量子力学(2004年)試験

＊プランク定数h、 $hbar$ =h/2πなど、必要な物理定数は解答に使用してよい。

＊計算の過程も解答用紙に書くこと（公式覚えてきて書いただけでは点はやれないし、途中が書いてないと部分点もあげられない）。

＊以下の問いのうち、４問を選択して答えよ。５問以上答えた場合は点数の高い方から４問分を集計して得点とする。

問い１
　量子力学を勉強中の下級生にこう質問されたら、あなたはどう答えるか。ほんとに下級生に教えるつもりで丁寧に書くこと。

(1)「量子力学では物理量が演算子だとか言いますが、運動量が-i $hbar$

だとか、エネルギーがi $hbar$

だとか、どこから決まったんですか。」

(2)「『波動関数ψ=exp(i(px-Et)/ $HBAR$ )はxの正の方向に運動量p を持った状態だ』と本に書いてあるんですが、この波動関数から確率密度を計算すると、ψ^{^*}ψ=1になっちゃいました。『運動量を持っている』って言うのに、確率が場所にも時間にもよらないってどーゆーことですか」

(3)「波動関数の接続条件って、ψと

ψが連続になるようにするって言うけど、

ψは連続にならなくていいみたいですね。どうしてですか？」

問い２
右図のようなグラフで表される波動関数がある（虚数部はないとする）。

(1) 波動関数を規格化したとすると、hはいくらになるか。

(2) xの期待値を求めよ。

(3) xの分散を求めよ。

(4) d→0の極限を取った時、標準偏差Δx(分散の平方根)はいくらになるであろうか。予想および、そのように予想した理由を述べたのち、実際に計算して確かめてみよ。

問い３
　A,Bをtを含まないエルミートな演算子とする。

　演算子Aがエルミートであるとは、任意の波動関数ψ,φに対し、

∫ ψ^{^*} Aφ dx = ∫ (Aψ)^{^*} φ dx

が成立することである。

(1)C=i[A,B]とすると、Cはエルミートな演算子であることを示せ。

(2) Aの固有関数をψ_{_a}として、固有値をaとする。aが実数でなくてはならないことを証明せよ。

(3) Aの固有値がa'である固有関数をψ_{_a'}とする。a≠a'であれば、ψ_{_a}とψ_{_a'}は直交する(∫ ψ^{^*}_{_a}ψ_{_a'}dx=0)ことを証明せよ。

(4)AがハミルトニアンHと交換する時、Aの期待値は時間によらないことを証明せよ。

問い４
　左のグラフで表したポテンシャルの中で、波動関数ψ(x)が左下のグラフで表せるような定常状態ができあがっている。ψ(x)は実数であり、虚数部はないとする。

(1)波動関数の二階微分

ψをψで割ったもの(

ψ/ψ)の符号は、図の点Aより左では負、右では正になっている。点Aは古典力学的に考えるとどのような点か。
(2) 点Oの右、点Aの左では、右へ行くほど波動関数の波長がだんだん長くなっているが、これはなぜだろうか。物理的解釈をのべよ。
(3) 点Oの右、点Aの左では、右へ行くほど波動関数の振幅がだんだん大きくなっているが、これはなぜだろうか。物理的解釈をのべよ。

問い５
右のグラフに書かれたようなポテンシャル

V(x)=

∞（x<0)
　　　= 0 (0≦x<L)
　　 = V_{_0}(L≦x)

のもとでシュレーディンガー方程式

を解く。0≦ x < Lにおける波動関数をψ_{_1}(x)、L≦ xにおける波動関数をψ_{_2}(x)としよう。V_{_0}>E>0が成立しているものとする。

(1) x=0におけるψ_{_1}(x)の境界条件はどのようなものか。
(2) x=Lにおける接続条件はどのようなものか。
(3) x=0の境界条件を考慮しつつ、ψ_{_1}(x)を求めよ。波動関数の規格化はしなくてよい。
(4) 無限遠(x=∞)の境界条件を考慮しつつ、ψ_{_2}(x)を求めよ。波動関数の規格化はしなくてよい。
(5) 接続条件から、V_{_0},E,L, $hbar$ ,mの間に成立すべき条件を求めよ。

問い６
球面調和関数Y_l^m(θ,φ)は、ルジャンドル陪多項式P_{_l}^{^m}(x) を使って

Y_{_l}^{^m}(θ,φ)=N P_{_l}^{^m}(cosθ)e^{^imφ}

と表すことができる(Nは規格化定数)。このY_{_l}^{^m}(θ,φ)は

| $\vec L$ |^{^2} =- $hbar$ ^{^2}( $∂/∂θ$ (sinθ $∂/∂θ$ ) + $∂^2/∂φ^2$ )

と

L_{_z}=-i $hbar$ ${\partial\over \partialφ}$

の両方の固有関数になっている。

(1) L_{_z}の固有値はいくらか。
(2) | $\vec L$ |^{^2}の固有値は $hbar$ ^{^2}l(l+1)である。 P_{_l}^{^m}(cosθ)のみたすべき微分方程式はどのようなものか。 θを変数として書け。
(3) x=cosθとして変数変換して、P_{_l}^{^m}(x)のみたすべき微分方程式をxを変数として書け。
(4) ∫_{_-1}^{^1} P_{_l}^{^0}(x)P_{_l'}^{^0}(x) dxまたは $∫_0^π$ P_{_l}^{^0}(cosθ)P_{_l'}^{^0}(cosθ)sinθ dθ という積分はl≠l'の時0となる。そのことを、上で作った微分方程式をつかって証明せよ。

問い７
３次元の角運動量演算子L_{_x},L_{_y},L_{_z}は

[L_{_x},L_{_y}]=i $hbar$ L_{_z}, [L_{_y},L_{_z}]=i $hbar$ L_{_x}, [L_{_z},L_{_x}]=i $hbar$ L_{_y}

という交換関係を満足する。

(1) | $\vec L$ |^2=(L_{_x})^{^2} + (L_{_y})^{^2}+(L_{_z})^{^2}がL_{_z}と交換することを証明せよ。
(2) 角運動量のz成分L_{_z}の固有値はL_{_±}= L_{_x}± iL_{_y}を使ってあげたりさげたりできることを説明せよ。
(3) [L_{_+},L_{_-}]を求めよ。
(4) L_{_x}とL_{_y}の同時固有状態があったとする。その状態はL_{_z}の固有状態でもあり、しかもL_{_x},L_{_y},L_{_z}の固有値は全て0でなくてはいけないことを証明せよ。
(5) 角運動量のx成分L_{_x}の固有値をあげる演算子はどのようなものか。

問い８

3次元の円筒座標(r,θ,z)を考える。直交座標(x,y,z)との関係は

x=r cosθ, y=r sinθ, z=z

である(z座標に関しては同じ)。

図のように、それぞれr方向とθ方向を向いた単位ベクトルを $\vec e_r$ ,と書き、x方向、y方向の単位ベクトルをそれぞれ $\vec e_x$ , $\vec e_y$ と書く。

(1) $\vec e_r$ ,を $\vec e_x$ , $\vec e_y$ を使って表せ。
(2) $\vec\nabla$ = $\vec e_x$ $∂/∂x$ + $\vec e_y$ $∂/∂y$ + $∂/∂z$ の、円筒座標での表現を求めよ。
(3) ラプラシアン演算子Δ= $\vec\nabla$ ・ $\vec\nabla$ は直交座標では++ $∂^2/∂z^2$ である。円筒座標での表現を求めよ。
(4) z方向に重力mgが働いているとして、質量mの粒子の波動関数ψ(r,θ,z)が満足するシュレーディンガー方程式を円筒座標で書け。
(5) ψ(r,θ,z)=R(r)θ(θ)Z(z)として、変数分離された方程式を作れ。
(6) 適当な変数を用いてR(r)の方程式とZ(z)の方程式を無次元化した方程式を作れ。

追試験は2月10日の10:20～11:50

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