「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板

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P204 演習問題8-3の(8.49)について

Shogo? (2022-08-21 (日) 14:52:04)

(8.49)の導出を教えていただきたいです。8.5ではεを角速度ベクトルのようにみて微小変位と結びつけてパラメータの微小変化を分解していましたが、剛体に固定されたframeの回転の場合はεを何と見ることで(8.49)を導出しているのでしょうか?


p224の(q,p+δp)のδtにおける位置の変化について

Jun? (2022-06-18 (土) 09:40:46)

p+δpのδtの変化ですが、本ではハミルトニアン(δpδtが掛かっている方)の偏微分がqの後pになっていますが、pの後qではないでしょうか。mathjaxの使い方が分からずこのような質問の書き方になりましたが、お願いします。


第4章

SH? (2022-05-25 (水) 10:06:41)

P91のFAQの下の行 


微分の計算について

大学一年生? (2022-03-29 (火) 03:09:55)

巻末の数学的知識の解説のお陰もあり本書はあまり問題無く読み進められているのですが、もっと初歩的な部分で自分の理解が足りていないと感じたのでこちらにご質問させていただきます。

$f(x(t), t) =X(x(t)) + T(t)$ とするとき、

$$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = \displaystyle\frac{\partial X}{\partial x}, \, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial t} = \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t},$$

$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t} = \displaystyle\frac{\partial X}{\partial x} \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}$$

であり、$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ というものない(そのような量を考えることはない)、という理解は合っていますでしょうか。

同様に、$g(x(t), t) =X(x(t)) \, T(t)$ であった場合には

$$\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x} =\displaystyle\frac{\partial X}{\partial x} \, T(t) = \displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} x} \, T(t),$$

$$\displaystyle\frac{\partial g}{\partial t} =X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t} =X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t},$$

$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} t} =\displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} t} \,T(x) +X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} =\displaystyle\frac{\partial X}{\partial x} \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \, T(t) +X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t}$$

であり、$\displaystyle\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}$ というものない(そのような量を考えることはない)ということでしょうか。

あるいは、$t \mapsto x(t)$ の逆写像 $x \mapsto t(x)$ を考えて

$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} = \displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} x} + \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} \, \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x},$$

$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} = \displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} x} \, T(t) +X(x(t)) \, \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} \, \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$$

のようにするのでしょうか。

また、これまで何冊か大学数学や物理の本を読んできて偏微分は(偏微分する変数以外を定数扱いするため例えば $X(x(t))$ を $t$ で偏微分するときに $x$ は $t$ の式として展開せずに「定数」 $x$ として扱うように)「中身の依存関係まで見に行かない」微分、(全)微分は(例えば $X(x(t))$ を $t$ で全微分するときに $x$ を $t$ の式として展開して微分したように)「中身の依存関係まで見に行く微分」というイメージを抱いているのですが、このような認識を持っていても大丈夫でしょうか。

このイメージのもとでは、上の例では($t$ は $x$ に依存しない量であるため、$t$ を $x$ の式として展開できない、すなわち「中身まで見に行けない」ため)$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ や $\displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x}$ などのような量は考えられないだろうと思いました。

初歩的かつ長い質問で申し訳ありませんが、ご回答いただけると大変幸いに存じます。よろしくお願いいたします。


p.36~p39の変分について

RR? (2022-03-25 (金) 23:42:25)

1. 関数$y$に対する変分$\delta y$と, 汎関数$I$に対する変分$\delta I$の違いについて触れられていませんが, これらは異なる概念と考えて良いでしょうか?
また, この場合$\delta I$に対する$\delta y$は$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$に対する$\mathrm dx$のようなものと考えて良いでしょうか?

2. 異なるとして前者についての質問です.
導関数の変分$\delta\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$がなぜ元の関数とその変分の和$(y+\delta y)$と元の関数$y$のそれぞれの微分の差になるのでしょうか?
変分$\delta y$の元の関数$y$に対する依存が分かりませんでした. 有限次元ベクトル$\mathbf x$の関数$f(\mathbf x)$の場合, 微小ベクトル$\mathrm d\mathbf x$は$x$とは関係なかったと思います.
これと同様に変分$\delta y$も関数空間上で何らかの意味で微小な関数であって, 元の関数$y$とは関係ないと考えた方が自然なように感じます.
また, $\delta y$を任意の微小関数していることからも, $y$の関数形に依存しない方が良いのではないでしょうか?

3. p.38で$X=\delta y^\prime$とするのであれば, (2.39)式の第二項の$\delta y$は$\delta y^\prime$ではないでしょうか?

この場合, (2.41)式の$\delta y$は$\delta y^\prime$になるので, 微分と交換して$\delta y^\prime=(\delta y)^\prime$となります. 
直後のFAQの通り考えると, これでは係数=0とできないのではないでしょうか?


p.339 (C.23) について

大学生? (2022-03-25 (金) 11:04:55)

ここは直交曲線座標に限った話なのでしょうか。一般の座標系では $i \neq j$ のときに内積が $0$ にならないのではないかと思ってしまいました。


誤記?

? (2022-03-22 (火) 12:26:32)

細かいですが p.148 の第一段落に二箇所ある「作用」は「ラグランジアン」と、p.152 の (6.54) の直前の文の「〜の 2 次以上を無視した作用である。」は「〜の 3 次以上を無視したラグランジアンである。」とされたほうが正確な気がします。


p.136 の (5.96) について

大学生? (2022-03-18 (金) 15:49:07)

式 (5.96) は $G_j(\{q_*\}, \{Q_{\star}(\{q_*\})\}) = 0$ を微分して

$\mathrm{d}G_j = \sum_{i=1}^{N-M} \frac{\partial G_j}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \sum_{k=1}^{M} \frac{\partial G_j}{\partial Q_k} \mathrm{d} Q_k$

$= \sum_{i=1}^{N-M} \frac{\partial G_j}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \sum_{k=1}^{M} \frac{\partial G_j}{\partial Q_k} \sum_{i=1}^{N-M} \frac{\partial Q_k}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i$

$= \sum_{i=1}^{N-M} \left( \frac{\partial G_j}{\partial q_i} + \sum_{k=1}^{M} \frac{\partial G_j}{\partial Q_k} \frac{\partial Q_k}{\partial q_i} \right) \mathrm{d} q_i = 0$

より成り立つと考えたのですが、正しいでしょうか。


p163の図について

? (2022-03-14 (月) 22:16:27)

p163の図について質問があります。
pが腹の数になるのはなぜでしょうか?また、振幅がCsin(pπ/ℓ)xと分かるのはなぜでしょうか?


p153の 6.60について

? (2022-03-13 (日) 00:11:58)

θ1:θ2=√m:√Mについてですが、この関係が固有ベクトルに対応したものだということは以前の掲示板を確認して分かったのですが、なぜ対応しているのか具体的な式、考え方が知りたいです。よろしくお願い致します。


p.88 から p.89 にかけて

大学生? (2022-03-12 (土) 18:43:23)

p.88 までに書かれている内容と、ラグランジアン($\frac{1}{2} m |\dot{x}|^2 - V(x)$)を導入すると p.89 以降の議論によりラグランジアンの時間積分が停留値をとるという条件から運動方程式が再現することは(それぞれ独立に)理解したつもりなのですが、p.88 の下に書かれている「無限個の連立方程式」を導く手段としてオイラー・ラグランジュ方程式が出てくることが理解できておらず、p.88 の内容と p.89 からの内容が頭の中でうまく繋がっていません。
アドバイスをいただければ幸いに存じます。


p.72 ポテンシャルの安定点について

? (2022-03-08 (火) 16:01:33)

$\displaystyle\frac{\partial U}{\partial r} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial r} \left( \displaystyle\frac{1}{4} Kr^4 - \displaystyle\frac{1}{2} kr^2 \right) = Kr^3 - kr$ より停留点は $r = 0$ または $r^2 = k/K$ を満たす点であり、$\displaystyle\frac{\partial^2 U}{\partial r^2} = 3Kr^2 - k$ より $\left.\displaystyle\frac{\partial^2 U}{\partial r^2} \right|_{r = 0} = -k, \ \left.\displaystyle\frac{\partial^2 U}{\partial r^2} \right|_{r^2 = k/K} = 2k$ となり、$k > 0$ ならばこれらの停留点のうち $r^2 = k/K$ を満たす点が特に安定点となると解釈したのですが、合っていますでしょうか。


p132 式5.81について

大学1年? (2022-02-09 (水) 13:57:15)

拘束Gのあるオイラーラグランジュ方程式について質問があります。
∂G/∂xの比例係数λが時間の関数として導入されていますが、時間だけでなくxにも依存して良いと考えたのですがどうでしょうか。
宜しくお願い致します。


p108 (4.76)(4.77)について

Sato? (2021-12-11 (土) 14:48:50)

p108の(4.76),(4.77)のmに添え字は必要ないのでしょうか.
ご教授いただければ幸いです.


無題

大学1年? (2021-12-02 (木) 21:20:25)

p77の式3.62から式3.63の詳しい導出過程が知りたいです。宜しくお願いします。


p.152 二重振り子(6.52)式の近似

ぺろり? (2021-10-20 (水) 12:03:38)

(6.52)から(6.53)の変形は、テイラー展開で2次の項まで残しているのは分かるのですが、$\cos (\theta _1-\theta _2)$を1と近似して良い理由がわかりません。2次の項まで残すのなら、$\cos (\theta _1-\theta _2)$から$\theta _1\theta _2$や$\theta _1^2$や$\theta _2 ^2$といった項も残ると思うのですが。


p.292 球対称ポテンシャル内の3次元運動

? (2021-09-20 (月) 10:22:36)

p.292の1.2行目で定数lは全角運動量Lに等しいと書いてありますが、なぜ等しくなるかが分かりません。5.2.3節から全角運動量を求めると \[\ \vert \vec{L} \vert = {\sqrt{(\dot{\theta})^2+(\dot{\phi})^2\sin{{}^2\theta}} }\]\ となりますが、これと定数lの関連性について教えていただきたいです


P.287 調和振動子

? (2021-09-19 (日) 12:54:17)

ハミルトニアンがtに依存しないので変数分離でき、保存量として
Eが見つかり、それを新しい運動量Pとするとハミルトンの主関数において、
独立変数をq,Pにとると新しい座標Qが(∂S ̅)/∂Pになるのはわかるのですが、なぜその新しい座標Qが保存すると言えるのでしょうか


p.110 演習問題4-2について

michi? (2021-09-18 (土) 21:41:30)

表題文中にある「重心の運動が自由粒子の運動と等価になる」とはどういうことかご教授いただけないでしょうか.


問い10-11

吉川晃生? (2021-09-17 (金) 22:04:36)

$\frac{\partial P_i (q,p)}{\partial q_j} = \frac{\partial p_j (Q,P)}{\partial Q_i}$  の導出過程を詳しく教えていただきたいです。


問い10-5

吉川晃生? (2021-09-14 (火) 22:18:55)

$\frac{\partial P}{\partial p} = \frac{\partial q}{\partial Q},
\frac{\partial Q}{\partial p} = -\frac{\partial q}{\partial P}$
を示せれば$J=1$となるのはどうしてですか?


P.38 FAQについて

michi? (2021-09-08 (水) 23:03:32)

$\int(なにか)\delta y(x) dx =0$について,なぜ$\delta y(x)$が独立でなければ$(なにか)=0$とすることができないのか,詳しく教えていただけないでしょうか.


無題

yamashita? (2021-05-18 (火) 20:15:44)

先生に質問して良いのか、迷ったのですが、質問させてください。
(教科書には載っていない内容なので迷いました。)
磁場がある場合の荷電粒子のラグランジアンで共役運動量を求めると、p=mv+eAとなりますが、
このeAの部分には何か物理的な意味合いがあるのでしょうか?
それとも解析力学で形式上出てきた項なのでしょうか?


p.158式(6.70)及びp.162下2行

Inaba? (2021-04-24 (土) 21:39:19)

・式(6.70)で$y_n=$と置いてますが、この式の右辺は行列Kの固有ベクトルの成分であって、n番目の質点の変位ではないと思うのですが、どういうことなのでしょうか?
・p.162の下2行で、「この解の一個一個のモードをみると〜」とあるのですが、「この解」が示されてはいません。ここで示されているのは極限をとった結果の角振動数だけです。単純な問題ではあるので、解の形を求めるのは省略して結果だけ書いたということでしょうか?


p.155変数変換

きょんきょん? (2021-04-07 (水) 17:43:00)

155ページの変数変換は小文字と大文字を入れ替えて「$\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{array}\right]=\mathbf{T}\left[\begin{array}{c}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\\\end{array}\right]$となるように新しい変数を導入してラグランジアンを書き直すと、…」としたほうがいいかもしれません。そうしないと$\mathbf{T}$が対称行列でないときにうまくいかないことがあります。



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