「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板

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P204 演習問題8-3の(8.49)について

Shogo? (2022-08-21 (日) 14:52:04)

(8.49)の導出を教えていただきたいです。8.5ではεを角速度ベクトルのようにみて微小変位と結びつけてパラメータの微小変化を分解していましたが、剛体に固定されたframeの回転の場合はεを何と見ることで(8.49)を導出しているのでしょうか?


p224の(q,p+δp)のδtにおける位置の変化について

Jun? (2022-06-18 (土) 09:40:46)

p+δpのδtの変化ですが、本ではハミルトニアン(δpδtが掛かっている方)の偏微分がqの後pになっていますが、pの後qではないでしょうか。mathjaxの使い方が分からずこのような質問の書き方になりましたが、お願いします。


第4章

SH? (2022-05-25 (水) 10:06:41)

P91のFAQの下の行 


微分の計算について

大学一年生? (2022-03-29 (火) 03:09:55)

巻末の数学的知識の解説のお陰もあり本書はあまり問題無く読み進められているのですが、もっと初歩的な部分で自分の理解が足りていないと感じたのでこちらにご質問させていただきます。

$f(x(t), t) =X(x(t)) + T(t)$ とするとき、

$$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = \displaystyle\frac{\partial X}{\partial x}, \, \displaystyle\frac{\partial f}{\partial t} = \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t},$$

$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t} = \displaystyle\frac{\partial X}{\partial x} \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} + \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}$$

であり、$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ というものない(そのような量を考えることはない)、という理解は合っていますでしょうか。

同様に、$g(x(t), t) =X(x(t)) \, T(t)$ であった場合には

$$\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x} =\displaystyle\frac{\partial X}{\partial x} \, T(t) = \displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} x} \, T(t),$$

$$\displaystyle\frac{\partial g}{\partial t} =X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t} =X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t},$$

$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} t} =\displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} t} \,T(x) +X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} =\displaystyle\frac{\partial X}{\partial x} \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \, T(t) +X(x(t)) \, \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t}$$

であり、$\displaystyle\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}$ というものない(そのような量を考えることはない)ということでしょうか。

あるいは、$t \mapsto x(t)$ の逆写像 $x \mapsto t(x)$ を考えて

$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} = \displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} x} + \displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} \, \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x},$$

$$\displaystyle\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x} = \displaystyle\frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{d} x} \, T(t) +X(x(t)) \, \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} t} \, \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$$

のようにするのでしょうか。

また、これまで何冊か大学数学や物理の本を読んできて偏微分は(偏微分する変数以外を定数扱いするため例えば $X(x(t))$ を $t$ で偏微分するときに $x$ は $t$ の式として展開せずに「定数」 $x$ として扱うように)「中身の依存関係まで見に行かない」微分、(全)微分は(例えば $X(x(t))$ を $t$ で全微分するときに $x$ を $t$ の式として展開して微分したように)「中身の依存関係まで見に行く微分」というイメージを抱いているのですが、このような認識を持っていても大丈夫でしょうか。

このイメージのもとでは、上の例では($t$ は $x$ に依存しない量であるため、$t$ を $x$ の式として展開できない、すなわち「中身まで見に行けない」ため)$\displaystyle\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ や $\displaystyle\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x}$ などのような量は考えられないだろうと思いました。

初歩的かつ長い質問で申し訳ありませんが、ご回答いただけると大変幸いに存じます。よろしくお願いいたします。



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