「ヴィジュアルガイド物理数学〜１変数の微積分と常微分方程式」サポート掲示板のバックアップ(No.120)

「ヴィジュアルガイド物理数学〜１変数の微積分と常微分方程式」（東京図書）サポート掲示板 †

mathjaxを使って、TeX形式で数式を打てるようにしてあります。＄または＄＄（もちろんほんとは全角じゃなく半角の「ドル」です）で囲んで入力してください。
spam避けに、httpを含む文章と、英字のみの文章は登録できなくしてあります。

有効数字について †

西郷? $2025 - 02 - 27 (木$ 05:05:43)

A.2の有効数字について、測定の精度と有効数字の桁数について疑問があります。
0.1の単位までしか信頼できない測定値として、123.4と0.5が得られたとします。この2つの和は123.9になりますが、有効数字の桁数が少ない方は1桁なので、先頭の桁しか信頼できないことになるのでしょうか？
そもそも、どちらも同じ精度で測定したはずなのに有効数字の桁数が異なるということは、測定の精度と有効数字の桁数の間にはギャップがあることになります。0.1の単位まで信頼できるという測定精度に注目するのであれば、0.1に注目すべきで、測定値の桁数は直接的には関係しないように感じてしまいます。有効数字の桁数の扱いは慣用的なルールだと理解すればいいのでしょうか？

記述を読み直していたら、勘違いしていたことに気付きました。「1.52（有効数字3桁）と0.0425（有効数字3桁）を足して」という例は、「1.52（有効数字3桁）」は0.01の単位までしか信頼できないからそれより細かい数字は意味がないという意味だとようやく分かりました。失礼いたしました。 -- 西郷? 2025-02-27 $木$ 05:58:29
考えていたら、やはり疑問が湧いてしまいました。0.1の単位までしか信頼できない測定値として縦と横の長さを測定し、面積を算出するとします。①1.2と1.2が得られたとき、積は1.44なので1.4までが有効になると思います。②1.2と12.3が得られたとき、積は14.76なので15を有効にすると思います。しかし、どちらも同じ精度で測定したはずなのに、一方は0.1の位まで有効で、他方は1の位までしか有効でないのは不思議な気がします。この点についてはどのように考えればいいのでしょうか？ -- 西郷? 2025-02-27 $木$ 14:08:28
気になっている例についてはこんな感じで理解できると思います。1.2という測定値に1.15~1.25という幅があると考えれば、1.2×1.2 は1.15×1.15=1.325 から1.25×1.25=1.5625までの幅がある、ということになります。1.4から上下に0.1程度振っている感じですかね。一方12.3 が11.25から11.35 の範囲と考えると、1.15 ×12.25=14.085 と1.25 ×12.35=15.4375で、まぁ15あたりが真ん中で、0.5〜１ぐらい上下に振れがある。なので「15」となりそうです。 -- 前野? 2025-02-27 $木$ 16:33:26
結局1.2を1.25から1.35 と考えるとだいたい10%の振れ幅を見ている。12.3を11.25から11.35と考えると、振れ幅は1％程度。しかし掛け算したら、振れ幅はどっちも10％程度です。 -- 前野? 2025-02-27 $木$ 16:33:59
今のは大雑把な見積もりですが、「１０％ぐらいずれる値を二つ掛け算」だと結果は1.1 ×1.1=1.21で21％ぐらいずれる可能性あり、「10％と1％」なら1.1 ×1.01=1.111で11.1％のずれ、と考えると、どっちも「10％のオーダーの振れ幅はしかたない」ってことになります。大事なのは比ですね。 -- 前野? 2025-02-27 $木$ 16:39:41
このあたり、有効数字というのは「簡便法」なので、まじめに考えるなら誤差の伝播に関する理論を勉強したほうがよいと思いますが、「あやふやな量の積」を考えるときには、比が大事です。 -- 前野? 2025-02-27 $木$ 16:41:26

↑

P143 【演習問題9-5】 †

草間? $2022 - 01 - 03 (月$ 07:57:52)

解がひとつに決まらないのは、初期条件をx=-Cにするとy=0も解なので、放物線のどちらか決まらなくなるという事でしょうか。どうか宜しくお願い致します。

そもそも初期条件は「x=なんとかのときにy=かんとか」のように与えるものなので「初期条件をx=-Cにすると」というのが何を言いたいのかわかりません。それとも「x=-Cのときにy=0という初期条件を与える」という意味なのでしょうか。 -- 前野? 2022-01-03 $月$ 09:39:14
本で説明している「解が一つに決まらない」のは、解答に書いてあるとおり、同じ初期条件（ $x = x_{0}$ のとき $y = 0$ ）に対して $y = 0$ も $y = {(\frac{(x - x_{0})^{2}}{2})}^{2}$ も両方解になっているから」です（そこは読んでますでしょうか？）。 -- 前野? 2022-01-03 $月$ 09:44:39
解答で書いてある例では「放物線か、水平線かが決まらない」という状況なので「放物線のどちらか決まらなくなる」というのがどういう状況なのか、私にはわかりません。「どちらか」というからには放物線が二つあるのだと思いますが。213ページの二つの図でしょうか。だとしたら、解はこれだけではなく、たくさんあります（ $x_{1}$ は他の値でもいいので）。 -- 前野? 2022-01-03 $月$ 09:47:00
表現が悪くてすみません。初期条件がx=-C -- 草間? 2022-01-03 $月$ 15:38:23
でy=0の場合に放物線か直線かが決まらないという意味でした。どうもありがとうございました。 -- 草間? 2022-01-03 $月$ 15:40:26

↑

P134の $9.22$ †

草間? $2022 - 01 - 02 (日$ 06:06:50)

上段の式のf $x$ $0 階微分$ は、まだ $9.21$ を代入していないので不要に見えるのですが。どうか宜しくお願い致します。

微分したら $f^{(0)}$ は消えると考えてますか？　微分方程式が線形ならそうですが、非線形な項（たとえば $(f (x))^{2}$ とか）を含んでいると微分した後も $f^{(0)}$ は残ります。 -- 前野? 2022-01-02 $日$ 12:07:21
f $x$ は微分してf’ $x$ になって消えると考えてしまいました。どうもありがとうございました。 -- 草間? 2022-01-02 $日$ 12:31:49

↑

p.120 p.204 9-4ヒント　誤記 †

ぶつり? $2019 - 07 - 16 (火$ 11:20:08)

お忙しいところ失礼します。
いつも分かりやすい本で助かっております。

p.120図下三行目が「それX = x+y...」となってますが、「それ」の後に「に」が抜けていると思います。

p.204の9-4のヒントですが、「V,Aを半径rを使って表してみよう」とありますが
「V,Sを」の間違いではないでしょうか。

御指摘ありがとうございます。確かに間違ってますね。次の版で直したいと思います。 -- 前野? 2019-07-16 $火$ 11:30:52

↑

P.158 P.159 †

鮒27? $2019 - 06 - 08 (土$ 13:00:01)

P.158の一番下のグラフですが-C $-$ =C $+$ =1ではなくC $-$ =-C $+$ =1ではないでしょうか。

P.159のグラフ　C1+C2=1 は C $+$ +C $-$ =1かと思います。

こちらも間違えてますね、直します。 -- 前野? 2019-06-12 $水$ 22:06:04

↑

P.146　誤記 †

鮒27? $2019 - 06 - 08 (土$ 00:35:51)

10.1.3の3行上
n階微分方程式の階は -> 解は

ご指摘ありがとうございます。 -- 前野? 2019-06-12 $水$ 22:05:50

↑

P.140 上のグラフ †

鮒27? $2019 - 06 - 07 (金$ 02:20:26)

グラフ内の吹き出しでCの符号が逆ではないでしょうか？

ほんとだ逆ですね、すみません。次の版で直します。 -- 前野? 2019-06-07 $金$ 07:56:08

過去ログは以下に移しました。

「ヴィジュアルガイド物理数学1」サポート掲示板（2018年まで）

「ヴィジュアルガイド物理数学〜１変数の微積分と常微分方程式」サポート掲示板 のバックアップNo.120

「ヴィジュアルガイド物理数学〜１変数の微積分と常微分方程式」（東京図書）サポート掲示板 †

有効数字について †

P143 【演習問題9-5】 †

P134の9.22 †

p.120 p.204 9-4ヒント 誤記 †

P.158 P.159 †

P.146 誤記 †

P.140 上のグラフ †

「ヴィジュアルガイド物理数学〜１変数の微積分と常微分方程式」サポート掲示板のバックアップ $N o .120$

P134の $9.22$ †

p.120 p.204 9-4ヒント　誤記 †

P.146　誤記 †