「よくわかる電磁気学」(東京図書)サポート掲示板(2014年〜2015年5月2日まで)

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誤植では?

tenkai? (2015-05-26 (火) 00:03:42)

本書の演習問題2-5,6において
 ・付録Eの解答の式(E.20)は途中式と解答にマイナスが抜けているのではないでしょうか
 ・円柱座標の動径方向の単位ベクトルについて、問題文及び付録Aの公式では添え字にρを  使っているようですが、付録Eの解答では極座標と同じrを使っているのは良いのでしょ  うか

  • あれ、この掲示板は書き込みできなくなったので「2」の方に移動したはずなんですが、書き込みできてますね??(不思議) -- 前野? 2015-05-26 (火) 00:19:33
  • (E.20)についてはおっしゃる通り。マイナスを補って、最終的答えは$-\vec {\mathbf e}_r$になるはずですね。 -- 前野? 2015-05-26 (火) 00:23:11
  • 円柱座標の場合の添字についてもρにしなくては問題文にあわないです。訂正しておいてください(修正版は近いうちにアップします)。 -- 前野? 2015-05-26 (火) 00:25:35

磁気感受率について

電磁気難しい? (2015-05-02 (土) 15:03:52)

p239にM=χHの式が書いてありますが、このときMは磁性体内のある点ですよね。そして文章を読んでいるとHは磁性体外部の値のように読み取れるのですが、そういうことでよいのでしょうか。Hを磁性体外部、Mを磁性体内部としてしまうとp251の(10,15)式が左辺のHと右辺のHが違うものになりおかしいと思うのですが、どのように考えればよいのでしょうか。

  • p239の時点では、B,H,Mの相互関係(10.11)はまだ出てないので、ここでのHはあくまで「外部から掛ける磁場」ということになってます。話が進んでHを物質中では(10.11)のように定義することにして・・・の後で(10.15)式が出てくるわけですが、そちらではもうHは内部の磁場の話になってます(ということは厳密に言えばp239でのM=χHのときとは微妙に違う計算をしていることになるのですが、(10.11)と決めた時点で定義が刷新されたと思ってください。 -- 前野? 2015-05-02 (土) 17:45:51

誤植?

hiro? (2015-04-19 (日) 04:11:29)

・P268の(11.15)ならびにその上の行のAにベクトルの矢印が抜けていませんか?(3カ所)
付録Dで
・P15の(E.23)でr2とあるのは全てr1ではないでしょうか?また、(E.25)で単にrとある2カ所はr1の間違いではないでしょうか?
・P18の(E.37)の最後の式で括弧の前の分母のr^2はr^4ではないでしょうか?
・P19の(E.41)の右辺第2式の分母にある2zLの前はプラスでなく、マイナスではないでしょうか?
・P25の(2)で、(E.67)よりとあるのは、(E.65)よりではないでしょうか?
・P31の1行目のπr^2B(r,t)の前に2が必要ではないでしょうか?
以上です。
ご確認をお願いします。

  • すいません、御指摘の通り間違ってますね。付録は、近日中に訂正バージョンを出します。 -- 前野? 2015-04-19 (日) 07:48:30

P287とP288で使われている記号について

hiro? (2015-04-19 (日) 04:02:18)

(12.14)の右辺第2式でf''(z-ct)とダッシュが二つ、(12.16)のy成分でE'(z-ct)=とダッシュが一つ、同じページの最後の行のExとByの等式でもダッシュがそれぞれ使われています。

ダッシュは、いわゆる微分を示す記号だと思いますが、この場合、z-ctという変数による全微分を意味しているのでしょうか?それとも、明示されていない変数(zやt)の偏微分を示しているのでしょうか?

偏微分からダッシュの微分形式へとわざわざ式変形されているので、なにか意味があると思うのですが、上記のどちらの解釈をとっても、(12.17)とその次の行のrotの等式が導けないでおります。

  • E'(z-ct)と書いた場合の「'」はz-ctという一塊の変数に対する常微分を意味しています。 -- 前野? 2015-04-19 (日) 07:38:54
  • ですから、$E'(z-ct)$は${\partial \over \partial z}E$とも、$-{1\over c}{\partial\over \partial t}E$とも置き換え可能です(今の場合、Eは$E(z-ct)$という形でのみ、z,tに依存しているので。 -- 前野? 2015-04-19 (日) 07:41:32
  • 最後の一行で納得です。ありがとうございます。 -- hiro? 2015-04-19 (日) 10:28:59

演習問題8-4について質問

hiro? (2015-04-19 (日) 03:39:29)

付録Dのヒントの中で、「三角形ABCと三角形APDが相似であることを使うと」(P6)とありますが、この相似が私には、自明ではありません。この相似を言うためには、直角三角形であることから、∠ABC=∠APDまたは∠BAC=∠PADを示さなければいけませんが、色々試行錯誤したものの、これが自明ではないのです。

この二つの三角形の相似について、教えていただけないでしょうか?

  • ここでABやACは微小量なので、この相似も近似的に成立しています(それを明示しておかなったのはまずかったですね、すみません)。 -- 前野? 2015-04-19 (日) 07:35:36
  • ABは実際には円周の一部(弧)なのですが、非常に短いので、Bは直線AE上にあると近似して構わないし、APとBPha -- 前野? 2015-04-19 (日) 07:36:59
  • ABは実際には円周の一部(弧)なのですが、非常に短いので、Bは直線AE上にあると近似して構わないし、APとBPは平行線だと近似して構いません。 -- 前野? 2015-04-19 (日) 07:37:19
  • やはりそうでしたか。ABを直線とみなすことに加えて、先生が示された二つの近似を考えないと成り立たないですよね。厳密に考えて行き詰まってました。ありがとうございます。 -- hiro? 2015-04-19 (日) 10:27:09

面積ベクトルについて

ボーム? (2015-04-15 (水) 16:20:18)

4月から先生の参考書で勉強している者です。

p47の8行目に
dS=nxdydzex+nydzdxey+nzdxdyez
とあるのですが、どうしてそのようになるのでしょうか?

ベクトルの表記の仕方がわからなかったので、見難くなっていてすみません。

  • その少し上に三つの(x,y,z方向を向いた面積ベクトル)が書いてあると思います。一般の方向を向いた面積ベクトルは、その三つを適当に「回した」ものになります。たとえば$x$方向から$y$方向に角度θ回したとすると、$\cos\theta \mathrm dy\mathrm dz\vec {\mathbf e}_x+\sin\theta\mathrm dz\mathrm dx\vec{\mathbf e}_y$のように。 -- 前野? 2015-04-16 (木) 17:44:18
  • 3次元的に「回す」ともっとややこしい式になりますが、全体として$(n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2=1$を満たすようにしてあればよいことになります。 -- 前野? 2015-04-16 (木) 17:45:10
  • ちゃんと計算したければ、たとえば(上の例のような)$x$軸方向から角度θ回った結果の面積要素の絵を描いて、面積ベクトルがどう書けるかを外積を使って計算することになります。 -- 前野? 2015-04-16 (木) 17:46:32
  • 回答ありがとうございました。このご回答をふまえて自分なりに計算してみます。 -- ボーム? 2015-04-16 (木) 19:20:04

rot(gradΦ)についてです。

電磁気学勉強中です。? (2015-04-07 (火) 01:16:40)

いつも先生の書かれた参考書で勉強させてもらっている者です。早速ですが質問させて頂きます。
rot(gradΦ)=0という式に少し疑問があります。この式が成立するにはΦはc2級でないといけませんよね?もしΦがc1級だけならばgradΦの接線線積分は経路に依存するのでしょうか?直感的には経路に依存しなさそうなのです。
そもそもgradΦはc2級を満たすΦにのみに定義されるのでしょうか?
回答よろしくお願いいたします。

  • この式を出すときは偏微分の交換可能性を使いますから、C2級でない場合は0にならないことがあります。その場合は当然gradΦの積分は経路依存します。 -- 前野? 2015-04-07 (火) 06:58:50
  • 分かりました。有難うございます。 -- 電磁気学勉強中です。? 2015-04-07 (火) 10:23:19

不調

前野? (2015-03-29 (日) 17:54:23)

掲示板が不調のようなので、テストです。

  • 動いている?? -- 前野? 2015-04-05 (日) 16:51:11
  • 大丈夫だな、こっちは。 -- 前野? 2015-04-05 (日) 16:51:23

演習1-2について

電磁気がんばります!? (2015-03-23 (月) 17:23:59)

単位体積あたりの電荷密度 ρ と単位面積あたりの電荷密度 σ の関係は、σ = ρdr と考える(面積に、球殻の厚さ dr をかけると、球殻の体積になるということ) これについて理解できません。カッコ内の説明を読む限りρ=σdr と思えてしまいます どのように解釈したらよいでしょうか?

  • 「単位体積あたりの電荷密度」はいわば「電荷÷体積」、「単位面積あたりの電荷密度」は「電荷÷面積」になってます。「面積×厚さ=体積」なので、密度の方は「体積密度×厚さ=面積密度」ということになります。体積密度に厚さを掛ける意味は、実は「厚さ×単位面積」を掛けていると思えばよいかもしれません。 -- 前野? 2015-03-23 (月) 19:59:26

ありがとうございました。

初学大学生? (2015-03-14 (土) 16:35:22)

よくわかる電磁気学読了しました。何度も質問に丁寧に答えてくださり本当にありがとうございました。


インダクタンスについて

初学大学生? (2015-03-12 (木) 20:52:09)

インダクタンスの相反定理を導く時に、真空中でのみ成り立つビオサバールの法則を使っていますが、相反定理は真空中でのみ成り立つ関係でしょうか(つまり、どちらかのコイルに強磁性体が入っている場合成り立たないのでしょうか。)。
また、インダクタンス自体は正と負どちらの値もとるのでしょうか。例えば、xy平面上に原点を中心とする半径1のコイル1と(3,0)を中心とする半径1のコイル2を置いて電流の向きを反時計回りを正としたとき、コイル2に正の向きの電流を流したとき、相互インダクタンスは負でなくてはならないと思います、どうでしょうか。
よろしくお願いします。

  • 相反定理はエネルギーの保存と結びついているので、磁性体があっても成立します。相互インダクタンスの符号は電流の相対符号の定義によるので、マイナスになってもかまわないです。 -- 前野? 2015-03-13 (金) 07:58:14
  • インダクタンスの符号はわかりました。ありがとうございます。相反定理について調べてみたところ、強磁性体を含まなければ相反定理が成り立つと書かれた物を見つけました。また他の相反定理についての証明を探してみても、真空中のビオ・サバールの法則を用いた真空中の相反定理しか示してありませんでした。 -- 初学大学生? 2015-03-13 (金) 14:57:16
  • エネルギーの保存と相反定理どのようna関係があるのでしょうか。 -- 初学大学生? 2015-03-13 (金) 14:59:40
  • エネルギーの -- 初学大学生? 2015-03-13 (金) 15:00:09
  • すみません。操作に慣れておらず誤送信を繰り返してしまいました。エネルギーの保存と相反定理にはどのような関係があるのでしょうか。 -- 初学大学生? 2015-03-13 (金) 15:01:58
  • 相反定理とエネルギーとの関係は、274ページに書いてあります。$M_{ij}=M_{ji}$がないと保存するエネルギーの式を作ることができません。 -- 前野? 2015-03-13 (金) 15:08:53
  • 理解できました。ありがとうございました。 -- 初学大学生? 2015-03-13 (金) 15:33:43

rotの意味と向きについて

初学大学生? (2015-03-11 (水) 21:51:55)

直交座標や極座標表示を使ってrotの成分を求めることはできるのですが、結局このrotが指すベクトルの向きにはどういう意味があるのでしょうか。この本を読んでいく中で、微小面積ベクトルdSとrotの内積がその微小面積の境界を右ねじ方向に回る時の線積分の値になるようになっているのではないかと考えたのですが、この解釈で合っていますでしょうか。よろしくお願いします。

  • rotの解釈はそれで合ってます。 -- 前野? 2015-03-11 (水) 22:37:02
  • ありがとうございます。 -- 初学大学生? 2015-03-11 (水) 22:55:05

ベクトルポテンシャルの計算について

初学大学生? (2015-03-09 (月) 12:20:19)

p233ページに無限に長い直線電流Iの場合のベクトルポテンシャルが電位との類推で導かれていますが、これは計算で求めることはできないのでしょうか。自分で立式した結果μI/4π∫[-∞→∞]ez(z方向の単位ベクトル)/√(z^2+r^2)dzとなったのですが、この積分は発散してしまいます。どうすればよいのでしょうか、よろしくお願いします。

  • 実は脚注に書いてあるのですが、この結果を出すためには「定数を引く」ことが必要です(ポテンシャルは定数を含めても物理的内容は変わらないので、定数を足したり引いたりすることは自由です)。 -- 前野? 2015-03-09 (月) 14:21:29
  • 積分が発散してしまってはダメなので、まず積分を(-∞,∞)ではなく、(-a,a)のように有限の領域にして積分します。結果はもちろんa→∞で発散しますが、ここで、「ポテンシャルから定数を引いてもよい」ということを使って、rを含まない、aのみの関数である式(具体的には、積分の結果にr=0を代入した式を使うとよい)を積分結果から引きます。この式は「a→∞で結果が発散しない式」になっているので、引き算が終わってからa→∞の極限を取る、という計算をやってみてください。欲しい式が出てくるはずです。 -- 前野? 2015-03-09 (月) 14:24:29
  • あ、ごめんなさい。この手順だとやっぱり発散が残るな。まず(0,a)で積分した後、a→∞で発散するパートを取り出して、その部分でr=0にしたものを引いて下さい。その後でa→無限大の極限を取ります。これで(0,∞)の範囲が計算できたことになるので(被積分関数は偶関数なので)(-∞,∞)の範囲ならこの2倍です。 -- 前野? 2015-03-09 (月) 14:29:49
  • aを∞に飛ばしたときにrと関係なくなるように思える項(例えばlog(r+a))は無視し得るという判断でいいのでしょうか。 -- 初学大学生? 2015-03-09 (月) 14:50:44
  • ちゃんと「定数を引く」という具体的な計算をやりましょう。それが一番間違いなく正しい計算方法です。 -- 前野? 2015-03-09 (月) 14:58:52
  • 分かりました。ありがとうございました。 -- 初学大学生? 2015-03-09 (月) 15:08:42

教えて下さい

素人物理好き? (2015-03-05 (木) 23:56:24)

微分積分も忘れかけいる物理すきの素人ですが、第四刷78ページの
式(3.4)について教えて下さい。

d
-- (v2)=2v ではないのですか?
dt


べき関数の微分?


宜しくお願いします。  

dt
  • ${\mathrm d\over \mathrm dv}(v^2)$なら、答えは$2v$ですが、${\mathrm d\over \mathrm dt}(v^2)$なので、${\mathrm dv\over \mathrm dt}{\mathrm d\over \mathrm dv}(v^2)$と変形して計算することで、${\mathrm dv\over\mathrm dt}\times 2v$となります。 -- 前野? 2015-03-06 (金) 02:18:09

問い8-1解答について

初学大学生? (2015-03-04 (水) 21:35:34)

微分記号の使い方に慣れてなかったので、成分で計算してみたのですが、第1項が部分積分によりHとデルタ関数の積になるのは導出できたのですが、第2項が0になるのがうまくできません。第2項のx成分は-(∂Hx´/∂x´,∂Hy´/∂x´,∂Hz´/∂x´)・(∇´(1/4π|x-x´|))(ベクトルの内積で表現しています)となりますが、divH=0からどうしてこの項が0になると言えるのでしょうか。よろしくお願いします。

  • 後ろにある∇'をHの方に部分積分することで、divHが現れます。第2項のx成分はそもそも、${\partial \over\partial x}\left(\vec B\cdot \vec C\right)$です。 -- 前野? 2015-03-04 (水) 22:09:04
  • 後の$\vec C$の中にいる∇’を部分積分するわけです。 -- 前野? 2015-03-04 (水) 22:09:47
  • 導出できました。何度も申し訳ありません。ありがとうございました。 -- 初学大学生? 2015-03-04 (水) 22:43:53

ベクトル解析の公式について

初学大学生? (2015-03-04 (水) 01:43:50)

問い8-1でアンペールの法則からビオ・サバールの法則を導く仮定で(∇×B)×C=B(∇・C)-∇(B・C)を用いていますが、この公式は成り立ちますでしょうか。計算しても、左辺と右辺が違ってしまうのですがどうでしょうか。よろしくお願いします。

  • その式は用いてません。使っているといえば使ってますが、「∇がBのみを微分する(Cは微分しない)」という注釈つきでなら、使ってます。 -- 前野? 2015-03-04 (水) 07:48:10
  • ∇はBのみを微分する、ということに注意しつつ計算すると、左辺の$z$成分は$(\vec\nabla\times\vec B)_xC_y- (\vec\nabla\times\vec B)_yC_x=(\partial_yB_z-\partial_zB_y)C_y-(\partial_zB_x-\partial_xB_z)C_x=\partial_yB_zC_y-\partial_zB_yC_y-\partial_zB_xC_x+\partial_xB_zC_x$、右辺の$z$成分は$B_z(\partial_xC_x+\partial_yC_y+\partial_zC_z) -\partial_z(B_xC_x+B_yC_y+B_zC_z)=\partial_xB_zC_x+\partial_yB_zC_y+\partial_zB_zC_z -\partial_zB_xC_x-\partial_zB_yC_y-\partial_zB_zC_z = \partial_xB_zC_x+\partial_yB_zC_y -\partial_zB_xC_x-\partial_zB_yC_y$で、この二つは等しくなります。 -- 前野? 2015-03-04 (水) 08:02:28
  • やっていることは分かりました、ありがとうございます。ただ、数学的な表記の問題としてあまりしっくりこない感じがするのですが、こういう計算は物理では -- 初学大学生? 2015-03-04 (水) 13:54:29
  • こういう計算は物理ではよくあることなのでしょうか。 -- 初学大学生? 2015-03-04 (水) 13:55:32
  • 計算自体は微分演算子が何を微分しているかを取り違えてはいけないのはどんな分野でも同じです。ベクトル演算の記号と微分が混じるときは注意が必要になります。だからこういう書き方をするときは注意書き必須です。 -- 前野? 2015-03-04 (水) 15:02:19
  • 分かりました。ありがとうございました。 -- 初学大学生? 2015-03-04 (水) 15:05:30

誘電体中の静電場の持つエネルギーの導出について

初学大学生? (2015-02-25 (水) 13:15:23)

p153で、エネルギーの式から1/2∫ρVdxでρ=divDによって置き換えていますが、この1/2∫ρVdxのρは全電荷密度であり、ρ=divDのρは真電荷密度であって置き換える事はできないのではないかと思いました。つまり誘電体の表面に出てきた分(内部の分極による電荷密度は0)の分極電荷の分がρ=divDに置き換えることによって消えてしまっている気がしてしまうのですが、どうでしょうか。よろしくお願いします。

  • もし真電荷でなく分極電荷まで含めたとすると、$ {1\over 2}\int \left( -{\rm div}~\vec P\right) V\mathrm d^3\vec x $という項が加わります。これは部分積分すると、$ {1\over 2}\int \vec P\cdot {\rm grad}V\mathrm d^3\vec x =-{1\over 2}\int \vec P\cdot \vec E\mathrm d^3\vec x $になりますが、これは(4.24)の右辺第2項の逆符号なので、これを入れるとちょうどこの項が消えます。ところがこの項にはその後にある(弾性力のエネルギーという)意味がちゃんとあるので消えてもらっては困ります。電磁場のエネルギーを計算していると考えると変に思えても、これを出すには真電荷だけで考えるとちょうどいい、ということになります。 -- 前野? 2015-02-26 (木) 07:16:09
  • なぜ分極電荷を考慮に入れてしまうと矛盾してしまうのでしょうか。p118ページからの議論を考えるとエネルギーを求めるためには分極電荷を入れる必要な気がしてしまいます。また、細かくて恐縮ですがp156ページの18行目からの「速度vを大まかに見積もってみよう」のすぐ後の断面積の部分で単位が長さの単位になってしまっていると思われます。 -- 初学大学生? 2015-02-26 (木) 11:55:45
  • う〜ん、やっぱりそこは難しいですよね。というわけでもう一つの方法で説明します。これは「電磁場のエネルギーの式を作ろう」としている人が、どういう量を欲しがっているかということが関係しています。そもそもエネルギーという量を簡潔に表現すると、「外部から仕事をされるとちょうどその仕事の分だけ増加する状態量」ということになります。たとえば重力場中ので質量$m$の物体を$\Delta h$だけ持ち上げるには$mg\Delta h$の仕事が必要だから、$mgh$が「重力の位置エネルギー」になるし、すでに$x$伸びているバネをもう$\Delta x$伸ばすには$kx\Delta x$仕事が必要だから、${1\over 2}kx^2$が「弾性力のエネルギー」になるように。 -- 前野? 2015-02-26 (木) 17:40:01
  • そこで「電磁場のエネルギー」を定義するには、「電磁場に対して仕事をするとそれだけ増える量」という計算をすればいいわけですが、この場合の具体的な仕事というのは、「正電荷が集まっているところにさらに正電荷を押し込む」というような形で行われます。この時の「押しこむ電気量」として計算にいれるべきなのは、真電荷のみです。というのは「よくわかる電磁気学」にも書いたように「外部からコントロールできる電荷」は真電荷のみだからです(分極電荷は真電荷の移動に応じて大きさを変えることになるけど、外部から押し込んだりしている電荷は、あくまで真電荷)。だから、$\delta \rho V$($\rho$は真電荷)のような形で「電磁場に対する仕事」が書かれます。 -- 前野? 2015-02-26 (木) 17:40:38
  • この仕事によって変化する量を計算すると${1\over 2}\vec E\cdot\vec D$がエネルギー密度となっていくわけです。逆に言えばこれの微分が真電荷を押し込む仕事になります(${1\over 2}$がつく理由はバネの場合と同じ、$\vec E$と$\vec D$が比例関係にあるからです)。 -- 前野? 2015-02-26 (木) 17:41:45
  • 以上、大雑把な感じですが、仕事から説明するとこのようになります。こうやって導入したエネルギーは、必然的に誘電体内部に溜め込まれる弾性エネルギーを組み入れたものになる、というのが真電荷を使って計算するとちゃんと分極によるエネルギーが入ってくる理由となります。 -- 前野? 2015-02-26 (木) 17:45:27
  • 156ページについてはその通りで、平方センチと書きながら単位がmになってますが、これはもちろん、${\rm m}^2$です。 -- 前野? 2015-02-26 (木) 17:47:47
  • ありがとうございます。イメージがだいたいですが掴めてきました。1/2∫D・EdxはEとDが線形関係の時のみ成り立つ式ですか。 -- 初学大学生? 2015-02-26 (木) 19:09:24
  • おそらく線形でない時は変わってくるのではと思いますが、すいません、私も具体的な例は知りません。 -- 前野? 2015-02-27 (金) 08:03:56
  • 分かりました。ありがとうございました。 -- 初学大学生? 2015-02-27 (金) 13:55:42

誘電体の電場について

初学大学生? (2015-02-23 (月) 22:26:29)

第7刷p148の最後の行でD=Q/4πr^2とE=Q/4πεr^2がどのようにして導かれたのか教えていただけないでしょうか。また、p149の上から2行目の「誘電体の境界には、分極と同じ大きさの電荷密度が現れる」と書いてありますが、この理由が分かりません。よろしくお願いします。

  • これは146ページで書いている「線型な媒質」の場合なので、D=εEなのでこうなります(146ページの真ん中辺りからを読んで下さい)。境界に分極と同じ電荷密度が現れるという理由は、147ページで図を使って説明しているあたりを見て下さい。 -- 前野? 2015-02-23 (月) 23:46:16
  • お返事ありがとうございます。境界に分極と同じ電荷密度が現れる理由は過去にも質問があったようなのでそれも踏まえて理解しました。線形な媒質のp146ページの話は真空中の話だったので、誘電体がある場合はDかEを導く必要が -- 初学大学生? 2015-02-23 (月) 23:52:52
  • すみません。途中で送信してしまいました。誘電体がある場合はDかEのどちらかを導く必要があるのではないかと考えました(ε0がεに置き換わることは自明ではないような気がします。)。また、p147の図の下の「その天井からは」の式にnが抜けていると思うのですが、どうでしょうか。 -- 初学大学生? 2015-02-23 (月) 23:58:26
  • 線型な媒質中というのは名前の通り媒質中なので、真空の話ではないです。DとEの違いはPの存在ですが、PとD,Eとの比は物質の材質で決まるので、148ページの上で注意している点が問題ない場合はD=εEを使ってかまいません。 -- 前野? 2015-02-24 (火) 00:11:05
  • 147ページのqdの前には確かにnが足りません。御指摘感謝します。 -- 前野? 2015-02-24 (火) 00:12:48
  • すみません。自分の疑問をうまく説明できていませんでした。D=εEの関係(εは媒質による)は分かっているのですが、p148の最後の行のD=Q/4πr^2とE=Q/4πεr^2の関係はDかEが分かれば線形関係からもう一方は導出できるのですが、p148最後の行の誘電体中のDまたはEはどのようにして導いたのかが分かりません。真空中の点電荷が作る電場の式E=Q/4πε0r^2のε0をεに変えれば誘電体中の電場が導出できるのはなぜでしょう。本当に何度も申し訳ありません。 -- 初学大学生? 2015-02-24 (火) 00:23:10
  • ああなるほど。そういう疑問でしたか。それでしたら、真空中であろうと媒質中であろうと使える式として、 div D=ρ がすでに確定しているわけです。そして点電荷がある場合なら、この式はD=Q/4πr^2を導くことになっているわけです。 -- 前野? 2015-02-24 (火) 00:25:28
  • この時、誘電体中ではρの値に代入するのは0でいいでしょうか。 -- 初学大学生? 2015-02-24 (火) 00:33:24
  • この場合のρは「真電荷」ですから、誘電体中でも真電荷がないなら0です。 -- 前野? 2015-02-24 (火) 00:35:01
  • 分かりました。何度も返信をしてくださり、ありがとうございました。 -- 初学大学生? 2015-02-24 (火) 00:47:08

第7刷p141の冒頭の電場の計算について

初学大学生? (2015-02-22 (日) 23:10:31)

式(4.8)のベクトルeθの係数の符号が-ではなく+であるような気がするのですが、どうでしょうか。

  • あ、ほんとです。でないと遠方でz方向にならないですね(cosθの微分を間違えたかな)。すいません、知らせていただいてありがとうございます -- 前野? 2015-02-22 (日) 23:21:42

演習問題3-8について

初学大学生? (2015-02-20 (金) 23:48:02)

(第7刷)p120からp123で静電場の持つエネルギーを導出していますが、流れとしては、多数の点電荷による位置エネルギーを書き出し、それを連続的なものとみなし、空間積分し、ガウスの法則微分形を用いて、最終的な式を出していると考えています。ですから、最終的な式は電荷の位置エネルギーの総和を電場を用いて書き直したものだと思います。
 演習問題3-8ではεE・E´を空間積分すると結果がqq´/4πε(2電荷間距離)となると書いてあり、積分結果もそうなりますが、私は上の導出の仕方からすると、1/2ε(E+E´)・(E+E´)の空間積分がqq´/4πε(2電荷間距離)と等しくなるのではないかと考えました。この考えはどこが誤っているのでしょうか。よろしくお願いします。

  • これは、二つの差である${1\over 2\varepsilon}\left(E^2+(E')^2\right)$が、(これは一個の電荷がある場合の電場のエネルギーの単なる和なので)2電荷間の距離に関係しない定数であり、「エネルギーの原点をずらすことには物理的意味がない」という力学の原理により、あってもなくても関係なくなるからです。ですから、${1\over\varepsilon}(E+E')^2$を計算すると${qq'\over 4\pi\varepsilon}$+定数、という式になります。 -- 前野? 2015-02-21 (土) 00:01:16
  • よく分かりました。ありがとうございます。 -- 初学大学生? 2015-02-21 (土) 00:04:30

分極について

初学者? (2015-01-08 (木) 04:46:34)

いつもお世話になっております。
分極ベクトルについて、分極ベクトルP(単位面積あたりを通り抜けた、分極によって生じた正電荷)がなぜ単位体積あたりにの分極によって生じた正の電荷と、正負の電荷との距離ベクトルの平均をかけあわせたものになるのかがイマイチピンときません。次元としては確かに[C/m^2]となっていますが・・・。

  • もちろん次元だけで済む話ではないです。147ページの図とその上に書いてある説明を見てください。nqと-nqが電荷密度で、分極が起こると上下にnqdSと-nqdS電荷がはみ出す、ということから、「通り抜けた電荷」と[ -- 前野? 2015-01-08 (木) 08:42:13
  • 「静電荷と正負の電荷との距離ベクトル」が結びつくことがわかるはずです。 -- 前野? 2015-01-08 (木) 08:42:46
  • なるほど!うっかりしていました。ありがとうございます。 -- 初学者? 2015-01-08 (木) 09:46:09

デルタ関数について

karita-hiroshi? (2014-06-11 (水) 18:25:34)

p112. のデルタ関数について、分母の4π(パイ)がなくても良いように思うのですが、ついているのは何か論理的な理由があるのでしょうか?


あと、p205の図に方位角φを入れておくほうが良いように思うのですが。次のページでφのついて言及していますので。p208. の図のx'ベクトルの向きが軸上になっていますが、次ページの図との関係から軸上からずらした方が分かり良いように思うのですが。

では、失礼いたします。

  • 4πは必要です。というのは、(3.68)にあるように、積分すると答えがf(x)にならなくてはいけません。一番簡単なf(x)=1の場合だと、デルタ関数を単純に積分すると、答は1だということです。 -- 前野? 2014-06-11 (水) 20:45:03
  • 積分すると答が1になるのは次のページで説明してますが、この時ガウスの発散定理を使って球の表面積の積分に直すときにでてくる4πを打ち消すために、分母に4πをつけておかなくてはいけないのです。 -- 前野? 2014-06-11 (水) 20:46:09
  • 方位角は、円筒座標や極座標の角度と同じなのではありますが、確かにつけておいた方が親切かもしれませんね。次の図も含めて、次の版で修正を検討します。 -- 前野? 2014-06-11 (水) 20:47:45
  • どうもありがとうございます、よく分かりました。 -- karita-hiroshi? 2014-06-12 (木) 00:14:12

演習問題5-2について

Yope? (2014-04-09 (水) 22:37:31)

金属中における誘電率は真空中と同じくε_0として良いのでしょうか?
もし良いのであれば、これはどれほど一般的に成り立つものなのでしょうか?
ご回答お待ちしております。

  • ああ、これはちょっと説明が必要ですね。実際には誘電率はε_0ではないです。というか金属のような導体の場合に誘電率のようなものを誘電体と同じように定義するのは無理があります。そもそも誘電体における誘電率がε_0からずれるのは、分極電荷が現れることの効果を計算に入れるためでした。しかし、問題5-2で聞いているのは、2種類の導体の接合部分に現れる総電荷(真電荷と分極電荷の両方を含めたもの)です。分極電荷を計算にいれたくない時に電場Eの変わりに電束密度Dを導入し、分極電荷を考えなくて済む、というのが誘電率を導入することの意味なので、分極電荷も入れたものを計算する時には、誘電率にはε_0を使って、電荷を計算してよいことになります。このあたりの説明は本文または解答に後で追加しておきたいと思います。 -- 前野? 2014-04-09 (水) 23:40:29
  • なるほど、真電荷と分極電荷の双方を考慮するときは、金属中であってもε_0を使って議論できるわけですね。よくわかりました、ありがとうございます。 -- Yope? 2014-04-10 (木) 07:16:22

質問

ぜん? (2014-04-09 (水) 21:23:45)

初めまして。電磁気の本を院試のために使わせていただいてます。

質問なのですが(重複してたらすいません)

1章の章末1-1の(2)の解説で「角度をαからβまで変化させながら足していけ、という計算であるから、答えは中間の角度になるのは当然」と書かれていますがいまいちピンときません。。(3)の答えありきなら話は理解でするのですが。。

よろしくお願いします。

  • 下の図のように長さ1のベクトルが角度αからβまで回りつつ、その積分(足算)を行うと考えてみてください。${\alpha+\beta\over2}$を中心として対称な足算なので、結果はどまんなかの方向を向くわけです。 -- 前野? 2014-04-09 (水) 23:07:25

#ref(): File not found: "alphabeta.png" at page "よくわかる電磁気学サポート掲示板"

  • なるほど、ベクトルとしての考えですね。理解できました。ありがとうございました。 -- ぜん? 2014-04-11 (金) 15:38:38

P.301

物理のヒヨコ? (2014-01-20 (月) 04:11:15)

お早うございます。
お世話になっています。

P.301 の円筒座標のrot A の第3項の A_ρ が A_r になっています。

  • すいません、知らせていただいてありがとうございます。 -- 前野? 2014-01-20 (月) 11:40:24

演習問題2-6

物理のヒヨコ? (2014-01-18 (土) 03:23:39)

再び失礼します。

演習問題2-6 の解答で、e_ρ が e_r になっています。
それと、∂e_φ/∂φ は -eρ では無いでしょうか?

  • 御指摘のとおりです。近日中にファイルを直します。 -- 前野? 2014-01-18 (土) 07:13:18

極座標のシルエット

物理のヒヨコ? (2014-01-18 (土) 01:41:30)

今晩は。
お世話になっています。

チョット気になったのですが。
P.76 の左の極座標の図で、シルエット(影)が半円ではなくて
円筒になっていますが、これはこれで良いのでしょうか?

  • これは、この図を使った方がそれぞれのベクトルのx,y,z成分を計算しやすいだろう、ということでこうしています(もちろん半球にしても計算はできるのですが)。 -- 前野? 2014-01-18 (土) 07:11:10
  • ナルホドです。他の書籍では結果の座標式(?)だけさらりと載せてある、円筒座標や極座標のdivAやrotAを,根本から導出して納得できました。ありがとうございます<(_ _)> -- 物理のヒヨコ    ? 2014-01-18 (土) 13:08:33


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Last-modified: 2016-09-18 (日) 11:17:57 (1500d)