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テイラー展開（cos）

一方、同様の計算をやると $\cos{x}$ の方は

$\begin{equation} \cos {x}=1 - {{x}^2\over 2!}+ {{x}^4\over 4!}-{{x}^6\over 6!}+\cdots\label{costaylor} \end{equation}$

のようにテイラー展開できる（ $\cos$ では奇数次の項が出てこないが、偶関数なら常にこうなる）。

以下の動く図で確認しよう（使い方はこれまで同様）。

ここでは、cos(x)のx=0を中心とした展開を行っている。現在0番目の項のグラフまでを見せている。
下の「次のステップへ」というボタンを押すと、テイラー展開の低い次数から順に、展開結果の関数が表示される。

表示している関数
cos(x)

$\exp$ の展開と、 $\sin$ の展開\式{sintaylor}と $\cos$ の展開\式{costaylor}をよく見ると、

$\begin{equation} \begin{array}{ccccccccc} \mathrm e^{x}= &1 &+x &+{x^2\over 2!} &+{x^3\over 3!} &+{x^4\over 4!} &+{x^5\over 5!} &+{x^6\over 6!} &+\cdots \\[3mm] \cos x= &1 & &-{x^2\over 2!} & &+{x^4\over 4!} & &-{x^6\over 6!} &+\cdots \\ \sin x= & &x & &-{x^3\over 3!} & &+{x^5\over 5!} & &+\cdots \\ \end{array} \end{equation}$

となっていて、 $\mathrm e^{\mathrm i x}=\cos x+\mathrm i \sin x$ という「オイラーの式」オイラーの式については、複素数を使う微分方程式について考える時に再び扱うことにする。が見えてくる。

$\sin$ や $\cos$ の場合は偶数冪や奇数冪のみが現れるので指数関数などとはちょっと違う計算が必要になるが、やはり収束半径は $\infty$ である。

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