空間座標と偏微分

2次元の直交座標と極座標

 今日はまず、直交座標・極座標と偏微分の関係から。

 2次元の位置を表現するのによく使われるのは直交座標(デカルト座標)で、${x},{y}$の二つを使って位置を表現する。もう一つよく使われるのが極座標で、これは原点からの距離${r}(=\sqrt{{x}^2+{y}^2})$と、どの方向に原点から離れているかを意味する${\theta}$で位置を表現するその意味からして、${r}=0$(原点)では座標${\theta}$は無意味になることに注意。。図からわかるように、

\begin{equation} \begin{array}{ccccc} {x}={r}\cos {\theta}&,&{y}={r}\sin {\theta}&,&\\ \cos{\theta}={{x}\over \sqrt{{x}^2+{y}^2}}&,&\sin{\theta}={{y}\over \sqrt{{x}^2+{y}^2}}&,&{r}=\sqrt{{x}^2+{y}^2} \end{array} \end{equation}

という関係がある。

 直交座標で${x}$軸方向を向いた単位ベクトル(長さが1のベクトルのこと)を$\vec{\mathbf e}_x$、${y}$軸方向を向いた単位ベクトルを$\vec{\mathbf e}_y$と書くことにする。すると位置ベクトル(原点から場所$({x},{y})$へ引いた矢印のベクトル)は$\vec x={x}\vec{\mathbf e}_x+{y}\vec{\mathbf e}_y$のように書くことができる(この書き方と、成分を並べて$({x},{y})$と書くのは全く同じ意味)。

 直交座標における「${x},{y},{z}$方向を向いた単位ベクトル」の表現方法としては、他に、${\mathbf e}_x,{\mathbf e}_y,{\mathbf e}_z$(矢印をつけない)、${\mathbf i},{\mathbf j},{\mathbf k}$や、$\hat {\mathbf x},\hat {\mathbf y},\hat {\mathbf z}$(ハット$\hat {~}$をつける)などがある。記号が違っても中身は変わらない。

 極座標でも$r$方向($r$が増加する方向)の単位ベクトル、$\theta$方向($\theta$が増加する方向)の単位ベクトルを考えて、これを$\vec{\mathbf e}_r,\vec{\mathbf e}_\theta$と書く(${\bf \hat r},{\bf \hat \theta}$と書いている本もある)。図に表したように(そして、その定義から当然そうなるべく)、$\vec{\mathbf e}_r,\vec{\mathbf e}_\theta$は場所によって違う方向を向く原点においては、$\vec{\mathbf e}_r,\vec{\mathbf e}_\theta$ともに定義できない。原点は極座標の「特異点」である。

 $\vec{\mathbf e}_r=(\cos \theta,\sin \theta)$であり、それと直交する$\vec{\mathbf e}_\theta$は$(-\sin \theta,\cos \theta)$である$\vec{\mathbf e}_r=\cos\theta\vec{\mathbf e}_x+\sin\theta\vec{\mathbf e}_y,\vec{\mathbf e}_\theta=-\sin\theta\vec{\mathbf e}_x+\cos\theta\vec{\mathbf e}_y$と書いても同じこと。。よって、${r}$方向の偏微分は

\begin{equation} \vec{\mathbf e}_r\cdot({\rm grad}~f)= \cos \theta{\partial f({x},{y})\over \partial x}+\sin \theta{\partial f({x},{y})\over \partial y}\label{rhoukou} \end{equation}

 となる。同様に${\theta}$方向の偏微分は

\begin{equation} \vec{\mathbf e}_\theta\cdot({\rm grad}~f)= -\sin \theta{\partial f({x},{y})\over \partial x}+\cos \theta{\partial f({x},{y})\over \partial y}\label{thetahoukou} \end{equation}

となる。上の式は${r}$微分に一致するが、下の式の方は${\theta}$微分と一致しない。これらのことを以下で確認しよう。

座標変換による偏微分の変換

 直交座標で考えた関数$f({x},{y})$を、極座標で書き直す。その結果である関数$g({r},{\theta})$は、

\begin{equation} f({x},{y})\biggr|_{{x}={r}\cos {\theta},\atop {y}={r}\sin {\theta}}=g({r},{\theta}) \end{equation}

と書くことができる。$f({x},{y})$の${x}$に${r}\cos {\theta}$を、${y}$に${r}\sin {\theta}$を代入した結果が$g({r},{\theta})$である。これを、

\begin{equation} f\bigl( {x}({r},{\theta}),{y}({r},{\theta}) \bigr)=g({r},{\theta})\label{fxyrtheta} \end{equation}

と表現してもよい。つまり、${r},{\theta}$を決めると${x}({r},{\theta})$と${y}({r},{\theta})$が決まり、それによって$f$の値が決まる(よって上の式$x,y$は「関数の名前」であって変数ではない)。これを(${\theta}$を一定として)${r}$で微分する。その意味するところは、

\begin{equation} \left( {\partial f\bigl( x({r},{\theta}),y({r},{\theta}) \bigr)\over \partial r} \right)_{\!\!{\theta}} =\lim_{{\Delta r}\to0} { f\bigl( x({r}+{\Delta r},{\theta}),y({r}+{\Delta r},{\theta}) \bigr) -f\bigl( x({r},{\theta}),y({r},{\theta}) \bigr) \over {\Delta r} }\label{delfdelr} \end{equation}

である。ここで、

\begin{equation} \begin{array}{rl} x({r}+{\Delta r},{\theta})=&x({r},{\theta}) +{\partial x({r},{\theta})\over \partial r}{\Delta r}\\[3mm] y({r}+{\Delta r},{\theta})=&y({r},{\theta}) +{\partial y({r},{\theta})\over \partial r}{\Delta r} \end{array} \end{equation}

を使うと、上の式の右辺の分子が

\begin{equation} f\bigl( x({r},{\theta})+{\partial x({r},{\theta})\over \partial r}{\Delta r},y({r}+{\partial y({r},{\theta})\over \partial r}{\Delta r},{\theta}) \bigr) -f\bigl( x({r},{\theta}),y({r},{\theta}) \bigr) \end{equation}

と書ける。$f({x}+{\Delta x},{y}+{\Delta y})=f({x},{y})+{\partial f\over \partial x}{\Delta x}+{\partial f\over \partial y}{\Delta y}$と同様に、第1項を${\Delta r}$の1次まで展開すれば

\begin{equation} f\bigl( x({r},{\theta}),y({r},{\theta}) \bigr) +\overbrace{{\partial f(x,y)\over \partial x}\underbrace{{\partial x({r},{\theta})\over \partial r}{\Delta r}}_{{\Delta x}}}^{xの変化による部分} +\overbrace{{\partial f(x,y)\over \partial y}\underbrace{{\partial y({r},{\theta})\over \partial r}{\Delta r}}_{{\Delta y}}}^{yの変化による部分} \end{equation}

のようになる(${\cal O}(({\Delta r})^2)$は省略)から、引算を実行した結果を${\Delta r}$で割ることにより、

\begin{equation} {\partial f\bigl( x({r},{\theta}),y({r},{\theta}) \bigr)\over \partial r} ={\partial f(x,y)\over \partial x}{\partial x({r},{\theta})\over \partial r} +{\partial f(x,y)\over \partial y}{\partial y({r},{\theta})\over \partial r}\label{delfdelrkekka} \end{equation}

となる。

この結果は、常微分の時の式である${\mathrm d\over \mathrm dx} f(g({x}))={\mathrm df\over \mathrm dg}{\mathrm dg\over \mathrm dx}({x})$と似ているが、(略記すると)${\partial f\over \partial r}={\partial f\over \partial x}{\partial x\over \partial r}+{\partial f\over \partial y}{\partial y\over \partial r}$のように二つの項が必要である。${\partial f\over \partial x}{\partial x\over \partial r}$だけでも${\partial f\over \partial y}{\partial y\over \partial r}$だけでも{\bf 間違い}であることに注意しよう。

 ここで、$x({r},{\theta})={r}\cos {\theta},y({r},{\theta})={r}\sin {\theta}$であることから、

\begin{equation} {\partial x({r},{\theta})\over \partial r}=\cos{\theta},~~ {\partial y({r},{\theta})\over \partial r}=\sin{\theta}\label{delxdelr} \end{equation}

である。ゆえに、確かに${r}$方向の方向微分である$\left(\vec{\mathbf e}_r\cdot({\rm grad}~f)={\partial f\over \partial r}\right)$。

練習のために、$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$の場合で計算してみよう。「$r=\sqrt{x^2+y^2}$を$r$で微分する」のだから、答えは1になるはずである。

 ${\theta}$による偏微分を行うと、

\begin{equation} \begin{array}{rl} {\partial f\bigl( x({r},{\theta}),y({r},{\theta}) \bigr)\over \partial \theta} =&{\partial f(x,y)\over \partial x}{\partial x({r},{\theta})\over \partial \theta} +{\partial f(x,y)\over \partial y}{\partial y({r},{\theta})\over \partial \theta}\\ =&\underbrace{-r\sin \theta}_{{\partial x({r},{\theta})\over \partial \theta} }{\partial f(x,y)\over \partial x} +\underbrace{r\cos \theta}_{{\partial y({r},{\theta})\over \partial \theta}}{\partial f(x,y)\over \partial y} \end{array}\label{delthetatheta} \end{equation}

となり、${\theta}$方向の方向微分とは、${r}$倍違う$\left(\vec{\mathbf e}_\theta\cdot({\rm grad}~f)={1\over r}{\partial f\over \partial\theta}\right)$。

変数を変更した時の偏微分の変化

 前節では$({x},{y})$から$({r},{\theta})$へと独立変数の組を変えるという操作を行った。一般的に、独立変数の組を変更した時、偏微分がどのように変化するかを示そう。

2変数の一般的変数変換

 $({x},{y})$から$({X},{Y})$へと変数を変える。もちろん、${X},{Y}$は両方とも${x},{y}$の関数である。省略せずに書けば$g\left({X}({x},{y}),{Y}({x},{y})\right)$ということになる。

\begin{equation} f({x},{y})=g\left({X}({x},{y}),{Y}({x},{y})\right) \end{equation}

とする。この式の両辺を${x}$で偏微分する(つまり${y}$を一定として微分を行う)。定義どおりに計算すると、

\begin{equation} \begin{array}{rl} &\lim_{{\Delta x}\to0} { f({x}+{\Delta x},{y})-f({x},{y}) \over {\Delta x}}\\ =&\lim_{{\Delta x}\to0}{ g\left({X}({x}+{\Delta x},{y}),{Y}({x}+{\Delta x},{y})\right) -g\left({X}({x},{y}),{Y}({x},{y})\right) \over {\Delta x} } \end{array} \end{equation}

となり、前節同様の計算を行えば、

\begin{equation} \left({\partial f({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}= \left( {\partial g({X},{Y})\over \partial X}\right)_{\!\! Y} \left( {\partial {X}({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}} +\left( {\partial g({X},{Y})\over \partial Y}\right)_{\!\! X} \left( {\partial {Y}({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}\label{ippanhenbibunhenkan} \end{equation}

となる。同様に計算して、

\begin{equation} \left({\partial f({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}= \left( {\partial g({X},{Y})\over \partial X}\right)_{\!\! Y} \left( {\partial {X}({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}} +\left( {\partial g({X},{Y})\over \partial Y}\right)_{\!\! X} \left( {\partial {Y}({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}\label{ippanhenbibunhenkantwo} \end{equation}

である。

常微分の時は$f(g({x}))={\mathrm df\over \mathrm dg}{\mathrm dg\over \mathrm dx}$という連鎖律が成り立ち、この式はあかたも$\mathrm dg$が約分されているかのように考えればよい、という簡単な考え方があったが、偏微分の場合は「${\partial g\over \partial X}{\partial X\over \partial x}$で$\partial X$を約分して${\partial g\over \partial x}$」などと考えると「大間違い」なので気をつけよう。

 より一般的に、${x}_1,{x}_2,\cdots,{x}_N$という$N$-変数の組から${X}_1,{X}_2,\cdots,{X}_N$という変数の組へと変更する時には、

多変数関数の変数変換

\begin{equation} \begin{array}{rl} & \left( {\partial f({x}_1,{x}_2,\cdots,{x}_N)\over \partial x_i}\right)_{\!\!{x}_i以外の{x}} \\ =&\sum_{j=1}^N\left( {\partial \tilde f({X}_1,{X}_2,\cdots,{X}_N)\over \partial X_j} \right)_{\!\!{X}_i以外の{X}}\left({\partial X_j({x}_1,{x}_2,\cdots,{x}_N)\over \partial x_i}\right)_{\!\!{x}_i以外の{x}} \end{array} \end{equation}

およびこの逆

\begin{equation} \begin{array}{rl} & \left( {\partial \tilde f({X}_1,{X}_2,\cdots,{X}_N)\over \partial X_i}\right)_{\!\!{X}_i以外の{X}} \\ =&\sum_{j=1}^N\left( {\partial f({x}_1,{x}_2,\cdots,{x}_N)\over \partial x_j} \right)_{\!\!{x}_i以外の{x}}\left({\partial x_j({X}_1,{X}_2,\cdots,{X}_N)\over \partial X_i}\right)_{\!\!{X}_i以外の{X}} \end{array} \end{equation}

が成立する。

ここに二つの変数のうち片方だけを変更した場合の注意点があったが、省略。

偏微分の注意点

 偏微分の計算を行うときに有用な公式と、誤りやすい注意点を述べておく。

上でも述べた、「$f(g(x))$を$x$で微分するとき、${\mathrm df\over \mathrm dx}={\mathrm df\over\mathrm dg}\times{\mathrm dg\over\mathrm dx}$は正しいが、$f(X(x,y),Y(x,y)$を$x$で偏微分する時に${\partial f\over \partial X}{\partial X\over \partial x}$で終わってはダメ(${\partial f\over \partial Y}{\partial Y\over\partial x}$も足す)というのも誤りやすいポイント。以下でこの他あと二つを紹介する。

よくある誤り

${\partial x\over \partial r}=\cos\theta$だから、${\partial r\over \partial x}={1\over \cos\theta}$だろう。

 常微分であれば、${\mathrm dy\over \mathrm dx}={1\over {\mathrm dx\over \mathrm dy}}$は成立するので、ついこうだろうと思ってしまうかもしれない。しかし実際に${\partial r\over \partial x}$を計算してみよう。${x},{y}$を独立変数として$r$はその関数$r({x},{y})=\sqrt{{x}^2+{y}^2}$と見る。これを${x}$で偏微分すると、

\begin{equation} {\partial \left(\sqrt{{x}^2+{y}^2}\right)\over \partial x} = {1\over 2\sqrt{{x}^2+{y}^2}}\times 2{x}={{x}\over \sqrt{{x}^2+{y}^2}}=\cos\theta \end{equation}

となり、${1\over \cos\theta}$にはならない。一方で、${r},{\theta}$を独立変数として$x$を$x({r},{\theta})={r}\cos{\theta}$と考えれば、

\begin{equation} {\partial \left({r}\cos{\theta}\right)\over \partial r}=\cos{\theta} \end{equation}

となる。

 うっかりと、${\partial x\over \partial r}={1\over {\partial r\over \partial x}}$のように思ってしまうのは、記号を省略した記法を使っているからである。省略せずに書くと、${\partial x\over \partial r}$は$\left({\partial x({r},{\theta})\over \partial r}\right)_{\!\!{\theta}}$であり、${\partial r\over \partial x}$は$\left({\partial r({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}$である。大事なことは変数の取り方の違いである。特に「どの変数を固定して微分しているか」が違う点に注意しなくてはいけない。

↑はx方向の微小変化に対しrがどれだけ増加するか(つまり、${\partial r\over \partial x}$)と、r方向の微小変化に対しxがどれだけ増加するか(つまり、${\partial x\over\partial r}$)を図示したもの。こう考えるとどちらも$\cos\theta$だとわかる。

 逆に「どの変数を固定しているのか」が同じであれば、常微分のときと同様に${\partial r\over \partial x}={1\over {\partial x\over \partial r}}$が成立する。${y}$を一定とすることにすれば、

\begin{equation} \left( {\partial r\over \partial x}\right)_{\!\!{y}} = {1\over \left( {\partial x\over \partial r}\right)_{\!\!{y}}} \end{equation}

である。確認しよう。左辺は

\begin{equation} \left( {\partial \sqrt{{x}^2+{y}^2}\over \partial x}\right)_{\!\!{y}} ={{x}\over \sqrt{{x}^2+{y}^2}}={{x}\over {r}} \end{equation}

右辺の分母は、${r}$と${y}$を変数と考えての微分だから、${x}=\pm\sqrt{{r}^2-{y}^2}$として、

\begin{equation} \pm\left({\partial \sqrt{{r}^2-{y}^2}\over \partial r}\right)_{\!\!{y}} =\pm{{r}\over\sqrt{{r}^2-{y}^2} }={{r}\over {x}} \end{equation}

となり、確かにこの二つは逆数である。

よくある誤り

 常微分の時に${\mathrm dz\over \mathrm dy}{\mathrm dy\over \mathrm dx}={\mathrm dz\over \mathrm dx}$ができたのだから偏微分でも${\partial z\over \partial y}{\partial y\over \partial x}={\partial z\over \partial x}$だろう。

 これも、省略記法で書いているせいで「これでいい」と勘違いしてしまうことがある。誤解がないよう省略なしで書くと、常微分は${\mathrm dz(x)\over \mathrm dy}{\mathrm dy(x)\over \mathrm dx}={\mathrm dz(y(x))\over \mathrm dx}$である一方偏微分は$\left({\partial z(x,y)\over \partial y}\right)_{\!\!x}\left({\partial x(y,z)\over \partial z}\right)_{\!\!y}\left({\partial y(z,x)\over \partial x}\right)_{\!\!z}$であり、本質的に違う計算なのである常微分の方では「$x$が決まると$y$が決まり、次に$z$が決まる」という関係、偏微分の方は「$x$と$y$が決まると$z$が決まる(あるいはこの立場入れ替え)」という関係を保ちつつ変化量の計算(微分)が行われる。

 例として、${x}^2+{y}^2+{z}^2=R^2$が成り立つ(つまり、3次元の球面の上に$({x},{y},{z})$がある)場合を考えよう。この場合${z}=\pm\sqrt{R^2-{x}^2-{y}^2}$とか${y}=\pm\sqrt{R^2-{x}^2-{z}^2}$のような関係式がある。複号があると考えるのが面倒なので、考える範囲を${x},{y},{z}$が全て正である領域に限ろう。すると複号は全て正になる。微分を実行すると、

\begin{equation} \left({\partial z({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}} =- {{y}\over \sqrt{R^2-{x}^2-{y}^2}},~~~~ \left({\partial y({x},{z})\over \partial x}\right)_{\!\!{z}} =- {{x}\over \sqrt{R^2-{x}^2-{z}^2}} \end{equation}

である。この二つの掛算をし、$\sqrt{R^2-{x}^2-{z}^2}={y}$であることを使うと、

\begin{equation} \left({\partial z({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}} \left({\partial y({x},{z})\over \partial x}\right)_{\!\!{z}} ={{y}\over \sqrt{R^2-{x}^2-{y}^2}}\times{{x}\over \sqrt{R^2-{x}^2-{z}^2}} ={{x} \over \sqrt{R^2-{x}^2-{y}^2}} \end{equation}

となる。一方、

\begin{equation} \left({\partial z({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}} =- {{x}\over \sqrt{R^2-{x}^2-{y}^2}} \end{equation}

だから、この二つの式から

\begin{equation} \left({\partial z({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}} \left({\partial y({x},{z})\over \partial x}\right)_{\!\!{z}} = - \left({\partial z({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}\label{henbibunminus} \end{equation}

が正しい(右辺のマイナス符号に注意!)。

 この式が一般的に正しいことを二通りの方法で示そう。

 ${x},{y},{z}$という3次元の空間を考えて、ある関係式(上の例では${x}^2+{y}^2+{z}^2=R^2$であった)があることによりこのうち二つが独立であったとする。

 関係があるのだから、三つの変数のうち一つを他の二つで表すことができる。そこで

\begin{equation} {x}=X({y},{z}),~ {y}=Y({x},{z}),~ {z}=Z({x},{y}) \end{equation}

という三つの式を作ることができたものとしよう。第3の式に第2の式を代入すると、

\begin{equation} {z}=Z\left({x},Y({x},{z})\right)\label{zz} \end{equation}

という式ができる。計算の結果、この式は${z}={z}$という当たり前の式に戻る筈である(上の例、${z}=\pm\sqrt{R^2-{x}^2-{y}^2}$と${y}=\pm\sqrt{R^2-{x}^2-{z}^2}$を代入して確認してみよ)。

つまり、この式\式{zz}の右辺は${x}$を含んでいるように見えるが、実は含んでいない(計算をすれば消えてしまう)。ここで、両辺を「${z}$を一定として${x}$で微分」する。計算するまでもなく(${z}$を一定としているのだから)左辺の微分は0である。一方右辺は${x}$が2箇所にあることから微分の結果は二つの式の和となり、結果が0となる(二つの項が打ち消す)。すなわち、

\begin{equation} 0=\left( {\partial z(x,Y)\over \partial x}\right)_{\!\!Y} +\left( {\partial z(x,Y)\over \partial Y}\right)_{\!\!{x}}\left( {\partial Y({x},{z})\over \partial x}\right)_{\!\!{z}} \end{equation}

が導かれる。この式は\式{henbibunminus}と同じ式である(移項の際に$-$が出る)。

 以上は計算による導出だが、次に図解を試みよう。変数の間の関係式を成立させつつ、三つの変化

  1. ${x}$を一定として${y}$を変化させる。連動して${z}$が変わる。
  2. ${y}$を一定として${z}$を変化させる。連動して${x}$が変わる。
  3. ${z}$を一定として${x}$を変化させる。連動して${y}$が変わる。

を起こして元の場所に戻ってくる経路を考える。

図ではわかりにくい点もあるので、↓のような立体模型を作って説明した。

なぜ「戻ってくる」経路を考えているかというと、後で経路を0にする(つまり、この三角形が一点に縮まる)極限を取るから。

 それぞれの過程において図に描き込んだような分数を計算し、その掛算を行うと、

\begin{equation} {\Delta y\over -\Delta z}\times {\Delta z\over -\Delta x}\times {\Delta x\over -\Delta y}=-1 \end{equation}

となる(分母分子に同じものが2回ずつ現れ、分母にマイナスが3回現れる)。極限を取ればこれは

\begin{equation} \left({\partial y(x,z)\over \partial x}\right)_{\!\!z}\times \left({\partial z(x,y)\over \partial y}\right)_{\!\!x}\times \left({\partial x(y,z)\over \partial z}\right)_{\!\!y}=-1 \end{equation}

になる。ここで、$ \left({\partial x(y,z)\over \partial z}\right)_{\!\!y}={1\over \left({\partial z(x,y)\over \partial x}\right)_{y} }$である(この場合は、同じ変数$y$を固定しての微分だから、逆数になってよい)から、この式は\式{henbibunminus}と同じ式である。

この符号の違いを、「常微分なら$+$、偏微分なら$-$」などと機械的に覚える---ことは絶対しないように。
偏微分でも、固定する変数が違わなければマイナス符号は出ない。たとえば$\left({\partial f\over \partial z}\right)_{\!\!x}\times \left({\partial z\over \partial y}\right)_{\!\!x}=\left({\partial f\over \partial y}\right)_{\!\!x}$である。「なぜこうなるのか(符号がつくのか)」という本質を理解すべし。
受講者の感想・コメント

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受講者の感想・コメント

 青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

今日の講義は90分ずっと集中することができる途中で何回かボォーっとしてしまいました。集中力のなさに悲しくなりました。もう少し気合を入れていきたいと思いました。
今日はいろいろ盛りだくさんだったので、しっかり整理しなおしておいてください。

偏微分のよくある間違いには、ちゃんと気をつけるようにしたいです。
注意して、意味を考えて微分していきましょう。

よく間違えるポイントは、聞かなければ間違えていたと思う!! 分かったので、間違えないようにしたい!!
偏微分という計算の中身をわかっていれば、間違えないはずです。理解しておきましょう。

そろそろ勉強します!! 今日の授業を聞いて焦りました。
「そろそろ」って、あと2週間で終わりだよ〜。

偏微分の注意点を聞いて、だからだめなんだとすごく感じました。
だめ? これまで注意を怠ってた、ってことかな。じゃあ次から気をつけましょう。

方向微分について学んだ。極座標を使う解法や偏微分の計算なども徐々に慣れてきているのでがんばりたい。
計算には慣れていきましょう。

偏微分と常微分の計算ルールの違いについて理解することができました。
計算の中身とルールを結びつけて理解しておいてください。

自然科学のための数学は何を(参考書の的なものの種類)勉強すればよいですか? 実際に問題を解いてみたいので。
「微分方程式」に関する演習書をやればいいでしょう。もうそろそろ授業終わりなんだけど…。

図で考えると少し分かりやすかったです。もっと手を動かして考えてみます。まちがえやすい所もまちがえないように気をつけます。
手を動かして、偏微分の概念を自分のものにしてください。

偏微分でのよくある誤りについて学んだ。間違えないようによく理解したいと思います。
中身をしっかり理解しておきましょう。

今日の最後の誤りのところをしっかり理解したい。
偏微分の意味をちゃんと理解していれば、大丈夫です。

3つの誤りをしないよう、ちゃんと理解しようと思った。
偏微分とは何か、そこをきっちり理解しよう。

微分に方向があるということがわかったけど、計算するときにこんがらがってしまいそうだと思いました。
こんがらがりやすいところではあります。だからこそ慎重に。

偏微分と常微分の違いがよく分かった。しっかり頭に入れて、偏微分を勉強していく。
「何を計算しているか」をよく考えて勉強していきましょう。

三つのよくある誤りをしないように気をつけます。
偏微分と常微分の違いに気をつけておきましょう。

偏微分は常微分と違うことがわかりました。
もちろん、違います。

グラフの手作りのやつわかりやすい。ありがたい。
2変数関数では、3次元的イメージは大事です。

間違いやすいポイントを知ったので復習して間違えないようにします。
練習しておきましょう。

来週、微積のテストがあるんですけど、問題をとくときに役立ちそうなものがあって助かりました。
そっちの方もがんばってください。

図形の分母分子にもってくるものはなんでもいいのですか?(入れ替えてもよい?)。
${\partial y\over \partial x}=\lim_{\Delta x\to0}{\Delta y\over -\Delta x}$という形になっているので、上下ひっくり返すと左辺も右辺もひっくり返ります。だから、出したい式に合わせて上下を決めます。

常微分ではできるけど偏微分ではできない例が、少し理解できた。
偏微分という計算の意味を、しっかり理解しておきましょう。

最後にやった図解がすごいと思った。一定にする変数に気をつけようと思う。
偏微分では「何を定数にしたか」を間違えると答が変わるので気をつけましょう。

偏微分で間違えてはいけないポイントが三つあるというのを知ってたいへんそうだと思ったけど、偏微分には方向があるということに基づいて考えるの理解しやすかった。
偏微分がどういう計算か、をちゃんと理解していれば間違えなくなるはずです。

復習をしっかりと行っていきたい。
がんばりましょう。

少し難しかった。
がんばって復習してください。

先週の復習をしてくださって、とてもありがたかったです。先週分からなかったのですが、今週分かるようになりました。今回も難しかったので、復習したいと思います。後期のテストでは、カンニングペーパー持ち込み可でしょうか?
テストの形式については来週決めましょうか。

よくある間違いはしないようにしたいですが、そればかり気にすると足元をすくわれそうなのでほどほどにしたいです。
「間違いはしないように」と気をつける必要はないんです、ちゃんと偏微分のことがわかっていれば、間違えないですから。

偏微分の誤りやすい注意点が私がよくやりそうな誤りだったので気を付けたいです。
では、注意していきましょう。

$\left({\partial z({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}\left({\partial y({x},{z})\over \partial x}\right)_{\!\!{z}}= - \left({\partial z({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}$のマイナスは$(-1)^3$からきているのかと感じた。もしそうならもう一つ次元が上がればマイナスはプラスになるのか? 関係有るのか気になった。
では、考えてみてください。変数が多くなる分考えるのたいへんになりますが。

偏微分には気をつけます。
偏微分という計算の中身をしっかり理解するようにしましょう。

常と偏の違いがよくわかりました。
理解して、使っていってください。

常微分でできるから偏微分でもできるという考えは持たないようにしたい。
「何を計算しているか」をよく考えていきましょう。

記号が同じだから、とうっかり約分しそうです。
外面でなく、計算の中身を見て判断しましょう。

極座標の偏微分について他の授業でもやりましたが、やっと頭に染み付いた気がします。
染みつけておいてください。きっと、これからも使うはずですから。

偏微分には方向がある→方向をそろえる意味を図解で理解できました。
実際の微分はいろんな方向に行うので、それぞれ工夫が必要です。

偏微分が常微分と異なっていて、よく間違える注意点を守らないと常微分の解き方ではまずいなと思いました。
同じところ、違うところがいろいろあるので、よく理解したうえで使っていきましょう。

空間座標と偏微分

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