「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板

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2.2.1 反射の法則

川西? (2020-09-20 (日) 10:11:34)

初めて投稿します。私は大学生のときにサボってしまい今になって勉強している中年の者です。
第6刷を買って読み始めたところですが、わからないことがありますので教えていただければ幸いです。

p.30 の真ん中らへんに、点Rをずらしたときの入射光の経路の縮みが bR 、反射光の経路の伸びが ab と書かれています。

これについて私は、入射光の経路の縮みは (aR)sin(入射角) 、反射光の経路の伸びは (aR)sin(反射角) だと考えました。これらはそれぞれ bR 、 ab とは一致しないように思えます。
これはどのように考えればよいのでしょうか。


ラグランジアン の導出とダランベールの原理の関係

夏休み? (2020-09-17 (木) 00:30:24)

ラグランジアン を導出するには経路の変分を考えたとき、運動方程式が出てくるような物を求めるだけでラグランジアン は導出されると思うのですが、その導出とダランベールの原理の関係性がわかりません。ダランベールの原理なんて考えなくてもラグランジアン が導出できると思うのですが、この考えは間違ってますか?


P.22ni

FumaRu? (2020-09-11 (金) 01:45:13)

つりあいの位置や条件をポテンシャルの微分が0であることから求める際に、「力がつりあっている」のは物体が静止するための必要条件にすぎないので、つり合いの条件というのは静止または等速直線運動するための条件となると思うのですがこれは正しいでしょうか。


p.38 FAQについて

Sh? (2020-08-14 (金) 21:17:29)

突然失礼いたします。

掲示板を遡ると表題の件で同様の質問をされていた方がおり、先生にご回答いただいておりましたが、
それを拝見した部外の私がちゃんと理解できているかお尋ねさせていただければと思います。質問は以下です。
 (なにか)=0が結論できるのは、(なにか)の後ろについてくるもの、つまりδy(x)が独立な時だけ~
 という主張の根拠はなんでしょうか。また、δy'が独立でないということもよくわからないです。(以下略)
この質問に対し、先生は
 (前略)独立なのは$\delta y(x)$($x$は任意の場所)です。$y(x+\Delta x)$を変化させると、$y'(x)$と$y'(x+\Delta x)$が連動して変わります。
 そういう意味で独立ではないです。
と回答されました。
私なりに解釈したイメージなのですが、
 $\delta y(x)$の形だと独立(任意?)な場所$x$で関数$y$に任意の微小変化$\delta y(x)$を与えられる⇒(なにか)は常に0でなければならない、ことに対し、
 $\frac{d}{dx} \delta y(x)$では、例えばどこかの場所$x$で関数$y$に任意の微小変化$\delta y(x)$を与えたとすると、
 その隣の場所$x$に対する$\delta y(x)$も変わってしまう。(こちらで勝手に決めることができない⇒独立でない)
 ⇒連鎖的に全ての場所$x$での$\delta y(x)$が決定してしまう。⇒うまくやれば(なにか)が常に0にならずとも式が成立する組み合わせが存在する。
以上のように認識しておりますが、何かマズい理解をしているところはあるでしょうか。
浅学、長文、冗長で申し訳ありませんが、ご回答いただければ幸いです。


Liouvilleの定理と正準変換について

FumaRu? (2020-08-11 (火) 02:18:08)

深夜遅く失礼します。題名の通りLiouvilleの定理についてです。
他の資料に「体積積分が正準変換で不変となっている」ことがLiouvilleの定理だと記述されていたのですが、本書では「時間発展に関して位相空間内の体積が変化しない」ことがLiouvilleの定理だと記述されています。これらは記述している内容は違っても本質的には同じことを指しているのでしょうか。
返信お待ちしております。


p.114(5.10)について

KYU? (2020-08-09 (日) 11:41:51)

(5.10)の一行目から二行目の変形で$d/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j \partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i)=d/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i +d/dt(\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i)\partial L/\partial \dot{Q}_j となるはずですがd/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_iではなくd/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial Q_j/\partial q_iとなっているのはなぜですか。


P.208(9.9)について

FumaRu? (2020-08-06 (木) 18:40:13)

【FAQ】に(9.3)の両辺をpiで正しく微分すると(9.9)の式が出るとあります。私は(9.3)をqiで微分し、(9.6)の計算結果を使い、(9.9)と同様の式を出しました。計算結果は(9.3)と同じになりましたが、果たして正しい計算なのか不安になり、質問させていただきました。


P.86(4.1)について

FumaRu? (2020-08-04 (火) 17:06:12)

P.86(4.1)でつりあいの式⇄仮想仕事=0となっており、、P.61において→の証明をされています。同様に←の証明もできるのでしょうか?


5.1オイラーラグランジュ方程式と座標変換に関して

田島? (2020-07-16 (木) 17:14:32)

p112の(5.4)の形で書かれている変換に関して、オイラーラグランジュ方程式が共変になることの証明で、p114の(5.12)で∑(∂Qj/∂qi)(∂qi/∂Qk)=δjkとありますが、この式はどうして成り立つのでしょうか?((5.4)のヤコビ行列の逆行列が∂qi/∂Qkであるのはどうやって確かめられるのでしょうか?)


6.4連続な物体への極限に関して

田島? (2020-07-03 (金) 20:13:13)

①N+1本のばねがあり、ばね1本当たりのばね定数(N/x)をk=κ(N+1/L)としてありますが、κは単位長当たりのばね定数でしょうか?単位はどうなっているのでしょうか?
②そのあと、前の章でN個のモードの調和振動子に分解した解の角振動数に関してN→∞としたときの角振動数(6.87)を出し、「この解の1個1個のモードを見ると、個々の点が振幅Cpsin(pπ/Lx)角振動数ωpで振動していると考えられる」とありますが、sin関数の式はどうやって導出されたものかがピンときませんでした。また、このsinの式は時間に依存しない(tを含まない)ように見えますが、それは私の勘違いでしょうか?教えてください。


6.2.42重振り子に関して

田島? (2020-07-01 (水) 21:16:15)

p152の(6.53)の形のラグランジアンをp151の同時対角化の方法論を用いて変形して、最終的に(6.49)の形つまり、(6.42)と同形のラグランジアンを得ているわけですが、最後の分析で、θ1:θ2=√m:√Mでという条件が常に成り立つのがよくわかりません。その後ろの角速度ωをどうやって得たかは、√ばね定数/質量にあたるのが(6.49)のLの対角成分に並ぶ固有値だからですよね?


6.2.4の2重振り子のポテンシャルの平衡点に関して

田島? (2020-07-01 (水) 18:15:29)

p152の6.2.42重振り子において、(6.52)を得た後、ポテンシャルUの平衡点を求め、p141での「テイラー展開して、3次以上の項を無視★」という技法を用いていますが、今回の場合、U=-Mgl(cosθ1+cosθ2)という形で、第1項、第2項それぞれ独立して★がつかえますが、もしUの項にθ1θ2のような項が入っていたら、どうするのでしょうか?


6.1.2微小振動の単振動の微分方程式の解に関して

田島? (2020-07-01 (水) 18:06:37)

p141の6.1.2微小振動において、ポテンシャルU(x)をテイラー展開し、釣り合い点において、3次以上の項を無視した運動方程式(6.7)を導出し、それを解いて、(6.8)を得ていますが、(6.7)の解は、x-x0αexp(+kt)+βexp(-kt)(ただし、k=√ーU``(x0)/m、α、βは初期条件により定まる任意定数)の形ですが、(6.8)の形は任意定数がCのみの1つで表現されています。これは、どういうことなのでしょうか?


梯子の釣り合いの条件式をポテンシャルを用いて導出する方法

田島? (2020-06-26 (金) 20:25:55)

p68で梯子が釣り合う条件をポテンシャルを用いて導出しています。
F(梯子に加える力)が保存力だとして、そのポテンシャルを出し、拘束条件(床と壁に梯子は常に接触する)を考慮して、全ポテンシャルが極値をとる条件を出していますが、ポテンシャルが極値も持つならば、どうして力が釣り合っているといえるのでしょうか?


3.3仮想仕事の原理を使う例題に関して

田島? (2020-06-26 (金) 16:06:33)

p65において、
①(3.25)(2x)^2+(2y)^2=L^2というはしごが床と壁に接触しながら動くという拘束条件から、xδx+yδy=0★という式を出していますが、これは数学的にはどのような操作を行って導出したものなのでしょうか?
②また、(3.25)の少し上で、はしごに対して重力がする仕事はーmgδy(この状況ではδyは負である)とありますが、δy<0はどこからわかるのでしょうか?x,yはともに正であり、δx>0に動かしているので、★よりδy<0としましたが、式を経由せずともわかるような(自明な)事実なのでしょうか?


2.3.2一般的な図形の等周問題について

田島? (2020-06-25 (木) 19:05:29)

p45において、「長さl1を式の中で条件に入れていないからである。」とあり、別の言い方をすれば、「dl^1=dx^2+dy^2」を加えればよいとあるのですが、これが図形の全周=l1と同値(等価)な条件になることがよくわかりません。
私なりに考えましたが、dlが微小長さに対応する条件が「dl^1=dx^2+dy^2」であり、p44の(2.66)のようにl=0~l1まで積分してあることと併せて全周=l1を考慮したことになっていると思いました。


2.3.3最速降下線に関して

田島? (2020-06-25 (木) 18:57:02)

p49の†24「t=0においてdy/dx=∞」とありますが、これはどこからわかるのでしょうか?どうもピンときません。


レヴィ・チビタ記号について

理科大学生? (2020-06-23 (火) 06:13:53)

(i,j,k)が(1,2,3)の偶置換とは
$~\sigma = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ i & j & k \end{array} \right)$

における置換σが偶置換であるということでしょうか。


作用の並進不変性について

理科大学生? (2020-06-20 (土) 14:47:09)

P.194で並進不変性を仮定した時に、経路が同等になりそうなのは分かりました。この時に、確かになりそうではあるのですが、ハミルトンの主関数の値が変化しないのは何故でしょうか。


誤植について

理科大学生? (2020-06-19 (金) 09:20:05)

第5刷ですが、P.207の(9.4)式の下が「*(アスタリスク)→★(星)」だと思われます。


(6.60)式について

理科大学生? (2020-06-18 (木) 00:01:53)

ωを(6.57)式のλの値を用いていますが、これは(T^t)MT=EになるようなTを固有ベクトルに既に(6.59)式で選択済みであるということなのでしょうか。


無題

理科大学生? (2020-06-12 (金) 04:21:41)

2016年に先生のご返答を確認して(5.96)式が成り立つことを理解しました。念のため確認ですが、微積分学的には陰関数定理ということでいいのでしょうか。


P.92  †13について

理科大学生? (2020-06-09 (火) 01:24:22)

(4.14)式の表面項自体は(4.12)式の右辺第2項の変分の表面項であるから、P.98の議論を根拠としてここを無視しても良いというのはどうかなと思うのですが、ここについて教えていただきたいです。


p.337_付録C.1_練習問題【問いC-1】について

kf? (2020-05-26 (火) 16:52:38)

p.337_付録C.1_練習問題【問いC-1】の解答(p.369)について、(C.12)をレヴィ・チビタ記号で計算したものは掲載されていましたが、(C.13)についての解答はありませんでした。
サポートページのログ及びこちらの掲示板にもないようでしたので、こちらの問題の解答を教えていただきたいです。
万一既に掲載済みで私が気が付いていないだけでしたら申し訳ありません。
ご回答よろしくお願いいたします。


p.151(6.47)式について

SP? (2020-04-21 (火) 00:12:32)

(6.47)式の下の説明に「T_1とT_2を定数倍して、T^tMT=Eとなるようにできる。」とありますがどのように定数倍すればよろしいのでしょうか。
浅学ゆえの質問ですが、回答宜しくお願い致します。


p.151(6.47)について

SP? (2020-04-18 (土) 23:33:42)

(T1)t M (T2)=0ならば(6.47)が成り立つ理由がわかりません。
また、行列内の(T1)1から(T2)2の意味するところがわからないので教えていただけますか。
回答よろしくお願いいたします。


P254(10.38)について

やまだ? (2020-04-15 (水) 18:36:36)

「n回繰り返し」の項についている係数についての質問です。Nを無限大にした時、
nがNに対して十分に小さい有限な値なら確かに係数は(10.38)にある通りに収束します。
ですが、nは0からNの範囲を取りうるはずです。nがNに十分に近づいても本当にこの係数は保たれますか?
Nを無限大にしない時、係数は
$\prod_{i=0}^{n-1} \frac{N-i}{N}\frac{1}{n!}$
です。ここでnをNに対して十分に大きく(例えばNのおおよそ半分)すれば、
$\prod_{i=0}^{n-1}\frac{N-i}{N}$
はNを無限大にすると0に収束するはずです。
返答よろしくお願いします。


p.39練習問題(問2-4)について

med? (2020-04-15 (水) 14:29:34)

p.39練習問題(問2-4)の解答についての質問です。
I の変分の第一項のルートの中にδy'が含まれていないのはなぜなのでしょうか。
回答よろしくお願い致します。


p363 問い10-5の解答について

小泉? (2020-03-20 (金) 09:23:45)

1)D.98でPを一定にしてQでPを微分した場合、 

  ∂P/∂Q=0ではないでしょうか?

  私は次のようにしました。qを一定と仮定,(D,12)を利用
  ∂P/∂p=(∂P/∂Q)×(∂Q/∂p)=(∂P/∂Q)×(-∂q/∂P)=-∂q/∂Q

   となります。

  ∂P/∂p=-∂q/∂Q、∂p/∂Q=-∂P/∂qを使うと{Q,P}=0となってしまいます。

2)D.98, D.99が成立した場合でも、D.100に於いて
  (∂Q/∂q)*(∂q/∂Q)=1, (∂P/∂q)*(∂q/∂Q)=1

  なので、{Q,P}=1+1=2 となるのではないでしょうか?

よろしくお願い致します。


p219 (9.42)について

小泉? (2020-03-01 (日) 13:59:55)

H=ΣP_i(dq_i/dt)-Lであるが、(9.42)ではラグランジアンLの扱いが省略されており、何故 H(q+ε・・,p-ε・・)=H(q,p)となるのか、理解できません。ご教示をお願いします。


p.267(10.83)について

tatsu? (2020-02-27 (木) 16:32:24)

$L=\frac{1}{2}m\left(\dot{Q}+gt\right)^2$

という加速系のラグランジアンから求めた運動量は$P=m\left(\dot{Q}+gt\right)$であり、

$K=P\dot{Q}-\frac{P^2}{2m}=\frac{P^2}{2m}-Pgt$ (10.83)

がハミルトニアンである。

という説明がありますが、$\left(q,p\right)\rightarrow \left(Q,P\right)$において、$\left\{Q,P\right\}_{\left(q,p\right)}=1$を確認しておりません。その後の母関数を使った変換で導いたハミルトニアン$K$と(10.83)のハミルトニアン$K$は一致するのですが、"(10.28)の段階"でのハミルトニアン$K$は正準変換によるハミルトニアンと言えるのでしょうか?

お忙しいところ申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。


p.255の説明の件

tatsu? (2020-02-24 (月) 06:31:30)

p.255に以下のような説明があります。

$\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$という正準変換を行ったとき、作用も

$\int\left(p\dot{q}-H\left(q,p\right)\right)dt\rightarrow\int\left(P\dot{Q}-H\left(q\left(Q,P\right),p\left(P,Q\right)\right)\right)dt$

と変化する。それでも正準方程式が変化しない為には、どんな条件が必要だろうか。・・・・・・・・・

つまりこの場合、正準方程式が変わらずにラグラジアンが変化する。そうなるのは

$\int\left(p\dot{q}-H\left(q,p\right)\right)dt=\int\left(P\dot{Q}-H\left(q\left(Q,P\right),p\left(P,Q\right)\right)+\frac{dG}{dt}\right)dt$

のように「表面項」になる量が付け加わった場合である。

上記の説明だと、$p\dot{q}=P\dot{Q}+\frac{dG}{dt}$という条件は正準方程式が変化しない条件というより、作用が変化しないための条件だと読み取れるのですが、$p\dot{q}=P\dot{Q}+\frac{dG}{dt}$という条件が正準方程式が変化しない条件である理由を教えて頂けませんでしょうか?

宜しくお願いいたします。


P.240の(9.40)式について

tatsu? (2020-02-20 (木) 00:10:50)

P.240の(9.40)式に$\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$という式がありますが、これは$\sum_i\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$ではないでしょうか?宜しくお願い致します。


ネーターの定理が時間並進性のとき成り立つ条件について

tatsu? (2020-02-18 (火) 16:52:05)

p.202のネーターの定理に「ある変数変換 $q_i \rightarrow q_i+\delta q_i$を行ったとき、

$L\left(\left\{q_*\right\},\left\{\dot{q}_i\right\}\right) \rightarrow L\left(\left\{q_*\right\},\left\{\dot{q}_i\right\}\right)+\frac{\text{d}J}{\text{d}t}$

とあった時」とありますが、単振動の時のラグラジアン

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$

は、$x\rightarrow x-\epsilon\dot{x}$の時、$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon kx\dot{x}-\frac{1}{2}\epsilon^2 k\dot{x}^2$ ・・・・(1)

となりますが、

$L\left(x,\dot{x}\right) \rightarrow L\left(x,\dot{x}\right)+\frac{\text{d}J}{\text{d}t}=L\left(x,\dot{x}\right)+\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(-\epsilon L\right)$

の条件は、$L(x,\dot{x})+\frac{d}{dt}(−ϵL)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2−\frac{1}{2}kx^2ーϵ(m\dot{x}\ddot{x}−kx\dot{x})$ ・・・・(2)

となり、(1)式と(2)式が一致しません。
ここで、(1)式において$\epsilon^2$の項は無視して、更に(2)式において$m\ddot{x}=-kx$を代入すると、(1)式は

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon kx\dot{x}$ ・・・(3)

(2)式は、

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon2kx\dot{x}$ ・・・(4)

となり、(3)式と(4)式は$\epsilon kx\dot{x}$の分だけ一致しません。
これは、一次元単振動のラグラジアン$L$が時間並進性を持たないと理解して宜しいでしょうか?宜しくお願い致します。


p151 λ_1 = λ_2 の場合扱い

小泉? (2020-01-25 (土) 09:41:25)

λ_1 = λ_2の場合、最終的には(6.49)の1行目のLの式を、対角行列に変換することが目的で論理を組み立てる必要があると考えます。シュミットの直交化と同様の方法を使うと欄外に説明がありますが、シュミットの直交化は互いに直交するベクトルをつくることが目的。どのように利用するかヒントをいただきたいと思います。


p66 3.3 仮想仕事の原理を使う例題 変位δθの扱い

小泉? (2020-01-03 (金) 09:51:48)

角θがδθ増える場合、手の仕事がFδθd(Lcosθ)/dθとあります。
これまでの議論から推論するに、δX=δθd(Lcosθ)/dθと考えることができると思いますが。なで、この等号=が成り立つか理解できないので、ご教授いただきたく思います。よろしくお願いいたします。



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