「よくわかる解析力学」（東京図書）サポート掲示板 †
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- mathjaxを使って、TeX形式で数式を打てるようにしてあります。＄または＄＄（もちろんほんとは全角じゃなく半角の「ドル」です）で囲んで入力してください。
- spam避けに、httpを含む文章と、英字のみの文章は登録できなくしてあります。
「サポート掲示板3」が不具合で書き込めなくなりましたので作りました。こちらに書き込んでください。
P208の（9.9）について †
はじめ? (2026-04-07 (火) 18:14:43)
P208の3行目に「ルジャンドル変換の逆変換(B.74)から出る式dq_i/dt=∂H/∂p_i (9.9) があり」と書かれていますが，これは (B.74)が今の場合L=Σ(∂H/∂p_i)(p_i) – H に対応しており，これをハミルトニアンの定義式(9.3)に入れるとH=Σ(p_i)(q_idot) – Σ(∂H/∂p_i)(p_i) + H よってΣ(q_idot – ∂H/∂p_i)p_i = 0 従ってq_idot – ∂H/∂p_i (9.9)を得る，という考えであっているでしょうか？
- q_idot = ∂H/∂p_i (9.9)はq_idot = ∂H/∂p_i (9.9)のタイプミスです．申し訳ございません． -- はじめ?
- q_idot - ∂H/∂p_i (9.9)を得る は q_idot = ∂H/∂p_i (9.9)を得るのタイプミスです．申し訳ございません． -- はじめ?
- ハミルトニアンの定義から出したっていいんですが、ここの文章の言いたいことはそうではなくて、「ルジャンドル変換」というある種「定番の手続き」に従えばこうなるという意味です。要は（B.74）を公式のように使ってね、ということです。 -- 前野?
- (B.74)から(9.9)が直接出るのでしょうか？その道筋がまだ理解できておりません． -- はじめ?
- 「$f(x) = xp_x -\tilde f(p_x)$ただし、$x={\partial \tilde f(p_x)\over \partial p_x}$」を「公式」として使い、$x={dq\over dt}$で$p_x=p$、$f=H$、$\tilde f=L$と考えれば、$x={\partial \tilde f(p_x)\over \partial p_x}$は（9.9）そのものです。 --
- ありがとうございます。まず「f=H，～f=Lと考えれば」はf=L，～f=Hの誤記だと思います．その上で疑問なのですが，f=ラグランジアン，～f=ハミルトニアンとした時点で（B.74）はL=（∂H／∂p）p – H になるので，（B.74）のｘをｘ＝dq／dtと考えることは，∂H／∂p＝dq／dtと考えることと同じことになり，最初から（9.9）の成立を仮定していることにならないでしょうか？ 初学者のため，私が何か誤解をしているのかも知れませんが．． -- はじめ?
- ちょっと質問の意図を掴めていないかもしれませんが。 $L(q,\dot q)$という関数があり、$p={\partial L\over\partial \dot q}$でｐを定義し、$H=p\dot q-L$でHを定義すれば、自動的に$\dot q={\partial H\over\partial p}$になります（それがルジャンドル変換の一般的性質）。だから「最初から」というより「なるべくしてそうなっている」ものなのですが。 -- 前野?
- なるほど．Ｈを Ｈ（q，p）＝p＊qdot－L（q，qdot）（ただしp＝∂L／∂qdot） （1） のように定義したことは，Lをルジャンドル変換してHと名付けたことと同値である。一方，ルジャンドル変換の性質上，Hを逆変換するとLに戻るので， L（q，qdot）＝（∂H／∂p）＊p－H（q，p） （2） ここで（1）（2）を比べると qdot＝∂H／∂p が成立している。ということですね。ありがとうございました。 -- はじめ?
p259の問い10-5について †
H.C.? (2026-03-29 (日) 15:05:30)
解答の中でP=一定,q=一定を用いていますが,この様な条件を用いないと{Q,P}=1が示せないのなら,q,Qを独立変数とする正準変換は限られた条件下でしか成立し得ないという事なのでしょうか？
あるいは,今回の解答での{Q,P}=1の示し方は数ある方法の中の一つに過ぎず,別な方法を使えば上の条件を用いなくとも{Q,P}=1を示せるのでしょうか？
- 「pを一定として微分」というのは偏微分するときの手続きであって、実際に一定でなくてもできる計算なので、何かの仮定が必要だったのではありません。 -- 前野?
- 返信ありがとうございます. 1.「p=一定として微分」と返信にありましたが,今回考えている P=P(q,Q)=P(q(Q,P),P)のQでの偏微分には変数pは関係なく,一定とするのはPだと思っているのですが,自分が気づいていないだけで今回の場合にもpが関わってくるのでしょうか. 2.P=P(q(Q,P),Q)をP=一定にしてQで微分する所は $∂P(q(Q,P),Q)/∂Q=∂P(q,Q)/∂Q+(∂P(q,Q)/∂q)(∂q(Q,P)/∂Q)=0$ という事だと思っているのですが,ここで $∂P(q(Q,P),Q)/∂Q=0$ となるのはなぜなのでしょうか？ 自分はP=一定の記述からP(q(Q,P),Q)=一定という仮定が置かれているのかと思っていたのですが,そうではないのでしょうか？ よろしくお願いします. -- H.C.?
- すみません.数式の入力に慣れておらず,Pとその変数の表記がおかしくなってしまいました.正しくは$P=P(q(Q,P),Q)$です. -- H.C.?
- すいません、単純にpとPのタイプミスです。 -- 前野?
- タイプミスでより混乱させてすみません。ここで、やっている「Pを一定としてQで微分」というのは「$P(q(Q,P),Q)$と$P(q(Q+δQ,P),Q+δQ)$の差を取る」という意味ですが、実際には$P(q(Q,P),Q)=P$なのだからここで考えている「差」は０です。$P(q(Q,P),Q)=P$というのは仮定ではないです（$P$ は$Q,P$を独立変数として表現したら$P$そのものだと行っているだけのことです。 -- 前野?
- なるほど. 確かに,PをQ,Pで表現したらP自身になりますし,それをQで偏微分した結果は0ですね. ありがとうございました. -- H.C.?
P165の(6.97)，P166の脚注19に関する質問 †
はじめ? (2026-03-29 (日) 09:09:52)
連投になり申し訳ございません。
P165の(6.97)左辺のＣはＣpの誤記でしょうか．
P166の脚注19に「y(x,t)→Cpという変換が一種の「直交変換」だということなのである．」と書かれていますが，これはy(x,t)=Σ(p=1→∞)Cpsin(pπx/ℓ)fp(t)，つまり1次元連続体の位置ｘ，時刻ｔにおける変位y(x,t)を，振動モードp毎のｘ,ｔにおける変位sin(pπx/ℓ)fp(t)のpに関する線形結合で表現したことを一種の「直交変換」と書かれているのでしょうか．そうであれば「y(x,t)→Cp」は「y(x,t)→Σ(p=1→∞)Cpsin(pπx/ℓ)fp(t)」の誤記でしょうか．あるいは意識的に略記されたのであれば無視してください．
- $C_p$については誤記です。 -- 前野?
- 直交変換は線形なだけではダメで、変換に使われる基底が直交基底であることが必要です。変換に使われる行列が直交行列であると言っても同じです。 -- 前野?
- $y(x,t)\to C_p$は誤記じゃありません。振動を表すには$y$で表す事も、$C_p$で表す事もでき、表し方を変える、という意味の$\to$です。 -- 前野?
- 理解しました．ありがとうございました。 -- はじめ?
P162の内容に関して †
はじめ? (2026-03-25 (水) 14:49:33)
お世話になっております．連投になり申し訳ありません．P162の内容に関して質問があります．
下から２行目に「この解の一個一個のモードを見ると，各々の点が振幅C_p*sin((pπ/ℓ)x)，角振動数ω_p= (pπ/ℓ)√(κ/ρ) で振動していると考えられる．」とありますが，各点の振幅がこのように書けることについては明示的に説明されていないので，（またp165で波動方程式(6.95)から得た(6.96)を先取りすると，とも書かれていないので）自分なりに以下のように行間を埋めてみました．この考え方で合っているでしょうか？
変換行列Tが(6.77)であることが分かったので，最初のラグラジアンの位置エネルギーの部分(6.69)に現れた行列のp個目の固有ベクトルの要素を横に並べると（sin(pπ/(N+1)), sin(2pπ/(N+1)), …, sin(Npπ/(N+1))となる．従ってp個目のモードにおいてn番目の質点がsin(npπ/(N+1)に比例した振幅で振動していることがわかる．ｎ番目の質点の位置を座標x_n（バネの左端からの距離）で表すとx_n=nℓ/(N+1)．よってsin(npπ/(N+1))= sin((pπ/ℓ)x_n)． N→∞の極限を取ると離散的なx_nは連続的なxになる．そうするとテキストの記述が理解できる．
- ()が部分的に抜けているので再度投稿します． P162の内容に関して質問があります． 下から２行目に「この解の一個一個のモードを見ると，各々の点が振幅C_p*sin( (pπ/ℓ)x)，角振動数ω_p= (pπ/ℓ)√(κ/ρ) で振動していると考えられる．」とありますが，各点の振幅がこのように書けることについては明示的に説明されていないので，（またp165で波動方程式(6.95)から得た(6.96)を先取りすると，とも書かれていないので）自分なりに以下のように行間を埋めてみました．この考え方で合っているでしょうか？ 変換行列Tが(6.77)であることが分かったので，最初のラグラジアンの位置エネルギーの部分(6.69)に現れた行列のp個目の固有ベクトルの要素を横に並べると（sin(pπ/(N+1)), sin(2pπ/(N+1)), …, sin(Npπ/(N+1))となる．従ってp個目のモードにおいてn番目の質点がsin(npπ/(N+1))に比例した振幅で振動していることがわかる．ｎ番目の質点の位置を座標x_n（バネの左端からの距離）で表すとx_n=nℓ/(N+1)．よってsin(npπ/(N+1))= sin((pπ/ℓ)x_n)． N→∞の極限を取ると離散的なx_nは連続的なxになる．そうするとテキストの記述が理解できる． -- はじめ?
- どうも上手く投稿できません．追加の投稿の部分は無視してください．申し訳ございません． -- はじめ?
- 振幅が$C_p\sin{p\pi\over\ell}x$になることについては、次のページの表になっている図を見て判断してください。なぜこういう図が書けるかというのは、あなたの考え方のとおりです。 -- 前野?
- ありがとうございました。 -- はじめ?
P165の内容に関して †
はじめ? (2026-03-19 (木) 18:13:45)
お世話になっております．P165の内容に関して二点質問があります．
P165の一行目から始まる「もちろん，y, ∂y/∂x, ∂y/∂tは実際には独立ではないから，積分の端で変分δyはゼロであるとして表面項を出さないようにして部分積分することでδyに関してまとめて，」という文章において「独立ではないから」という言葉は何処にかかっているのでしょうか．δyで括られた部分の積分をゼロにすることでy, ∂y/∂x, ∂y/∂tが独立でないことが保証されているのでしょうか？
(6.92)から(6.93)への計算は，
(6.92)の被積分関数の第二項に時間積分に関する部分積分を適用して，表面項（時間の端点でのδy）をゼロとし，
同じように第三項にx積分に関する部分積分を適用して，表面項（xの端点でのδy）をゼロとするというプロセスで導かれるという理解でよろしいでしょうか．
- 「もちろん、」はその前段などにかかっているわけではありません。「ｙを動かせば${\partial y\over\partial x}$も動くでしょ」を考える人が多い（実際この考えは間違っているわけでもない）ので、「もちろん」と書いています。 -- 前野?
- （6.92）から（6.93）の計算はおっしゃるとおりです（本文にもそう書いていると思います）。 -- 前野?
- ありがとうございます。「もちろん，」の意味合いは理解いたしました．その上で再度質問させていただきます． そのあとの文章は「y, ∂y/∂x, ∂y/∂tは実際には独立ではない」．従って「積分の端で変分δyはゼロであるとして表面項を出さないようにして部分積分することでδyに関してまとめて，(6.93)となる」というように読めます． これは，最初はy, ∂y/∂x, ∂y/∂tを形式的に独立な変数（関数）として扱ってδIを(6.92)のように定式化したけれども，実際には独立でないから(6.93)のようにδyで括る形に変形できる，ということでしょうか． -- はじめ?
- 「独立ではないから変形できる」ではなくて、「独立ではないから変形しなくてはいけない（そうしないと意味がない）」ということです。たとえば$y,{\partial y\over \partial x}$が独立ならば$ay+b{\partial y\over \partial x}=0$から$a=0,b=0$が結論できるけど、そうじゃないからそうできない。だから、式を変形します。 -- 前野?
- なるほど，理解できました．ご教示ありがとうございました． 最後に，これは質問ではないのですが，先生が書かれたTexコードは私が投稿したときには数式に変換されているのですが，それ以外にサポートページを閲覧するとき，例えば先生の返信を読むときにはTexコードのままになっています．ユーザー側で何かの作業が前提とされているのでしょうか． -- はじめ?
- texがおかしいのはしばらく前から起きてる現象で、バグというか不具合です。直したいとは思ってます。 -- 前野?
- 承知いたしました．ありがとうございました。 -- はじめ?
p155の図に関する疑問 †
はじめ? (2026-03-08 (日) 18:00:09)
物理の学び直しを始めた60代後半の者です．P155の図に描かれた3個のおもりの動きや，p156の最初の図に描かれた単振動X1, X2, X3の振幅比（空間分布）が，変換行列Tや(6.65)式から何故わかるのか理解できずにいたのですが，現時点で以下のように解釈しております．この考え方で合っているでしょうか．よろしくお願いいたします。
まず(6.65)から，x1, x2, x3から変換された変数X1, X2, X3が角周波数ω1=√[ (2-√2)k/m]， ω2=√[ 2k/m]，ω3=√[ (2+√2)k/m]で単振動することがわかる．一方x1, x2, x3とX1, X2, X3の関係は変換行列Tによりx=TXのように示される（或いはx=TXのようにxとXを関係付けたときXが単振動する）． x=TXを具体的に書くと
x1= (1/2)X1 + (√2/2)X2 + (1/2)X3
x2= (√2/2)X1 -(√2/2)X3
x3= (1/2)X1 - (√2/2)X2 + (1/2)X3
これらの式はx1, x2, x3が単振動X1, X2, X3の一次結合で表せることを示している．さらにx1, x2, x3における単振動X1成分の振幅比は1/2：√2/2：1/2であり，X2成分の振幅比は√2/2：0：-√2/2，X3成分の振幅比は1/2：-√2/2：1/2であり，これらの振幅比は変換行列Tの列ベクトル，従って（6.61）に示される最初のラグランジアンの位置エネルギーの項に現れる行列の固有ベクトルであることがわかる．P155，P156の最初の図はこれらを図示したものである．
- そういう理解でいいです。 -- 前野?
- ありがとうございました。 -- はじめ?
45ページについて †
初学者? (2025-05-28 (水) 07:39:33)
2024年12月10日第11刷発行の書籍を読んでいます。
(2.72)の第1項dy/dlと(2.73)の第1項-dx/dlに係数の1/2が付かないのでしょうか？
また、46ページの(2.74)の第1式と第2式にも、同様に1/2が付かないのでしょうか？
すでに解決済みのことでしたら、申し訳ありません。
- 計算すると（2.70）の第１項と第２項から同じものが出てくるので${1\over2}$消えます。 -- 前野?
- わかりました。ありがとうございます。「まず微分を計算して」という文言に気を取られました。 -- 初学者?
p.235の角運動量の保存に関する記述に対する疑問 †
内藤? (2024-12-01 (日) 20:00:08)
こんばんは。
素晴らしい書籍をご執筆頂きありがとうございます。
p.235の下から6行目に、
「角運動量のx成分とy成分が保存するなら、z成分も保存する」
とあります。
たしかに、数式を追っていくと、そのようになるのは納得できていると思います。
しかし、力のモーメントのx,y成分が0でz成分が非0の場合、
角運動量のx,y成分は保存するがz成分は保存しないという状況はあると思うのですが、私は何を誤解しているのかご教示願えないでしょうか？
- その状況（$L_x,L_y$は保存するが$L_z$が保存しない）はあるのですが、それは「特定の初期状態を取った場合」なんです。ここで考えているのは「あるハミルトニアンがあって、任意の初期状態に対して角運動量が保存するかどうか」という話です。力のモーメントのｚ成分を０でないようにしようとすると、ハミルトニアンが角度φに依存していることになります。ところがそうするとモーメントにはｘ成分、ｙ成分も生まれてしまうわけです。 -- 前野?
- たとえば粒子の$H$に$f(\phi)$が含まれているとすると、いかにもｚ軸周りにトルクを作ってくれそうです。ところがこの「ｚ軸周りに回そうとする力」は（ｚ＝０の平面上に粒子がいる場合を除き）ｘ軸周りやｙ軸周りの力のモーメントも作ってしまうのです。つまり最初ｘｙ平面（ｚ＝０）にいるという場合を除き、角運動量のｘ、ｙ成分は保存しないことになります。 -- 前野?
- p235での議論はハミルトニアンしか指定してないので「任意の初期状態で成り立つ関係」を議論しているのだということに注意してください。 -- 前野?
- ご丁寧なご回答、本当にありがとうございます。前野先生の仰っていることの大半は理解できているつもりなのですが、一点だけどうしても理解できないことがあります。p.235の記述が、「任意の」、つまり「一般的な」初期状態で成り立つ関係なのであれば、「特定の」、つまり「特殊な」初期状態の場合も成り立たなければおかしい気がするのです。「z成分のみが0でないトルクが働いており、しかもxy平面上で運動しているという、ハミルトニアン及び初期条件が極めて特殊な場合は例外とする」と理解すれば良いのでしょうか？ -- 内藤?
- p235で説明している「保存する」はすなわち「ハミルトニアンと交換する」で、これは初期条件に依らない言明をしてます。逆に「保存しない」は「ハミルトニアンと交換しない（ポアッソン括弧が０でない）」です。例に出したｘｙ平面の場合は、$L_x,L_y$とハミルトニアンのポアッソン括弧が（ｘｙ平面上では消えるが）一般には０でないという状態なわけです。P235で説明しているのは「$L_x,L_y$が（どんなときも）保存するなら、$L_z$も（どんなときも）保存する」なので、これの待遇は「$L_z$が保存しない場合があるなら、$L_x,L_y$が保存しない場合がある」という感じです。 -- 前野?
- 具体的に、ハミルトニアンが角運動量を保存しないような項$f(\phi)$を含んでいる場合、$\{L_z,H\}=f'(\phi)$になり、$L_z$が保存しませんが、このときたとえば$\{L_x,H\}=-{zx\over x^2+y^2}f'(\phi)$のようになって、$z=0$ならば保存しますが、一般には保存しません（$L_y$も同様）。 -- 前野?
- 前野先生のコメントを何度も読み返し、なんとか理解できたと思います。要するに、ハミルトニアンそのものが持っている性質と、ハミルトニアンから導き出される方程式を満たす特定の解の性質を混同して議論していた点が私の誤解の本質だと思います。お忙しい中貴重なお時間を頂き、本当にありがとうございます。 -- 内藤?
(5.96) の等式 †
細川? (2024-10-16 (水) 17:23:20)
(5.96)の $\frac{\partial Gj}{\partial q_i} + \sum{k}\frac{\partial G_j}{\partial Q_k} \frac{\partial Q_k}{\partial q_i} = 0$ という等式は拘束条件を代入したことですべての（？）$q_i$ に対して $G_j(\{q_*\}) = G_j(\{q_*\}, \{Q_\star (\{q_*\})\}) = 0$ が成り立つから $\frac{\mathrm{d}G_j}{\mathrm{d}q_i} = 0$ になって(5.96) が導けるという理解であってますでしょうか？
- はい、その式からです。 -- 前野?
- ありがとうございます -- 細川?
問い4-1の解答について †
もり? (2024-09-05 (木) 23:48:55)
「問い4-1」の解答がp355の、(D.54)にありますが、Lを0からTまで積分して
(kA^2/16)(1-a)^2T を得ていますがなぜこの結果になるのかわからないのですが、
式を整理するとこの式になるでしょうか？
- (D.54) の$$ (kA^2/16)(1-a)^2T $$ --
- D.54のこの行の一つ上の行の式を整理すると、上の式を得られると思うのですがmを含む項がなぜ消えるのか知りたいというところです。 -- もり?
- $k=m\omega^2$なので、それを使って整理します。 -- 前野?
- 解決しました・・ありがとうございました。 -- もり?
11.44`45について †
物理屋気取り? (2024-08-16 (金) 11:16:15)
この部分でω(r,θ)=f(r)+g(θ)とされていますが、和になるというのはなぜ保証されますか？
- あ、すみません、前提となる式自体がうまくわかれてました。削除でお願いします。 -- 物理屋気取り?
母関数 †
物理屋気取り? (2024-08-14 (水) 10:01:17)
正準変換のところで出てくる母関数ですが、この母関数を求めるような例題がどこかにありましたでしょうか？見落としでしたらすみません。例えば大学院入試などではこれは与えられたものを使って解く、と言った感じになるのでしょうか？自分で良い感じの母関数をお思いつくのは難しいですか？
- 失礼しました。10.2.4にありました。 -- 物理屋気取?
- 失礼しました。10.2.4にありました。 -- 物理屋気取?
積分範囲 †
きょんきょん（井上恭輔）? (2024-04-25 (木) 14:39:38)
作用で出てくる積分の積分区間が$(-\infty,\infty)$ではなく、有界な区間$[t_1,t_2]$なのはなぜでしょうか。今まで私は、本当は$(-\infty,\infty)$にしたいけれど積分が発散するのがこわいから計算テクニックとして有界にしたのかと思っていました。いろいろな$t_1$、$t_2$に対して、区間$[t_1,t_2]$の作用の停留条件を出すと、全時刻でのオイラーラグランジュ方程式が出ると考えていました。しかし、ほかの人の話を聞くとそうでもないらしいです。
- 「」 -- きょんきょん?
- 「よくわかる解析力学」からは離れますが、特殊相対性理論の電磁場作用$\int F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$で積分範囲を無限（時空全体）にすることが正当化されたら積分範囲が（時空の）座標系によらないのでかっこいいと思います。（直前の投稿は間違いです。） -- きょんきょん?
- 以上です。もしよければお答えいただけますと幸いです。 -- きょんきょん?
- インテグラルのところで微小量を忘れています。 -- きょんきょん?
- もともと解析力学での作用積分の使い方は「両端を固定した経路の中から極小（または極大）となるものを探す」なので、両端を区間にするのが普通です。$(-\infty,\infty)$にしても固定はできますが。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- きょんきょん?
∊？ †
物理のヒヨコ? (2024-02-11 (日) 21:55:49)
今晩は、お世話になります。
p.369（D.131）の∑[k] ∊kijδkℓm のδは、もしかして∊ですか？
- すいません、これは$\epsilon$です。 -- 前野?
- あの・・サポートページにまだ訂正情報が載っていないようです。 -- 物理のヒヨコ?
- すいません、うっかりです。今から載せます。 -- 前野?
- 有難うございます。急かしているようでスイマセン ^_^; -- 物理のヒヨコ?
ｐ３７〜３８ テーラー展開？ †
いぬ￥? (2024-02-06 (火) 14:15:10)
δIを求めるために給すう展開しています。テーラー展開と記載がありますが、
X＝０ を代入しているところを見るとマクローリン展開
じゃないでしょうか。
初学者はこういう瑣細なところで引っかかります
- 「x=0でのテイラー展開」が「マクローリン展開」（つまりテイラー展開はマクローリン展開を含む）なので、どっちでもいいです。個人的な意見としては、一般的な（広い範囲で使える）名前があるのなら、そっちだけ使えばいいのになぁ、と思います。 -- 前野?
ｐ２９フェルマーの定理か原理かどっちですか †
イヌ? (2024-02-06 (火) 14:11:55)
ｐ２９のタイトルは
フェルマーの原理
になっています。
しかし
ｐ２９２．２．１直下には
フェルマーの定理
と記載されています
どちらが正しいのですか？
- これは「原理」が正しいですね（フェルマーの定理と呼ぶこともありますが）。タイプミスでした、すみません。 -- 前野?
物理のヒヨコ? (2024-01-19 (金) 03:41:29)
今晩は、お世話になります。
P.346と353の式D.1とD37で、なぜ(Xi-Xj)・(ΔXi-ΔXj)の前に2が付くのでしょうか？
- $\Delta |\vec x_i-\vec x_j|^2$の意味は「$|\vec x_i + \Delta x_i - (\vec x_j+\Delta x_j)|^2$と$|\vec x_i-\vec x_j|^2$の差ですから、$(a+b)^2 -a^2=2ab+b^2$のような計算をすると2が出ます（2次の項は無視です）。 -- 前野?
- ああ、Δ|Xi - Xj|² の意味はそういう意味でしたか！ところで、WIKiにネーターの定理は『数学の定理』とありますが、この本にあるように解析力学を使って証明された『物理の定理』なのでしょうか？それとも、群論とか抽象代数学とかのもっと純粋な数学を使って証明されたのでしょうか？そして、空間・時間並進不変性＝空間・時間並進対称性（対称性のある所に何らかの不変量がある）と考えて良いのでしょうか？ -- 物理のヒヨコ?
- ネーターの定理が数学的に証明できるのは、本に書いてある通りで、だからこそ「数学の定理」です。解析力学を使って証明というより、なにかの積分量（作用とか）がなにかの変換に対して不変なときにはいつでも出てきます。 -- 前野?
- なるほど。ずっと、数学で有名なネーター女史のネーターの定理は、難しい純粋数学を使って証明されたものだと思っていたので、思いもかけず解析力学の数学であっさり（？）証明されていたので少しビックリしました。多分、前野先生の説明が分かり易いのでそう感じたのかもしれません。回答ありがとうございました。 --
p１８０ ラグランジアンについて †
やま? (2024-01-16 (火) 20:39:26)
2点（３点？）質問させていただきたいです。
・$ω_X,ω_Y,ω_Z$というのは角運動量ベクトルを慣性系から見て$e_X,e_Y,e_Z$で展開したときの成分という解釈で良いでしょうか。
またこのときX系から見た角速度ベクトルというのはどうなるのでしょう
・ラグランジアンの変数を$ω_X,ω_Y,ω_Z$として微分してはいけないのでしょうか。オイラーの運土方程式にもオイラー角は残っていませんしはじめから$ω_X,ω_Y,ω_Z$で議論するというわけにはいかないのでしょうか？
よろしくお願いいたします。
- $\omega_{X,Y,Z}$は角速度ベクトルの$X,Y,Z$成分です。$\vec\omega=\omega_X\vec e_x+\omega_Y\vec e_Y+\omega_Z\vec e_Z$ということでいいです。「慣性系から見た」という言葉の意味がよくわかんないです。$\vec \omega$の形だったら座標系によりません。$X,Y,Z$という座標系は慣性系ではありません。 -- 前野?
- $\omega_{X,Y,Z}$でラグランジアン書いてしまうと時間微分が入らないので運動方程式にならないと思います。 -- 前野?
- 2つ目についてもう少し質問させて下さい。 -- やま?
- ではωを何かの時間微分とみなしてはいけないのでしょうか。自由粒子のラグランジアンと同じようなものになるような気がするのですが。よろしくお願い致します -- やま?
- $\omega$は「なにか」じゃなく、$\theta,\phi,\psi$の時間微分に三角関数が掛かった形で、既に書けています。 -- 前野?
- $\omega={d\over dt}(なにか)$になれば幸せでしょうけど、今求まっている形を見るとそうなりません。 -- 前野?
- 理解しました。ありがとうございました!! -- やま?
p276について †
お? (2023-09-02 (土) 18:11:20)
2つ質問があります。
10.130に出てくる運動量px,pyとm(dx)/(dt),m(dy)/(dt)の違いは、全体の条件が入った運動量と磁場の影響を除いた運動量という認識で合っていますか？
また、10.127のラグラジアンで位置エネルギーになる部分（2項目）でF=-gradUで計算すると、ローレンツ力が1/2倍になってしまうのですが、10.127の2項目では何故1/2が付いているか分からないです。お願いします。
- 二つの運動量の違いは本に書いてあるとおりで、$p_x={\partial L\over\partial \dot x}$で定義されたものです（$p_y$も同様）。$p_x,p_y$には磁場の影響が入っているのは確かですが、「全体の条件が入った運動量」とか「磁場の影響を除いた運動量」という言葉の意味が不明瞭なので、その認識が合っているかどうか、私には判断できません。 -- 前野?
- 第２の質問ですが、この場合は$U$に対応する部分が速度にも依存しているので、単純に-grad Uしても力にはならないです。${1\over2}$がついているのは、正しい運動方程式が出るようにです。 -- 前野?
- 1つ目の質問は、もう1回読んで自己解決しました！ -- お?
- 2つ目の質問も理解しました。ありがとうございました！ -- お?
p226の問い10-8の解答について †
え? (2023-09-01 (金) 22:29:34)
p365のD.106の下から2行目の式の2項目の括弧内は、$p(q,Q,t)$を$(q,p)$を使った表現で$p(q,Q(q,p,t),t)$として計算したのですか？これで導出できたのですが、q,Qは独立と問題で決めているのでQが従属変数になってないかと思ってしまいます。
また、同じ括弧内でpをtで偏微分すると何故0になるのか分からないです。お願いします。
- 題名のページ数を間違えました。p266の問い10.8でした。 -- え?
- その上の方でやっている計算と同じで、${\partial p(q,Q,t)\over\partial t}\big|_{q,Q}$と${\partial p(q,Q(q,p,t),t)\over\partial t}\big|_{q,p}$は、$Q(q,p,t)$の中の$t$が微分されるかどうかの違いなので、その違いの分を引いてます。逆に${\partial p(q,Q(q,p,t),t)\over\partial t}\big|_{q,p}$を計算するときに、１個めの$t$（$Q(q,p,t)$の中の$t$）を微分した項と2個めの$t$（最後の$,t)$の$t$）を微分した項に分かれると思えば計算できます。 -- 前野?
- $t$で微分すると0になっている$p$は$p(q,p,t)$です。つまり「$q,p,t$を独立変数だと考えたときの$p$」です。これは$p$そのものであって、$t$は入ってません。 -- 前野?
- p,q,tが自由に変化できる(独立変数)で、p(q,p,t)も自由に動くためにはq,tは存在していないことになるからpそのものになるということですか？ -- え?
- 難しいこと考える必要はありません。$p(q,p,t)=p$ですから$p,q$が一定として$t$で微分すりゃ０です。 -- 前野?
- その考え方でしっくりきました。ありがとうございました！ -- え?
p266の問い10-8の解答について †
え? (2023-08-31 (木) 18:33:39)
p364のD.105で、なぜ(q,p)を(q,Q)にした時そのような式になるのか分かりません。途中式を教えていただきたいです。また、D.105のしたに書いてある式がなぜイコールになっているかも分からないです。お願いします。
- D.105については、ルジャンドル変換で(q,Q)に変えたのですか？上手くできないです。 -- え?
- $P(q,p,t)$を$(q,Q)$を使った表現にするということは、$p$を独立変数じゃなく$q,Q,t$の関数$p(q,Q,t)$だと考える、というふうに立場を変えることになります。 -- 前野?
- $P(q,p,t)=P(q,p(q,Q,t),t)$ということになりますが、この式を$t$で偏微分するとき、「$(q,Q)$を使った表現」では、$p(q,Q,t)$の中の$t$も微分します。一方「$(q,p)$を使った表現なら、その微分は要りません。こちらの立場では$p$は独立変数であって、$t$の関数ではないからです。 -- 前野?
- つまり${\partial P(q,p,t)\over\partial t}\big|_{q,p}$と ${\partial P(q,Q,t)\over\partial t}\big|_{q,Q}$の間には、$P(q,p(q,Q,t),t)$の1番めの$t$を微分するかしないかの差があるから、それを引いているということです。 -- 前野?
- ${\partial P(q,p(q,Q,t),t)\over\partial t}\big|_{q,Q}$を行うとすると、「1番目の$t$を微分した項」と「2番目の$t$を微分した項」が出てくるが、$P(q,p,t)$を$t$で微分するときには「１番め〜」はない、ということです。 -- 前野?
- ${\partial P\over\partial p}\big|_{q,t}={\partial q\over \partial Q}\big|_{P,t}$に関しては（10.6）の最初の式になってます（正準変換では$J=1$です）。あるいは問い10-5でも出しています。-- 前野?
- 理解できました。わかりやすい説明をありがとうございました！ -- え?
p254の10.38について †
う? (2023-08-30 (水) 14:54:47)
10.36をN回繰り返すと10.38になるとのことで、その説明にλ^nの項がNCn個あるということを使った。とありますが、二項定理からきているのでしょうか？そうなるとλ^nの分母に付いていたN^nはどこにいったのですか？N→♾に整理すると10.38のような形にできるのですか？10.39～10.40は理解できました。
- ${}_NC_n$が出てくるのはもちろん二項定理です。 -- 前野?
- ${N!\over n!(N-n)!}={1\over n!}N\times (N-1)\times (N-2)\times\cdots\times (N-n+1)$と考えると、この量は$N\to\infty$で${1\over n!} N^n$となる量ですので、それで$N^n$は消えます。 -- 前野?
- できました！ありがとうございました。 -- う?
p201の8.32について †
い? (2023-08-24 (木) 18:31:41)
8.31から8.32の過程で、8.31の∑の中の第2項の部分が8.32で消えているのが何故か分からないですJの中に入ったのですか？
- 消えてません。逆に8.32の時間微分を積の微分(ライプニッツ則)を使ってバラしてやれば元の8.31に戻ります。 -- 前野?
- 気がつきませんでした。ありがとうございました！ -- い?
第7章の7.70式について †
あ? (2023-08-22 (火) 11:26:27)
7.69式と7.70式の間に書いてある微分方程式は、ωXとωYのどちらも同じ形ということですか？
となると解が
ωX=Acos(αt)+Bsin(αt)
合成して
√(A^2+B^2)sin(αt+β)→ω0sin(αt+β)
となってωYも同じ解となり、7.70式の形に導出できないです。
途中式をお願いできないでしょうか
- (7.69)は行列の式なので、実は２つの式があることはおわかりでしょうか。それを書き下すと、$\alpha \omega_X={\mathrm d\over \mathrm dt}\omega_Y$と、$-\alpha \omega_Y={\mathrm d\over\mathrm dt}\omega_X$の２式になります。 -- 前野?
- この式から、$-\alpha^2 \omega_X=\ddot \omega_X$という式も作れるし、$-\alpha^2 \omega_Y=\ddot \omega_Y$という式も作れます。 -- 前野?
- というのが(7.69)と(7.70)の間でやっていることです。そして、$\omega_X$と$\omega_Y$の関係を考えると、$\omega_X$がcosなら$\omega_Y$はsinで表されることになります。 -- 前野?
- なるほど -- あ?
- この場合では、ωXは三角関数の合成でcosとしてωYはωXとの関係からsinにできたよってことですか？ωXがsinでωYがcosでも大丈夫ですか？ -- あ?
- $\omega_Y$の微分が$\omega_X$に比例なので、$\omega_Y$が$\cos$なら$\omega_X$は$-\sin$ですね。 -- 前野?
- 理解できました！ありがとうございました -- あ?
第6章について †
あいうえお? (2023-08-19 (土) 15:51:47)
p162の振幅が
Cpsin((pπ)/lx)
となるのはなぜですか？
6.66式から、sinがつくのは分かるのですが(pπ)/lのところがなぜそうなるのか分からないです。
- (pπ)/lのlは元々はバネの個数だけど、無限にあるから弦の長さに置き換えれたということですか？物体の個数が無限だから弦の長さになるという解釈の方がいいですか？ -- あいうえお?
- (6.70)の$y_n$の$\sin{np\pi\over N+1}$から来てます。この$n$は「$n$番目の物体」を表してますから、$0$から$N+1$までの距離を$\ell$とすれば、変位してないときの物体と物体の距離は${\ell\over N+1}$なので、$x=n\times{\ell \over N+1}$という対応になってます。 -- 前野?
- つまりは、${n\over N+1}={x\over\ell}$です。 -- 前野?
- 0番目とN+1番目の物体は、両端の壁とバネの接合部分ということですか？ -- あいうえお?
- そう考えていいです。-- 前野?
- ありがとうございました！ -- あいうえお?
第6章の6.88式について †
あいうえお? (2023-08-19 (土) 15:47:44)
6.67式の作用を書き換えているということですが、y1とyNについての位置エネルギーはなぜ6.88式では無くなっているのですか？
- ああ、これは本当は入れるべきですね。あるいは$\sum_{i=1}^{N-1}$を$\sum_{i=0}^{N}$に変えて、「ただし$y_0=y_{N+1}=0$とする」と注釈をつけるべきでした。 -- 前野?
- この後、連続極限を取る（Nを無限大にする）ので、端っこの部分のちょっとした違いは結果に寄与しないので、ちょっと雑な書き方になってます。 -- 前野?
- ありがとうございました！ -- あいうえお?
12頁の内容につきまして †
大学生? (2023-07-16 (日) 03:04:15)
解析力学を勉強しはじめた者です。
『よくわかる解析力学』の12頁の一部記述に対する理解が不安でしたので質問させていただきます。
12頁の中央辺りにある記述に「この二つを決めれば、次の加速度は運動方程式から決まる」とありますが、この文が指す内容は
初等力学で扱われる力は位置と速度、そして時刻の関数で表せるという経験則と運動方程式を併せて、ある時刻における加速度を求める。
(ただし直前の説明が指すように、その時刻における質点の位置と速度の値は与えられているとする。)
という意味でしょうか？
また12頁の内容とは無関係かもしれませんが、力学の教科書でよく説明される初期条件を決めれば力学系の運動状態が(原理的に)一意に決まるという主張は、上の内容に加えて、
先ほどの時刻における速度と加速度の値から微小時間だけ後の質点の位置と速度を決定し、先ほどの操作とこの操作を繰り返すことで力学系の位置を逐次的に時間追跡できる。
という理解の仕方で間違いないでしょうか。
解析力学自体の質問内容ではありませんが、自分の理解が不安だったので質問させていただきました。
- その理解で問題ないです。 -- 前野?
- 回答していただきありがとうございます。大変助かりました。 -- 大学生?
- 回答していただきありがとうございます。大変助かりました。 -- 大学生?
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