「よくわかる解析力学」（東京図書）サポート掲示板 †
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P136について †
珈琲? (2019-03-15 (金) 01:14:38)
いくつか質問があります。
・(5.36)の左辺が0になることに関してですが、
「(5.36)の左辺はGjが{q*}、{Q★}の関数であることを考慮すると、∂Gj/∂qiとみなせる。また、Gj({q*}、{Q★})=0により{Q★}はq*の関数とすることが出来るので、GjはGj({q*}、{Q★({q*})})となり独立変数としては{q*}のみを持つことになる。したがって、Gj({q*}、{Q★({q*})})=0というのは{q*}をどのように変化させても0になることを意味しているので、∂Gj/∂qi=0としてもP135の補足とは状況が違うので問題ない。以上から左辺は０となる。」
という理解でよろしいでしょうか。
・P136で「最後についている∂Qj/∂qiの意味を考えよう」とありますが、これは結局何を意味しているのでしょうか。自分としては、「Gj=0により{Q★}が{Q★({q*})}と表わされるため、Gj({q*}、{Q★({q*})})をqiで偏微分するときに連鎖律的についてくるもの」、以上の意味を見出せませんでした。
- 訂正です。1つ目の質問で記した(5.36)は全て(5.96)のことです。 -- 珈琲?
- 計算はそのとおりです。また「意味を考えよう」というのは以下の文章で考えていることで、こう考えれば${\partial Q_k\over\partial q_i -- 前野?
- 計算はそのとおりです。また「意味を考えよう」というのはその後の文章で考えていることで、こう考えれば${\partial Q_k\over\partial q_i}$が出てくることがわかるね、というだけのことです。 -- 前野?
(3.79)について †
珈琲? (2019-03-05 (火) 01:38:36)
(3.79)におけるLは(3.76)の被積分関数を採用していると解釈しました。
その際、$ \frac{\partial L}{\partial (\frac{\partial f}{\partial x})} $
は、このページでは$ \frac{\partial f}{\partial x} $ と表記されていますがいますが、Ｌにはこの項は2乗として入っているので、$ 2 \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right)$ ではないのでしょうか。
- 確かに、それぞれ２がつくべきですね。右辺が０なので両辺を２で割るという操作をすると消えるのですが、消すのが早すぎたようです。 -- 前野?
- サポートページに訂正を入れました。その後の式でもところどころに２が必要です。 -- 前野?
- 承知しました。お答えいただきありがとうございます。 -- 珈琲?
正準方程式を正準変換でない変換で導く †
後野? (2019-01-31 (木) 23:45:10)
正準変換でない変換の場合、p265でハミルトニアンを変え、作用を変えたようにして、作用を新しく作り、運動方程式を導くことはできますか。
- 正準変換でない変換って具体的にどんなのですか、作用を変えたら運動方程式が変わるのが普通です（正準変換なら変わらない。正準変換でないけど同じ運動方程式を出すような別の作用がある場合はある）。 -- 前野?
- 一口に「作用を変え」と言ってもいろいろあるわけで、運動方程式は一般には変わります。それは普通、ぜんぜん違う力学系を見ていることになります。 -- 前野?
- ハミルトニアンをあたらしくKとしたように、κ＝H＋∂G/∂tとして、(10.7) (10.9) を用いて、∂/∂Q(∂G/∂t)＝-∂H/∂Q(1-J) 、∂/∂P(∂G/∂t)＝(1-J)∂H/∂Pとなればよいのですが、そのような∂G/∂tはいつでも用意できるのでしょうか。Jが定数の場合はそのようなGがないことは分かりました。 -- 後野?
- (10.7) (10.9) を用いて、∂/∂Q(∂G/∂t)＝-∂H/∂Q(1-J) 、∂/∂P(∂G/∂t)＝(1-J)∂H/∂Pとなればよいの というのは∂κ/∂p＝dq/dt、∂κ/∂q＝-dp/dtとなるためです -- 後野?
- そういうことがしたいのなら、その微分方程式を解けばよいので、解ける場合ならあるということだと思います（Jが定数なら$G=\int H\mathrm dt(1-J)$でいいような）。 -- 前野?
- Jによっては解がありません。${\partial G\over\partial t}$が積分可能条件を満たしてなかったら確実にだめだと思います。 -- 前野?
- わかりました。計算が煩雑だったので正準変換を今後は用います。ありがとうございました。 -- 後野?
オイラーラグランジュ方程式と作用 †
後野? (2019-01-31 (木) 22:21:51)
P213でオイラーラグランジュ方程式を作用の変分が0になることで導出しています。作用はqに関して停留することは、運動方程式からわかりますが、pに関して停留するとは言及されていません。それゆえ、この導出は不完全だと思います。逆に、正準方程式があるから作用はpに対して停留すると言えることは正しいと思います。
- qに関して停留と書きましたが、詳しくいえばv＝∂q/∂tの関係がある上での停留です。 -- 後野?
- 作用というのはそもそも変分したら運動方程式が出てくるように作るもの、というのが本書の立場です。正準形での作用は独立変数がpとqであるように作ります。作った結果がp、qで書いた作用です。そういう意味では正準方程式が出るように作った作用です。 -- 前野?
- ｑを変数とする作用$\int L\mathrm dt$を、変数を$p,q$の二倍にして、さらに$p$と$q$の関係が（やはり変分原理から）出てくるようにしたのが$p,q$で書かれた作用$\int(p\dot q-H)\mathrm dt$だ、と言ってもいいかもしれません（一つ前の節で、$p$がラグランジュ未定乗数とも解釈できることを書きました）。 -- 前野?
- 要は「ｐで変分したら０」というのは作用を作ったあとで証明が必要になるようなことではなく「そうなるように作るのが作用というものだ」ということです。で、$\int (p\dot q-H)\mathrm dt$が実際そうなっていることが確認できるわけです。 -- 前野?
- わかりました。ありがとうございます。 -- 後野?
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