#author("2019-03-26T07:38:18+09:00","","")
#author("2020-07-06T02:02:20+09:00","","")
#mathjax

*「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板 [#f859e7cb]

[[よくわかる解析力学サポートページに戻る>http://irobutsu.a.la9.jp/mybook/ykwkrAM/]]

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&color(Red){「サポート掲示板3」が不具合で書き込めなくなりましたので作りました。こちらに書き込んでください。};

#article
**p240、9.6.4節について [#i50ec503]
>[[珈琲]] (2019-03-25 (月) 17:43:31)~
**6.4連続な物体への極限に関して [#g72b5dde]
>[[田島]] (2020-07-03 (金) 20:13:13)~
~
対称コマの軸先を固定する場合、なぜ重心の速度を考慮しなければいけないのでしょうか。また、その場合、固定していない対称コマで重心の速度を考慮しない理由は何でしょうか。~
①N+1本のばねがあり、ばね1本当たりのばね定数(N/x)をk=κ(N+1/L)としてありますが、κは単位長当たりのばね定数でしょうか?単位はどうなっているのでしょうか?~
②そのあと、前の章でN個のモードの調和振動子に分解した解の角振動数に関してN→∞としたときの角振動数(6.87)を出し、「この解の1個1個のモードを見ると、個々の点が振幅Cpsin(pπ/Lx)角振動数ωpで振動していると考えられる」とありますが、sin関数の式はどうやって導出されたものかがピンときませんでした。また、このsinの式は時間に依存しない(tを含まない)ように見えますが、それは私の勘違いでしょうか?教えてください。~

//
- 軸先を固定するということは、重心が運動するということです。その前の節まででやっていたのは固定もしないし重力などの外力も働いてない状態なので、重心は運動しないか、等速直線運動を続けるだけなので考えなくてもよくなります。 -- [[前野]] &new{2019-03-25 (月) 18:02:34};
- 169ページあたりで、重心の運動と回転運動をラグランジアンの上で分離できたことを思い出してください。固定してないなど、外力が働いてない場合は重心運動の部分の作用は定数なので忘れていいわけです。そうでないとき(固定されてたり外力が働いたり)は重心運動も考慮します。 -- [[前野]] &new{2019-03-25 (月) 18:09:00};
- 「重心運動の部分の作用は定数」というのは、「外力が働かない(固定などなし)場合に、重心座標に関してオイラーラグランジュ方程式を立てると、d/dt(∂L/∂v_G)=0になるので∂L/∂v_Gが保存量(定数)となる」という解釈でよろしいですか。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-25 (月) 23:16:34};
- そもそもラグランジアンの値が定数です。運動方程式がそうなるといってももちろんいいんですが。 -- [[前野]] &new{2019-03-26 (火) 07:38:18};
- バネ定数は長さに反比例するので「単位長さあたりのバネ定数」というのはちょっと変な言葉ですが、κは「長さが1m(単位長さ)のときのバネ定数」と思ってください。長さが$L$から${N+1\over L}$になったのでばね定数が${N+1}$倍になったと考えてもいいです。 -- [[前野]] &new{2020-07-05 (日) 09:04:38};
- 単位は合うように決めます。kが[N/m]だからκは[N]です。 -- [[前野]] &new{2020-07-05 (日) 09:06:20};
- sinは(6.81)からいて、それの極限を取っていった結果が(6.87)ですが、(6.81)がわからないということでしょうか?? -- [[前野]] &new{2020-07-05 (日) 09:10:41};
- それは(6.79)でバネ定数に対応するものの中に$\sin^2$がいたからですが、その部分がわからないということなのかな??(ちなみにこれはばね定数なので、もちろん時間に依存しません)。 -- [[前野]] &new{2020-07-05 (日) 09:11:54};
- 回答ありがとうございます。6.4.1の冒頭でやっていることの意味を理解していないのかもしれません。 -- [[田島]] &new{2020-07-05 (日) 13:55:41};
- N→∞の極限をとることは長さLの弦においてどのような状態を考えていることになるのでしょうか?また、N→∞の極限をとった後、各調和振動子の角振動数の式が(6.87)で表されること、個々の振幅は弦の中での位置xに応じて異なることは理解しましたが、この振幅の式はどうやって導出されるのでしょうか?(6.80)で表されたN個の調和振動子の運動方程式から出そうとしましたがうまくできません。 -- [[田島]] &new{2020-07-05 (日) 14:17:52};
- Nが有限のときは、実際には連続的な物質(原子レベルなら不連続でしょうけどそこは問わないことにして)である弦を、いったん「N個の不連続な質点」という架空の物体に置き換えているわけです。N→∞は、「元々考えたかったものに戻す」ということです。 -- [[前野]] &new{2020-07-05 (日) 15:39:28};
- 別の言い方をすれば「N→∞にしたものこそが弦(それまでは「弦もどき」)」ということになります。 -- [[前野]] &new{2020-07-05 (日) 15:40:06};
- (6.80)では$Y_i$という変数を使って書いていて、$Y_i$のそれぞれが調和振動子になってます。よって$Y_i=A_i \sin(\omega_j t + \alpha_i)$のような振動をすることがわかります。 -- [[前野]] &new{2020-07-05 (日) 15:44:14};
- $Y_i$の振幅である$A_i$は、運動方程式からは決まりません。初期条件で決まります。これは普通の単振動でも同じで、運動方程式からは振幅と初期位相は出てきません。 -- [[前野]] &new{2020-07-05 (日) 15:44:45};
- $Y_i$が求まれば、それに対応して$y_i$が(6.78)の関係を使ってわかります。 -- [[前野]] &new{2020-07-05 (日) 15:45:36};
- 初期条件により、振幅が変動することを忘れておりました。そこを含め、疑問点を解決できました。お答えいただいてありがとうございました。 -- [[田島]] &new{2020-07-06 (月) 02:02:20};

#comment

**p178、†11について [#m5895b4b]
>[[珈琲]] (2019-03-19 (火) 14:41:00)~
**6.2.42重振り子に関して [#v663fe44]
>[[田島]] (2020-07-01 (水) 21:16:15)~
~
†11の「〜(e_X  e_Y   e_Z)tに対する行列の転置になっている〜」という部分がよく分かりません。(7.30)、(7.31)において、(dθ/dt  0  0)tと(0  0  dφ/dt)tには受動的な変換(それぞれA、ABに相当)をかけているので、回転を表現する行列という意味では、(e_X  e_Y   e_Z)tに対する回転を表現する行列(=ABC=受動的な変換)と転置にはならないと思うのですが。~
p152の(6.53)の形のラグランジアンをp151の同時対角化の方法論を用いて変形して、最終的に(6.49)の形つまり、(6.42)と同形のラグランジアンを得ているわけですが、最後の分析で、θ1:θ2=√m:√Mでという条件が常に成り立つのがよくわかりません。その後ろの角速度ωをどうやって得たかは、√ばね定数/質量にあたるのが(6.49)のLの対角成分に並ぶ固有値だからですよね?~

//
- (c.44)をよく見てください。$(V_x,V_y)$という行ベクトルに対して回転の行列は右からかかりますが、列ベクトル$\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y\end{array}\right)$に対しては回転の行列は左からかかっています。つまりかかり方が逆です。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 15:40:13};
- どっちも列ベクトル(もしくはどっちも行ベクトル)になるように書き直すと、一方の行列は転地されます。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 15:41:01};
- つまり、「(7.18)を変形すると、(e_x  e_y  e_z)t=CtBtAt(e_X  e_Y  e_Z)tとなるので、(e_X  e_Y  e_Z)tに対する変換行列(CtBtAt)は、(7.30)や(7.31)の変換行列(AやAB)とは転置の関係にある」ということでしょうか。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-19 (火) 16:27:31};
- 何か勘違いしているような気がします。†11で述べているのは、$\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y \\ \vec e_z\end{array}\right)$の変換が$ABC\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y \\ \vec e_z\end{array}\right)$ならば、$\left(\begin{array}{c}V_x\\ V_y \\ V_z\end{array}\right)$に対する変換は$C^t B^t A^t\left(\begin{array}{c}V_x\\ V_y \\ V_z\end{array}\right)$になる、ということです。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 16:43:55};
- $(V_x~V_y~V_z)$に対する変換は、$(V_x~V_y~V_z)ABC$になります。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 16:44:57};
- その事実は先程の(C.44)から理解できるのですが、その事実とP178との対応がいまいちつかめません。ここで述べている「(e_X e_Y e_Z)tという列ベクトルに対する行列」というのは具体的にどの行列のことなのでしょうか。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-19 (火) 17:18:41};
- $(V_x~V_y~V_z)\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y \\ \vec e_z\end{array}\right)$というベクトルを、$(V_x~V_y~V_z)ABC\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y \\ \vec e_z\end{array}\right)$というベクトルに変えるという操作をしていて、それを「回転する」と言っているわけです。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 18:41:25};
- この変化は、Vの行ベクトルの方に右からABCを掛けたと思ってもいいし、列ベクトル$\vec e$の方に左からABCを掛けてもよい・・・ということはわかってもらえてるんでしょうか((C.44)で書いてあることですが)。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 18:42:52};
- だから$\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y\\ \vec e_z\end{array}\right)$という列ベクトルに係る行列は$ABC$ですね。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 18:44:50};
- その2つの見方があるということは理解しています。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-19 (火) 18:46:55};
- その列ベクトルの成分の添字は、大文字ではなく小文字のx、y、zでしょうか。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-19 (火) 18:51:42};
- ああ、すいません。質問しているのはxyzじゃなくてXYZの方でしたね。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 18:52:38};
- そうすると、(7.18)に$C^tB^tA^t$を掛ければ$\vec e_X$のベクトルに$C^tB^tA^t$を掛ければ$\vec e_x$の式になる、ということになります。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 18:54:11};
- すいません、これ確かにわかりにくい説明になってますね。普通に「回転ベクトルに行列Aが掛かる」「回転ベクトルに行列ABが掛かる」と考えた方がわかりやすいです。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 19:01:47};
- そうすると、私が16時27分に投稿した内容で合ってるということですか。分かりづらくて申し訳ないのですが、(e_x e_y e_z)tや(e_X e_Y e_Z)tは列ベクトルを表しているつもりです。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-19 (火) 19:06:33};
- 珈琲さんの一番最初の説明がよくって、†11の説明は無視してもらった方がよさそうです。正しい説明を考えます。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 19:40:06};
- 了解しました。ありがとうございます。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-19 (火) 20:13:58};
- 説明がおかしくて混乱させてしまってすみません。 -- [[前野]] &new{2019-03-19 (火) 20:16:19};
- とんでもないです。何度も丁寧に対応していただき、大変嬉しく思います。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-19 (火) 20:43:19};
- その上で固有ベクトルを$\left(\begin{array}{c} \sqrt{m}\\ \sqrt{M}\end{array}\right)$と求めています。 -- [[前野]] &new{2020-07-01 (水) 21:30:22};
- それはつまり、$\left(\begin{array}{c}\theta_1\\ \theta_2\end{array}\right)$がそれに比例するということです。 -- [[前野]] &new{2020-07-01 (水) 21:33:10};
- 回答ありがとうございます。固有ベクトルの意味を忘れていました。 -- [[田島]] &new{2020-07-01 (水) 21:50:23};

#comment

**P136について [#k33a6520]
>[[珈琲]] (2019-03-15 (金) 01:14:38)~
**6.2.4の2重振り子のポテンシャルの平衡点に関して [#c869c34b]
>[[田島]] (2020-07-01 (水) 18:15:29)~
~
いくつか質問があります。~
・(5.36)の左辺が0になることに関してですが、~
「(5.36)の左辺はGjが{q*}、{Q★}の関数であることを考慮すると、∂Gj/∂qiとみなせる。また、Gj({q*}、{Q★})=0により{Q★}はq*の関数とすることが出来るので、GjはGj({q*}、{Q★({q*})})となり独立変数としては{q*}のみを持つことになる。したがって、Gj({q*}、{Q★({q*})})=0というのは{q*}をどのように変化させても0になることを意味しているので、∂Gj/∂qi=0としてもP135の補足とは状況が違うので問題ない。以上から左辺は0となる。」~
という理解でよろしいでしょうか。~
p152の6.2.42重振り子において、(6.52)を得た後、ポテンシャルUの平衡点を求め、p141での「テイラー展開して、3次以上の項を無視★」という技法を用いていますが、今回の場合、U=-Mgl(cosθ1+cosθ2)という形で、第1項、第2項それぞれ独立して★がつかえますが、もしUの項にθ1θ2のような項が入っていたら、どうするのでしょうか?~

//
- その場合は6.2節の連成振動と同じで、3次以上を無視した後で行列の対角化を使って固有振動の重なりに書き換えていきます。 -- [[前野]] &new{2020-07-01 (水) 18:22:06};
- 回答ありがとうございます。連成振動を読み直します。 -- [[田島]] &new{2020-07-01 (水) 18:36:32};

#comment

**6.1.2微小振動の単振動の微分方程式の解に関して [#f71b000b]
>[[田島]] (2020-07-01 (水) 18:06:37)~
~
・P136で「最後についている∂Qj/∂qiの意味を考えよう」とありますが、これは結局何を意味しているのでしょうか。自分としては、「Gj=0により{Q★}が{Q★({q*})}と表わされるため、Gj({q*}、{Q★({q*})})をqiで偏微分するときに連鎖律的についてくるもの」、以上の意味を見出せませんでした。~
p141の6.1.2微小振動において、ポテンシャルU(x)をテイラー展開し、釣り合い点において、3次以上の項を無視した運動方程式(6.7)を導出し、それを解いて、(6.8)を得ていますが、(6.7)の解は、x-x0αexp(+kt)+βexp(-kt)(ただし、k=√ーU``(x0)/m、α、βは初期条件により定まる任意定数)の形ですが、(6.8)の形は任意定数がCのみの1つで表現されています。これは、どういうことなのでしょうか?~

//
- 訂正です。1つ目の質問で記した(5.36)は全て(5.96)のことです。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-15 (金) 01:27:24};
- 計算はそのとおりです。また「意味を考えよう」というのはその後の文章で考えていることで、こう考えれば${\partial Q_k\over\partial q_i}$が出てくることがわかるね、というだけのことです。 -- [[前野]] &new{2019-03-15 (金) 05:30:59};
- 訂正です。1つ目の質問で記した(5.36)は全て(5.96)のことです。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-15 (金) 12:14:57};
- 謎に連投してしまい申し訳ありません。ご返信ありがとうございます。理解しました。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-15 (金) 12:17:54};
- (6.8)は複号$\pm$を含んでいて、+とーの2項があります。省略して書いてますが、$C_+ e^{+\alpha}+C_-e^{-\alpha}$のように本当は2項あると思ってください。 -- [[前野]] &new{2020-07-01 (水) 18:19:10};
- もう1つ同じページに関して質問があるので、ここに書かせてください。「テイラー展開して、3次以上の項を無視」という近似の手法の説明で、途中U‘‘(x0)>0との条件を課していますが、これはなぜ必要なのでしょうか?U‘‘(x0)<0では、(6.7)のーU‘‘(x0)が正になって、釣り合い点からどんどん離れる(飛び去る)から近似が成り立たなくなるという理解でよいでしょうか? -- [[田島]] &new{2020-07-01 (水) 18:32:10};
- 1件目に関して理解しました。各項を強調するためということですね。 -- [[田島]] &new{2020-07-01 (水) 18:33:54};
- もう一つの質問についてはその通りです。不安定な釣り合い点の回りで展開しても意味はありません。 -- [[前野]] &new{2020-07-01 (水) 18:55:27};

#comment

**(3.79)について [#b8a6ea60]
>[[珈琲]] (2019-03-05 (火) 01:38:36)~
**梯子の釣り合いの条件式をポテンシャルを用いて導出する方法 [#w211c958]
>[[田島]] (2020-06-26 (金) 20:25:55)~
~
(3.79)におけるLは(3.76)の被積分関数を採用していると解釈しました。~
その際、$ \frac{\partial L}{\partial (\frac{\partial f}{\partial x})} $~
は、このページでは$ \frac{\partial f}{\partial x} $ と表記されていますがいますが、Lにはこの項は2乗として入っているので、$ 2 \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right)$ ではないのでしょうか。~
- 確かに、それぞれ2がつくべきですね。右辺が0なので両辺を2で割るという操作をすると消えるのですが、消すのが早すぎたようです。 -- [[前野]] &new{2019-03-05 (火) 06:43:39};
- サポートページに訂正を入れました。その後の式でもところどころに2が必要です。 -- [[前野]] &new{2019-03-05 (火) 07:00:48};
- 承知しました。お答えいただきありがとうございます。 -- [[珈琲]] &new{2019-03-05 (火) 12:32:05};
p68で梯子が釣り合う条件をポテンシャルを用いて導出しています。~
F(梯子に加える力)が保存力だとして、そのポテンシャルを出し、拘束条件(床と壁に梯子は常に接触する)を考慮して、全ポテンシャルが極値をとる条件を出していますが、ポテンシャルが極値も持つならば、どうして力が釣り合っているといえるのでしょうか?~

//
- ポテンシャルが極値ということは仮想仕事が0というのと同じことですが、それはわかっているでしょうか。 -- [[前野]] &new{2020-06-26 (金) 21:17:01};
- 回答ありがとうございます。わかっておりませんでした。ポテンシャルが極値をとるならば、そこからδr=(δx,δy)という微小変位をしてもF・δr=0となるということですか。あまりピンときません。 -- [[田島]] &new{2020-06-26 (金) 22:20:51};
- ポテンシャルの定義は$F_x=-{\partial U\over\partial x}$のようになることなので、$\vec F\cdot\delta \vec x=0$は$U$の微分が0というのと同じことです。 -- [[前野]] &new{2020-06-27 (土) 08:54:12};
- ありがとうございます。納得しました。 -- [[田島]] &new{2020-06-27 (土) 11:15:57};

#comment

**正準方程式を正準変換でない変換で導く [#g169b019]
>[[後野]] (2019-01-31 (木) 23:45:10)~
**3.3仮想仕事の原理を使う例題に関して [#w19ebd0a]
>[[田島]] (2020-06-26 (金) 16:06:33)~
~
正準変換でない変換の場合、p265でハミルトニアンを変え、作用を変えたようにして、作用を新しく作り、運動方程式を導くことはできますか。~
p65において、~
①(3.25)(2x)^2+(2y)^2=L^2というはしごが床と壁に接触しながら動くという拘束条件から、xδx+yδy=0★という式を出していますが、これは数学的にはどのような操作を行って導出したものなのでしょうか?~
②また、(3.25)の少し上で、はしごに対して重力がする仕事はーmgδy(この状況ではδyは負である)とありますが、δy<0はどこからわかるのでしょうか?x,yはともに正であり、δx>0に動かしているので、★よりδy<0としましたが、式を経由せずともわかるような(自明な)事実なのでしょうか?~

//
- 正準変換でない変換って具体的にどんなのですか、作用を変えたら運動方程式が変わるのが普通です(正準変換なら変わらない。正準変換でないけど同じ運動方程式を出すような別の作用がある場合はある)。 -- [[前野]] &new{2019-01-31 (木) 23:54:44};
- 一口に「作用を変え」と言ってもいろいろあるわけで、運動方程式は一般には変わります。それは普通、ぜんぜん違う力学系を見ていることになります。 -- [[前野]] &new{2019-01-31 (木) 23:55:44};
- ハミルトニアンをあたらしくKとしたように、κ=H+∂G/∂tとして、(10.7) (10.9) を用いて、∂/∂Q(∂G/∂t)=-∂H/∂Q(1-J) 、∂/∂P(∂G/∂t)=(1-J)∂H/∂Pとなればよいのですが、そのような∂G/∂tはいつでも用意できるのでしょうか。Jが定数の場合はそのようなGがないことは分かりました。 -- [[後野]] &new{2019-02-01 (金) 01:12:54};
- (10.7) (10.9) を用いて、∂/∂Q(∂G/∂t)=-∂H/∂Q(1-J) 、∂/∂P(∂G/∂t)=(1-J)∂H/∂Pとなればよいの というのは∂κ/∂p=dq/dt、∂κ/∂q=-dp/dtとなるためです -- [[後野]] &new{2019-02-01 (金) 01:16:46};
- そういうことがしたいのなら、その微分方程式を解けばよいので、解ける場合ならあるということだと思います(Jが定数なら$G=\int H\mathrm dt(1-J)$でいいような)。 -- [[前野]] &new{2019-02-01 (金) 08:15:57};
- Jによっては解がありません。${\partial G\over\partial t}$が積分可能条件を満たしてなかったら確実にだめだと思います。 -- [[前野]] &new{2019-02-01 (金) 08:17:20};
- わかりました。計算が煩雑だったので正準変換を今後は用います。ありがとうございました。 -- [[後野]] &new{2019-02-01 (金) 09:43:20};
- $(2x)^2+(2y)^2=L^2$と$(2(x+\delta x))^2+(2(y+\delta y))^2 =L^2$が両立すると考えれば出ます。  -- [[前野]] &new{2020-06-26 (金) 16:09:41};
- そもそも実はδyは正だろうが負だろうが構わないのですが、重力が正の仕事をするだろう、と考えればδyが負だろうな、とわかります。 -- [[前野]] &new{2020-06-26 (金) 16:10:55};
- ありがとうございます。 -- [[田島]] &new{2020-06-26 (金) 16:37:05};
- 自分でも考え直してみたのですが、(2x)^2+(2y)^2=L^2の左辺の関数をfとして、∂f/∂x+∂f/∂y=dfという全微分の式を考えておいて、f=L^2で一定であるからdf=0としても同じことでしょうか? -- [[田島]] &new{2020-06-26 (金) 16:47:53};
- それは同じ計算です。 -- [[前野]] &new{2020-06-26 (金) 17:11:35};
- ありがとうございます。 -- [[田島]] &new{2020-06-26 (金) 18:38:11};

#comment

**オイラーラグランジュ方程式と作用 [#ac4a3a91]
>[[後野]] (2019-01-31 (木) 22:21:51)~
**2.3.2一般的な図形の等周問題について [#e496f20c]
>[[田島]] (2020-06-25 (木) 19:05:29)~
~
P213でオイラーラグランジュ方程式を作用の変分が0になることで導出しています。作用はqに関して停留することは、運動方程式からわかりますが、pに関して停留するとは言及されていません。それゆえ、この導出は不完全だと思います。逆に、正準方程式があるから作用はpに対して停留すると言えることは正しいと思います。~
p45において、「長さl1を式の中で条件に入れていないからである。」とあり、別の言い方をすれば、「dl^1=dx^2+dy^2」を加えればよいとあるのですが、これが図形の全周=l1と同値(等価)な条件になることがよくわかりません。~
私なりに考えましたが、dlが微小長さに対応する条件が「dl^1=dx^2+dy^2」であり、p44の(2.66)のようにl=0~l1まで積分してあることと併せて全周=l1を考慮したことになっていると思いました。~

//
- qに関して停留と書きましたが、詳しくいえばv=∂q/∂tの関係がある上での停留です。 -- [[後野]] &new{2019-01-31 (木) 22:32:37};
- 作用というのはそもそも変分したら運動方程式が出てくるように作るもの、というのが本書の立場です。正準形での作用は独立変数がpとqであるように作ります。作った結果がp、qで書いた作用です。そういう意味では正準方程式が出るように作った作用です。 -- [[前野]] &new{2019-01-31 (木) 23:09:24};
- qを変数とする作用$\int L\mathrm dt$を、変数を$p,q$の二倍にして、さらに$p$と$q$の関係が(やはり変分原理から)出てくるようにしたのが$p,q$で書かれた作用$\int(p\dot q-H)\mathrm dt$だ、と言ってもいいかもしれません(一つ前の節で、$p$がラグランジュ未定乗数とも解釈できることを書きました)。 -- [[前野]] &new{2019-01-31 (木) 23:11:58};
- 要は「pで変分したら0」というのは作用を作ったあとで証明が必要になるようなことではなく「そうなるように作るのが作用というものだ」ということです。で、$\int (p\dot q-H)\mathrm dt$が実際そうなっていることが確認できるわけです。 -- [[前野]] &new{2019-01-31 (木) 23:15:20};
- わかりました。ありがとうございます。 -- [[後野]] &new{2019-01-31 (木) 23:19:40};
- 条件をつけてないときの$\ell$は「長さ」という意味を持っていません。$d\ell^2 =dx^2+dy^2$という条件をつけることで、$\ell$が長さという意味を持つわけです。というわけで、その考えでOKです。 -- [[前野]] &new{2020-06-25 (木) 19:35:09};
- 回答ありがとうございます。 -- [[田島]] &new{2020-06-25 (木) 23:15:36};

#comment

**2.3.3最速降下線に関して [#g783e417]
>[[田島]] (2020-06-25 (木) 18:57:02)~
~
p49の†24「t=0においてdy/dx=∞」とありますが、これはどこからわかるのでしょうか?どうもピンときません。~

//
- $C=0$は$y=0$ということで、それは解にはならない(ということは$C$は0ではない量で、$y=0$でも$y{dy\over dx}$が0ではない)ということからわかります。 -- [[前野]] &new{2020-06-25 (木) 19:32:59};
- 回答ありがとうございます。納得しました。 -- [[田島]] &new{2020-06-25 (木) 23:19:54};

#comment

**レヴィ・チビタ記号について [#rbe11508]
>[[理科大学生]] (2020-06-23 (火) 06:13:53)~
~
(i,j,k)が(1,2,3)の偶置換とは~
$~\sigma = \left(\begin{array}{ccc}   1 & 2 & 3 \\  i & j & k    \end{array}  \right)$~
~
における置換σが偶置換であるということでしょうか。~

//
- Tex形式で入力しようとしましたが、自分の力不足で表現されておらず、すみません。 -- [[理科大学生]] &new{2020-06-23 (火) 06:15:30};
- そういう事です。TeX直しました。 -- [[前野]] &new{2020-06-23 (火) 06:35:47};
- なるほど、毎回ご返信ありがとうございます。 -- [[理科大学生]] &new{2020-06-23 (火) 06:48:26};

#comment

**作用の並進不変性について [#a1e47c57]
>[[理科大学生]] (2020-06-20 (土) 14:47:09)~
~
P.194で並進不変性を仮定した時に、経路が同等になりそうなのは分かりました。この時に、確かになりそうではあるのですが、ハミルトンの主関数の値が変化しないのは何故でしょうか。~

//
- ハミルトン主関数は「経路」に沿っての作用の積分で、並進不変性があるなら、経路を全部その方向に移動させても「作用の積分」は同じになる、ということになります。 -- [[前野]] &new{2020-06-20 (土) 16:46:19};
- なるほど、x、t平面に対して、ハミルトニアンを垂直な軸にとった時に確かに積分を考えるとなりますね。ありがとうございます。 -- [[理科大学生]] &new{2020-06-21 (日) 03:59:14};
- なるほど、x、t平面に対して、ハミルトニアンを垂直な軸にとった時に確かに積分を考えるとなりますね。ありがとうございます。 -- [[理科大学生]] &new{2020-06-21 (日) 05:12:44};

#comment

**誤植について [#s5e373b8]
>[[理科大学生]] (2020-06-19 (金) 09:20:05)~
~
第5刷ですが、P.207の(9.4)式の下が「*(アスタリスク)→★(星)」だと思われます。~

//
- 自分の間違いでした。 -- [[理科大学生]] &new{2020-06-19 (金) 10:08:31};

#comment

**(6.60)式について [#k77b0ceb]
>[[理科大学生]] (2020-06-18 (木) 00:01:53)~
~
ωを(6.57)式のλの値を用いていますが、これは(T^t)MT=EになるようなTを固有ベクトルに既に(6.59)式で選択済みであるということなのでしょうか。~

//
- (T^t)MT=Eになるようにλに依存せずに変化できるので、(6.49)式の最後はλが求まった瞬間に立式できそうですね。自己解決しました。 -- [[理科大学生]] &new{2020-06-18 (木) 00:12:24};
- (T^t)MT=Eになるようにλに依存せずに変化できるので、(6.49)式の最後はλが求まった瞬間に立式できそうですね。自己解決しました。 -- [[理科大学生]] &new{2020-06-18 (木) 04:10:22};

#comment

**無題 [#s260a34e]
>[[理科大学生]] (2020-06-12 (金) 04:21:41)~
~
2016年に先生のご返答を確認して(5.96)式が成り立つことを理解しました。念のため確認ですが、微積分学的には陰関数定理ということでいいのでしょうか。~

//
- 追記ですが、P.136です。Gがqの関数で、0の値から動かない定数関数(ただし、Gの中にQが残っているので注意しなければならない)になったのですね。 -- [[理科大学生]] &new{2020-06-12 (金) 04:29:17};
- 陰関数定理と考えていいです。 -- [[前野]] &new{2020-06-12 (金) 21:08:23};

#comment

**P.92  †13について [#tf556380]
>[[理科大学生]] (2020-06-09 (火) 01:24:22)~
~
(4.14)式の表面項自体は(4.12)式の右辺第2項の変分の表面項であるから、P.98の議論を根拠としてここを無視しても良いというのはどうかなと思うのですが、ここについて教えていただきたいです。~

//
- そういう意味では、(4.12)の表面項も無視してます。我々の目標は運動方程式なので、運動方程式に効かない部分は一貫して無視してます。 -- [[前野]] &new{2020-06-09 (火) 07:05:24};

#comment



**p.337_付録C.1_練習問題【問いC-1】について [#qca845c6]
>[[kf]] (2020-05-26 (火) 16:52:38)~
~
p.337_付録C.1_練習問題【問いC-1】の解答(p.369)について、(C.12)をレヴィ・チビタ記号で計算したものは掲載されていましたが、(C.13)についての解答はありませんでした。~
サポートページのログ及びこちらの掲示板にもないようでしたので、こちらの問題の解答を教えていただきたいです。~
万一既に掲載済みで私が気が付いていないだけでしたら申し訳ありません。~
ご回答よろしくお願いいたします。~

//
- (C.13)の方は、ヒントより、$(\vec A\times\vec B)\cdot (\vec C\times \vec D)=\sum_i \sum_{j,k}\epsilon_{ijk}A_jB_k\sum_{\ell,m}\epsilon_{i\ell m}C_\ell D_m$に$\sum_{i} \epsilon_{ijk}\epsilon_{i\ell m}=\delta_{j\ell}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{k\ell}$を代入して、 $$ \sum_{j,k,\ell,m}\left( \delta_{j\ell}A_j C_\ell\delta_{km}B_k D_m-\delta_{jm}A_j D_m\delta_{k\ell}B_k C_\ell\right)=(\vec A\cdot\vec C)(\vec B\cdot\vec D)-(\vec A\cdot\vec D)(\vec B\cdot\vec C) $$ となる。 -- [[前野]] &new{2020-05-26 (火) 17:14:38};
- すいません、答えは↑のようになります。ヒントの式も少し間違ってました。 -- [[前野]] &new{2020-05-26 (火) 17:15:08};
- 昨日の今日でご返信くださり、忘れない内に答え合わせができました。ありがとうございます。 -- [[kf]] &new{2020-05-27 (水) 14:12:38};

#comment

**p.151(6.47)式について [#f856ef81]
>[[SP]] (2020-04-21 (火) 00:12:32)~
~
(6.47)式の下の説明に「T_1とT_2を定数倍して、T^tMT=Eとなるようにできる。」とありますがどのように定数倍すればよろしいのでしょうか。~
浅学ゆえの質問ですが、回答宜しくお願い致します。~

//
- シンプルな話です。たとえば$(\vec T_1)^t {\bf M}\vec T_1=a$だったとすれば、$\vec T_1$を${1\over\sqrt{a}}$倍すれば($\vec T_1\to {1\over\sqrt{a}}\vec T_1$と置き換えれば)、$(\vec T_1)^t {\bf M}\vec T_1=1$になります。 -- [[前野]] &new{2020-04-21 (火) 08:53:05};
- 同様に$(\vec T_2)^t{\bf M}\vec T_2$も1にすれば、行列は単位行列になります。 -- [[前野]] &new{2020-04-21 (火) 08:54:09};
- 理解しました。素早い返信ありがとうございました。 -- [[SP]] &new{2020-04-21 (火) 15:27:52};

#comment

**p.151(6.47)について [#v0e5450f]
>[[SP]] (2020-04-18 (土) 23:33:42)~
~
(T1)t M (T2)=0ならば(6.47)が成り立つ理由がわかりません。~
また、行列内の(T1)1から(T2)2の意味するところがわからないので教えていただけますか。~
回答よろしくお願いいたします。~

//
- $(\vec T_1)_1$の意味がわからなかったら(6.47)が成り立つ理由もわかるわけはないので、そっちから説明すると、$(\vec T_1)_1$はベクトル$\vec T_1$の第1成分です。$\vec T_1=\left(\begin{array}{cc}(\vec T_1)_1\\(\vec T_1)_2\end{array}\right)$と書いてもよい。 -- [[前野]] &new{2020-04-19 (日) 00:06:23};
- という意味を知った上で(6.47)の左辺を計算してみてください。非対角な部分に出てくるのは$(\vec T_2)^t{\bf M}\vec T_1$とその転置になって、0だとわかります。 -- [[前野]] &new{2020-04-19 (日) 00:06:44};
- 理解できました。 -- [[SP]] &new{2020-04-19 (日) 00:48:16};
- 丁寧なご回答ありがとうございました。 -- [[SP]] &new{2020-04-19 (日) 00:48:40};

#comment

**P254(10.38)について [#q4a24b06]
>[[やまだ]] (2020-04-15 (水) 18:36:36)~
~
「n回繰り返し」の項についている係数についての質問です。Nを無限大にした時、~
nがNに対して十分に小さい有限な値なら確かに係数は(10.38)にある通りに収束します。~
ですが、nは0からNの範囲を取りうるはずです。nがNに十分に近づいても本当にこの係数は保たれますか?~
Nを無限大にしない時、係数は~
$\prod_{i=0}^{n-1} \frac{N-i}{N}\frac{1}{n!}$~
です。ここでnをNに対して十分に大きく(例えばNのおおよそ半分)すれば、~
$\prod_{i=0}^{n-1}\frac{N-i}{N}$~
はNを無限大にすると0に収束するはずです。~
返答よろしくお願いします。~

//
- Nは→∞の極限をとるという話しなので、有限個であるnは「Nの半分」にはできないです(どんなnに対しても、それを「小さい」と思えるような大きなNが取れる、というのが極限の考え方です)。 -- [[前野]] &new{2020-04-15 (水) 19:30:35};
- あと、${N-i\over N}$は($N$は$i$に比べいくらでも大きくなれるのだから)1に収束すると考えます。 -- [[前野]] &new{2020-04-15 (水) 19:31:39};
- TeXの変換まずかったところも直しました。 -- [[前野]] &new{2020-04-15 (水) 19:33:20};
- わかりました。ありがとうございます。 -- [[やまだ]] &new{2020-04-15 (水) 19:49:35};

#comment


**p.39練習問題(問2-4)について [#o4bac62f]
>[[med]] (2020-04-15 (水) 14:29:34)~
~
p.39練習問題(問2-4)の解答についての質問です。~
I の変分の第一項のルートの中にδy'が含まれていないのはなぜなのでしょうか。~
回答よろしくお願い致します。~

//
- ここでは経路の変更を「yを変えずにx方向に動かす」という形にしているからです。xを変えずにy方向に動かすという変分もできますが、それは同じ「直線」という結果になります。 -- [[前野]] &new{2020-04-15 (水) 14:59:44};
- 納得しました。ありがとうございました。 -- [[med]] &new{2020-04-15 (水) 19:17:33};

#comment

**p363 問い10-5の解答について [#j251ad23]
>[[小泉]] (2020-03-20 (金) 09:23:45)~
~
1)D.98でPを一定にしてQでPを微分した場合、 ~
   ∂P/∂Q=0ではないでしょうか?
  私は次のようにしました。qを一定と仮定,(D,12)を利用~
  ∂P/∂p=(∂P/∂Q)×(∂Q/∂p)=(∂P/∂Q)×(-∂q/∂P)=-∂q/∂Q~
    となります。
  ∂P/∂p=-∂q/∂Q、∂p/∂Q=-∂P/∂qを使うと{Q,P}=0となってしまいます。~
~
2)D.98, D.99が成立した場合でも、D.100に於いて~
  (∂Q/∂q)*(∂q/∂Q)=1, (∂P/∂q)*(∂q/∂Q)=1~
   なので、{Q,P}=1+1=2 となるのではないでしょうか?
よろしくお願い致します。~

//
- こういうとき、「何を変数としてどの変数を固定してどの変数で微分しているか」をちゃんと把握してないと間違えます。まず本文の(D.98)の上に「$P=P(q(Q,P),Q)$をPを一定としてQで微分して」というのは「P,Qを変数としてPを一定としてQで微分」です。 -- [[前野]] &new{2020-03-20 (金) 11:42:34};
- 「Pを微分」というのは「Pの変化量を考える」ことなので、「Pを一定として」という条件をつけて微分したら0に決まってます。だから(D.98)の左辺が0なのはこれでいいわけです。 -- [[前野]] &new{2020-03-20 (金) 11:43:48};
- (D.98)の右辺でやっているのは、$P(q(Q,P),Q)$の中にはQが2箇所あるので、その両方微分して、足しましょうということで、もちろんこうやって微分したって答えは0になるよね、というのが(D.98)という等式です。 -- [[前野]] &new{2020-03-20 (金) 11:45:01};
- 2)の、${\partial Q\over\partial q}*{\partial q\over\partial Q}=1$というのは間違いです。偏微分ではこういう単純な「約分」はできません。 -- [[前野]] &new{2020-03-20 (金) 11:49:23};
- 正確に書いておくと、${\partial Q(p,q)\over\partial q}\biggr|_p{\partial q(Q,P)\over\partial Q}\biggr|_P$(ポアッソン括弧に出てくるのはこの式)は、1ではありません。 ${\partial Q(p,q)\over\partial q}\biggr|_p{\partial q(p,Q)\over\partial Q}\biggr|_p$なら1です(固定する変数が共通で、p)。-- [[前野]] &new{2020-03-20 (金) 11:52:24};
- ご説明いただきよく理解できました。(D.99)はqを言ってウニ -- [[小泉]] &new{2020-03-21 (土) 17:00:40};
- ご説明いただきよく理解できました。(D.99)ではqは一定なので、∂q(Q,P)/∂Q=0 -- [[小泉]] &new{2020-03-21 (土) 17:06:16};
- 当方のPCの調子が悪く同じことを記載して申し訳りません。上記から続けます。従って、D.100の第一項は0となり、第二項はQを一定にしているので1となるといった理解でよろしいでしょうか? -- [[小泉]] &new{2020-03-21 (土) 17:10:23};
- いいえ違います。1+0=1になるというのは大間違いです。 -- [[前野]] &new{2020-03-21 (土) 17:39:40};
- ポアッソン括弧を真面目に書くと${\partial Q(q,p)\over\partial q}\bigr|_q{\partial P(q,p)\over\partial p}\bigr|_q-{\partial P(q,p)\over\partial q}\bigr|_q{\partial Q(q,p)\over\partial p}\bigr|_q$です。 -- [[前野]] &new{2020-03-21 (土) 17:41:23};
- (D.100)までで証明したことは${\partial Q(q,p)\over\partial p}\bigr|_q=-{\partial q(Q,P)\over\partial P}\bigr|_Q$と、${\partial P(q,p)\over\partial p}\bigr|_q={\partial q(Q,P)\over\partial Q}\bigr|_P$です。 -- [[前野]] &new{2020-03-21 (土) 17:45:36};
- この二つを入れると、ポアッソン括弧が${\partial Q(q,p)\over\partial q}\bigr|_p {\partial q(Q,P)\over\partial Q}\bigr|_P+{\partial P(q,p)\over\partial q}\bigr|_p {\partial q(Q,P)\over\partial P}\bigr|_Q$になりますが、これは $q(Q(q,p),P(q,p))$を$q$で微分したものだから、1です。 -- [[前野]] &new{2020-03-21 (土) 17:52:40};
- このあたりは練習問題なのとスペースの関係で省略記法を使ってますが、最初のうちは引数や固定する変数をいちいち書きながら計算することを勧めます(慣れてくれば省略記法で計算できるようになりますが)。 -- [[前野]] &new{2020-03-21 (土) 17:54:46};
- 大変丁寧にご説明いただき、ありがとうございます。よく理解できました。引数、固定する変数を書きながら計算するように致します。 -- [[小泉]] &new{2020-03-22 (日) 06:46:06};

#comment

**p219 (9.42)について [#ge626ba0]
>[[小泉]] (2020-03-01 (日) 13:59:55)~
~
H=ΣP_i(dq_i/dt)-Lであるが、(9.42)ではラグランジアンLの扱いが省略されており、何故 H(q+ε・・,p-ε・・)=H(q,p)となるのか、理解できません。ご教示をお願いします。~

//
- (9.42)の1行目は$f(x+\epsilon b,y)=f(x,y)+\epsilon b {\partial f(x,y)\over\partial x}$のような偏微分の計算をやってます($b={\partial H\over\partial p}$とかになっている)。 これはラグランジアンの形とかは関係なくできる計算です。 -- [[前野]] &new{2020-03-01 (日) 16:45:44};
- 二つめの=は、${\partial H\over\partial p}{\partial H\over\partial q}-{\partial H\over\partial q}{\partial H\over\partial p}=0$を使って消しているだけで、これもラグランジアンの形とは関係なく成り立つ式です。 -- [[前野]] &new{2020-03-01 (日) 16:47:50};
- よくわかりました。テイラー展開が使われていることに気が付きませんでした。ご教示ありがとうございます。 -- [[小泉]] &new{2020-03-07 (土) 09:56:51};

#comment

**p.267(10.83)について [#f72bb3f7]
>[[tatsu]] (2020-02-27 (木) 16:32:24)~
~
$L=\frac{1}{2}m\left(\dot{Q}+gt\right)^2$~
~
という加速系のラグランジアンから求めた運動量は$P=m\left(\dot{Q}+gt\right)$であり、~
~
$K=P\dot{Q}-\frac{P^2}{2m}=\frac{P^2}{2m}-Pgt$   (10.83)~
~
がハミルトニアンである。~
~
という説明がありますが、$\left(q,p\right)\rightarrow \left(Q,P\right)$において、$\left\{Q,P\right\}_{\left(q,p\right)}=1$を確認しておりません。その後の母関数を使った変換で導いたハミルトニアン$K$と(10.83)のハミルトニアン$K$は一致するのですが、"(10.28)の段階"でのハミルトニアン$K$は正準変換によるハミルトニアンと言えるのでしょうか?~
~
お忙しいところ申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。~

//
- ここでは、加速度系の作用から直接ハミルトニアンを求めてます。このハミルトニアンは、「作用から通常の手続きで作った」という意味で、正しいハミルトニアンです。 -- [[前野]] &new{2020-02-27 (木) 18:51:30};
- 要は「慣性系のラグランジアン」と「それを座標変換したラグランジアン」があって、それぞれを元にハミルトニアンを二つ作り、その二つが果たして正準変換でつながるかどうかをその先で調べるわけです。(10.83)のKが正しいハミルトニアンで、Q,Pのポアッソン括弧が正しい形なのは、「作用から作ったから」で保証されてます。 -- [[前野]] &new{2020-02-27 (木) 18:53:58};
- 分りました。ありがとうございます。 -- [[tatsu]] &new{2020-02-27 (木) 18:54:01};

#comment

**p.255の説明の件 [#wbc8d122]
>[[tatsu]] (2020-02-24 (月) 06:31:30)~
~
p.255に以下のような説明があります。~
~
$\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$という正準変換を行ったとき、作用も~
~
$\int\left(p\dot{q}-H\left(q,p\right)\right)dt\rightarrow\int\left(P\dot{Q}-H\left(q\left(Q,P\right),p\left(P,Q\right)\right)\right)dt$~
~
と変化する。それでも正準方程式が変化しない為には、どんな条件が必要だろうか。・・・・・・・・・~
~
つまりこの場合、正準方程式が変わらずにラグラジアンが変化する。そうなるのは~
~
$\int\left(p\dot{q}-H\left(q,p\right)\right)dt=\int\left(P\dot{Q}-H\left(q\left(Q,P\right),p\left(P,Q\right)\right)+\frac{dG}{dt}\right)dt$~
~
のように「表面項」になる量が付け加わった場合である。~
~
上記の説明だと、$p\dot{q}=P\dot{Q}+\frac{dG}{dt}$という条件は正準方程式が変化しない条件というより、作用が変化しないための条件だと読み取れるのですが、$p\dot{q}=P\dot{Q}+\frac{dG}{dt}$という条件が正準方程式が変化しない条件である理由を教えて頂けませんでしょうか?~
~
宜しくお願いいたします。~

//
- ${\mathrm dG\over\mathrm dt}$の項が運動方程式(正準方程式)に効かない、ということはいいですね? だとすると、$(p,q)$系の正準方程式は$\int (p\dot q-H(p,q))\mathrm dt$の変分から、$(P,Q)$系の正準方程式は$\int (P\dot Q-H(P,Q))\mathrm dt$の変分から得られます。 -- [[前野]] &new{2020-02-24 (月) 08:27:24};
- するとどっちも$\dot p=-{\partial H\over\partial q},\dot q={\partial H\over\partial p}$、$\dot P=-{\partial H\over\partial Q},\dot Q={\partial H\over\partial P}$の形の正準方程式になります。$p\dot q=P\dot Q$にG以外の余分なのがつくと、変分から導かれる方程式がこの形になりません。 -- [[前野]] &new{2020-02-24 (月) 08:29:07};
- 理解できました。ありがとうございます。 -- [[tatsu]] &new{2020-02-24 (月) 10:15:29};
- すみません。まだ良く分っていなかったです。$\frac{dG}{dt}$を加えて作用を等しくする理由は何故でしょうか? -- [[tatsu]] &new{2020-02-24 (月) 10:21:44};
- 作用を等しくしないと正準方程式は同じ形にならないです。${\mathrm dG\over\mathrm dt}$は加えたいから加えるのではなくて「この形になっていれば加えても支障はない」ということです。 -- [[前野]] &new{2020-02-24 (月) 10:23:17};
- 一般的には座標変換すれば、$p\dot q\to P\dot Q+(?)$になりますが、$(?)$の部分が「悪い形」だと、新しい変数は正準方程式を満たしません。$(?)$の「悪くない形」が${\mathrm dG\over\mathrm dt}$です。 -- [[前野]] &new{2020-02-24 (月) 10:25:21};
- 分りました。お忙しいところありがとうございました。 -- [[tatsu]] &new{2020-02-24 (月) 10:35:23};

#comment

**P.240の(9.40)式について [#c927f5cc]
>[[tatsu]] (2020-02-20 (木) 00:10:50)~
~
P.240の(9.40)式に$\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$という式がありますが、これは$\sum_i\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$ではないでしょうか?宜しくお願い致します。~

//
- Texが上手く変換されなかったので、再度質問を書きます。P.240の(9.40)式に -- [[tatsu]] &new{2020-02-20 (木) 00:16:52};
- Texが上手く変換されなかったので、再度質問を書きます。P.240の(9.40)式に  $\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$  がありますが、これは  $\sum_i\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$  ではないでしょうか? よろしくお願いいたします。 -- [[tatsu]] &new{2020-02-20 (木) 00:19:12};
- 度々間違えてすみません。p.240の(9.40)式ではなく、P.214の(9.40)式の$\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$が\$sum_i\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$ではないか?という質問です。 -- [[tatsu]] &new{2020-02-20 (木) 11:41:35};
- 度々度々間違えてすみません。p.240の(9.40)式ではなく、"P.214"の(9.40)式の$\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$が$\sum_i \frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$ではないか?という質問です。 -- [[tatsu]] &new{2020-02-20 (木) 11:47:05};
- コメント遅れましたすみません。この式は間違ってますが、むしろ$\sum_i$の位置が最初のカッコの後ろにあるのが間違いで、最初のカッコより前にあって、全部にかかっているべきですね。 -- [[前野]] &new{2020-02-20 (木) 11:51:29};
- 訂正としてはもちろん、${\mathrm d(p_i\delta q_i)\over \mathrm dt}$の前に$\sum_i$をつけても構いません。 -- [[前野]] &new{2020-02-20 (木) 11:52:25};
- $-{\partial H\over\partial p_i}$の後ろに二つある)のうち一つを、${\mathrm d(p_i\delta q_i)\over\mathrm dt}$の後ろに持っていく、という修正でもいいですね。 -- [[前野]] &new{2020-02-20 (木) 11:53:57};
- 分りました。ありがとうございました。 -- [[tatsu]] &new{2020-02-20 (木) 11:58:49};

#comment

**ネーターの定理が時間並進性のとき成り立つ条件について [#h1eba126]
>[[tatsu]] (2020-02-18 (火) 16:52:05)~
~
p.202のネーターの定理に「ある変数変換 $q_i \rightarrow q_i+\delta q_i$を行ったとき、~
~
$L\left(\left\{q_*\right\},\left\{\dot{q}_i\right\}\right) \rightarrow L\left(\left\{q_*\right\},\left\{\dot{q}_i\right\}\right)+\frac{\text{d}J}{\text{d}t}$ ~
~
とあった時」とありますが、単振動の時のラグラジアン~
~
$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$ ~
~
は、$x\rightarrow x-\epsilon\dot{x}$の時、$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon kx\dot{x}-\frac{1}{2}\epsilon^2 k\dot{x}^2$ ・・・・(1)~
~
となりますが、~
~
$L\left(x,\dot{x}\right) \rightarrow L\left(x,\dot{x}\right)+\frac{\text{d}J}{\text{d}t}=L\left(x,\dot{x}\right)+\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(-\epsilon L\right)$~
~
の条件は、$L(x,\dot{x})+\frac{d}{dt}(−ϵL)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2−\frac{1}{2}kx^2ーϵ(m\dot{x}\ddot{x}−kx\dot{x})$ ・・・・(2)~
~
となり、(1)式と(2)式が一致しません。~
ここで、(1)式において$\epsilon^2$の項は無視して、更に(2)式において$m\ddot{x}=-kx$を代入すると、(1)式は~
~
$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon kx\dot{x}$ ・・・(3)~
~
(2)式は、~
~
$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon2kx\dot{x}$ ・・・(4)~
~
となり、(3)式と(4)式は$\epsilon kx\dot{x}$の分だけ一致しません。~
これは、一次元単振動のラグラジアン$L$が時間並進性を持たないと理解して宜しいでしょうか?宜しくお願い致します。~

//
- 最後の行は「時間並進性をもたない」ではなく「時間の並進不変性をもたない」でした。すみません。 -- [[tatsu]] &new{2020-02-18 (火) 17:28:01};
- 最後の行は「時間並進性をもたない」ではなく「時間の並進不変性をもたない」でした。すみません。 -- [[tatsu]] &new{2020-02-18 (火) 17:44:10};
- 時間の並進不変性 -- [[tatsu]] &new{2020-02-18 (火) 20:34:29};
- すみません。途中で送信してしまいました。時間の並進不変性があるラグラジアンを教えていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。 -- [[tatsu]] &new{2020-02-18 (火) 20:36:28};
- (1)を出すとき、$\dot x$も$\dot x-\epsilon\ddot x$とずらす必要があります。 -- [[前野]] &new{2020-02-19 (水) 00:36:54};
- 分りました。$\epsilon^2$の項は無視するという理解で宜しいでしょうか? -- [[tatsu]] &new{2020-02-19 (水) 07:34:00};
- $\epsilon^2$は無視です。無視したくないなら、そもそも$x-\epsilon\dot x$という展開を1次で止めてはいけません。 -- [[前野]] &new{2020-02-19 (水) 08:16:26};
- 分りました。お忙しいところお時間を割いて頂きありがとうございました。 -- [[tatsu]] &new{2020-02-19 (水) 09:57:25};

#comment

**p151 λ_1 = λ_2 の場合扱い [#o722fed0]
>[[小泉]] (2020-01-25 (土) 09:41:25)~
~
λ_1 = λ_2の場合、最終的には(6.49)の1行目のLの式を、対角行列に変換することが目的で論理を組み立てる必要があると考えます。シュミットの直交化と同様の方法を使うと欄外に説明がありますが、シュミットの直交化は互いに直交するベクトルをつくることが目的。どのように利用するかヒントをいただきたいと思います。~

//
- $\lambda_1\neq\lambda_2$なら自動的に$\vec T_1^t{\mathbf M}\vec T_2=0$になりますが、$\lambda_1=\lambda_2$ではそうはいかないのが今の困ったところで、要は$\vec T_1^t{\mathbf M}\vec T_2=0$になるようにしてやればよい。 -- [[前野]] &new{2020-01-25 (土) 11:34:17};
- そのためにシュミットの直交化と似た方法を使います。具体的には$\vec T_3=\vec T_1 + a\vec T_2$のようなベクトルを作って、$\vec T_1^t{\mathbf M}\vec T_3=0$になるように定数を決める。 -- [[前野]] &new{2020-01-25 (土) 11:35:34};
- $\vec T_2$を使うのをやめて新しく作った$\vec T_3$を使う(規格化が必要ならやりなおす)ことにすれば後は同じようにできます。 -- [[前野]] &new{2020-01-25 (土) 11:36:27};
- 素直にaを計算し、a=-(T_11*T_11*m_1+T_12*T_12*m_2)/(T_11*T_21*m_1+ -- [[小泉]] &new{2020-02-01 (土) 10:53:02};
- T_12*T_22*m_2)となりT_3を求めてあとは教科書通りすすめることができました -- [[小泉]] &new{2020-02-01 (土) 10:54:56};
- ただ、aの分母がゼロになる場合を考えるとT_1ベクトル、T_2ベクトルが平行 -- [[小泉]] &new{2020-02-01 (土) 10:56:22};
- になることまでは理解できましたが、その場合の阻害に関してはこれから考えようと思います。 -- [[小泉]] &new{2020-02-01 (土) 10:59:16};
- ご教示ありがとうございます。 -- [[小泉]] &new{2020-02-01 (土) 10:59:37};
- システム更改で業務多忙であったため検討が遅れて申し訳ありませんでした。 -- [[小泉]] &new{2020-02-01 (土) 11:04:01};
- T_1、_2ベクトルは固有値ベクトルですので独立である必要があり、平行ではないので分母はゼロになってはいけないことに気が付きました。 -- [[小泉]] &new{2020-02-01 (土) 11:10:35};

#comment

**p66 3.3 仮想仕事の原理を使う例題 変位δθの扱い [#ga4c76ee]
>[[小泉]] (2020-01-03 (金) 09:51:48)~
~
角θがδθ増える場合、手の仕事がFδθd(Lcosθ)/dθとあります。~
これまでの議論から推論するに、δX=δθd(Lcosθ)/dθと考えることができると思いますが。なで、この等号=が成り立つか理解できないので、ご教授いただきたく思います。よろしくお願いいたします。~

//
- $X=L\cos\theta$なので、このθがδθ変化したら?という計算をしています。 -- [[前野]] &new{2020-01-03 (金) 12:15:35};
- $\delta X=L\cos(\theta+\delta\theta)-L\cos\theta$で1次までの展開をしているだけです。 -- [[前野]] &new{2020-01-03 (金) 12:17:16};
- よくわかりました。ありがとうございます。 -- [[小泉]] &new{2020-01-13 (月) 11:26:44};

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