50:13
  • 電荷分布が載ってないのはミスなので、今から追加しておきます。 -- 前野? 2012-07-15 (日) 14:53:07
  • 迅速な回答・修正ありがとうございます((d)の答えはρ=4kxε0だと思います)。電荷分布とは無関係な外部電場があると考えるのですね。(a)で,全空間に電荷が分布してしまっているとすると,電場のz成分が0というのが説明できない気がしていました。無限に長い円柱状の一様電荷分布とすれば外部電場なしで与えられた静電場が実現しますよね(円柱内部に限りますが)。(b),(d)にもそのような解があるのかと思った次第なのですが,これは誤解でしょうか。 -- ゆうき? 2012-07-15 (日) 21:57:04
  • 確かに$\rho=4kx\varepsilon_0$ですね。これも直しておきます。(a)については、もちろん「無限に長い円柱状」と考えてもかまいませんが、$E_x=kx,E_y=ky,E_z=0$は無限遠までずっと続くので、「無限に長い無限半径の円柱」ということになって…それってつまり全空間、ってことになります。 -- 前野? 2012-07-16 (月) 17:56:54
  • (b)、(d)についてももちろんx,y,zの範囲を限って「その外には電荷がある」と考えて、この形の電場を作らせることはできます(電荷分布をうまくいじればよいことなので)。ただそれを求めましょう、という問題ではなかったということです(それはそれで面白い別の問題になる)。 -- 前野? 2012-07-16 (月) 17:59:34
  • なるほど,よくわかりました。同じ全空間内一様分布でも,半径無限大の球状分布と,無限に長い半径無限大の円柱状分布とでは異なる電場ができることになるとは,意外ですが納得です。ありがとうございました。 -- ゆうき? 2012-07-16 (月) 23:27:05
  • あ、ちょっと誤解させたかもしれません。「全空間の一様分布」でも違う電場ができるのはいいのですが、その違いの原因は境界条件であって、「半径無限大の球状分布」と「無限に長い半径無限大の円柱状分布」の違いではありません(この二つの分布は同じですから)。 -- 前野? 2012-07-17 (火) 01:50:16
  • 「分布の様子や範囲」ではなくて「無限遠で境界条件がどうなっているか」が問題になるということですね,了解しました。 -- ゆうき? 2012-07-17 (火) 22:09:30
  • 電荷分布の回答がないのは私も気になっていました。お忙しいとは思いますが追記お願いいたします。 -- ryota? 2012-07-18 (水) 12:46:31
  • ヒント&解答のファイルは修正版をアップしてあります。 -- 前野? 2012-07-18 (水) 17:27:15

p97の表記について

nm?? (2012-06-06 (水) 21:36:57)

第2刷で勉強しています。p97の9行目で ”xの位置(左の辺)が+で効くので” とありますが ”xの位置(左の辺)がーで効くので” ではないでしょうか。

  • すいません、おっしゃる通りです。 -- 前野? 2012-06-06 (水) 23:04:17

よくわかるシリーズについて

機械学部? (2012-05-22 (火) 08:06:24)

先生の講義録は、電磁気学以外にも、相対性理論とか、場の理論とかございますが、これらの御本はいつごろ発売になりますか。先生のシリーズはとてもわかりやすいので、他の講義録も早く本になればと思っています。

  • 今のところ、次の「よくわかる初等力学」に苦戦中です。相対論などにまで手が回るのはだいぶ先になりそうです。 -- 前野? 2012-05-22 (火) 17:11:56

p.132演習問題3-5の解答について

田中? (2012-04-28 (土) 18:22:58)

初めまして。「よくわかる電磁気学」にお世話になっています。最近の質問になかったと思うので質問させていただきます。p.132の3-5にて、問題文で「外側に電荷Q、内側に電荷-Qを与えた」と書いてあるので、電場E(r)=-Q/(4πε0r^2)となると思ったのですが、どうでしょうか。あと、解答で分母のε0が抜けている(解答ではE(r)=Q/(4πr^2)と書いてあります。)と思うので、確認お願い致します。

  • メールを見落とした為に質問に気づかなくて返答遅れましたすみません。おっしゃる通りです。 -- 前野? 2012-05-11 (金) 06:25:37
  • その後の回答でも全部Qの符号が逆になってました。直します。 -- 前野? 2012-05-11 (金) 06:31:51
  • ありがとうございます。サポート掲示板のおかげで質問しやすいので助かります。 -- 田中? 2012-05-13 (日) 23:09:56

問い1ー4

おかも? (2012-04-14 (土) 11:53:16)

なぜr^2=tとおいたら積分範囲が0から(ro)^2に変わるのでしょうか?お願いします

  • $r^2=t$なのだから、r=0の時t=0で、$r=r_0$の時は$t=(r_0)^2$になる、というそれだけのことですが。 -- 前野? 2012-04-15 (日) 01:21:32

電気力線について(P.129)

けんちゃん? (2012-04-11 (水) 17:06:02)

電気力線は短くなろうという性質があるのにP.129の図では引っ張ろうとする方向に力が働いています。縮む方向なら逆ではないのでしょうか。
よろしくお願いします。

  • ??? 短くなろうとするから引っ張るのですが??? 引っ張る方向=縮む方向 ではないですか?? -- 前野? 2012-04-11 (水) 17:22:35
  • あ。もしかしたら、129の二つあるうちの下の方の図に書いている→の矢印を「電気力線を引っ張っている」と解釈しているのでしょうか。これはそうではなく、電場すなわち「この場所に正の試験電荷を置いたとしたらどっち向きに力が働くか」という矢印です。電気力線を引っ張っているのではありません。 -- 前野? 2012-04-11 (水) 17:25:38
  • 僕の質問の仕方がまずかったようです。 -- けんちゃん? 2012-04-11 (水) 17:59:08
  • すいません。続きを書こうと思ったら送信してしまいました。質問の仕方を変えてみます。P.129の(3.100)の式からxが減る方向に力が働くことを導いてあります。このとき電気力線が縮もうとするので力は下向きに働きますよね。ところがP129の右上の図では聴力が上向きに働いています。それはどうしてでしょうか。 -- けんちゃん? 2012-04-11 (水) 18:07:02
  • ああ、なるほど。これは、図にかかれている部分より上にも電気力線があって、その電気力線が図に書かれた四角い領域を上に引っ張っている、と考えてください(張力というのは常に互いに引っ張り合います)。図に書かれた部分の電気力線は(図に書かれていない部分にある)電気力線を下に引っ張っていますが、その力は図には書いてありません。 -- 前野? 2012-04-11 (水) 18:17:19
  • ついでながら、この四角い領域から、電気力線は上には伸びてますが下には伸びていません(より現実的な絵は128頁の一番下の真ん中です)。だから全体として、上に引っ張る力になります(左右の力は消し合って消える) -- 前野? 2012-04-11 (水) 18:19:39
  • なるほど。すっきりしました。ありがとうございます。先生の本に出会ったのがきっかけで電磁気をやり直しています。仕事の合間をぬってペンを動かしながら数式を追っています。楽しいです。ありがとうございました。 -- けんちゃん? 2012-04-11 (水) 18:24:55

簡単な計算過程(p.39)

neet見習い? (2012-04-07 (土) 14:38:00)

式(1.30)の前の式の(z-r)はどこに消えたんでしょうか?
というより、第2式から第3式の計算過程を教えていただけると幸いです。

  • 第2式から第3式は、以下の通り。まず括弧の中の${z-r{r^2+z^2-R^2\over 2rz}}$の中、後ろの項の$r$が分母分子で消えて、${z-{r^2+z^2-R^2\over 2z}}$になります。これを通分します。${2z^2 - (r^2+z^2-R^2)\over 2z}$になります。分子を計算すると${z^2-r^2+R^2\over z}$になります。後は分母分子に$r,R$があるのを約分するだけです。 -- 前野? 2012-04-07 (土) 14:56:21
  • 式(1.30)の前の式の(z-r)ってどれでしょう??$z-r\cos\theta$ならありますが、これは次の行の括弧になってますが。 -- 前野? 2012-04-07 (土) 14:58:10
  • すいません、式の見方間違えてたみたいです! -- neet見習い? 2012-04-07 (土) 15:17:56
  • 素早い回答ありがとうございます -- neet見習い? 2012-04-07 (土) 15:18:32

p107の数式についての質問です

tama? (2012-03-29 (木) 16:00:04)

式の(3.52)の左辺のV2-ρR^2/6ε0は内側の電位ということが理解できますが右辺は何を求めているのでしょうか?
ご教授おねがいます

  • ここでは(3.51)式を考えているわけですが、(3.52)までで$V_1=0$であることはわかっています。ここで、(3.51)の上の段の式($r>R$)と下の段の式($r\leq R$)が$r=R$の時に一致していて欲しいわけです。ですから、(3.52)の右辺は(3.51)の上の段の式で$r=R$と置いた式です。 -- 前野? 2012-03-29 (木) 16:04:53
  • でしたら、(3.52)の式の右辺はρR^3/3ε0とはならないのでしょうか?なぜR^2となっているのかが理解に苦しみます。ご教授おねがいします -- tama? 2012-03-29 (木) 23:44:23
  • (3.51)の上の段は$V_1+{\rho R^3\over 3\varepsilon_0 r}$で、$V_1$には0が代入され、分母の$r$に$R$が代入されるので、分母と分子で$R$が一個約分されます。 -- 前野? 2012-03-30 (金) 01:22:45
  • 理解できましたありがとうございました。もう一つ質問です。p30の真ん中にある図のx/√x^2+z^2は何かの公式を使っているのでしょうか? -- tama? 2012-03-30 (金) 03:31:23
  • p30の図にある2つの直角三角形の相似を使います。 -- 前野? 2012-03-30 (金) 08:45:04
  • 難しく考え過ぎてました、理解できました。それと章末問題の1ー1の答えのx^2+z^2=x^2/cos^2θの導入方法が理解できません。積分した後の形かなと思ったのですが違うようで。ご教授お願いします -- tama? 2012-03-30 (金) 09:55:48
  • まず三角関数の定義から、$x=\sqrt{x^2+z^2}\cos\theta$。これを変形します。 -- 前野? 2012-03-30 (金) 14:13:48
  • 初歩的な質問にも関わらずお答えいただいてうれしいです。理解できましたありがとうございます。 -- tama? 2012-03-30 (金) 15:33:54
  • p33の(1.17)no -- tama? 2012-04-01 (日) 14:32:58
  • 先ほどのはミスです。すみませんでした。p33の(1、17)の式変形なついての質問ですが、最後の1行のcosθを積分した場合範囲指定がーαからαまであるのになぜsinαーsin -- tama? 2012-04-01 (日) 14:38:43
  • すみません><またおしまちがえてしまいました。。続きです。なぜsinαーsinαとはならないのでしょうか?ご教授おねがいします。何度も投稿してすみません。。 -- tama? 2012-04-01 (日) 14:42:23
  • $\sin\alpha-\sin(-\alpha)$となってますよ。その結果が$2\sin\alpha$なので、分母の4が2に変わりました。 -- 前野? 2012-04-01 (日) 23:03:05
  • 理解できました!ありがとうございます。 -- tama? 2012-04-02 (月) 02:29:03
  • 質問です。問い6ー1の定数kは何を表しているのでしょうか?ご教授お願いします。 -- tama? 2012-04-03 (火) 22:57:41
  • 何といっても、力と力の外積の方向に磁場が向くことはわかった(しかし、まだその大きさはわからない)ので、その力×力に適当な係数をかけると磁場のベクトルになるとおいた、それ以上の意味はないです。 -- 前野? 2012-04-04 (水) 07:37:52
  • りかいできましたありがとうございます! -- tama? 2012-04-06 (金) 02:08:45
  • 問い2ー1の式(c.9)の左辺はどのようになってるのでしょうか?r、rdを代入後の求めることができません。。ご教授おねがいします -- tama? 2012-04-14 (土) 16:19:20
  • $r=z\tan\theta$を代入して、丁寧に計算します。$r^2+z^2=r^2(1+\tan^2\theta)$で、$1+\tan^2\theta={1\over\cos^2\theta}$であるとか、解答にもあるように、$\mathrm dr={z\over\cos^2\theta}\mathrm dr$だとか、ただ代入するだけなんですが、どこがわからないのでしょう?? -- 前野? 2012-04-15 (日) 01:26:14
  • 勘違いしてました。。理解しました!ありがとうございます。 -- tama? 2012-04-15 (日) 11:07:54
  • それと思ったのですが、演習問題3ー1の答えにポアッソン方程式のところでd^2/dx^2(2kx^2)とありますが、d^2/dx^2(kx^2)ではないのでしょうか?? -- tama? 2012-04-15 (日) 11:12:01
  • その通りです。この2はいりませんね。 -- 前野? 2012-04-15 (日) 13:48:54

演習問題2-1について

tama? (2012-03-27 (火) 16:40:45)

初めまして、独学で勉強している大学生です。
初歩的な質問だと思いますが演習問題2-1の解答の下から2行目の
ρ2<ρの時、仮想的円柱にある電荷はDπ((ρ2)^2-(ρ1)^2)△zであると書かれてますが、(ρ2)^2-(ρ1)^2の部分の理解ができません。
すみませんがご教授おねがいします。

  • 仮想的円柱は外径が$\rho_2$で内径が$\rho_1$なので、底面積が$\pi(\rho_2)^2 - \pi (\rho_1)^2$になります。これに高さ$\Delta z$と、体積電荷密度$D$をかけた、という計算です。 -- 前野? 2012-03-27 (火) 17:39:04
  • 素早い解答ありがとうございます。理解できました。またわからない所があった場合質問させていただきます -- tama? 2012-03-27 (火) 22:53:16

p288(12.15)式について

naka? (2012-03-21 (水) 15:53:21)

この式で何故z成分のみになっているのかが分かりません。\(E_x\)と\(E_y\)を定数にしているのでしょうか。とすると後の話と合いませんし。
また、この式の結果\(E_z\)と\(B_z\)が定数となるというのは分かるのですが、これを0として良いのは何故でしょうか。(12.16)の結果から\(B_x\),\(B_z\)を0にする理由も分かりません。
すみませんがよろしくお願いいたします。

  • div Eは${\partial E_x\over\partial x}+{\partial E_y\over\partial y}+{\partial E_z\over\partial z}$ですが、ここでは電場はすべて$z-ct$の関数である、としているので、$x$微分と$y$微分は0となります。 -- 前野? 2012-03-21 (水) 16:21:22
  • あぁ、何故か\({\partial E_x(z-ct)\over\partial x}\)は0にならないと思い込んでいました。これで(12.15)式からaを定数として\(\vec {\bf E}=(E_x(z-ct),E_y(z-ct),a)\)となって、この電場が進行方向(z方向)に対して垂直であることを言うにはa=0となることを示す必要があると思うのですが違うのでしょうか。 -- naka? 2012-03-21 (水) 20:00:14
  • それは288ページにも書いてありますが、ここで求めたいのは「振動する部分」なので定数は捨てます。 -- 前野? 2012-03-21 (水) 20:59:32
  • あ、分かりました!何だか当たり前のことばかり聞いてしまってどうもすみません。一般的に横波であるならば発散が0であると考えて良いでしょうか。 -- naka? 2012-03-21 (水) 22:19:58
  • こちらに追加で書かせて頂きます。p295の6行目から7行目。\(EH=\frac{jV}{d}\)に単位長さあたりの面積\(d\)をかけるとありますが、この\(d\)は面積ではなく長さではないでしょうか。 -- naka? 2012-03-22 (木) 05:03:44
  • 「単位長さあたりの面積」というのはつまり「長さ1m、幅dの面積」ということです。つまりd平方メートルです。 -- 前野? 2012-03-22 (木) 06:44:06
  • ここでの\(j\)は単位長さあたりの電流、\(\frac{jV}{d}\)の\(d\)は距離ですよね。これでポインティングベクトルの単位面積あたりのエネルギーの次元になっていると思うのですが、これに面積をかけると次元がおかしくなりませんか? -- 2012-03-22 (木) 07:10:44
  • 単位で書くと、jが[A/m]、Vが[V]、かけてd[m]で割ると[AV/m^2]ですね。ここでdは「単位長さあたりの面積」なので単位は[m^2/m]=[m]です(上で私は「平方メートルと書いてしまってますが、これは「平方メートル毎メートル」と書くべきですね)。ですからjVの次元はちゃんと[W/m]になります。 -- 前野? 2012-03-22 (木) 07:20:06
  • すみません上で名前を入れ忘れました。jの方はちゃんと考えているのに、単位長さ当たりの面積dのmで割るのを失念していたようです。納得しました。これでよくわかる電磁気学を何とか読み終わりました。自分の理解の鈍さに途中嫌になりながらも、これほどの充実感は久しぶりです。こんな私の疑問・質問に付き合って頂きありがとうございました。 -- naka? 2012-03-22 (木) 07:35:23

ホール効果について

naka? (2012-03-18 (日) 00:17:02)

度々すみません。
p224のホール効果を読んでいてふと疑問に思ったのですが、
この効果によって抵抗が増したりはしないのでしょうか。
磁場がかかると荷電粒子の一部(?)が常に偏って電場を作り直進性を保つ。
そこで電流を流す電圧が変わらないなら、ホール電圧を作る粒子の分だけ磁場が無いときに比べて抵抗が増す、
電流が小さくなるということにならないのでしょうか。
よろしくお願いします。

  • この「荷電粒子の一部」は、ほんのほんのほんの一部がかたよるだけで十分ホール電圧を作れてしまうので、抵抗が下がるとしても大きな効果は出ないだろう、と思われます。実際に抵抗を測ったデータは知らないのですが。 -- 前野? 2012-03-18 (日) 21:10:44
  • なるほど。ほんの一部の電荷で良いというのは、k=1/(4\pi \epsilon_0)が10^9なのに対して\mu_0は10^{-7}と小さいのが効いているという解釈で良いでしょうか。 -- naka? 2012-03-19 (月) 13:25:48
  • 失敗しました。読みづらくてすみません。 -- naka? 2012-03-19 (月) 13:27:23
  • kの大きさも聞いてますが、1モルの電子が96500クーロンという大きな電荷を持っていることも大きく聞きます。状況にもよるわけですが、ホール電圧を作るために溜まる電荷は1ミリクーロンでも「莫大」といっていいほど多すぎます。 -- 前野? 2012-03-19 (月) 14:57:54
  • よく分かりました。ありがとうございました。 -- naka? 2012-03-19 (月) 15:18:40

演習問題4-2について

naka? (2012-03-14 (水) 19:31:28)

先日は質問にお答え頂きありがとうございました。
また質問なのですが、演習問題4-2の解答で境界条件から何故(E.44)式が
出てくるか分かりません。電束と電場で条件が違うのも不思議に感じます。
よろしくお願いします。

  • p151は読まれたでしょうか?そこに「 Eの面に平行な成分とDの面に垂直な成分が接続される」という説明があります。条件が違うのは、(真電荷がない場合)、div D=0とrot E=0になるからです(div Eは0とは限らないし、rotDも0とは限らない)。-- 前野? 2012-03-14 (水) 20:13:25
  • なるほど、理解しました。恥ずかしながらp151の図の解釈を何やら勘違いしていました。ありがとうございました。 -- naka? 2012-03-14 (水) 21:51:34

P76演習問題2-5の解答(P12w)について

aiyaaaaa? (2012-03-09 (金) 03:11:58)

解説にある「ヒントに書いた図の通りに考えると、dθ→0の極限では~長さが1になる」とありますが、長さが1になるのが理解できません。dθ→0としたら、θ方向の変化が非常に小さくなるので、長さが0に近い大きさになる気がするのですが、なぜ長さが1になるのでしょうか。回答よろしくおねがいします。

  • ここに書いている「考えているベクトル」というのは$\Delta \vec {\bf e}_\theta$ではなくて、これを$\Delta \theta$で割ったもののことです(ヒントの図の吹き出しを参照してください)。 -- 前野? 2012-03-09 (金) 19:01:09
  • $\Delta \vec {\bf e}_\theta$ = -$\Delta$r \vec {\bf e}_rから式変形して、極限を考えるということでしょうか。 -- aiyaaaaa? 2012-03-09 (金) 22:17:05
  • すいません。間違えてしまったので修正します。 -- aiyaaaaa? 2012-03-09 (金) 22:20:09
  • $\Delta \vec {\bf e}_\theta$ = -$\Delta r \vec {\bf e}_r$から式変形して、極限を考えるということでしょうか。 -- aiyaaaaa? 2012-03-09 (金) 22:20:53
  • あれ、よく考えたら全然違うっぽいですね... -- aiyaaaaa? 2012-03-09 (金) 22:36:24
  • ああ!やっぱり $\Delta \vec {\bf e}_r$ = -$\Delta \theta \vec {\bf e}_\theta$ を式変形させるという考えで合っていますか? -- aiyaaaaa? 2012-03-09 (金) 23:07:49
  • 右辺の負号はいらないですね。 -- aiyaaaaa? 2012-03-09 (金) 23:08:36
  • ああそうですね。上の私のコメントは添字が間違ってました。計算したいのは${\partial \vec {\bf e}_r\over\partial \theta}$ですから、$\Delta \vec {\bf e}_r$を$\Delta \theta$で割ります。 -- 前野? 2012-03-10 (土) 00:44:51
  • ここでやたら苦戦してしまいましたが理解できて良かったです。ありがとうございました。 -- aiyaaaaa? 2012-03-10 (土) 01:02:28

p104-p105の2階微分について

naka? (2012-03-05 (月) 17:47:57)

はじめまして。第3刷を読んでいます。
p104で2階微分が負なら下に、正なら上に引っ張られるとありますが、
p105の例ではx方向のたわみはこの膜を上に引っ張るとあります。
図ではx方向は2階微分が負になっているのですが、どちらが正しいのでしょうか。
よろしくお願いします。

  • ああ、すみません。p105の文章が逆ですね。「x方向のたわみはこの膜を下に引っ張るだろう。そして、y方向のたわみはこの膜を上に引っ張る」が正解です。図はそうなっています。 -- 2012-03-05 (月) 18:32:38

p51 練習問題 問い2-2について

aiyaaaaa? (2012-02-24 (金) 03:02:15)

p51 練習問題 問い2-2について質問があります。
p308の練習問題のヒントに、
$\vec{{\bf e}_r}\cdot\vec{a} = a\sin\theta\tag{1}~$ とありますが、面積ベクトルを
$d\vec{S}=r^2\sin\theta \mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi\tag{2}~$ で表していることを考えると球座標で考えてるように思います。
ということは、この$\theta$は$z$軸から$\vec{{\bf e}_r}$への角度ということになると思います。
そうだとする場合、上式の内積が$a \cos\theta$で表せる理由がわかりません。(1)式の$\theta$は$\vec{{\bf e}_r}$と$\vec{a}$のなす角を別に定義してあげなければならないような気がするのですが、なぜ$\theta$で表すことができるのでしょうか。
初歩的な質問かもしれませんがよろしくお願いします。
また、初めてテックを使ったので誤字等ありましたらすいません。

  • 誤字とかいうレベルじゃなかったですね・・・。mathjax調べてまた書き込みます。掲示板汚しちゃってすいません・・・。 -- aiyaaaaa? 2012-02-24 (金) 03:31:57
  • 勝手ながら修正しました。これで意味はわかるかな。 -- 前野? 2012-02-24 (金) 14:36:01
  • まず(2)式ですが、右辺もベクトルにして、$\mathrm d\vec S=r^2\sin\theta\mathrm d\theta \mathrm d\phi \vec {\bf e}_r$ですね。(1)で計算しているのはまさに$\vec a$と$\vec {\bf e}_r$の内積ですが、$\vec a$を$\vec {\bf e}_r$のいる場所まで平行移動してあげてから内積をとっていると思えば、(1)はちゃんと成立します。 -- 前野? 2012-02-24 (金) 14:40:03
  • 図にかいてある(球面から生えたような)矢印は$\vec {\bf e} _r$ではなく、$r\vec {\bf e_r}-\vec a$の方向を向いているので、そのことを考慮しつつ内積をとっていけばよい、という計算になってます。 -- 前野? 2012-02-24 (金) 14:42:32
  • ああ・・・ほんとにわざわざありがとうございます。 -- aiyaaaaa? 2012-02-25 (土) 04:37:50
  • ほんとすいません、何回も書き込みしちゃってる・・・。削除しといてください。お願いします。 -- aiyaaaaa? 2012-02-25 (土) 05:58:45
  • 本題なのですが、$\vec{e_r}$と$\vec{a}$の角度がθになるということは、$\vec{a}$と$\vec{e_z}$ha -- aiyaaaaa? 2012-02-25 (土) 06:11:47
  • すいません続きです→ $\vec{a}$と$\vec{e_z}$は平行の関係にあるということなのでしょうか。 -- aiyaaaaa? 2012-02-25 (土) 06:13:18
  • ここでの$\vec{e_z}$はz軸方向の基底ベクトルです。 -- aiyaaaaaa? 2012-02-25 (土) 06:14:30
  • はい。そうです。$\vec a$は中心からz方向へのずれを表現するベクトルですから、z方向を向きます。 -- 前野? 2012-02-25 (土) 10:03:40
  • そなのですか。$\vec{a}$がz方向を向くということは電荷Qがz軸上に存在するということだと思いますが、それは問題文のどこから読み取れるのでしょうか。何度も質問申し訳ありませんがよろしくおねがいします。 -- aiyaaaaaa? 2012-02-25 (土) 23:24:46
  • ああ確かに。z軸をどう取るかは任意なので解きやすいように選ぶことができて、「電荷Qがz軸に存在している」というよりは、「電荷Qのある場所を通るようにz軸を引く」わけですが、その説明がないですね。すみません。ヒントの頭に「$\vec a$方向に$z$軸を取る」という文があると思ってください。 -- 前野? 2012-02-26 (日) 01:16:34
  • この問題の解答のように、電荷Qの位置を通るようにZ軸を引くと、結局のところ、「仮想的な球の中心を通るz軸上に電荷Qが存在している時の電気力線の本数」しか調べられていないような気がしてしまいます。解答のやり方で、「仮想的な球の内部の任意の場所に存在する電荷Qから出る電気力線の本数」を数えていることになるのでしょうか。 -- aiyaaaaa? 2012-02-26 (日) 04:13:53
  • なります。なぜなら「z軸の取り方」が任意だから。この問題の場合、地球重力方向にz軸をとったとか、そういう事情があるわけではないので、「どの向きにz軸を取るか」は人間の勝手なのです。勝手だから電荷の位置に合わせただけのことです。 -- 前野? 2012-02-26 (日) 08:44:51
  • ああ!わかりました!!!!何度もしつこい質問に大変ご丁寧に対応して頂き、ありがとうございました。またお手数おかけすることがあるかもしれませんがその時はよろしくお願いします。 -- aiyaaaaa? 2012-02-26 (日) 14:11:17


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Last-modified: 2016-09-18 (日) 11:17:57 (1415d)