「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板

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(第6刷) ひととおり読み終わりました。

川西? (2020-11-28 (土) 14:20:25)

最後まで通して読み終わりました。

とてもわかりやすく書かれていて助かりました。他の教科書や著名ウェブサイトを見ても何のために何をやっているのかさっぱりわからなかったところが、この本では利点や目的が丁寧に説明されていて、よくわかりました。式変形で悩むこともなく、別のページで説明されている事柄は参照先が書かれているのでいちいち探す必要もなくて読みやすかったです。
このようなわかりやすい本を書いていただきありがとうございました。
一度ですべてを習得することはできないのでまた読み直したいと思います。

あと以下のようにいくつか局所的に疑問がありました。複数あってすみません。急ぎませんので時間は気になさらないでください。

(前野)ありがとうございます。後ろに書くと対応がわからなくなりそうなので、色を変えて個別に書きます。
《はじめに》
(1) pⅲの下から7行目の「考えて込んで」は「考え込んで」でしょうか。
(2) pⅳの枠の中の10行目の「どういう学問を知りたい」は「どういう学問かを知りたい」か何かでしょうか。
(前野)以上2つはおっしゃる通りです。


《目次》
(3) pⅺの7行目に「第12章 おわりに―解析力学と物理」とありますが、p298の第12章のタイトルは「さいごに―解析力学と物理」になっています。
(前野)「おわりに」で統一します。
《第1章》
(4) p15の下から4〜3行目の「角度座標は(2次元では(𝑟,𝜃)の𝜃)は、」は括弧の外の前後で「は」が重複しているようです。
(前野)「角度座標」のあとの「は」は取ります。

(5) p16の【補足】1行目の「ineratial」は「inertial」だと思います。
(前野)「inertial」に修正します。

《第2章》
(6) p38の(2.41)の次の行の「𝛿𝑦(𝑥₂)」は「𝛿𝑦(𝑥₀)」だと思います。
(前野)$\delta y(x_0)$に修正します。
《第3章》
(7) p61の(3.21)の次の行の下の薄い「(C.12)」は「(C.9)」だと思います。
(8) p70の図の中の「V」(4か所)は「U」ではないでしょうか。「第2刷で訂正されました。」とありますが第6刷で訂正されていないようです。
(9) p71脚注†19の1行目の「𝑥で微分して𝑎𝑦が出る」は「𝑥で微分して−𝑎𝑦が出る」ではないでしょうか。
(10) p71脚注†19の3行目の「$F_y=ay$」は「$F_y=ax$」だと思います。

《第4章》
(11) p92の(4.16)で3行目だけ積分の上端と下端が書いてありませんが、1〜2行目と同じ$t_i$から$t_f$まででよいでしょうか。
(12) p110の(4.84)の次の行の「ラグラジアン」は「ラグランジアン」だと思います。

《第5章》
(13) p113の(5.5)の4行下の行の「式でててくる」は「式ででてくる」でしょうか。
(14) p119の(5.30)の左辺第2項の「$|_{r,\dot\theta}$」は直前の括弧の中に入るのではないでしょうか。
(15) p119の(5.32)の左辺第2項の「$|_{r,h}$」は直前の括弧の中に入るのではないでしょうか。
(16) p130の2行目の「、物体」は「物体、」でしょうか。
(17) p137の【問い5-4】の1行目の「𝑋tan𝜃」は「−𝑋tan𝜃」だと思います。

《第6章》
(18) p140の9行目の「呼ばれる)。」の閉じ括弧に対応する開き括弧が見つかりません。
(19) p141の図の中の式で「𝑈(𝑥₀)」と「𝑈′(𝑥₀)」には場所を表す引数がついていますが、「𝑈″」(2か所)と「𝑈‴」にはそれがありません。
(20) p143の右下の図の中の「$\frac{h^2}{m^2 g^2 l^2}$」は「$\frac{h^2}{2m^2 gl^3}$」ではないでしょうか。
(21) p143の下から2〜1行目の「$\cos\theta≧0$の範囲(つまり$0≦\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲)」とありますが、cos𝜃=0 を含めるなら 𝜃=𝜋⁄2 も含まれるし、𝜃=𝜋⁄2 を含めないなら cos𝜃=0 も含まれないと思います。
(22) p154の6.3.1節タイトルの次の行の「三体連成振動(右の図のように、」の開き括弧に対応する閉じ括弧が見つかりません。
(23) p158の(6.70)の右辺はこれに$\sum_p Y_p$をかけて縮約したものになるのではないでしょうか。もしくは右辺をそのままにするなら左辺は$T_{np}$ではないでしょうか。($Y_p, T_{np}$は直後のpp160-161に出てくるベクトルや行列の成分)
(24) p159の(6.72)の5行下の行に「両辺」とあり、(6.74)の次の行に「右辺」とありますが、「両辺」が存在するような「=」を含むような式が近くにありません。
(25) p159の(6.75)の次の行の「$2\mathrm i\sin\frac{\alpha}{2}$」は「$-2\mathrm i\sin\frac{\alpha}{2}$」ではないでしょうか。2乗するので結果は同じですが。
(26) p161の【補足】の下から2行目の「一周分」は「2p周分」ではないでしょうか。
(27) p162の5行目の「グランジアン」は「ラグランジアン」だと思います。

《第7章》
(28) p177の(7.24)の左の式の右辺の$\omega$は$\vec{\omega}$でしょうか。
(29) p184の7.2.5節のタイトルの「軸に回りに回っている」は「軸の回りに回っている」か何かでしょうか。
(30) p190の【演習問題7-4】の「細い円板」は「薄い円板」でしょうか。

《第9章》
(31) p205の下から5〜4行目の「オイラー・ラグランジュ・ラグランジュ方程式」は「オイラー・ラグランジュ方程式」でしょうか。
(32) p206の9.1.2節タイトルの次の行の「ラグラジアン」は「ラグランジアン」だと思います。
(33) p212の(9.31)の次の行の$v(t)$は$v_i(t)$ではないでしょうか。
(34) p218の2行目の「𝑦軸」は「𝑞軸」か何かでしょうか。この付近の文章に𝑦軸は登場しないようです。
(35) p230の(9.74)の左辺の∑()内第2項の()内第1項の2つ目の偏微分の「𝜕𝐵」は「𝜕²𝐵」だと思います。
(36) p230の(9.75)の右辺に「{𝐵,𝐶}」があるなら、左辺と中辺に$\sum_j$が要ると思います。
(37) p237の(9.93)の4行下の行の下とp238の(9.96)の次の行の下に薄い「(7.41)」がありますが、特に後者は「(7.40)」だと思います。前者はどちらでもいいかもしれませんが。
(38) p239脚注†34の「$\dot{\psi},\dot{\phi},\dot{\psi}$」は「$\dot{\psi},\dot{\theta},\dot{\phi}$」だと思います。
(39) p241の(9.109)の左辺がハミルトニアンの「𝐻」ですが、この節(と【演習問題9-4】)ではコマの軸先〜重心の距離が「𝐻」と定義されていて右辺第4項にもそれが出てくるので記号が重複しています。
(40) p242の【演習問題9-4】の2・3・11行目に「対称ゴマ」とありますが、1行目と前節では「対称コマ」になっています。

《第10章》
(41) p250脚注†12の「【問い10-2】」が本文並みの大きい字になっています。
(42) p252の(10.26)と(10.27)に定数𝐴と𝛼がありますが、直前のp251にも𝐴と𝛼が出てきて、両者は別物だと思いますが記号が重複しているようです。
(43) p259の(10.58)の右の式の︸の下の「dQ」の位置が下にずれているようです。
(44) p263脚注†24の「凸関数でない」の下に薄い「→ p254」とありますがp254のどこを参照しているのかわかりませんでした。
(45) p275脚注†36の「からもしれない」は「かもしれない」でしょうか。
(46) p278の【演習問題10-3】の2行目に「パラメータ𝛿」とありますが、(10.137)には「𝛿」がなくて代わりに「𝜖」があります。

《第11章》
(47) p283の右上の図の中の「𝑡₁−𝑡₀」(3か所)は「𝑡−𝑡₀」でしょうか。
(48) p283の10行目の$p_i$は(量は同じですが)$\alpha_i$か$P_i$ではないでしょうか。
(49) p283の13行目の真ん中ら辺に「パラメター」とありますが、11〜12行目や下から2行目や脚注†8では「パラメータ」になっています。
(50) p283脚注†6とp284の1行目に「$\vec{x}_0$」・「$\vec{x}_1$」がありますが、これは$\vec{x}_0$の成分が$x_i^{(0)}$で$\vec{x}_1$の成分が$x_i$という意味でいいでしょうか。
(51) p287脚注†12の右辺第1項の分母の「2A」は「2」だと思います。
(52) p290の4〜6行目に「(11.40)の二つの複号をともに+と取った関数の勾配」とありますが、その場合$\frac{\partial \bar S}{\partial y}=-\sqrt{2m\left(E_y-mgy\right)}\leqq0$になるので、2番目の複号が+のときに下降で−のときに上昇ではないでしょうか。
(53) p295の下から4行目の「𝑟」は「𝑟₀」ではないでしょうか。

《第12章》
(54) p300とp302のページのいちばん上に「第12章 おわりに―解析力学と物理」とありますが、p298の第12章のタイトルは「さいごに―解析力学と物理」になっています。

《付録A》
(55) p306の下から2行目の「用意に」は「容易に」だと思います。
(56) p310の(A.27)の前の行の「$(a^{-1})_{ji}$」は「$(a^{-1})_{ij}$」ではないでしょうか。

《付録B》
(57) p319の(B.5)の2行上の行の「二階微分微分可能」は「微分」が重複しているようです。
(58) p319の(B.6)の3〜2行上の行の「表現すれば書けば」は動詞が重複しているようです。
(59) p327脚注†7は本来は『未定常数』という書き間違いの例が説明されるところだと思いますが、最初から「未定乗数」と正しい表記が書いてあるので書き間違いの例になっていないようです。
(60) p330のB.5.1節タイトルの前の行の「transfomation」は「transformation」だと思います。
(61) p332の(B.60)の2行上の行の「𝑦を微分」は「𝑦で微分」だと思います。

《付録D》
(62) p346の【問い2-1】のヒントで「縦の高さ」・「横の高さ」とありますが、それらは「高さ」ではないと思います。
(63) p349の【問い10-4】のヒントの「(10.56)の両辺を𝑝を一定として𝑞で微分」は「(10.56)の両辺を𝑞を一定として𝑝で微分」だと思います。
(64) p350の【問い10-10】のヒントの(D.16)の最右辺の第2項はマイナスだと思います。
(65) p351の【問い11-1】のヒントとp368の【問い11-1】の解答で「$x_i^{(1)}」・「t_1$」とありますが、問題では「$x_i$」・「$t$」になっていました。
(66) pp357-358の【問い5-2】の解答で「U」とありますが、問題では「V」になっていました。
(67) p360の【問い7-3】の解答で(D.79)から(D.80)に続いていますが、(D.80)はこれの2倍ではないでしょうか。
(68) p360の【問い8-1】の解答の1行目の「に、、」は読点が重複しています。
(69) p363の【問い10-5】の解答の2行目の「𝑝=𝑝(𝑄,𝑃(𝑄,𝑃))」は「𝑝=𝑝(𝑞,𝑄(𝑞,𝑝))」ではないでしょうか。
(70) p364の【問い10-8】の解答の(D.102)の1〜2行下の行の「独立であるとした書き直している」は「独立であるとして書き直している」か何かでしょうか。
(71) p366脚注†1に「$\frac{\partial x}{\partial p_x}$など」・「$\frac{\partial p_x}{\partial x}$など」とありますが、そのような成分はないので、「$\frac{\partial x}{\partial p_r}$など」・「$\frac{\partial p_x}{\partial r}$など」か何かでしょうか。
(72) p368の【問い10-12】の解答の続きの「$p_y-\frac{qB}{2}x$が定数」は「$p_y+\frac{qB}{2}x$が定数」だと思います。
(73) p368の【問いA-1】の解答の(D.125)の右の式の3行目のベクトルの第1成分の第3〜4項の「+𝑐𝑔𝑥+𝑐ℎ𝑦」は「+𝑏𝑔𝑥+𝑏ℎ𝑦」だと思います。
(74) p369の【問いA-3】の解答の続きの3行目の「𝑃≠𝑙」は「𝑝≠𝑙」だと思います。

《付録E》
(75) p1wの【演習問題1-3】のヒントの(E.2)の左辺に余分な縦線があります。
(76) p3wの【演習問題4-2】のヒントの(E.11)の左辺第2項の「$m$」は「$m_i$」だと思います。
(77) p7wの【演習問題9-4】のヒントの図とp26wの【演習問題9-4】の解答の図(2か所)の中で「$\theta,p_\theta$が一定を保つ点」とありますが、その点を通る瞬間だけ微分が0になるだけで有限時間そこにとどまることはできないので「一定を保つ」ことはないのではないでしょうか。
(78) p8wの【演習問題10-3】のヒントの1行目の「$\{Q_j,Q_k\}_{Q,P}$」は「$\{Q_j,Q_k\}_{q,p}$」ではないでしょうか。「$\{Q_j,Q_k\}_{Q,P}$」は計算するまでもなく直ちに0だと思います。
(79) p10wの【演習問題1-2】の解答の続きの3行目の「紙面(𝑥-𝑦面)に垂直な成分」は「紙面(𝑥-𝑦面)に平行な成分」ではないでしょうか。
(80) p13wの【演習問題4-2】の解答の1行目の「$\dot{\vec{x}}_i$」は「$\ddot{\vec{x}}_i$」ではないでしょうか。
(81) p23wの【演習問題8-3】の解答の続きの(E.139)の最後の行の分子の第3項の「sin²sin𝜃」は「sin²𝜃」ではないでしょうか。
(82) p23wの【演習問題8-3】の解答の続きの(E.140)の1行目の右辺の分子の第4項の「sin𝜓」は「cos𝜓」ではないでしょうか。
(83) p27wの【演習問題10-1】の解答の(E.152)の次の行に「$\frac{\partial x}{\partial p_x}$など」とありますが、そのような成分はないので、「$\frac{\partial x}{\partial p_r}$など」か何かでしょうか。
(84) p27wの【演習問題10-1】の解答の(E.154)の右の2番目の式の右辺第3項の「$-\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}$」は「$-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}$」ではないでしょうか。
(85) p28wの【演習問題10-1】の解答の続きの(E.157)の左の行列式の「$\left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & -\sin\theta\sin\phi \\ r\sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\ r\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|$」は「$\left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|$」ではないでしょうか。


(第6刷) 10.2.1 正準変換による作用の変化と母関数

川西? (2020-11-06 (金) 16:24:45)

p255でラグランジアンに $\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$ を足しても正準方程式が変わらないところがよくわかりません。そのあとに続くいろいろな例のように、 𝐺 には 𝑞, 𝑝 が入っていると思います。正準方程式を導くための変分においては、端点で 𝑞 を固定して、 𝑝 はどうするのでしょうか。

pp213-214 の「9.2 変分原理からの正準方程式」で作用の変分から正準方程式を出したときは、そこの脚注†⁸に書いてあるように端点で 𝛿𝑝 を0にする必要はありませんでした。端点で 𝛿𝑝 を0にしないなら $\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$ を加えたものを変分を取ったら端点での 𝛿𝑝 が影響して値がずれる心配がありませんか。

そうではなくて端点で 𝛿𝑝 も0に固定するのだとすれば、なぜ第9章では固定する必要がなくて第10章では固定するのでしょうか。
そして pp90-91 の【FAQ】では、端点での位置の変分を0にする理由は、答えを1つに決める(力学的自由度×2個の条件を定める)ためでした。それなら、端点での 𝑞 だけでなく 𝑝 も固定したら条件が多すぎにならないのでしょうか。


P102 (4.46)

学生? (2020-10-30 (金) 22:03:32)

p102(4.46)の下で~の時間微分となっているとあるのですが、そこからどうして、同じ式で表される力となるのですか?また、なぜL(加速系)-L(落体)という計算をしているのですか?


(第6刷) 9.6.1 角運動量とのポアッソン括弧

川西? (2020-10-26 (月) 19:41:59)

p235の上から3分の2くらいでやっている「簡単な例」と、p234(9.86)式の対応関係について、疑問があります。

p235の例で、 𝑥 軸回りに無限小 𝜖 回転してから 𝑦 軸回りに無限小 𝜖 回転したときと、その逆順に回転したときとの差を計算すると、
動く前の物体の位置が 𝑧 軸上にあった場合(本の例と同じ): 𝑧 軸回りに −𝜖²/2 回転
動く前の物体の位置が 𝑧 軸上でない場所にあった場合: 𝑧 軸回りに −𝜖² 回転
になると思います。

これと(9.86)式との対応を考えると、左辺の {*, Lx} と {*, Ly} の回転量がそれぞれ 𝜖 の1次であるのに対し、右辺の {*, Lz} の回転量は(本に書いてあるように) 𝜖 の2次で、しかもマイナスになります。そのような差異があるので「確かにこうなっていることを確認」したと思うには少しひっかかるのですが、これはどのような対応関係を考えればすっきり納得できるのでしょうか。今の話ではそこまで細かい対応を考えなくていいのでしょうか。
※ (9.86)式自体が成立することはわかりました。そこは疑問はありません。


p72 (3. 50)

学生? (2020-10-26 (月) 17:52:09)

「全く同じ数値である。」以下から(3.50)式がでてくるところまでがわかりません。座標変換の式はどうしてあのような式になるのですか。また、成り立ったとしても(3.50)が成り立つのも理解できません。ご教授お願い致します。


6.4.1 下から2行目

大学生? (2020-10-19 (月) 12:15:23)

各々の点の振幅がでてきますが、これはどのように導出したのですか?


p38, (2.42)

計算むずい? (2020-10-17 (土) 21:35:09)

この式において、xで微分すると定数になる理由がわかりません。y'はxに依存しているので、微分しても0にならないと思うのですが。


p57の滑車装置に関して

田島? (2020-10-16 (金) 21:41:44)

左側のシーソーをδr下げると右側物体が4δr上がるとのことですが、どういう計算になっているのでしょうか?詳細を教えてください。


p45の拘束条件の表現で導入した未定乗数λに関して

田島? (2020-10-16 (金) 20:17:57)

全周の長さがL1の曲線の最大面積を与える図形を求める問題で、(dx/dl)^2+(dy/dl)^2=1という拘束条件を加える際に未定乗数λを導入していますが、これが弧長パラメータlに依存するというのはどうしてでしょうか?巻末を読んだところλ(x,y)という関係にあるからだと思いましたが、それであっていますか?


6.46式について

数学苦手? (2020-10-14 (水) 17:50:58)

対称行列を使って6.46式をだすようですが、途中式がわかりません。


6.88式について

大学生? (2020-10-14 (水) 12:27:41)

6.67の式から、両端のバネの部分が抜けていますけど、なぜでしょうか?
また6.89式ではシグマがNでまとめられていますが、なぜでしょうか?


6.2.4二重振り子

大学生? (2020-10-12 (月) 17:02:06)

6.59で固有ベクトルが分かりましたが、その後のθとの関係性がなぜそうなるのかよくわかりません。


p321-循環座標について

s? (2020-10-12 (月) 14:47:19)

ラグラジアンLがxiを含まない場合に、dtで微分したら、0になる理由がわかりません。xi含んでいるとなぜ0にならないのですか?


(第6刷) 7.3.1 自由に回転する剛体

川西? (2020-10-10 (土) 20:04:29)

p186脚注†¹⁸ の $\frac{\mathrm d \vec \omega}{dt}=\vec\omega\times\vec L$ はなぜ成り立つのでしょうか。
計算すると左辺は $\frac{\mathrm d \vec \omega}{\mathrm dt}=\dot\omega_X{\bf\vec e}_X+\dot\omega_Y{\bf\vec e}_Y+\dot\omega_Z{\bf\vec e}_Z$ になって右辺は $$\begin{eqnarray*} \vec\omega\times\vec L &=& \left(\omega_X{\bf\vec e}_X+\omega_Y{\bf\vec e}_Y+\omega_Z{\bf\vec e}_Z\right)\times\left(I_{XX}\omega_X{\bf\vec e}_X+I_{YY}\omega_Y{\bf\vec e}_Y+I_{ZZ}\omega_Z{\bf\vec e}_Z\right) \\ &=& \left(I_{ZZ}-I_{YY}\right)\omega_Y\omega_Z{\bf\vec e}_X+\left(I_{XX}-I_{ZZ}\right)\omega_Z\omega_X{\bf\vec e}_Y+\left(I_{YY}-I_{XX}\right)\omega_X\omega_Y{\bf\vec e}_Z \\ &=& -I_{XX}\dot\omega_X{\bf\vec e}_X-I_{YY}\dot\omega_Y{\bf\vec e}_Y-I_{ZZ}\dot\omega_Z{\bf\vec e}_Z \end{eqnarray*}$$ になるかと思いましたが、これだと方向が違うし、もともと両辺で次元が合っていないように見えます。ここはどう計算すればいいのでしょうか。


演習問題5-3

数学苦手? (2020-10-07 (水) 19:43:50)

静止摩擦力が向心力となる理由がわかりません。


5.4章末問題 演習問題5-1 (2)

大学生? (2020-10-07 (水) 17:58:00)

万有引力ポテンシャルの微分が位置と速度の内積で表されてますが、位置ベクトルと速度ベクトルが同じ方向でない場合、計算に違いが生じると思います。


(第6刷) 5.3.3 変数の消去

川西? (2020-10-03 (土) 10:20:28)

p136 (5.96)の左辺第2項の左側の偏微分が $\frac{\partial G_j}{\partial Q_k}\biggr|_{q_i,Q_\overline{k}}$ のように、 $q_i$ と $Q_\overline{k}$ を一定にすることになっていますが、この場合 $q_i$ 以外の $q_*$ が勝手に動いても影響ないのでしょうか。

以下のところまではわかったつもりです。
すなわち、拘束条件を解いた(5.88) $Q_i=Q_i(\{q_*\})$ を $G_j (\{q_*\}, \{Q_★\})$ に代入してから $q_i$ で偏微分したものは $$ \frac{\partial G_j (\{q_*\}, \{Q_★(\{q_*\})\})}{\partial q_i}{\biggr|_{{\{q_\overline{i}}\}}}= \frac{\partial G_j (\{q_*\}, \{Q_★\})}{\partial q_i}{\biggr|_{\{{q_\overline{i}}\},\{Q_★\}}}~+ \sum_k\frac{\partial G_j (\{q_*\}, \{Q_★\})}{\partial Q_k}{\biggr|_{\{q_*\},{\{Q_\overline{k}}\}}}
\frac{\partial Q_k (\{q_*\})}{\partial q_i}{\biggr|_{{\{q_\overline{i}}\}}} $$ のように表されるが、左辺は定数0の微分なので0。だから右辺も0。
((5.96)と(5.95)では 𝑗 と 𝑘 の役割が入れ替わっている。(5.96)の $\{Q_*\}$ は(5.87)・(5.92)の $\{Q_★\}$ に対応。)

このように考えましたが、上式の右辺と(5.96)の左辺を比べると第2項の左側の偏微分に差異があって、 $q_i$ 以外の $q_*$ を一定にしないと何が起きるのかわかりませんでした。


p.44 式(2.68)

0? (2020-09-30 (水) 22:33:04)

左辺第一項の$\frac{dy}{dl}$は、
$$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x} \left( x\frac{dy}{dl}-y\frac{dx}{dl} \right)$$
の計算の結果かと思いますが、$L$の右辺第二項の$x$微分がなぜゼロになるのでしょうか。
微小量$dx$の微小量を取るから、近似的に0ということでしょうか。


(第6刷) 3.6.3 一般座標におけるラプラシアン

川西? (2020-09-26 (土) 10:15:46)

pp. 80-81 で変分原理を使って3次元極座標のラプラシアンを求める手順の最後で、(3.83)の2行目から3行目のようなを変形する、すなわち両辺を −2r² sin θ で割るべきだというのは何から判断するのでしょうか。
あらかじめ答え(3.72)を知っているなら、 −2r² sin θ で割ればちょうどいいことがわかるのですが。

ウェブサイトの「いろもの物理Tips集」の「極座標のラプラシアンの出し方いろいろ」も拝見しました。
そちらでは ∆𝑓 = 𝜌 というポアソン方程式が出てくる作用を使うやり方が載っていました。そのやり方なら、右辺が 𝜌 になるように両辺を何倍かして調整すれば、左辺が自動的に ∆𝑓 になって、ラプラシアンが求められることが理解できました。
一方、本のやり方はラプラス方程式 ∆𝑓 = 0 が出てくる作用なので、方程式は出てきましたが、右辺が0なのでラプラシアン自体を導出するために最後に両辺を何倍すればいいかわかりませんでした。


(第6刷) 3.6.2 懸垂線の方程式

川西? (2020-09-25 (金) 13:02:09)

横道にそれた疑問かもしれませんが、pp. 76-78 で(3.58)の変分から解(3.66)を求める物理的な意味について確認したいです。

まず前置きとして、長さ L (定数)の糸の両端を特定の位置 (x₁, y₁) と (x₂, y₂) に固定したときの糸の形を求めるために、【問い3-3】または【問い3-4】の答えの式を使えばよいことはわかりました。
例えば p.355 (D.47) の y = C cosh (C⁻¹x + D) + E を使えば、
(1) 曲線が (x₁, y₁) を通る。
(2) 曲線が (x₂, y₂) を通る。
(3) 曲線の長さが L である。(【問い3-3】の問題文1〜2行目の式を使う)
の3条件を用いて3つの任意定数 C, D, E の値が決まります、と理解しています。

それで本題ですが、定数項がない(3.66)のような式 y = B⁻¹ cosh (Bx + D) (面倒なので √C を B と置きました; Bは正)は任意定数が2つしかありません。
この場合、上記(1)(2)の条件(両端の座標)を用いれば B と D の値が決まり、それに伴って糸の長さ L も自動的に決まってしまう( L は自由に選べない)のでしょうか。
つまり((3.68)でなく)(3.58)の変分を考えて解(3.66)を求めた作業は、実はこういう問題を解いたことになるのでしょうか →「両端の座標を決めたとき、糸の長さ L をいくらにすれば糸全体の位置エネルギーが停留値になるか、そしてそのときの糸の形はどうなるか?」(ここで求まった解は、Lの値を変える実現可能な変化に対しても、懸垂線じゃない形に変える実現不可能な変化に対しても、どちらの方向にも停留する。)

そうだとすると、この問題は y 座標の原点(というか位置エネルギーの基準点)の位置に依存して解の L が(したがって糸の形も)変わりますよね。
簡単のため両端の位置を (-a, b), (a, b) とする(aは正)とします。
すると D=0 となり、 B については、
(i) b∕a がある値(*)より小さい場合、条件を満たす B はありません。この場合は停留値は存在せず、 L を大きくするほど糸全体の位置エネルギーは単調に減少し、いくらでも -∞ に近づきます。
(ii) b∕a がそれより大きい場合、条件を満たす B は2つあります。この場合は L を 2a から始めてだんだん長くしていくと糸全体の位置エネルギーが、最初は減少し、あるところで増加に転じ、またあるところで減少に転じた後いくらでも -∞ に近づきます。このとき極小値を取る L は、b/a が大きいほど小さくなります(例えばaを固定すると、bが大きい場所(高いところ)でやるほど L を小さくするべし、となる)。
のようになると思われます。

(*) X² (arsinh² X - 1) = 1 の正の解

この解釈であっているでしょうか、どこか間違っているでしょうか。
(3.58)と(3.68)の違いは、【問い3-3】や†³⁰では「yの平行移動」という簡単な説明になっているので、(3.58)の変分の意味が本当に上のような複雑な問題と考えられるのか不安になりました。


2.2.1 反射の法則

川西? (2020-09-20 (日) 10:11:34)

初めて投稿します。私は大学生のときにサボってしまい今になって勉強している中年の者です。
第6刷を買って読み始めたところですが、わからないことがありますので教えていただければ幸いです。

p.30 の真ん中らへんに、点Rをずらしたときの入射光の経路の縮みが bR 、反射光の経路の伸びが ab と書かれています。

これについて私は、入射光の経路の縮みは (aR)sin(入射角) 、反射光の経路の伸びは (aR)sin(反射角) だと考えました。これらはそれぞれ bR 、 ab とは一致しないように思えます。
これはどのように考えればよいのでしょうか。


ラグランジアン の導出とダランベールの原理の関係

夏休み? (2020-09-17 (木) 00:30:24)

ラグランジアン を導出するには経路の変分を考えたとき、運動方程式が出てくるような物を求めるだけでラグランジアン は導出されると思うのですが、その導出とダランベールの原理の関係性がわかりません。ダランベールの原理なんて考えなくてもラグランジアン が導出できると思うのですが、この考えは間違ってますか?


P.22ni

FumaRu? (2020-09-11 (金) 01:45:13)

つりあいの位置や条件をポテンシャルの微分が0であることから求める際に、「力がつりあっている」のは物体が静止するための必要条件にすぎないので、つり合いの条件というのは静止または等速直線運動するための条件となると思うのですがこれは正しいでしょうか。


p.38 FAQについて

Sh? (2020-08-14 (金) 21:17:29)

突然失礼いたします。

掲示板を遡ると表題の件で同様の質問をされていた方がおり、先生にご回答いただいておりましたが、
それを拝見した部外の私がちゃんと理解できているかお尋ねさせていただければと思います。質問は以下です。
 (なにか)=0が結論できるのは、(なにか)の後ろについてくるもの、つまりδy(x)が独立な時だけ~
 という主張の根拠はなんでしょうか。また、δy'が独立でないということもよくわからないです。(以下略)
この質問に対し、先生は
 (前略)独立なのは$\delta y(x)$($x$は任意の場所)です。$y(x+\Delta x)$を変化させると、$y'(x)$と$y'(x+\Delta x)$が連動して変わります。
 そういう意味で独立ではないです。
と回答されました。
私なりに解釈したイメージなのですが、
 $\delta y(x)$の形だと独立(任意?)な場所$x$で関数$y$に任意の微小変化$\delta y(x)$を与えられる⇒(なにか)は常に0でなければならない、ことに対し、
 $\frac{d}{dx} \delta y(x)$では、例えばどこかの場所$x$で関数$y$に任意の微小変化$\delta y(x)$を与えたとすると、
 その隣の場所$x$に対する$\delta y(x)$も変わってしまう。(こちらで勝手に決めることができない⇒独立でない)
 ⇒連鎖的に全ての場所$x$での$\delta y(x)$が決定してしまう。⇒うまくやれば(なにか)が常に0にならずとも式が成立する組み合わせが存在する。
以上のように認識しておりますが、何かマズい理解をしているところはあるでしょうか。
浅学、長文、冗長で申し訳ありませんが、ご回答いただければ幸いです。


Liouvilleの定理と正準変換について

FumaRu? (2020-08-11 (火) 02:18:08)

深夜遅く失礼します。題名の通りLiouvilleの定理についてです。
他の資料に「体積積分が正準変換で不変となっている」ことがLiouvilleの定理だと記述されていたのですが、本書では「時間発展に関して位相空間内の体積が変化しない」ことがLiouvilleの定理だと記述されています。これらは記述している内容は違っても本質的には同じことを指しているのでしょうか。
返信お待ちしております。


p.114(5.10)について

KYU? (2020-08-09 (日) 11:41:51)

(5.10)の一行目から二行目の変形で$d/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j \partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i)=d/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i +d/dt(\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i)\partial L/\partial \dot{Q}_j となるはずですがd/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_iではなくd/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial Q_j/\partial q_iとなっているのはなぜですか。


P.208(9.9)について

FumaRu? (2020-08-06 (木) 18:40:13)

【FAQ】に(9.3)の両辺をpiで正しく微分すると(9.9)の式が出るとあります。私は(9.3)をqiで微分し、(9.6)の計算結果を使い、(9.9)と同様の式を出しました。計算結果は(9.3)と同じになりましたが、果たして正しい計算なのか不安になり、質問させていただきました。


P.86(4.1)について

FumaRu? (2020-08-04 (火) 17:06:12)

P.86(4.1)でつりあいの式⇄仮想仕事=0となっており、、P.61において→の証明をされています。同様に←の証明もできるのでしょうか?


5.1オイラーラグランジュ方程式と座標変換に関して

田島? (2020-07-16 (木) 17:14:32)

p112の(5.4)の形で書かれている変換に関して、オイラーラグランジュ方程式が共変になることの証明で、p114の(5.12)で∑(∂Qj/∂qi)(∂qi/∂Qk)=δjkとありますが、この式はどうして成り立つのでしょうか?((5.4)のヤコビ行列の逆行列が∂qi/∂Qkであるのはどうやって確かめられるのでしょうか?)


6.4連続な物体への極限に関して

田島? (2020-07-03 (金) 20:13:13)

①N+1本のばねがあり、ばね1本当たりのばね定数(N/x)をk=κ(N+1/L)としてありますが、κは単位長当たりのばね定数でしょうか?単位はどうなっているのでしょうか?
②そのあと、前の章でN個のモードの調和振動子に分解した解の角振動数に関してN→∞としたときの角振動数(6.87)を出し、「この解の1個1個のモードを見ると、個々の点が振幅Cpsin(pπ/Lx)角振動数ωpで振動していると考えられる」とありますが、sin関数の式はどうやって導出されたものかがピンときませんでした。また、このsinの式は時間に依存しない(tを含まない)ように見えますが、それは私の勘違いでしょうか?教えてください。


6.2.42重振り子に関して

田島? (2020-07-01 (水) 21:16:15)

p152の(6.53)の形のラグランジアンをp151の同時対角化の方法論を用いて変形して、最終的に(6.49)の形つまり、(6.42)と同形のラグランジアンを得ているわけですが、最後の分析で、θ1:θ2=√m:√Mでという条件が常に成り立つのがよくわかりません。その後ろの角速度ωをどうやって得たかは、√ばね定数/質量にあたるのが(6.49)のLの対角成分に並ぶ固有値だからですよね?


6.2.4の2重振り子のポテンシャルの平衡点に関して

田島? (2020-07-01 (水) 18:15:29)

p152の6.2.42重振り子において、(6.52)を得た後、ポテンシャルUの平衡点を求め、p141での「テイラー展開して、3次以上の項を無視★」という技法を用いていますが、今回の場合、U=-Mgl(cosθ1+cosθ2)という形で、第1項、第2項それぞれ独立して★がつかえますが、もしUの項にθ1θ2のような項が入っていたら、どうするのでしょうか?


6.1.2微小振動の単振動の微分方程式の解に関して

田島? (2020-07-01 (水) 18:06:37)

p141の6.1.2微小振動において、ポテンシャルU(x)をテイラー展開し、釣り合い点において、3次以上の項を無視した運動方程式(6.7)を導出し、それを解いて、(6.8)を得ていますが、(6.7)の解は、x-x0αexp(+kt)+βexp(-kt)(ただし、k=√ーU``(x0)/m、α、βは初期条件により定まる任意定数)の形ですが、(6.8)の形は任意定数がCのみの1つで表現されています。これは、どういうことなのでしょうか?


梯子の釣り合いの条件式をポテンシャルを用いて導出する方法

田島? (2020-06-26 (金) 20:25:55)

p68で梯子が釣り合う条件をポテンシャルを用いて導出しています。
F(梯子に加える力)が保存力だとして、そのポテンシャルを出し、拘束条件(床と壁に梯子は常に接触する)を考慮して、全ポテンシャルが極値をとる条件を出していますが、ポテンシャルが極値も持つならば、どうして力が釣り合っているといえるのでしょうか?


3.3仮想仕事の原理を使う例題に関して

田島? (2020-06-26 (金) 16:06:33)

p65において、
①(3.25)(2x)^2+(2y)^2=L^2というはしごが床と壁に接触しながら動くという拘束条件から、xδx+yδy=0★という式を出していますが、これは数学的にはどのような操作を行って導出したものなのでしょうか?
②また、(3.25)の少し上で、はしごに対して重力がする仕事はーmgδy(この状況ではδyは負である)とありますが、δy<0はどこからわかるのでしょうか?x,yはともに正であり、δx>0に動かしているので、★よりδy<0としましたが、式を経由せずともわかるような(自明な)事実なのでしょうか?


2.3.2一般的な図形の等周問題について

田島? (2020-06-25 (木) 19:05:29)

p45において、「長さl1を式の中で条件に入れていないからである。」とあり、別の言い方をすれば、「dl^1=dx^2+dy^2」を加えればよいとあるのですが、これが図形の全周=l1と同値(等価)な条件になることがよくわかりません。
私なりに考えましたが、dlが微小長さに対応する条件が「dl^1=dx^2+dy^2」であり、p44の(2.66)のようにl=0~l1まで積分してあることと併せて全周=l1を考慮したことになっていると思いました。


2.3.3最速降下線に関して

田島? (2020-06-25 (木) 18:57:02)

p49の†24「t=0においてdy/dx=∞」とありますが、これはどこからわかるのでしょうか?どうもピンときません。


レヴィ・チビタ記号について

理科大学生? (2020-06-23 (火) 06:13:53)

(i,j,k)が(1,2,3)の偶置換とは
$~\sigma = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ i & j & k \end{array} \right)$

における置換σが偶置換であるということでしょうか。


作用の並進不変性について

理科大学生? (2020-06-20 (土) 14:47:09)

P.194で並進不変性を仮定した時に、経路が同等になりそうなのは分かりました。この時に、確かになりそうではあるのですが、ハミルトンの主関数の値が変化しないのは何故でしょうか。


誤植について

理科大学生? (2020-06-19 (金) 09:20:05)

第5刷ですが、P.207の(9.4)式の下が「*(アスタリスク)→★(星)」だと思われます。


(6.60)式について

理科大学生? (2020-06-18 (木) 00:01:53)

ωを(6.57)式のλの値を用いていますが、これは(T^t)MT=EになるようなTを固有ベクトルに既に(6.59)式で選択済みであるということなのでしょうか。


無題

理科大学生? (2020-06-12 (金) 04:21:41)

2016年に先生のご返答を確認して(5.96)式が成り立つことを理解しました。念のため確認ですが、微積分学的には陰関数定理ということでいいのでしょうか。


P.92  †13について

理科大学生? (2020-06-09 (火) 01:24:22)

(4.14)式の表面項自体は(4.12)式の右辺第2項の変分の表面項であるから、P.98の議論を根拠としてここを無視しても良いというのはどうかなと思うのですが、ここについて教えていただきたいです。


p.337_付録C.1_練習問題【問いC-1】について

kf? (2020-05-26 (火) 16:52:38)

p.337_付録C.1_練習問題【問いC-1】の解答(p.369)について、(C.12)をレヴィ・チビタ記号で計算したものは掲載されていましたが、(C.13)についての解答はありませんでした。
サポートページのログ及びこちらの掲示板にもないようでしたので、こちらの問題の解答を教えていただきたいです。
万一既に掲載済みで私が気が付いていないだけでしたら申し訳ありません。
ご回答よろしくお願いいたします。


p.151(6.47)式について

SP? (2020-04-21 (火) 00:12:32)

(6.47)式の下の説明に「T_1とT_2を定数倍して、T^tMT=Eとなるようにできる。」とありますがどのように定数倍すればよろしいのでしょうか。
浅学ゆえの質問ですが、回答宜しくお願い致します。


p.151(6.47)について

SP? (2020-04-18 (土) 23:33:42)

(T1)t M (T2)=0ならば(6.47)が成り立つ理由がわかりません。
また、行列内の(T1)1から(T2)2の意味するところがわからないので教えていただけますか。
回答よろしくお願いいたします。


P254(10.38)について

やまだ? (2020-04-15 (水) 18:36:36)

「n回繰り返し」の項についている係数についての質問です。Nを無限大にした時、
nがNに対して十分に小さい有限な値なら確かに係数は(10.38)にある通りに収束します。
ですが、nは0からNの範囲を取りうるはずです。nがNに十分に近づいても本当にこの係数は保たれますか?
Nを無限大にしない時、係数は
$\prod_{i=0}^{n-1} \frac{N-i}{N}\frac{1}{n!}$
です。ここでnをNに対して十分に大きく(例えばNのおおよそ半分)すれば、
$\prod_{i=0}^{n-1}\frac{N-i}{N}$
はNを無限大にすると0に収束するはずです。
返答よろしくお願いします。


p.39練習問題(問2-4)について

med? (2020-04-15 (水) 14:29:34)

p.39練習問題(問2-4)の解答についての質問です。
I の変分の第一項のルートの中にδy'が含まれていないのはなぜなのでしょうか。
回答よろしくお願い致します。


p363 問い10-5の解答について

小泉? (2020-03-20 (金) 09:23:45)

1)D.98でPを一定にしてQでPを微分した場合、 

  ∂P/∂Q=0ではないでしょうか?

  私は次のようにしました。qを一定と仮定,(D,12)を利用
  ∂P/∂p=(∂P/∂Q)×(∂Q/∂p)=(∂P/∂Q)×(-∂q/∂P)=-∂q/∂Q

   となります。

  ∂P/∂p=-∂q/∂Q、∂p/∂Q=-∂P/∂qを使うと{Q,P}=0となってしまいます。

2)D.98, D.99が成立した場合でも、D.100に於いて
  (∂Q/∂q)*(∂q/∂Q)=1, (∂P/∂q)*(∂q/∂Q)=1

  なので、{Q,P}=1+1=2 となるのではないでしょうか?

よろしくお願い致します。


p219 (9.42)について

小泉? (2020-03-01 (日) 13:59:55)

H=ΣP_i(dq_i/dt)-Lであるが、(9.42)ではラグランジアンLの扱いが省略されており、何故 H(q+ε・・,p-ε・・)=H(q,p)となるのか、理解できません。ご教示をお願いします。


p.267(10.83)について

tatsu? (2020-02-27 (木) 16:32:24)

$L=\frac{1}{2}m\left(\dot{Q}+gt\right)^2$

という加速系のラグランジアンから求めた運動量は$P=m\left(\dot{Q}+gt\right)$であり、

$K=P\dot{Q}-\frac{P^2}{2m}=\frac{P^2}{2m}-Pgt$ (10.83)

がハミルトニアンである。

という説明がありますが、$\left(q,p\right)\rightarrow \left(Q,P\right)$において、$\left\{Q,P\right\}_{\left(q,p\right)}=1$を確認しておりません。その後の母関数を使った変換で導いたハミルトニアン$K$と(10.83)のハミルトニアン$K$は一致するのですが、"(10.28)の段階"でのハミルトニアン$K$は正準変換によるハミルトニアンと言えるのでしょうか?

お忙しいところ申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。


p.255の説明の件

tatsu? (2020-02-24 (月) 06:31:30)

p.255に以下のような説明があります。

$\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$という正準変換を行ったとき、作用も

$\int\left(p\dot{q}-H\left(q,p\right)\right)dt\rightarrow\int\left(P\dot{Q}-H\left(q\left(Q,P\right),p\left(P,Q\right)\right)\right)dt$

と変化する。それでも正準方程式が変化しない為には、どんな条件が必要だろうか。・・・・・・・・・

つまりこの場合、正準方程式が変わらずにラグラジアンが変化する。そうなるのは

$\int\left(p\dot{q}-H\left(q,p\right)\right)dt=\int\left(P\dot{Q}-H\left(q\left(Q,P\right),p\left(P,Q\right)\right)+\frac{dG}{dt}\right)dt$

のように「表面項」になる量が付け加わった場合である。

上記の説明だと、$p\dot{q}=P\dot{Q}+\frac{dG}{dt}$という条件は正準方程式が変化しない条件というより、作用が変化しないための条件だと読み取れるのですが、$p\dot{q}=P\dot{Q}+\frac{dG}{dt}$という条件が正準方程式が変化しない条件である理由を教えて頂けませんでしょうか?

宜しくお願いいたします。


P.240の(9.40)式について

tatsu? (2020-02-20 (木) 00:10:50)

P.240の(9.40)式に$\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$という式がありますが、これは$\sum_i\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$ではないでしょうか?宜しくお願い致します。


ネーターの定理が時間並進性のとき成り立つ条件について

tatsu? (2020-02-18 (火) 16:52:05)

p.202のネーターの定理に「ある変数変換 $q_i \rightarrow q_i+\delta q_i$を行ったとき、

$L\left(\left\{q_*\right\},\left\{\dot{q}_i\right\}\right) \rightarrow L\left(\left\{q_*\right\},\left\{\dot{q}_i\right\}\right)+\frac{\text{d}J}{\text{d}t}$

とあった時」とありますが、単振動の時のラグラジアン

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$

は、$x\rightarrow x-\epsilon\dot{x}$の時、$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon kx\dot{x}-\frac{1}{2}\epsilon^2 k\dot{x}^2$ ・・・・(1)

となりますが、

$L\left(x,\dot{x}\right) \rightarrow L\left(x,\dot{x}\right)+\frac{\text{d}J}{\text{d}t}=L\left(x,\dot{x}\right)+\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(-\epsilon L\right)$

の条件は、$L(x,\dot{x})+\frac{d}{dt}(−ϵL)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2−\frac{1}{2}kx^2ーϵ(m\dot{x}\ddot{x}−kx\dot{x})$ ・・・・(2)

となり、(1)式と(2)式が一致しません。
ここで、(1)式において$\epsilon^2$の項は無視して、更に(2)式において$m\ddot{x}=-kx$を代入すると、(1)式は

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon kx\dot{x}$ ・・・(3)

(2)式は、

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon2kx\dot{x}$ ・・・(4)

となり、(3)式と(4)式は$\epsilon kx\dot{x}$の分だけ一致しません。
これは、一次元単振動のラグラジアン$L$が時間並進性を持たないと理解して宜しいでしょうか?宜しくお願い致します。


p151 λ_1 = λ_2 の場合扱い

小泉? (2020-01-25 (土) 09:41:25)

λ_1 = λ_2の場合、最終的には(6.49)の1行目のLの式を、対角行列に変換することが目的で論理を組み立てる必要があると考えます。シュミットの直交化と同様の方法を使うと欄外に説明がありますが、シュミットの直交化は互いに直交するベクトルをつくることが目的。どのように利用するかヒントをいただきたいと思います。


p66 3.3 仮想仕事の原理を使う例題 変位δθの扱い

小泉? (2020-01-03 (金) 09:51:48)

角θがδθ増える場合、手の仕事がFδθd(Lcosθ)/dθとあります。
これまでの議論から推論するに、δX=δθd(Lcosθ)/dθと考えることができると思いますが。なで、この等号=が成り立つか理解できないので、ご教授いただきたく思います。よろしくお願いいたします。



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