「よくわかる解析力学」サポート掲示板（2018年７月まで）のバックアップ(No.2)

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よくわかる解析力学サポート掲示板

演習問題7-4 E.127,130について †

こーき? $2018 - 07 - 02 (月$ 18:37:38)

E.124のθに関するオイラーラグランジュ方程式の第二項のθ微分にあたるところの係数に $d o t ϕ$ が抜けています。

ありがとうございます。確かに抜けてました。修正します。 -- 前野? 2018-07-02 $月$ 19:33:09

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演習問題5-3の解答について †

すや? $2018 - 05 - 11 (金$ 22:09:01)

$E .89$ 式は $E .20$ のラグランジアンからどのように導かれてるのでしょうか？詳しい解説お願いします．

普通の計算をしているだけです。 $E .20$ の変分を取ると $M (\dot{x} δ \dot{x} + \dot{y} δ \dot{y}) + I_{θ} \dot{θ} δ \dot{θ} + I_{ϕ} \dot{ϕ} δ \dot{ϕ}$ で、後は部分積分をします。 -- 前野? 2018-05-12 $土$ 06:27:10
わかりました！思い違いをしていた点があったみたいです！素早い回答ありがとうございます！ -- すや? 2018-05-12 $土$ 20:53:03

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p130の脚注16について †

ジュンジ? $2018 - 05 - 03 (木$ 12:50:17)

細かいところですみません。第4刷p130 $† 16$ の脚注で、”…x,yの時間変化に応じのみfが変化する場合は「陰に依存する」と言う。” とあります。
”のみ”の辺りの意味がうまく掴めず、誤植かと思ったのですがいかがでしょうか。

すいません、ミスタイプで「x,yの時間変化に応じてのみｆが変化する」です。つまり、ｔの変化→ｆの変化という直接の変化ではなくｔの変化→ｘ，ｙの変化→ｆの変化という連動によってのみｆの変化が起こっているということです。 -- 前野? 2018-05-03 $木$ 15:27:11
なるほど、理解できました！ご丁寧にありがとうございます。 -- ジュンジ? 2018-05-03 $木$ 15:51:42

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ｐ110の式 $4.85$ について †

ジュンジ? $2018 - 04 - 30 (月$ 18:51:43)

式 $4.85$ の中央の式で、左辺の ${\vec{x}}_{G}$ は ${\dot{\vec{x}}}_{G}$ ではないでしょうか。あるいは右辺がドット無しでもいいかもしれませんが。（第４刷）　　　

御指摘ありがとうございます。確かに左辺にもドットが必要です。 -- 前野? 2018-05-01 $火$ 08:15:34

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練習問題問い２-4について †

すや? $2018 - 04 - 18 (水$ 22:53:36)

p.353の $D .33$ 式の右辺の積分の第1項のルートの中で，x`はx`+δx`になっているのに，y`はなぜy`+δy`になっていないのでしょうか．Iについて変分を取ったらx`もy`変化する必要があると思うのですが．

ｘとｙは独立なので、それぞれ別に考えていいです（ｙに関する変分は最後で言及してます） -- 前野? 2018-04-19 $木$ 03:58:10
それぞれ独立の関数であるから，片方の関数を固定して変分を取る必要があるということですね．これは例えばf $x, y$ という関数をxで偏微分するときyを一定として微分する必要があることと同じようなものだと考えれば良いのでしょうか． -- すや? 2018-04-19 $木$ 23:37:23
「必要がある」ではなく「してもいい」ですが、そういうことです。f $x, y$ の場合も「xだけ変えてもいい」し「yだけ変えてもいい」し、「x,yを同時に変えてもいい」わけです。 -- 前野? 2018-04-20 $金$ 07:25:05
では問い２-4の問題でIについて同時に変分を取った場合ではどのように問題を解くのでしょうか？ -- すや? 2018-04-20 $金$ 13:31:49
解答にある通りで「まずはxの変分を取った場合」「次にyの変分を取った場合」とやればそれでいいんですが、同時にやりたいというのなら、同時に変分を取った後、その変分をδｘに比例する部分とδｙに比例する部分に分けて、「δｘとδｙは独立だからそれぞれが０」と考えればいいです。 -- 前野? 2018-04-20 $金$ 14:04:21
おっしゃってる通りに計算したらできました！ありがとうございます！ -- すや? 2018-04-20 $金$ 14:45:18

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p159の計算について †

phys? $2018 - 03 - 02 (金$ 16:28:43)

p159で、両辺を複素化するときに、最後に虚部を取ると書いてありましたが、計算を進めていくとその作業しなくても答えが出ています。この計算の仕組みはどうなっているのでしょうか？

明示はしてませんが、 $6.76$ で固有値を求めた後で固有ベクトルを並べて変換行列を作った $6.77$ の時点でまた $e^{i α}$ ではなくsinを使った式に戻してます。 -- 前野? 2018-03-02 $金$ 17:55:36
どうして $6.76$ で、普通に計算しただけで（虚部だけをとる操作なしに）固有値が実数で求まっているのですか？ -- phys? 2018-03-02 $金$ 22:56:28
固有値が実数なのは、別に虚数部を取るとかそういう操作の結果ではなく、元々エルミートな行列の固有値を計算しているのですから、実数になるのは最初からわかってます。 -- 前野? 2018-03-03 $土$ 01:32:47
解決しました。ありがとうございました！！ -- phys? 2018-03-03 $土$ 11:18:36

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$11.9$ について †

phys? $2018 - 02 - 22 (木$ 11:52:31)

$11.9$ はどのように導かれるのでしょうか？その前の $11.8$ からわかるのかと思いましたが、これはt=tfの時しか成り立たないはずなので分からなくなっています。

$\bar{S}$ に入っている $t$ は $t_{f}$ と同じですよ。 -- 前野? 2018-02-22 $木$ 12:45:04
$11.9$ の左辺は添字fを省略したという理解でよいでしょうか。その場合でも右辺にt=tfというただし書きはいらないのでしょうか？ -- phys? 2018-02-22 $木$ 12:54:31
省略したわけではなく、「正準変換の母関数」と考えたときの $\bar{S}$ は $t$ の関数です。母関数としてハミルトン主関数（これは $t_{f}$ を変数とする）を採用することもできるという話をしてます。 -- 前野? 2018-02-22 $木$ 14:35:45
そのときには $t_{f}$ を $t$ とみなすわけですが、まぁそこはやっている計算の内容から読み取ってください。 -- 前野? 2018-02-22 $木$ 14:37:28
（11.8）が成り立つからといって $t_{f}$ を $t$ とみなした（11.9）が成り立つとはならない気がするのですが、なぜ成り立つのでしょうか？ -- phys? 2018-02-22 $木$ 14:56:55
$11.8$ は $t_{f}$ を少し動かしたときの $\overset{―}{S}$ の変化率（の符号をかえたもの）が $t = t_{f}$ の時の $H$ に等しい式だと思うのですが、 $\overset{―}{S}$ を $t$ の関数とみなしたときの時間微分（の符号を変えたもの）と $t$ は特に指定されてない $H$ が等しくなるのはなぜかが分からないです。 -- phys? 2018-02-22 $木$ 15:06:28
？？？？　 $t$ と書くか $t_{f}$ と書くかなんてことは本質でなく、 $\bar{S} (\dots, t_{f})$ と書いているときの $\frac{\partial S (\dots, t_{f})}{\partial t_{f}}$ が $- H (\dots, t_{f})$ になるんなら、 $\bar{S} (\dots, t)$ を書いて $t$ で微分すれば $- H (\dots, t)$ になります。文字を変えたからと言って「微分したらこうなる」という関係ががらっと変わったりはしません（疑問にされているのはそれとは違う話なのかな？？） -- 前野? 2018-02-22 $木$ 15:37:21
$\bar{S} (\dots, t_{f})$ と書いてようが $\bar{S} (\dots, t)$ と書いてようが、関数の形が変わるわけではないんですが。 -- 前野? 2018-02-22 $木$ 15:38:14
$t_{f}$ を $a$ と書こうと $b$ と書こうと、文字を置き換えただけなので何も変わらないのは理解できます。 -- phys? 2018-02-22 $木$ 16:01:04
「 $t_{f}$ で偏微分」というのは粒子がある到着地点に着く時間を少し変化させたときについて考えていて「 $t$ で偏微分」というのは時間が少しだけ変化した時について考えているから、この二つは違うものではないのかなというのが疑問です。 -- phys? 2018-02-22 $木$ 16:05:29
それとも、 $t_{f}$ を $t$ に、単に文字を置き換えただけなのでしょうか。でも、それだと、先に出した $11.1$ と意味が違ってくるように思います。 -- phys? 2018-02-22 $木$ 16:07:20
$11.1$ を満たす関数があれば、ハミルトニアンを０にするような正準変換ができる←というのが、まず最初に出てくる大前提です。 -- 前野? 2018-02-22 $木$ 16:13:48
そういう関数として、我々はハミルトン主関数なるものを知っている、というのが次に出てくること（その場合のハミルトン主関数の時間微分というのは「到着する時刻を少し変化する」という意味です。それ以外の意味は持たせてません。 -- 前野? 2018-02-22 $木$ 16:14:46
なるほど、納得できました！！説明してくださりありがとうございました！ -- phys? 2018-02-22 $木$ 16:46:58

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p287の11.28式について †

けい? $2018 - 02 - 18 (日$ 06:31:21)

お忙しい中すみません。
11.28式の積分ができれば新しい座標 $Q$ が分かるとあるのですが、なぜこれで正準変換後の座標 $Q$ が分かるのかがわかりません。

正準変換の母関数が $\bar{S}$ で、それを、新しい運動量 $この場合 E$ で微分したものが新しい座標ですす。 -- 前野? 2018-02-18 $日$ 08:25:08
解決しました。ありがとうございます。 -- けい? 2018-02-21 $水$ 23:56:08

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ハミルトンヤコビ方程式について †

佐々々? $2018 - 02 - 16 (金$ 17:03:28)

279から284ページにかけてのハミルトンヤコビ方程式の解釈についてです。K＝0になるように正準変換することと、作用をオンシェルにした時の条件が、同じハミルトンヤコビ方程式ということは、物体の経路 $経路群？$ が確定され後の世界に正準変換するというであり、PとQが定数になるのは自明とみていいのでしょうか？つまり経路が確定していれば、そこから動きようがないということですか？数式的には理解できたのですが、先の2条件がどのように物理的に結びついているのか、ということがいまいちしっくりきません。

どうも疑問がどこにあるのかわからないのですが、ここでやっていることは経路が確定というとり、経路が「座標が変化しない線」になるように座標を引き直す」という感じのことです。 -- 前野? 2018-02-18 $日$ 08:29:39

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ネーターの定理について †

phys? $2018 - 02 - 14 (水$ 15:17:29)

（8.28）がゼロならば、つまり時間並進してもハミルトンの主関数が変化しないならば、エネルギーは保存すると理解したのですが、ネーターの定理のところでJ=-εLとしてしまうとハミルトンの主関数は $表面項の分だけ$ 変化してしまうから（8.28）の辺りでやっていることと違ってしまうのではないでしょうか？

なぜp202でJ=-εLなどを $8.35$ に代入して、（8.28）と同じエネルギーが保存するという結論が出たのでしょうか。 -- phys? 2018-02-14 $水$ 15:19:20
$8.28$ のところでやっている時間並進というのは「出発点を $t_{i} \to t_{i} + ϵ$ に、同時に到着点を $t_{f} \to t_{f} + ϵ$ に」という変化を起こしてます。出発点と到着点の間の経路は運動方程式を満たすように決めてます。系に並進不変性があれば、これで作用（あるいはハミルトン主関数）が変わることはありません。 -- 前野? 2018-02-14 $水$ 16:00:27
一方、 $8.31$ のあたりでやっていることは、積分範囲を変えてません。その場合、系を時間並進させると、 $t_{i}$ と $t_{f}$ で「はみ出す」分だけ答えが変わります（これで $\int_{t_{i}}^{t_{i} + ϵ} L d t$ の積分はこれまで積分してなかった積分をやることになるし、 $\int_{t_{f}}^{t_{f} + ϵ} L d t$ の積分は前には積分してたのにずらした後は積分しなくなります。この分だけ作用の値は変化します。つまり積分範囲を変えながらやっているか、変えずにやっているかの違いです。 -- 前野? 2018-02-14 $水$ 16:03:35
$8.28$ のところでやっている計算と、 $8.31$ のあたりげやっている計算が違うものだということはわかりました。しかし、そうすると、 $8.31$ のあたりの計算というのは一般座標を $q_{i}$ から $q_{i} + ϵ$ に微小変化させているだけで、時間並進とは関係なさそうに思えてしまいます。 -- 2018-02-14 $水$ 21:54:47
また、時間並進とは積分範囲をずらすことではないのでしょうか。他の方法で表現できるのでしょうか。 -- phys? 2018-02-14 $水$ 22:18:14
時間並進というのは、「粒子の運動 $(q_{i}, t_{i})$ から $(q_{f}, t_{f})$ 」を「粒子の運動 $(q_{i}, t_{i} + ϵ)$ から $(q_{f}, t_{f} + ϵ)$ 」に変える操作だと思ってください。つまり「積分範囲をずらす」ことではなく、「違う現象に変える」ということです。 -- 前野? 2018-02-15 $木$ 20:01:24
ただし、系に並進不変性があるのなら、この二つの「違う現象」の間で計算された作用積分の値は変わらない、というのがこのあたりでやっている計算の肝心な部分です。 -- 前野? 2018-02-15 $木$ 20:02:30
積分範囲 $t_{i} \to t_{f}$ を変えないで「時間並進」を行うと、作用積分の値は変化します。その変化は二つの表し方ができます。一つは、 $t_{i} \to t_{f}$ の間で考えると、ある時刻 $t$ での位置座標 $q (t)$ を考えると、それぞれが $q (t) - \dot{q} (t) ϵ$ と変更されたという考え方です。 -- 前野? 2018-02-15 $木$ 20:06:33
これにより作用積分の値は変化しますが、これと同時に $t_{i} + ϵ$ から $t_{f} + ϵ$ に時間積分の範囲を変えていたならば作用積分の値は変化しなかったはず、と思えば、この変化量は上に書いた「はみ出す」分と等しいということになります。 -- 前野? 2018-02-15 $木$ 20:08:33
$8.32$ の右辺が「 $q (t)$ が各時刻ごとに変化したとして作用積分の変化量を計算した結果」であり、左辺が「はみ出し量だとして作用積分の変化量を計算した結果（これは表面項になる）」です。 -- 前野? 2018-02-15 $木$ 20:09:46
$8.31$ およびその計算結果である $8.32$ は、時間並進の結果、各時刻の $q (t)$ がどう変化するかに基づいて作用積分の値の変化を求めているので、「時間並進と関係ない」なんてことはなく、まさにその効果を計算しているのです。 -- 前野? 2018-02-15 $木$ 20:11:56
ということは、 $8.28$ は、粒子の運動の変化に合わせて積分範囲を変えたから、「ハミルトン主関数が不変→エネルギー保存」となり $8.31$ の辺りでは粒子の運動だけが$q→q-ε $d q / d t$ と変わり、積分範囲は変えていないから「ハミルトン主関数の変化が積分範囲の違いからくる表面項のみ→エネルギー保存」ということですか？ -- phys? 2018-02-15 $木$ 23:23:16
２つの計算は方法が違うだけで結局は「作用が時間並進不変性を持つならばエネルギーは保存する」ということを言っているのに違いはないという理解でよいでしょうか。 -- phys? 2018-02-15 $木$ 23:25:21
もちろん、どっちもエネルギー保存を言ってます。 -- 前野? 2018-02-16 $金$ 01:06:14
２つの計算は方法が違うだけで結局は「作用が時間並進不変性を持つならばエネルギーは保存する」ということを言っているのに違いはないという理解でよいでしょうか。 -- phys? 2018-02-16 $金$ 04:52:20
すみません、操作ミスしてしまいました。理解できました！ご丁寧な説明本当にありがとうございました！ -- phys? 2018-02-16 $金$ 12:44:59

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$8.22$ について †

tt? $2018 - 02 - 14 (水$ 01:02:48)

$8.21$ の第1項がどのようにして $8.22$ になるのかが分からないので質問させていただきます。第1項の積分領域が微小であるということは理解できました。しかし、 $\int_{t_{f}}^{t_{f} + ϵ} L d t$ を積分しないといけないのになぜ $\int_{t_{f}}^{t_{f} + ϵ} d t$ だけを考えて、項全体を $ϵ$ のオーダーだと判断できたのかがわかりません。あと、「被積分関数の中の $ϵ$ は無視して」というのの意味もつかめなかったです。

そもそも積分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ というのは、 $a$ から $b$ までの間の $f (x)$ の下の部分の面積を、場所 $x$ で幅 $Δ x$ ならば $f (x) Δ x$ と近似できる（そしてそれを足し上げて後で $Δ x \to 0$ の極限を取れば面積が計算できる）というのがそもそもの意味です。 -- 前野? 2018-02-14 $水$ 01:06:39
だから微小領域での積分は $f (x) Δ x$ （今の場合は $Δ x = ϵ$ ）になるというのは、「積分のそもそもの定義に戻りました」ということです。 -- 前野? 2018-02-14 $水$ 01:07:22
積分の中の $f (x)$ は $f (x)$ から $f (x + ϵ)$ までの間を変化しますが、その変化量は $ϵ$ のオーダーだから無視します。積分が可能な関数ならこの部分を無視しても積分の結果は変わりません。 -- 前野? 2018-02-14 $水$ 01:09:50
ご回答ありがとうございます。理解できました！ -- tt? 2018-02-14 $水$ 11:12:36

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p33 $2.26$ †

ぬらりひょん? $2018 - 02 - 12 (月$ 15:19:12)

Fermatの原理から「光の直進」を導出する問題ですが、 $2.26$ を用いた計算だとただの最短経路を導出しているにすぎません。

Fermatの原理は「最短時間になるような経路」だったはずなので、例えば $τ = \frac{I}{c}$ に対して偏微分を行うべきです。
ただ、同じ媒質中の伝播なので結果はテキストと全く同じになるので些細な指摘ではありますが...

そこでcが関係なくなるのは自明だし、そこより前にもcが変わらぬ場合は最短経路になってる例を挙げてるわけで、そこは別にいいんじゃないですかね。、 -- 前野? 2018-02-12 $月$ 18:02:04

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$6.88$ 式について †

phys? $2018 - 02 - 12 (月$ 00:48:18)

6.4.2節で、 $6.67$ を書き換えて $6.88$ になったと思うのですが、なぜ $6.67$ にあった-\frac{1}{2}k $y_{1}$ ^{2}と-\frac{1}{2}k $y_{N}$ ^{2}の項が消えてしまっているのですか？

確かにここはちょっと説明が足りなかったかもしれませんが、その項が有ろうが無かろうが、Δx=0の極限を取った結果は $6.90$ になるので最初から書いてません。 -- 前野? 2018-02-12 $月$ 06:17:46
有る無しの違いは言わば積分範囲が「0から $ℓ$ までか、「 $Δ x$ から $ℓ - Δ x$ までlかの違いです。 -- 前野? 2018-02-12 $月$ 06:20:46
極限をとるから両端のばねの位置エネルギーにあたる項は無視した、ということで合っていますか？ -- phys? 2018-02-12 $月$ 19:32:00
極限取ればどうせ関係なくなるし、という予想の元で無視しましたが、無視しなくても結果は同じです。 -- 前野? 2018-02-12 $月$ 21:24:18
理解できました。ありがとうございました！ -- phys? 2018-02-13 $火$ 08:15:45

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問10-5について †

けい? $2018 - 02 - 08 (木$ 20:11:02)

p349のヒントにて $\frac{\partial P}{\partial p} = \frac{\partial q}{\partial Q}, \frac{\partial Q}{\partial p} = - \frac{\partial q}{\partial P}$ が示せれば $J = 1$ となると書かれていますが、これがよくわかりません。これはp245の10.6式から来ているのでしょうか。10.6式からならばどちらか片方が示せればいいように思うのですが。
お忙しい中大変恐縮なのですが、ご教授いただければ幸いです。

10.6の上の10.5に $\frac{\partial P}{\partial p} = \frac{\partial q}{\partial Q}, \frac{\partial Q}{\partial p} = - \frac{\partial q}{\partial P}$ を代入すれば $J = 1$ になります。 -- 前野? 2018-02-08 $木$ 22:13:45
そこがいまいち分からくて、代入すると ${Q, P} = \frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial Q} + \frac{\partial P}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial P}$ で $\frac{\partial Q}{\partial q} = 0$ で $\frac{\partial P}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial P} = \frac{\partial P}{\partial P} = 1$ なので $J = 1$ ということでしょうか。 -- けい? 2018-02-09 $金$ 20:33:06
それから、10.6式で例えば $\frac{\partial q}{\partial Q} = \frac{1}{J} = \frac{\partial P}{\partial p}$ において $\frac{\partial q}{\partial Q} = \frac{\partial P}{\partial p}$ を示すことで $J = 1$ ではいけないのでしょうか。 -- けい? 2018-02-09 $金$ 20:38:28
すみません上の既述の最初の式は打ち間違いで $\frac{\partial q}{\partial Q} = \frac{1}{J} \frac{\partial P}{\partial p}$ です。 -- けい? 2018-02-09 $金$ 20:39:55
違います。偏微分だから $\frac{\partial P}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial P}$ は1になりません。 -- 前野? 2018-02-09 $金$ 23:01:46
$\frac{\partial q}{\partial P} \frac{\partial P}{\partial q} + \frac{\partial q}{\partial Q} \frac{\partial Q}{\partial q}$ ならば、これは $q (Q (q, p), P (q, p))$ を $q$ で微分するという式なので、1です。 -- 前野? 2018-02-09 $金$ 23:03:04
今、 $q$ が $Q, P$ の関数で、実はその $Q, P$ は $q, p$ で表現されているということで、 $q (Q (q, p), P (q, p))$ と書いてます。これを $q$ で微分すると1になるよね、というのがこの式です。 -- 前野? 2018-02-09 $金$ 23:04:29
偏微分の式はよく略記しますが、「あれ？」と思ったときは略記せずにちゃんと書いて検算することを勧めます。たとえば $\frac{\partial q}{\partial Q}$ は ${(\frac{\partial q (Q, P)}{\partial Q})}_{P}$ の略記です。 -- 前野? 2018-02-09 $金$ 23:06:03
今 $q, Q$ を独立に取っていて $P = P (q (Q, P), Q)$ のなので $\frac{\partial P}{\partial P} = 1 = \frac{\partial P}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial P}$ とはなるような気がするですが。 -- けい? 2018-02-12 $月$ 02:45:28
$q, Q$ が独立ということから $q = q (Q (q, p), P (q, p))$ というのは少し違和感があります。 -- けい? 2018-02-12 $月$ 02:47:57
ここでやっているのはポアッソン括弧の計算なのでポアッソン括弧の定義どうりの計算をしなくては。 -- 前野? 2018-02-12 $月$ 05:46:33
すみませんポアッソン括弧の定義どおりの計算とはどういうことでしょうか。 -- けい? 2018-02-13 $火$ 20:54:13
ポアッソン括弧の定義式は $9.60$ ですが、この定義においては $q, p$ を独立変数としてます。つまり、ここにあらわれる $\frac{\partial A}{\partial q}$ とは省略せずに書けば ${(\frac{\partial A (q, p)}{\partial q})}_{p}$ ということです。 -- 前野? 2018-02-13 $火$ 22:18:46
$q, Q$ を独立に取っていても、ポアッソン括弧の中の $\frac{\partial A}{\partial q}$ を計算するときは $p$ を一定にして計算しないと定義通りでない計算をしていることになります。 -- 前野? 2018-02-13 $火$ 22:20:39
なんとなく理解できたと思います。ありがとうございました。もう少し考えてみます。 -- けい? 2018-02-14 $水$ 22:43:05

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式8.9について †

佐々々? $2018 - 02 - 07 (水$ 09:36:56)

2016-06-27 $月$ の他の方の質問に対して、「左側の式の左辺を $\vec{ϵ} \cdot \frac{\partial \bar{S}}{\partial {\vec{x}}_{f}}$ と解釈して、 $\vec{ϵ}$ を外してます」と、回答していらっしゃいました。この式変形ができるということは、ハミルトンの主関数をある種のスカラー関数のように見ているということですか？電磁気学のスカラーポテンシャルの勾配の定義と同じようにして導出しているということですよね？即ち、 $\vec{ϵ}$ をイプシロンと単位ベクトルに分解してイプシロンの極限をとっているということですよね？変分δの意味を考えるとオイラーラグランジュ方程式で途中経路の積分が消える前は、変分後の主関数と変分前の主関数は全く異なるものであるが、オイラーラグランジュ方程式で消えた後は、端点だけの値になるので、x毎に関数が決まるという変分δとしての意味がなくなり、あたかもオイラーラグランジュ方程式を満たすスカラー関数が全空間に $端点近傍に$ 貼り付けられているように見えるので、δを勾配の意味に読み替えても良いということであっていますか？

変分δの効果が消えず、イプシロンだけ動かしたときの主関数と動かす前の主関数が全く異なるもののままであったら、偏微分はできず、変分のままだと思ったので質問させていただきます。 -- 佐々々? 2018-02-07 $水$ 09:42:52
今激忙の時期なので返事遅れてすみません。どうも質問の意味というか、何が問題だとされているのかが読み取れなくて困ってますが、ハミルトンの主関数が端点だけの関数になっているのはおっしゃる通りで、それはそもそも「端点を決めると一つ決まる関数」なのだから「定義により」です。 -- 前野? 2018-02-08 $木$ 12:16:15
お忙しい中すみません。確かに、定関数なので定義通りでした。その後の議論では偏微分の話はあまり気にしなくて良いようなので、変な質問をしてしまいました。解答ありがとうございました！ -- 佐々々? 2018-02-08 $木$ 12:34:48

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オイラーの運動方程式について †

佐々々? $2018 - 02 - 04 (日$ 19:39:50)

式 $7.35$ でωがオイラー角たちを用いて表現されていますが、その中に時間微分が入っているのが気になりました。座標変換に時間微分が入っていると、オイラーラグランジュ方程式の共変性が保たれないので、ルジャンドル変換をする必要があると思ったのですが、そのままでいいのは何故ですか？普通に回転の運動方程式から求めた解析力学を使わないオイラーの運動方程式と一致したため、問題はないのだと思いますが、気になります。

式 $7.35$ を出すまでの過程でやっていることは座標変換ではなくて、剛体の回転の運動エネルギーを $\dot{θ}, \dot{ϕ}, \dot{ψ}$ でどう表すかを考えていた（つまりラグランジアンを作って後から座標変換するという操作ではなく、最初からこの三つを変数としてラグランジアンを書いていた）ので、ルジャンドル変換のような操作はしてません。不要というか、「する場所がなかった」ということになります。 -- 前野? 2018-02-05 $月$ 08:46:23
ωは元々座標ではないから、それを角度たちで表したかったということだったのですね。また、追記で質問させて頂きます。 -- 佐々々? 2018-02-05 $月$ 11:37:12
式 $7.48$ $7.49$ $7.50$ でデカルト座標の基底たちは一次独立であるから、角運動量の成分たちが保存するというのは理解できます。しかし、元々デカルト座標で見ると剛体の慣性テンソルの成分が慣性乗積も含め時間変化すると思うのですが、それでも保存しているのは何故でしょうか？トルクがかかっていないので保存することは自明だとは思いますが、慣性テンソルを使って考えると、イメージと合わない気がします。 -- 佐々々? 2018-02-05 $月$ 11:44:23
その辺の座標変換をちゃんとやった結果（つまり、慣性テンソルの成分が変わるとかそのあたりもちゃんと考えた結果が） $7.47$ の $\vec{L}$ で、これはベクトルとして保存する量になってます（ $\vec{L}$ が保存量であることは、対称性から決まることで、どのような座標で表したかとは関係ありません）。 -- 前野? 2018-02-05 $月$ 12:24:30
$7.44$ の $\vec{L}$ は ${\vec{e}}_{X}$ などを使って書かれていますが、 $\vec{L}$ が全体として保存する量であることは同じです。その保存する $\vec{L}$ を定ベクトルで展開すればその展開係数も保存する（定ベクトルでないベクトルで展開すれば展開係数は保存しない）ということです。 -- 前野? 2018-02-05 $月$ 12:26:49
何度質問すみません。ということは185ページの $2$ のような状況でも、角運動量は保存して、 -- 佐々々? 2018-02-05 $月$ 12:49:39
途中で切れてしまいましたすみません。角運動量は保存して、主軸基底では定ベクトルではないが、デカルト座標座標では定ベクトルであるということですよね。また、 $2$ をデカルト座標で見ると、角速度は定ベクトルとなりますか？定ベクトルとならないなら、それは慣性テンソルが時間変化することから来るのでしょうか？ -- 佐々々? 2018-02-05 $月$ 12:57:09
ここでの慣性テンソルは式 $7.13$ のようなデカルト座標から見てのテンソルのことです。主軸変換後のテンソルではありません。 -- 佐々々? 2018-02-05 $月$ 13:10:03
まず用語を整理しておくと「定ベクトル」というのは「実体としてのベクトル（空間にある矢印的なもの）が一定」という意味ですから、どの座標系で測るかは関係なく、定ベクトルならどの座標系でも定ベクトルです。 -- 前野? 2018-02-05 $月$ 15:19:56
定ベクトルを「時間的に変化する基底ベクトルを使って表現」すれば、必然的にそのベクトルの成分は時間的に変化します（成分と基底の組合せである定ベクトルは変化しないが、成分と基底が連動して変化する）。 -- 前野? 2018-02-05 $月$ 15:20:50
だから、角運動量ベクトルはどっちで見ようが定ベクトルなわけです。「ベクトルの成分は一定か？」という意味でなら、それはどの座標で成分を考えているかで変わります。 -- 前野? 2018-02-05 $月$ 15:21:36
自身の用語について誤認識があったようです。自分が言いたかったのは、角速度の成分はデカルト座標で見ると時間変化しますか？ということです。また時間変化するとすれば、慣性テンソルも時間変化することにより相殺されて、角運動量の成分が一定になるということですか？角速度の成分が時間変化しないならば、慣性テンソルが時間変化することにより、角運動量の成分は一定に保たれないと思います。 -- 佐々々? 2018-02-05 $月$ 16:33:19
「角速度」ですか？　角運動量なら、デカルト座標で変化しません。角速度ってのは $\dot{θ}$ とかのことですか？ -- 前野? 2018-02-05 $月$ 18:12:49
それとも $ω_{X}$ とかのことかな。どちらも時間変化しますね。 -- 前野? 2018-02-05 $月$ 18:14:27
181ページで考えているような条件が成立してない限り、 $\vec{ω}$ というベクトルは時間的に変化します。 -- 前野? 2018-02-05 $月$ 18:15:37
$θ, ϕ, ψ$ も、 $ω_{X}, ω_{Y}, ω_{Z}$ も時間変化しますが、その組合せであるところの $L_{x}, L_{y}, L_{z}$ は保存します。 -- 前野? 2018-02-05 $月$ 18:17:27
説明が下手ですみません。式 $7.48$ のような、IXX,IYY,ωXなど主軸基底を用いて表したLxではなく、普通にデカルト座標で表したLx=Ixxωx+Ixyωy+Ixzωzでは、慣性テンソルの時間変化とωxなどの時間変化が相殺されて、Lx全体は成分として保存しますかということです。ラージエックスXではなくデカルト座標の基底のスモールエックスxを用いた時の話です。 -- 佐々々? 2018-02-05 $月$ 18:42:31
当然角運動量は保存しなくてはいけないのでそうなる（ $I_{x x}$ も時間変化する）でしょう。ただ、時間変化する $I_{x x}$ を考えるのは面倒くさ過ぎるので普通はやらないと思います。 -- 前野? 2018-02-05 $月$ 18:48:12
長らくありがとうございました。やっと理解できました。適切な例題で確かめてみたいと思います！ -- 佐々々? 2018-02-05 $月$ 20:20:17

「よくわかる解析力学」サポート掲示板（2018年７月まで） のバックアップNo.2

演習問題7-4 E.127,130について †

演習問題5-3の解答について †

p130の脚注16について †

ｐ110の式4.85について †

練習問題問い２-4について †

p159の計算について †

11.9について †

p287の11.28式について †

ハミルトンヤコビ方程式について †

ネーターの定理について †

8.22について †

p332.26 †

6.88式について †

問10-5について †

式8.9について †

オイラーの運動方程式について †

「よくわかる解析力学」サポート掲示板（2018年７月まで）のバックアップ $N o .2$

ｐ110の式 $4.85$ について †

$11.9$ について †

$8.22$ について †

p33 $2.26$ †

$6.88$ 式について †