![[PukiWiki]](image/pukiwiki.png "[PukiWiki]")
#author("2021-09-19T13:42:14+09:00","irobutsu","irobutsu") [[よくわかる解析力学サポート掲示板]]に戻る **文字の統一 [#sb7ec89c] >[[きょんきょん]] (2021-03-22 (月) 10:16:36)~ ~ 3.3の梯子の質量mが第２段落でだけ大文字になっています。些細な間違いですが念のためお伝えいたします。~ // - 問3-2の図中の半径が小文字になっています。 -- [[きょんきょん]] &new{2021-03-22 (月) 11:21:08}; - ありがとうございます。確かに間違ってます。次の刷で訂正します。 -- [[前野]] &new{2021-03-22 (月) 18:37:44}; #comment **ラグランジアンとハミルトニアンによる変分 [#bdbaad45] >[[yamashita]] (2021-03-10 (水) 21:57:43)~ ~ 「作用」の変分やっと分かりました！ありがとうございます。~ 質問が３つあります。~ まず、作用でIを使っているときと、Sを使っているときは意図的に書き分けられているのですか？あるとすれば何なのですか？（p89とp90）~ ~ 次に、作用の変分を取る時に、ラグランジアンを使った際はδxとδｖですが、結局δxにまとめることができています。これはｖが結局はxの時間微分だからですよね？ラグランジアンのxとvは独立ではないのでしょうか？~ ~ 最後に作用の変分にハミルトニアンを使ったときは最後までδqとδpでこれらは独立です。もちろんqとpを独立に取ったから、というのは分かるのですが、やはりxとｖの様にqとpも関係していて、δqとδpは何かで結ばれてないのでしょうか？~ （結局「作用」の変分の独立な成分はいくつなのでしょうか？）~ // - 変分を取る時点では、δｐとδｘは完全に独立です。ｐとｘの関係は正準方程式で決まります。変分は運動方程式（正準方程式）を求めるためにやっていて、変分を取ることで正準方程式が求まって、その結果でｘとｐの関係が決定します。 -- [[前野]] &new{2021-03-11 (木) 19:53:47}; - ラグランジアンの場合のｘとｖについては$v={dx\over dt}$という関係は運動方程式が出る前からわかってます。そこがｘ，ｐとの違いです。 -- [[前野]] &new{2021-03-11 (木) 19:54:35}; - ありがとうございます。変分はハミルトニアンを使った場合の方がより広い概念になるのですね。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-14 (日) 22:00:44}; - では、ハミルトニアンを使った変分原理で求まった正準方程式から実質的にv=dx/dtという関係が出てきますが、ラグランジアンの場合にすでのこれを使っているのはただの幸運だったのですか？ -- [[yamashita]] &new{2021-03-14 (日) 22:02:43}; - それとも、ラグランジアンでv=dx/dtと分かっているから、これが正準方程式で出てきたのでしょうか？ -- [[yamashita]] &new{2021-03-14 (日) 22:03:50}; - あと、IとSの関係も教えてもらえるとうれしいです。すみません。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-14 (日) 22:04:14}; - IとSに別に使い分けはありません。 -- [[前野]] &new{2021-03-15 (月) 06:34:43}; - ラグランジュ形式とハミルトン形式は設定が違うというだけのことで、v=dx/dtなのは幸運なわけではないです（そんなはずがない）。ハミルトン形式では変数の数を増やしてる（ｘからｘとｐへと）ので、その代わり、運動方程式が一階微分になっている（ラグランジュ形式ではｘの二階微分）というだけのことです。 -- [[前野]] &new{2021-03-15 (月) 06:37:38}; - v=dx/dtというのはｖの定義みたいなものなので、ラグランジュ形式でもハミルトン形式でも同じです。ハミルトン形式で出てくる新しい式は、ｖとｐの関係です。 -- [[前野]] &new{2021-03-15 (月) 06:38:39}; - 解析力学の基本はラグランジュ形式で、その時点ではｘとｖを使ってラグランジアンが書けている（このときのｖはdx/dtだと最初から決まっている）。新しい変数ｐを使ってｖが出てこないようにしたのがハミルトン形式で、新しい変数ｐとｖがどういう関係にあるかは正準方程式で出てくるようになっている、ということです。新しい変数ｐはラグランジュ未定定数と考えることもできる、という話は9.1.4でも書いています。 -- [[前野]] &new{2021-03-15 (月) 06:43:52}; - お返事ありがとうございます。「新しい変数ｐとｖがどういう関係にあるかは正準方程式ででてくるようになっている。」とありますが、一般化運動量p=∂L/∂vですでに関係づけられているのではないのでしょうか？ -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 04:43:28}; - ハミルトン形式でqとpの変分を独立に取ろうにも、p=∂L/∂vで縛られていて、それが反映された結果が正準方程式に再度表れている、ということはないのでしょうか？ -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 04:46:12}; - 「ハミルトン形式で考える」ときは、出発点がハミルトニアンであって、変数はx,pです。ラグランジアンも、速度vも、「後から導かるもの」です。だから「すでに関係づけられている」のではなく、出発点では関係はありません。 -- [[前野]] &new{2021-03-16 (火) 06:21:45}; - H(q,p)と、正準方程式があれば、そこからv=dx/dtがどうなるかは出てきますから「運動方程式を使えば決まる」という意味では縛られていますが、逆に言えば「運動方程式を出す前は決まってない」ので変分できます。 -- [[前野]] &new{2021-03-16 (火) 06:23:27}; - 分かったかも知れません！オイラーラグランジュの方程式が成り立つ条件下（現実の運動）にp=∂L/∂vの定義を与えると、正準方程式が出てくる。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 19:19:23}; - しかし、ハミルトン形式ではp=∂L/∂vを使わず、x,pを独立に変分を取って、初めて正準方程式が出てくる。 -- [[yamshita]] &new{2021-03-16 (火) 19:20:50}; - なので、δpとδqha -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 19:24:16}; - すみません。なので、δpとδqは独立に取って良い。p=∂L/∂vに縛られることはない。ということですね！ -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 19:25:15}; - ありがとうございます！もう少しですっきりしそうです。がんばります。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-16 (火) 19:26:54}; - ありがとうございます！分かりました！ハミルトン形式の変分原理でもp=∂L/∂vの条件を課してオイラーラグランジュの方程式の導出もできました！ -- &new{2021-03-17 (水) 20:52:20}; - 「p=∂L/∂vの条件を課して」というのが「後からそういう条件をつける」という意味なら、そうではないです。ハミルトン形式では、まず$H(p,q)$が与えられていて、変分原理から正準方程式$\dot x={\partial H\over\partial p}$と$\dot p=-{\partial H\over\partial x}$を得ます。この後で「$p\to v=\dot x$のLegendre変換をしよう」と思い立ってLegendre変換することで、$L$が導かれます。そして、今考えたLegendre変換の逆変換として、$p={\partial L\over\partial v}$が導かれます。つまり、 -- [[前野]] &new{2021-03-18 (木) 06:38:13}; - $p={\partial L\over\partial v}$は「課す条件」ではなく「必然的に導かれた結果」です。 -- [[前野]] &new{2021-03-18 (木) 06:38:56}; - お返事ありがとうございます。「ラグランジアンもvも後から導かれるもの」ということからすると、p=∂L/∂vは課す条件ではない、ということですね。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-18 (木) 20:23:55}; - ですが、ならばなぜ、ハミルトン形式でハミルトニアンのルジャンドル変換した、後でラグランジアンの変分を取ろうとしたのでしょうか？変数変換以外にラグランジアンを導出しようとしているわけですよね？ -- [[yamashita]] &new{2021-03-18 (木) 20:26:03}; - 「後でラグランジアンの変分を取ろうとした」⇒「後でラグランジアンという名前がつく量の変分を取ろうとした」です。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-18 (木) 20:27:46}; - ハミルトン形式はハミルトン形式だけで閉じる（そこだけで話が終了する）ので、ラグランジアンの変分を取る必要はないです（やらなきゃ困るわけではない）。ラグランジュ形式←→ハミルトン形式と相互に移りたいならそういうことをしますが（相互に移りたいと思わないならそんなことをする必要はもちろんない）。 -- [[前野]] &new{2021-03-18 (木) 22:42:41}; - うまく表現できなくてすみません。ハミルトン形式で議論を始めたとき、「なぜ作用がpv-Hの積分であると分かったのでしょうか？」という意味なのです。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-18 (木) 23:00:14}; - ハミルトン形式の出発点をどこに取るかはいろんな立場があると思いますが、作用の変分を出発点に取る立場なら、「なぜ作用が$p\dot x-H$の積分なのか」と言われても「それが出発点だから」としか言いようがないです。それはラグランジュ形式で「なんでラグランジアンの積分が作用なの？」というのと同じです（どっちも答があるとしたら「運動方程式が出てくるように、そうする（作用とは変分により運動方程式が導かれるものだ）」ということになると思います。 -- [[前野]] &new{2021-03-18 (木) 23:08:07}; - なお、立場としてはそもそも正準方程式が出発点にしてしまう場合もありですし、後で出てくるPoisson括弧を出発点にして「HとのPoisson括弧が時間微分」というのが正準方程式の出し方、と見る立場もありです。ハミルトニアンを出すときはラグランジアンや作用積分を経由することが多いですが、そうでなくちゃいかん、ってわけではないです。ラグランジュ形式を経由する場合なら、作用がpv-Hの形なのは「元のラグランジュ形式から、LをLegendre変換したのがHだから」ってことになります。 -- [[前野]] &new{2021-03-18 (木) 23:12:35}; - お返事ありがとうございます。「p→vのルジャンドル変換をしよう」と思った動機は正準変換でしょうか？ -- [[yamashita]] &new{2021-03-21 (日) 22:15:42}; - すみません。正準変換ではなく正準方程式です。正準方程式でv=∂H/∂pが得られたため、vとpが独立ではないことに気づいたため、ルジャンドル変換しようと思った、ということでしょうか？ -- [[yamashita]] &new{2021-03-21 (日) 22:17:41}; - Legendre変換しようと思う理由なんて色々でしょうから、答えられません。一生「Legendre変換しよう」と思わないままでも別に良いわけだし。 -- [[前野]] &new{2021-03-21 (日) 22:34:34}; - ルジャンドル変換が可能だ、と判断した理由ならどうでしょうか？vとpが完全に独立ならルジャンドル変換は無理ですよね？ -- [[yamashita]] &new{2021-03-21 (日) 22:44:18}; - 「完全に独立なら」ってどういう意味ですか？${dx\over dt}={\partial H\over\partial p}$という関係があるからこそ、Legendre変換するわけですよね。というか、そういう関係があるからこそLegendre変換できる（Legendre変換というのは、変数を$x$から${\partial f\over\partial x}$に変えるという返還です。 -- [[前野]] &new{2021-03-21 (日) 22:49:07}; - そういう意味で「Legendre変換ができる」と気づく理由が正準方程式だというのは正しいです。 -- [[前野]] &new{2021-03-21 (日) 22:49:51}; - そもそもｖとｐが完全に独立だという意味が理解できないので、「無理ですよね」と言われると「そもそもその前提が無理です」というのが返事になります。 -- [[前野]] &new{2021-03-21 (日) 22:50:49}; - ハミルトン形式ではqとpをど独立なものとして扱う様に、正準方程式が出てくる前はvとpが独立という見方なのですが。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-21 (日) 22:53:39}; - ハミルトン形式はｘとｐが独立ですが、ｖは${dx\over dt}$なんですから「ｘの微分」で、それは正準方程式で決まります。その正準方程式があるから、Legendre変換したいと思えばできる・・・ということです（というのは、ご自分でも言っていることですね）。 -- [[前野]] &new{2021-03-21 (日) 22:55:37}; - 本の中ではon-shellという言葉を使ってますが「運動方程式を使って求まる関係」と「運動方程式を使う前から決まっている関係」は別です。${dx\over dt}={\partial H\over\partial p}$はon-shellの方の関係式ですね。運動方程式を使わなければ、「ｖは${dx\over dt}$だ」という関係（これは定義）があるだけです。 -- [[前野]] &new{2021-03-21 (日) 22:57:48}; - どうもどこに引っかかっておられるのかがわからないんですが、上にも書いたように、$v={dx\over dt}$は定義で、これはどちらの形式でも変分して運動方程式を出す前から決まっている関係です。ハミルトン形式では独立な変数はｘとｐで、これらの時間微分がわかれば運動は全部わかるが、それは正準方程式から -- [[前野]] &new{2021-03-21 (日) 23:03:01}; - 決まる、ということです。正準方程式の${dx\over dt}={\partial H\over\partial p}$を見れば「ルジャンドル変換できる」とわかるということになってます。 -- [[前野]] &new{2021-03-21 (日) 23:04:21}; - ラグランジュ形式の方では、ｘとｖ$={dx\over dt}$が独立で、ｘの二階微分が運動方程式で決まる。 -- [[前野]] &new{2021-03-21 (日) 23:04:52}; - ただ、ラグランジュ形式のｘとｖは独立と言いましたが、ある経路を考えると厳密には独立じゃなくて関係がついているので、変分取るときは注意する。結果、オイラー・ラグランジュ方程式が出てくる、というストーリーです。 -- [[前野]] &new{2021-03-21 (日) 23:07:22}; - もう一度かきますが、ハミルトン形式では$v={dx\over dt}$は「運動方程式で出てくる（${\partial H\over \partial p}$だと決まる）もの」という扱いです。なので、変数として独立だろうか独立じゃないんだろうか、ということをそもそも気にしません。 -- [[前野]] &new{2021-03-21 (日) 23:08:45}; - ラグランジュ形式とハミルトン形式は等価ですよね？しかし変分を取る際にラグランジュ形式では配位空間で考え、ハミルトン形式では位相空間で考えています。ラグランジュ形式の時にxとvは変分に関しては結局独立でないわけですが、このことがハミルトン形式のどこかに隠れているのではないかと考えてしまうのです。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-22 (月) 11:54:21}; - ラグランジュ形式では2階微分方程式で、ハミルトン形式では1階微分で済む、のは納得しているのですが、変分を取る空間の次元には反映されないのでしょうか？ -- [[yamashita]] &new{2021-03-22 (月) 11:57:24}; - ですので、正準方程式のv=∂H/∂pがその役割(ラグランジュ形式でのxとvとの関係)を反映しているのかと考えたわけなのです。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-22 (月) 12:01:19}; - 結局、位相空間でxとｐは独立と言いながら、なんとか変分を取る自由度をラグランジュ形式に合わそうとしている、と言われてしまいそうですが。。。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-22 (月) 12:08:00}; - より広い概念であるハミルトン形式をスタート地点とすると、①xとpは独立なものとして変分原理を適用して正準方程式を得る。②正準方程式からv=∂H/∂pであると分かり、pの自由度が消える。③pの自由度が消えた配位空間を考え、ルジャンドル変換をして、配位空間内で変分を取って、オイラー・ラグランジュ方程式を得る。と考えたわけです。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-22 (月) 12:12:24}; - ②の「ｐの自由度が消える」というのは「ラグランジュ形式に持っていく（ハミルトン形式を離れる）」ということですか。それならそうですが、その場合は③のオイラー・ラグランジュ方程式は①で出た正準方程式をもう一度確認しているだけということになります。 -- [[前野]] &new{2021-03-22 (月) 18:29:06}; - ラグランジュ形式では変分を取る変数としてはｘが独立でその替りに出てくる微分方程式が二階（だから初期値は初期位置と初速度の二つが必要）。 -- [[前野]] &new{2021-03-22 (月) 18:30:25}; - ハミルトン形式ではｘとｐが変分を取る変数として独立だが、出てくる微分方程式は一階なので初期値はｘとｐの初期値があればよい（${dx\over dt}$と${dp\over dt}$の初期値は問題を解くには必要ない）。ということで、どちらで考えても勘定は同じということになってます。 -- [[前野]] &new{2021-03-22 (月) 18:32:08}; - 「ラグランジュ形式に持っていく（ハミルトン形式を離れる）」ということhaそれならそうですが、その場合は③のオイラー・ラグランジュ方程式は①で出た正準方程式をもう一度確認しているだけということになります。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-22 (月) 19:49:30}; - また誤送信すみません。「ラグランジュ形式に持っていく（ハミルトン形式を離れる）」ということは、③のオイラー・ラグランジュ方程式は①で出た正準方程式をもう一度確認しているだけということになる。確かにそうです。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-22 (月) 19:50:55}; - ありがとうございます。微分方程式の初期値で考えるとその通りです。自分は変分の自由度と初期値の個数を混同しているのだと思います。オイラー・ラグランジュ方程式はon-shellの運動方程式を求めるために変分の自由度はｘのみで良いが、運動方程式が得られた後は初期値は2つ必要で、 -- [[yamashita]] &new{2021-03-22 (月) 19:58:04}; - ハミルトン形式では、on-shellの運動方程式を求めるために、変分の自由度はｘ、ｐの２つが必要で、運動方程式が得られた後も初期値が２つ必要。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-22 (月) 19:59:27}; - ここを納得できる様に勉強します。頭では納得しているのですが。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-22 (月) 20:02:34}; #comment **ダンベールの原理から作用積分を使う必要性 [#ld0eba31] >[[yamashita]] (2021-03-01 (月) 20:33:52)~ ~ p87の(4.6)式はポテンシャルの様な「なにか」を作るのは分かるのですが、~ そしてそれが(4.8)の様な形になるのも分かります。~ ですが、なぜ(4.9)の作用が必要になるのかわかりません。~ 「なにか」＝作用積分なのでしょうか？~ 作用積分のgradientを取っても、"ma-F"が出てこないと思うのです。~ // - 取っているのはgrad（つまり微分）ではなく、もっと複雑な「経路を変形するという変分」をとっていて、その結果が運動方程式になる、という説明をそこでしているのですが。。。。 -- [[前野]] &new{2021-03-01 (月) 21:05:14}; - 変分を取る相手である「なにか」はもちろん作用積分です。 -- [[前野]] &new{2021-03-01 (月) 21:06:16}; - なるほど！微分ではないのですね。変分とはこういう意味なのですね。ありがとうございました。比喩が分からないのは私に適性がないからなんでしょうか？難しさの方向性が色々で苦しんでいます。 -- [[yamashita]] &new{2021-03-01 (月) 22:27:46}; - 具体的にどういう計算をしているのかは書いてある（オイラー・ラグランジュ方程式については付録にありますが）ので、具体的に何をやっているのかを確認しながら読み進めて見て下さい。 -- [[前野]] &new{2021-03-01 (月) 23:07:28}; #comment **p.49 式(2.87)から(2.88)において、 [#zbe06835] >[[大学生]] (2021-01-19 (火) 17:10:55)~ ~ yプライムの2乗の式から変数分離する際、プラス、マイナス2通りになると思いますが、なぜプラスのみ書かれているのでしょうか？~ // - 特に説明は入れてませんが、p47の図のような状況を考えていると、dyとdxの符号は等しいことはわかるので、マイナスを考える必要はないです。 -- [[前野]] &new{2021-01-19 (火) 19:06:40}; - 理解しました。ありがとうございます。 -- [[大学生]] &new{2021-01-29 (金) 23:33:53}; - 理解しました。ありがとうございます。 -- [[大学生]] &new{2021-01-30 (土) 15:25:24}; #comment **ばね定数について [#tcd568c4] >[[学生]] (2021-01-04 (月) 15:06:00)~ ~ p.164でばね定数をkΔxとしていますが、こうすると長さを短くすれば比例してばね定数は小さくなってしましせんか（比例の式であるため）？反比例しなくてはいけないでのこの式になるのはおかしいと感じました。~ // - よく読んでください。ばね定数は$k$で、$k\Delta x=\kappa$はばね定数とは別の定数です。「バネ定数に$\Delta x$を掛けた、$\kappa=k\Delta x$」と書いてありますね。 -- [[前野]] &new{2021-01-04 (月) 17:47:16}; - $\kappa=k\Delta x$が$\Delta x$によらない、ということは、$\Delta x$が$N$倍になれば$k$が${1\over N$}$倍になるとうことです。-- [[前野]] &new{2021-01-04 (月) 17:47:46}; - もっと注意深く読むように心がけます。丁寧にご説明いただきありがとうございます。 -- [[学生]] &new{2021-01-05 (火) 17:55:00}; #comment **D.81について [#b35f02b4] >[[物理屋気取りのPT]] (2020-12-30 (水) 07:20:45)~ ~ 右辺はzではなく、xになりますでしょうか？自分の勘違いでしたらすみません。~ // - ここでは重力mgが働いているのはｚ方向なので、ｚになります。 -- [[前野]] &new{2020-12-30 (水) 10:20:14}; - 御回答頂き、ありがとうございます。 -- [[物理屋気取りのPT]] &new{2020-12-30 (水) 20:53:05}; #comment **p109 9行目 [#q7d9d021] >[[学生]] (2020-12-19 (土) 22:51:23)~ ~ p109 9行目のポテンシャルが相対座標であらわされるようになったことで、10行目の等式が導かれるのはなぜですか？~ // - 合成関数の微分だと考えてください。$V(\vec X)$が$\vec X$の関数で、$\vec X=\vec x_1-\vec x_2$だとして、$\vec x_1$での微分と$\vec x_2$での微分を比較します。 -- [[前野]] &new{2020-12-19 (土) 23:12:51}; - 合成関数を微分してででくるところまではわかるのですか、なぜこの2つがイコールで結ばれるのかがわかりません。 -- [[学生]] &new{2020-12-20 (日) 16:38:38}; - ややこしいのでベクトル記号は書かずに、1次元だとして書きます。${\partial V (X(x_1,x_2))\over\partial x_1}={\partial V(X)\over\partial X}{\partial X (x_1,x_2)\over\partial x_1}$と${\partial V (X(x_1,x_2))\over\partial x_2}={\partial V(X)\over\partial X}{\partial X (x_1,x_2)\over\partial x_2}$ までは大丈夫でしょうか。 -- [[前野]] &new{2020-12-20 (日) 20:59:45}; - だったら、$X=x_1-x_2$なので、${\partial X\over\partial x_1}=1,{\partial X\over\partial x_2}=-1$です。 -- [[前野]] &new{2020-12-20 (日) 21:00:42}; - 丁寧に説明してくださりありがとうございます。理解することができました。 -- [[学生]] &new{2020-12-21 (月) 15:05:58}; #comment **第5刷 [#i034c81d] >[[yamamoto]] (2020-12-11 (金) 00:38:41)~ ~ P360 D.81式右辺はxではなくzではないでしょうか？~ ~ P361 D.82式左辺の分母は3乗ではなく2乗ではないでしょうか？~ // - P199 8.26式左辺はδSではなくSではないでしょうか？ -- [[yamamoto]] &new{2020-12-12 (土) 12:09:00}; - ｐ３６０については、これはｚに訂正します。 -- [[前野]] &new{2020-12-12 (土) 12:45:26}; - ｐ３６１の（D.82)については、３乗で正しいです。${1\over|\vec x-\vec x_{\rm E}|}$の微分$\vec\nabla\left({1\over|\vec x-\vec x_{\rm E}|}\right)$は${\vec x-\vec x_{\rm E}\over|\vec x-\vec x_{\rm E}|^3}$になります。 -- [[前野]] &new{2020-12-12 (土) 12:48:15}; - これは$|\vec x-\vec x_{\rm E}|=\left((\vec x-\vec x_{\rm E})\cdot(\vec x-\vec x_{\rm E})\right)^{1\over2}$としてちゃんと微分すると出てきます。 -- [[前野]] &new{2020-12-12 (土) 12:49:30}; - ｐ１９９の(8.26)の左辺は$\delta \bar S$で正しいと思います（変化量なので） -- [[前野]] &new{2020-12-12 (土) 12:50:10}; #comment **P194 (8.9)式 [#rb01085f] >[[大学生]] (2020-12-03 (木) 17:29:11)~ ~ すなわちの後どのように導出したのか教えてください。~ // - 導出というよりは、微分や変分の定義に戻っただけです。今、$\vec x_f\to \vec x_f+\vec \epsilon$という変化をしたときの$\delta \bar S$つまり、$\delta\bar S=\bar S(\vec x_f+\vec\epsilon,\vec x_i)-\bar S(\vec x_f,\vec x_i)$を考えているわけです。 -- [[前野]] &new{2020-12-03 (木) 17:48:30}; - $\vec\epsilon$が微小なら、$\bar S(\vec x_f+\vec\epsilon,\vec x_i)-\bar S(\vec x_f,\vec x_i)={\partial \bar S\over\partial \vec x_f}\cdot \vec \epsilon$というのが、偏微分係数の定義ですので、これを使えば$\delta\bar S={\partial \bar S\over\partial \vec x_f}\cdot\vec\epsilon$と書けます。 -- [[前野]] &new{2020-12-03 (木) 17:50:13}; - よって${\partial \bar S\over\partial \vec x_f}\cdot\vec\epsilon={\partial L\over\partial \dot{\vec x}}\cdot\vec\epsilon$で、$\vec\epsilon$は任意の微小量だから、$\vec\epsilon$の各成分の係数が等しいとおけば「すなわち」以降の式になります。 -- [[前野]] &new{2020-12-03 (木) 17:52:41}; - 理解できました。ありがとうございます。 -- [[大学生]] &new{2020-12-07 (月) 17:54:18}; - 理解できました。ありがとうございます。 -- [[大学生]] &new{2020-12-07 (月) 21:32:29}; - ありがとうございました。横から失礼します。 -- [[物理屋気取りのPT]] &new{2020-12-28 (月) 19:04:20}; #comment **（第6刷） ひととおり読み終わりました。 [#oe5de12f] >[[川西]] (2020-11-28 (土) 14:20:25)~ ~ 最後まで通して読み終わりました。~ ~ とてもわかりやすく書かれていて助かりました。他の教科書や著名ウェブサイトを見ても何のために何をやっているのかさっぱりわからなかったところが、この本では利点や目的が丁寧に説明されていて、よくわかりました。式変形で悩むこともなく、別のページで説明されている事柄は参照先が書かれているのでいちいち探す必要もなくて読みやすかったです。~ このようなわかりやすい本を書いていただきありがとうございました。~ 一度ですべてを習得することはできないのでまた読み直したいと思います。~ ~ あと以下のようにいくつか局所的に疑問がありました。複数あってすみません。急ぎませんので時間は気になさらないでください。~ &color(red){（前野）ありがとうございます。後ろに書くと対応がわからなくなりそうなので、色を変えて個別に書きます。}; ~ 《はじめに》~ (1) pⅲの下から7行目の「考えて込んで」は「考え込んで」でしょうか。~ (2) pⅳの枠の中の10行目の「どういう学問を知りたい」は「どういう学問かを知りたい」か何かでしょうか。~ &color(red){（前野）以上２つはおっしゃる通りです。}; ~ 《目次》~ (3) pⅺの7行目に「第12章 おわりに―解析力学と物理」とありますが、p298の第12章のタイトルは「さいごに―解析力学と物理」になっています。~ &color(red){（前野）「おわりに」で統一します。}; ~ 《第1章》~ (4) p15の下から4〜3行目の「角度座標は（2次元では(𝑟,𝜃)の𝜃）は、」は括弧の外の前後で「は」が重複しているようです。~ &color(red){（前野）「角度座標」のあとの「は」は取ります。}; (5) p16の【補足】1行目の「ineratial」は「inertial」だと思います。~ &color(red){（前野）「inertial」に修正します。}; ~ 《第2章》~ (6) p38の(2.41)の次の行の「𝛿𝑦(𝑥₂)」は「𝛿𝑦(𝑥₀)」だと思います。~ &color(red){（前野）$\delta y(x_0)$に修正します。}; ~ 《第3章》~ (7) p61の(3.21)の次の行の下の薄い「(C.12)」は「(C.9)」だと思います。~ (8) p70の図の中の「V」（4か所）は「U」ではないでしょうか。「第２刷で訂正されました。」とありますが第6刷で訂正されていないようです。~ (9) p71脚注†19の1行目の「𝑥で微分して𝑎𝑦が出る」は「𝑥で微分して−𝑎𝑦が出る」ではないでしょうか。~ (10) p71脚注†19の3行目の「$F_y=ay$」は「$F_y=ax$」だと思います。~ ~ 《第4章》~ (11) p92の(4.16)で3行目だけ積分の上端と下端が書いてありませんが、1〜2行目と同じ$t_i$から$t_f$まででよいでしょうか。~ (12) p110の(4.84)の次の行の「ラグラジアン」は「ラグランジアン」だと思います。~ ~ 《第5章》~ (13) p113の(5.5)の4行下の行の「式でててくる」は「式ででてくる」でしょうか。~ (14) p119の(5.30)の左辺第2項の「$|_{r,\dot\theta}$」は直前の括弧の中に入るのではないでしょうか。~ (15) p119の(5.32)の左辺第2項の「$|_{r,h}$」は直前の括弧の中に入るのではないでしょうか。~ (16) p130の2行目の「、物体」は「物体、」でしょうか。~ (17) p137の【問い5-4】の1行目の「𝑋tan𝜃」は「−𝑋tan𝜃」だと思います。~ ~ 《第6章》~ (18) p140の9行目の「呼ばれる）。」の閉じ括弧に対応する開き括弧が見つかりません。~ (19) p141の図の中の式で「𝑈(𝑥₀)」と「𝑈′(𝑥₀)」には場所を表す引数がついていますが、「𝑈″」（2か所）と「𝑈‴」にはそれがありません。~ (20) p143の右下の図の中の「$\frac{h^2}{m^2 g^2 l^2}$」は「$\frac{h^2}{2m^2 gl^3}$」ではないでしょうか。~ (21) p143の下から2〜1行目の「$\cos\theta≧0$の範囲（つまり$0≦\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲）」とありますが、cos𝜃=0 を含めるなら 𝜃=𝜋⁄2 も含まれるし、𝜃=𝜋⁄2 を含めないなら cos𝜃=0 も含まれないと思います。~ &color(red){（前野）これは、$\theta={\pi\over2}$は$\cos\theta\geq0$とは別の理由（$\sin\theta=0$になってしまって(6.18)を満たさない）ので省いているのですが、その説明がないのでわかりにくくなってます。説明を直します。}; (22) p154の6.3.1節タイトルの次の行の「三体連成振動（右の図のように、」の開き括弧に対応する閉じ括弧が見つかりません。~ (23) p158の(6.70)の右辺はこれに$\sum_p Y_p$をかけて縮約したものになるのではないでしょうか。もしくは右辺をそのままにするなら左辺は$T_{np}$ではないでしょうか。（$Y_p, T_{np}$は直後のpp160-161に出てくるベクトルや行列の成分）~ &color(Red){ここは、一つのp（とりあえずいろんなｐを考えるのは面倒だから一つに固定する）に対する$y_n$を考えて「これでどうかな？」と試行錯誤している途中の式、と考えてください。}; (24) p159の(6.72)の5行下の行に「両辺」とあり、(6.74)の次の行に「右辺」とありますが、「両辺」が存在するような「=」を含むような式が近くにありません。~ (25) p159の(6.75)の次の行の「$2\mathrm i\sin\frac{\alpha}{2}$」は「$-2\mathrm i\sin\frac{\alpha}{2}$」ではないでしょうか。2乗するので結果は同じですが。~ (26) p161の【補足】の下から2行目の「一周分」は「2p周分」ではないでしょうか。~ (27) p162の5行目の「グランジアン」は「ラグランジアン」だと思います。~ ~ 《第7章》~ (28) p177の(7.24)の左の式の右辺の$\omega$は$\vec{\omega}$でしょうか。~ (29) p184の7.2.5節のタイトルの「軸に回りに回っている」は「軸の回りに回っている」か何かでしょうか。~ (30) p190の【演習問題7-4】の「細い円板」は「薄い円板」でしょうか。~ ~ 《第9章》~ (31) p205の下から5〜4行目の「オイラー・ラグランジュ・ラグランジュ方程式」は「オイラー・ラグランジュ方程式」でしょうか。~ (32) p206の9.1.2節タイトルの次の行の「ラグラジアン」は「ラグランジアン」だと思います。~ (33) p212の(9.31)の次の行の$v(t)$は$v_i(t)$ではないでしょうか。~ (34) p218の2行目の「𝑦軸」は「𝑞軸」か何かでしょうか。この付近の文章に𝑦軸は登場しないようです。~ (35) p230の(9.74)の左辺の∑()内第2項の()内第1項の2つ目の偏微分の「𝜕𝐵」は「𝜕²𝐵」だと思います。~ (36) p230の(9.75)の右辺に「{𝐵,𝐶}」があるなら、左辺と中辺に$\sum_j$が要ると思います。~ (37) p237の(9.93)の4行下の行の下とp238の(9.96)の次の行の下に薄い「(7.41)」がありますが、特に後者は「(7.40)」だと思います。前者はどちらでもいいかもしれませんが。~ (38) p239脚注†34の「$\dot{\psi},\dot{\phi},\dot{\psi}$」は「$\dot{\psi},\dot{\theta},\dot{\phi}$」だと思います。~ (39) p241の(9.109)の左辺がハミルトニアンの「𝐻」ですが、この節（と【演習問題9-4】）ではコマの軸先〜重心の距離が「𝐻」と定義されていて右辺第4項にもそれが出てくるので記号が重複しています。~ (40) p242の【演習問題9-4】の2・3・11行目に「対称ゴマ」とありますが、1行目と前節では「対称コマ」になっています。~ ~ 《第10章》~ (41) p250脚注†12の「【問い10-2】」が本文並みの大きい字になっています。~ (42) p252の(10.26)と(10.27)に定数𝐴と𝛼がありますが、直前のp251にも𝐴と𝛼が出てきて、両者は別物だと思いますが記号が重複しているようです。~ (43) p259の(10.58)の右の式の︸の下の「dQ」の位置が下にずれているようです。~ (44) p263脚注†24の「凸関数でない」の下に薄い「→ p254」とありますがp254のどこを参照しているのかわかりませんでした。~ (45) p275脚注†36の「からもしれない」は「かもしれない」でしょうか。~ (46) p278の【演習問題10-3】の2行目に「パラメータ𝛿」とありますが、(10.137)には「𝛿」がなくて代わりに「𝜖」があります。~ ~ 《第11章》~ (47) p283の右上の図の中の「𝑡₁−𝑡₀」（3か所）は「𝑡−𝑡₀」でしょうか。~ (48) p283の10行目の$p_i$は（量は同じですが）$\alpha_i$か$P_i$ではないでしょうか。~ (49) p283の13行目の真ん中ら辺に「パラメター」とありますが、11〜12行目や下から2行目や脚注†8では「パラメータ」になっています。~ (50) p283脚注†6とp284の1行目に「$\vec{x}_0$」・「$\vec{x}_1$」がありますが、これは$\vec{x}_0$の成分が$x_i^{(0)}$で$\vec{x}_1$の成分が$x_i$という意味でいいでしょうか。~ (51) p287脚注†12の右辺第1項の分母の「2A」は「2」だと思います。~ (52) p290の4〜6行目に「(11.40)の二つの複号をともに+と取った関数の勾配」とありますが、その場合$\frac{\partial \bar S}{\partial y}=-\sqrt{2m\left(E_y-mgy\right)}\leqq0$になるので、2番目の複号が+のときに下降で−のときに上昇ではないでしょうか。~ (53) p295の下から4行目の「𝑟」は「𝑟₀」ではないでしょうか。~ ~ 《第12章》~ (54) p300とp302のページのいちばん上に「第12章 おわりに―解析力学と物理」とありますが、p298の第12章のタイトルは「さいごに―解析力学と物理」になっています。~ ~ 《付録A》~ (55) p306の下から2行目の「用意に」は「容易に」だと思います。~ (56) p310の(A.27)の前の行の「$(a^{-1})_{ji}$」は「$(a^{-1})_{ij}$」ではないでしょうか。~ ~ 《付録B》~ (57) p319の(B.5)の2行上の行の「二階微分微分可能」は「微分」が重複しているようです。~ (58) p319の(B.6)の3〜2行上の行の「表現すれば書けば」は動詞が重複しているようです。~ (59) p327脚注†7は本来は『未定常数』という書き間違いの例が説明されるところだと思いますが、最初から「未定乗数」と正しい表記が書いてあるので書き間違いの例になっていないようです。~ (60) p330のB.5.1節タイトルの前の行の「transfomation」は「transformation」だと思います。~ (61) p332の(B.60)の2行上の行の「𝑦を微分」は「𝑦で微分」だと思います。~ ~ 《付録D》~ (62) p346の【問い2-1】のヒントで「縦の高さ」・「横の高さ」とありますが、それらは「高さ」ではないと思います。~ (63) p349の【問い10-4】のヒントの「(10.56)の両辺を𝑝を一定として𝑞で微分」は「(10.56)の両辺を𝑞を一定として𝑝で微分」だと思います。~ (64) p350の【問い10-10】のヒントの(D.16)の最右辺の第2項はマイナスだと思います。~ (65) p351の【問い11-1】のヒントとp368の【問い11-1】の解答で「$x_i^{(1)}」・「t_1$」とありますが、問題では「$x_i$」・「$t$」になっていました。~ (66) pp357-358の【問い5-2】の解答で「U」とありますが、問題では「V」になっていました。~ (67) p360の【問い7-3】の解答で(D.79)から(D.80)に続いていますが、(D.80)はこれの2倍ではないでしょうか。~ (68) p360の【問い8-1】の解答の1行目の「に、、」は読点が重複しています。~ (69) p363の【問い10-5】の解答の2行目の「𝑝=𝑝(𝑄,𝑃(𝑄,𝑃))」は「𝑝=𝑝(𝑞,𝑄(𝑞,𝑝))」ではないでしょうか。~ (70) p364の【問い10-8】の解答の(D.102)の1〜2行下の行の「独立であるとした書き直している」は「独立であるとして書き直している」か何かでしょうか。~ (71) p366脚注†1に「$\frac{\partial x}{\partial p_x}$など」・「$\frac{\partial p_x}{\partial x}$など」とありますが、そのような成分はないので、「$\frac{\partial x}{\partial p_r}$など」・「$\frac{\partial p_x}{\partial r}$など」か何かでしょうか。~ (72) p368の【問い10-12】の解答の続きの「$p_y-\frac{qB}{2}x$が定数」は「$p_y+\frac{qB}{2}x$が定数」だと思います。~ (73) p368の【問いA-1】の解答の(D.125)の右の式の3行目のベクトルの第1成分の第3〜4項の「+𝑐𝑔𝑥+𝑐ℎ𝑦」は「+𝑏𝑔𝑥+𝑏ℎ𝑦」だと思います。~ (74) p369の【問いA-3】の解答の続きの3行目の「𝑃≠𝑙」は「𝑝≠𝑙」だと思います。~ ~ 《付録E》~ (75) p1wの【演習問題1-3】のヒントの(E.2)の左辺に余分な縦線があります。~ (76) p3wの【演習問題4-2】のヒントの(E.11)の左辺第2項の「$m$」は「$m_i$」だと思います。~ (77) p7wの【演習問題9-4】のヒントの図とp26wの【演習問題9-4】の解答の図（2か所）の中で「$\theta,p_\theta$が一定を保つ点」とありますが、その点を通る瞬間だけ微分が0になるだけで有限時間そこにとどまることはできないので「一定を保つ」ことはないのではないでしょうか。~ (78) p8wの【演習問題10-3】のヒントの1行目の「$\{Q_j,Q_k\}_{Q,P}$」は「$\{Q_j,Q_k\}_{q,p}$」ではないでしょうか。「$\{Q_j,Q_k\}_{Q,P}$」は計算するまでもなく直ちに0だと思います。~ (79) p10wの【演習問題1-2】の解答の続きの3行目の「紙面（𝑥-𝑦面）に垂直な成分」は「紙面（𝑥-𝑦面）に平行な成分」ではないでしょうか。~ (80) p13wの【演習問題4-2】の解答の1行目の「$\dot{\vec{x}}_i$」は「$\ddot{\vec{x}}_i$」ではないでしょうか。~ (81) p23wの【演習問題8-3】の解答の続きの(E.139)の最後の行の分子の第3項の「sin²sin𝜃」は「sin²𝜃」ではないでしょうか。~ (82) p23wの【演習問題8-3】の解答の続きの(E.140)の1行目の右辺の分子の第4項の「sin𝜓」は「cos𝜓」ではないでしょうか。~ (83) p27wの【演習問題10-1】の解答の(E.152)の次の行に「$\frac{\partial x}{\partial p_x}$など」とありますが、そのような成分はないので、「$\frac{\partial x}{\partial p_r}$など」か何かでしょうか。~ (84) p27wの【演習問題10-1】の解答の(E.154)の右の2番目の式の右辺第3項の「$-\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}$」は「$-r\sin\theta\frac{\partial}{\partial z}$」ではないでしょうか。~ (85) p28wの【演習問題10-1】の解答の続きの(E.157)の左の行列式の「$\left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi & -\sin\theta\sin\phi \\ r\sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\ r\cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|$」は「$\left|\begin{array}{ccc} \sin\theta\cos\phi & r\cos\theta\cos\phi & -r\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta\sin\phi & r\cos\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{array}\right|$」ではないでしょうか。~ // - 途中ですがお返事ありがとうございます。サポートページの訂正にそのまま載った項目は掲示板上で個別のお返事はなくても構わないです。私が間違えて解釈しているところをご指摘いただければ幸いです。お手数ですみません。 -- [[川西]] &new{2020-11-30 (月) 08:38:40}; - わかりました。疑問が晴れました。ありがとうございました。 -- [[川西]] &new{2020-12-26 (土) 16:09:56}; #comment **（第6刷） 10.2.1 正準変換による作用の変化と母関数 [#kd3d836e] >[[川西]] (2020-11-06 (金) 16:24:45)~ ~ p255でラグランジアンに $\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$ を足しても正準方程式が変わらないところがよくわかりません。そのあとに続くいろいろな例のように、 𝐺 には 𝑞, 𝑝 が入っていると思います。正準方程式を導くための変分においては、端点で 𝑞 を固定して、 𝑝 はどうするのでしょうか。~ ~ pp213-214 の「9.2 変分原理からの正準方程式」で作用の変分から正準方程式を出したときは、そこの脚注†⁸に書いてあるように端点で 𝛿𝑝 を0にする必要はありませんでした。端点で 𝛿𝑝 を0にしないなら $\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$ を加えたものを変分を取ったら端点での 𝛿𝑝 が影響して値がずれる心配がありませんか。~ ~ そうではなくて端点で 𝛿𝑝 も0に固定するのだとすれば、なぜ第9章では固定する必要がなくて第10章では固定するのでしょうか。~ そして pp90-91 の【FAQ】では、端点での位置の変分を0にする理由は、答えを1つに決める（力学的自由度×2個の条件を定める）ためでした。それなら、端点での 𝑞 だけでなく 𝑝 も固定したら条件が多すぎにならないのでしょうか。~ // - すいません、この質問を見落としてました。まず端点で$\delta p$を０にする必要があるかないかですが、実は運動方程式には関係ありません（どっちでもいい）。変分$p\to p+\delta p$を取ったときの変化は$\int \left( \delta p \dot q - {\partial H\over\partial p}\delta p +{\mathrm d\over\mathrm dt}\left({\partial G\over\partial p}\delta p\right)\right) \mathrm dt$となります。 -- [[前野]] &new{2020-11-18 (水) 14:36:13}; - この最後の項は実は${\partial G\over\partial p}\delta p\bigr|_{t=t_f}-{\partial G\over\partial p}\delta p\bigr|_{t=t_i}$という表面項になって、時刻$t_i$と時刻$t_f$以外の時刻$t$の$\delta p(t)$はこの項には入ってません。よって運動方程式を出す（ある時刻の$\delta p$の係数を取り出す）と、この項は（端点の$\delta p$を０にしたかどうかによらず）関係なくなります。-- [[前野]] &new{2020-11-18 (水) 14:39:10}; - 部分積分したときに表面項が残るかという点では$\delta p$の端点での値は関係しますが、「運動方程式を出す」ことだけが問題ならば、別にあってもなくてもどうでもいい、ということになります。 -- [[前野]] &new{2020-11-18 (水) 14:41:57}; - 端点で 𝛿𝑝 が0でなくてもいいことはわかりました。そうすると、運動方程式が満たされたときでも、この作用の変分は必ずしも0にならないのでしょうか。4.1節では作用の変分が0になる条件が運動方程式だったと理解しています。一方で今のお話では、変分 𝑞→𝑞+𝛿𝑞, 𝑝→𝑝+𝛿𝑝 を取ったら作用の変分は $\delta I = \left[\frac{\partial G}{\partial p}\delta p\right]_{t_i}^{t_f} + \left[\frac{\partial G}{\partial q}\delta q\right]_{t_i}^{t_f} + \left[p\delta q\right]_{t_i}^{t_f} + \int_{t_i}^{t_f} \left(\left(\dot{q}-\frac{\partial H}{\partial p}\right)\delta p + \left(-\dot{p}-\frac{\partial H}{\partial q}\right)\delta q \right) \mathrm dt$ になると思います。運動方程式（正準方程式）が満たされているときこれの第4項の積分は0になりますが、第1項は0でなくてもいい（ということは 𝛿𝛪 が0でなくてもいい）のでしょうか。仮にそうなら、第2項と第3項も別に0にしなくても構わないのでしょうか。 -- [[川西]] &new{2020-11-19 (木) 15:42:35}; - 運動方程式を出すときは「任意の変分に対して変化量が０となる」という条件から出します。そして任意の変分は当然、「端点での変分が０になるもの」を含みます。よって「任意の変分に対して」と条件づければ、第４項が０になるという条件だけから運動方程式は出ます。つまり「運動方程式を出す」というのが目的ならば、端点のことは「端点の変分が０かどうか」を気にしなくてよいことになります。 -- [[前野]] &new{2020-11-19 (木) 17:07:58}; - 「運動を全部決める」という観点から見るなら、端点の条件は２つしか入れられません。たとえば始状態と終状態のｑを決める（このときはｐはどちらも決めない）か、始状態のｐとｑを決めるか（このときの終状態はｐもｑも決めない）。解析力学で通常使うのは前者です。つまりは「運動方程式を出しましょう」という立場のときと「運動を一つに定めよう」というときでは、つけるべき条件は違う、ということになります。 -- [[前野]] &new{2020-11-19 (木) 17:10:18}; - わかりました。ありがとうございました。 -- [[川西]] &new{2020-11-20 (金) 19:13:00}; #comment
