自然科学のための数学2015年度第16講

 今日は前期の復習ということで、微分方程式の一般論について。
テキストは前期の最後にやった部分と同じである。

1変数の微分方程式---序論

微分方程式とは

 「微分方程式(differential equation)」とは、独立変数$x$、従属変数$y$と、その微分${\mathrm d\over\mathrm dx} y,\left({\mathrm d\over \mathrm dx}\right)^2y,\cdots$の間にある

\begin{equation} \Phi\left(x,y,{\mathrm d\over\mathrm dx} y,\left({\mathrm d\over \mathrm dx}\right)^2y,\cdots\right)=0 \end{equation}

のような形で書ける関係式($\Phi$は任意の関数)であり、この式を満たす$y$と$x$の関係を($y=f(x)$などのような形で)求めるのがその目的である。グラフで考えると一階微分${\mathrm d\over\mathrm dx} y$は傾きを、二階微分$\left({\mathrm d\over \mathrm dx}\right)^2y$は曲がり具合を表現している。つまり微分方程式は「ある場所$(x,y)$での局所的(local)な情報」の間の関係式である。一方、関数$y=f(x)$を与えると、二つの変数の間の関係を大域的(global)に与える。微分方程式を解くというのは局所的情報から大域的情報を導くことであるとも言える(逆に微分は、大域的情報から局所的情報を得る)。

 なぜこういう手法が有効なのかというと、自然を相手にした時、全部(つまり、大局的状況)をいっぺんに考える(globalに考える)ことが人間の手に余ることが多いからである。ゆえに我々は狭い領域(つまり、局所的状況)をまず考える(localに考える)ことにする。そしてその狭い領域での「法則」を見つけてから前に進む。
 この方法は物理などの自然科学でこれまで大きな成果(ニュートン力学、電磁気学、流体力学、みんなそう)を上げてきたのである。
テキストではここに微分方程式の分類についての話があるが、それは省略。
ここで、受講者の皆さんには「微分方程式を図解する」というプログラムをインストールしたandroidタブレットで遊びつつ、微分方程式のイメージを理解してもらった。以下はそれをさらに説明する。

簡単な微分方程式から

答が直線になる微分方程式

 ある点において、傾きが1とはグラフにおいて右斜上45度の方向に線が伸びていくことである。そこで、この節の図ではこれをと表現することにしよう。

ここからしばらく${\mathrm dy\over \mathrm dx}=$なんとかの形の一階微分方程式を扱うが、この式の表すところは、
「この微分方程式の解のグラフを描くと、$x$-$y$平面のある点においての傾きはなんとかになる」
である。マークを「この場所では右上45度の方向に進め」という命令と解釈しよう。

 微分方程式の示す命令に従い進んでいけばどのような線ができあがるか}を考えるのが微分方程式を解くことである。

 最も単純な微分方程式である

\begin{equation} {\mathrm dy\over\mathrm dx}=0\label{DEzero} \end{equation}

は「至るところで傾き0」を表す。その様子を表したのが右のグラフで、「傾き0」または「右に進め」という命令を表すで埋め尽くされている。

 「微分方程式を図解する」には、↑の図の動くバージョンがある。

 この方程式の解は計算するまでもない。

\begin{equation} y=C\label{DEzerosol} \end{equation}

である(式${\mathrm dy\over\mathrm dx}=0$を積分した結果が式$y=C$だと考えても同じこと)。右辺が0でない、もっとも簡単な例として微分方程式${\mathrm dy\over\mathrm dx}=1$を考えると、

というふうに角度45度の傾きであることがわかり、これにglobalな情報を描き込む(つまり、関数がどんな線になるかを描き込む)と、

のようになる。ここで線は一本ではなく、全平面を埋め尽くすように引かれる。つまり、微分方程式の解は一本の線ではなく、多数(実は、無限本)の線である。

『方程式』を解いたのに、答がたくさん出てくるのですか?
 そもそも「方程式を解く」というのは、「式の形で与えられた条件に合う『もの』を見つける」ということである。「二次方程式$x^2-4x-12=0$」ならば条件に合う『もの』は$x=6,-2$という二つの数だが、今解いている「微分方程式」の場合、解となる『もの』は数ではなく関数なのである。 微分方程式は、数式として表現すれば「微係数${\mathrm dy\over \mathrm dx}$」を決める式である。一方、図形で考えると、各点各点で、だったりだったりという「グラフの傾き」を決めているのが微分方程式である。(これは「局所的な法則である」と言ってもいい)。 グラフの傾きだけ決めても、グラフ全体は「どこを通るか」を変えれば一般に変わる。微分方程式の答として線が得られるが、出発点が違っていれば結果としてできあがる線も違うものになってしまう。そのため、微分方程式の「解」は1つには決まらない。これは微分方程式の持つ、一般的な性質である。

答えが放物線になる微分方程式

 積分曲線が文字通り「曲線」になる例に行こう。${\mathrm dy\over \mathrm dx}=x$を考えてみる。この場合、$x$が大きくなると(グラフ上で右に行くと)傾きが大きくなっていく。

 こういう性質をもった量は自然科学にもよく登場するたとえばバネは伸び縮みに比例して力が強くなる。力はエネルギーの増加に比例するので、傾きが力に比例するとすれば、この$y$はエネルギーである。

 $y$軸の上では$x=0$だから、傾きも0(水平すなわち)となる(図では$y$軸の真上には○を描いていないが)。$x$が増加する(グラフ上で右に移動する)にしたがって傾きは増加していき、$x=1$の場所では傾きが1(図では)になる。

 また、$x<0$の領域に行くと傾きがマイナス(右下がり)になっていることもわかるであろう。

 ${\mathrm dy\over \mathrm dx}=x$という式を見たときに、以上のような図形的イメージを持って欲しい。

 このグラフで各点各点をこの傾きで通るように線をつないでいくと$y={x^2\over 2}+C$で表される線、いわゆる放物線ができる後で具体的に計算するが、この線は「平行光線を一点に集めるにはどのように鏡を配置すればよいか」という問題の解でもある。中心から離れれば離れるほど鏡を傾けないと一点に集まらない、と思えばだいたいこういう形になりそうだ、というのはわかるだろうか?(それを計算で示してしまうのが数学の力だ)。微分方程式${\mathrm dy\over \mathrm dx}=x$は、「ある場所で線がどっちを向いているか(ローカルな情報)」を表している。それから、解$y={x^2\over 2}+C$すなわち「どんな線か(グローバルな情報)」を導くというのが「微分方程式を解く」という作業なのである。

この$C$は複素数でもいいんですか?
それは状況によります。考えている$x$や$y$が実数の範囲のものなら、$C$も実数にしなくてはダメ。通常自然科学で出てくる変数は実数であることが多いから、$C$も実数に限ることが多いですね。

答が指数関数となる微分方程式

これまでもでてきた

\begin{equation} {\mathrm dy\over\mathrm dx} =y \end{equation}

も微分方程式である。

 これは「増加量が現在の値に比例する」という方程式になっている。こんな量は何かないか?
放射性物質の崩壊。
そう、それは「増加量」というよりは「減少量」だけどいい例。では他には??
人口増加とか。
おう、それもあるね。ただし、「誰も死ななかった場合」でないとこの微分方程式にはならない。人口の場合は減ることもあるから。
他には、嬉しい例では貯金、悲しい例では借金がある。どっちも1年何%という割合で増えるから。

 では、この式を解こう。この式の解の少なくとも一つである「微分すると$y$に戻る関数」を、我々はとっくに知っていて、

\begin{equation} y={\mathrm e}^{x}\label{solex} \end{equation}

がその答えであるが、これは「一つの解」であり「全ての解」ではない。

 この式がグラフの傾きを決めているという立場に立って考えてみると、上のような「傾きの図」が描ける。図に示したたくさんの線のうち、太い線で示したのが、$y={\mathrm e}^{x}$のグラフである。この太い線一本では、${\mathrm dy\over \mathrm dx}=y$を満たす線の全てが表現されていない。

 数式としての側面から「複数の解がある」ことを見てみよう。式をよく見ると、${\mathrm e}^{x}$に定数$A$を掛けた$y=A{\mathrm e}^{x}$もまた、この微分方程式を満たすことがわかる。両辺が$f(x)$に関して1次式だからである一般に、微分方程式が求めるべき関数$y$に関して同次(1次なら1次ばかり、2次なら2次ばかりを含んでいる)ならば、定数倍しても解である。。ということは、任意の定数を$A$として

\begin{equation} y=A{\mathrm e}^{x} \end{equation}

がすべて解となる。あらゆる$A$の値に対応する一つずつの${y}$すべてが解である(図参照)。

 図で、どの点においてもグラフの線の進む向きが各点ので表されていることを確認しよう。

さっき、借金もこの微分方程式を満たすという話をしたけど、この指数関数のグラフのぐっと上昇するところを見て「借金は早く返さないとやばいな」と思ってください。数学以前の、人生の知恵です。

 「一つの解」である$y={\mathrm e}^{x}$を「特別な解」という意味で「特解(particular solution)」と呼ぶのに比べ、$y=A{\mathrm e}^{x}$という解を「一般解(general solution)」(これで微分方程式のすべての解を表現している、という意味で「一般」をつける「一般解」という用語の意味は少し混乱がある。後で述べる。)と呼ぶ。

 一般解はたくさんあり(上の場合、$A$が変われば解が変わるから、無限個の解がある)、微分方程式だけでは一つに定まらない。解を一つに定めるためには、$x=0$で$y=1$とする(この場合$A=1$)のようになんらかの付加的な条件を置く。

 このような条件は状況に応じて「境界条件(boundary condition)」あるいは「初期条件(initial condition)」などと呼ばれる条件を定める場所が時間的な「最初」である時に「初期条件」という言葉がよく選ばれる。

指数関数が出てくる自然現象の例

 このような方程式に従う自然現象の例に、放射性物質の崩壊がある。放射性物質は、「半減期」と呼ばれる一定期間(以下$T$とする)を経過すると元の量の${1\over 2}$が崩壊し、別の物質に変化する注意すべきは「半減期の2倍」の時間が経過すると全部なくなるのではなく、元の量の${1\over 4}$になる、ということ。。時刻$t$で残っている放射性物質の量は$N(t)=N(0)\left({1\over 2}\right)^{t\over T}$という、${t\over T}$が1増えるごとに${1\over 2}$になるという式で表される。

 ここで${1\over 2}={\mathrm e}^{-\log 2}$を使って、

\begin{equation} N(t)=N(0)~{\mathrm e}^{-{\log 2\over T}t} \end{equation}

と書く。これは言わば大局的な情報としての式である(そして、実験的にもよく確認された式であると言える)。では、この式にはどのような自然法則が隠れているだろうか。「微分」という作業がこの現象の局所的情報を取り出してくれる。

この式を微分してみると、

\begin{equation} \begin{array}{c} {\mathrm d \over \mathrm dt}N(t)=-{\log2\over T} N(t) \\ ~~または~~\\ \mathrm dN=-{\log2\over T}{N} \mathrm dt \end{array} \label{hangenDE} \end{equation}

のように、${\mathrm dy\over\mathrm dx}=y$に似た式が出る違いは$x\to t,y\to {N}$という変数の違いと、右辺に定数係数$-{\log2\over T}$がついていること。

 この式$\mathrm dN=-{\log2\over T}{N} \mathrm dt$は、微小時間$\mathrm dt$の間に放射性物質の量が$-{\log 2\over T}{N}\mathrm dt$だけ減ることを表す。すなわち、今ある量に比例して減るという法則を示している。ある一個の放射性物質の原子に着目すると、その原子はまわりの状況や物質の状態とは無関係に一定確率で崩壊するまわりの状況によって変化する確率が違ってくる場合は、また別の形の微分方程式が出てくる。。これが生物の死であれば「年老いた個体は死にやすい」「密集した環境では食料が確保できず死にやすい」などの理由で確率が変わる。原子には「年齢」のような個性がないこと、その崩壊が周りの環境に左右されないことなど(どちらも物理法則からくること)が、見えている現象としての崩壊の様子から逆算してわかる。逆にいえば、そういう性質を持っている物が起こす現象は、これと同様の微分方程式で記述できるだろう。

 このように、微分方程式はある狭い範囲(空間的な範囲であることもあるし、時間的な範囲であることもある)で成り立つ法則を記述している。微分方程式を解くことは、「狭い範囲で成り立つ法則」から「広い範囲で成り立つ式」を作っていくことである。自然現象は複雑なものであり、それを一気に理解するのは人間の思考の範疇を超えている場合がある。そのようなとき、狭い範囲だけを見てまず「微小領域で成り立つ法則」を導き出すことで理解していこうというのが微分方程式を作り解いていくときの考え方である。自然科学を深く勉強していけば、この「まずは微小領域で考える」という考え方が、意外なほどに多くの場面で有効であることに気づくだろう。
受講者の感想・コメント

受講者の感想・コメント

 青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

夏休みで忘れていた微分方程式を思い出しました。
忘れてしまうような勉強をしないようにしましょう。

微分法ていs気というのがlocalな情報からglobalな関係を導くことだということが分かった。またh,${\mathrm dy\over\mathrm dx}=y$が指数関数になることに驚いた。
この解が指数関数になるのは基本中の基本なので、しっかり理解しておこう。

この授業のIを取ったのが去年の前期なのでブランクがあるが、この授業で習ったことが専門の授業でたくさんでてきたのでIIもしっかり集中して受けていきたい。
使うための数学を勉強していきましょう。

最後の放射性物質の話がおもしろかった。あと、以外といろんなことを忘れていてあせった。来週までに復習しないといけないと思った。
いろんなことを忘れないように身につけていきましょう。

前期ではこの授業を選択しておらず、後期から選択することとなったが、授業はどのような方針で行われるかがわかった。講義名のとおり、授業内で自然界でこの式はどう使われるかを知る機会を得ることができた
では、後期ではよろしく。

localな部分からglobalな部分をみるとき、グラフの場所までは決められないことをちゃんと心に止めなくてはいけないと改めて思いました。
何を計算しているかを考えながらやれば、大丈夫です。

「微分方程式を解く」の意味を理解しました。これからもっと数学をがんばりたいと思います。
どんどん解いていってください。

タブレットのアイコンの数が増えた気がする。
機械によってインストールしてあるソフトの数が違います。

微分方程式の基礎がわかった。復習をしっかりしたい。
復習よろしく。

微分方程式について学んだ。今期もよろしくお願いします。
はいよろしく。

微分方程式をもっと詳しく知りたいと感じた。また基礎を忘れているところがあるので復習を大切にしたい。
これからいろいろ、詳しくやっていきます。基礎はしっかり身につけよう。

かんたんな微分方程式を解いた。
これからだんだん難しくなります。

微分方程式を立て、解くことは今後重要なことの一つなので、この講義と自分の勉強でできるようにしたいです。
それはこの授業の目標なので、がんばってください。

微分方程式を少し忘れていたので、しっかり復習できてよかったです。特に変数分離を思い出せて安心しました。
変数分離はこれからも使っていきます。

夏休み明けで、結構忘れていることがあった。Iを復習して、授業が理解できるようにしておきます。今は簡単な微分方程式を扱っているので、ここでわからなくならないよう頑張ります。
忘れてしまわないような勉強の仕方を心がけましょう。

微分方程式の意味が理解できました。式が解けるだけで、グラフにするとどうなるか想像できなかったのが${\mathrm dy\over\mathrm dx}={y\over x}$とかなんですけど、ちゃんと理解できてなかったんだなと思いました。後期もよろしくお願いします。
絵でも式でも理解していきましょう。

微分積分の学習は久しぶりで忘れていることも多かったが、それでもついていけるように内容を工夫されていて分かりやすかった。専門的な用語は復習で改めて確認しようと思った。最後に放射性物質の話があったので、自然科学とのつながりも実感できてよかった。
自然科学とのつながりは常に意識していきましょう。

微分方程式の定義と使い方を再確認できた。「ニュートリノ振動ってなあに?」を物トピでやるのなら聴講したいものです。
ニュートリノ振動を出すにも、微分方程式や線形代数が必要。

微分方程式の基礎を理解しました。こう言うように、微分と積分の役割がすごく知りたいので、今回やっと少し理解した。ありがとうございます!
じっくり理解していきましょう。

数学を2年ぶりに勉強したので最初は難しかったけど、徐々に思い出せるように頑張ります。
数学をしっかり身につけてください。

微分方程式を解くことは局所的(local)情報から大局的(global)情報を導くこと。変数分離をもう一度見なおそうと思った。教科書が見やすくなった!
見やすくなってよかったです。

借金は指数関数で上がっていく。自然現象に対して微分方程式を使う。
借金は早く返そう。

とても分かりやすかったです。
それはよかった。

Iの方を落としてしまったので、しっかりIを復習してIIに臨みたいです。
はい今度こそ頑張りましょう。

確かにこの話したけど、で何が言いたかったのかな。

自然界で起こる実際の例を考えた方が興味も湧くしわかりやすかったので、これからも例を考えてみるようにしたい。
いろいろと考えてみてください。

聞きやすい。
それはよかった。

localな情報(微分方程式)→globalな情報(積分する)。dx:xの増加、dy:yの増加。変数分離を思い出した。
変数分離は身に染み付いてて欲しいなぁ。

久しぶりに前野先生の授業を受けて数学がんばろうとやる気が出ました。忘れているところが多いので復習してきます。
では、やる気出して頑張ってください。

放射性同位体の崩壊の式は暗記してたので、意味付けできてよかった。ビバ、微分方程式。
意味付けしておけば、暗記はいらないですね。

localな情報をglobalな情報に変換することが微分方程式を解くことだとわかった。
では、解けるようになりましょう。

微分方程式の一端について理解できたのでよかった。
まだ、「一端」なので、全貌まで頑張りましょう。

微分・積分の基本的な公式を忘れていた。授業を通して少しずつ思い出していきたい。
いや、授業ででなく、家庭学習でもう一度やっておきましょう。授業で、なんて言ってたら間に合わない。

微分方程式の性質について学べた。後期も頑張ってついていきたいです。
はい、頑張ってください。

微分方程式は、一部から全体的を導く。localからglobalへ、という求め方をするもの。そういった考え方をしたことがなかったので不思議に感じるところもあった。
微分方程式を解くときの動機は、そういうものなのです。

今日の講義で、前期の内容を少し復習できました。後期も頑張りたいです。
復習はしっかりと、後期は前期の内容の上に積み上げていきます。

何のために微分方程式を解くのかわかった。実際に自然現象を解明できるが数学だと思うと自分たちはすごい学問を学んでいるのだと思う。
数学がこんなにうまく自然現象を説明できるのは、不思議なほどです。

微分方程式とは何かを改めて理解できた。
これからたくさん解いていきます。

夏休みで頭が真っ白になってしまったので、勉強しなおさなきゃと思いました。
真っ白はいかんなぁ。

夏休みでちょっと内容がすっ飛んでましたが、微分方程式は前期に結構がんばったので、なんとか覚えていたのでホッとしました(笑)。後期も頑張ります。
せっかく頑張るなら、すっ飛ばないような勉強をしましょう。

${\mathrm dy\over\mathrm dx}=y$は借金の値の変化を表すというと、なんだかこの数式に温かみがあるように感じた。
たいていの数式には、その意味があるものです。

微分方程式が思い出せてよかった。
身につけて、思い出そうとしなくても出てくるようにしましょう。

自然科学では、局所的な情報から大局的情報を導くことができるけど、人の場合は、うまくいかないと思った。いやもしかしたらいけるかも。楽しかったです。
自然現象でも人間でも、複雑になると導くのは大変になってきますね。

前期の話を思い出してきた。
そもそも忘れないで欲しいんだけど。

微分方程式は微小区間から求めるものだということがわかった。
微小区間での変化量の間の式です。

久しぶりの授業&夏何もしなかったせいで、授業が必酸だったけど、なんとか理解することができた。
「必酸」?かならずすっぱいの?? 「悲惨」の間違い??

いねむりしてしまった。
しっかりして。

微分方程式についてわかった。変数分離の使い方を思い出した。
これからもどんどん使うよ。

昔の内容をほとんど忘れてしまったので、思い出すために復習をしたい。
「昔の」ってほど古くないはずだけど…まぁとにかく復習を。

様々な状況に対してlocalである微分方程式から積分してglobalなグラフにしていく流れの意味を理解することができた。
この流れでこれからも考えていきます。

${\mathrm dy\over\mathrm dx}=y$を変数分離して解く方法がわかった。
これからやることの基本です。

代表的な微分方程式を学ぶことができた。
いやいやいやいや。まだまだ初歩の初歩だけで、代表は言い過ぎ。

微分方程式とは何か、考えたことがなかったので、良い機会になりました。
いや、そこは普段から考えようよ。

ぼんやりとしかわかってなかった微分方程式について整理することができました。
ぜひ、「ぼんやり」でない理解をしてください。

声が大きくはっきりしていてとても聞き取りやすかったのでよかったです。
それはよかった。

$xy$平面全体にかたむきを書いて微分方程式を図示すると$y$切片が無数にあるというイメージがわかりやすくて、とてもよかった。
実は微分方程式の解の曲線はもっといろいろなのがあります。この後をお楽しみに。

微分方程式