「ヴィジュアルガイド物理数学〜１変数の微積分と常微分方程式」（東京図書）サポート掲示板 †
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- mathjaxを使って、TeX形式で数式を打てるようにしてあります。＄または＄＄（もちろんほんとは全角じゃなく半角の「ドル」です）で囲んで入力してください。
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32ページ †
角? (2017-12-24 (日) 06:27:27)
3.3をx-1の式にして、少し計算すると3.4になると書いてあるのですが、
その計算過程を教えて頂けますと幸いです。
- 左辺には$x^3$が含まれているから、右辺には$(x-1)^3$がなくてはいけない。ということで、「左辺$=(x-1)^3+$残り」という式を作って「残り」が何になるかを計算。次はその残りにどれだけ$(x-1)^2$が入っているかを考える・・・ということを繰り返せばできます。 -- 前野?
関数の平行移動 †
守屋? (2017-09-20 (水) 20:39:25)
P.7の関数の平行移動のグラフで、平行移動後のグラフの吹き出し部分で、
y1+y2=f(x1+x2)となっておりますが、ここでの関数は平行移動前の関数とは
違う関数(例えばg(x)など)ではないでしょうか？
- すいません、これは確かに別の関数にしないといけませんね。次から修正します。 -- 前野?
208ページ †
(2017-09-12 (火) 16:04:29)
(2)のkを0からnまで足し上げるというのは具体的にどこをどうすることでしょうか？
- その先でやっている$\sum_{k=0}^n$のことですが。 -- 前野?
- その下のところで、二種類の和の取り方が同じ結果になることを説明してますから、そこをよく読んでください。 -- 前野?
- ¥sum n k=0文字が変わってなくて分からないです --
- ？？？ 文字が変わってなくて、と言うのは具体的にどう言う事ですか？？？ -- 前野?
- $\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n$と$\sum_{j=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty$でkという文字が変わってないのはなぜか？？という意味ですか？？？ そうだとしたら、同じ数字だから変えてません。 -- 前野?
- 同じ数字なのになぜ足し算のしかたが変わるのかは、図をよく見てください。 -- 前野?
- できましたら、質問するときは何がわからないのかを明確にお願いします。主語や目的語を省略して短く書かれると、こちらは何を言いたいのかを推理しなくてはいけませんが、推理し損なう場合や推理不可能な場合がよくあります。 -- 前野?
- 言葉が足りませんでした、上の文書で文字が上で指摘したようになっているという事です --
- まだ足りてません。「上で指摘」ってどういうことでしょう？？？ ごめんなさい。ほんとに何が言いたいのかわからなくて、困ってます。 -- 前野?
- このページの上の方で私が書いた文字が間違って数式にちゃんとなってなかったことに気づきました。これのことですか？？それなら、今直しました。 -- 前野?
- 「上で指摘した」というのは「誰が」「どこで」指摘したことでしょうか。私（前野）が？ あなたが？ -- 前野?
- 「上の文書」というのはこのページ内の上ということですか。本の中での「上」ということですか。 -- 前野?
- 「文字が」というのは具体的に、どの文字のことですか。私は「ｋ」だと推測して話してますが、それは合っているのですか？？？ -- 前野?
65ページ †
(2017-09-12 (火) 09:44:10)
4.37のd/dxlogfのfの後ろに(x)がないのですか？
- なぜが抜けました --
- ここではいったんfを一つの変数とみなしてfで微分すると言う計算をしているので(x)はつけてません。合成関数の微分のところでやっているのと同じです(51ページあたり) -- 前野?
- 3.46の式のところですか？ --
- tとかそういうことですよね？ --
- f(x)＝fということですよね？ --
- 3.46のあたりです。ここではfと書いてますが、f(x)と同じですものです。 -- 前野?
無題 †
(2017-09-07 (木) 22:04:37)
64ページの二番目の灰色の所の最初に出て来る等式は39ページの式3.12の操作?をしているという事で良いのでしょうか?それと4.33のdxを大きくするとは微分を繰り返すということでしょうか？この考え方が間違っているから1+dxを掛けることと同じになるのが理解出来ないんだと思いますが、ご教授御願いします
- 御願いします --
- どうも質問の意味が理解しにくくて回答しにくいのですが、式の左辺$\mathrm e^{x+N\mathrm dx}$は、「$x$を$\mathrm dx$増やす」という操作を$N$回繰り返したものです（39ページの(3.12)の操作だとも言えますが、(3.16)の方が適当でしょうか）。 -- 前野?
- 操作を一回でなく$N$回繰り返しているので、「１回ごとに$(1+\mathrm dx)$を掛ける」という操作を$N$回繰り返す操作になってます。 -- 前野?
- $\mathrm e^{x+\mathrm dx}=\mathrm e^x (1+\mathrm dx)$という式を見れば、$\mathrm e^x$という関数に関しては「$x$を$\mathrm dx$増やす」という操作と「$(1+\mathrm dx)$を掛ける」という操作が同じだということがわかる、という部分がわかってないということでしょうか？？ -- 前野?
- いつも分かりづらくて済みません、3.16ですね、「xをdx増やす」という操作と「(1+dx)を掛ける」が同じというところが分かりません --
- 等式は$\mathrm e^{x+\mathrm dx}=\mathrm e^x(1+\mathrm dx)$はわかっているのでしょうか？？だとしたらこの式の左辺がまさに「$x$を$\mathrm dx$増やした」結果で、右辺が「$1+\mathrm dx$を掛けた」結果です。 -- 前野?
- だったらこれを二回やれば、$\mathrm e^{x+\mathrm dx+\mathrm dx}=\mathrm e^x(1+\mathrm dx)^2$となる、ということを$N$回やってます。 -- 前野?
- 3.16の式って導関数の定義式を変形すると導出出来たと思うのですがそこからやろうと思えば出来るのですか？自分でやろうとしても出来なかったので出来れば教えて下さい --
- つまり、$\mathrm e^{x+\mathrm dx}=\mathrm e^x(1+\mathrm dx)$という等式がまだわかってない、ということですね？？ おっしゃる通り（3.16)に$f(x)=\mathrm e^x$と$f'(x)=\mathrm e^x$を代入すれば出てきます。 -- 前野?
- $f(x)+f'(x)\mathrm dx=\mathrm e^x + \mathrm e^x \mathrm dx$となるので、後は因数分解するだけです。 -- 前野?
- では2dxの時はそこまで立ち戻るとどのようになりますか？ --
- そこまでというのは3.16を --
- 導出する所からとういう意味です --
- 単純に$\mathrm e^{x+\mathrm dx}=\mathrm e^{x}(1+\mathrm dx)$の$x$に$x+\mathrm dx$を代入することで、$\mathrm e^{x+\mathrm dx+\mathrm dx}=\mathrm e^{x+\mathrm dx}(1+\mathrm dx)$を得ますね。 -- 前野?
- さらにもう一度$\mathrm e^{x+\mathrm dx}=\mathrm e^x(1+x)$を使えば。 -- 前野?
- 右辺がe∧x(1+dx)(1+dx)になるんですか、ありがとう御座いました --
85ページ(6.15)上の「冪級数」について †
葱2? (2017-09-06 (水) 22:40:30)
「冪級数が$$\sum_{n=0}^{\infty} \ a_n(x-x_0)^n$$ という形で書かれているとき」
との記述についてですが、
「級数が$$\sum_{n=0}^{\infty} \ a_n(x-x_0)^n$$ という形で書かれているとき、」
として、
注釈で
「
$$\sum_{n=0}^{\infty} \ a_n(x-x_0)^n$$ という形で書かれている級数を $$x-x_0$$の冪級数という。」
としていただくと、初出の用語である「冪級数」がわかりやすくなる気がしました。
- 改行をいれたせいで見づらい投稿になってしまい申し訳ありません。 -- 葱２?
- 投稿8行目の「として、 注釈で」は「と書き直して、注釈で」の意味で書きました。 -- 葱2?
77ページ右上の7行目の脱字について †
葱2? (2017-09-06 (水) 21:37:43)
細かいことで恐縮ですが、77ページ右上の7行目の脱字を見つけましたのでお知らせします。
✕「負にことがある」
◯「負になることがある」
log は関数であり、なおかつ演算子でもあるのでしょうか †
葱2? (2017-09-05 (火) 07:53:51)
前野先生
お世話になっております。
表題の件について質問させていただきたく思います。
26ページでは『logも「関数の名前」だと考えればよい」
47ページでは「logという演算子」
という記述があります。
『logは「関数」である』
なおかつ
『logは「演算子」でもある』
という理解でよろしいでしょうか。
- 文脈により、どっちでもいいです。 -- 前野?
- お忙しいところ、早速のご回答をいただき、誠にありがとうございます。 -- 葱2?
59ページの4.13の下の図の小さな直角三角形 †
(2017-08-21 (月) 22:40:57)
この直角三角形の角度はどうしてθなんでしょうか？
190ページ、問い4-1 †
(2017-08-21 (月) 08:56:17)
この図形のｓｉｎθはどうやって作っているのですか？
- 定義そのままです。12ページの下の方の図と照らし合わせてみて下さい。 -- 前野?
- あ、そうでした済みませんでした --
58ページ †
(2017-08-20 (日) 09:50:14)
✝5、6の説明の所なんですがθがプラスの値の時は比例しますよね？その時もθやθ二乗含まないのですか？あんまりよく分かっていないと思うのでご教授宜しく御願いします
- 「θがプラスの値の時は比例しますよね？」というのは、何が何に比例する、と言っているのでしょうか。†５と†６ということですが、sinの話、cosの話？？ -- 前野?
- sinはθの一次の項を、（θが正だろうが負だろうが）含みますが、$\theta^2$の項は（θが正だろうが負だろうが）含みません。 -- 前野?
- cosは$\theta^2$の項を（θが正だろうが負だろうが）含みますが、θの１次の項は（θが正だろうが負だろうが）含みません。そういうことがわからないということでしょうか？？？ -- 前野?
- できましたら質問するときは主語や目的語を省略せずにお願いします。「こう言いたいのかな？」と推理しながら質問に答えるのは難しいです。 -- 前野?
- もう一つ言っておくと、sinもcosもθには比例しません（θが正だろうが負だろうが）。こういうことを聞きたい？？というわけでもないのかな。 -- 前野?
- 済みません、分からない事が上手く説明出来なくていつもこのようになってしまいます --
- ✝5のθ二乗に比例する項はないとはどういう事でしょうかもう少し噛み砕いて教えてく下さい --
- ここでは、後で出てくるテイラー展開の考え方を先取りしているのですが、一般の関数は$A+B\theta+C\theta^2+D\theta^3+\cdots$のように（$\theta$が小さい範囲では）考えることができる、というのが -- 前野?
- 「何次のオーダーを考える」ときの基本です。sinの場合は$A,C\theta^2$の項はありません。cosの場合は$B\theta,D\theta^3$の項はありません。 -- 前野?
- sinに偶数次項がなぜないかといえば、$\sin(-\theta)=-\sin\theta$ということは知っているので、$\sin\theta$に等しいはずの$A+B\theta+C\theta^2+D\theta^3+\cdots$も、同じ性質（奇関数であるという性質）を持ってないとまずいからです（cosも同様）。 -- 前野?
- 同じ性質を持っていないとまずい一例は左辺と右辺の符号が違うとかですか？ --
- そりゃもちろん、符号も違ったらまずいですね。 -- 前野?
- ｓｉｎのテーラー展開のθに係数がついていないのですか？ --
- ここの少し前で sinθ≒θ を出しているのですが、そこはわかってますか？？ わかってたらsinθの展開の１次の係数が１になることはわかると思いますが。 -- 前野?
- ｓｉｎのオーダーが正でtanのオーダーが負なのはなぜですか？ --
- 「sinのオーダー」ってのが意味不明です。 -- 前野?
- 「$\sin\theta$の${\cal O}(\theta^3)$が正」という意味でしょうか？？（できたら質問のときに省略はしないでください）。なお、本には「$\sin\theta$の${\cal O}(\theta^3)$が負」とあります。 -- 前野?
- これは後のテイラー展開のところでわかる話なので、ここではわからなくてもいいです。 -- 前野?
- しかしここまででもなぜこうなるのかは理解できますので説明します。今考えている状況では「sinθ＜θ＜tanθ」であることはわかっています。ということは、sinθはθより小さいのだから、θに負の量を足したものになります。tanは逆にθに正の量を足したものになります。 -- 前野?
- 分かりましたありがとうございます --
52ページ †
(2017-08-17 (木) 16:53:27)
3.51のところの右辺が導関数の定義式の分子のようになっているのですが、それとは違いますか？
- すいません、一体何の話でしょう？ -- 前野?
- 52ページの3.51の式の話しです --
- それと、最後のdxがなくなっているのはdxで割ったのですか？ --
- 最初の「それとは違いますか」の「それ」は何を指してますか？ -- 前野?
- すいません、dxがなくなってるのはミスです。 -- 前野?
- それは導関数の定義式の分子のことです --
- つまりこの式が$f(x+\Delta x)-f(x)$に見えるということでしたか。それなら、まさに同じものを計算しているのだから当然です。 -- 前野?
- そうですよね、ありがとう御座いました --
P102演習問題5-5 †
大学生? (2017-08-15 (火) 17:09:41)
ヒントに行列式が0とすると0固有値のベクトルがある
とありました。私は行列式が0⇒固有ベクトルがあるということは知っているのですが、固有値が0になるベクトルがあるということは初めて見ました。本当に固有値が0になるベクトルがあるのですか？どのように証明したらよいですか。
- 行列式＝固有値の積、ですから行列式が０なら、固有値のうち少なくとも一つは０ということになります。 -- 前野?
- そのことを知りませんでした。もう少し勉強してきます。 -- 大学生?
52ページ †
(2017-08-04 (金) 22:28:45)
3.48の式が図を見ても成り立ちがよく分かりません
教えて下さい
- そのあたりの文章で説明しているとおりで、微小量であるｄｘ，ｄｙ，ｄｚの比の極限が三つの微分だということになります。「よくわかりません」ということですが、５２ページの説明のどのあたりがわからないのでしょうか？？？？？ -- 前野?
- 微小量であるｄｘ，ｄｙ，ｄｚの比がどういう比なのか分からないです --
- 3.48がこれらの比を表しているのならどうやって出来たのか分からないです --
- ５２ページには立体的な図があると思いますが、その図の三つの面に書いてあるグラフは、４１ページに書いてあるｄｘ，ｄｙを表すグラフと同様のグラフであることには気づいているでしょうか？？ -- 前野?
- あと４１ページのグラフのあたりで、ｄｙとｄｘの比（あるいは、ΔｘとΔｙの比の極限）が${\mathrm dy\over\mathrm dx}$という「微分」であることを説明していますが、そのあたりは大丈夫でしょうか？？ -- 前野?
- ５２ページの立体グラフの三つの面に描かれている情報から、${\mathrm dz\over\mathrm dy},{\mathrm dy\over\mathrm dx},{\mathrm dx\over\mathrm dz}$がどのような量になっているかを読み取っていけばわかると思います。 -- 前野?
- dz/dy(y)dy/dx(x)=dz/dx(x) --
- 何で左辺をこのようにして掛けると右辺の式になるのか分かりません --
- これらの説明の中にあるかもしれませんがまだ分からないです --
- 41ページあたりの説明のどの辺りがわからないでしょうか。まずここがわかってないと52ページのあたりもわからないと思います。 -- 前野?
- 済みません、41ページの図の右の式がどういう事を示しているか分かってませんでした --
- 御教授宜しく御願いします --
- ああ、「分かってませんでした」という過去形だったので、「今は分かりました」という報告なのかと思ってました。 -- 前野?
- で、４１ページの図の右の式がどういうことを示しているかは、図の下の半ページの部分に説明してあるのですが、そのどこがわからないのでしょう。ただ「わかりませんでした」だけだと、そこに書いてある説明を繰り返すしか、私にできることはありません。「ここのこれが分からない」と言っていただければ、そこを説明できます。 -- 前野?
- この式は上の三角形の斜辺の直線？の方程式を表しているのですか？ --
- 「この式」というのは${\mathrm dy}={\mathrm dy\over\mathrm dx}\mathrm dx$のことですか？ このままだともちろん「直線の方程式」ではないですね。 -- 前野?
- この式の中の${\mathrm dy\over\mathrm dx}$は一つの数字だと見て、それ以外の$\mathrm dy,\mathrm dx$は、場所$(x_0,y_0)$から場所$(x,y)$までの「$x,y$の変化」だと考える（つまり$\mathrm dy=y-y_0,\mathrm dx=x-x_0$）ならば、この式は$y-y_0={\mathrm dy\over\mathrm dx}(x-x_0)$ということになるので、「直線の方程式」と言えます（ただしこれが成立するのは$(x,y)$と$(x_0,y_0)$が非常に近いという極限でだけ）。 -- 前野?
- この式の意味はあくまで「曲線の狭い範囲の極限を見ると直線の式になる」ということです。 -- 前野?
- なるほど、そうなのですか、この式と3.48の式は繋がりますか？ --
- 「繋がりますか？」と言われれば$\mathrm dy={\mathrm dy\over\mathrm dx}\mathrm dx$を使って作っているのが(3.48)なので、もちろん繋がってます。 -- 前野?
- 使うだけでこの式からはつくれませんか？ --
- この式の意味がわかっていれば、(3.48)は「つくる」までもなく、当たり前の式です。 -- 前野?
- p41の式をそれぞれの直行座標系で作るとdz=(dz/dx)dxとdz=(dz/dy)dyとdy=(dy/dx)dxでそれぞれ代入すれば3.48の式が得られますよね？ --
- 極限を取る（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚは実は全て０に近づける）という動作が入ってますが、本質的にはその計算です。 -- 前野?
- 分かりました！ありがとうございました、長々と済みません --
ページ39 †
(2017-08-03 (木) 22:52:28)
3.12の式はどのように出したのですか？
- 3.14で説明してます。 -- 前野?
- あ、3.14を逆算をしてけば出せるということですか？ --
- 実際、やれば出せますね。 -- 前野?
- ありがとうございました --
ページ39 †
(2017-08-03 (木) 16:46:38)
3.13の所のオーダーは一番下のΔxの次数？に合わせているのはなぜですか？
- オーダーの定義は「またある量$A$が${\Delta x}$で割ってから${\Delta x}\to0$にすると0でない値に収束するとき（${A\over\Delta x}$が0でない値に収束するとき） 、この量は${\cal O}(\Delta x)$だ」なので、低い方に合わせないとまずいです。 -- 前野?
- オーダーより低い次数の項は全て0分の何とかになってしまうということですかね？ --
- 「オーダーより低い次数の項」が含まれていないから「○次のオーダー」と呼ぶわけで、分母に０が出てくるような計算になってしまったらそれは「オーダー」という言葉の定義に合わないです（極限をとって有限になるという定義なんですから）。 -- 前野?
- なるほどそういうことだったのですね、ありがとうございました --
無題 †
(2017-08-02 (水) 21:43:21)
39ページの✝17のAのΔx→0の極限を取るとはどういうことですか？
- どういうことと言われても文字通りの意味で、Aという量がΔｘを含んでいて、そのΔｘを０に近づけていくという意味です。たとえばA=aΔｘ+bなら、Δｘ→０の極限を取ると答えはbです。 -- 前野?
- 済みません質問、間違えました、その極限を --
- とれば０になるというのがよく分からないので出来ればもう少し詳しく御願いします --
- たとえば$A=a(\Delta x)+b(\Delta x)^2$とか$A=\sin\Delta x$とか、$\Delta x\to0$で０になる$A$はいくらでも考えられますが「よくわからない」というのは「例が浮かばない」という意味ですか？ -- 前野?
- それとも「どうして０になるのかわからない」という意味ですか？ だとしたら、もちろん０にならない場合もたくさんあります。常に０になるということではありません。 -- 前野?
- あ、そういうことですかありがとうございました --
- 全部０になるのかと思っていました --
無題 †
(2017-08-02 (水) 21:28:37)
p38の3.10のf(x)は上図でいうの曲線ですか？
無題 †
(2017-08-02 (水) 14:43:59)
32ページのx=1付近を考えるとき…のように書き直すの所でこれは関数をX軸方向に1平行移動してaをbにかえたのですか？自分の考えは違うと思うので御教授宜しく御願いします
- いえ、これは平行移動ではなく書き直しただけです。具体的な例は(3.4)のような計算です。 -- 前野?
- 読みが浅いのかもしれませんが書き直す事で無視出来る所を作って式を明確にすると言うことですか？ --
- 書き直し方のコツなどあったら教えて下さい --
- 2個目の質問は先に書いてありました、済みません --
- 3個目の質問宜しく御願いします --
- コツというほどのものはありませんが、２次式になるのは確かなので、$a+b(x-1)+c(x-1)^2$だと仮定して$a,b,c$を決めていけばいいです（順番としては次数の高い$c$から決めていくのがいいでしょう）。 -- 前野?
- なるほど、分かりました、ありがとうございます --
無題 †
(2017-07-31 (月) 20:45:05)
ページ206の演習問題1-4の(1)の範囲は何で一を含むのですか？アークタンジェントの分母が０になってしまうとおもうのですが
- これは$\arctan \infty$というのを「定義されてない」と考えるか、$\lim_{x\to \infty}\arctan x$と考えて${\pi\over2}$とするかという問題ですね。$x$が正の値をとりながらどんどん$\infty$になっていくとき（${x\over\sqrt{1-x^2}}$で$x\to 1$になっていくとき）を考えると、$\arctan$はこのとき${\pi\over2}$になると考えていいわけです。 -- 前野?
- 極限の考え方を取り入れれば良いのですか、ありがとうございました --
無題 †
大学生? (2017-07-10 (月) 22:03:44)
11ページの図形がどうしても理解出来ないのですが教えて下さい
- １１ページの図形って４つありますがどれですか。sin,cos,tan,sec,cosec,cotanの図でしょうか、それとも下のsinとcosが変化している図でしょうか。そして「理解できない」とはどういうことでしょう？？ -- 前野?
- 「どういうことでしょう」というのは、この図の作り方がわからないのか、この図をどう使うのかがわからないのか、それとも別の何かなのか、ということです。 -- 前野?
- 作り方が分からないです -- 大学生?
- 図のような感じです。なんでしたら自分で紙に印刷した後はさみで切って並べなおしてみてください。 -- 前野?
#ref(): File not found: "sankaku123.png" at page "「ヴィジュアルガイド物理数学〜１変数の微積分と常微分方程式」サポート掲示板"
P134 (9.21) †
大学生? (2017-05-07 (日) 16:59:04)
なぜm-1階以下のf(x)の微分で書くことが出来るのですか。
P78 演習問題5-7 †
大学生? (2017-05-04 (木) 00:25:17)
面積は円錐の高さをh₀ とすると∫[0→h₀]2πr(h/h₀)dhでπrh₀ になると思うのですが、いかがですか。
ヒントでは高さを0としても面積があることになってしまい、まちがいだと思います。
- ヒントの面積は確かに展開すると、その値になり、h→0では底面積を表していて正しいです。 -- 大学生?
- 解決しました！ -- 大学生?
ヴィジュアルガイド物理数学 †
大学生? (2017-05-03 (水) 12:13:00)
続きはいつごろ発売ですか？
- ７月に発売の予定です。 -- 前野?
- わかりました！楽しみにしてます。 -- 大学生?
P58 (4.4) †
大学生? (2017-05-02 (火) 10:42:25)
○(θ³)というのがよくわかりません。注で何を言っているのかわかりません。ご教授ください。
- ${\cal O}$という記号については39ページあたりで説明してますが、それは読まれたでしょうか。 -- 前野?
- 注で言っているのは、この式の中には$\theta^2$の項はないということですが、奇関数なら$\theta^2$の項がない、ということはわかるでしょうか。 -- 前野?
- 奇関数なら、$\theta$の奇数次の項しか含まないはずです。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます。p39は拝読しました。奇関数なら偶数乗がなぜないのですか？ -- 大学生?
- 納得しました！ -- 大学生?
鮒27 †
P.202 【問いB-6】の解答? (2017-03-27 (月) 10:12:51)
(1) y^2dy + 2xydy0 = 0 → y^2dx + 2xydy = 0
ではないでしょうか？(最初のdyがdxになるのと、0が余分についています。)
(3) 最初の等式の右辺 λtan^2x → -λtan^2x
2つ目の等式の右辺 tanxdx → -tanxdx
ではないでしょうか？
P.192 【問いB-6】のヒント †
鮒27? (2017-03-27 (月) 10:08:31)
(3) 最後の項は λtan^2x → -λtan^2x
ではないでしょうか？
P.187 【問いB-6】 †
鮒27? (2017-03-27 (月) 10:04:49)
(1) ydy + 2xdx = 0 → ydx + 2xdy = 0
(2) dy + (x/2y)dx = 0 → dx + (x/2y)dy = 0
ではないでしょうか？
- 確かに、現状だと答えと合わないです。修正します。 -- 前野?
P.18 †
鮒27? (2017-02-18 (土) 11:14:01)
$x=$arctan$y$の値域が
- すみません、＄\displaystyleが抜けて変な表示になってしまいました。 -- 鮒27?
- 図と説明があってないように思いましたが、問題ないようでしたらこの投稿を削除していただければと思います。（Texを間違えて掲示板を汚してしまいました。） -- 鮒27?
本書を読み終わっての感想です。 †
鮒27? (2017-02-11 (土) 16:07:59)
====この本を読んだきっかけ====
もともと「よくわかる電磁気学」を発売直後に本屋で見つけ
よさそうと思い購入したのですが
何度挑戦しても、途中でギブアップしていました。
物理的な内容も難しかったのですが、
数学の理解が足りないこともあり
途中から自分でも何をやっているのかが分からない状況になっていました。
数学の理解を深めるために、この本を始めました。
====内容について====
図解が豊富で、数式のイメージがわきやすく
このサポート掲示板で疑問に答えていただいたこともあり
（以外にも）楽しく最後まで読み通すことができました。
数学の本を演習問題も含めて最後まで読み通せたのは
大学受験の時以来でとても達成感がありました。
ただすべてを理解して使いこなせるまでにはまだまだ至っていないですが・・
特に微分方程式の章で力学の話がからんでくると難しく感じたので
「よくわかる初等力学」の勉強を始めました。
（幸いにも最新の第４刷を購入できました。）
数学的に厳格な証明を行っていない部分もあるとのことですが
今の私にはちょうど良い説明の仕方でした。
あまり厳格だと、途中で読むのを止めていたと思います。
====本について====
他のよくわかるシリーズに比べてB5サイズと大きくなっていて
最初は違和感がありましたが慣れるとこちらのほうがゆったり感じて良いです。
(個人的には物理シリーズもこのサイズのほうがいいと感じました。)
私は軽い色弱で、店頭で手に取ったとき少し買うのをためらいましたが
特に読むのに苦労することはありませんでした。
逆にP.101の最初の図でF(b+db)=の囲みの点線を色分けしているところなど
"細かいところまで気を配っているな～"と感心しました。
唯一苦労したのはP.128あたりの
命令を表す○と平行線が引かれた図でしょうか。
小学生の時に受けた色覚検査の図のようで、
最初何が書いてあるのかわかりませんでした（＾＾;
落ち着いて眺めれば分かりました。
第２巻以降も予定されているとのことで、期待して待っています！
====要望====
電磁気学と量子力学の店頭用ポップを希望します。
物理数学と初等力学は印刷して、目に見えるところに貼っておき
やる気を出すのに役立っています。
長文失礼いたしました。
- 感想ありがとうございます。お役に立てていただけて嬉しいです。128ページの図が見にくくてすみません（ちょっと図版を大きくすべきだったかと思ってます）。続刊はただいま作業中ですので、またよろしくお願いします。 -- 前野?
P.103 †
鮒27? (2017-02-02 (木) 22:07:44)
(7.27)の下の行について。
"F(x)には上の述べた積分定数の分だけ"
という文ですが、以下のほうが適切ではないかと思いましたのでお知らせします。
上の述べた->上で述べた
積分定数->定数 (次のP.104で積分定数の説明をしているので。)
- 確かにこの時点ではまだ積分定数という言葉は出してませんね。次版より修正します。 -- 前野?
P.186について †
鮒27? (2017-02-02 (木) 21:17:29)
(B.59)の2行上の式ですが
積分区間は
$\int_{x}^{x_0}$
ではなく
$\int_{x_0}^{x}$
ではないでしょうか？
P.215 【演習問題11-3】の解答 †
鮒27? (2017-02-02 (木) 21:12:22)
4行目ですが
この式を同次に変えた・・・
となっていましたのでお知らせします。（他は斉次で統一されています。）
P.162【演習問題10-5】についての質問です。 †
鮒27? (2017-01-28 (土) 00:04:46)
下記のような解答でも、証明したことになりますでしょうか？
ご確認いただければ幸いです。
$\displaystyle \frac{d}{dx}g(x)=p(x)g(x)$
$\displaystyle \frac{\frac{d}{dx}g(x)}{g(x)}=p(x)$
両辺を積分して
$ \displaystyle \log{g(x)}=P(x)+c $
(P(x)はp(x)の原始関数, cは積分定数)
$ \displaystyle g(x)=Ce^{P(X)} $
同様に
$ \displaystyle h(x)=De^{P(X)} $
従って
$ \displaystyle g(x)=\frac{C}{D}h(x) $
となりg(x)はh(x)の定数倍である。
- 証明したことにはなってます。ただこれだと「解いている」ということなので、解答にあるように「答えを解かなくてもわかる」という解法に比べると、少し手間が多くなっているということになります。 -- 前野?
- 分かりました。ご確認いただき、ありがとうございます。 -- 鮒27?
P.184 (B.40)について †
鮒27? (2017-01-27 (金) 22:23:33)
(B.40)の$\displaystyle \frac{d}{dt}A(t)$
ですが
$\displaystyle -\frac{F_0}{2m\omega_0}sin{2\omega_0t}$
ではないでしょか？（マイナスが付く。）
- 確かにその通りで、連動してその後の符号も違っているようです。サポートページの方に訂正を載せます。 -- 前野?
P.200 【問10-5】の解答 †
鮒27? (2017-01-27 (金) 00:23:22)
(1)
解答2行目で
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}f(x)$
とありますが、本文の流儀に従えば
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}g(x)$
ではないでしょうか。
また次の行からの式が
$\displaystyle \frac{1}{x}\frac{d}{dx}f(x)=x^2$
$\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{3}+C$
$\displaystyle f(x)=\frac{x^2}{3}+\frac{C}{x}$
となっていますが
$\displaystyle \frac{1}{x}\frac{d}{dx}g(x)=x^2$
$\displaystyle g(x)=\frac{x^4}{4}+C$
$\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{4}+\frac{C}{x}$
ではないでしょうか。
(2)
解答2行目で
$f(x)=cosxf(x)$
となっていますが、本文の流儀に従えば
$f(x)=cosxg(x)$
ではないでしょうか。
4行目、5行目の$f(x)$も$g(x)$のように思います。
- 確かに、ここは関数の名前を変えなくてはいけないところでした。 -- 前野?
- ご回答ありがとうございます。（１）の解は正しいでしょうか？積分の箇所が誤記かと思います。 -- 鮒27?
- すいません、解も${x^3\over4}+{C\over x}$となります。 -- 前野?
- ご確認いただきましてありがとうございました。 -- 鮒27?
P.200 【問い10-4】についての質問です。 †
鮒27? (2017-01-24 (火) 18:56:52)
(C.53)の式の後で
$cos{\omega_0t}$の係数を取り出した式と
$sin{\omega_0t}$の係数を取り出した式から
どのようにすれば$C(t),D(t)$の解を求めることができるのでしょうか？
連立方程式のように考えてみましたが、うまくいきませんでした。
式を見て、答えを予想するのでしょうか？
- ここで求めるべきは特解なので、一つ求まればよいわけです。だから簡単なのから探そう、ということで試行錯誤するわけですが、たとえばC(t)=0にして、D(t) がどうなればよいかを考えていけば答えに達します。 -- 前野?
- 分かりました。ありがとうございます。 -- 鮒27?
P.152 †
鮒27? (2017-01-20 (金) 21:38:16)
(10.30)の2行下ですが
線形"同時"微分方程式
となっていましたのでお知らせします。（他は斉次で統一されています。）
- 御指摘ありがとうございます。次の刷で直します。 -- 前野?
P.191 【問い9-5】【問10-1】のヒント †
鮒27? (2017-01-17 (火) 23:13:17)
ヒントの順番が逆です。
気になったのでお知らせしました。
- あ、ほんとだ。つまらないミスが残っていて申し訳ないです。 -- 前野?
P.133 注14についての質問です。 †
鮒27? (2017-01-17 (火) 22:05:28)
注14の最後で
"$y=0$は一般解$y=Ae^x$の$A=0$の場合に含まれているので、
$y\neq0$の条件は外してよい"
とあります。
この場合$A=e^C$なので$A=0$にはならないと思うのですが
$y=0$を解としてしまってよいのでしょうか？
それとも$A=e^C$とは関係なく、$A=0$の場合、微分方程式を満たすので
$y=0$は一般解に含まれる、と考えればよいでしょうか？
- $C\to -\infty$の極限を取っているという考え方もできますし、$y=0$は代入してみると解だから一般解に含まれる、と考えても大丈夫です。 -- 前野?
- ご回答ありがとうございます。追加で質問です。P.141のFAQを読むと、この$y=0$はP.142の説明にある特異解だと思うのですが、違うのでしょうか？ -- 鮒27?
- こちらの場合の$C\to-\infty$の極限は141ページのと違って「定数である$C$がいくら大きくとも〜」という状況になってません（変数の値にかかわらず、$C\to\infty$で$y=0$に達する）。ですから、特異解として別に扱う必要はないです。 -- 前野?
- なるほど納得しました。ありがとうございます。 -- 鮒27?
P.137 †
鮒27? (2017-01-17 (火) 19:11:10)
本文下から2行目
”・・・ロケット見て・・・”
は
”・・・ロケットから見て・・・”
でしょうか？
- 確かに、おかしいですね。「ロケットから見て」と訂正します。 -- 前野?
P.198 【問9-1】の解答 †
鮒27? (2017-01-17 (火) 19:08:26)
解答2行目の
$\displaystyle dM=-\frac{\log2}{T}M$
は
$\displaystyle \frac{dM}{dt}=-\frac{\log2}{T}M$
ではないでしょうか？
P.204 【演習問題8-4】のヒント †
鮒27? (2017-01-15 (日) 20:36:04)
$dx^2+dy^2$
$=(3d\theta \times a\sin{\theta}\cos^2\theta)^2+(-3d\theta \times a\cos{\theta}\sin^2\theta)^2$
とありますが
$=(-3d\theta \times asin{\theta}cos^2\theta)^2+(3d\theta \times a\cos{\theta}\sin^2\theta)^2$
かと思います。
- 正しい微分はそうですね。すいません。 -- 前野?
P.204 【演習問題8-2】のヒント †
鮒27? (2017-01-15 (日) 20:20:38)
ヒントの最後から2行目において
この両辺に$(t-x_0)^{n-1}$を掛けて・・・
とありますが
この両辺に$(x-t)^{n-1}$を掛けて・・・
かと思います。
- すいません、確かに解答はそっちでやってますね。修正します。 -- 前野?
P.204 【演習問題8-1】のヒント †
(2017-01-15 (日) 20:14:19)
ヒントの最後の行
$\displaystyle (t-x_0)=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}(t-x_0)^2)$
となっていますが
$\displaystyle (t-x)=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}(t-x)^2)$
かと思います。
- こちらの指摘は問題なかったでしょうか？ -- 鮒27?
P.118 の注11 †
鮒27? (2017-01-14 (土) 14:20:40)
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-sin{\theta}d\theta$
は
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=-d\theta$
ではないでしょうか。
- その通りで、このsinθは不要です。ミスをたくさんみつけていただいてありがとうございます。 -- 前野?
- こちらこそ、質問にご回答いただきありがとうございます。 --
P.114 【問い8-3】についての質問です。 †
鮒27? (2017-01-13 (金) 18:55:39)
問8－3の解答に積分定数がつかないのは、そもそもテイラー展開が近似式なので積分定数は不要、という理解でよろしいでしょうか？
- あ、これは本当はつけるべきです。 -- 前野?
- ご回答ありがとうございます。 -- 鮒27?
P.108 【演習問題7-1】 †
鮒27? (2017-01-11 (水) 19:06:58)
問題文中の
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}$
ですが、P.97の(7.6)式と比べると
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}$
が正しいように思うのですが？
最終的に$n\to\infty$としているので表記上の違いで同じことなのでしょうか？
P.199 【問9-3】(2)の解答 †
鮒27? (2017-01-07 (土) 18:04:20)
（２）解答の上から2行目
$\displaystyle a = \frac{1}{2}\frac{d^2y}{dx}$
となっていますが
$\displaystyle a = \frac{1}{2}\frac{d^2y}{dx^2}$
かと思います。
P.101 (8.54)について †
鮒27? (2017-01-05 (木) 21:00:52)
ちょっと自信がないのですが・・・
(8.54)とその上の行は
$=8r^2(1+cos\theta)$
$\displaystyle=16r^2cos^2\frac{\theta}{2}$
ではなく
$=8r^2(1-cos\theta)$
$\displaystyle =16r^2sin^2\frac{\theta}{2}$
ではないのでしょうか？
（結果は16rで同じになりましたが。。）
- すみません、P.101ではなくP.123です。 -- 鮒27?
- 御指摘の通りです。３行目で使う半角公式も、${1-\cos\theta\over2}=\sin^2{\theta\over2}$ですね。 -- 前野?
P.191 問い8-5のヒント †
鮒27? (2017-01-04 (水) 08:44:20)
あけましておめでとうございます。
早速ですが
$sinh2\theta=$
は
$sinh(\alpha+\beta)=$
かと思います。ご確認願います。
- すいません、確かにその通りです（間抜けなミスでした）。 -- 前野?
7.3.2 原始関数と不定積分 についての質問です。 †
鮒27? (2016-12-20 (火) 00:59:01)
以下で示したf(x)ですが、
大文字のF(x)のほうが適切なように思うのですがいかがでしょうか？
お手数をおかけして申し訳ございませんが
前野先生のご意見をお聞かせください。
P.102 7.3.2 1行目 前節で使った記号f(x)
P.102 7.3.2 3行目 という関数f(x)を
P.103 (7.26) f(x)=
P.103 (7.26)の2行下 原始関数f(x)
P.103 (7.26)の3行下 原始関数f(x)
- すいません、これらは編集段階での置換のミスです。おっしゃる通り、Fに訂正する必要があります。 -- 前野?
[P.86] 6.1.3 テイラー展開の例：指数関数 についての質問です。 †
鮒27? (2016-12-14 (水) 23:05:17)
P.86の中段あたりで、
$\displaystyle |\frac{a_n}{a_n+1}|=n+1$となり、$(n\to\infty)$で$\infty$だから・・・
とありますが
P.86の(6.15)によると
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}|\frac{a_n}{a_n+1}|$が存在していれば、それが収束半径になることがわかっている、とあります。
P.86の場合、$\displaystyle \lim_{x \to \infty}|\frac{a_n}{a_n+1}|$は$\infty$となり発散するのですが、この場合も"存在している"と言えるのでしょうか？
- ああなるほど。$\to\infty$を「存在している」というのはちょっとまずいか。説明の修正を考えます。 -- 前野?
- 追加の説明ありがとうございます。 細かい質問なのですが、(6.15)がどちらも存在しない場合はあるのでしょうか？（この場合の”存在しない”とは（収束半径が０？？）） -- 鮒27?
- 極限が存在しない例としては、振動してしまう場合も考えられます。例はさっとは思いつけないですが… -- 前野?
P.85 (6.16) †
(2016-12-14 (水) 22:27:31)
$\displaystyle \sum_{n=0}(-1)^n(x-2)^n$
ですが
$\displaystyle \sum_{n=0}(-1)^{n+1}(x-2)^n$
かと思います。
( (6.16)の下の赤字の式も ）
P.91 【演習問題6-3】 †
鮒27? (2016-12-14 (水) 19:30:14)
$\frac{1}{1-x^{10}}$を五階微分に・・・
ですが
$\frac{1}{1-x^{10}}$の五階微分に・・・
もしくは
$\frac{1}{1-x^{10}}$を五階微分して・・・
のほうが意味が取れると思うのですがいかがでしょうか？
- なるほど確かに。次の版では「の五階微分に」に直したいと思います。 -- 前野?
P.83 (6.10)について。 †
鮒27? (2016-12-12 (月) 19:00:55)
3つ目の式の左辺が
$d/dx(2/(1-x)^2)$
となっていますが
$d/dx(2/(1-x)^3)$
かと思います。
- おっしゃる通りです。御指摘ありがとうございました。 -- 前野?
P209 【演習問題5-1】の解答 †
(2016-12-10 (土) 17:35:43)
$=(f'(x)g(x))+f(x)'g(x))'$
$= f' '(x)g(x))+f'(x)g'(x)$
$+ f'(x)g'(x))+f(x)''g(x)$
$= f' '(x)g(x))+2f(x)'g'(x)+f(x)' 'g(x)$
となっており、)が余分についていたり、'の位置がおかしいようです。
正しくは
$=(f'(x)g(x)+f(x)g'(x))'$
$= f' '(x)g(x)+f'(x)g'(x)$
$+ f'(x)g'(x)+f(x)g' '(x)$
$= f' '(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g' '(x)$
かと思います。
- すみません、変な文章になってしまいましたが、一度ご確認いただければと思います。 -- 鮒27?
- こちらも変ですね（上の文章も修正しました）。次の版で直すようにします。御指摘ありがとうございました。 -- 前野?
P209 【演習問題4-4】の解答 †
鮒27? (2016-12-10 (土) 17:23:50)
演習問題4-4(2)解答の3行目において左辺が
$(1+tan^2x)dy$
となっていますが
$(1+tan^2y)dy$
かと思います。
P.195 (C.18)について †
鮒27? (2016-12-06 (火) 00:13:15)
答えが$=n/n$
となっていますが
$=n/x$
かと思います。ご確認願います。
- すみません、確かにその通りです。次の版では修正します。 -- 前野?
P39 (3.13)について。 †
鮒27? (2016-12-03 (土) 21:11:46)
$(x+\Delta x)^3 = x^2 + 3x\Delta x + 3x^2(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$
となっていますが
$(x+\Delta x)^3 = x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3$
かと思います。
- ああ、本当だ。不注意によるミスです。見つけていただいてありがとうございます。 -- 前野?
x=aの周り(回り)の表記ゆれについて †
hiro2? (2016-06-26 (日) 14:17:14)
前野先生
お世話になっております。
題記について気になりましたのでご連絡いたします。
例えば、p84の(6.13)のひとつ前の行では「x=2の周りで」と
表記されておりますが、p91の演習問題6-4の問題文では
「x=0の回りで」と表記されております。
※その他のページでも題記の表記が統一されておりませんでした。
以上、重箱の隅を突くような指摘で申し訳ありませんが、どちらかに表記(表現)を統一していただければ幸いです。
- 確かにそうですね。テイラー展開の方は「周りに」に統一した方がよさそうです。 -- 前野?
- ご対応いただきありがとうございます。 -- hiro2?
p88とp100の注釈について †
hiro2? (2016-06-25 (土) 22:41:13)
いつもお世話になっております。
題記の２点に関して気になりましたのでご連絡いたします。
・p88の注釈にて
「偶関数のテイラー展開では常に、偶数次の項のみが出てくる。」
とありますが、正確には
「偶関数のx=0周りのテイラー展開では常に、偶数次の項のみが出てくる。」
もしくは
「偶関数のマクローリン展開では常に、偶数次の項のみが出てくる。」
だと思います。
・p100の注釈22にて
「f(x)の原始関数は、f(x)のように」
とありますが、正しくは
「f(x)の原始関数は、F(x)のように」
だと思います。
以上、枝葉末節ではありますが第二版では修正していただければと存じます。
それと(新刊が出たばかりではありますが)続刊楽しみにしております。
以上です。
- hiro2さん、どうも。どちらも御指摘の通りで、次の版では直そうと思います（それにしてもp100のミスは何をやっていたのかと反省しきり）。御指摘ありがとうございした。 -- 前野?
- お休みにも関わらず早速のご対応ありがとうございます。 -- hiro2?
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