テイラー展開(sin)

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テイラー展開の例：三角関数(sin)

$\sin {x}$ を例にして考えよう。すでに述べたように、 $\sin {x}$ は ${x}=0$ で0であり、傾き1である。よって $\sin {x} \fallingdotseq {x}$ と書けるのであった。 $\sin {x}$ の一階微分は $\cos {x}$ 、二階微分は $-\sin {x}$ である。三階微分は $-\cos {x}$ となり、分類すれば、

$\begin{equation} {\mathrm d ^n\over \mathrm dx^n}\sin {x}= \begin{cases} \sin{x}& n=4m\\ \cos{x}& n=4m+1\\ -\sin{x}& n=4m+2\\ -\cos{x}& n=4m+3 \end{cases}~~~(mは0以上の整数) \end{equation}$

であり、これに ${x}=0$ を代入すれば

$\begin{equation} {\mathrm d ^n\over \mathrm dx^n}\sin {x} \biggr|_{{x}=0}= \begin{cases} 0& n=2m\\ 1& n=4m+1\\ -1& n=4m+3 \end{cases}~~~(mは0以上の整数) \end{equation}$

であるから、

$\begin{equation} \sin {x}={x} - {{x}^3\over 3!}+ {{x}^5\over 5!}-{{x}^7\over 7!}+\cdots\label{sintaylor} \end{equation}$

のようにテイラー展開できる（偶数次の項が出てこないのが $\sin$ の特徴であるが、これは奇関数なら常にこうなるただし、 ${x}=0$ 以外で展開した場合はこの限りではない。）。

直線

${y}={x}$ から始めて関数をどんどん正しい関数に近づけていく様子が、以下の動く図である。

ここでは、sin(x)のx=0を中心とした展開を行っている。現在0番目の項のグラフまでを見せている。
下の「次のステップへ」というボタンを押すと、テイラー展開の低い次数から順に、展開結果の関数が表示される。

表示している関数
sin(x)

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