「よくわかる電磁気学」(東京図書)サポート掲示板(2016年10月15日まで)

電池、電源の電位

はじめ? (2016-10-15 (土) 02:48:32)

電池や電源は、どんな回路に繋いでも、どうして電位が一定なのか考えたのですが、答えが出ません。電池のメカニズムについては、電池の正極が電子を奪い、負極は電子を出すという単純なものだと思います。電場と抵抗の長さの関が一定である(電位が一定である)ということは、p160の図を参考にすると、抵抗の長さが伸びると、電荷同士の距離はそれに比例するように伸びるということですよね。(導線の断面が電子に比べてかなり大きいとみて、電場は距離に比例すると考えました。)電池は抵抗の大きさによって、電子を出す間隔を変えることができるのはどんな原理なのですか?

  • 「出す間隔を変える」なんてことは電池はやってません。電池のやっていることは、「正極から電子を奪い、負極から出す」だけなんですが、そのとき電池は自分の正極と負極の間の電位差が自分の起電力になるまでその仕事を続けます(というか、電池の能力でそこまでしか電子を運べない)。 -- 前野? 2016-10-15 (土) 07:15:17
  • ゆえに電池の正極と負極の電位差は定常状態においては一定の値Vを取ります(これは電池内部で起っている化学反応によって発生する電位差が決っているということです)。現実の電池では内部抵抗の問題がありますが、とりあえずは理想的状況としてそれを無視すれば、電池は「二つの極の間の電位差を一定にする」という動作のみを行います。 -- 前野? 2016-10-15 (土) 07:16:51
  • 抵抗の中で何が起こっているかは、電池の話を切り離して「抵抗の両端の電位差が一定になるように誰か(電池でもいいし、発電機でもいいし、自然現象で電位差が発生しててもいい)が調整してくれているとして考えましょう。 -- 前野? 2016-10-15 (土) 07:18:24
  • その状況で何が起こるかを説明しているのが160ページで、最終的に定常な電流が流れるようになる電荷配置に落ち着きます。ここを「電池が何をしているか」という視点ではなく「抵抗の電位差を誰か(何か)が一定にしているならば」という視点で読んでください。電池であれなんであれ、電位差一定の状況ならそうなることがわかるはずです。 -- 前野? 2016-10-15 (土) 07:20:50
  • 電池がなぜ「自分の両極の間の電位差を一定にする」という動作を行うかといえば、電池内部の化学反応によって出せる電位差が決っているから、ということになります。それは電磁気学というよりは、化学の方の事情です。 -- 前野? 2016-10-15 (土) 07:22:38

P270(11.20)について

昔の物理学生? (2016-10-14 (金) 10:04:58)

細かいことで恐縮ですが、(11.20)の第5項の次の符号は+よりも-のほうが分かりやすかと存じますが、如何でしょうか。

  • 失礼しました。右辺第4項の間違いです。 -- 昔の物理学生? 2016-10-14 (金) 10:10:29
  • ああ、なるほど。$+(-M_{i4}{\mathrm dI_{4}\over\mathrm dt} )+\cdots$と考えれば+でもどっちでもいいんですが、 -- 前野? 2016-10-15 (土) 07:25:45
  • どうせ直すのなら、$-\left(L_i{\mathrm dI_i\over\mathrm dt}+M_{i1}{\mathrm dI_1\over\mathrm dt}+\cdots\right)$の方向に直す方がいいかなぁ。 -- 前野? 2016-10-15 (土) 07:27:33
  • ご対応有難うございます。-()を使った先生の案は、-dΦ/dtに(11.19)を代入した結果ということが分かりやすいと思います。また、そのほうが、次の行のVi=-ΣMijdIj?/dtへの流れも宜しいのではと考えます。 -- 昔の物理学生? 2016-10-15 (土) 10:08:16

電池について

はじめ? (2016-10-12 (水) 20:27:29)

P159で回路中の電場が一定で、長さをかけて電位を算出しているのですが、電池を回路に繋いで、回路を長くすると起電力は上がるのでしょうか?そんなことがないとすると電場は長さに反比例することになるのですが、これはなぜですか?

  • 回路を長くするってことは抵抗が大きくなるので、起電力があがるのではなく電場が弱くなり電流が少なくなります(オームの法則ですね)。 -- 前野? 2016-10-12 (水) 21:30:37
  • なるほど。納得しました。電池正極と負極では正極の方が電位が高いと思うのですが、P167のループでは電流が電池に正から入り負から出ているというのはありえるのでしょうか? -- はじめ? 2016-10-12 (水) 21:39:48
  • 加えてもう一つ質問させていただきます。なぜオームの法則が成り立つのでしょうか? -- はじめ? 2016-10-12 (水) 22:21:33
  • 167の図では全部電流は正極から出て負極に入ってますが。なお、電池の正極に電流が入り負極から出るということは有りえます(電池の起電力に勝てるほどの電位差が外から与えられている場合ですね)。これは電池を「充電」している状況に対応します。もっとも、電池自体に充電能力がない場合(普通の乾電池などの場合)は過熱したりして危険ですが(説明書に「やらないでください」と書いてあります)。 -- 前野? 2016-10-12 (水) 22:22:34
  • オームの法則がなぜ成り立つかは本にえんえんと説明してありますので読んで下さい。 -- 前野? 2016-10-12 (水) 22:23:13
  • 167の図ではどのループでも最後に電池に正極から入り負極からでて、元の電池に電流が戻っているように見えます。各式の左辺の(最後の項にあたる) -- はじめ? 2016-10-12 (水) 22:50:58
  • V=RIとなるのはわかるのですが、V=RIというのはわかったのですが、結局、V=一定になるのがわかりません。 -- はじめ? 2016-10-12 (水) 22:54:12
  • 167ページの図の破線は電流じゃないですよ。キルヒホッフで電位差を考える順番の矢印です。 -- 前野? 2016-10-12 (水) 23:56:19
  • 電流の向きは導線(実線)につけられてる▶︎です。 -- 前野? 2016-10-12 (水) 23:57:42
  • Vは電池の起電力なんですから、電池の性能で決まっていて一定です。内部抵抗を考えれば電流が流れると下がりますが。 -- 前野? 2016-10-12 (水) 23:59:16
  • というかそれ以前に。オームの法則V=IRでのVとは「抵抗の両端の電位差」です。変わったら変わったで、その変わったvに応じてIが変わるだけのことです。 -- 前野? 2016-10-13 (木) 00:01:08
  • 電流I_1,I_2,I_3は負の値にならないのですか? -- はじめ? 2016-10-13 (木) 00:06:47
  • 電圧に応じて電流が変わるというのが当たり前だと仰っていると存じるのですが、そこがよくわかりません。電場にLをかけたものが電位であるとおもうのですが、Lが大きくなってもIは変わらないのではないですか? -- はじめ? 2016-10-13 (木) 00:19:19
  • $I_1,I_2,I_3$に関しては式が出ているのだから計算してみてください。正か負かは場合によります(全部正にはならないです)。 -- 前野? 2016-10-13 (木) 00:49:43
  • この場合、$I_1+I_2+I_3=0$(電流の保存から)なので、どれか一つ(あるいは二つ)は負でしょう。 -- 前野? 2016-10-13 (木) 00:50:31
  • V=IRなのだから、Rが一定ならVが変わればIが変わるのは当たり前です。また、Iが変わらないのならVとRが比例しなくてはいけません。 -- 前野? 2016-10-13 (木) 00:53:51
  • Vが変わらないでLが大きくなるという状況なら、L(導体の長さ?)が長くなれば抵抗が大きくなるから、電流が減ります(V=RIで、Rが増えればIが下がる)。「Lが大きくなってもIが変わらない」というのは電場が変わらないという状況を考えてますか?それならV=ELなのでLが大きくなるのに比例してVも大きくしないと電場は一定になりません。その場合、VとRが比例するのだからIは確かに変わりません。 -- 前野? 2016-10-13 (木) 00:56:00
  • こういう話をするときは「何を一定にして何を変えるか」を明確にしましょう。電池のようなものでVを作っているのならVは変わらないです。そのときLを変えたらRもIも変わります。 -- 前野? 2016-10-13 (木) 00:57:04
  • 電場が一定になる状況を考えているのなら、EとIは変わりませんが、そのときはLを変えればVもRも変わります。 -- 前野? 2016-10-13 (木) 00:57:37
  • 電流が負なら電池の正極に電流が流れ込んでると言って良いのではないでしょうか? -- はじめ? 2016-10-13 (木) 01:27:06
  • 電池のようなものに繋いだときはにはVはなぜ一定なのですか? -- はじめ? 2016-10-13 (木) 01:30:02
  • だから、「電池の正極に電流が入る負極から出ることは有りえます」と上にも書いたじゃないですか。 -- 前野? 2016-10-13 (木) 01:50:05
  • 電池というのは一定の電位差を作る装置だからです(どうやって作るかというと、化学反応で、というのが普通ですが)。 -- 前野? 2016-10-13 (木) 01:51:04
  • 一定電位差をつくるとすると電流が電池の正極から入って負極から出ることはありえないのではないでしょうか? -- はじめ? 2016-10-13 (木) 09:29:14
  • 今考えている状況に即して考えましょう。この回路において、電流を流そうとする作用をもたらす物がその電池一つしかないのならそうですが、他の電池もあり、そいつらも電位差を作ってますよね。 -- 前野? 2016-10-13 (木) 09:32:07
  • 極端な場合、100Vの電池と1Vの電池の正極同志、負極同志をつないだ(途中に抵抗は挟むとする)としたら、「100Vの電池が勝って」、1Vの電池の中では正極から入って負極に入る方向に電流が流れる、ということはありえると思いませんか??(1Vの電池が充電式でない場合は危険な回路ですが) -- 前野? 2016-10-13 (木) 09:34:26
  • なるほど、電池でも電位の重ね合わせのようなことが起きるのですね。1Vのほうは正極が負極に比べて1Vたかくなっているけれど、100Vの正極が負極に比べて100Vたかいから、1Vの電池から出た正電荷は100Vの負極に行くのですね。 -- はじめ? 2016-10-14 (金) 13:49:07

回路中の電子が受ける力

はじめ? (2016-10-12 (水) 17:56:29)

P158の(5.4)では電子がeEの力をうけているのですが、この時の電場は一定なのでしょうか?

  • 定常的な電流を考えているのだから、当然一定です。 -- 前野? 2016-10-12 (水) 18:04:51
  • P160に書いてありました。ありがとうございます -- はじめ? 2016-10-12 (水) 18:29:17

分極Pベクトルについて

はじめ? (2016-10-12 (水) 13:31:29)

P144の下から5行目に単位体積あたりとしたのが分極Pベクトルとあるのですが、P145の計算では5~6行目の天井から出る量は単位面積あたりの計算なのですが良いのですか?つまりP(x,y,z+Δz)ΔxΔyΔzという計算ではなくて良いのですか?

  • 145ページで計算しているのは「天井から出る電荷の量」であって、分極Pとは違うものです(分極の結果発生する現象ではありますが、分極Pそのものとイコールにはなりません)。そこは何を計算しているのかをよく見てください。 -- 前野? 2016-10-12 (水) 15:49:50
  • わかりました。ありがとうございます。 -- はじめ? 2016-10-12 (水) 17:53:33

静電場の持つエネルギーについて

はじめ? (2016-10-11 (火) 08:39:39)

コンデンサーにおいて(3.95)式を用いて静電場のエネルギーを算出するのですが、コンデンサーの内側だけでなく、外側の電場は積分しなくて良いのでしょうか?

  • ここでは外部に電場はないという近似を使ってます。 -- 前野? 2016-10-11 (火) 08:44:46
  • どうして近似を使えるのですか? -- はじめ? 2016-10-11 (火) 14:19:12
  • コンデンサが最初に登場した、55ページあたりを見てください。このあたりからずっと使っている近似です。そもそもこの近似を使ってなかったら、極板間の電場が簡単な式にはならないです。 -- 前野? 2016-10-11 (火) 14:37:25
  • わかりました。ありがとうございます。 -- はじめ? 2016-10-12 (水) 09:41:06

P144 4.5

はじめ? (2016-10-10 (月) 12:17:08)

ここでの話は誘電体に電場をかけて分極させたところに電荷を与えたときのはなしですか?

  • 「誘電体に電場をかけて分極させたところ」です。そこにさらに電荷を与えたりはしてません。 -- 前野? 2016-10-10 (月) 21:06:21
  • P145の上から12行めに真電荷があるのですがこれはなんですか? -- はじめ? 2016-10-10 (月) 21:23:27
  • そこから先は真電荷もある場合の話(一般的な話)になってます。144ページの段階では分極だけがある話です。 -- 前野? 2016-10-10 (月) 21:44:45
  • わかりました。ありがとうございます。 -- はじめ? 2016-10-11 (火) 08:32:16

P246の「ヒステリシス」について

昔の物理学生? (2016-10-10 (月) 09:27:32)

P246の「ヒステリシス」は極めて興味深いと感じました。このような現象を研究しているのは何という分野なのでしょうか?また、そのような分野の入門書としてはどのような本があるのでしょうか?ご教示頂けますでしょうか。

  • 「磁性体」の分野でしょうか。理論的には統計力学を使うことになるので、統計力学の教科書の最後の方に応用として出てくると思います。私は磁性については専門ではないので、入門書として適切な本というのは思い浮かばないです、すみません。 -- 前野? 2016-10-10 (月) 21:05:13
  • 「磁性体」ですね。それを念頭に勉強を続けます。お休みのところ有難うございました。 -- 昔の物理学生? 2016-10-10 (月) 22:36:10

P141の電気容量について

はじめ? (2016-10-10 (月) 00:50:26)

どんな導体でも形が変わらなければ、なぜ、QとVが比例関係にあるのですか?

  • これは「よくわかる初等力学」の掲示板からの転載です。 -- 前野? 2016-10-10 (月) 07:30:48
  • 重ね合わせの原理です。$q_1$という電荷が溜まったことにより$V_1$という電位差ができ、$q_2$という電荷が溜まったことにより$V_2$という電位差ができるのであれば、$q_1+q_2$という電荷が溜まったときは$V_1+V_2$という電位差になるだろう、と推測できます。これはつまり比例するってことです。 -- 前野? 2016-10-10 (月) 07:34:11
  • 転載までしていただきありがとうございます。わかりました!ありがとうございます。 -- はじめ? 2016-10-10 (月) 11:29:49

P241(10.5)について

昔の物理学生? (2016-10-08 (土) 12:28:20)

右辺第1項の分母がなぜe^2なのか質問しようとしましたら、2016-08-15 (月) 01:07:39の前野先生とちゃまろさんの問答を読んだら、解決しました。
このような質問を残して下さったちゃまろさんに御礼申し上げます。

  • お返事ありがとうございます!自分の解釈があっているのか不安なのでお聞きしますが、この鏡像法というのは、境界面で電位が等しくなるような電位の式を見つけるのが簡単になるというものですか? -- はじめ? 2016-10-10 (月) 11:27:18
  • コメントつける場所を間違えたのかな? 鏡像法はまぁ、そういうものです。 -- 前野? 2016-10-10 (月) 21:28:15

P137 4.2.1

はじめ? (2016-10-08 (土) 10:43:54)

前にもお伺いしたのですが、分からないので再び質問させていただきます。
わからないことは、負電荷のトータルが-Qであることと、電気力線が全部吸い取れることについて、なぜすべて吸い取る必要があるのか、なぜ-QであればQからでた電気力線をすべて吸い取れるのかということの3つです。

  • いろんな方向で考えることができますが、たとえば少し上に書いてあるように表面に現れる電荷は表面部分において、「Qの作る電場の面に平行な成分」を“全部”消さなくてはいけません。そういうことができるのは「ちょうど反対側にあるーQの電荷(鏡像)」だというのが鏡像法の考え方で、要は導体表面での境界条件を満たすように考えると、鏡像の電荷はーQでなくては、というのがまずあります。すると遠方(無限遠)から見るとQと鏡像の電荷ーQが両方あるように見えるので、無限遠まで届く電気力線はないはず。ということはすべて面に吸い取られているはず、ということになります。 -- 前野? 2016-10-08 (土) 17:07:26
  • 鏡像になれば、Qの電場のうち面に平行な成分は打ち消せることは肯けます。 しかし、ポアッソン方程式のx=0でρが0でなく、x=0でV=0である、というのの解き方がわからなくて困っています。それを解いて、初めて電荷が-Q現れるということがわかるのですか?(p137最下段にラプラス方程式とありますが、ポアッソン方程式の間違えではないでしょうか?)無限遠方からみると、とのことですが、電荷-Qは点電荷ではないので鏡像には見えないのではないでしょうか? -- はじめ? 2016-10-08 (土) 22:17:02
  • ラプラス方程式はポアッソン方程式の間違いです、すみません(ほとんどの場所で電荷0なので勘違いしました)。この問題の場合「ポアッソン方程式を解かなくていい」というのがありがたいところです。つまり、点電荷QとーQの作る電位を足算すると、わざわざもう一回とかなくても欲しい電位ができちゃった、というのが「鏡像法の肝」なわけです。 -- 前野? 2016-10-09 (日) 07:49:44
  • こういう話ができることの背景は「境界条件を満たすポアッソン方程式の解は一つしか無い」ということがあります。つまりとりあえず解を見つけてしまえば、それでOK。見つけ方としては「真面目に積分する」方法もあるけど、鏡像法という「楽をする」方法もある。とにかく「一つ答えになるのを見つければ、それで解だ」という点が大事になります。 -- 前野? 2016-10-09 (日) 07:52:28
  • 鏡像法を使っているときは導体面を消して、かわりにーQを持ってきている(そういうふうに考えても、左側では電場も電位も変わらない、というが鏡像法のありがたいところ)ので、無限遠方から見てQとーQがある、という状況を考えています。 -- 前野? 2016-10-09 (日) 07:55:15
  • 「どうして遠方まで電気力線が伸びていかないのか(電気力線は全部吸い取られるのか)」という疑問については、こういう考えもできます。電気力線が遠方でも残るということは、それだけその場所の電場はその分のエネルギーを持ちます。もし遠方では電場が0になっているなら、遠方でのエネルギー密度は0です。静電場はエネルギー最低の場所で平衡に達するはず、と考えると遠方まで電気力線が抜け出していかない状況が解として選ばれるはず。 -- 前野? 2016-10-09 (日) 08:00:11
  • どうして電荷が-Q現れるのかというのがよくわかりません。鏡像になる以外に面と平行成分を消すような電気量はないのですか?また、鏡像というのがよくわからないのですが、正反対側に-Qの点電荷が配置されているような電場をだす電荷分布のことを鏡像というのですか? -- はじめ? 2016-10-09 (日) 10:08:29
  • 鏡像は「Qの鏡像がーQ」のように使う言葉で、今の場合ーQそのもののことです。つまりは仮想的な存在で、実在の電荷分布を置き換えるものです。 -- 前野? 2016-10-09 (日) 12:33:40
  • 境界面で電位が0、無限遠でも:電位が0という境界条件を満す解は一つしかないので鏡像法で解が見つかればそれで十分です。 -- 前野? 2016-10-09 (日) 12:35:56
  • お返事ありがとうございます。アイデアはご教示のためによくわかったのですが、p139の補足の下から3行目のどこにも極大も極小もないのに境界で0になるということは全て0しかあり得ない、というのがよくわかりません。無限遠とx=0で電位が0だと極大、極小が出てしまうということでしょうか? -- はじめ? 2016-10-09 (日) 16:20:21
  • 境界条件はx>0では電位0とはならないのですか? -- はじめ? 2016-10-09 (日) 16:41:58
  • ここで言っている電位0とは -- はじめ? 2016-10-09 (日) 18:40:07
  • 無限遠ではわかるのですが、x=0ではなぜ電位が0なのでしょうか? -- はじめ? 2016-10-09 (日) 18:49:40
  • x=0で電位が0は納得しました 。 -- はじめ? 2016-10-09 (日) 19:17:51
  • 「無限遠とx=0で電位が0【でかつどこかに≠0の場所があると】だと極大、極小が出てしまう」ということです。 -- 前野? 2016-10-10 (月) 07:12:57
  • ありがとうございます!解決いたしました。 -- はじめ? 2016-10-10 (月) 18:26:15

伝わるのかわからないのですが

r? (2016-10-07 (金) 01:16:36)

rotのことを、水車を回す力とか表現しますよね
本書でも水流や電場車で似たようなことを考えていましたが、
rotはベクトルなので3方向あって、たとえばrotが3成分全て1のものを考えると、
それはそのベクトル場の中にある車を3方向(x,y,z軸それぞれを軸に)に回転することになりますよね
そんなことは可能なのでしょうか?

  • 回転というと、1方向またはせいぜい2方向までしか想像できません... -- 2016-10-07 (金) 01:17:21
  • rotは回転と言っても物体の回転じゃないので、「rotが(1,1,1)成分だからその方向に回転する」というのはちょっと違うんですが。普通の物体の回転の場合、角運動量が(1,1,1)だとしたら、(1,1,1)という方向を向いた軸の回りの回転になります。 -- 前野? 2016-10-07 (金) 07:44:12
  • たとえば(1,1,0)という角運動量を持っていれば、x軸とy軸の中間(45度の方向)を軸とした回転、のように。 -- 前野? 2016-10-07 (金) 07:44:45
  • なるほど。なんとなくわかってきました。ありがとうございます。 -- 2016-10-07 (金) 10:23:35

電気力線について

? (2016-10-06 (木) 23:23:01)

夜分遅くに申し訳有りません。
電磁気学を勉強し始めたばかりの者です。

26ページまで読ませて頂いたのですが、2点わからない点がありました。

❶「電気力線の定義と性質」の(2)がよくわかりません。
FAQにあるように、見やすい程度に調節して力線を描いているだけで、電気力線と電気力線の間にも電場が存在するというのは理解できました。

しかし、「見やすい程度に描いたもの」の単位面積当たりの本数=電場 という考え方がいまいちわかりません。見やすいかどうかは電気力線を描いた人が判断するものですし。
「見やすい」の基準が異なる2人が電気力線を描いたときに、(電気力線は枝分かれすることはないので)任意の2点での電気力線密度は(具体的な数字はともかく)大きいか小さいかの区別はつくので、それで電場の強弱くらいは見分けられるというだけでしょうか?

❷仮に鉛筆で電気力線を隙間なく埋めてしまえば電荷の付近では真っ黒に、電荷から離れれば離れるほど灰色に近づくし、また、「距離が遠くなればなるほど本数が減る、つまり反比例の関係にある」というのもわかります。
反比例ということに関しては逆二乗則と同じですが、逆二乗を表せているとは思えません。

長くなってしまいましたが、どうか宜しく御願い致します。

  • 図の上で線をどう引くかはもちろん人の勝手で、その「人の勝手」で実際に働く力は変わったりしません。図における線の密度と実際の電場の強さは、比例関係にある、という点だけ押さえればいいです。 -- 前野? 2016-10-07 (金) 07:47:34
  • ②の方ですが、まさにその考え方で逆自乗を表せています。そうして表せるのが電気力線を考える一番のメリットです。「表せているとは思えません」というのは、どういう点でそう思うのでしょう。 -- 前野? 2016-10-07 (金) 07:48:42
  • ①については理解できました。ありがとうございました。 -- ? 2016-10-08 (土) 00:20:48
  • ②についてですが、「色が薄くなっていく」ことが、正確に逆二乗則の「2乗」という数字を何故表しているのでしょうか、ということです。距離が遠くなればなるほど濃度が薄くなっていくという点で、「濃度と距離は反比例の関係にある」というところまではわかるのですが。 -- ? 2016-10-08 (土) 00:24:33
  • 電気力線の密度(単位面積あたりの本数)が電場になるように引く、というのが電気力線の定義なので、濃度と電場は比例します。 -- 前野? 2016-10-08 (土) 00:28:34
  • なるほど、逆二乗則を表現するための「定義」がきちんとされているのですね。 -- ? 2016-10-08 (土) 23:42:46

P235演習問題9-3(5)の解答p27wについて

昔の物理学生? (2016-10-06 (木) 21:47:29)

「荷電粒子は螺旋運動をしながら磁場に跳ね返される」とありますが、磁場に跳ね返される前後の動きを図でお示し頂けませんでしょうか。

  • 絵で描くのは(とくに正確に書くのは)ちょっとむつかしいですが、円運動しながら円が上下している感じで思い浮かべていただければ。 -- 前野? 2016-10-07 (金) 07:45:46
  • 早々のご対応有難うございます。いつの日かお時間できた折に、解析力学の位相空間の説明の際になされているようなグラフィック化を希望します。あれは非常に素晴らしかったです。 -- 昔の物理学生? 2016-10-07 (金) 07:52:31

P137 4.2.1

はじめ? (2016-10-06 (木) 10:59:28)

点電荷Qを置いた時、なぜトータルで-Qの電荷があらわれるこでしょうか?~
図ではQとすべての負電荷を囲む閉曲面では電気力線の本数が合計で0ではない気がするのですが。

  • 図に描かれていない部分も無限遠まで平板は続いています。そこに現れる電荷も含めて$-Q$です。 -- 前野? 2016-10-06 (木) 12:12:02
  • なぜ平板導体に-Qの電荷があらわれるとわかるのですか?Qと導体の距離に寄らないのですか? -- はじめ? 2016-10-06 (木) 13:04:13

クーロンの重ね合わせとガウス則について

ぽち? (2016-10-05 (水) 20:54:37)

クーロンの重ね合わせ原理からガウス則の導出は可能ですか?

  • 本の中でまさにそれを使って導出しているんですが…。 -- 前野? 2016-10-05 (水) 21:23:23
  • すみません、何ページに書かれているか教えていただけますでしょうか。52ページには複数の電荷が存在する場合について書かれてありますが、具体的な証明がなかったもので…。 -- ぽち? 2016-10-05 (水) 23:57:25
  • 52ページの説明では足りないですか? その前で単独電荷の場合に説明がしてあり、重ね合わせの原理があるおかげで複数電荷でも同様、ということがわかったのですから、これで導出されているのですが、何か不備と思われるところがあるでしょうか? -- 前野? 2016-10-06 (木) 06:29:07

演習問題3-8

はじめ? (2016-10-05 (水) 16:57:08)

P123の(3.95)では電場の自乗を積分していますが、演習問題3-8では電場の内積の積分だけでエネルギーが定まっています。演習問題3-8ではεE^2/2とεE'^2/2の積分はしなくて良いのでしょうか?

  • その積分してない部分は考えなくてよい、という説明がしてありますので、読んでください。 -- 前野? 2016-10-05 (水) 17:12:44
  • (3.95)の式に当てはめて計算したら間違った答えが出てしまうのでしょうか? -- はじめ? 2016-10-05 (水) 17:19:59
  • 「何を計算しようとしている問題なのか」という点から誤解があるようです。ここで計算したいのは「相互作用によって生まれるエネルギー」です。それを計算したいのに「相互作用がなくてもあるエネルギー」を入れては意味ないでしょう。 -- 前野? 2016-10-05 (水) 21:22:56
  • (3.95)では電荷を持ってくるのに必要なエネルギーを計算する方法ですが、演習問題3-8では、その式の1部だけを計算して電荷を持ってくるのに必要なエネルギー、すなわち位置エネルギーが算出出来ているのかが疑問なのです。 -- はじめ? 2016-10-05 (水) 21:38:28
  • だから、そのエネルギーを計算するのに邪魔な部分は計算してないのですが。あれでエネルギーになっているかどうかが疑問だというのなら、この問題ではなくそもそも${1\over2}\varepsilon_0E^2$というのがエネルギーになっているかどうかという問題でしょう。 -- 前野? 2016-10-05 (水) 21:53:49
  • (3.95)の式は電荷を持ってくるのに必要なエネルギーを出すものですよね?そもそもですが、電荷1つをもってくるのにεE^2/2の体積積分しただけの値のエネルギーがひつようなのでしょうか? -- はじめ? 2016-10-05 (水) 23:12:25
  • 「電荷一つを持ってくるのに必要なエネルギー」は「その電荷が近くにある場合の${\varepsilon_0\over2}\int|\vec E|^2\mathrm d^3\vec x$」と「その電荷が遠くにある場合の${\varepsilon_0\over2}\int|\vec E|^2\mathrm d^3\vec x$」の差です。 -- 前野? 2016-10-06 (木) 06:31:31
  • 考えたいのが「電荷一つを発生させるのに必要なエネルギー」だと、それは何もない状態から物体を出現させるのですから、非常に多くのエネルギーが要ります(いわゆる$E=mc^2$ですね)。 -- 前野? 2016-10-06 (木) 06:37:16
  • $|\vec E+\vec E'|^2=|\vec E|^2+2\vec E\cdot\vec E'+|\vec E'|^2$と電場の自乗の項を分けたとき、$|\vec E|^2$と$|\vec E'|^2$の部分は実は「変化しないエネルギー」です。実はマジメに計算すると無限大になる量なのですが、とにかく電荷がどの場所にあろうが、${\varepsilon\over2}|\vec E|^2$の積分は同じです(電荷が平行移動すると電場も一緒に平行移動するので、積分を行った結果は同じになる)。だから「電荷を持ってくるのに必要なエネルギー」を考えるときには「要らない部分」になるわけです。 -- 前野? 2016-10-06 (木) 06:42:52
  • というわけで、「相互作用のエネルギー」を考えるときには$2\vec E\cdot\vec E'$の部分だけを考えます。 -- 前野? 2016-10-06 (木) 06:43:23
  • εE^2/2を積分すると無限になるとのことですが、何もないところに電荷を持ってくるのに無限のエネルギーが必要ということでしょうか? -- はじめ? 2016-10-06 (木) 08:25:25
  • 「持ってくる」というのは「向こうにあるものをこっちに移動する」という意味で、「向こうにある電荷」が既に無限のエネルギーを持ってますから「持ってくる」には無限のエネルギーは要りません。何もない状態から「点電荷を作る」のなら無限のエネルギーが要ります。 -- 前野? 2016-10-06 (木) 08:36:50
  • 『持ってくる』という言葉をいい加減に使うと間違えます。エネルギーの話をするときは「変化前」と「変化後」を明瞭に考えないとまずいです。 -- 前野? 2016-10-06 (木) 08:40:06
  • あと、点電荷は無限大のエネルギーを持つというのは変なんですが、これは現実には「点電荷」というものはない(電荷を一点に集中させることはできない)ので、電磁気における「点電荷」というのはあくまで近似的な存在だと思ってください。 -- 前野? 2016-10-06 (木) 08:41:05
  • (3.85)では位置エネルギーを算出しているのですが、それを変形した、(3.95)では単純には位置エネルギーが出ないのでしょうか? -- はじめ? 2016-10-06 (木) 12:54:36
  • (3.95)だって立派なエネルギーですが「出ない」ってどういう意味でしょう? (3.85)と(3.95)の違いは部分積分しただけなので、本質的に同じ式です。どの点を心配しているのでしょうか?? -- 前野? 2016-10-06 (木) 20:10:09
  • (3.85)では電荷を運んでくるのに必要なエネルギーで、無限の値を取らないのに対して、(3.95)では運んでくるエネルギーが無限になっているということを心配しておりました。点電荷でなければどちらの式でも構わないのですか? -- はじめ? 2016-10-07 (金) 23:45:38
  • 点電荷でなかったら不都合はどこにもありません。 -- 前野? 2016-10-07 (金) 23:55:43
  • よくわかりました。いつもありごとうございます。 -- はじめ? 2016-10-08 (土) 10:35:59

電荷分布について

はじめ? (2016-10-05 (水) 09:01:01)

演習問題3-2などで、電荷分布を算出することがあるのですが、電荷の密度だけではなく、どういう範囲(座標)で存在しているかはわからないのでしょうか?

  • ??? 質問の意味がわからないのですが、じっさいρが求まるということは「どの場所にはどれだけ電荷があるか」は全部わかったことになります。電場がわかっている範囲ではすべて電荷密度もわかります。「わからないのでしょうか?」と言われても、全部わかると思うんですが、どういう状況で「わからない」場合があるとお考えでしょうか。 -- 前野? 2016-10-05 (水) 10:04:35
  • 3-2の(a)ではρ=2kεとなりますが、電荷密度2kεがどこにあるのですか? -- はじめ? 2016-10-05 (水) 14:11:17
  • どこにって、もちろん、$E_x=kx,E_y=ky,E_z=0$が満たされる場所なら、どこにでも、です(物理法則${\rm div} E={\rho\over\varepsilon_0}$で決まる電荷密度なんですから、例外はないです)。つまりこの電場があるところには一様に$2k\varepsilon_0$の電荷密度があります。 -- 前野? 2016-10-05 (水) 14:24:48
  • お返事ありがとうございます。電場の式が満たされるところに電荷密度2kεで電荷が分布しているとのことですが、例えば電荷密度と電場の式がをみて、「無限に広い平面上に電荷が均一に広がっている。」なんてことはわからないのでしょうか? -- はじめ? 2016-10-05 (水) 16:50:17
  • お返事ありがとうございます。電場の式が満たされるところに電荷密度2kεで電荷が分布しているとのことですが、例えば電荷密度と電場の式がをみて、「無限に広い平面上に電荷が均一に広がっている。」なんてことはわからないのでしょうか? -- はじめ? 2016-10-05 (水) 16:50:18
  • ますます言っている意味がわからないのですが、電荷密度が全部求まっていれば「電荷が均一に広がっているか」は当たり前にわかります。たとえば「どこでもρ=kです」という答えが出たら「どこでも電荷密度は均一だな」とわかります。「この部屋の中ではρ=kだけど、他の場所ではわかりません」と言われたら「この部屋の中では電荷密度は均一だけど、他の場所では均一ではないかもしれません」とわかります。 -- 前野? 2016-10-05 (水) 17:10:27
  • つまり、電荷密度が均一だとわかっているのに「わからないのでしょうか?」という心配をなぜするのでしょう??? -- 前野? 2016-10-05 (水) 17:11:03
  • 均一については電荷密度を見ればわかります。しかし平面上に広がっているのか、立体的にどのような形で広がっているのかはどのようにわかるのでしょうか? -- はじめ? 2016-10-05 (水) 17:23:00
  • 根本的に何か誤解しているように思えてならないんですが、電荷密度が平面上に広がっていれば平面上に広がっているだろうし、球状に広がっていれば球状に広がっているでしょう。形状も含めて電荷密度が表現しているはずなんですが。たとえば極座標で$0<r<R$で$\rho\neq0$、$R<r$で$\rho=0$なら球状の分布ですね。 -- 前野? 2016-10-05 (水) 21:21:13
  • では、(a)ではどのような形状になっているのですか? -- はじめ? 2016-10-05 (水) 21:40:19
  • (a)の問題には「どの範囲で電場がこうなっているか」という条件は与えてないので、全範囲でρが一定なのでしょう。ということは宇宙全体が均一な電荷に満たされているのでしょう。 -- 前野? 2016-10-05 (水) 21:52:21
  • 全範囲で一定ならz方向にも同じように電場は発生しないのですか? -- はじめ? 2016-10-05 (水) 23:04:59
  • 生じる場合もあります。${\rm div}\vec E={\rho\over\varepsilon_0}$は微分方程式ですから、電場を決めれば電荷密度は決まりますが、電荷密度を決めても電場は一つに決まりません。「電荷密度一定」という場合の電場はたくさん解があり、「x方向に一様」でも「y方向に一様」でも「z方向に一様」でも、あるいはx,y,z成分全部が一様でも解です(もっと複雑な解ももちろんあります)。つまり「z方向にも同じように電場は発生しないのですか?」の答えは「することもあるししないこともある」です。ここでは「電場→電荷密度」という方向で計算を行ってます。 -- 前野? 2016-10-06 (木) 06:34:52
  • わかりました。ありがとうございます! -- はじめ? 2016-10-06 (木) 08:09:59

P129

はじめ? (2016-10-04 (火) 15:54:47)

P128までの話はわかったのですが、P129の圧力や張力の話がよくわかりません。働くと書いてあるのですが、何に働くのですか??また、(3.105)の式の直前にこれを自乗してε1/2かけたもの、とあるのですが、なぜそのようなことをしているのかわかりません。教えてください。

  • どこに働くかというと、そこにある仮想的な面です。そこに押し合う力や引き合う力が働いています(今やっているのは静電場だから、当然つりあっています)。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 16:30:31
  • (3.105)で何をやっているのかわからない、ということですが、単位面積あたりの張力が${1\over2}\varepsilon_0E^2$になるということがわかっていて、$E$が求まったんだから自乗して${1\over2}\varepsilon_0$を掛けました、という計算をそのままやっているだけです。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 16:32:31
  • お返事ありがとうございます。静電場だから当然つり合うというのはなぜですか?仮想的な面は空間の一部で物体でもないのに力がかかるのですか? -- はじめ? 2016-10-04 (火) 16:51:15
  • つりあってなかったら「静」でなくなります(つまり時間変化してしまう)。仮想的な面は、あくまで「仮想的」なので、「実際に力がかかるのか」という意味では、かかりません。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 16:55:09
  • その仮想的な面に力が働いていると考えることの意味は、3.7.1節と3.7.2節で説明したことです。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 16:56:40
  • もう少し前に戻れば、何度も繰り返している「電気力線は短くなろうとする」「混雑を嫌う」という性質を「仮想的な面に仮想的な力が働いている」という考え方で捉えよう、というのがここでやっていることです。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 16:57:40
  • お返事ありがとうございます。つり合っていない時は仮想的な面が動くのですか?それはどのような意味を持つのですか?また(3.105)で張力が0でない(つり合っていない)のですがなぜですか?(コンデンサーについても) -- はじめ? 2016-10-04 (火) 17:04:02
  • (3.105)でもつりあってますよ。仮想的な面が両方から同じ力でひっぱられています。今は静電場しか考えてないんだから「つりあってない場合」は考えないでください。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 17:22:59
  • つりあってない場合を考えるとしたら電磁場が時間変化する場合で、そのときは「電磁場の運動量」や「電磁場のエネルギー」が時間変化していくことになります(つまり、つりあわないときは仮想的な面が動くのではなく、その場所の電磁場の運動量が変化する)。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 17:23:31
  • コンデンサーの場合について書き忘れましたが、この場合はマックスウェル応力だけではつりあいませんが、コンデンサーの極板を支える外力もあるのでそれを足せばやっぱりつりあいます。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 17:24:22
  • 仮想的な面という考え方が気に入らない(ぴんとこない)のでしたら、その面を境にして右側の電場と左側の電場がひっぱりあっている(あるいは押し合っている)と考えてくれてもいいです。押し合う相手が空間でなくコンデンサーの極板であるときは、外力がつりあう相手になる。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 17:32:51
  • P129の上から7行目の外部電場から正電荷が受けるクーロン力を作る、とあり、仮想的な面ではなく正電荷に力が働いているのですか? -- はじめ? 2016-10-04 (火) 17:48:08
  • だから、何もないところなら仮想的な面ですが、コンデンサーの極板なり正電荷なりのようなほんとうの物質に出会ったらそのときはその物体に力が働くわけです。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 17:49:40
  • 静電場では物質のあるなしにかかわらず、どの場所でどのような仮想的な面で切ってもその左右で力がつりあってます。仮想的な面が物質と空間との境界だったら、その物質に「実際の力」が働いている。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 17:50:52
  • 3.7.1についてですが、xが増える方向と反対向き、単位面積あたりε/2*E^2の力で張力が発生しているとあるのですが、これは先ほどと同様に仮想面についてですよね。xが増える向きに力をかけているものはなんですか? -- はじめ? 2016-10-04 (火) 18:43:28
  • なんでもいいです。コンデンサーの極板でもあると思って、誰か(何か)が手で引っ張って静電気力と釣り合わせていると思ってください。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 18:45:51
  • こういうのは、エネルギーを考えるときによくやりますよね。バネに$F=kx$という力を与えてひっぱると、バネに${1\over2}kx^2$のエネルギーが貯まる、というふうに。このときバネを人が引っ張ったか犬が引っ張ったかはどうでもよいことで、「つりあいながら仕事をした」という点だけが重要です。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 18:47:24
  • コンデンサーの引っ張りは外力によってつり合わせることができると思うのですが、コンデンサーの間の空間の仮想面ではどのようにつりあっているのですか? -- はじめ? 2016-10-04 (火) 19:01:04
  • コンデンサーの間って、金属板の内側って意味ですか? 金属内だから電場=0で電場は何の力も出してません。金属に(普通の)応力が働いているので、仮想面の左にいる金属と右にいる金属がひっぱりあっている感じになるでしょうか(金属が応力0状態ならそれもなし)。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 19:25:47
  • コンデンサーの極板と極板間の空間は電場によって負の向きに力がかかっていますが、つりあわせている正の向きの力はなんですか? -- はじめ? 2016-10-04 (火) 19:40:48
  • 空間の話は上にも書いたじゃないですか。電場の力は仮想面より上では下に働き、仮想面より下では上に働き、というふうにひっぱりあってます。極板と極板の間の直方体の空間を考えると、天井部分は電場によって上に引っ張られ、底部分は電場によって下に引っ張られて、つりあいます。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 19:49:47
  • お返事ありがとうございます。ようやくわかってきました。ありがとうございます! -- はじめ? 2016-10-05 (水) 08:57:41

P125

はじめ? (2016-10-04 (火) 14:04:23)

下から5行目の極板にはたらく引力はQE/2とあるのですが、電気量がQで電場がEなのでQEではないのですか?

  • 次ページに載っておりました。解決しました。 -- はじめ? 2016-10-04 (火) 14:06:30

P.132 [演習問題3-8]

鮒27? (2016-10-03 (月) 23:08:14)

既出かもしれませんが、E'(x)の式(問題文中の2つめの式)で電荷がqとなっていますがq'かと思います。
第1刷で勉強しています。

  • すいません、確かにq'ですね。訂正を入れたいと思います。御指摘ありがとうございます。 -- 前野? 2016-10-04 (火) 07:07:48

P71 ナブラについて

はじめ? (2016-10-01 (土) 05:20:16)

ナブラの定義通りならば、(2.42)のように、右辺が、h→0のとき{F(r,θ+h/r,Φ)-F(r,θ,Φ)}/hとなるのは当然なのですが、divAを算出する時に∇ベクトルと電場ベクトルの内積となるのがわかりません。流量の正味を計算する時にθ成分は、h→0で{F(r,θ+hθ,Φ)-F(r,θ,Φ)}/h ということにはならないのでしょうか?

  • {F(r,θ+hθ,Φ)-F(r,θ,Φ)}/hという計算では、まず「単位体積あたりの量」にならない(次元すら違う)という点がまずいです(hrで割ることにすればこの点は解消される)。もう一つは、θが違う場所では面積要素が違うので、単純にFの引算では流量を比較したことにならないです(67ページの図の「北の壁」と「南の壁」を参照)。 -- 前野? 2016-10-01 (土) 11:10:14
  • わかりました。ありがとうございます。 -- はじめ? 2016-10-02 (日) 07:24:51


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Last-modified: 2016-10-16 (日) 21:50:36 (1122d)