「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板

よくわかる解析力学サポートページに戻る

  • mathjaxを使って、TeX形式で数式を打てるようにしてあります。$または$$(もちろんほんとは全角じゃなく半角の「ドル」です)で囲んで入力してください。
  • spam避けに、httpを含む文章と、英字のみの文章は登録できなくしてあります。

「サポート掲示板3」が不具合で書き込めなくなりましたので作りました。こちらに書き込んでください。




p277の記述について

珈琲? (2019-04-06 (土) 21:53:23)

p277に、"mvのx成分とy成分という「磁場がなければ運動量だったもの」がポアソン括弧の意味で交換しない"とありますが、そのような状況だと具体的にどのような点で困るのでしょうか。

  • 別に困りません。「困る」とも書いてないし。実際どう計算すれば良いかはその先に書いてあります(困ってません)。 -- 前野? 2019-04-06 (土) 21:58:28
  • 変に深読みしてしまいました。 では "「磁場がなければ運動量だったもの」がポアソン括弧の意味で保存しない" という記述には、物理的な意味はなく単に数式的な問題と捉えてよいということでしょうか。 -- 珈琲? 2019-04-06 (土) 22:32:50
  • mvという「運動量だったもの」が交換しない、と聞くとびっくりする人が結構いるので、kちょっと不思議だけどこれでいい」と示す為に書いてます。物理的には大いに意味あります。 -- 前野? 2019-04-06 (土) 23:04:43
  • その物理的意味を教えていただきたいです。例えば、ポアソン括弧が{*,H}の時には*の時間発展を表している、などのような具合で、ポアソン括弧{mv_x,mv_y}にはどのような意味があるのでしょうか。 -- 珈琲? 2019-04-07 (日) 01:20:21
  • その先に書いてありますが。 -- 前野? 2019-04-07 (日) 01:36:17
  • 分かりました。ありがとうございます。 -- 珈琲? 2019-04-07 (日) 02:33:17

p240、9.6.4節について

珈琲? (2019-03-25 (月) 17:43:31)

対称コマの軸先を固定する場合、なぜ重心の速度を考慮しなければいけないのでしょうか。また、その場合、固定していない対称コマで重心の速度を考慮しない理由は何でしょうか。

  • 軸先を固定するということは、重心が運動するということです。その前の節まででやっていたのは固定もしないし重力などの外力も働いてない状態なので、重心は運動しないか、等速直線運動を続けるだけなので考えなくてもよくなります。 -- 前野? 2019-03-25 (月) 18:02:34
  • 169ページあたりで、重心の運動と回転運動をラグランジアンの上で分離できたことを思い出してください。固定してないなど、外力が働いてない場合は重心運動の部分の作用は定数なので忘れていいわけです。そうでないとき(固定されてたり外力が働いたり)は重心運動も考慮します。 -- 前野? 2019-03-25 (月) 18:09:00
  • 「重心運動の部分の作用は定数」というのは、「外力が働かない(固定などなし)場合に、重心座標に関してオイラーラグランジュ方程式を立てると、d/dt(∂L/∂v_G)=0になるので∂L/∂v_Gが保存量(定数)となる」という解釈でよろしいですか。 -- 珈琲? 2019-03-25 (月) 23:16:34
  • そもそもラグランジアンの値が定数です。運動方程式がそうなるといってももちろんいいんですが。 -- 前野? 2019-03-26 (火) 07:38:18
  • ここで言う定数となるラグランジアンとは Σ1/2m_i(v_G)^2の部分でしょうか。 -- 珈琲? 2019-03-26 (火) 11:53:40
  • はいそうです。なんで定数なのか、と言われたらもちろん運動方程式のおかげなんですが、「外力がなければ重心運動量は一定」ということを最初から知ってれば、この部分は「どうせ定数だからいいや」と最初っから無視できる、ということです。 -- 前野? 2019-03-26 (火) 11:56:20
  • 理解できました。ありがとうございます。 -- 珈琲? 2019-03-26 (火) 12:38:43

p178、†11について

珈琲? (2019-03-19 (火) 14:41:00)

†11の「〜(e_X e_Y e_Z)tに対する行列の転置になっている〜」という部分がよく分かりません。(7.30)、(7.31)において、(dθ/dt 0 0)tと(0 0 dφ/dt)tには受動的な変換(それぞれA、ABに相当)をかけているので、回転を表現する行列という意味では、(e_X e_Y e_Z)tに対する回転を表現する行列(=ABC=受動的な変換)と転置にはならないと思うのですが。

  • (c.44)をよく見てください。$(V_x,V_y)$という行ベクトルに対して回転の行列は右からかかりますが、列ベクトル$\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y\end{array}\right)$に対しては回転の行列は左からかかっています。つまりかかり方が逆です。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 15:40:13
  • どっちも列ベクトル(もしくはどっちも行ベクトル)になるように書き直すと、一方の行列は転地されます。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 15:41:01
  • つまり、「(7.18)を変形すると、(e_x e_y e_z)t=CtBtAt?(e_X e_Y e_Z)tとなるので、(e_X e_Y e_Z)tに対する変換行列(CtBtAt?)は、(7.30)や(7.31)の変換行列(AやAB)とは転置の関係にある」ということでしょうか。 -- 珈琲? 2019-03-19 (火) 16:27:31
  • 何か勘違いしているような気がします。†11で述べているのは、$\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y \\ \vec e_z\end{array}\right)$の変換が$ABC\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y \\ \vec e_z\end{array}\right)$ならば、$\left(\begin{array}{c}V_x\\ V_y \\ V_z\end{array}\right)$に対する変換は$C^t B^t A^t\left(\begin{array}{c}V_x\\ V_y \\ V_z\end{array}\right)$になる、ということです。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 16:43:55
  • $(V_x~V_y~V_z)$に対する変換は、$(V_x~V_y~V_z)ABC$になります。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 16:44:57
  • その事実は先程の(C.44)から理解できるのですが、その事実とP178との対応がいまいちつかめません。ここで述べている「(e_X e_Y e_Z)tという列ベクトルに対する行列」というのは具体的にどの行列のことなのでしょうか。 -- 珈琲? 2019-03-19 (火) 17:18:41
  • $(V_x~V_y~V_z)\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y \\ \vec e_z\end{array}\right)$というベクトルを、$(V_x~V_y~V_z)ABC\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y \\ \vec e_z\end{array}\right)$というベクトルに変えるという操作をしていて、それを「回転する」と言っているわけです。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 18:41:25
  • この変化は、Vの行ベクトルの方に右からABCを掛けたと思ってもいいし、列ベクトル$\vec e$の方に左からABCを掛けてもよい・・・ということはわかってもらえてるんでしょうか((C.44)で書いてあることですが)。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 18:42:52
  • だから$\left(\begin{array}{c}\vec e_x\\ \vec e_y\\ \vec e_z\end{array}\right)$という列ベクトルに係る行列は$ABC$ですね。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 18:44:50
  • その2つの見方があるということは理解しています。 -- 珈琲? 2019-03-19 (火) 18:46:55
  • その列ベクトルの成分の添字は、大文字ではなく小文字のx、y、zでしょうか。 -- 珈琲? 2019-03-19 (火) 18:51:42
  • ああ、すいません。質問しているのはxyzじゃなくてXYZの方でしたね。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 18:52:38
  • そうすると、(7.18)に$C^tB^tA^t$を掛ければ$\vec e_X$のベクトルに$C^tB^tA^t$を掛ければ$\vec e_x$の式になる、ということになります。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 18:54:11
  • すいません、これ確かにわかりにくい説明になってますね。普通に「回転ベクトルに行列Aが掛かる」「回転ベクトルに行列ABが掛かる」と考えた方がわかりやすいです。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 19:01:47
  • そうすると、私が16時27分に投稿した内容で合ってるということですか。分かりづらくて申し訳ないのですが、(e_x e_y e_z)tや(e_X e_Y e_Z)tは列ベクトルを表しているつもりです。 -- 珈琲? 2019-03-19 (火) 19:06:33
  • 珈琲さんの一番最初の説明がよくって、†11の説明は無視してもらった方がよさそうです。正しい説明を考えます。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 19:40:06
  • 了解しました。ありがとうございます。 -- 珈琲? 2019-03-19 (火) 20:13:58
  • 説明がおかしくて混乱させてしまってすみません。 -- 前野? 2019-03-19 (火) 20:16:19
  • とんでもないです。何度も丁寧に対応していただき、大変嬉しく思います。 -- 珈琲? 2019-03-19 (火) 20:43:19

P136について

珈琲? (2019-03-15 (金) 01:14:38)

いくつか質問があります。
・(5.36)の左辺が0になることに関してですが、
「(5.36)の左辺はGjが{q*}、{Q★}の関数であることを考慮すると、∂Gj/∂qiとみなせる。また、Gj({q*}、{Q★})=0により{Q★}はq*の関数とすることが出来るので、GjはGj({q*}、{Q★({q*})})となり独立変数としては{q*}のみを持つことになる。したがって、Gj({q*}、{Q★({q*})})=0というのは{q*}をどのように変化させても0になることを意味しているので、∂Gj/∂qi=0としてもP135の補足とは状況が違うので問題ない。以上から左辺は0となる。」
という理解でよろしいでしょうか。

・P136で「最後についている∂Qj/∂qiの意味を考えよう」とありますが、これは結局何を意味しているのでしょうか。自分としては、「Gj=0により{Q★}が{Q★({q*})}と表わされるため、Gj({q*}、{Q★({q*})})をqiで偏微分するときに連鎖律的についてくるもの」、以上の意味を見出せませんでした。

  • 訂正です。1つ目の質問で記した(5.36)は全て(5.96)のことです。 -- 珈琲? 2019-03-15 (金) 01:27:24
  • 計算はそのとおりです。また「意味を考えよう」というのはその後の文章で考えていることで、こう考えれば${\partial Q_k\over\partial q_i}$が出てくることがわかるね、というだけのことです。 -- 前野? 2019-03-15 (金) 05:30:59
  • 訂正です。1つ目の質問で記した(5.36)は全て(5.96)のことです。 -- 珈琲? 2019-03-15 (金) 12:14:57
  • 謎に連投してしまい申し訳ありません。ご返信ありがとうございます。理解しました。 -- 珈琲? 2019-03-15 (金) 12:17:54

(3.79)について

珈琲? (2019-03-05 (火) 01:38:36)

(3.79)におけるLは(3.76)の被積分関数を採用していると解釈しました。
その際、$ \frac{\partial L}{\partial (\frac{\partial f}{\partial x})} $
は、このページでは$ \frac{\partial f}{\partial x} $ と表記されていますがいますが、Lにはこの項は2乗として入っているので、$ 2 \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right)$ ではないのでしょうか。

  • 確かに、それぞれ2がつくべきですね。右辺が0なので両辺を2で割るという操作をすると消えるのですが、消すのが早すぎたようです。 -- 前野? 2019-03-05 (火) 06:43:39
  • サポートページに訂正を入れました。その後の式でもところどころに2が必要です。 -- 前野? 2019-03-05 (火) 07:00:48
  • 承知しました。お答えいただきありがとうございます。 -- 珈琲? 2019-03-05 (火) 12:32:05

正準方程式を正準変換でない変換で導く

後野? (2019-01-31 (木) 23:45:10)

正準変換でない変換の場合、p265でハミルトニアンを変え、作用を変えたようにして、作用を新しく作り、運動方程式を導くことはできますか。

  • 正準変換でない変換って具体的にどんなのですか、作用を変えたら運動方程式が変わるのが普通です(正準変換なら変わらない。正準変換でないけど同じ運動方程式を出すような別の作用がある場合はある)。 -- 前野? 2019-01-31 (木) 23:54:44
  • 一口に「作用を変え」と言ってもいろいろあるわけで、運動方程式は一般には変わります。それは普通、ぜんぜん違う力学系を見ていることになります。 -- 前野? 2019-01-31 (木) 23:55:44
  • ハミルトニアンをあたらしくKとしたように、κ=H+∂G/∂tとして、(10.7) (10.9) を用いて、∂/∂Q(∂G/∂t)=-∂H/∂Q(1-J) 、∂/∂P(∂G/∂t)=(1-J)∂H/∂Pとなればよいのですが、そのような∂G/∂tはいつでも用意できるのでしょうか。Jが定数の場合はそのようなGがないことは分かりました。 -- 後野? 2019-02-01 (金) 01:12:54
  • (10.7) (10.9) を用いて、∂/∂Q(∂G/∂t)=-∂H/∂Q(1-J) 、∂/∂P(∂G/∂t)=(1-J)∂H/∂Pとなればよいの というのは∂κ/∂p=dq/dt、∂κ/∂q=-dp/dtとなるためです -- 後野? 2019-02-01 (金) 01:16:46
  • そういうことがしたいのなら、その微分方程式を解けばよいので、解ける場合ならあるということだと思います(Jが定数なら$G=\int H\mathrm dt(1-J)$でいいような)。 -- 前野? 2019-02-01 (金) 08:15:57
  • Jによっては解がありません。${\partial G\over\partial t}$が積分可能条件を満たしてなかったら確実にだめだと思います。 -- 前野? 2019-02-01 (金) 08:17:20
  • わかりました。計算が煩雑だったので正準変換を今後は用います。ありがとうございました。 -- 後野? 2019-02-01 (金) 09:43:20

オイラーラグランジュ方程式と作用

後野? (2019-01-31 (木) 22:21:51)

P213でオイラーラグランジュ方程式を作用の変分が0になることで導出しています。作用はqに関して停留することは、運動方程式からわかりますが、pに関して停留するとは言及されていません。それゆえ、この導出は不完全だと思います。逆に、正準方程式があるから作用はpに対して停留すると言えることは正しいと思います。

  • qに関して停留と書きましたが、詳しくいえばv=∂q/∂tの関係がある上での停留です。 -- 後野? 2019-01-31 (木) 22:32:37
  • 作用というのはそもそも変分したら運動方程式が出てくるように作るもの、というのが本書の立場です。正準形での作用は独立変数がpとqであるように作ります。作った結果がp、qで書いた作用です。そういう意味では正準方程式が出るように作った作用です。 -- 前野? 2019-01-31 (木) 23:09:24
  • qを変数とする作用$\int L\mathrm dt$を、変数を$p,q$の二倍にして、さらに$p$と$q$の関係が(やはり変分原理から)出てくるようにしたのが$p,q$で書かれた作用$\int(p\dot q-H)\mathrm dt$だ、と言ってもいいかもしれません(一つ前の節で、$p$がラグランジュ未定乗数とも解釈できることを書きました)。 -- 前野? 2019-01-31 (木) 23:11:58
  • 要は「pで変分したら0」というのは作用を作ったあとで証明が必要になるようなことではなく「そうなるように作るのが作用というものだ」ということです。で、$\int (p\dot q-H)\mathrm dt$が実際そうなっていることが確認できるわけです。 -- 前野? 2019-01-31 (木) 23:15:20
  • わかりました。ありがとうございます。 -- 後野? 2019-01-31 (木) 23:19:40


これより古い記事は


トップ   編集 凍結 差分 バックアップ 添付 複製 名前変更 リロード   新規 一覧 単語検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS
Last-modified: 2019-04-07 (日) 02:33:18 (74d)