「よくわかる初等力学」（東京図書）サポート掲示板 †
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重ね合わせの原理について †
田中? (2023-12-20 (水) 11:19:14)
すみません。本書の内容とは異なるのですが、どこに質問すればよいか分からなかったため、ここで質問させていただきます。
波の強度（単位時間に通過するエネルギー）は振幅、振動数の2乗に比例するとのことですが、重ね合わせの原理（これを適用していいのか怪しいですが）より、全く同じ波を2つ重ねると振幅が2倍、振動数が同じ波となりますよね？
その場合、波の強度は4倍となると思うのですが、これは全く同じ波を2つ重ねていることを考えるとエネルギー保存則に反していませんか？
練習問題２－２に関連して動摩擦力について †
西郷? (2023-10-24 (火) 13:41:43)
先日質問させて頂いた際にご説明頂いた練習問題２－２について考えいていたら、動摩擦力について疑問が生じました。練習問題２－２においては、右側の物体が微小に動いて、左側の物体を引っ張るということでした。
少し状況を変えて、左右の物体を結ぶ紐には10cmの弛みがあって右側の物体が動く余裕があるとします。ここで、動き出した右側の物体にかかる摩擦力はどうなるのでしょうか？
４．６．１に「たいていの場合、動き出すと摩擦力は弱くなるので静止摩擦係数＞動摩擦係数である」と書かれています。静止摩擦係数＞動摩擦係数だとすると、T-動摩擦力＞T-μmgとなって、T＜2μmgであっても左側の物体が動くケースがあるように思えます。そして、10cmの弛みではなく、もう少し小さな弛みだったとしてもやはり同じことが起きそうに思えます。
現実物理世界では生じているであろう若干の弛みを考慮した場合、T＜2μmgであっても左側の物体は動くのでしょうか？また、左右の物体を結ぶ紐がピンと張っていて僅かの余裕すらないという理想的状況を想定したとしても、右側の物体が微小ではあっても動くことで左側の物体が引っ張られるのだとすると、左側の物体を引っ張るT'が働くとき、右側の物体に働いているのは動摩擦力にはならないのでしょうか？
- 現実世界の「現実度」をどれだけ考慮するか（そして、現実における物体がどういう物体か）によって話は変わってきます。たとえば右側の物体が微妙に動いてと考える時の「動いて」は床との接触面は「ずるずる」と動いている「動いて」なのか、物体は変形して（長方形が平行四辺形になるように変形して）いるという意味で動いているが、床との接触面での「ずるずる」は起きてないのか。 -- 前野?
- 摩擦が静止摩擦か動摩擦かの切れ目は「ずるずる」が起こらないか起こるかです。糸の「たるみ」の程度が物体が変形するが床との接触面に「ずるずる」が生じない程度であったなら、働く摩擦力は静止摩擦力のままなので、状況は糸がぴんと貼っているのと変わりません。そうでなくて床が動きだしてしまっているなら、それは動摩擦になっているので話が変わってます。 -- 前野?
- つまりは「現実的に」考えるなら、物体は剛体じゃなくてゆがんだりひずんだりすることも考えなくてはいけなくなるので「ここは静止摩擦ではなく動摩擦なのでは？」ということもそのあたりの物体の変形などまで現実的に考えないと答えは出ません。 -- 前野?
- 右側の物体が床からずれなくても左側の物体を引っ張ることは可能であると理解できました。ありがとうございます。 -- 西郷?
演習問題1-1 †
西郷? (2023-10-18 (水) 06:24:17)
①「Aと犬が引っ張り合って静止していた状況」にBさんが加わったとすると、
その分だけAと犬の間で引っ張り合う力が強くなりそうに思ったのですが、どうしてAさんの手にかかる力は変わらないのでしょうか？
練習問題 問い１－２（１）だと、物体Aに物体BやCが付いていると、天井とAの間にはB,Cの分も加わっています。同じようにAさんだけでなく、Bさんが加わった場合、犬とAの間で引っ張り合う力も増加しそうに思ってしまいました。
- ここでは、犬は一定の力FでAさんをひっぱる、と考えているので、そこは変わりません。BさんがAさんを引っ張った結果は、Aさんと床との間の摩擦力を変化させると考えてます。なお、Aさんが（Bさんに助けてもらったと考えた結果として）犬を引っ張る力を強くして、犬がそれに応じてAさんを引っ張る力を強くする、ということは考えられるかもしれませんが、そうだとしても「力を強くしている」という意味で「Aさんを助けている」ことにはならないです。 -- 前野?
- 練習問題問い1-2(1)との違いは、「床」という第３者があるかないかですね。これがあるので「Bさんの効果は床との摩擦力を変えただけ」になることができます。 -- 前野?
- ご説明ありがとうございます。２章の静止摩擦力を考慮する必要があると理解いたしました。 AさんとBさんが一緒に引っ張っているのは、練習問題２－２の右図の2つの物体が繋がっている状況から類推して考えてみました。ヒントの図では、直接は引っ張られていない物体にもT'が示されています。 このT'が生じるのは、直接引っ張られている物体が動き出すだけの力、つまりT>μmgとなってからなのでしょうか？ もしも、そうではなくて、T<μmgのときから2つの物体の両方に均等に分散されるのだとすれば、演習問題１－１でBさんが引っ張る力はAさんと犬の間にも影響を及ぼすような気がします。 繰り返して質問してしまい恐縮ですが、ご説明頂ければ幸いです。 -- 西郷?
- T'があるのは、T＞μmgになってからですね。その状態になって始めて、右側の物体が微小に動き、左側の物体を引っ張り始めます。この物体には「力を分散させるメカニズム」を持っているわけではないので、「均等に分散」みたいなことはできないです。なお、単純に数式として考えるなら「つりあっていて、かつ静止摩擦力が限界内であればなんでもよし」なので、T<μｍｇであるときには分散させるのも解だし、分散しないのも解です。 -- 前野?
- 犬の場合とこの箱の場合が決定的に違うのは、犬がAさんを引っ張る力は、犬が決めているということです（犬と地面の摩擦も関係してますが）。犬の足の踏ん張り具合でこの力は決まるので。箱の静止摩擦力は、他から力を受けたときにその力では動かないように決まるので、そこは問題の設定が変わってます。 -- 前野?
- ありがとうございます。 Aさんを静止した物体として捉えて、犬が引っ張る力を腕に、Bさんが引っ張る力を腰に感じていると考えれば良いのですね。 ただ、P33に「糸の張力はバネが伸びている状態の出している力だと考えればよい」と書かれています。②Aさんを糸のように捉えた場合、Bさんが加わったことでAさんは犬単独のとき伸びるように思えます。その上で、犬とBさんが引っ張る力の差だけどちらかの方向に引っ張られるので、地面に接している足の摩擦は変化します。 つまり、①Aさんが静止しているのを最初に前提にして各部分に力がかかっていると考えれば各部分が感じる力はそれぞれ独立しているのでしょうが、②Aさんに掛かっている力をまず全部見て、両者の差だけどちらかに動こうとしているが摩擦力によって静止していると考えると、両側から引っ張られればより伸びるように思えてしまいます。 ①のように考えるのが正しいのでしょうが、②の考え方はどこが間違っているのでしょうか？ -- 西郷?
- ２番めの考え方も間違ってはいないと思いますよ。上で「分散させるのも解だし分散しないのも解」と書きましたが、つまりは「どういう設定で考えるか」で答えが変わることはあっていいわけです（実際にやったらどうなるかは、状況をより深く観察することでわかってきますね）。 -- 前野?
- なお「Bさんが加わったことでAさんが伸びる」かどうかも、問題の状況設定によって変わります。 -- 前野?
- ありがとうございます。 モデルとして立てた数式の条件を満たせば、そこで想定したモデルは満たしているということだと理解しました。 ただ、①と②で異なる結論が出るならば、どちらかは現実の物理世界とはずれているように思えます。Aさんの左手を引っ張るがAさんは静止しているケースと、それに加えて右手も引っ張るがAさんは静止しているケースを比較した場合、現実物理世界でAさんが左手に感じる引っ張られている感覚は変化するのでしょうか？ -- 西郷?
- 「Aさんが左手に感じる引っ張られている感覚」という書き方はあまり良くない気がしました。 Aさんの左手にかかる張力は変化するのでしょうか？ -- 西郷?
- Aさんがぴったりと静止しているなら、Aさんと犬の相互関係はまったく変わらないのでAさんと犬の間に働く力（つまりは左手にはたらく力）は変化しません。 -- 前野?
- AさんがBさんに引っ張られて移動することでAさんと犬の距離が広がるという状況を考えると、それはAさんと犬の間に働く力を強める方向の変化となります（犬の出す力も変化する）。この場合は「むしろ手がより痛くなる」という方向の変化をBさんがもたらしたことになる。 -- 前野?
- なお、本の回答では「犬がAさんを引っ張る力は変化しない」ということを（暗黙のうちにですが）仮定したので、Aさんと犬の間に働く力に変化は生じない立場に立ったことになります。 -- 前野?
- Bさんの影響によるAさんの移動が起こって犬とAさんの間の力が強くなると仮定した場合、それは犬とAさんの間の力を強くするので「手がちぎれそうだ」という問題に関しては助けてない（悪化させている）ことになります。 -- 前野?
- 理解できたと思います。犬とBさんの真ん中にコンクリートのビルがあって、ビルに結び付けられた綱を両側から引っ張るとき、Bさんが加わっても犬とビルの間には関係しない。 犬とBさんが綱を持ち合って静止しているとき、犬だけが綱を引っ張るケースとBさんも引っ張るケースでは綱に掛かる張力は変化する。 この両者の間のどこを想定するかの違いだと理解しました。 ありがとうございました。 -- 西郷?
p114 演習問題3-4 †
jfk? (2023-08-01 (火) 12:55:42)
右側のθ傾いているW3,W4が出てくる図で、左側の図と同じ座標軸の入れ方をして解こうとしました。が、ぞのような座標軸の入れ方だと解けないようです。この座標軸の入れ方で解くのは難しいですか？
なぜ、θ傾いているときに、座標軸も傾ける必要があるのですか？単純にそれだとyGを求めることができないからですか？
- 座標系の違いで解けなくなるということはありません。実際やってみると解けます。座標系を傾けるのは「そっちのほうがどっちの座標系で見ても車の重心の座標が同じになるから」という理由です。つまり「車の中で重心がどの位置にあるか」という考え方をするので車が動けば座標も動くということです。もちろん、別の座標系を使いたいなら使っていいです。 -- 前野?
- 分かりやすい解説ありがとうございます。納得できました。助かります。 -- jfk?
p164フッター部についての質問 †
小田? (2023-05-09 (火) 10:49:35)
＃4、オメガは角速度ではないことに注意とあります。円運動(等速、非等速)の場合に限りオメガと角速度が一致すると考えていいのでしょうか？
- 円運動でも、座標原点と円の中心が一致してないとここでのオメガは${\mathrm d\theta\over\mathrm dt}$とは一致しません。 -- 前野?
- コメントありがとうございました。 -- 小田?
演習問題5-1の解答 †
有島? (2023-04-22 (土) 03:50:21)
計算方法に関する質問です。
p14wに記載されている演習問題5-1の解答で(F.25)から(F.26)への右辺側の積分の方法がどうしてもわからなかったので、計算過程をご教示いただけないでしょうか。
既出の質問でしたら申し訳ありません。
- 書いてあるとおり、まず$\dot\theta$を掛けてくささい。$mR\ddot\theta\dot\theta=mg\dot\theta\sin\theta$となります。 -- 前野?
- 左辺が${1\over 2}mR(\dot\theta)^2$を微分したものであることはわかると思います。 -- 前野?
- 右辺が$-mg\cos\theta$を微分したものであることもわかると思います。 -- 前野?
- コメントありがとうございます。計算の方法がわかりました。難しく考えすぎてました。 -- 有島?
付録D 374頁 †
大学生? (2023-04-10 (月) 22:49:17)
質問失礼いたします。
題名に記載した頁に不明点が二つありました。
まず一つ目として、ここでは「次元が一致しなくてはいけない物理的な理由」を解説されていますが、これは「単位が一致することの物理的な理由」ではないのですか?
(次元が同じでも単位が違うとダメであることは前頁で解説されています)
また、この頁の上から5行目に「単位系を変更した時、…」とありますが、ここは単に「単位を変更した時、…」ではダメなのでしょうか?
- 2つ目の質問 (また、…以降の内容) は解決いたしました。 -- 大学生?
- ただ一つ目の疑問は未だに解決できていません。お答えしていただけると幸いです。 -- 大学生?
- こちらで説明しているのは使っている単位系が何であろうが、「長さのスケール」「質量のスケール」「時間のスケール」の変化に対する応答が両辺で同じでなくてはいけない、ということです。 -- 前野?
- まずは次元があっていることにより「スケール変化に対する応答が合うこと」が保証され、さらに単位系も合わせると「両辺が数値として一致する」ことも保証されるということになります。実際にはもちろんどっちも合わないと駄目なんですが。 -- 前野?
- 詳細な回答をありがとうございます。おかげさまで理解が捗りました。 -- 大学生?
p259 コマの角運動量と回転軸の向きについて †
こめお? (2023-03-09 (木) 20:48:13)
p244の初めの段落で、「x-y面上をz軸を軸に回っているならLとωは並行だが、x-y面から斜めに角度を持っているなら平行にならない」という話がありました。
それから考えて、「p259の右上図のコマはxy面と角度を持っていないからLと回転軸は平行だが、右下図ではxy面と角度を持っているからLと回転軸は平行とは限らない」と考えられます。
この解釈および考え方は正しいですか？
- この２つは全然違う話なので一緒にしてはいけません。p244では物体である棒そのものの方向がx-y面内かどうか、という話、p259のコマは回転は（一瞬一瞬では）コマの軸の周りです（で、コマの軸が移動している）。ここでのコマの運動の場合、斜めになってても回転軸とLの向きは一致してます。 -- 前野?
問10-3,4について †
こめお? (2023-03-06 (月) 13:40:47)
質問失礼します。
ヒントの通りに代入したあと、さりげなくeθがeθ'に置き換わっているのですが、何故このようなことをして良いのでしょうか？ 問10-3の場合、式E.40の話です。
- $\vec e_\theta$と $\vec e_{\theta'}$は同じベクトルです。それぞれ、「$\theta$または$\theta'$が増える方向の単位ベクトル」が定義ですが、どの地点においても、この二つの方向は一致します。-- 前野?
- 納得しました。何度もありがとうございます。またお願いします。 -- こめお?
p164数式参照番号 †
上広谷盛流? (2023-01-25 (水) 15:35:25)
p164本文2行目「加速度の式」の数式参照番号「(5.8)→p162」は「(5.9)→p163」が正しいのではないでしょうか？(5.8)は、加速度ではなく速度$\frac{d\vec{x}}{dt}$の式になっていると思います。
- そのミスは第６刷で訂正されていると思います。これまでのミスについては、サポートページのリストを御覧ください。 -- 前野?
- 失礼しました。サポートページの「ここより下のミスは第２刷で修正されました。」に記載がありました「訂正部分を印刷できるPDF」だけを見て訂正されていないと判断していました。 --
p290 (10.3)について †
タダアキ? (2023-01-19 (木) 22:11:23)
基礎的なことかと思うのですが、(10.3)のx'がなぜxcosα+ysinαになるのか、図から考えているのですが分かりません。解説お願いします。
p.38 演習問題1-3 †
S.I.? (2023-01-13 (金) 17:21:37)
(3)の図でひもを引っ張る力Tの記載が抜けているようです。
ご報告まで。
p.230の説明 †
S.I.? (2023-01-13 (金) 15:48:56)
p.230 下から3行目の「ライプニッツ則（p333）を使って分解すると」の説明のくだりなのですが、p.333で示しているライプニッツ則はスカラーの掛け算ですが変形対象の式はベクトルの外積になっています。愚直に読むと、スカラーで示したものを直接ベクトルに適用しようとしているように見えてしまいます。式変形自体に問題がないことは知識として分かるのですが、説明を読んでいてもやもやしたので、一応こちらに書かせて頂きました。
- ベクトルの外積もそれぞれの成分が$A_xB_y-A_yB_x$のように掛算になっているだけのことなので、それぞれの項に作用すると思えばライプニッツ則は適用できます。 -- 前野?
p.332 †
S.I.? (2023-01-04 (水) 08:23:39)
ご報告まで（第7刷で確認）。
p.332の4行目 （近似的）直角三角形三角形
- すいません見落としてました。ご報告ありがとうございます。 -- 前野?
p.96の図 †
S.I.? (2023-01-03 (火) 11:20:19)
質問ではありません。
・p.96中央に描かれた棒状の物体にはたらく力F間の距離を示す線と距離Dの色が薄くちょっと見づらいようです。
・p.96下に描かれた円盤に働く力F間の距離を示す線と距離Rの色が薄すぎて見えない。
変えれるようであればもう少し濃くした方が良いかと。
第7刷で確認したものですので、最新刷で修正されていましたら無視してくださいませ。
- うーん、たしかに見にくいかな。対処法を考えます。 -- 前野?
偶力 †
S.I.? (2023-01-03 (火) 10:48:06)
p.95の3.3.3の最初の文では「二つの力の組を「偶力」と呼ぶ」と書かれていますが、次のページ（p.96）の10行目には「偶力は名前は「力」だが力ではなく力のモーメントである」とも書かれています。3.3.3や3.3.4での偶力という用語の使われ方を見ると「力」という意味で使われている場合と「力のモーメント」という意味で使われている場合が混在しているように見えます。
「偶力」という用語をどう解釈すればよいのでしょうか？
- 偶力の意味は、本に書いてある通り、「力の組」です。２本の逆方向の力を合わせたものが「偶力」です。ですから「力」ではありません。 -- 前野?
- そのような「力の組」の大きさを表現するには「偶力により作られる力のモーメント」を使います。つまり「偶力」の意味は「力の組」であって、その測り方が「力のモーメント」ということになります。 -- 前野?
演習問題3-1 †
あ? (2022-12-26 (月) 19:53:10)
重心の求め方をいまいち理解できません。たとえば演習問題3-1であれば、
なぜρdzπ(Rz/h)ではなく、これにzをかけたものを積分したのでしょうか。
mgの符号 †
S.I.? (2022-12-19 (月) 12:26:00)
第7刷を参照しています。
P.152(4.53)では-mgになっていますが、mgのような気がするのですが。
最新版では違っているようでしたらすみません。
- これはxの上向きを正とするなら$-mg$、下向きを正とするなら$mg$です。今は上向きを正にした計算になってます。 -- 前野?
- 空気抵抗の中のvが正の値しか取らないと思い込んで読んでいました（高校物理の「速さ」のように）。よくみたらdx/dtと書かれているのに頭の中でv一文字に置き換えて考えていたようです。お騒がせしました。 -- S.I.?
問い6-2に関して †
岡本和真? (2022-12-08 (木) 20:50:32)
質問があります。問い6-2がいまいち理解できません。
解答のところにある、「この加速は東向きに動く物体が止まる時の加速を打ち消す」とありますが、打ち消すとはどういうことでしょうか。よくわからないので別の表現で説明してくださると有難いです。お忙しいところ恐縮ですがよろしくお願いいたします。
- まず人間が物体を東に向けて動かす時に、地球は西向きの加速度を得ます。次に東に進む物体が摩擦で静止するとき、地球は東向きの加速度を得ます。この二つの加速度は向きが逆です。そして、この加速による地球の運動は、足し算すると０です。 -- 前野?
- 足して０を「打ち消す」と表現してます。正確に言うと加速度が足して０じゃなくて加速による影響（加速によって得た地球の運動速度のトータル）が０という意味なので、少しわかりにくかったかな。 -- 前野?
- ありがとうございます。解説の言っていることは理解できました。さらに質問なのですが、この問題の場合で(6.10)のような運動量保存則の式を立てるとしたらどのようになるのでしょうか。何度も申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。 -- 岡本和真?
- 運動量はもちろん保存するので、左辺（最初）を「すべての物体が静止して運動量が０の状態」とすれば、右辺に来るのも「運動量が０の状態」になる、という当たり前のことが出てきます。つまりは地球と物体の運動量は足したら常に０。物体が動くときは地球が逆方向に動いてトータル運動量が０になっているということです。 -- 前野?
- わかりました。ありがとうございました！！ -- 岡本和真?
エネルギーについて †
大学生? (2022-10-04 (火) 11:09:58)
分かりやすい本を執筆していただき、ありがとうございます。本書の内容は概ね理解できましたが、一つ小さな引っ掛かりを感じました。
（一般相対論などのもっと高度な物理ではエネルギーの値そのものが意味を持つこともあると聞いたことがありますが、それはともかく）エネルギーとはその差や変化のみが重要なものであって、定数ぶんのずれには意味が無いと理解しています。ですので重力による位置エネルギーや電位の定義には好きな場所を基準に取ってよいとのことですが、運動エネルギー $\frac{1}{2} mv^2$ やバネによる弾性エネルギー $\frac{1}{2} k(x-x_0)^2$ の定義には $v = 0$ や $x = x_0$ といった明確な零点が定まっているような印象を受けます。
もちろんこれらのエネルギーに任意の定数 $E_0$ を加えた $\frac{1}{2} mv^2 + E_0$ や $\frac{1}{2} k(x-x_0)^2 + E_0$ をそれぞれ運動エネルギーや弾性エネルギーの定義にしても問題は無いがそうする理由が無いのでそうしていない、という風に理解するべきでそんなところで躓くべきではない、それ以上の発展性は無い話だとは思っていますが、この掲示板の存在に甘えて何か加えて理解しておいたほうが良いことは無いかご質問させていただきます。
繰り返しになりますが、このような御本を執筆していただいて本当にありがとうございます。「よくわかる解析力学」「よくわかる電磁気学」「よくわかる量子力学」にも大変お世話になっております。
- エネルギーの原点には、やっぱり意味はありません。ただ、「下限があること」には意味があります（でないとエネルギーがいくらでも小さい状態に変化していってしまうので）。下限があるなら、そこを「原点」にしたくなるのが人情なので、運動エネルギーや弾性エネルギーは下限の値が０になるように定義してます。 -- 前野?
p354 B.11について †
DD? (2022-08-07 (日) 19:23:27)
単位ベクトル同士の外積が1と−1となっていますが、外積はベクトルであるのに1と−1といった数字が答えになって良いのでしょうか？
- 外積の結果がベクトルなのは３次元の場合で、２次元ではそうではなく、外積の結果は数です。 -- 前野?
p170 問5-3について †
S.T? (2022-07-05 (火) 01:28:37)
曲がり具合が大きいほど、法線加速度が大きいのは何故なのでしょうか。
頂点での運動を円運動のように考えて、m（−v^2/r）=−mg−Nとして、vは三つのジェットコースターの頂点では一緒のため、rが小さいつまり曲がり具合が大きい程、右辺のNが大きくなると考えでしょうか。
- 速さが同じと考えるのはそのとおりです。おっしゃるとおり、円に近似して考えても構いません。法線加速度というのは「向きが変わることによる加速度」なので、そう考えれば曲がり具合で決まるというのはある意味当然だとも言えます。 -- 前野?
θ一定て回り続ける質点 †
考えてる人? (2022-06-18 (土) 13:42:30)
下の方の質問と少し似ているのですが、質点がr,θ一定で回り続けるているとき、回転軸はz軸です。すなわち、角速度ベクトルと回転軸は平行になりません。
一方、p.241剛体の場合は、回転軸と平行に角速度ベクトルを定義しています。
剛体と質点で角速度ベクトルの定義は異なるのだと思います。剛体は回転軸と平行で、質点は角運動量と同じ向きという理解でいいのでしょうか。
剛体は瞬間の角速度ベクトルはわからないということでした。しかし、質点は角運動量から定義される以上角速度ベクトルは瞬間的にわかります。このように、瞬間で定義できるかということも違いになるのでしょうか？
- 質点の場合の角速度ベクトルを、回転軸と一致させて定義する場合もあります。つまり、「質点がr,θ一定で回り続けるているとき」に、ｚ軸周りの角速度ベクトルを定義してもいいわけです（それはつまり、角速度ベクトルを考えるときに中心を座標原点に置くか、今起こっている回転の中心に置くかという違いでもあります）。つまり、回転軸や「角速度ベクトル」が一瞬の動きだけではわからないのは、質点でも剛体でも同じです。 -- 前野?
- 要は、角速度ベクトルなるものは定義の仕方に依存するということです（質点でも剛体でも）。 -- 前野?
- そういう意味では実は角運動量もです（原点の位置に依存するので）。 -- 前野?
剛体の一般かつ瞬間の角速度ベクトル †
シェイシェ? (2022-06-13 (月) 18:13:35)
まずこの質問の目的を先に書いておきます。それは、p241のような例で、剛体がΘ一定で角速度ωのみがわかっている場合について、一般的な場合に対する特別な場合として、瞬間瞬間の角速度ベクトルがz軸の方向だと導けるようになることです。（瞬間というのが肝。瞬間的な運動だけでどうやって回転軸や角速度ベクトルを決めるのかを理解したい。もちろんp241が回転軸がわかっていることを前提にしているなら、それと角速度ベクトルが平行であることから角速度ベクトルはわかりますがそうでない場合）
まず、私の現状の理解としては質点と剛体で角速度ベクトルが違うことはわかっています。質点は瞬間の角速度ベクトルの定め方（(8.13））も知っています。しかし、質点の回転軸を角速度ベクトル以外からどうやって定義するか（p363や他の本にある角速度ベクトルの定義に回転軸が使われているから知る必要がある）と剛体の瞬間の回転軸および角速度ベクトルがどう定義されるかがわかっていません。これらのことが知りたいです。（角速度ベクトルはおそらく回転軸で定義されるのでしょう。）
この質問の背景は、質点と剛体の角速度ベクトルがどのように違うのか考えたところ、角速度ベクトルの定義は同じで、回転軸の定義の仕方が違うのではないかという考えに至ったことです。下の鉤括弧がその根拠です。
「p363のB4の最後の一文から書く速度ベクトルの定義がわかります。大きさが角速度の大きさで、向きが回転軸の向きということだと思います。これは、質点剛体共に成り立つのだと思います。つまり、角速度ベクトルの定義は質点と剛体で共通。
回転軸を質点の場合について考えると、質点では(8.13）から瞬間の角速度ベクトルがその角運動量と同じ向きに定義されていますから、回転軸は角運動量と平行です。
θが一定な場合の例が載ってます。質点では、p236の最下部の🗡8のところにある通り、回転軸はベクトルeθと平行です。それに対して、剛体ではp241にあるように回転軸がz軸と平行です。この回転軸の違いに質点と剛体の角速度ベクトルの違いがあるという解釈ができると思います。」
- しっかり理解していくと、力学を自由に扱えるようになっていくことが感じられ、学習していてとっても楽しいです。 -- シェイシェ?
- ありがとうございます。 -- シェイシェ?
- 質問が「瞬間的な運動だけで回転軸がわかるか」ということでしたら、わからないでしょう。p241の場合なら、ある程度動きを追いかけるから、「ｚ軸回りの運動」だとわかります。たとえば図の棒が今ちょうどｙｚ平面内にあって、ｘ軸の負の方向に運動しているとしましょう。その「瞬間の速度」だけがわかった場合にｚ軸周りに回転しているのか、ｙ軸回りに回転しているのかはわかりません。ｙ軸でもｚ軸でもない軸の周りかもしれないし、もしかしたらまっすぐにーｘ方向に並進していくかもしれない。 -- 前野?
- p241の棒の問題は、あくまで「こういう運動をしている」と知った上で「そのためにはどんな力や力のモーメントが必要？」ということを考えているものです。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- シェイシェ?
初等力学、解析力学、熱力学、電磁気学、量子力学以外の分野について †
SH? (2022-05-13 (金) 23:26:02)
よくわかる初等力学、解析力学、熱力学、電磁気学を購入して、分かりやすかったです。そこで、初等力学、解析力学、熱力学、電磁気学、量子力学以外の分野についての出版予定はありますか？
- 予定としては「よくわかる特殊相対論」が上がっているのですが、執筆が進んでないので出版予定は立っていません。 -- 前野?
P125 一番下の行について †
SH? (2022-05-09 (月) 11:12:16)
細かいですが、「時刻t1における曲線」は「時刻t1における接線」ではないでしょうか。
P175 保存則その1 6.1 †
TS? (2022-04-13 (水) 15:59:38)
（積分形の法則）右辺第二項∫(F/m)dtは∫[(F/m)dt]dtではないでしょうか？
- いや、これで合ってますが（ｄｔが二つもあると次元が合わないし）。 -- 前野?
- dv=Fdt/m を時間積分すると、左辺∫dvdt、右辺 1/m∫(Fdt)dt = 1/m∫(mdv)dt =∫dvdt となり左辺=右辺となりますが、これは間違いですか？ -- TS?
- 間違いです。というか、「積分する」という言葉の意味を勘違いされてるようです。積分とは「微小量を足し上げていく」事で、左辺で言えばdvという微小量を足し上げた結果は$\int dv=v-v_0$です。 -- 前野?
- 上記のご説明自体はわかるのですが、本文にある「少し書きなおしてdv = Fdt/mとして、これを時間積分・・」と言うことは右辺を積分する場合たとえば、Fdt = Aと置けば、右辺の -- TS?
- 右辺の時間積分は、1/m∫Adt = 1/m∫(Fdt)dtという式にならないのかな？という疑問です。 -- TS?
- 「Fdt/mを（何も掛けたりせずに）足し上げる」という操作を「時間積分する」と呼んでいます。そういう意味では左辺は時間積分はしてないことになります。 -- 前野?
44ページ FAQについて †
ST11? (2022-04-03 (日) 10:20:42)
上の物体には静止摩擦力が働かない事は、働けば絶対に釣り合いが保てなくなってしまうからだと、理解は出来ました。しかし、下の物体には、下向きの大きさNの垂直抗力が働いていますが、そこからはなぜ静止摩擦力が生じないかが理解出来ません。生じれば、結局は作用反作用の法則で上の物体に左右方向の力が働き、釣り合いが保てなくなってしまう事は分かります。ですが、下の物体に着目すると、理解が出来なくなってしまいます。NとN′には明確な違いがあるのでしょうか？31ページからの1.6.3のように垂直抗力をモデル化すれば理解出来るのでしょうか？
- う〜ん。上の物体に横向きの力が生じることはないことがわかっているなら、作用反作用の法則から下の物体にも上の物体からの横向きの力はない、という納得ができているなら、それがすべてだと思います（これに逆らうということは、作用反作用の法則を認めないということなので）。この違いはNとN'の違いというよりは「ｆがあるかないか」の違いです。 -- 前野?
- モデル化して考えるとすると、物体が長方形から微小に変形している、みたいなことを考えることになるんでしょうけど、どういうモデル化をしようが、「上の物体と下の物体の間に横向きの力が働かない」というのは一緒です。 -- 前野?
- そうですよね。作用反作用の法則から考えれば、上の物体から下の物体に働くの横向きの力はあり得ませんでした。作用反作用の法則は別々の物体で働く力の話なので、下の物体にだけ着目する事はしてはならないですよね。 -- ST110?
P47 力は自由ベクトル？束縛ベクトル？スライディングベクトル？ †
YY? (2022-03-16 (水) 22:57:05)
こちらの本にあったか忘れましたが、よく２質点系の２つの運動方程式を足して重心の運動方程式を導出する際、右辺は２つの質点にはたらく外力のベクトルの和になってますよね。この場合は、外力のベクトル起点を２質点間を自由に動かしてしまってると思うのですが、許されるのでしょうか？２つのベクトルの合ベクトルの作用線上に必ずしも重心が乗るとは限らないですよね。
- 力の作用点を動かすことで影響を受けるのは「力のモーメント」と「角運動量」に関する式で「力」および「重心の並進運動量」に対する式は影響を受けません。ですから問題ありません。作用線重心を通らないことの影響は、「重心周りの角運動量」に影響を与えますから、そちらを計算したいときには作用点を作用線方向以外に動かしてはいけませんが。 -- 前野?
- つまり右辺がｒ×Ｆのような作用点を作用線方向以外にうごかくすと変わってくるような物理量でないからＯＫということですね。ようやく「質点系の重心は、あたかも質点系の全質量に、あたかも質点系にはたらく力の合力が作用したかのようにふるまう」の意味が分かりました。ありがとうございます。しかしとすると、重心の運動方程式ともとの２質点の運動方程式は意味が違いますよね。重心の運動方程式は実際にそこに何かあるわけでもないし、何か作用しているわけでもなく、重心という位置ベクトルの動きを説明するための運動方程式（フィクション）ってことですね。 -- YY?
- さらに言えば、重心にはたらく力には反作用はありませんよね。慣性力と似てますね。 -- YY?
- 「重心にはたらく力には反作用はない」なんてことはありません。重心に働く力は「なにかの出した力」の和で、それぞれの力の反作用はその「なにか」に掛かってますから。 -- 前野?
- 重心の運動方程式がフィクションだというのも同意できません。「各質点の運動方程式」の和として、ちゃんと意味のある方程式です。すくなくとも「フィクション」などという「現実味がない」を意味する言葉で語るもんではないでしょう。 -- 前野?
- ありがとうございます。フィクションは言い過ぎですね。先生のおっしゃる「それぞれの反作用」はもともとの各質点が受ける力の反作用ですよね。わかりやすく２質点系で考えれば、重心の位置には質量のある何物もありませんから、力が働きようがありませんよね。とすれば、重心の運動方程式の言わんとするところは、重心の位置ベクトルは、そこに２質点の質量の和と同じ質量をもつ物体があったとして、そこにあたかも２質点が受ける力の合力と同じ力がはたらくときに、物体が描く運動と一致するということでいいのではないでしょうか？ -- YY?
- もちろん、重心の運動は（重心のその位置に実際に物体がいるかどうかには関係なく）重心の運動方程式で記述できますから、なんの問題もありません。「そこにあたかも２質点が受ける力の合力と同じ力がはたらくとき」のように設定をする必要もなく、重心は重心の運動方程式で、相対的な運動は相対的な運動の運動方程式で記述されているということでよいと思います。 -- 前野?
- たとえば中空のゴムボールの重心には少なくとも「ゴム」はありません（空気がある）が、それでも「ゴムボールの運動方程式」は重心の運動方程式としてちゃんと成り立つわけです。 -- 前野?
- 実際にはこの世界にある「目に見える物体」は全部構造があるわけで、その構造のある物体でも「重心の運動方程式」で重心の運動が決まるってのは運動の３法則からわかる、大事なことだというわけです。 -- 前野?
- 先生ありがとうございます。本当にすごいことですね。ところでもう一つ回転運動のほうなのですが、特に拘束がない場合、回転の中心が重心になることに関しても、同じような「重心を中心とした回転運動方程式」が自然と導かれるみたいなのがあるのでしょうか？まだ角運動量の章まで読み進められてないのですが、少しだけ先回りして、教えていただけませんでしょうか？ -- YY?
- 重心からみた相対運動（回転とは限らず振動の場合もあり）については10.4あたりで扱ってます。 -- 前野?
p215の変形の図について †
大学生? (2022-02-20 (日) 03:52:17)
$\Delta x$を作用点の移動距離とすると，$\Delta x'$と$\Delta x$は同じになるような気がします．
私はここの説明は，「手が物体にした仕事と，物体が手からされた仕事は同じ$F\Delta x$だが，運動方程式から$\Delta \(\frac{1}{2}mv_G^2\)=F \Delta x_G$であるので，重心運動エネルギー変化に寄与するのは$F \Delta x_G$であって，変形によって重心位置は左に寄るため$\Delta x_G <\Delta x$であるから，この差分の仕事が内部エネルギー（熱やポテンシャルなど）に変化する」というのが正しい気がするのですがどうでしょうか．
- ああ、たしかに。これを書いたときの私はちょっと勘違いをしていたようです。どちらも作用点の移動だとすると、$\Delta x=\Delta x'$ですね。おっしゃるとおり「物体がされた仕事」の方は重心移動の方で計算すべきです。 -- 前野?
- 図に書いてある説明が間違っているので、図の方を訂正しておきたいと思います。 -- 前野?
- これは私が定義をよくわかっていないのだと思うのですが，「$N$粒子系が外力のよりされた仕事」とは「各粒子がされた仕事の総和」なのでしょうか -- 大学生?
- それとも「重心にその外力が作用したと仮定した時の仕事」なのでしょうか．今回の場合前者だと物体がされた仕事は$F\Delta x$で，後者だと$F\Delta x'$となるため，この定義の差異が問題になると思います． -- 大学生?
- 個人的には物体の重心運動エネルギーの増分は$F\Delta x_G$ですが，物体自体の持つエネルギー増分は$F \Delta x$である（例えば熱や光や音はこのエネルギー増分から取り出される）ので，物体がされた仕事は「各粒子がされた仕事の総和」とした方が良い定義のように思えます． -- 大学生?
- 外からされた仕事は「外と接している部分がされた仕事」になります。この場合では$F\Delta x$ですね。これの他に「N粒子内部で働いた力（内力）」が仕事をしていて、その仕事も足したものが「全体のされた仕事」ということになります。 -- 前野?
- 似たような（しかしちょっと違う）状況は少し先の「8.6.3の車輪の加速」のところにあります。加速する車輪には「車輪を回そうとする力ｆが二つ」と「地面と車輪の間に働く力F」が働いてます。Fは仕事をせず、二つのｆは仕事をします。 -- 前野?
- Fは（車輪は接地点の速度０なので）仕事をしません。車輪のエネルギー増加はｆのする仕事によります。車輪と車輪を回そうとする物体をひとまとめに「N粒子の系」と考えれば「内力が仕事した」とみることもできるわけです。 -- 前野?
- 「外力のした仕事」と「内力のした仕事」を足してあげると「外力×（重心の移動距離）で計算される仕事（←これは擬似仕事と呼ぶ場合もあり）」になります（これは本には載せてませんが、証明可能です）。 -- 前野?
- ああそうか。確かにそうすると、図で$F\Delta x'$を「□のされた仕事」と書いてあるのは説明が足りないですね（ここだけ擬似仕事を計算することになっている）。 -- 前野?
- 補足しておくと、車輪の場合は外からの仕事０で、内力の仕事が車輪のエネルギー増加になります。一方この図の場合は、外部からの仕事が$F\Delta x$だが内力が負の仕事をする（そのとき熱だの変形だのでエネルギーが消費される）ので物体全体の力学的エネルギーの増加は$F\Delta x'$になっている（減ってる）ということになります。 -- 前野?
- このあたりの話は214で『する仕事とされる仕事の絶対値がずれる場合がある』例として入れてますが、その例としては動摩擦力とかが適切で、この話は「変形により仕事が失われる例」として出すべでした。ちょっと説明文にも手を入れます。 -- 前野?
- 図は改めて以下のように。 -- 前野?
- 要は「仕事」を「作用点の移動」で計算する方法と「重心の移動」で計算する方法があって、この二つを厳密に区別しようという立場では後者は「擬似仕事」と呼ばれてます。本ではそのあたりの説明をはっきりと書いてません（そこは説明不足な点です、申し訳ない）。 -- 前野?
p128注釈19の誤植第9刷 †
のらねこ? (2022-02-17 (木) 02:18:56)
ラグランジュの記法がニュートンの記法として紹介されています。
既出かもしれませんが念のため、、
- これ、物理では$\dot y$とか$y'$という書き方をひっくるめて「ニュートンの記法」と呼ぶことが多いのでこうしているのです。「ラグランジュの」という呼び方はあまりしない（ラグランジュさんごめん）。というわけで、$y'$を$\dot y$にしておくことにします。 -- 前野?
ᴘ170 糸の張力をmrω²より少しだけ大きくしてみる→md²r／dt²が負になる †
YN? (2022-02-10 (木) 18:05:23)
張力を大きくすると、mr(dθ／dt)²ーmd²r／dt²の「md²r／dt²」が負になる（rが小さくなる）の説明をもう少しお願いします。
- えっと、どの段階がわからないのでしょう？ 張力Tが大きくなるということは(5.17)の$\vec {\mathbf e}_r$の係数が（Tにはマイナス符号がついているので）小さくなる、というのは大丈夫でしょうか。 -- 前野?
- ということは、$m{d^2\over dt^2}-mr\left({d\theta\over dt}\right)^2$が小さくなります。第１項と第２項が変化する可能性がありますが、張力という力が半径方向に働くことを考えると、運動の変化もｒ方向に起こるはずと考えれば（このあたりの説明が足りなかったのかな？）第１項が小さくなるだろうと考えれられます。 -- 前野?
- ${d^2r\over dt^2}$は(5.18)の段階で０なので、その状態から小さくなる方向に変化したということは「負になった」ということで、ということはもともと変化してなかったｒが減少し始めるということになります。 -- 前野?
- ありがとうございます。ヒモにおもりをつけて振り回している手の力を緩めると、ヒモがスルスルとr方向に伸びていくのは、これと逆な理屈でしょうか？ -- YN?
- それはもちろんそうですね。 -- 前野?
- それはもちろんそうですね。 -- 前野?
- そうすると、今度は張力を一定のまま、回転速度dθ／dtをあげると、d²r／ -- YN?
- 張力一定のままdθ／dtを大きくすると、d²r／dt²も大きくなる、、 -- YN?
- dθ／dtを小さくすると、d²r／dt²も小さくなるってことですね。 -- YN?
- dθ／dtを小さくすると、d²r／dt²も小さくなるってことですね。 -- YN?
- どういう状況でその変化を起こすかにもよるので、必ずそうなるとも限らないですね。張力Tの方が変化する可能性も大いにあるので。 -- 前野?
よくわかる初等力学 †
堀田良憲? (2022-01-22 (土) 17:29:14)
・あまりにも訂正が多すぎて、書籍の中に書き込む作業が新たに発生し
大変です。第1番ずりを購入しましたが、訂正本を頂きたいです。
・また、よくわかるシリーズの熱力学や電磁気学も同様に誤記だらけでしょうか。購入しようと思っていますがいかがでしようか。それによっては検討しなおししようと思います。あまりにもひどすぎる。
- ミスが多くてすみません。訂正本が欲しいというのでしたら出版社の方に要求してください（要求が通るかどうかは、著者である私にはわかりかねます）。よくわかる初等力学にせよ他の本にせよ、間違いが発見されたときは修正してますので、新しい版になるほど減っていて、「誤記だらけ」ということはありません。「よくわかる初等力学」も第１刷からするとかなりミス部分はつぶせているはずです。 -- 前野?
P171 振り子の運動 †
TK? (2022-01-08 (土) 10:33:29)
スミマセン、式 (5.24) 左辺をどのように計算すると右辺になるのでしょうか？ 右辺から左辺の計算は理解できます。よろしくお願いします。
- すいません、うっかり見落としていて返事遅れました。右辺から左辺がわかるのでしたら、左辺から右辺は逆をやるだけのことです（積分というのはそもそも「微分したらこれになるものは何かなぁ？」と探して見つけるものです）。とっかかりとしては、${d\theta\over dt}=\omega$とおけば${d\omega\over dt}\omega$になって見つけやすいかもしれません。 -- 前野?
- ご説明ありがとうございます。dω -- TK?
- 計算はdω/dt∫ωd -- TK?
- 計算はdω -- TK?
- すみません、途中で送信されてしまいました。 計算はdω/dt∫ωdωdt/dω ＝∫ωdωでよろしいでしょうか？ ＝1/2ω＾2 -- TK?
- 計算式がちょっと変ですが、$\int \omega{d\omega\over dt}dt = \int \omega d\omega$ということなら、それでいいと思います。 -- 前野?
- 積分変数をdt=dωdt/dωのように置換して計算したのですが、これは間違いでしょうか？意味のない置換のように思いますが。 -- TK?
- 置換するのは間違いじゃないですが、上で「dω/dt∫ωdωdt/dω ＝∫ωdωでよろしいでしょうか？」と書いている、最初のdω/dtが積分の外に出ているのはおかしいです。 -- 前野?
- (dω/dt)ωの積分方法が解らなかったので、苦し紛れにdω/dtはどうせ何かの値だと考え積分の外へ出したら、置換した積分変数の一部と消去できたので、これでいいのかな？と思いました。数学的？におかしいでしょうか？ -- TK?
- そんな苦し紛れはだめでしょう。積分の中にある量は積分をしている間に変化していくものなのですから、積分の外に出してしまったら違うものを計算していることになります。積分の中から勝手に外に出してしまうのは、「１年間の総利益を求めよ」と言われて１月１日の利益を365倍してOKとするようなものです。 -- 前野?
- よくわかりました。お手数かけました。丁寧な御説明ありがとうございました。 -- TK?
- しつこくてすみません。積分の外へ出さず、積分内で置換した積分変数の一部と消去するのはOKですね。 -- TK?
- 積分の内側でやるなら間違ってません -- 前野?
- ありがとうございました。 -- TK?
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