#author("2021-03-18T23:13:54+09:00","irobutsu","irobutsu")
#author("2021-12-03T18:51:30+09:00","","")
#mathjax

*「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板 [#f859e7cb]

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#article
**ラグランジアンとハミルトニアンによる変分 [#bdbaad45]
>[[yamashita]] (2021-03-10 (水) 21:57:43)~
**無題 [#xa35aab5]
>[[大学1年]] (2021-12-02 (木) 21:20:25)~
~
「作用」の変分やっと分かりました!ありがとうございます。~
質問が3つあります。~
まず、作用でIを使っているときと、Sを使っているときは意図的に書き分けられているのですか?あるとすれば何なのですか?(p89とp90)~
~
次に、作用の変分を取る時に、ラグランジアンを使った際はδxとδvですが、結局δxにまとめることができています。これはvが結局はxの時間微分だからですよね?ラグランジアンのxとvは独立ではないのでしょうか?~
~
最後に作用の変分にハミルトニアンを使ったときは最後までδqとδpでこれらは独立です。もちろんqとpを独立に取ったから、というのは分かるのですが、やはりxとvの様にqとpも関係していて、δqとδpは何かで結ばれてないのでしょうか?~
(結局「作用」の変分の独立な成分はいくつなのでしょうか?)~
p77の式3.62から式3.63の詳しい導出過程が知りたいです。宜しくお願いします。~

//
- 変分を取る時点では、δpとδxは完全に独立です。pとxの関係は正準方程式で決まります。変分は運動方程式(正準方程式)を求めるためにやっていて、変分を取ることで正準方程式が求まって、その結果でxとpの関係が決定します。 -- [[前野]] &new{2021-03-11 (木) 19:53:47};
- ラグランジアンの場合のxとvについては$v={dx\over dt}$という関係は運動方程式が出る前からわかってます。そこがx,pとの違いです。 -- [[前野]] &new{2021-03-11 (木) 19:54:35};
- ありがとうございます。変分はハミルトニアンを使った場合の方がより広い概念になるのですね。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-14 (日) 22:00:44};
- では、ハミルトニアンを使った変分原理で求まった正準方程式から実質的にv=dx/dtという関係が出てきますが、ラグランジアンの場合にすでのこれを使っているのはただの幸運だったのですか? -- [[yamashita]] &new{2021-03-14 (日) 22:02:43};
- それとも、ラグランジアンでv=dx/dtと分かっているから、これが正準方程式で出てきたのでしょうか? -- [[yamashita]] &new{2021-03-14 (日) 22:03:50};
- あと、IとSの関係も教えてもらえるとうれしいです。すみません。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-14 (日) 22:04:14};
- IとSに別に使い分けはありません。 -- [[前野]] &new{2021-03-15 (月) 06:34:43};
- ラグランジュ形式とハミルトン形式は設定が違うというだけのことで、v=dx/dtなのは幸運なわけではないです(そんなはずがない)。ハミルトン形式では変数の数を増やしてる(xからxとpへと)ので、その代わり、運動方程式が一階微分になっている(ラグランジュ形式ではxの二階微分)というだけのことです。 -- [[前野]] &new{2021-03-15 (月) 06:37:38};
- v=dx/dtというのはvの定義みたいなものなので、ラグランジュ形式でもハミルトン形式でも同じです。ハミルトン形式で出てくる新しい式は、vとpの関係です。 -- [[前野]] &new{2021-03-15 (月) 06:38:39};
- 解析力学の基本はラグランジュ形式で、その時点ではxとvを使ってラグランジアンが書けている(このときのvはdx/dtだと最初から決まっている)。新しい変数pを使ってvが出てこないようにしたのがハミルトン形式で、新しい変数pとvがどういう関係にあるかは正準方程式で出てくるようになっている、ということです。新しい変数pはラグランジュ未定定数と考えることもできる、という話は9.1.4でも書いています。 -- [[前野]] &new{2021-03-15 (月) 06:43:52};
- お返事ありがとうございます。「新しい変数pとvがどういう関係にあるかは正準方程式ででてくるようになっている。」とありますが、一般化運動量p=∂L/∂vですでに関係づけられているのではないのでしょうか? -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 04:43:28};
- ハミルトン形式でqとpの変分を独立に取ろうにも、p=∂L/∂vで縛られていて、それが反映された結果が正準方程式に再度表れている、ということはないのでしょうか? -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 04:46:12};
- 「ハミルトン形式で考える」ときは、出発点がハミルトニアンであって、変数はx,pです。ラグランジアンも、速度vも、「後から導かるもの」です。だから「すでに関係づけられている」のではなく、出発点では関係はありません。 -- [[前野]] &new{2021-03-16 (火) 06:21:45};
- H(q,p)と、正準方程式があれば、そこからv=dx/dtがどうなるかは出てきますから「運動方程式を使えば決まる」という意味では縛られていますが、逆に言えば「運動方程式を出す前は決まってない」ので変分できます。 -- [[前野]] &new{2021-03-16 (火) 06:23:27};
- 分かったかも知れません!オイラーラグランジュの方程式が成り立つ条件下(現実の運動)にp=∂L/∂vの定義を与えると、正準方程式が出てくる。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 19:19:23};
- しかし、ハミルトン形式ではp=∂L/∂vを使わず、x,pを独立に変分を取って、初めて正準方程式が出てくる。 -- [[yamshita]] &new{2021-03-16 (火) 19:20:50};
- なので、δpとδqha -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 19:24:16};
- すみません。なので、δpとδqは独立に取って良い。p=∂L/∂vに縛られることはない。ということですね! -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 19:25:15};
- ありがとうございます!もう少しですっきりしそうです。がんばります。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 19:26:54};
- ありがとうございます!分かりました!ハミルトン形式の変分原理でもp=∂L/∂vの条件を課してオイラーラグランジュの方程式の導出もできました! --  &new{2021-03-17 (水) 20:52:20};
- 「p=∂L/∂vの条件を課して」というのが「後からそういう条件をつける」という意味なら、そうではないです。ハミルトン形式では、まず$H(p,q)$が与えられていて、変分原理から正準方程式$\dot x={\partial H\over\partial p}$と$\dot p=-{\partial H\over\partial x}$を得ます。この後で「$p\to v=\dot x$のLegendre変換をしよう」と思い立ってLegendre変換することで、$L$が導かれます。そして、今考えたLegendre変換の逆変換として、$p={\partial L\over\partial v}$が導かれます。つまり、 -- [[前野]] &new{2021-03-18 (木) 06:38:13};
- $p={\partial L\over\partial v}$は「課す条件」ではなく「必然的に導かれた結果」です。 -- [[前野]] &new{2021-03-18 (木) 06:38:56};
- お返事ありがとうございます。「ラグランジアンもvも後から導かれるもの」ということからすると、p=∂L/∂vは課す条件ではない、ということですね。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-18 (木) 20:23:55};
- ですが、ならばなぜ、ハミルトン形式でハミルトニアンのルジャンドル変換した、後でラグランジアンの変分を取ろうとしたのでしょうか?変数変換以外にラグランジアンを導出しようとしているわけですよね? -- [[yamashita]] &new{2021-03-18 (木) 20:26:03};
- 「後でラグランジアンの変分を取ろうとした」⇒「後でラグランジアンという名前がつく量の変分を取ろうとした」です。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-18 (木) 20:27:46};
- ハミルトン形式はハミルトン形式だけで閉じる(そこだけで話が終了する)ので、ラグランジアンの変分を取る必要はないです(やらなきゃ困るわけではない)。ラグランジュ形式←→ハミルトン形式と相互に移りたいならそういうことをしますが(相互に移りたいと思わないならそんなことをする必要はもちろんない)。 -- [[前野]] &new{2021-03-18 (木) 22:42:41};
- うまく表現できなくてすみません。ハミルトン形式で議論を始めたとき、「なぜ作用がpv-Hの積分であると分かったのでしょうか?」という意味なのです。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-18 (木) 23:00:14};
- ハミルトン形式の出発点をどこに取るかはいろんな立場があると思いますが、作用の変分を出発点に取る立場なら、「なぜ作用が$p\dot x-H$の積分なのか」と言われても「それが出発点だから」としか言いようがないです。それはラグランジュ形式で「なんでラグランジアンの積分が作用なの?」というのと同じです(どっちも答があるとしたら「運動方程式が出てくるように、そうする(作用とは変分により運動方程式が導かれるものだ)」ということになると思います。 -- [[前野]] &new{2021-03-18 (木) 23:08:07};
- なお、立場としてはそもそも正準方程式が出発点にしてしまう場合もありですし、後で出てくるPoisson括弧を出発点にして「HとのPoisson括弧が時間微分」というのが正準方程式の出し方、と見る立場もありです。ハミルトニアンを出すときはラグランジアンや作用積分を経由することが多いですが、そうでなくちゃいかん、ってわけではないです。ラグランジュ形式を経由する場合なら、作用がpv-Hの形なのは「元のラグランジュ形式から、LをLegendre変換したのがHだから」ってことになります。 -- [[前野]] &new{2021-03-18 (木) 23:12:35};
- 書いてあるとおりのことしかしてません。第1項なら${1\over y^2}$ですから${y'\over y}$を掛けると${y'\over y^3}$。これを積分すれば$-{1\over 2y^2}$です(逆に$-{1\over 2y^2}$を微分すれば${y'\over y^3}$)。 -- [[前野]] &new{2021-12-03 (金) 14:07:47};
- 第2項も、${y'\over y}{d\over dx}\left({y'\over y)}\right)$になるので積分すると${1\over2}\left({y'\over y}\right)^2$(微分すればこれでいいことは確認できます)。ここの計算は、運動方程式でよくやる$v m{dv\over dt}$を積分して${1\over 2}mv^2$にするのと同じ理屈です。 -- [[前野]] &new{2021-12-03 (金) 14:09:56};
- 計算できました。ありがとうございます。 -- [[大学1年]] &new{2021-12-03 (金) 18:51:30};

#comment

**ダンベールの原理から作用積分を使う必要性 [#ld0eba31]
>[[yamashita]] (2021-03-01 (月) 20:33:52)~
**p.152 二重振り子(6.52)式の近似 [#y151fa31]
>[[ぺろり]] (2021-10-20 (水) 12:03:38)~
~
p87の(4.6)式はポテンシャルの様な「なにか」を作るのは分かるのですが、~
そしてそれが(4.8)の様な形になるのも分かります。~
ですが、なぜ(4.9)の作用が必要になるのかわかりません。~
「なにか」=作用積分なのでしょうか?~
作用積分のgradientを取っても、"ma-F"が出てこないと思うのです。~
(6.52)から(6.53)の変形は、テイラー展開で2次の項まで残しているのは分かるのですが、$\cos (\theta _1-\theta _2)$を1と近似して良い理由がわかりません。2次の項まで残すのなら、$\cos (\theta _1-\theta _2)$から$\theta _1\theta _2$や$\theta _1^2$や$\theta _2 ^2$といった項も残ると思うのですが。~

//
- 取っているのはgrad(つまり微分)ではなく、もっと複雑な「経路を変形するという変分」をとっていて、その結果が運動方程式になる、という説明をそこでしているのですが。。。。 -- [[前野]] &new{2021-03-01 (月) 21:05:14};
- 変分を取る相手である「なにか」はもちろん作用積分です。 -- [[前野]] &new{2021-03-01 (月) 21:06:16};
- なるほど!微分ではないのですね。変分とはこういう意味なのですね。ありがとうございました。比喩が分からないのは私に適性がないからなんでしょうか?難しさの方向性が色々で苦しんでいます。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-01 (月) 22:27:46};
- 具体的にどういう計算をしているのかは書いてある(オイラー・ラグランジュ方程式については付録にありますが)ので、具体的に何をやっているのかを確認しながら読み進めて見て下さい。 -- [[前野]] &new{2021-03-01 (月) 23:07:28};
- 問題の項は$\dot\theta_1\dot\theta_2\cos(\theta_1-\theta_2)$なので、$\dot\theta_1\dot\theta_2$の時点ですでに「2次の項」なのです。 -- [[前野]] &new{2021-10-21 (木) 17:33:01};
- 「微小振動」では$\theta <<1$ -- [[ぺろり]] &new{2021-10-22 (金) 00:59:16};
- 「微小振動」では$\theta <<1$とみなすのに加え、その時間微分について$\dot{\theta}<<1$も前提であるということですか? -- [[ぺろり]] &new{2021-10-22 (金) 01:00:59};
- そうですね、そう考えます。 -- [[前野]] &new{2021-10-22 (金) 08:34:42};
- ありがとうございます。 --  &new{2021-10-23 (土) 04:59:35};

#comment

**p.49 式(2.87)から(2.88)において、 [#zbe06835]
>[[大学生]] (2021-01-19 (火) 17:10:55)~
**p.292 球対称ポテンシャル内の3次元運動 [#w11e6db4]
>[[林]] (2021-09-20 (月) 10:22:36)~
~
yプライムの2乗の式から変数分離する際、プラス、マイナス2通りになると思いますが、なぜプラスのみ書かれているのでしょうか?~
p.292の1.2行目で定数lは全角運動量Lに等しいと書いてありますが、なぜ等しくなるかが分かりません。5.2.3節から全角運動量を求めると  \[\ \vert \vec{L} \vert = {\sqrt{(\dot{\theta})^2+(\dot{\phi})^2\sin{{}^2\theta}}  }\]\ となりますが、これと定数lの関連性について教えていただきたいです~

//
- 特に説明は入れてませんが、p47の図のような状況を考えていると、dyとdxの符号は等しいことはわかるので、マイナスを考える必要はないです。 -- [[前野]] &new{2021-01-19 (火) 19:06:40};
- 理解しました。ありがとうございます。 -- [[大学生]] &new{2021-01-29 (金) 23:33:53};
- 理解しました。ありがとうございます。 -- [[大学生]] &new{2021-01-30 (土) 15:25:24};
- (11.43)まで戻ると、全エネルギーEが、第1項から順に、r方向の速度による運動エネルギー、θ方向の速度による運動エネルギー、φ方向の速度による運動エネルギー、位置エネルギーの4つの和になってます。第2項と第3項が「角運動量によるエネルギー」になっているので、その項を見れば$\ell$が角運動量になっていることがわかります。 -- [[前野]] &new{2021-09-20 (月) 10:32:58};
- ようやく理解できました。ありがとうございます --  &new{2021-09-20 (月) 14:45:13};

#comment

**ばね定数について [#tcd568c4]
>[[学生]] (2021-01-04 (月) 15:06:00)~
**P.287 調和振動子 [#g0575e09]
>[[林]] (2021-09-19 (日) 12:54:17)~
~
p.164でばね定数をkΔxとしていますが、こうすると長さを短くすれば比例してばね定数は小さくなってしましせんか(比例の式であるため)?反比例しなくてはいけないでのこの式になるのはおかしいと感じました。~
ハミルトニアンがtに依存しないので変数分離でき、保存量として~
Eが見つかり、それを新しい運動量Pとするとハミルトンの主関数において、~
独立変数をq,Pにとると新しい座標Qが(∂S ̅)/∂Pになるのはわかるのですが、なぜその新しい座標Qが保存すると言えるのでしょうか~

//
- よく読んでください。ばね定数は$k$で、$k\Delta x=\kappa$はばね定数とは別の定数です。「バネ定数に$\Delta x$を掛けた、$\kappa=k\Delta x$」と書いてありますね。 -- [[前野]] &new{2021-01-04 (月) 17:47:16};
- $\kappa=k\Delta x$が$\Delta x$によらない、ということは、$\Delta x$が$N$倍になれば$k$が${1\over N$}$倍になるとうことです。-- [[前野]] &new{2021-01-04 (月) 17:47:46};
- もっと注意深く読むように心がけます。丁寧にご説明いただきありがとうございます。 -- [[学生]] &new{2021-01-05 (火) 17:55:00};
- ここでやっているハミルトン・ヤコビ方程式の流れというのは「正準変換することで新しいハミルトニアンを0にする」という計算です。ですから、新しい座標Qと新しい座標Pで表現したハミルトニアンが0なので、時間発展しません。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 13:44:41};
- 新しいハミルトニアン0の式に代入すると確かに0になりますね。 --  &new{2021-09-19 (日) 16:25:09};
- Wを求めないといけないと思い込んでいました。理解しました、ありがとうございます --  &new{2021-09-19 (日) 16:27:18};
- すいません、もう一つ質問させてください --  &new{2021-09-19 (日) 16:39:43};
- 上の場合、新しい運動量PはS⁻に含まれる定数以外の保存量なら何を選んでもよいのでしょうか --  &new{2021-09-19 (日) 16:44:47};
- そのあたりの手順は285ページあたりに書いてあるとおりで、保存量となる数が見つかればそれが運動量になるように正準変換していけるわけです。「何を選んでもいい」と言われると自由度がありそうですが、実際にはむしろ難しい問題では定数が見つからないです(例として挙げているのは解ける問題なので見つかりますが)。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 17:05:38};
- 納得しました。ありがとうございます --  &new{2021-09-19 (日) 17:49:57};

#comment

**D.81について [#b35f02b4]
>[[物理屋気取りのPT]] (2020-12-30 (水) 07:20:45)~
**p.110 演習問題4-2について [#g30b53bb]
>[[michi]] (2021-09-18 (土) 21:41:30)~
~
右辺はzではなく、xになりますでしょうか?自分の勘違いでしたらすみません。~
表題文中にある「重心の運動が自由粒子の運動と等価になる」とはどういうことかご教授いただけないでしょうか.~

//
- ここでは重力mgが働いているのはz方向なので、zになります。 -- [[前野]] &new{2020-12-30 (水) 10:20:14};
- 御回答頂き、ありがとうございます。 -- [[物理屋気取りのPT]] &new{2020-12-30 (水) 20:53:05};
- 「等価になる」というのは「ラグランジアンが同じ形」ということです。つまり、${1\over 2}M(\dot X)^2$のようになります。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 08:13:58};
- 運動方程式が$M\ddot X=0$のようになる、と言っても同じです。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 08:14:21};
- やはりよくわかりません.問題のヒントと回答に沿って教えてください. -- [[michi]] &new{2021-09-19 (日) 08:52:55};
- ヒントでは3つの質点個別の運動エネルギーとポテンシャルからラグランジアンを求めて,そこから書く質点ごとの運動方程式を求めていると思います. -- [[michi]] &new{2021-09-19 (日) 08:55:16};
- その後,回答に移ったときの「$\Sigma mi\ddot{x}i$が0になるために」がどこから出てきたものなのかがわかりません. -- [[michi]] &new{2021-09-19 (日) 08:59:51};
- ああ、ごめんなさい。解答の1行目の式に(つけたつもりだったのですが)${\mathrm d\over\mathrm dt}$が抜けてますね(古いバージョンではこうなってましたが、今アップロードされているバージョンでは$\ddot x$になってました)。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 09:20:50};
- ヒントの式がどこから出てくるかとうと、まず、重心の「運動方程式」を考えてみると、${\mathrm d\over \mathrm dt}\left((m_1+m_2+m_3)\dot{\vec x_G}\right)=0$です(重心の運動は自由粒子なので)。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 09:27:19};
- これは${\mathrm d\over \mathrm dt}\left(m_1\dot{\vec x_1}+m_2\dot{\vec x_2}+m_3\dot{\vec x_3}\right)=0$と同じです。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 09:28:28};
- 問題で何を問われているのかがわかりました.ありがとうございました.加えて(E.77)式,(E.78)式について教えてください. -- [[michi]] &new{2021-09-19 (日) 09:59:33};
- (E.77)式は「各質点の位置で求めたポテンシャルの勾配ベクトルの総和が0ベクトルになる」という意味だと思いますが,ポテンシャルの並進不変性とどうつながるのかがわかりません. -- [[michi]] &new{2021-09-19 (日) 10:02:53};
- やはりよくわかりません.問題のヒントと回答に沿って教えてください. -- [[michi]] &new{2021-09-19 (日) 10:03:57};
- 微分というのはそもそも「xをちょっと変化させたときの変化」を計算するものです。(E.77)は、$x_1,x_2,x_3$を全部一斉に変化させたときの変化量を計算していることになります。これが0だというのは物理的にいうと、「$x_1,x_2,x_3$を同時に動かしても物理的内容は変わらない」ということです。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 10:21:38};
- (E.78)がまさに「$x_1,x_2,x_3$を一斉に$\vec \epsilon$だけ動かしても、ポテンシャル$V$が変化しない」ということを表現した式になってます。これをテーラー展開して$\epsilon$の1次を取り出したと思えば、それは$\sum_i{\partial V\over\partial \vec x_i}=0$ということになります。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 10:23:19};
- (E.78)は$\vec{\epsilon}$の位置変化に対して,各質点位置のポテンシャルの変化がそれぞれ0という式ですよね?(E.77)はあくまで「総和が0」という式なので必ずしも同じことを言っているとは思えないのですが... -- [[michi]] &new{2021-09-19 (日) 10:55:26};
- (E.78)は$V(\vec x_1+\vec\epsilon,\vec x_2+\vec\epsilon,\vec x_3+\vec\epsilon)-V(\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3)$の省略形と読んでください。省略をしすぎたかもしれません。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 10:58:04};
- 理解しました.ありがとうございました. -- [[michi]] &new{2021-09-19 (日) 12:19:11};

#comment

**p109 9行目 [#q7d9d021]
>[[学生]] (2020-12-19 (土) 22:51:23)~
~
p109 9行目のポテンシャルが相対座標であらわされるようになったことで、10行目の等式が導かれるのはなぜですか?~
**問い10-11 [#l0327cc6]
>[[吉川晃生]] (2021-09-17 (金) 22:04:36)~
~$\frac{\partial P_i (q,p)}{\partial q_j} =  \frac{\partial p_j (Q,P)}{\partial Q_i}$ 
の導出過程を詳しく教えていただきたいです。~
- 解答に書いてあるのでは、どこが不満なのでしょう? -- [[前野]] &new{2021-09-17 (金) 22:11:23};
- (D.117)をまねて  $\frac{\partial P_i (q,Q(q,p))}{\partial q_j} =\frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}+  \Sigma_k \frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial Q_k}\frac{\partial Q_k (q,p)}{\partial q_j}= \frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}+\Sigma_k \frac{\partial P_k (q,Q)}{\partial Q_i}\frac{\partial Q_k (q,p)}{\partial q_j}= \frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}-\Sigma_{k,l} \frac{\partial P_k (q,Q)}{\partial q_l}\frac{\partial q_l (Q,P)}{\partial Q_k}\frac{\partial Q_k (q,p)}{\partial q_j}= \frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}+\Sigma_{k,l} \frac{\partial p_l (q,Q)}{\partial Q_k}\frac{\partial q_l (Q,P)}{\partial Q_k}\frac{\partial Q_k (q,p)}{\partial q_j}$  まで計算したところで八方ふさがりになりました。 -- [[吉川晃生]] &new{2021-09-18 (土) 15:40:21};
- まず、最後の式は$= \frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}+\Sigma_{k,l} \frac{\partial p_l (q,Q)}{\partial Q_k}\frac{\partial q_l (Q,P)}{\partial Q_i}\frac{\partial Q_k (q,p)}{\partial q_j}$ですね。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 07:53:18};
- ここで(D.21)から$-  {\partial p_\ell(q,Q)\over \partial q_j}   =\sum_k{\partial p_\ell(q,Q)\over \partial Q_k}{\partial Q_k(q,p)\over \partial q_j}$が言えます。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 08:00:26};
- これでまず、$=\frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}-\Sigma_{l} \frac{\partial p_l (q,Q)}{\partial q_j}\frac{\partial q_l (Q,P)}{\partial Q_i}$になります。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 08:03:24};
- 次に(D.19)から${\partial p_l(q,Q)\over\partial q_i}={\partial p_i(q,Q)\over\partial q_l}$です。もうひとつ、 (D.18)から${\partial P_i(q,Q)\over\partial q_j}=-{\partial p_j(q,Q)\over\partial Q_i}$を使うと、$=-{\partial p_j(q,Q)\over\partial Q_i}-\sum_l{\partial p_j(q,Q)\over\partial q_l}{\partial q_l(Q,P)\over\partial Q_i}$となります。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 08:10:48};
- これは$=-{\partial p_j(P,Q)\over\partial Q_i}$です。使っている式は(D.18)、(D.19)、(D.21)です。第1項にも(D.18)が使えるところがわかりにくかったでしょうか。 -- [[前野]] &new{2021-09-19 (日) 08:13:01};

//
- 合成関数の微分だと考えてください。$V(\vec X)$が$\vec X$の関数で、$\vec X=\vec x_1-\vec x_2$だとして、$\vec x_1$での微分と$\vec x_2$での微分を比較します。 -- [[前野]] &new{2020-12-19 (土) 23:12:51};
- 合成関数を微分してででくるところまではわかるのですか、なぜこの2つがイコールで結ばれるのかがわかりません。 -- [[学生]] &new{2020-12-20 (日) 16:38:38};
- ややこしいのでベクトル記号は書かずに、1次元だとして書きます。${\partial V (X(x_1,x_2))\over\partial x_1}={\partial V(X)\over\partial X}{\partial X (x_1,x_2)\over\partial x_1}$と${\partial V (X(x_1,x_2))\over\partial x_2}={\partial V(X)\over\partial X}{\partial X (x_1,x_2)\over\partial x_2}$ までは大丈夫でしょうか。 -- [[前野]] &new{2020-12-20 (日) 20:59:45};
- だったら、$X=x_1-x_2$なので、${\partial X\over\partial x_1}=1,{\partial X\over\partial x_2}=-1$です。 -- [[前野]] &new{2020-12-20 (日) 21:00:42};
- 丁寧に説明してくださりありがとうございます。理解することができました。 -- [[学生]] &new{2020-12-21 (月) 15:05:58};

#comment

**第5刷 [#i034c81d]
>[[yamamoto]] (2020-12-11 (金) 00:38:41)~
**問い10-5 [#w59358f6]
>[[吉川晃生]] (2021-09-14 (火) 22:18:55)~
~
P360 D.81式右辺はxではなくzではないでしょうか?~
~
P361 D.82式左辺の分母は3乗ではなく2乗ではないでしょうか?~
$\frac{\partial P}{\partial p} = \frac{\partial q}{\partial Q}, ~
\frac{\partial Q}{\partial p} = -\frac{\partial q}{\partial P}$~
を示せれば$J=1$となるのはどうしてですか?~

//
- P199 8.26式左辺はδSではなくSではないでしょうか? -- [[yamamoto]] &new{2020-12-12 (土) 12:09:00};
- p360については、これはzに訂正します。 -- [[前野]] &new{2020-12-12 (土) 12:45:26};
- p361の(D.82)については、3乗で正しいです。${1\over|\vec x-\vec x_{\rm E}|}$の微分$\vec\nabla\left({1\over|\vec x-\vec x_{\rm E}|}\right)$は${\vec x-\vec x_{\rm E}\over|\vec x-\vec x_{\rm E}|^3}$になります。 -- [[前野]] &new{2020-12-12 (土) 12:48:15};
- これは$|\vec x-\vec x_{\rm E}|=\left((\vec x-\vec x_{\rm E})\cdot(\vec x-\vec x_{\rm E})\right)^{1\over2}$としてちゃんと微分すると出てきます。 -- [[前野]] &new{2020-12-12 (土) 12:49:30};
- p199の(8.26)の左辺は$\delta \bar S$で正しいと思います(変化量なので) -- [[前野]] &new{2020-12-12 (土) 12:50:10};
- (10.5)のJの式にそれを代入してみてください。「qをqで微分する」式になります。 -- [[前野]] &new{2021-09-14 (火) 23:22:37};
- 自分の本を読み直してみたら、(10.6)を使えばすぐにわかりますね。 -- [[前野]] &new{2021-09-15 (水) 11:55:45};
- 理解できました。ありがとうございました。 -- [[吉川晃生]] &new{2021-09-17 (金) 22:01:20};

#comment

**P194 (8.9)式 [#rb01085f]
>[[大学生]] (2020-12-03 (木) 17:29:11)~
**P.38 FAQについて [#l5722663]
>[[michi]] (2021-09-08 (水) 23:03:32)~
~
すなわちの後どのように導出したのか教えてください。~
$\int(なにか)\delta y(x) dx =0$について,なぜ$\delta y(x)$が独立でなければ$(なにか)=0$とすることができないのか,詳しく教えていただけないでしょうか.~

//
- 導出というよりは、微分や変分の定義に戻っただけです。今、$\vec x_f\to \vec x_f+\vec \epsilon$という変化をしたときの$\delta \bar S$つまり、$\delta\bar S=\bar S(\vec x_f+\vec\epsilon,\vec x_i)-\bar S(\vec x_f,\vec x_i)$を考えているわけです。 -- [[前野]] &new{2020-12-03 (木) 17:48:30};
- $\vec\epsilon$が微小なら、$\bar S(\vec x_f+\vec\epsilon,\vec x_i)-\bar S(\vec x_f,\vec x_i)={\partial \bar S\over\partial \vec x_f}\cdot \vec \epsilon$というのが、偏微分係数の定義ですので、これを使えば$\delta\bar S={\partial \bar S\over\partial \vec x_f}\cdot\vec\epsilon$と書けます。 -- [[前野]] &new{2020-12-03 (木) 17:50:13};
- よって${\partial \bar S\over\partial \vec x_f}\cdot\vec\epsilon={\partial L\over\partial \dot{\vec x}}\cdot\vec\epsilon$で、$\vec\epsilon$は任意の微小量だから、$\vec\epsilon$の各成分の係数が等しいとおけば「すなわち」以降の式になります。 -- [[前野]] &new{2020-12-03 (木) 17:52:41};
- 理解できました。ありがとうございます。 -- [[大学生]] &new{2020-12-07 (月) 17:54:18};
- 理解できました。ありがとうございます。 -- [[大学生]] &new{2020-12-07 (月) 21:32:29};
- ありがとうございました。横から失礼します。 -- [[物理屋気取りのPT]] &new{2020-12-28 (月) 19:04:20};
- 例をあげますと。$a$と$b$が独立ならば「$ax+by=0$なら$x=0$かつ$y=0$」といえます。しかし、$a=b$という関係がある場合、$ax+by=0$からは$x+y=0$しか言えません。 -- [[前野]] &new{2021-09-09 (木) 07:26:28};

#comment

**(第6刷) ひととおり読み終わりました。 [#oe5de12f]
>[[川西]] (2020-11-28 (土) 14:20:25)~
**無題 [#n0b1c357]
>[[yamashita]] (2021-05-18 (火) 20:15:44)~
~
最後まで通して読み終わりました。~
~
とてもわかりやすく書かれていて助かりました。他の教科書や著名ウェブサイトを見ても何のために何をやっているのかさっぱりわからなかったところが、この本では利点や目的が丁寧に説明されていて、よくわかりました。式変形で悩むこともなく、別のページで説明されている事柄は参照先が書かれているのでいちいち探す必要もなくて読みやすかったです。~
このようなわかりやすい本を書いていただきありがとうございました。~
一度ですべてを習得することはできないのでまた読み直したいと思います。~
~
あと以下のようにいくつか局所的に疑問がありました。複数あってすみません。急ぎませんので時間は気になさらないでください。~
先生に質問して良いのか、迷ったのですが、質問させてください。~
(教科書には載っていない内容なので迷いました。)~
磁場がある場合の荷電粒子のラグランジアンで共役運動量を求めると、p=mv+eAとなりますが、~
このeAの部分には何か物理的な意味合いがあるのでしょうか?~
それとも解析力学で形式上出てきた項なのでしょうか?~

&color(red){(前野)ありがとうございます。後ろに書くと対応がわからなくなりそうなので、色を変えて個別に書きます。};
~
《はじめに》~
(1) pⅲの下から7行目の「考えて込んで」は「考え込んで」でしょうか。~
(2) pⅳの枠の中の10行目の「どういう学問を知りたい」は「どういう学問かを知りたい」か何かでしょうか。~
&color(red){(前野)以上2つはおっしゃる通りです。};
//
- もちろん、共役運動量がデカルト座標の運動量と違うことが多々あるのは知っているのですが、項ごとに物理的な意味合いがあるのでしょうか? -- [[yamashita]] &new{2021-05-18 (火) 20:18:24};
- 物理的意味があるに決まってます。「解析力学で形式上出てきた項」だからこそ、物理的意味があります(この二つは排他的なものではない)。ベクトルポテンシャルがどういう意味を持っているかは電磁気の本を読めばよいと思いますが。 -- [[前野]] &new{2021-05-18 (火) 21:08:41};
- そもそも運動方程式を作ったときに磁場の影響が出てくるように導入しているものなのだから、物理的意味はそこにあります。 -- [[前野]] &new{2021-05-18 (火) 21:09:36};
- ありがとうございます。「運動方程式に磁場の影響が出てくるように導入した」という意味で、自然界に存在する量(?←この書き方もどうかと思いますが)ではない(かも知れない)ということでしょうか? -- [[yamashita]] &new{2021-05-19 (水) 05:22:14};
- ?? 「運動方程式に出てくるんだから自然界に存在しているでしょ」と上で言ったつもりなんですが。 -- [[前野]] &new{2021-05-19 (水) 05:43:10};
- 要領を得ず、すみません。p=mv+eAのmvは電子の運動量、では残りのeAは何なのでしょうか?結局、共役運動量が何なのかが分からないでいるのです。 -- [[yamashita]] &new{2021-05-19 (水) 21:41:12};
- では逆に、あなたの言う『運動量」って何なのです?? 解析力学での運動量の定義は${\partial L\over\partial \dot x}$だったり、${\partial S\over \partial x}$だったりするものですから、mv+eAこそが運動量です。「運動量はmv」という考えは解析力学では違います。 -- [[前野]] &new{2021-05-19 (水) 22:04:29};
- 「運動量はmvであって欲しい」ということなら、解析力学での運動量はそうではなく、もっと広い概念です。 -- [[前野]] &new{2021-05-19 (水) 22:05:05};
- ありがとうございます。『mv+eAこそが運動量です。「運動量はmv」という考えは解析力学では違います』や『解析力学での運動量はそうではなく、もっと広い概念です』とある様に、解析力学の中の概念だ、ということなのですね。(結局やはり共役運動量が分かってないわけですが。) -- [[yamashita]] &new{2021-05-19 (水) 22:27:04};
- 初等力学(?)に焼き直して考えられないものか、と考えてしまうので、勉強します。 -- [[yamashita]] &new{2021-05-19 (水) 22:29:24};

~
《目次》~
(3) pⅺの7行目に「第12章 おわりに―解析力学と物理」とありますが、p298の第12章のタイトルは「さいごに―解析力学と物理」になっています。~
&color(red){(前野)「おわりに」で統一します。};
~
《第1章》~
(4) p15の下から4〜3行目の「角度座標は(2次元では(𝑟,𝜃)の𝜃)は、」は括弧の外の前後で「は」が重複しているようです。~
&color(red){(前野)「角度座標」のあとの「は」は取ります。};
#comment

(5) p16の【補足】1行目の「ineratial」は「inertial」だと思います。~
&color(red){(前野)「inertial」に修正します。};
**p.158式(6.70)及びp.162下2行 [#j3804f94]
>[[Inaba]] (2021-04-24 (土) 21:39:19)~
~
・式(6.70)で$y_n=$と置いてますが、この式の右辺は行列Kの固有ベクトルの成分であって、n番目の質点の変位ではないと思うのですが、どういうことなのでしょうか?~
・p.162の下2行で、「この解の一個一個のモードをみると〜」とあるのですが、「この解」が示されてはいません。ここで示されているのは極限をとった結果の角振動数だけです。単純な問題ではあるので、解の形を求めるのは省略して結果だけ書いたということでしょうか?~

《第2章》~
(6) p38の(2.41)の次の行の「𝛿𝑦(𝑥₂)」は「𝛿𝑦(𝑥₀)」だと思います。~
&color(red){(前野)$\delta y(x_0)$に修正します。};
~
《第3章》~
(7) p61の(3.21)の次の行の下の薄い「(C.12)」は「(C.9)」だと思います。~
(8) p70の図の中の「V」(4か所)は「U」ではないでしょうか。「第2刷で訂正されました。」とありますが第6刷で訂正されていないようです。~
(9) p71脚注†19の1行目の「𝑥で微分して𝑎𝑦が出る」は「𝑥で微分して−𝑎𝑦が出る」ではないでしょうか。~
(10) p71脚注†19の3行目の「$F_y=ay$」は「$F_y=ax$」だと思います。~
~
《第4章》~
(11) p92の(4.16)で3行目だけ積分の上端と下端が書いてありませんが、1〜2行目と同じ$t_i$から$t_f$まででよいでしょうか。~
(12) p110の(4.84)の次の行の「ラグラジアン」は「ラグランジアン」だと思います。~
~
《第5章》~
(13) p113の(5.5)の4行下の行の「式でててくる」は「式ででてくる」でしょうか。~
(14) p119の(5.30)の左辺第2項の「$|_{r,\dot\theta}$」は直前の括弧の中に入るのではないでしょうか。~
(15) p119の(5.32)の左辺第2項の「$|_{r,h}$」は直前の括弧の中に入るのではないでしょうか。~
(16) p130の2行目の「、物体」は「物体、」でしょうか。~
(17) p137の【問い5-4】の1行目の「𝑋tan𝜃」は「−𝑋tan𝜃」だと思います。~
~
《第6章》~
(18) p140の9行目の「呼ばれる)。」の閉じ括弧に対応する開き括弧が見つかりません。~
(19) p141の図の中の式で「𝑈(𝑥₀)」と「𝑈′(𝑥₀)」には場所を表す引数がついていますが、「𝑈″」(2か所)と「𝑈‴」にはそれがありません。~
(20) p143の右下の図の中の「$\frac{h^2}{m^2 g^2 l^2}$」は「$\frac{h^2}{2m^2 gl^3}$」ではないでしょうか。~
(21) p143の下から2〜1行目の「$\cos\theta≧0$の範囲(つまり$0≦\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲)」とありますが、cos𝜃=0 を含めるなら 𝜃=𝜋⁄2 も含まれるし、𝜃=𝜋⁄2 を含めないなら cos𝜃=0 も含まれないと思います。~
&color(red){(前野)これは、$\theta={\pi\over2}$は$\cos\theta\geq0$とは別の理由($\sin\theta=0$になってしまって(6.18)を満たさない)ので省いているのですが、その説明がないのでわかりにくくなってます。説明を直します。};

(22) p154の6.3.1節タイトルの次の行の「三体連成振動(右の図のように、」の開き括弧に対応する閉じ括弧が見つかりません。~
(23) p158の(6.70)の右辺はこれに$\sum_p Y_p$をかけて縮約したものになるのではないでしょうか。もしくは右辺をそのままにするなら左辺は$T_{np}$ではないでしょうか。($Y_p, T_{np}$は直後のpp160-161に出てくるベクトルや行列の成分)~
&color(Red){ここは、一つのp(とりあえずいろんなpを考えるのは面倒だから一つに固定する)に対する$y_n$を考えて「これでどうかな?」と試行錯誤している途中の式、と考えてください。};

(24) p159の(6.72)の5行下の行に「両辺」とあり、(6.74)の次の行に「右辺」とありますが、「両辺」が存在するような「=」を含むような式が近くにありません。~
(25) p159の(6.75)の次の行の「$2\mathrm i\sin\frac{\alpha}{2}$」は「$-2\mathrm i\sin\frac{\alpha}{2}$」ではないでしょうか。2乗するので結果は同じですが。~
(26) p161の【補足】の下から2行目の「一周分」は「2p周分」ではないでしょうか。~
(27) p162の5行目の「グランジアン」は「ラグランジアン」だと思います。~
~
《第7章》~
(28) p177の(7.24)の左の式の右辺の$\omega$は$\vec{\omega}$でしょうか。~
(29) p184の7.2.5節のタイトルの「軸に回りに回っている」は「軸の回りに回っている」か何かでしょうか。~
(30) p190の【演習問題7-4】の「細い円板」は「薄い円板」でしょうか。~
~
《第9章》~
(31) p205の下から5〜4行目の「オイラー・ラグランジュ・ラグランジュ方程式」は「オイラー・ラグランジュ方程式」でしょうか。~
(32) p206の9.1.2節タイトルの次の行の「ラグラジアン」は「ラグランジアン」だと思います。~
(33) p212の(9.31)の次の行の$v(t)$は$v_i(t)$ではないでしょうか。~
(34) p218の2行目の「𝑦軸」は「𝑞軸」か何かでしょうか。この付近の文章に𝑦軸は登場しないようです。~
(35) p230の(9.74)の左辺の∑()内第2項の()内第1項の2つ目の偏微分の「𝜕𝐵」は「𝜕²𝐵」だと思います。~
(36) p230の(9.75)の右辺に「{𝐵,𝐶}」があるなら、左辺と中辺に$\sum_j$が要ると思います。~
(37) p237の(9.93)の4行下の行の下とp238の(9.96)の次の行の下に薄い「(7.41)」がありますが、特に後者は「(7.40)」だと思います。前者はどちらでもいいかもしれませんが。~
(38) p239脚注†34の「$\dot{\psi},\dot{\phi},\dot{\psi}$」は「$\dot{\psi},\dot{\theta},\dot{\phi}$」だと思います。~
(39) p241の(9.109)の左辺がハミルトニアンの「𝐻」ですが、この節(と【演習問題9-4】)ではコマの軸先〜重心の距離が「𝐻」と定義されていて右辺第4項にもそれが出てくるので記号が重複しています。~
(40) p242の【演習問題9-4】の2・3・11行目に「対称ゴマ」とありますが、1行目と前節では「対称コマ」になっています。~
~
《第10章》~
(41) p250脚注†12の「【問い10-2】」が本文並みの大きい字になっています。~
(42) p252の(10.26)と(10.27)に定数𝐴と𝛼がありますが、直前のp251にも𝐴と𝛼が出てきて、両者は別物だと思いますが記号が重複しているようです。~
(43) p259の(10.58)の右の式の︸の下の「dQ」の位置が下にずれているようです。~
(44) p263脚注†24の「凸関数でない」の下に薄い「→ p254」とありますがp254のどこを参照しているのかわかりませんでした。~
(45) p275脚注†36の「からもしれない」は「かもしれない」でしょうか。~
(46) p278の【演習問題10-3】の2行目に「パラメータ𝛿」とありますが、(10.137)には「𝛿」がなくて代わりに「𝜖」があります。~
~
《第11章》~
(47) p283の右上の図の中の「𝑡₁−𝑡₀」(3か所)は「𝑡−𝑡₀」でしょうか。~
(48) p283の10行目の$p_i$は(量は同じですが)$\alpha_i$か$P_i$ではないでしょうか。~
(49) p283の13行目の真ん中ら辺に「パラメター」とありますが、11〜12行目や下から2行目や脚注†8では「パラメータ」になっています。~
(50) p283脚注†6とp284の1行目に「$\vec{x}_0$」・「$\vec{x}_1$」がありますが、これは$\vec{x}_0$の成分が$x_i^{(0)}$で$\vec{x}_1$の成分が$x_i$という意味でいいでしょうか。~
(51) p287脚注†12の右辺第1項の分母の「2A」は「2」だと思います。~
(52) p290の4〜6行目に「(11.40)の二つの複号をともに+と取った関数の勾配」とありますが、その場合$\frac{\partial \bar S}{\partial y}=-\sqrt{2m\left(E_y-mgy\right)}\leqq0$になるので、2番目の複号が+のときに下降で−のときに上昇ではないでしょうか。~
(53) p295の下から4行目の「𝑟」は「𝑟₀」ではないでしょうか。~
~
《第12章》~
(54) p300とp302のページのいちばん上に「第12章 おわりに―解析力学と物理」とありますが、p298の第12章のタイトルは「さいごに―解析力学と物理」になっています。~
~
《付録A》~
(55) p306の下から2行目の「用意に」は「容易に」だと思います。~
(56) p310の(A.27)の前の行の「$(a^{-1})_{ji}$」は「$(a^{-1})_{ij}$」ではないでしょうか。~
~
《付録B》~
(57) p319の(B.5)の2行上の行の「二階微分微分可能」は「微分」が重複しているようです。~
(58) p319の(B.6)の3〜2行上の行の「表現すれば書けば」は動詞が重複しているようです。~
(59) p327脚注†7は本来は『未定常数』という書き間違いの例が説明されるところだと思いますが、最初から「未定乗数」と正しい表記が書いてあるので書き間違いの例になっていないようです。~
(60) p330のB.5.1節タイトルの前の行の「transfomation」は「transformation」だと思います。~
(61) p332の(B.60)の2行上の行の「𝑦を微分」は「𝑦で微分」だと思います。~
~
《付録D》~
(62) p346の【問い2-1】のヒントで「縦の高さ」・「横の高さ」とありますが、それらは「高さ」ではないと思います。~
(63) p349の【問い10-4】のヒントの「(10.56)の両辺を𝑝を一定として𝑞で微分」は「(10.56)の両辺を𝑞を一定として𝑝で微分」だと思います。~
(64) p350の【問い10-10】のヒントの(D.16)の最右辺の第2項はマイナスだと思います。~
(65) p351の【問い11-1】のヒントとp368の【問い11-1】の解答で「$x_i^{(1)}」・「t_1$」とありますが、問題では「$x_i$」・「$t$」になっていました。~
(66) pp357-358の【問い5-2】の解答で「U」とありますが、問題では「V」になっていました。~
(67) p360の【問い7-3】の解答で(D.79)から(D.80)に続いていますが、(D.80)はこれの2倍ではないでしょうか。~
(68) p360の【問い8-1】の解答の1行目の「に、、」は読点が重複しています。~
(69) p363の【問い10-5】の解答の2行目の「𝑝=𝑝(𝑄,𝑃(𝑄,𝑃))」は「𝑝=𝑝(𝑞,𝑄(𝑞,𝑝))」ではないでしょうか。~
(70) p364の【問い10-8】の解答の(D.102)の1〜2行下の行の「独立であるとした書き直している」は「独立であるとして書き直している」か何かでしょうか。~
(71) p366脚注†1に「$\frac{\partial x}{\partial p_x}$など」・「$\frac{\partial p_x}{\partial x}$など」とありますが、そのような成分はないので、「$\frac{\partial x}{\partial p_r}$など」・「$\frac{\partial p_x}{\partial r}$など」か何かでしょうか。~
(72) p368の【問い10-12】の解答の続きの「$p_y-\frac{qB}{2}x$が定数」は「$p_y+\frac{qB}{2}x$が定数」だと思います。~
(73) p368の【問いA-1】の解答の(D.125)の右の式の3行目のベクトルの第1成分の第3〜4項の「+𝑐𝑔𝑥+𝑐ℎ𝑦」は「+𝑏𝑔𝑥+𝑏ℎ𝑦」だと思います。~
(74) p369の【問いA-3】の解答の続きの3行目の「𝑃≠𝑙」は「𝑝≠𝑙」だと思います。~
~
《付録E》~
(75) p1wの【演習問題1-3】のヒントの(E.2)の左辺に余分な縦線があります。~
(76) p3wの【演習問題4-2】のヒントの(E.11)の左辺第2項の「$m$」は「$m_i$」だと思います。~
(77) p7wの【演習問題9-4】のヒントの図とp26wの【演習問題9-4】の解答の図(2か所)の中で「$\theta,p_\theta$が一定を保つ点」とありますが、その点を通る瞬間だけ微分が0になるだけで有限時間そこにとどまることはできないので「一定を保つ」ことはないのではないでしょうか。~
(78) p8wの【演習問題10-3】のヒントの1行目の「$\{Q_j,Q_k\}_{Q,P}$」は「$\{Q_j,Q_k\}_{q,p}$」ではないでしょうか。「$\{Q_j,Q_k\}_{Q,P}$」は計算するまでもなく直ちに0だと思います。~
(79) p10wの【演習問題1-2】の解答の続きの3行目の「紙面(𝑥-𝑦面)に垂直な成分」は「紙面(𝑥-𝑦面)に平行な成分」ではないでしょうか。~
(80) p13wの【演習問題4-2】の解答の1行目の「$\dot{\vec{x}}_i$」は「$\ddot{\vec{x}}_i$」ではないでしょうか。~
(81) p23wの【演習問題8-3】の解答の続きの(E.139)の最後の行の分子の第3項の「sin²sin𝜃」は「sin²𝜃」ではないでしょうか。~
(82) p23wの【演習問題8-3】の解答の続きの(E.140)の1行目の右辺の分子の第4項の「sin𝜓」は「cos𝜓」ではないでしょうか。~
(83) p27wの【演習問題10-1】の解答の(E.152)の次の行に「$\frac{\partial x}{\partial p_x}$など」とありますが、そのような成分はないので、「$\frac{\partial x}{\partial p_r}$など」か何かでしょうか。~
(84) p27wの【演習問題10-1】の解答の(E.154)の右の2番目の式の右辺第3項の「$-\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}$」は「$-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}$」ではないでしょうか。~
(85) p28wの【演習問題10-1】の解答の続きの(E.157)の左の行列式の「$\left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & -\sin\theta\sin\phi \\ r\sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\ r\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|$」は「$\left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|$」ではないでしょうか。~

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- 途中ですがお返事ありがとうございます。サポートページの訂正にそのまま載った項目は掲示板上で個別のお返事はなくても構わないです。私が間違えて解釈しているところをご指摘いただければ幸いです。お手数ですみません。 -- [[川西]] &new{2020-11-30 (月) 08:38:40};
- わかりました。疑問が晴れました。ありがとうございました。 -- [[川西]] &new{2020-12-26 (土) 16:09:56};
- 式(6.70)の$y_n$は「固有ベクトルの成分」です。そしてそれは「その固有ベクトルで表される振動をしているときの、n番目の質点の変位」に比例してます(一般的な振動の変位は、いろんなpの$y_n$の線形結合になってます)。 -- [[前野]] &new{2021-04-25 (日) 00:15:12};
- p162については、三角関数で表されることはわかっているので、振動数がわかれば「この解」の中身はもうわかっているでしょ、というつもりです。 -- [[前野]] &new{2021-04-25 (日) 00:18:02};
- ありがとうございます。 -- [[Inaba]] &new{2021-04-25 (日) 12:19:52};
- ありがとうございます。 -- [[Inaba]] &new{2021-04-25 (日) 12:19:53};
- 固有ベクトルの成分がn番目の質点の変位に比例するというのは{\bf y}={\bf TY}から言えることでしょうか?あくまでも$y_n$は{\bf y}の成分の一つで、固有ベクトルの成分は{\bf T}を構成する固有ベクトルの成分のひとつであるというのが私の認識で、「比例する」も「$y_n$=固有ベクトルの成分と置くこと」もピンと来ないです...。(ベクトルは太字で書かせていただきました) -- [[Inaba]] &new{2021-04-25 (日) 12:44:51};
- すみません、太字をうまく書けませんでした。{\bf 〇}としたものが太字です。 -- [[Inaba]] &new{2021-04-25 (日) 12:47:02};
- (6.70)のあたりで計算していることは、Lの中の位置エネルギーの部分に入っている行列${\bf K}$の固有ベクトルを求めようとして、$y_n$のそれぞれに「固有ベクトルの候補」となる$\sqrt{2\over N+1}\sin{np\pi\over N+1}$を代入してみましょう、ということです。 -- [[前野]] &new{2021-04-25 (日) 13:49:04};
- つまり、(6.70)を書き下した時点では、右辺は「n番目の質点の変位がこうなってくれたらこのベクトルは${\bf K}$の固有ベクトルになってくれるんじゃないかな?」という「予想」の式です(その予想はあたっていることがそのあとでわかるわけですから)。 -- [[前野]] &new{2021-04-25 (日) 13:50:33};
- そういう予想なので、$y_n$が「n番目の質点の変位」なのは元々そうだからで、「固有ベクトルの成分」なのは「これからそうなることを証明しよう」ということです。 -- [[前野]] &new{2021-04-25 (日) 13:51:27};
- つまりは(6.69)までの$y_n$は一般的な変位で、(6.70)は「もしも変位がこうなってたら、それは${\bf K}$の固有ベクトルになっている(だろう)」という条件つきの$y_n$です。 -- [[前野]] &new{2021-04-25 (日) 13:52:38};

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**(第6刷) 10.2.1 正準変換による作用の変化と母関数 [#kd3d836e]
>[[川西]] (2020-11-06 (金) 16:24:45)~
**p.155変数変換 [#h00eadfa]
>[[きょんきょん]] (2021-04-07 (水) 17:43:00)~
~
p255でラグランジアンに $\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$ を足しても正準方程式が変わらないところがよくわかりません。そのあとに続くいろいろな例のように、 𝐺 には 𝑞, 𝑝 が入っていると思います。正準方程式を導くための変分においては、端点で 𝑞 を固定して、 𝑝 はどうするのでしょうか。~
~
pp213-214 の「9.2 変分原理からの正準方程式」で作用の変分から正準方程式を出したときは、そこの脚注†⁸に書いてあるように端点で 𝛿𝑝 を0にする必要はありませんでした。端点で 𝛿𝑝 を0にしないなら $\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$ を加えたものを変分を取ったら端点での 𝛿𝑝 が影響して値がずれる心配がありませんか。~
~
そうではなくて端点で 𝛿𝑝 も0に固定するのだとすれば、なぜ第9章では固定する必要がなくて第10章では固定するのでしょうか。~
そして pp90-91 の【FAQ】では、端点での位置の変分を0にする理由は、答えを1つに決める(力学的自由度×2個の条件を定める)ためでした。それなら、端点での 𝑞 だけでなく 𝑝 も固定したら条件が多すぎにならないのでしょうか。~
155ページの変数変換は小文字と大文字を入れ替えて「$\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{array}\right]=\mathbf{T}\left[\begin{array}{c}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\\\end{array}\right]$となるように新しい変数を導入してラグランジアンを書き直すと、…」としたほうがいいかもしれません。そうしないと$\mathbf{T}$が対称行列でないときにうまくいかないことがあります。~

//
- すいません、この質問を見落としてました。まず端点で$\delta p$を0にする必要があるかないかですが、実は運動方程式には関係ありません(どっちでもいい)。変分$p\to p+\delta p$を取ったときの変化は$\int \left( \delta p \dot q - {\partial H\over\partial p}\delta p +{\mathrm d\over\mathrm dt}\left({\partial G\over\partial p}\delta p\right)\right) \mathrm dt$となります。 -- [[前野]] &new{2020-11-18 (水) 14:36:13};
- この最後の項は実は${\partial G\over\partial p}\delta p\bigr|_{t=t_f}-{\partial G\over\partial p}\delta p\bigr|_{t=t_i}$という表面項になって、時刻$t_i$と時刻$t_f$以外の時刻$t$の$\delta p(t)$はこの項には入ってません。よって運動方程式を出す(ある時刻の$\delta p$の係数を取り出す)と、この項は(端点の$\delta p$を0にしたかどうかによらず)関係なくなります。-- [[前野]] &new{2020-11-18 (水) 14:39:10};
- 部分積分したときに表面項が残るかという点では$\delta p$の端点での値は関係しますが、「運動方程式を出す」ことだけが問題ならば、別にあってもなくてもどうでもいい、ということになります。 -- [[前野]] &new{2020-11-18 (水) 14:41:57};
- 端点で 𝛿𝑝 が0でなくてもいいことはわかりました。そうすると、運動方程式が満たされたときでも、この作用の変分は必ずしも0にならないのでしょうか。4.1節では作用の変分が0になる条件が運動方程式だったと理解しています。一方で今のお話では、変分 𝑞→𝑞+𝛿𝑞, 𝑝→𝑝+𝛿𝑝 を取ったら作用の変分は $\delta I = \left[\frac{\partial G}{\partial p}\delta p\right]_{t_i}^{t_f} + \left[\frac{\partial G}{\partial q}\delta q\right]_{t_i}^{t_f} + \left[p\delta q\right]_{t_i}^{t_f} + \int_{t_i}^{t_f} \left(\left(\dot{q}-\frac{\partial H}{\partial p}\right)\delta p + \left(-\dot{p}-\frac{\partial H}{\partial q}\right)\delta q \right) \mathrm dt$ になると思います。運動方程式(正準方程式)が満たされているときこれの第4項の積分は0になりますが、第1項は0でなくてもいい(ということは 𝛿𝛪 が0でなくてもいい)のでしょうか。仮にそうなら、第2項と第3項も別に0にしなくても構わないのでしょうか。 -- [[川西]] &new{2020-11-19 (木) 15:42:35};
- 運動方程式を出すときは「任意の変分に対して変化量が0となる」という条件から出します。そして任意の変分は当然、「端点での変分が0になるもの」を含みます。よって「任意の変分に対して」と条件づければ、第4項が0になるという条件だけから運動方程式は出ます。つまり「運動方程式を出す」というのが目的ならば、端点のことは「端点の変分が0かどうか」を気にしなくてよいことになります。 -- [[前野]] &new{2020-11-19 (木) 17:07:58};
- 「運動を全部決める」という観点から見るなら、端点の条件は2つしか入れられません。たとえば始状態と終状態のqを決める(このときはpはどちらも決めない)か、始状態のpとqを決めるか(このときの終状態はpもqも決めない)。解析力学で通常使うのは前者です。つまりは「運動方程式を出しましょう」という立場のときと「運動を一つに定めよう」というときでは、つけるべき条件は違う、ということになります。 -- [[前野]] &new{2020-11-19 (木) 17:10:18};
- わかりました。ありがとうございました。 -- [[川西]] &new{2020-11-20 (金) 19:13:00};
- あ、すみません。確かにこれは、固有ベクトルを並べた行列にXの方を書けるようにしないとだめですね。 -- [[前野]] &new{2021-04-07 (水) 20:04:45};
- 「(新しく導入される記号)=(なにか)」の形のほうがきれいなので$\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}&X_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{pmatrix}\mathbf{T}$のほうがいいかもしれません。 -- [[きょんきょん]] &new{2021-04-07 (水) 20:10:51};
- 20時10分の投稿は撤回します。 -- [[きょんきょん]] &new{2021-04-07 (水) 20:43:26};

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