「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板

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2.3.2一般的な図形の等周問題について

田島? (2020-06-25 (木) 19:05:29)

p45において、「長さl1を式の中で条件に入れていないからである。」とあり、別の言い方をすれば、「dl^1=dx^2+dy^2」を加えればよいとあるのですが、これが図形の全周=l1と同値(等価)な条件になることがよくわかりません。
私なりに考えましたが、dlが微小長さに対応する条件が「dl^1=dx^2+dy^2」であり、p44の(2.66)のようにl=0~l1まで積分してあることと併せて全周=l1を考慮したことになっていると思いました。


2.3.3最速降下線に関して

田島? (2020-06-25 (木) 18:57:02)

p49の†24「t=0においてdy/dx=∞」とありますが、これはどこからわかるのでしょうか?どうもピンときません。


レヴィ・チビタ記号について

理科大学生? (2020-06-23 (火) 06:13:53)

(i,j,k)が(1,2,3)の偶置換とは
$~\sigma = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ i & j & k \end{array} \right)$

における置換σが偶置換であるということでしょうか。


作用の並進不変性について

理科大学生? (2020-06-20 (土) 14:47:09)

P.194で並進不変性を仮定した時に、経路が同等になりそうなのは分かりました。この時に、確かになりそうではあるのですが、ハミルトンの主関数の値が変化しないのは何故でしょうか。


誤植について

理科大学生? (2020-06-19 (金) 09:20:05)

第5刷ですが、P.207の(9.4)式の下が「*(アスタリスク)→★(星)」だと思われます。


(6.60)式について

理科大学生? (2020-06-18 (木) 00:01:53)

ωを(6.57)式のλの値を用いていますが、これは(T^t)MT=EになるようなTを固有ベクトルに既に(6.59)式で選択済みであるということなのでしょうか。


無題

理科大学生? (2020-06-12 (金) 04:21:41)

2016年に先生のご返答を確認して(5.96)式が成り立つことを理解しました。念のため確認ですが、微積分学的には陰関数定理ということでいいのでしょうか。


P.92  †13について

理科大学生? (2020-06-09 (火) 01:24:22)

(4.14)式の表面項自体は(4.12)式の右辺第2項の変分の表面項であるから、P.98の議論を根拠としてここを無視しても良いというのはどうかなと思うのですが、ここについて教えていただきたいです。


p.337_付録C.1_練習問題【問いC-1】について

kf? (2020-05-26 (火) 16:52:38)

p.337_付録C.1_練習問題【問いC-1】の解答(p.369)について、(C.12)をレヴィ・チビタ記号で計算したものは掲載されていましたが、(C.13)についての解答はありませんでした。
サポートページのログ及びこちらの掲示板にもないようでしたので、こちらの問題の解答を教えていただきたいです。
万一既に掲載済みで私が気が付いていないだけでしたら申し訳ありません。
ご回答よろしくお願いいたします。


p.151(6.47)式について

SP? (2020-04-21 (火) 00:12:32)

(6.47)式の下の説明に「T_1とT_2を定数倍して、T^tMT=Eとなるようにできる。」とありますがどのように定数倍すればよろしいのでしょうか。
浅学ゆえの質問ですが、回答宜しくお願い致します。


p.151(6.47)について

SP? (2020-04-18 (土) 23:33:42)

(T1)t M (T2)=0ならば(6.47)が成り立つ理由がわかりません。
また、行列内の(T1)1から(T2)2の意味するところがわからないので教えていただけますか。
回答よろしくお願いいたします。


P254(10.38)について

やまだ? (2020-04-15 (水) 18:36:36)

「n回繰り返し」の項についている係数についての質問です。Nを無限大にした時、
nがNに対して十分に小さい有限な値なら確かに係数は(10.38)にある通りに収束します。
ですが、nは0からNの範囲を取りうるはずです。nがNに十分に近づいても本当にこの係数は保たれますか?
Nを無限大にしない時、係数は
$\prod_{i=0}^{n-1} \frac{N-i}{N}\frac{1}{n!}$
です。ここでnをNに対して十分に大きく(例えばNのおおよそ半分)すれば、
$\prod_{i=0}^{n-1}\frac{N-i}{N}$
はNを無限大にすると0に収束するはずです。
返答よろしくお願いします。


p.39練習問題(問2-4)について

med? (2020-04-15 (水) 14:29:34)

p.39練習問題(問2-4)の解答についての質問です。
I の変分の第一項のルートの中にδy'が含まれていないのはなぜなのでしょうか。
回答よろしくお願い致します。


p363 問い10-5の解答について

小泉? (2020-03-20 (金) 09:23:45)

1)D.98でPを一定にしてQでPを微分した場合、 

  ∂P/∂Q=0ではないでしょうか?

  私は次のようにしました。qを一定と仮定,(D,12)を利用
  ∂P/∂p=(∂P/∂Q)×(∂Q/∂p)=(∂P/∂Q)×(-∂q/∂P)=-∂q/∂Q

   となります。

  ∂P/∂p=-∂q/∂Q、∂p/∂Q=-∂P/∂qを使うと{Q,P}=0となってしまいます。

2)D.98, D.99が成立した場合でも、D.100に於いて
  (∂Q/∂q)*(∂q/∂Q)=1, (∂P/∂q)*(∂q/∂Q)=1

  なので、{Q,P}=1+1=2 となるのではないでしょうか?

よろしくお願い致します。


p219 (9.42)について

小泉? (2020-03-01 (日) 13:59:55)

H=ΣP_i(dq_i/dt)-Lであるが、(9.42)ではラグランジアンLの扱いが省略されており、何故 H(q+ε・・,p-ε・・)=H(q,p)となるのか、理解できません。ご教示をお願いします。


p.267(10.83)について

tatsu? (2020-02-27 (木) 16:32:24)

$L=\frac{1}{2}m\left(\dot{Q}+gt\right)^2$

という加速系のラグランジアンから求めた運動量は$P=m\left(\dot{Q}+gt\right)$であり、

$K=P\dot{Q}-\frac{P^2}{2m}=\frac{P^2}{2m}-Pgt$ (10.83)

がハミルトニアンである。

という説明がありますが、$\left(q,p\right)\rightarrow \left(Q,P\right)$において、$\left\{Q,P\right\}_{\left(q,p\right)}=1$を確認しておりません。その後の母関数を使った変換で導いたハミルトニアン$K$と(10.83)のハミルトニアン$K$は一致するのですが、"(10.28)の段階"でのハミルトニアン$K$は正準変換によるハミルトニアンと言えるのでしょうか?

お忙しいところ申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。


p.255の説明の件

tatsu? (2020-02-24 (月) 06:31:30)

p.255に以下のような説明があります。

$\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$という正準変換を行ったとき、作用も

$\int\left(p\dot{q}-H\left(q,p\right)\right)dt\rightarrow\int\left(P\dot{Q}-H\left(q\left(Q,P\right),p\left(P,Q\right)\right)\right)dt$

と変化する。それでも正準方程式が変化しない為には、どんな条件が必要だろうか。・・・・・・・・・

つまりこの場合、正準方程式が変わらずにラグラジアンが変化する。そうなるのは

$\int\left(p\dot{q}-H\left(q,p\right)\right)dt=\int\left(P\dot{Q}-H\left(q\left(Q,P\right),p\left(P,Q\right)\right)+\frac{dG}{dt}\right)dt$

のように「表面項」になる量が付け加わった場合である。

上記の説明だと、$p\dot{q}=P\dot{Q}+\frac{dG}{dt}$という条件は正準方程式が変化しない条件というより、作用が変化しないための条件だと読み取れるのですが、$p\dot{q}=P\dot{Q}+\frac{dG}{dt}$という条件が正準方程式が変化しない条件である理由を教えて頂けませんでしょうか?

宜しくお願いいたします。


P.240の(9.40)式について

tatsu? (2020-02-20 (木) 00:10:50)

P.240の(9.40)式に$\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$という式がありますが、これは$\sum_i\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$ではないでしょうか?宜しくお願い致します。


ネーターの定理が時間並進性のとき成り立つ条件について

tatsu? (2020-02-18 (火) 16:52:05)

p.202のネーターの定理に「ある変数変換 $q_i \rightarrow q_i+\delta q_i$を行ったとき、

$L\left(\left\{q_*\right\},\left\{\dot{q}_i\right\}\right) \rightarrow L\left(\left\{q_*\right\},\left\{\dot{q}_i\right\}\right)+\frac{\text{d}J}{\text{d}t}$

とあった時」とありますが、単振動の時のラグラジアン

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$

は、$x\rightarrow x-\epsilon\dot{x}$の時、$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon kx\dot{x}-\frac{1}{2}\epsilon^2 k\dot{x}^2$ ・・・・(1)

となりますが、

$L\left(x,\dot{x}\right) \rightarrow L\left(x,\dot{x}\right)+\frac{\text{d}J}{\text{d}t}=L\left(x,\dot{x}\right)+\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(-\epsilon L\right)$

の条件は、$L(x,\dot{x})+\frac{d}{dt}(−ϵL)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2−\frac{1}{2}kx^2ーϵ(m\dot{x}\ddot{x}−kx\dot{x})$ ・・・・(2)

となり、(1)式と(2)式が一致しません。
ここで、(1)式において$\epsilon^2$の項は無視して、更に(2)式において$m\ddot{x}=-kx$を代入すると、(1)式は

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon kx\dot{x}$ ・・・(3)

(2)式は、

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon2kx\dot{x}$ ・・・(4)

となり、(3)式と(4)式は$\epsilon kx\dot{x}$の分だけ一致しません。
これは、一次元単振動のラグラジアン$L$が時間並進性を持たないと理解して宜しいでしょうか?宜しくお願い致します。


p151 λ_1 = λ_2 の場合扱い

小泉? (2020-01-25 (土) 09:41:25)

λ_1 = λ_2の場合、最終的には(6.49)の1行目のLの式を、対角行列に変換することが目的で論理を組み立てる必要があると考えます。シュミットの直交化と同様の方法を使うと欄外に説明がありますが、シュミットの直交化は互いに直交するベクトルをつくることが目的。どのように利用するかヒントをいただきたいと思います。


p66 3.3 仮想仕事の原理を使う例題 変位δθの扱い

小泉? (2020-01-03 (金) 09:51:48)

角θがδθ増える場合、手の仕事がFδθd(Lcosθ)/dθとあります。
これまでの議論から推論するに、δX=δθd(Lcosθ)/dθと考えることができると思いますが。なで、この等号=が成り立つか理解できないので、ご教授いただきたく思います。よろしくお願いいたします。



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