1変数の微分方程式---序論

微分方程式とは

　「微分方程式(differential equation)」とは、独立変数$x$、従属変数$y$と、その微分${\mathrm d\over\mathrm dx} y,\left({\mathrm d\over \mathrm dx}\right)^2y,\cdots$の間にある

$$\begin{equation} \Phi\left(x,y,{\mathrm d\over\mathrm dx} y,\left({\mathrm d\over \mathrm dx}\right)^2y,\cdots\right)=0 \end{equation}$$

のような形で書ける関係式（$\Phi$は任意の関数）であり、この式を満たす$y$と$x$の関係を（$y=f(x)$などのような形で）求めるのがその目的である。グラフで考えると一階微分${\mathrm d\over\mathrm dx} y$は傾きを、二階微分$\left({\mathrm d\over \mathrm dx}\right)^2y$は曲がり具合を表現している。つまり微分方程式は「ある場所$(x,y)$での局所的(local)な情報」の間の関係式である。一方、関数$y=f(x)$を与えると、二つの変数の間の関係を大域的（global）に与える。微分方程式を解くというのは局所的情報から大域的情報を導くことであるとも言える（逆に微分は、大域的情報から局所的情報を得る）。

簡単な微分方程式から

答が直線になる微分方程式

　ある点において、傾きが1とはグラフにおいて右斜上45度の方向に線が伸びていくことである。そこで、この節の図ではこれをと表現することにしよう。

　微分方程式の示す命令に従い進んでいけばどのような線ができあがるか}を考えるのが微分方程式を解くことである。

　最も単純な微分方程式である

$$\begin{equation} {\mathrm dy\over\mathrm dx}=0\label{DEzero} \end{equation}$$

は「至るところで傾き0」を表す。その様子を表したのが右のグラフで、「傾き0」または「右に進め」という命令を表すで埋め尽くされている。

　この方程式の解は計算するまでもない。

$$\begin{equation} y=C\label{DEzerosol} \end{equation}$$

である（式${\mathrm dy\over\mathrm dx}=0$を積分した結果が式$y=C$だと考えても同じこと）。右辺が0でない、もっとも簡単な例として微分方程式${\mathrm dy\over\mathrm dx}=1$を考えると、

というふうに角度45度の傾きであることがわかり、これにglobalな情報を描き込む（つまり、関数がどんな線になるかを描き込む）と、

のようになる。ここで線は一本ではなく、全平面を埋め尽くすように引かれる。つまり、微分方程式の解は一本の線ではなく、多数（実は、無限本）の線である。

答えが放物線になる微分方程式

　積分曲線が文字通り「曲線」になる例に行こう。${\mathrm dy\over \mathrm dx}=x$を考えてみる。この場合、$x$が大きくなると（グラフ上で右に行くと）傾きが大きくなっていく。

　こういう性質をもった量は自然科学にもよく登場するたとえばバネは伸び縮みに比例して力が強くなる。力はエネルギーの増加に比例するので、傾きが力に比例するとすれば、この$y$はエネルギーである。。

　$y$軸の上では$x=0$だから、傾きも0（水平すなわち）となる（図では$y$軸の真上には○を描いていないが）。$x$が増加する（グラフ上で右に移動する）にしたがって傾きは増加していき、$x=1$の場所では傾きが1（図では）になる。

　また、$x<0$の領域に行くと傾きがマイナス（右下がり）になっていることもわかるであろう。

　${\mathrm dy\over \mathrm dx}=x$という式を見たときに、以上のような図形的イメージを持って欲しい。

　このグラフで各点各点をこの傾きで通るように線をつないでいくと$y={x^2\over 2}+C$で表される線、いわゆる放物線ができる後で具体的に計算するが、この線は「平行光線を一点に集めるにはどのように鏡を配置すればよいか」という問題の解でもある。中心から離れれば離れるほど鏡を傾けないと一点に集まらない、と思えばだいたいこういう形になりそうだ、というのはわかるだろうか？（それを計算で示してしまうのが数学の力だ）。。微分方程式${\mathrm dy\over \mathrm dx}=x$は、「ある場所で線がどっちを向いているか（ローカルな情報）」を表している。それから、解$y={x^2\over 2}+C$すなわち「どんな線か（グローバルな情報）」を導くというのが「微分方程式を解く」という作業なのである。

答が指数関数となる微分方程式

これまでもでてきた

$$\begin{equation} {\mathrm dy\over\mathrm dx} =y \end{equation}$$

も微分方程式である。

　では、この式を解こう。この式の解の少なくとも一つである「微分すると$y$に戻る関数」を、我々はとっくに知っていて、

$$\begin{equation} y={\mathrm e}^{x}\label{solex} \end{equation}$$

がその答えであるが、これは「一つの解」であり「全ての解」ではない。

　この式がグラフの傾きを決めているという立場に立って考えてみると、上のような「傾きの図」が描ける。図に示したたくさんの線のうち、太い線で示したのが、$y={\mathrm e}^{x}$のグラフである。この太い線一本では、${\mathrm dy\over \mathrm dx}=y$を満たす線の全てが表現されていない。

　数式としての側面から「複数の解がある」ことを見てみよう。式をよく見ると、${\mathrm e}^{x}$に定数$A$を掛けた$y=A{\mathrm e}^{x}$もまた、この微分方程式を満たすことがわかる。両辺が$f(x)$に関して1次式だからである一般に、微分方程式が求めるべき関数$y$に関して同次（1次なら1次ばかり、2次なら2次ばかりを含んでいる）ならば、定数倍しても解である。。ということは、任意の定数を$A$として

$$\begin{equation} y=A{\mathrm e}^{x} \end{equation}$$

がすべて解となる。あらゆる$A$の値に対応する一つずつの${y}$すべてが解である（図参照）。

　図で、どの点においてもグラフの線の進む向きが各点ので表されていることを確認しよう。

　「一つの解」である$y={\mathrm e}^{x}$を「特別な解」という意味で「特解(particular solution)」と呼ぶのに比べ、$y=A{\mathrm e}^{x}$という解を「一般解(general solution)」（これで微分方程式のすべての解を表現している、という意味で「一般」をつける「一般解」という用語の意味は少し混乱がある。後で述べる。）と呼ぶ。

　一般解はたくさんあり（上の場合、$A$が変われば解が変わるから、無限個の解がある）、微分方程式だけでは一つに定まらない。解を一つに定めるためには、$x=0$で$y=1$とする（この場合$A=1$）のようになんらかの付加的な条件を置く。

　このような条件は状況に応じて「境界条件(boundary condition)」あるいは「初期条件(initial condition)」などと呼ばれる条件を定める場所が時間的な「最初」である時に「初期条件」という言葉がよく選ばれる。。

指数関数が出てくる自然現象の例

　このような方程式に従う自然現象の例に、放射性物質の崩壊がある。放射性物質は、「半減期」と呼ばれる一定期間（以下$T$とする）を経過すると元の量の${1\over 2}$が崩壊し、別の物質に変化する注意すべきは「半減期の2倍」の時間が経過すると全部なくなるのではなく、元の量の${1\over 4}$になる、ということ。。時刻$t$で残っている放射性物質の量は$N(t)=N(0)\left({1\over 2}\right)^{t\over T}$という、${t\over T}$が1増えるごとに${1\over 2}$になるという式で表される。

　ここで${1\over 2}={\mathrm e}^{-\log 2}$を使って、

$$\begin{equation} N(t)=N(0)~{\mathrm e}^{-{\log 2\over T}t} \end{equation}$$

と書く。これは言わば大局的な情報としての式である（そして、実験的にもよく確認された式であると言える）。では、この式にはどのような自然法則が隠れているだろうか。「微分」という作業がこの現象の局所的情報を取り出してくれる。

この式を微分してみると、

$$\begin{equation} \begin{array}{c} {\mathrm d \over \mathrm dt}N(t)=-{\log2\over T} N(t) \\ ~~または~~\\ \mathrm dN=-{\log2\over T}{N} \mathrm dt \end{array} \label{hangenDE} \end{equation}$$

のように、${\mathrm dy\over\mathrm dx}=y$に似た式が出る違いは$x\to t,y\to {N}$という変数の違いと、右辺に定数係数$-{\log2\over T}$がついていること。。

　この式$\mathrm dN=-{\log2\over T}{N} \mathrm dt$は、微小時間$\mathrm dt$の間に放射性物質の量が$-{\log 2\over T}{N}\mathrm dt$だけ減ることを表す。すなわち、今ある量に比例して減るという法則を示している。ある一個の放射性物質の原子に着目すると、その原子はまわりの状況や物質の状態とは無関係に一定確率で崩壊するまわりの状況によって変化する確率が違ってくる場合は、また別の形の微分方程式が出てくる。。これが生物の死であれば「年老いた個体は死にやすい」「密集した環境では食料が確保できず死にやすい」などの理由で確率が変わる。原子には「年齢」のような個性がないこと、その崩壊が周りの環境に左右されないことなど（どちらも物理法則からくること）が、見えている現象としての崩壊の様子から逆算してわかる。逆にいえば、そういう性質を持っている物が起こす現象は、これと同様の微分方程式で記述できるだろう。