#author("2018-09-01T23:28:09+09:00","","")
#author("2018-09-02T07:52:23+09:00","","")
#mathjax

*「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板 [#f859e7cb]

[[よくわかる解析力学サポートページに戻る>http://irobutsu.a.la9.jp/mybook/ykwkrAM/]]

-[[mathjax>http://www.mathjax.org/]]を使って、TeX形式で数式を打てるようにしてあります。$または$$(もちろんほんとは全角じゃなく半角の「ドル」です)で囲んで入力してください。
-spam避けに、httpを含む文章と、英字のみの文章は登録できなくしてあります。

&color(Red){「サポート掲示板3」が不具合で書き込めなくなりましたので作りました。こちらに書き込んでください。};

#article
**P134~P135 5.3.3変数の消去 [#c6960f1a]
>[[白上吹雪]] (2018-09-01 (土) 17:18:18)~
~
(5.88)の2つ上の文で、{Q★}の方は「拘束条件を解いてしまうと消えてしまう座標」であり、拘束条件G(j)=0を解いた後ではQ(i)=Q(i)({q✳})のように{q✳}だけで書き直すことができ、{q✳}の方だけが座標になるものとする。とありますが、~
・どうして{Q★}は拘束条件を解くと消えてしまうのですか?{Q★}に対して拘束条件を解くということが呑み込めません。~
・拘束条件G(j)=0を解いた後では、上文のようにQ(i)を{q✳}だけで書き直すことができるとありますが、そもそも座標変換の時にQはqだけの関数なのではないのですか?拘束条件G(j)を解くことでそのように書き直すことができる理由が分かりません。~
・(5.92)では、拘束条件を代入すると(5.87)のラグランジアンの要素{Q★}は、{Q★({q✳})}になるのは、上の拘束条件を解くとは、拘束条件を代入することですか?~
・どうしていきなり(5.96)=0が言えるのですか?~
質問が多くて申し訳ありません。~

//
- たとえば、すぐ上に書いてありますが$x^2+y^2+z^2=a^2$という拘束条件(つまりは物体が半径$a$の球上にあるという拘束条件)があったとしましょう。これは極座標では$r=a$ということです(この場合、$Q$が$r$です)。拘束がなければ$r$はれっきとした座標ですが、拘束条件があれば定数ですから「拘束条件を代入してしまうと座標としての意味がなくなって、$a$という定数になってしまう」変数です。 -- [[前野]] &new{2018-09-01 (土) 18:09:51};
- この例では$r$という変数が定数になってしまうわけですが、もっと一般的な例では、$Q$という変数が他の変数$q$で表されるようになってしまう、ということもあり得るわけです。 -- [[前野]] &new{2018-09-01 (土) 18:15:13};
- 拘束条件を解かなければ、$Q$はあくまで「$Q$という独立な変数」です。それがなんらかの拘束条件を使って「解いた」結果として$q$の関数になっちゃった、という場合がここで考えてる状況です。 -- [[前野]] &new{2018-09-01 (土) 18:16:39};
- (5.92)はもちろん、$Q$を$q$で表して代入した結果です。 -- [[前野]] &new{2018-09-01 (土) 18:17:19};
- (5.96)は$G=0$が言えるのだから、その$G$を$q$で微分したって0でしょ、という式です。 -- [[前野]] &new{2018-09-01 (土) 18:18:16};
- 拘束条件を代入するとQ(=r)が定数としたら、Qはqという変数で表すとなんだか変数のようにみえてしまいます。それとも、Qは定数だがその値はqという変数で変わってしまうということですか? -- [[白上吹雪]] &new{2018-09-01 (土) 23:13:55};
- G=0でもそのGの微分は0になるとは限らないと書いてあったのですが、この時は少し状況が違うのでしょうか?この場合のGは、qとQの要素をふくんでいるので、たとえ拘束条件を代入してQが定数になっても、拘束条件にはqとQが関わっているのでその微分は拘束の制限を越えてしまいうので0とは限らないのではないと思いました。きちんと微分を計算するにしてもどんな式か分からないのもあります。 -- [[白上吹雪]] &new{2018-09-01 (土) 23:28:09};
- たとえばシンプルな例として$a,b,c,d$という変数があるが$G=a+b+c+d$という拘束がついているとしましょう。この場合、$b,c,d$が決まれば$a$は決まってしまいます($a$は独立な変数ではありません)。 -- [[前野]] &new{2018-09-02 (日) 07:48:10};
- $G=0$だが微分が0でないのは(本でも説明してありますが)拘束の外れる方向へ微分する場合です。 -- [[前野]] &new{2018-09-02 (日) 07:49:36};
- 先の例だと、$a$は$b,c,d$で決まる量になって、$a(b,c,d)$という従属変数($b,c,d$の関数)になってしまっています。これを$b$で偏微分($c,d$を止めて$b$で微分すれば、${\partial a(b,c,d)\over\parital b}+1$となりますが、$a(b,c,d)=-b-c-d$だから偏微分の結果は$-1$です。 -- [[前野]] &new{2018-09-02 (日) 07:52:23};

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**9.6.3節外力なしの無重力場での対称コマの運動 [#a62224d0]
>[[荻野正規]] (2018-08-30 (木) 19:09:37)~
~
 8月19日ご回示ご指導有難うございました。更に、貴前野本とランダウ本を読み比べた結果下記の結論に達しました。①無重力無拘束条件に於ける対称こまの考察に関して、貴本7.3.2節の内容は、ランダウ本の内容と完全に合致している。(オイラーの運動方程式とエネルギ保存と角運動量大きさ保存だけに基づき自励歳差運動までを描出)~~
②重力拘束条件於いて、天頂角θとその時間微分に関するオイラーラグランジュ方程式を解く事による章動運動(mutation)の考察は細部を除いて両本(貴本9.6.4節/ランダウ本3章問題1の解)で実質的に合致している。~~
③貴前野本は無重力無拘束条件に於いても章動が存在する事を9.6.3節にて記している。然るにランダウは、対称コマの対称性に関する潜在観念から、天頂角θは一定であるとした。~~
(ランダウはラグランジアンを求めているので、天頂角θとその時間微分に関するオイラーラグランジュ方程式から容易に章動が存在する事を予測し得た筈なのに。。。)~~
 そこで、質問です。~~
Q1. 自由空間の対称こまに関して、貴本及びランダウ本にも記されている通り、エネルギ保存と角運動量大きさ保存から、天頂角θ一定の自励歳差運動による主回転軸軌跡だけが求まります。この結果は章動運動(天頂角θの早い時間変化)の余地を否定するような気がするのですが、どう解釈するべきでしょうか?~~
Q2. 章動運動まで考慮した場合、エネルギ保存の式または角運動量大きさ保存の式を修正する必要があるのでしょうか?~~

//
- ランダウはあくまで「角運動量がz軸を向いている場合」を考えているので、そこで主張しているのは「そういう場合ではθが一定だ」ということだと思います。そうでない場合にはθが変化しても構わない。つまり自由空間の対称コマは、座標軸を選ぶことにより「θが一定」にもできるし、そうしなくても構わない、というだけの話だと思います。 -- [[前野]] &new{2018-09-01 (土) 18:20:58};
- 「章動」という言葉がどこまでを表現しているのか、私は厳密なる定義を知りませんが、実際に起こる運動に関しては合致しているのであれば、特に問題があるように思えません。外力が係ることによる章動(摂動?)に関してはどんな外力が係るかに応じて考えるべきことかと思います。 -- [[前野]] &new{2018-09-01 (土) 18:25:53};

#comment

**P66  角度θを用いた梯子の表現について [#mf852b80]
>[[白上吹雪]] (2018-08-29 (水) 19:39:56)~
~
P65の(x,y)では、xがδx変位すると手のする仕事は、-2Fδxとなるのに、P66の角度θの表現では、角度θがδθ増える場合の仮想変位で、手のする仕事が-Fδθ(d(Lsin))/dθとなるのは、どうしてですか?~

//
- この場合、(図を見るとわかるように)$2x=L\cos\theta$なので、同じ式ですよ。 -- [[前野]] &new{2018-08-29 (水) 21:16:09};
- 返信ありがとうございます。そうのですが、私の分からないところは、何故δθにd(Lsinθ)/dθが掛かっているのかです。2δxは変位の距離なら、δθd(Lsinθ)/dθも距離と言うことなのでしょうか? -- [[白上吹雪]] &new{2018-08-29 (水) 22:39:34};
- $2x=L\cos\theta$に$x\to x+\delta x,\theta\to \theta+\delta \theta$という変化を加えると、$2x+2\delta x=L\cos\theta+\delta \theta{\mathrm d(L\cos\theta)\over\mathrm d\theta}$となります。 -- [[前野]] &new{2018-08-30 (木) 06:59:55};
- というわけで、$\delta \theta{\mathrm d(L\cos\theta)\over\mathrm d\theta}$も変位距離です。 -- [[前野]] &new{2018-08-30 (木) 07:02:56};
- つまり、2(x+δx)=Lcos(θ+δθ)で、cos(θ+δθ)→[加法定理]→ cosθcosδθ-sinθsinδθ → cosθ-sinθδθ → cosθ+δθ(dcosθ)/dθ という解釈で大丈夫でしょうか? -- [[白上吹雪]] &new{2018-08-30 (木) 17:02:00};
- 加法定理使ったんなら、そのまま$-\delta\theta\sin\theta$でいいんではないかと思いますが、そういう計算です。 -- [[前野]] &new{2018-08-30 (木) 17:12:26};
- -δθsinθをδθ(dcosθ)/dθのように表せた理由はありますか? -- [[白上吹雪]] &new{2018-08-30 (木) 20:37:03};
- $\cos(\theta+\delta\theta)=\cos\theta+\delta\theta{\mathrm d\cos\theta\over\mathrm d\theta}$というのは微分の意味(定義)そのものです。「理由」というより、そういうものを我々は微分と呼びます。 -- [[前野]] &new{2018-08-30 (木) 21:20:33};
- 少し基礎が抜けていました。自分でもまた見直してきます。回答ありがとうございました。 -- [[白上吹雪]] &new{2018-08-30 (木) 23:48:09};

#comment

**時間に露わに依存する正準方程式について [#z6a0cfee]
>[[すや]] (2018-08-27 (月) 19:09:02)~
~
 (9.40)式で変分原理から正準方程式を導かれていますが、この場合は時間に露わに依存していない場合です。時間に露わに依存する場合、δHから(∂H/∂t)δtの項が出てきてしまうと思うのですが変分原理から正準方程式を求める手法は時間に露わに依存する場合でも可能なんでしょうか?~
 またpp.244-246で正準方程式が共変である条件として(10.10)が示されていますが、これも時間に露わに依存しない場合です。(10.81)は時間に露わに依存する場合だと思うのですが、ここで(10.10)が適用されています。なぜ適用が可能なのでしょうか?~

//
- (9.40)で取っている変分は運動方程式を出すための変分なので、tの関数としてのp(t)とq(t)は変化させてますが、tは変化させてませんので、δtの項は出ません。 -- [[前野]] &new{2018-08-27 (月) 22:38:37};
- それは10章の10.3.2のような場合でも同じなのでしょうか?ここではラグランジアンが明らかにtが変化しうると思うのですが? -- [[すや]] &new{2018-08-27 (月) 23:52:32};
- 同じです。変分原理でやっている計算というのはあくまで力学変数である量(x(t)やらp(t)やら)を変える(別の関数へと置き換える)という話です。tはその変数のラベルでしかありません(tは力学変数じゃありません)。 -- [[前野]] &new{2018-08-27 (月) 23:59:07};
- 「ラグランジアンが明らかにtが変化しうる」という意味は何ですか?? ここで取っている変分は、tを固定して各点各点のp(t)やq(t)を変えてますので「明らかにtを変化させたりしてません」。 -- [[前野]] &new{2018-08-28 (火) 00:03:40};
- なお、(10.10)のあたりで示しているのはポアッソン括弧が不変だということです。それは変数と変数の関係の話で、ハミルトニアンに時間があらわに含まれているかどうかと別のお話です。 -- [[前野]] &new{2018-08-28 (火) 00:04:52};
- ここでx(t)という関数を変えているのであってtを変えているのではない、というのは、37ページあたりで変分と微分が交換する条件の話でy(x)でyを変えてxは変えてない、という話と同じです。そこを読み返してみてください。「y(x)という関数の変分を取る」というのと「xを変化させる」というのは全く別の操作です。 -- [[前野]] &new{2018-08-28 (火) 00:08:21};
- わかりました、ありがとうございます。もう一つ質問させてください。p.266で時間依存する場合でも基本ポアッソン括弧が変化しないなら任意のポアッソン括弧は両方の座標で変化しないとありますが、これを一般的に証明する際はどのようなアプローチを取れば良いのでしょうか? -- [[すや]] &new{2018-08-28 (火) 00:23:46};
- それはやってみれば、時間の関数であることはあまり関係ないということがわかると思います。ポアッソン括弧という計算は「ある瞬間(固定されたt)」の中で閉じてますから。 -- [[前野]] &new{2018-08-28 (火) 00:39:18};
- 固定されたtとは、例えばqやpで偏微分しているから固定されてると言う理解で良いのでしょうか? -- [[すや]] &new{2018-08-28 (火) 00:50:05};
- というより、計算の中でそもそもtを変化させる場所がどこにもないでしょ(ポアッソン括弧の計算の中には)。 -- [[前野]] &new{2018-08-28 (火) 00:56:23};
- そうですね、わかりました。夜分遅くに回答ありがとうございました。 -- [[すや]] &new{2018-08-28 (火) 01:02:23};

#comment

**サポートページまとめのお願い [#t2e61c1c]
>[[yougoemon]] (2018-08-23 (木) 13:10:39)~
~
サポートページでの読者と前の先生のやり取りを、「よくわかる解析力学」の該当ページの昇順に、記載し直した資料を作成していいただくことはできないでしょうか?~
 現在、「よくわかる解析力学」を読んでいますが、今読んでいる章について、過去にどのようなやり取りがされたのかを参照するには、現在の掲示板では過去の一つ一つの掲示板を見なければならず、とても大変です。身勝手なお願いですが、ご検討願います。~

//
- 誠に申し訳ありませんが、現状そんなことをやる余裕はないです。時間的精神的余裕ができたときに考えます。 -- [[前野]] &new{2018-08-23 (木) 16:38:50};
- 多くの読者のためにも、余裕ができたときにご検討願います。 -- [[yougoemon]] &new{2018-08-23 (木) 18:41:29};
- 多くの読者のためにも、余裕ができたときにご検討願います。 -- [[yougoemon]] &new{2018-08-24 (金) 06:18:22};

#comment

**p40(2.49)の下の文について [#ne763b3d]
>[[大2]] (2018-08-18 (土) 16:05:44)~
~
なぜdXとdYがそれぞれr'とrの変分であると考えられるのですか?~

//
- $F(X,Y)$というのは一般式で、そこに$X=r',Y=R$を代入したら$\sqrt{(r')^2+r^2}$になる、というふうに考えてます。ですから$r'$であるところの$X$の変化は$\delta r'$と考えられます($\delta r$の方も同様)。 -- [[前野]] &new{2018-08-18 (土) 16:15:50};
- dXがdrならわかるのですが、δr -- [[大1]] &new{2018-08-18 (土) 16:54:22};
- この場合drとδrは等しいと考えられるのなぜですか? -- [[大1]] &new{2018-08-18 (土) 16:55:20};
- δを使ってようがdを使ってようが、「微小な変化」という意味に違いはないんで、等しいというより同じものが別の記号で書いてあるだけのことです。 -- [[前野]] &new{2018-08-18 (土) 17:40:04};
- ここでδを使っている意味は、rというのを一つの変数でなく「関数」だと考えているからです(くどく書くなら「$r(\theta)$」です)。変数rの微小変化ならdrと書くところを、関数$r(\theta)$がθの各点ごとに微小変化$\delta r(\theta)$するとして考えてます。そういう意味の違いから文字を変えていますが「微小変化である」という点は一緒なので、偏微分の式はそのまま使ってます。 -- [[前野]] &new{2018-08-18 (土) 17:43:15};
- 理解できそうな気がしてきました。もう少し考えてみます。解答ありがとうございました。 -- [[大2]] &new{2018-08-18 (土) 19:14:41};

#comment

**9.6.3節外力なしの無重力場での対称コマの運動ではθは一定の筈 [#t1b2f964]
>[[荻野正規]] (2018-08-18 (土) 13:14:02)~
~
 貴本9.6.3節ではオイラーの天頂角「θは周期的に振動する」旨 記されています。~
しかし、ランダウの力学英語本第3版の35章オイラー角の式(35.4)には、[θ の時間微分≡0]~
と明記されています。~
 失礼ながら、ランダウの方が正しくて、貴本の方が間違いではないでしょうか?  ~
ご回示ご指導宜しくお願い致します。 2018/8/18荻野~

//
- ランダウの35章をチェックしてみましたところ、「角運動量ベクトル(${\mathbf M}$)とZ軸を一致させる」「$x_1$軸をline of nodes(節線?)と一致させる」という2つの条件を置いているようです。9.6.3節のθはランダウが書いているθとは違うものになってます(私の本では角運動量はz軸を向いてませんから)。 -- [[前野]] &new{2018-08-18 (土) 14:02:49};
- ランダウの計算の方は追いかけてませんが、詳しくみた結果違いがわかったらまた報告します。 -- [[前野]] &new{2018-08-18 (土) 14:04:15};
- 「よくわかる解析力学」のp183の(7.48)からの式で$L_x=L_y=0$にしてやるとたしかに$\dot\theta=0$になります。ランダウの本の該当箇所ではそういう状況を選んだということになってます(確かにこう選ぶと楽です)。 -- [[前野]] &new{2018-08-19 (日) 10:18:45};
- 9.6.3節外力なしの無重力場での対称コマの運動 -- [[荻野]] &new{2018-08-30 (木) 17:46:30};

#comment







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-[[よくわかる解析力学サポート掲示板(2014年まで)]]
にあります。


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