「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板

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(第6刷) 10.2.1 正準変換による作用の変化と母関数

川西? (2020-11-06 (金) 16:24:45)

p255でラグランジアンに $\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$ を足しても正準方程式が変わらないところがよくわかりません。そのあとに続くいろいろな例のように、 𝐺 には 𝑞, 𝑝 が入っていると思います。正準方程式を導くための変分においては、端点で 𝑞 を固定して、 𝑝 はどうするのでしょうか。

pp213-214 の「9.2 変分原理からの正準方程式」で作用の変分から正準方程式を出したときは、そこの脚注†⁸に書いてあるように端点で 𝛿𝑝 を0にする必要はありませんでした。端点で 𝛿𝑝 を0にしないなら $\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$ を加えたものを変分を取ったら端点での 𝛿𝑝 が影響して値がずれる心配がありませんか。

そうではなくて端点で 𝛿𝑝 も0に固定するのだとすれば、なぜ第9章では固定する必要がなくて第10章では固定するのでしょうか。
そして pp90-91 の【FAQ】では、端点での位置の変分を0にする理由は、答えを1つに決める(力学的自由度×2個の条件を定める)ためでした。それなら、端点での 𝑞 だけでなく 𝑝 も固定したら条件が多すぎにならないのでしょうか。

  • すいません、この質問を見落としてました。まず端点で$\delta p$を0にする必要があるかないかですが、実は運動方程式には関係ありません(どっちでもいい)。変分$p\to p+\delta p$を取ったときの変化は$\int \left( \delta p \dot q - {\partial H\over\partial p}\delta p +{\mathrm d\over\mathrm dt}\left({\partial G\over\partial p}\delta p\right)\right) \mathrm dt$となります。 -- 前野? 2020-11-18 (水) 14:36:13
  • この最後の項は実は${\partial G\over\partial p}\delta p\bigr|_{t=t_f}-{\partial G\over\partial p}\delta p\bigr|_{t=t_i}$という表面項になって、時刻$t_i$と時刻$t_f$以外の時刻$t$の$\delta p(t)$はこの項には入ってません。よって運動方程式を出す(ある時刻の$\delta p$の係数を取り出す)と、この項は(端点の$\delta p$を0にしたかどうかによらず)関係なくなります。-- 前野? 2020-11-18 (水) 14:39:10
  • 部分積分したときに表面項が残るかという点では$\delta p$の端点での値は関係しますが、「運動方程式を出す」ことだけが問題ならば、別にあってもなくてもどうでもいい、ということになります。 -- 前野? 2020-11-18 (水) 14:41:57
  • 端点で 𝛿𝑝 が0でなくてもいいことはわかりました。そうすると、運動方程式が満たされたときでも、この作用の変分は必ずしも0にならないのでしょうか。4.1節では作用の変分が0になる条件が運動方程式だったと理解しています。一方で今のお話では、変分 𝑞→𝑞+𝛿𝑞, 𝑝→𝑝+𝛿𝑝 を取ったら作用の変分は $\delta I = \left[\frac{\partial G}{\partial p}\delta p\right]_{t_i}^{t_f} + \left[\frac{\partial G}{\partial q}\delta q\right]_{t_i}^{t_f} + \left[p\delta q\right]_{t_i}^{t_f} + \int_{t_i}^{t_f} \left(\left(\dot{q}-\frac{\partial H}{\partial p}\right)\delta p + \left(-\dot{p}-\frac{\partial H}{\partial q}\right)\delta q \right) \mathrm dt$ になると思います。運動方程式(正準方程式)が満たされているときこれの第4項の積分は0になりますが、第1項は0でなくてもいい(ということは 𝛿𝛪 が0でなくてもいい)のでしょうか。仮にそうなら、第2項と第3項も別に0にしなくても構わないのでしょうか。 -- 川西? 2020-11-19 (木) 15:42:35
  • 運動方程式を出すときは「任意の変分に対して変化量が0となる」という条件から出します。そして任意の変分は当然、「端点での変分が0になるもの」を含みます。よって「任意の変分に対して」と条件づければ、第4項が0になるという条件だけから運動方程式は出ます。つまり「運動方程式を出す」というのが目的ならば、端点のことは「端点の変分が0かどうか」を気にしなくてよいことになります。 -- 前野? 2020-11-19 (木) 17:07:58
  • 「運動を全部決める」という観点から見るなら、端点の条件は2つしか入れられません。たとえば始状態と終状態のqを決める(このときはpはどちらも決めない)か、始状態のpとqを決めるか(このときの終状態はpもqも決めない)。解析力学で通常使うのは前者です。つまりは「運動方程式を出しましょう」という立場のときと「運動を一つに定めよう」というときでは、つけるべき条件は違う、ということになります。 -- 前野? 2020-11-19 (木) 17:10:18
  • わかりました。ありがとうございました。 -- 川西? 2020-11-20 (金) 19:13:00 New

P102 (4.46)

学生? (2020-10-30 (金) 22:03:32)

p102(4.46)の下で~の時間微分となっているとあるのですが、そこからどうして、同じ式で表される力となるのですか?また、なぜL(加速系)-L(落体)という計算をしているのですか?

  • その前の部分で「何かの時間微分をラグランジアンに加えても運動方程式は変わらない」ということが書いてある(その詳しい説明はp98にある)のですが、そこはわかっているんでしょうか?? -- 前野? 2020-10-31 (土) 00:28:57
  • 二つの作用の差が「何かの時間微分」になったということは、$L_{落体}$に、この「何かの時間微分」を足したら$L_{加速系}$になったということですから、運動方程式は変わらない、とわかります。 -- 前野? 2020-10-31 (土) 00:31:10

(第6刷) 9.6.1 角運動量とのポアッソン括弧

川西? (2020-10-26 (月) 19:41:59)

p235の上から3分の2くらいでやっている「簡単な例」と、p234(9.86)式の対応関係について、疑問があります。

p235の例で、 𝑥 軸回りに無限小 𝜖 回転してから 𝑦 軸回りに無限小 𝜖 回転したときと、その逆順に回転したときとの差を計算すると、
動く前の物体の位置が 𝑧 軸上にあった場合(本の例と同じ): 𝑧 軸回りに −𝜖²/2 回転
動く前の物体の位置が 𝑧 軸上でない場所にあった場合: 𝑧 軸回りに −𝜖² 回転
になると思います。

これと(9.86)式との対応を考えると、左辺の {*, Lx} と {*, Ly} の回転量がそれぞれ 𝜖 の1次であるのに対し、右辺の {*, Lz} の回転量は(本に書いてあるように) 𝜖 の2次で、しかもマイナスになります。そのような差異があるので「確かにこうなっていることを確認」したと思うには少しひっかかるのですが、これはどのような対応関係を考えればすっきり納得できるのでしょうか。今の話ではそこまで細かい対応を考えなくていいのでしょうか。
※ (9.86)式自体が成立することはわかりました。そこは疑問はありません。

  • $L_x$と$L_y$が$\epsilon$のオーダーなのに$L_z$による回転が$\epsilon^2$のオーダーなのは、「$x$軸周りに$\epsilon$回転するという演算が$1+\epsilon L_x$を掛けるという演算になる」と考えると理解できます。 -- 前野? 2020-10-26 (月) 20:36:04
  • x回転のあとy回転とy回転のあとx回転の差は$(1+\epsilon L_x)(1+\epsilon L_y)-(1+\epsilon L_y)(1+\epsilon L_x)$という(演算子の差)の計算になりますが、この式の$\epsilon$の1次のオーダーは自明に消えて、残るのは$\epsilon^2$のオーダーです。 -- 前野? 2020-10-26 (月) 20:37:51
  • なんで$1+\epsilon L_x$となるかというと、有限角度の回転はイメージとしては$\exp(\theta L_x)$のように表わされて、その微小角度バージョンだからです。 -- 前野? 2020-10-26 (月) 20:39:39
  • $L_z$が${\partial\over\partial\phi}$に対応するということは(9.84)で書いてます。 -- 前野? 2020-10-26 (月) 20:52:35
  • それと同じ意味で、$exp(AL_z)$に対応する演算は、$\exp(A{\partial\over\partial \phi})$に対応します。 -- 前野? 2020-10-26 (月) 20:54:25
  • 計算を具体的に書いておくと、$L_x$が行うのは$(x,y,z)\to(x,y-\epsilon z,z+\epsilon y)$という操作、$L_y$が行うのは$(x,y,z)\to(x+\epsilon z,y,z-\epsilon x)$という操作です。$L_z$が行うのは$(x,y,z)\to(x-\epsilon y,y+\epsilon x,z)$という操作です。 -- 前野? 2020-10-27 (火) 05:44:52
  • この二つを次々に行うと、「$L_x$をやってから$L_y$」の場合、$(x,y,z)\to (x,y-\epsilon z,z+\epsilon x)\to (x+\epsilon (z+\epsilon y),y-\epsilon z,z+\epsilon y)$です。 -- 前野? 2020-10-27 (火) 05:46:55
  • 「$L_y$を行ってから$L_x$」なら、$(x,y,z)\to(x+\epsilon z,y,z-\epsilon x)\to(x+\epsilon z,y-\epsilon(z-\epsilon x),z+\epsilon y)$です。 -- 前野? 2020-10-27 (火) 05:49:53
  • 結果の差は$(\epsilon^2 y,-\epsilon^2 x,0)$で、これは$L_z$による変化(ただしパラメータが$\epsilon$ではなく$-\epsilon^2$)となrので、$-\epsilon^2$になるのがちょうど対応しているということになります。 -- 前野? 2020-10-27 (火) 05:53:14
  • 確かに本に書いてある図の場合というのは厳密な話しじゃなく「雰囲気」ということになります(ちゃんと考えるなら、まじめに微小な角度の計算を考えることが必要)。 -- 前野? 2020-10-27 (火) 06:01:11
  • 詳しく解説いただきありがとうございます。後半はよくわかりました。前半の演算子の差の計算は、 {*, Lx}、{*, Ly}、{*, Lz}に対応する演算子をそれぞれ $\hat{L}_x, \hat{L}_y, \hat{L}_z$ と書くことにすれば、$\left(1+\epsilon\hat{L}_y\right)\left(1+\epsilon\hat{L}_x\right)-\left(1+\epsilon\hat{L}_x\right)\left(1+\epsilon\hat{L}_y\right)=\epsilon^2\left(\hat{L}_y\hat{L}_x-\hat{L}_x\hat{L}_y\right)=\epsilon^2\hat{L}_z$ になるので 𝑧 軸回りは2次であることがわかる、という意味でしょうか。それと有限角度の回転がexpの式になるのは、$A\left(\phi_0+\Delta\phi\right)=A|_{\phi=\phi_0}+\Delta\phi\frac{\partial A}{\partial\phi}\biggr|_{\phi=\phi_0}+\frac{1}{2!}\Delta\phi^2\frac{\partial^2 A}{\partial\phi^2}\biggr|_{\phi=\phi_0}+\cdots=\left(\exp\left(\Delta\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\right)A\right)\Biggr|_{\phi=\phi_0}$ のように書けるということでしょうか。 -- 川西? 2020-10-27 (火) 19:53:21
  • 演算子に関してはその通りです。expになることは、テイラー展開で理解してもいいですが、$(1+{\theta\over N})^N$の$N\to\infty$極限が$\exp(\theta)$だ、という考え方でもいいです(${\theta\over N}$が微小角度$\epsilon$です(微小角度回転を無限回やれば有限角度回転に達する)。 -- 前野? 2020-10-27 (火) 20:21:26
  • わかりました。ありがとうございました。 -- 川西? 2020-10-27 (火) 21:44:07

p72 (3. 50)

学生? (2020-10-26 (月) 17:52:09)

「全く同じ数値である。」以下から(3.50)式がでてくるところまでがわかりません。座標変換の式はどうしてあのような式になるのですか。また、成り立ったとしても(3.50)が成り立つのも理解できません。ご教授お願い致します。

  • 添え字の意味も教えていただきたいです。 -- 学生? 2020-10-26 (月) 18:14:48
  • まずある量がスカラーであるとは、どのような座標系を人間が使っているかに関係なく、「この場所のUはこの値」と決まっているということです。人間がqという座標を使ってようと、Qという座標を使っていようと、その二つ(qで表わされる場所とQで表わされる場所)が同じ場所なら、U(q)=U(Q)です。 -- 前野? 2020-10-26 (月) 20:20:53
  • では、qとQが同じ場所であるとはどういうことかというと、ある座標変換があって、Qをqの関数として表すことができる、ということです。つまりU(q)とU(Q)は同じ値でqとQは同じ場所の座標で、それゆえにQはQ(q)のように表すことができる。よってU(q)=U(Q(q))です。 -- 前野? 2020-10-26 (月) 20:22:36
  • 添字につては33ページに書いてあります。 -- 前野? 2020-10-26 (月) 20:23:44
  • なお、ときどき混乱する人がいるので注意しておくとここのU(q)=U(Q(q))の左辺と右辺は同じ物理量で、同じ値を持ちますが、関数の形は違います(直行座標と極座標では関数の形は違う)。ですが、「同じ物理量」なので同じ文字Uで表しています。 -- 前野? 2020-10-26 (月) 20:25:45

6.4.1 下から2行目

大学生? (2020-10-19 (月) 12:15:23)

各々の点の振幅がでてきますが、これはどのように導出したのですか?

  • p163の図に示したような状況を表すので、$\sin{p\pi\over\ell}x$の形になることがわかります。sin関数になるのは、6.3節で考えた固有ベクトル(行列${\bf T}$の各列ベクトル)からです。 -- 前野? 2020-10-25 (日) 12:08:34
  • 式としては、(6.70)で出てます。これの${np\pi\over N+1}$の${n\over N+1}$が${x\over\ell}$に対応してます。 -- 前野? 2020-10-25 (日) 12:10:47
  • 理解できました。ありがとうございます。 -- 大学生? 2020-10-28 (水) 17:05:01

p38, (2.42)

計算むずい? (2020-10-17 (土) 21:35:09)

この式において、xで微分すると定数になる理由がわかりません。y'はxに依存しているので、微分しても0にならないと思うのですが。

  • どんな関数y'でもこうなるわけではありません。むしろ、そうなるような関数を探しているという状況です。また、xに依存してないのはy’ではなく、${y'\over\sqrt{1+(y')^2}}$です。 -- 前野? 2020-10-17 (土) 23:53:14

p57の滑車装置に関して

田島? (2020-10-16 (金) 21:41:44)

左側のシーソーをδr下げると右側物体が4δr上がるとのことですが、どういう計算になっているのでしょうか?詳細を教えてください。

  • 図から読み取ってください。図に、実際に左の物体がδr下がったところを書いてみればいいです。 -- 前野? 2020-10-16 (金) 23:19:58
  • ありがとうございます。やってみます -- 田島? 2020-10-18 (日) 00:46:03

p45の拘束条件の表現で導入した未定乗数λに関して

田島? (2020-10-16 (金) 20:17:57)

全周の長さがL1の曲線の最大面積を与える図形を求める問題で、(dx/dl)^2+(dy/dl)^2=1という拘束条件を加える際に未定乗数λを導入していますが、これが弧長パラメータlに依存するというのはどうしてでしょうか?巻末を読んだところλ(x,y)という関係にあるからだと思いましたが、それであっていますか?

  • λを入れる目的は、拘束条件を曲線のすべての場所において成り立つようにすることです。λがパラメータに依存しない定数だったら、λが変化することによる変分を取ったときに、出てきてほしい条件が出ません。 -- 前野? 2020-10-16 (金) 23:18:12
  • もし、長さが$L$になるという条件を$\int d\ell \left(\sqrt{\left({dx\over d\ell}\right)^2+\left({dx\over d\ell}\right)^2}-1\right)=0$のような一つの条件として入れようと意図して計算するのであれば、λを最初から定数にしても構いません。 -- 前野? 2020-10-16 (金) 23:24:04
  • ありがとうございます。変分に関して理解不足なので、読み返してみます。 -- 田島? 2020-10-18 (日) 00:47:57

6.46式について

数学苦手? (2020-10-14 (水) 17:50:58)

対称行列を使って6.46式をだすようですが、途中式がわかりません。

  • (6.45)の下に書いてあるとおりに計算すれば、$\vec T_2^t{\bf K}\vec T_1=\lambda_1\vec T_2^t{\bf M}\vec T_1$という式と、この式の1と2をひっくり返した式$\vec T_1^t{\bf K}\vec T_2=\lambda_2\vec T_1^t{\bf M}\vec T_2$ができますが、それはわかってますか? -- 前野? 2020-10-14 (水) 21:24:59
  • あとは対称行列だから$\vec T_1^t{\bf K}\vec T_2=\vec T_2^t{\bf K}\vec T_1$というのを使います。 -- 前野? 2020-10-14 (水) 21:26:44
  • なんとなくなりそうな気はしますが、計算で示すのはできないです。 -- 数学苦手? 2020-10-14 (水) 22:04:54
  • 後は引き算するだけです。$\vec T_2^t{\bf K}\vec T_1-\vec T_1^t{\bf K}\vec T_2=\lambda_1\vec T_2^t{\bf M}\vec T_1-\lambda_2\vec T_1^t{\bf M}\vec T_2$となるので、後は対称行列であることを使ってまとめます。 -- 前野? 2020-10-14 (水) 22:23:48

6.88式について

大学生? (2020-10-14 (水) 12:27:41)

6.67の式から、両端のバネの部分が抜けていますけど、なぜでしょうか?
また6.89式ではシグマがNでまとめられていますが、なぜでしょうか?

  • 訂正 6.67式から書き換える際に、6.88式では両端のバネのエネルギーが抜けていますが、なぜでしょうか? -- 大学生? 2020-10-14 (水) 12:29:38
  • ああ、これは確かに説明があるべきでしたね。要は「後でN→∞(Δx→0)の極限を取ることを考えれば、両端をつけてようとつけてまいと結果は変わらない」ということです。 -- 前野? 2020-10-14 (水) 15:00:20
  • もし両端のエネルギーをつけていたとしても、極限とってしまえば(6.90)と同じ式になってしまうことはわかると思います。 -- 前野? 2020-10-14 (水) 15:02:00
  • 極限を取るとyが短くなる分、バネ係数が大きくなって無視できないような気がします。 -- 大学生? 2020-10-14 (水) 17:49:40
  • 実際にある場合とない場合の差を考えてみてください。N個ぐらいあるうちの2個ですから、極限では無視できます。 -- 前野? 2020-10-14 (水) 21:21:10
  • 解決しました。ありがとうございます。 -- 大学生? 2020-10-14 (水) 21:47:53

6.2.4二重振り子

大学生? (2020-10-12 (月) 17:02:06)

6.59で固有ベクトルが分かりましたが、その後のθとの関係性がなぜそうなるのかよくわかりません。

  • もともと、このベクトルは$\left(\begin{array}{c}\theta_1\\ \theta_2\end{array}\right)$を求めていたのですから、決まった固有ベクトルとθは比例します。 -- 前野? 2020-10-12 (月) 18:00:22
  • θのベクトルが、一つ目の固有ベクトルに定数を掛けた量と、量と、二つ目の量と、二つ目の固有ベクトルに定数を掛けた量になる、ということです。 -- 前野? 2020-10-12 (月) 18:01:26
  • ありがとうございます。また固有値が角振動数に関係してますが、これはなぜでしょうか? -- 大学生? 2020-10-13 (火) 12:14:02
  • 解決しました。貴重な時間を割いていただきありがとうございます。 -- 大学生? 2020-10-13 (火) 12:25:04
  • 解決しました。貴重な時間を割いていただきありがとうございます。 -- 大学生? 2020-10-13 (火) 15:06:52

p321-循環座標について

s? (2020-10-12 (月) 14:47:19)

ラグラジアンLがxiを含まない場合に、dtで微分したら、0になる理由がわかりません。xi含んでいるとなぜ0にならないのですか?

  • そんなことは本には書いてないと思います。「$L(\xi,\dot \xi)$が$\xi$を含まないときには、$\xi$に対応する運動量である${\partial L\over\partial \dot \xi}$を$t$で微分したら0になる」ということは書いてあります。なぜそうなるかというとオイラー/ラグランジュ方程式からです。 -- 前野? 2020-10-12 (月) 15:35:10
  • すみません。サポートページを間違えました。無視してください。 -- s? 2020-10-12 (月) 15:58:14

(第6刷) 7.3.1 自由に回転する剛体

川西? (2020-10-10 (土) 20:04:29)

p186脚注†¹⁸ の $\frac{\mathrm d \vec \omega}{dt}=\vec\omega\times\vec L$ はなぜ成り立つのでしょうか。
計算すると左辺は $\frac{\mathrm d \vec \omega}{\mathrm dt}=\dot\omega_X{\bf\vec e}_X+\dot\omega_Y{\bf\vec e}_Y+\dot\omega_Z{\bf\vec e}_Z$ になって右辺は $$\begin{eqnarray*} \vec\omega\times\vec L &=& \left(\omega_X{\bf\vec e}_X+\omega_Y{\bf\vec e}_Y+\omega_Z{\bf\vec e}_Z\right)\times\left(I_{XX}\omega_X{\bf\vec e}_X+I_{YY}\omega_Y{\bf\vec e}_Y+I_{ZZ}\omega_Z{\bf\vec e}_Z\right) \\ &=& \left(I_{ZZ}-I_{YY}\right)\omega_Y\omega_Z{\bf\vec e}_X+\left(I_{XX}-I_{ZZ}\right)\omega_Z\omega_X{\bf\vec e}_Y+\left(I_{YY}-I_{XX}\right)\omega_X\omega_Y{\bf\vec e}_Z \\ &=& -I_{XX}\dot\omega_X{\bf\vec e}_X-I_{YY}\dot\omega_Y{\bf\vec e}_Y-I_{ZZ}\dot\omega_Z{\bf\vec e}_Z \end{eqnarray*}$$ になるかと思いましたが、これだと方向が違うし、もともと両辺で次元が合っていないように見えます。ここはどう計算すればいいのでしょうか。

  • すいません、この式は明らかに間違いです。 -- 前野? 2020-10-10 (土) 21:34:31
  • わかりました。ありがとうございます。 -- 川西? 2020-10-10 (土) 22:34:04

演習問題5-3

数学苦手? (2020-10-07 (水) 19:43:50)

静止摩擦力が向心力となる理由がわかりません。

  • 「理由がわかりません」と言うのは具体的にどういう部分ででしょう?? 物体を円運動させるには向心力が必要で、その向心力は力であればなんでも言いわけで、静止摩擦力ではダメだとする理由はないと思うのですが。 -- 前野? 2020-10-07 (水) 19:49:37
  • 説明不足ですみません。向心力は中心に向かう力なので、静止摩擦力が向心力であることに違和感を感じました。 -- 数学苦手? 2020-10-09 (金) 21:05:10
  • 因果関係が逆です。最初から「中心」があるわけじゃありません。働いた力によって、どの点を中心に円運動するかが決まります。そのときに働いている力のうち、物体が中心周りにまわるようにするのに使われているものを「向心力」といいます(それは運動方程式からそのとき決まった「中心」を向く)。 -- 前野? 2020-10-10 (土) 21:06:18

5.4章末問題 演習問題5-1 (2)

大学生? (2020-10-07 (水) 17:58:00)

万有引力ポテンシャルの微分が位置と速度の内積で表されてますが、位置ベクトルと速度ベクトルが同じ方向でない場合、計算に違いが生じると思います。

  • 計算は単純に$-{GMm\over\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$を微分して${GMm\over(x^2+y^2+z^2)^{3\over2}}(x\dot x+y\dot y+z\dot z)$となる($x\dot x+y\dot y+z\dot z$の部分が$\vec x$と$\vec v$の内積になる)だけなので、同じ方向でなくても成り立つと思いますが。 -- 前野? 2020-10-07 (水) 18:47:14
  • 納得しました。ありがとうございます -- 大学生? 2020-10-09 (金) 21:11:28

(第6刷) 5.3.3 変数の消去

川西? (2020-10-03 (土) 10:20:28)

p136 (5.96)の左辺第2項の左側の偏微分が $\frac{\partial G_j}{\partial Q_k}\biggr|_{q_i,Q_\overline{k}}$ のように、 $q_i$ と $Q_\overline{k}$ を一定にすることになっていますが、この場合 $q_i$ 以外の $q_*$ が勝手に動いても影響ないのでしょうか。

以下のところまではわかったつもりです。
すなわち、拘束条件を解いた(5.88) $Q_i=Q_i(\{q_*\})$ を $G_j (\{q_*\}, \{Q_★\})$ に代入してから $q_i$ で偏微分したものは $$ \frac{\partial G_j (\{q_*\}, \{Q_★(\{q_*\})\})}{\partial q_i}{\biggr|_{{\{q_\overline{i}}\}}}= \frac{\partial G_j (\{q_*\}, \{Q_★\})}{\partial q_i}{\biggr|_{\{{q_\overline{i}}\},\{Q_★\}}}~+ \sum_k\frac{\partial G_j (\{q_*\}, \{Q_★\})}{\partial Q_k}{\biggr|_{\{q_*\},{\{Q_\overline{k}}\}}}
\frac{\partial Q_k (\{q_*\})}{\partial q_i}{\biggr|_{{\{q_\overline{i}}\}}} $$ のように表されるが、左辺は定数0の微分なので0。だから右辺も0。
((5.96)と(5.95)では 𝑗 と 𝑘 の役割が入れ替わっている。(5.96)の $\{Q_*\}$ は(5.87)・(5.92)の $\{Q_★\}$ に対応。)

このように考えましたが、上式の右辺と(5.96)の左辺を比べると第2項の左側の偏微分に差異があって、 $q_i$ 以外の $q_*$ を一定にしないと何が起きるのかわかりませんでした。

  • すいません、この微分の固定する変数は$\{q_*\},\{q_{\bar k}\}$が正しいです。 -- 前野? 2020-10-03 (土) 17:20:18
  • わかりました。ありがとうございます。TeXの修正もお手数をおかけしました。 -- 川西? 2020-10-03 (土) 19:17:13

p.44 式(2.68)

0? (2020-09-30 (水) 22:33:04)

左辺第一項の$\frac{dy}{dl}$は、
$$\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x} \left( x\frac{dy}{dl}-y\frac{dx}{dl} \right)$$
の計算の結果かと思いますが、$L$の右辺第二項の$x$微分がなぜゼロになるのでしょうか。
微小量$dx$の微小量を取るから、近似的に0ということでしょうか。

  • Lは第1項に$x$を、第2項に${\mathrm dx\over\mathrm d\ell}$を含んでいます。$x$の微分と${\mathrm dx\over\mathrm d\ell}$の微分は別々に考えていて、(2.68)の第1項が$x$微分の方、第2項が${\mathrm dx\over\mathrm dl}$の方です。 -- 前野? 2020-09-30 (水) 22:52:53
  • 計算の手続きとしての話をすると、${\partial L\over\partial x}$は「${\mathrm dx\over\mathrm d\ell}$は一定として$x$で微分」の結果であり、第2項で出てくる${\partial L\over\partial \left({\mathrm dx\over\mathrm d\ell}\right)}$は「$x$を一定としての${\mathrm dx\over\mathrm d\ell}$微分」です。 -- 前野? 2020-09-30 (水) 22:54:37
  • $x$で偏微分する時は、他の文字と同様に$dx$も定数とみなして計算するということですね。理解できました、ありがとうございます。 -- 0? 2020-09-30 (水) 23:23:23
  • 関連してもう一つ、計算方法についての質問なのですが、p.45の式(2.72), (2.73)の左辺第2項の導出がいまいちわかりません。例えば式(2.72)について考えてみると、左辺第2項は式(2.70)の$-\frac{d}{d\ell} \left( 2\lambda \frac{dx}{d\ell} \right)$の計算結果ということでしょうか。式(2.72)の第3項が出てくるのはわかるのですが、第2項の導出がいまいちわかりません。ご教授いただけませんでしょうか。 -- 0? 2020-09-30 (水) 23:29:57
  • $\mathrm dx$は数ではないので「定数とみなす」のは${\mathrm dx\over\mathrm d\ell}$です。 -- 前野? 2020-09-30 (水) 23:45:10
    • ${\mathrm d\over\mathrm d\ell}(2\lambda{\mathrm dx\over\mathrm d\ell})$の結果が第2項と第3項です。微分のライプニッツ則${\mathrm d\over\mathrm dx}(AB)={\mathrm dA\over\mathrm dx}B+A{\mathrm dB\over\mathrm dx}$を使ってます。 -- 前野? 2020-09-30 (水) 23:47:33
  • 微小量は数では無く、微小量の比を取ることに意味があるという話は、前野先生の他の著書に書いてありましたね。復習しておきます。 -- 0? 2020-09-30 (水) 23:57:30
  • 微分のライプニッツ則を用いるということは、未定乗数$\lambda$はここでは$\ell$に関する関数($\lambda(\ell)$)であるということですか? -- 0? 2020-10-01 (木) 00:01:41
  • もちろん、そうです。 -- 前野? 2020-10-01 (木) 00:38:26
  • このラグランジュ未定定数は、$\ell$に依存する拘束条件を導入するためのものなのだから、$\ell$の関数でないと困ります($\lambda$で微分することで、各々の$\ell$に対する拘束条件が出てこないといけない)。 -- 前野? 2020-10-01 (木) 00:41:01
  • 下の方で$\lambda$が定数になっているから勘違いしたのかもしれませんが、これは運動方程式を解いたら定数であることがわかったのであって、最初は定数でないと考えなくては、欲しい拘束条件が出てきません。 -- 前野? 2020-10-01 (木) 00:41:34
  • なるほど、理解できました。ラグランジュ未定乗数についてきちんと理解できていませんでした。この本を通して正しい理解につなげたいと思います。 -- 0? 2020-10-01 (木) 07:45:13

(第6刷) 3.6.3 一般座標におけるラプラシアン

川西? (2020-09-26 (土) 10:15:46)

pp. 80-81 で変分原理を使って3次元極座標のラプラシアンを求める手順の最後で、(3.83)の2行目から3行目のようなを変形する、すなわち両辺を −2r² sin θ で割るべきだというのは何から判断するのでしょうか。
あらかじめ答え(3.72)を知っているなら、 −2r² sin θ で割ればちょうどいいことがわかるのですが。

ウェブサイトの「いろもの物理Tips集」の「極座標のラプラシアンの出し方いろいろ」も拝見しました。
そちらでは ∆𝑓 = 𝜌 というポアソン方程式が出てくる作用を使うやり方が載っていました。そのやり方なら、右辺が 𝜌 になるように両辺を何倍かして調整すれば、左辺が自動的に ∆𝑓 になって、ラプラシアンが求められることが理解できました。
一方、本のやり方はラプラス方程式 ∆𝑓 = 0 が出てくる作用なので、方程式は出てきましたが、右辺が0なのでラプラシアン自体を導出するために最後に両辺を何倍すればいいかわかりませんでした。

  • 割る必要はありません。右辺が=0なのですから、割っても割らなくても数式の内容は同じです。 -- 前野? 2020-09-26 (土) 10:24:18
  • じゃあなんで割ったのかというと、「知っている式に合わせたかった」というだけです。合わせる気がないなら割らなくてもいいです。 -- 前野? 2020-09-26 (土) 10:25:20
  • ありがとうございます。ラプラス「方程式」 ∆𝑓 = 0 を出したい場面なら、割っても割らなくても数式の内容が同じであることはわかります。ですが、∆ の中身が3次元極座標でどう表されるかを知らない(忘れた)のでそれを知りたいとき、つまりp.79の(3.72)を導出したいときに、どうすればいいのかが気になっていました。本に載っている方法は、そんなことは気にしなくてもいきなりラプラス方程式が出ますよ、という意味でしょうか。 -- 川西? 2020-09-26 (土) 13:04:22
  • つまりは直交座標の場合と(係数も含めて)一致する式を出したい、ということでしょうか。それでしたら、オイラー・ラグランジュの式を出す手前で計算をやめて、変分を$\int \delta f \triangle f \mathrm d^3\vec x$の形にまとめてから$\triangle f=0$という式を直交座標と極座標で出せば、係数も含めて同じ式(極座標の方は$r^2\sin\theta$で割った式)が出てきます。 -- 前野? 2020-09-26 (土) 17:08:24
  • ありがとうございます。できました。$I = \int \left(-\frac{1}{2} \vec\nabla f \cdot \vec\nabla f \right) \mathrm d^3\vec x$ の変分を計算したら $\delta I = \int \delta f \triangle f r^2 \sin \theta \mathrm dr \mathrm d\theta \mathrm d\phi$ になって、係数も含めて(3.72)と同じ ∆ が出てきました。−2r² sin θ の出所は(3.78)の先頭の −2 と $\mathrm d^3\vec x = r^2 \sin \theta \mathrm dr \mathrm d\theta \mathrm d\phi$に入っている r² sin θ の積だったのですね。よくわかりました。 -- 川西? 2020-09-26 (土) 21:43:39

(第6刷) 3.6.2 懸垂線の方程式

川西? (2020-09-25 (金) 13:02:09)

横道にそれた疑問かもしれませんが、pp. 76-78 で(3.58)の変分から解(3.66)を求める物理的な意味について確認したいです。

まず前置きとして、長さ L (定数)の糸の両端を特定の位置 (x₁, y₁) と (x₂, y₂) に固定したときの糸の形を求めるために、【問い3-3】または【問い3-4】の答えの式を使えばよいことはわかりました。
例えば p.355 (D.47) の y = C cosh (C⁻¹x + D) + E を使えば、
(1) 曲線が (x₁, y₁) を通る。
(2) 曲線が (x₂, y₂) を通る。
(3) 曲線の長さが L である。(【問い3-3】の問題文1〜2行目の式を使う)
の3条件を用いて3つの任意定数 C, D, E の値が決まります、と理解しています。

それで本題ですが、定数項がない(3.66)のような式 y = B⁻¹ cosh (Bx + D) (面倒なので √C を B と置きました; Bは正)は任意定数が2つしかありません。
この場合、上記(1)(2)の条件(両端の座標)を用いれば B と D の値が決まり、それに伴って糸の長さ L も自動的に決まってしまう( L は自由に選べない)のでしょうか。
つまり((3.68)でなく)(3.58)の変分を考えて解(3.66)を求めた作業は、実はこういう問題を解いたことになるのでしょうか →「両端の座標を決めたとき、糸の長さ L をいくらにすれば糸全体の位置エネルギーが停留値になるか、そしてそのときの糸の形はどうなるか?」(ここで求まった解は、Lの値を変える実現可能な変化に対しても、懸垂線じゃない形に変える実現不可能な変化に対しても、どちらの方向にも停留する。)

そうだとすると、この問題は y 座標の原点(というか位置エネルギーの基準点)の位置に依存して解の L が(したがって糸の形も)変わりますよね。
簡単のため両端の位置を (-a, b), (a, b) とする(aは正)とします。
すると D=0 となり、 B については、
(i) b∕a がある値(*)より小さい場合、条件を満たす B はありません。この場合は停留値は存在せず、 L を大きくするほど糸全体の位置エネルギーは単調に減少し、いくらでも -∞ に近づきます。
(ii) b∕a がそれより大きい場合、条件を満たす B は2つあります。この場合は L を 2a から始めてだんだん長くしていくと糸全体の位置エネルギーが、最初は減少し、あるところで増加に転じ、またあるところで減少に転じた後いくらでも -∞ に近づきます。このとき極小値を取る L は、b/a が大きいほど小さくなります(例えばaを固定すると、bが大きい場所(高いところ)でやるほど L を小さくするべし、となる)。
のようになると思われます。

(*) X² (arsinh² X - 1) = 1 の正の解

この解釈であっているでしょうか、どこか間違っているでしょうか。
(3.58)と(3.68)の違いは、【問い3-3】や†³⁰では「yの平行移動」という簡単な説明になっているので、(3.58)の変分の意味が本当に上のような複雑な問題と考えられるのか不安になりました。

  • まず最初に言っておきますが、条件が3つ、任意定数が3つあるというのが正しいやり方です。任意定数が2つしかないのは、なんらかの簡略化を行ったからです。つまり「正しいやり方」は任意定数が3つある方です。別の言い方をすると、定数項を0にするということはyの最小値(糸の最下点)を$B^{-1}$に決めてしまったことに対応します。そういう意味では、任意定数が2個しかない計算は「間違った計算」です。 -- 前野? 2020-09-25 (金) 13:34:36
  • 簡略化した間違った計算だけど、その違いは「yの平行移動」でしかないので、まぁいいか、ということを確認したのが問い3-3だということになります。 -- 前野? 2020-09-25 (金) 13:36:14
  • というわけで、「y座標の原点に依存して解のLが変わる」のは、本来省略してはいけない「L一定の条件」を外してしまったからだ、ということは言えそうですね。 -- 前野? 2020-09-25 (金) 13:41:26
  • この問題は今から思えば、最初からラグランジュ未定乗数を入れた式を書いておくべきだったかなぁ、と思うのですが、最初に書いたときは「いきなりラグランジュ未定乗数を使って、とやると読者も戸惑うかなぁ」と思ってそこを後回しにしてしまったのでした。 -- 前野? 2020-09-25 (金) 13:43:33
  • ラグランジュ未定乗数を入れない場合、「Lが変化する場合の変分も考えている」というのはそのとおりです。ただ、おっしゃるとおり解が正しい形では出てこないです。正しい計算をするとy方向に平行移動ので、bの値は原点ずらしで変化できるので、解はどんなLでも(短すぎると糸が渡せませんがそれ以上なら)大丈夫なんですが、そこがうまく出てこない式になってしまっているということになってます。 -- 前野? 2020-09-25 (金) 13:52:09
  • よくわかりました。素早いご回答ありがとうございました。 -- 川西? 2020-09-25 (金) 18:39:12

2.2.1 反射の法則

川西? (2020-09-20 (日) 10:11:34)

初めて投稿します。私は大学生のときにサボってしまい今になって勉強している中年の者です。
第6刷を買って読み始めたところですが、わからないことがありますので教えていただければ幸いです。

p.30 の真ん中らへんに、点Rをずらしたときの入射光の経路の縮みが bR 、反射光の経路の伸びが ab と書かれています。

これについて私は、入射光の経路の縮みは (aR)sin(入射角) 、反射光の経路の伸びは (aR)sin(反射角) だと考えました。これらはそれぞれ bR 、 ab とは一致しないように思えます。
これはどのように考えればよいのでしょうか。

  • すいません、確かに aR sin(角)と考える方が合理的です。bR、abとした考えは、入射光の「無限遠からaまで」と「無限遠からbまで」を「平行光線だからここまでは同じと見てもいいだろう」という考えからですが、あまり良いやり方ではありません。 -- 前野? 2020-09-20 (日) 19:02:20
  • ありがとうございました。 -- 川西? 2020-09-20 (日) 21:57:48

ラグランジアン の導出とダランベールの原理の関係

夏休み? (2020-09-17 (木) 00:30:24)

ラグランジアン を導出するには経路の変分を考えたとき、運動方程式が出てくるような物を求めるだけでラグランジアン は導出されると思うのですが、その導出とダランベールの原理の関係性がわかりません。ダランベールの原理なんて考えなくてもラグランジアン が導出できると思うのですが、この考えは間違ってますか?

  • 「経路の変分を考える」という段階まで行ったら、もうダランベールの原理は要らない、と言ってもいいので、その考えは間違っていません。ダランベールの原理があるおかげで「運動方程式も変分原理で」という考えに至ることができる、と思った方がいいと思います。 -- 前野? 2020-09-17 (木) 07:16:01
  • 87ページの真ん中の表で「仮想仕事の式」と同じ形で「ダランベールの原理による仮想仕事の式の拡張」ができて、その右の「?」は何だろう?という次の段階へと進むことができたわけです。 -- 前野? 2020-09-17 (木) 07:17:18
  • 段階を考えるのですね。理解できました。返答ありがとうございました! -- 夏休み? 2020-09-17 (木) 20:23:23

P.22ni

FumaRu? (2020-09-11 (金) 01:45:13)

つりあいの位置や条件をポテンシャルの微分が0であることから求める際に、「力がつりあっている」のは物体が静止するための必要条件にすぎないので、つり合いの条件というのは静止または等速直線運動するための条件となると思うのですがこれは正しいでしょうか。

  • 『よくわかる熱力学』の23ページを読んで上のように思ったのですが、間違えてこちらの掲示板に投稿してしまいました。お手数おかけしてすみません。 -- FumaRu? 2020-09-11 (金) 01:47:18
  • 『よくわかる熱力学』の23ページを読んで上のように思ったのですが、間違えてこちらの掲示板に投稿してしまいました。お手数おかけしてすみません。 -- FumaRu? 2020-09-11 (金) 15:33:25

p.38 FAQについて

Sh? (2020-08-14 (金) 21:17:29)

突然失礼いたします。

掲示板を遡ると表題の件で同様の質問をされていた方がおり、先生にご回答いただいておりましたが、
それを拝見した部外の私がちゃんと理解できているかお尋ねさせていただければと思います。質問は以下です。
 (なにか)=0が結論できるのは、(なにか)の後ろについてくるもの、つまりδy(x)が独立な時だけ~
 という主張の根拠はなんでしょうか。また、δy'が独立でないということもよくわからないです。(以下略)
この質問に対し、先生は
 (前略)独立なのは$\delta y(x)$($x$は任意の場所)です。$y(x+\Delta x)$を変化させると、$y'(x)$と$y'(x+\Delta x)$が連動して変わります。
 そういう意味で独立ではないです。
と回答されました。
私なりに解釈したイメージなのですが、
 $\delta y(x)$の形だと独立(任意?)な場所$x$で関数$y$に任意の微小変化$\delta y(x)$を与えられる⇒(なにか)は常に0でなければならない、ことに対し、
 $\frac{d}{dx} \delta y(x)$では、例えばどこかの場所$x$で関数$y$に任意の微小変化$\delta y(x)$を与えたとすると、
 その隣の場所$x$に対する$\delta y(x)$も変わってしまう。(こちらで勝手に決めることができない⇒独立でない)
 ⇒連鎖的に全ての場所$x$での$\delta y(x)$が決定してしまう。⇒うまくやれば(なにか)が常に0にならずとも式が成立する組み合わせが存在する。
以上のように認識しておりますが、何かマズい理解をしているところはあるでしょうか。
浅学、長文、冗長で申し訳ありませんが、ご回答いただければ幸いです。

  • ちょっと返事遅れましたすみません。「こっちで勝手に決められない」→「独立でない」という考えはそれでしいです。 -- 前野? 2020-08-16 (日) 08:15:02
  • 独立でないと(なにか)=0と主張できないということの根拠は本にも書いたとおりですが、(なにか)が0でなくとも足し算の結果が0になっている場合がありえるからです。後ろにかかっているものが独立なら、「Σ(なにか)δyが、どんなδyをとっても0になるということは(なにか)=0」と結論できます。 -- 前野? 2020-08-16 (日) 08:17:56
  • 独立でなければ0になっても(なにか)が0でない場合の一番シンプルなのは「Ax+B×(-x)=0」で、xと(-x)は独立ではないのでA=0,B=0は言えません(A=Bは言えますが)。 -- 前野? 2020-08-16 (日) 08:19:32

Liouvilleの定理と正準変換について

FumaRu? (2020-08-11 (火) 02:18:08)

深夜遅く失礼します。題名の通りLiouvilleの定理についてです。
他の資料に「体積積分が正準変換で不変となっている」ことがLiouvilleの定理だと記述されていたのですが、本書では「時間発展に関して位相空間内の体積が変化しない」ことがLiouvilleの定理だと記述されています。これらは記述している内容は違っても本質的には同じことを指しているのでしょうか。
返信お待ちしております。

  • 本書では先にLiouvilleの定理を説明してから次の章で正準変換を説明するという順番になっているので、「時間発展で不変」ということでLiouvilleの定理を導入し、後で時間発展は正準変換の一種(ハミルトニアンを正準変換の生成子にすれば時間発展になる)という順番で話しました。 -- 前野? 2020-08-11 (火) 08:03:55
  • 時間発展に限らず正準変換なら位相空間の体積は一定になるので、より一般的なそっちをリウビルの定理と呼ぶ場合もあるのかと思います。 -- 前野? 2020-08-11 (火) 08:17:35
  • なるほど。理解できました。ありがとうございます。 -- FumaRu? 2020-08-11 (火) 18:33:01

p.114(5.10)について

KYU? (2020-08-09 (日) 11:41:51)

(5.10)の一行目から二行目の変形で$d/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j \partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i)=d/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i +d/dt(\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i)\partial L/\partial \dot{Q}_j となるはずですがd/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_iではなくd/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial Q_j/\partial q_iとなっているのはなぜですか。

  • すみません、$で囲むのを忘れていました。 -- 2020-08-09 (日) 11:42:42
  • $d/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j \partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i)=d/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i +d/dt(\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_i)\partial L/\partial \dot{Q}_j となるはずですがd/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial \dot{Q}_j/\partial \dot{q}_iではなくd/dt(\partial L/\partial \dot{Q}_j)\partial Q_j/\partial q_i$ これです。 -- 2020-08-09 (日) 11:43:23
  • 一つ前のページの(5.7)を見てください。 -- 前野? 2020-08-09 (日) 12:29:25
  • 見落としていました、ありがとうございます。 -- KYU? 2020-08-09 (日) 15:54:47

P.208(9.9)について

FumaRu? (2020-08-06 (木) 18:40:13)

【FAQ】に(9.3)の両辺をpiで正しく微分すると(9.9)の式が出るとあります。私は(9.3)をqiで微分し、(9.6)の計算結果を使い、(9.9)と同様の式を出しました。計算結果は(9.3)と同じになりましたが、果たして正しい計算なのか不安になり、質問させていただきました。

  • これだけではどういう計算をしたのか書いてないので、正しいのかどうか判定できません。 -- 前野? 2020-08-06 (木) 18:47:33
  • 「(9.3)を$q_i$で微分し」とありますが、何を独立変数として微分したのか?($p_i,q_i$を独立変数として微分したのか、$q_i,p_i$を独立変数として微分したのか、それとも何か違う方法を用いたのか?) -- 前野? 2020-08-06 (木) 18:49:34
  • 言葉が足らず申し訳ありません。qとqドットを独立変数として微分しました。 -- FumaRu? 2020-08-06 (木) 18:58:15
  • ∂H/∂qi + Σ{(∂H/∂pj)(∂pj/∂qi)} = Σ(∂pj/∂qi)(dqj/dt) - ∂L/∂qi とqとqドットを独立変数として微分しました。 -- FumaRu? 2020-08-06 (木) 19:04:18
  • Texが使えないため、見づらくなってしまい申し訳ありません。右辺のΣのqドットは独立変数であると分かっていますが、見やすくするためにdq/dtと表記させていただきました。 -- FumaRu? 2020-08-06 (木) 19:06:24
  • その計算だと、$\sum_j {\partial H\over\partial p_j}{\partial p_j\over\partial q_i}=\sum_j{\partial p_j\over\partial q_j}\dot q_j$となりますね。${\partial p_j\over \partial q_j}$を行列と考えたときの逆行列があればいいですが、そうでなかったらこの式から${\partial H\over\partial p_j}=\dot q_j$は導けません。 -- 前野? 2020-08-06 (木) 19:10:19
  • 多くの場合、${\partial p_j\over\partial q_j}$は逆行列がありません(簡単な系では0です)。 -- 前野? 2020-08-06 (木) 19:11:31
  • 返信ありがとうございます。確かに∂pj/∂iが正則であること無意識に仮定して計算してしまっていました。理解出来ました。ありがとうございます。 -- FumaRu? 2020-08-06 (木) 19:15:09
  • 返信ありがとうございます。確かに∂pj/∂iが正則であること無意識に仮定して計算してしまっていました。理解出来ました。ありがとうございます。 -- FumaRu? 2020-08-06 (木) 19:15:14

P.86(4.1)について

FumaRu? (2020-08-04 (火) 17:06:12)

P.86(4.1)でつりあいの式⇄仮想仕事=0となっており、、P.61において→の証明をされています。同様に←の証明もできるのでしょうか?

  • 追加の質問失礼します。P.109においてポテンシャルがV(x1-x2)になったことで∂V/∂x1=-∂V/∂x2になるとありますが、こらはどうやって導かれるのでしょうか。 -- FumaRu? 2020-08-04 (火) 18:39:20
  • 「つりあいの式←仮想仕事=0」は仮想仕事の式に並進や回転など「起こり得る仮想変位」を代入してあげればいいと思います。 -- 前野? 2020-08-04 (火) 20:12:38
  • $V(\vec x_1-\vec x_2)$を実際に微分してみてください。$V$は$\vec yi =\vec x_1-\vec x_2)$の関数なので、まず$\vec y$で微分することになります。1次元の場合で書くと$V(y(x_1-x_2))$の微分は${dV\over dy}{dy\over dx_1}$になります。 -- 前野? 2020-08-04 (火) 20:17:33
  • $x_2$の微分の方は最後が${dy\over dx_2}$になるので符号が逆です。 -- 前野? 2020-08-04 (火) 20:18:28
  • 回答ありがとうございます。確かにおっしゃる通りになりました。 -- FumaRu? 2020-08-04 (火) 23:26:13

5.1オイラーラグランジュ方程式と座標変換に関して

田島? (2020-07-16 (木) 17:14:32)

p112の(5.4)の形で書かれている変換に関して、オイラーラグランジュ方程式が共変になることの証明で、p114の(5.12)で∑(∂Qj/∂qi)(∂qi/∂Qk)=δjkとありますが、この式はどうして成り立つのでしょうか?((5.4)のヤコビ行列の逆行列が∂qi/∂Qkであるのはどうやって確かめられるのでしょうか?)

  • $Q$を$q$で表して、その$Q$の中の$q$を$Q$で表したとします。つまり、$Q_i(\{q_*(\{Q_\star\}))$という式です。この式は$Q_i$そのものなので、を$Q_j$で微分したら、$i=j$なら1、そうでなかったら0になります。 -- 前野? 2020-07-16 (木) 20:11:40
  • その式が${\partial Q_i\over\partial Q_j}=\sum_k {\partial Q_i\over\partial q_k}{\partial q_k\over\partial Q_j}$です(つまりは偏微分の式です)。 -- 前野? 2020-07-16 (木) 20:15:06
  • 回答ありがとうございます。いろいろうっかりしておりました -- 田島? 2020-07-16 (木) 22:38:32

6.4連続な物体への極限に関して

田島? (2020-07-03 (金) 20:13:13)

①N+1本のばねがあり、ばね1本当たりのばね定数(N/x)をk=κ(N+1/L)としてありますが、κは単位長当たりのばね定数でしょうか?単位はどうなっているのでしょうか?
②そのあと、前の章でN個のモードの調和振動子に分解した解の角振動数に関してN→∞としたときの角振動数(6.87)を出し、「この解の1個1個のモードを見ると、個々の点が振幅Cpsin(pπ/Lx)角振動数ωpで振動していると考えられる」とありますが、sin関数の式はどうやって導出されたものかがピンときませんでした。また、このsinの式は時間に依存しない(tを含まない)ように見えますが、それは私の勘違いでしょうか?教えてください。

  • バネ定数は長さに反比例するので「単位長さあたりのバネ定数」というのはちょっと変な言葉ですが、κは「長さが1m(単位長さ)のときのバネ定数」と思ってください。長さが$L$から${N+1\over L}$になったのでばね定数が${N+1}$倍になったと考えてもいいです。 -- 前野? 2020-07-05 (日) 09:04:38
  • 単位は合うように決めます。kが[N/m]だからκは[N]です。 -- 前野? 2020-07-05 (日) 09:06:20
  • sinは(6.81)からいて、それの極限を取っていった結果が(6.87)ですが、(6.81)がわからないということでしょうか?? -- 前野? 2020-07-05 (日) 09:10:41
  • それは(6.79)でバネ定数に対応するものの中に$\sin^2$がいたからですが、その部分がわからないということなのかな??(ちなみにこれはばね定数なので、もちろん時間に依存しません)。 -- 前野? 2020-07-05 (日) 09:11:54
  • 回答ありがとうございます。6.4.1の冒頭でやっていることの意味を理解していないのかもしれません。 -- 田島? 2020-07-05 (日) 13:55:41
  • N→∞の極限をとることは長さLの弦においてどのような状態を考えていることになるのでしょうか?また、N→∞の極限をとった後、各調和振動子の角振動数の式が(6.87)で表されること、個々の振幅は弦の中での位置xに応じて異なることは理解しましたが、この振幅の式はどうやって導出されるのでしょうか?(6.80)で表されたN個の調和振動子の運動方程式から出そうとしましたがうまくできません。 -- 田島? 2020-07-05 (日) 14:17:52
  • Nが有限のときは、実際には連続的な物質(原子レベルなら不連続でしょうけどそこは問わないことにして)である弦を、いったん「N個の不連続な質点」という架空の物体に置き換えているわけです。N→∞は、「元々考えたかったものに戻す」ということです。 -- 前野? 2020-07-05 (日) 15:39:28
  • 別の言い方をすれば「N→∞にしたものこそが弦(それまでは「弦もどき」)」ということになります。 -- 前野? 2020-07-05 (日) 15:40:06
  • (6.80)では$Y_i$という変数を使って書いていて、$Y_i$のそれぞれが調和振動子になってます。よって$Y_i=A_i \sin(\omega_j t + \alpha_i)$のような振動をすることがわかります。 -- 前野? 2020-07-05 (日) 15:44:14
  • $Y_i$の振幅である$A_i$は、運動方程式からは決まりません。初期条件で決まります。これは普通の単振動でも同じで、運動方程式からは振幅と初期位相は出てきません。 -- 前野? 2020-07-05 (日) 15:44:45
  • $Y_i$が求まれば、それに対応して$y_i$が(6.78)の関係を使ってわかります。 -- 前野? 2020-07-05 (日) 15:45:36
  • 初期条件により、振幅が変動することを忘れておりました。そこを含め、疑問点を解決できました。お答えいただいてありがとうございました。 -- 田島? 2020-07-06 (月) 02:02:20

6.2.42重振り子に関して

田島? (2020-07-01 (水) 21:16:15)

p152の(6.53)の形のラグランジアンをp151の同時対角化の方法論を用いて変形して、最終的に(6.49)の形つまり、(6.42)と同形のラグランジアンを得ているわけですが、最後の分析で、θ1:θ2=√m:√Mでという条件が常に成り立つのがよくわかりません。その後ろの角速度ωをどうやって得たかは、√ばね定数/質量にあたるのが(6.49)のLの対角成分に並ぶ固有値だからですよね?

  • その上で固有ベクトルを$\left(\begin{array}{c} \sqrt{m}\\ \sqrt{M}\end{array}\right)$と求めています。 -- 前野? 2020-07-01 (水) 21:30:22
  • それはつまり、$\left(\begin{array}{c}\theta_1\\ \theta_2\end{array}\right)$がそれに比例するということです。 -- 前野? 2020-07-01 (水) 21:33:10
  • 回答ありがとうございます。固有ベクトルの意味を忘れていました。 -- 田島? 2020-07-01 (水) 21:50:23

6.2.4の2重振り子のポテンシャルの平衡点に関して

田島? (2020-07-01 (水) 18:15:29)

p152の6.2.42重振り子において、(6.52)を得た後、ポテンシャルUの平衡点を求め、p141での「テイラー展開して、3次以上の項を無視★」という技法を用いていますが、今回の場合、U=-Mgl(cosθ1+cosθ2)という形で、第1項、第2項それぞれ独立して★がつかえますが、もしUの項にθ1θ2のような項が入っていたら、どうするのでしょうか?

  • その場合は6.2節の連成振動と同じで、3次以上を無視した後で行列の対角化を使って固有振動の重なりに書き換えていきます。 -- 前野? 2020-07-01 (水) 18:22:06
  • 回答ありがとうございます。連成振動を読み直します。 -- 田島? 2020-07-01 (水) 18:36:32

6.1.2微小振動の単振動の微分方程式の解に関して

田島? (2020-07-01 (水) 18:06:37)

p141の6.1.2微小振動において、ポテンシャルU(x)をテイラー展開し、釣り合い点において、3次以上の項を無視した運動方程式(6.7)を導出し、それを解いて、(6.8)を得ていますが、(6.7)の解は、x-x0αexp(+kt)+βexp(-kt)(ただし、k=√ーU``(x0)/m、α、βは初期条件により定まる任意定数)の形ですが、(6.8)の形は任意定数がCのみの1つで表現されています。これは、どういうことなのでしょうか?

  • (6.8)は複号$\pm$を含んでいて、+とーの2項があります。省略して書いてますが、$C_+ e^{+\alpha}+C_-e^{-\alpha}$のように本当は2項あると思ってください。 -- 前野? 2020-07-01 (水) 18:19:10
  • もう1つ同じページに関して質問があるので、ここに書かせてください。「テイラー展開して、3次以上の項を無視」という近似の手法の説明で、途中U‘‘(x0)>0との条件を課していますが、これはなぜ必要なのでしょうか?U‘‘(x0)<0では、(6.7)のーU‘‘(x0)が正になって、釣り合い点からどんどん離れる(飛び去る)から近似が成り立たなくなるという理解でよいでしょうか? -- 田島? 2020-07-01 (水) 18:32:10
  • 1件目に関して理解しました。各項を強調するためということですね。 -- 田島? 2020-07-01 (水) 18:33:54
  • もう一つの質問についてはその通りです。不安定な釣り合い点の回りで展開しても意味はありません。 -- 前野? 2020-07-01 (水) 18:55:27

梯子の釣り合いの条件式をポテンシャルを用いて導出する方法

田島? (2020-06-26 (金) 20:25:55)

p68で梯子が釣り合う条件をポテンシャルを用いて導出しています。
F(梯子に加える力)が保存力だとして、そのポテンシャルを出し、拘束条件(床と壁に梯子は常に接触する)を考慮して、全ポテンシャルが極値をとる条件を出していますが、ポテンシャルが極値も持つならば、どうして力が釣り合っているといえるのでしょうか?

  • ポテンシャルが極値ということは仮想仕事が0というのと同じことですが、それはわかっているでしょうか。 -- 前野? 2020-06-26 (金) 21:17:01
  • 回答ありがとうございます。わかっておりませんでした。ポテンシャルが極値をとるならば、そこからδr=(δx,δy)という微小変位をしてもF・δr=0となるということですか。あまりピンときません。 -- 田島? 2020-06-26 (金) 22:20:51
  • ポテンシャルの定義は$F_x=-{\partial U\over\partial x}$のようになることなので、$\vec F\cdot\delta \vec x=0$は$U$の微分が0というのと同じことです。 -- 前野? 2020-06-27 (土) 08:54:12
  • ありがとうございます。納得しました。 -- 田島? 2020-06-27 (土) 11:15:57

3.3仮想仕事の原理を使う例題に関して

田島? (2020-06-26 (金) 16:06:33)

p65において、
①(3.25)(2x)^2+(2y)^2=L^2というはしごが床と壁に接触しながら動くという拘束条件から、xδx+yδy=0★という式を出していますが、これは数学的にはどのような操作を行って導出したものなのでしょうか?
②また、(3.25)の少し上で、はしごに対して重力がする仕事はーmgδy(この状況ではδyは負である)とありますが、δy<0はどこからわかるのでしょうか?x,yはともに正であり、δx>0に動かしているので、★よりδy<0としましたが、式を経由せずともわかるような(自明な)事実なのでしょうか?

  • $(2x)^2+(2y)^2=L^2$と$(2(x+\delta x))^2+(2(y+\delta y))^2 =L^2$が両立すると考えれば出ます。 -- 前野? 2020-06-26 (金) 16:09:41
  • そもそも実はδyは正だろうが負だろうが構わないのですが、重力が正の仕事をするだろう、と考えればδyが負だろうな、とわかります。 -- 前野? 2020-06-26 (金) 16:10:55
  • ありがとうございます。 -- 田島? 2020-06-26 (金) 16:37:05
  • 自分でも考え直してみたのですが、(2x)^2+(2y)^2=L^2の左辺の関数をfとして、∂f/∂x+∂f/∂y=dfという全微分の式を考えておいて、f=L^2で一定であるからdf=0としても同じことでしょうか? -- 田島? 2020-06-26 (金) 16:47:53
  • それは同じ計算です。 -- 前野? 2020-06-26 (金) 17:11:35
  • ありがとうございます。 -- 田島? 2020-06-26 (金) 18:38:11

2.3.2一般的な図形の等周問題について

田島? (2020-06-25 (木) 19:05:29)

p45において、「長さl1を式の中で条件に入れていないからである。」とあり、別の言い方をすれば、「dl^1=dx^2+dy^2」を加えればよいとあるのですが、これが図形の全周=l1と同値(等価)な条件になることがよくわかりません。
私なりに考えましたが、dlが微小長さに対応する条件が「dl^1=dx^2+dy^2」であり、p44の(2.66)のようにl=0~l1まで積分してあることと併せて全周=l1を考慮したことになっていると思いました。

  • 条件をつけてないときの$\ell$は「長さ」という意味を持っていません。$d\ell^2 =dx^2+dy^2$という条件をつけることで、$\ell$が長さという意味を持つわけです。というわけで、その考えでOKです。 -- 前野? 2020-06-25 (木) 19:35:09
  • 回答ありがとうございます。 -- 田島? 2020-06-25 (木) 23:15:36

2.3.3最速降下線に関して

田島? (2020-06-25 (木) 18:57:02)

p49の†24「t=0においてdy/dx=∞」とありますが、これはどこからわかるのでしょうか?どうもピンときません。

  • $C=0$は$y=0$ということで、それは解にはならない(ということは$C$は0ではない量で、$y=0$でも$y{dy\over dx}$が0ではない)ということからわかります。 -- 前野? 2020-06-25 (木) 19:32:59
  • 回答ありがとうございます。納得しました。 -- 田島? 2020-06-25 (木) 23:19:54

レヴィ・チビタ記号について

理科大学生? (2020-06-23 (火) 06:13:53)

(i,j,k)が(1,2,3)の偶置換とは
$~\sigma = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ i & j & k \end{array} \right)$

における置換σが偶置換であるということでしょうか。

  • Tex形式で入力しようとしましたが、自分の力不足で表現されておらず、すみません。 -- 理科大学生? 2020-06-23 (火) 06:15:30
  • そういう事です。TeX直しました。 -- 前野? 2020-06-23 (火) 06:35:47
  • なるほど、毎回ご返信ありがとうございます。 -- 理科大学生? 2020-06-23 (火) 06:48:26

作用の並進不変性について

理科大学生? (2020-06-20 (土) 14:47:09)

P.194で並進不変性を仮定した時に、経路が同等になりそうなのは分かりました。この時に、確かになりそうではあるのですが、ハミルトンの主関数の値が変化しないのは何故でしょうか。

  • ハミルトン主関数は「経路」に沿っての作用の積分で、並進不変性があるなら、経路を全部その方向に移動させても「作用の積分」は同じになる、ということになります。 -- 前野? 2020-06-20 (土) 16:46:19
  • なるほど、x、t平面に対して、ハミルトニアンを垂直な軸にとった時に確かに積分を考えるとなりますね。ありがとうございます。 -- 理科大学生? 2020-06-21 (日) 03:59:14
  • なるほど、x、t平面に対して、ハミルトニアンを垂直な軸にとった時に確かに積分を考えるとなりますね。ありがとうございます。 -- 理科大学生? 2020-06-21 (日) 05:12:44

誤植について

理科大学生? (2020-06-19 (金) 09:20:05)

第5刷ですが、P.207の(9.4)式の下が「*(アスタリスク)→★(星)」だと思われます。

  • 自分の間違いでした。 -- 理科大学生? 2020-06-19 (金) 10:08:31

(6.60)式について

理科大学生? (2020-06-18 (木) 00:01:53)

ωを(6.57)式のλの値を用いていますが、これは(T^t)MT=EになるようなTを固有ベクトルに既に(6.59)式で選択済みであるということなのでしょうか。

  • (T^t)MT=Eになるようにλに依存せずに変化できるので、(6.49)式の最後はλが求まった瞬間に立式できそうですね。自己解決しました。 -- 理科大学生? 2020-06-18 (木) 00:12:24
  • (T^t)MT=Eになるようにλに依存せずに変化できるので、(6.49)式の最後はλが求まった瞬間に立式できそうですね。自己解決しました。 -- 理科大学生? 2020-06-18 (木) 04:10:22

無題

理科大学生? (2020-06-12 (金) 04:21:41)

2016年に先生のご返答を確認して(5.96)式が成り立つことを理解しました。念のため確認ですが、微積分学的には陰関数定理ということでいいのでしょうか。

  • 追記ですが、P.136です。Gがqの関数で、0の値から動かない定数関数(ただし、Gの中にQが残っているので注意しなければならない)になったのですね。 -- 理科大学生? 2020-06-12 (金) 04:29:17
  • 陰関数定理と考えていいです。 -- 前野? 2020-06-12 (金) 21:08:23

P.92  †13について

理科大学生? (2020-06-09 (火) 01:24:22)

(4.14)式の表面項自体は(4.12)式の右辺第2項の変分の表面項であるから、P.98の議論を根拠としてここを無視しても良いというのはどうかなと思うのですが、ここについて教えていただきたいです。

  • そういう意味では、(4.12)の表面項も無視してます。我々の目標は運動方程式なので、運動方程式に効かない部分は一貫して無視してます。 -- 前野? 2020-06-09 (火) 07:05:24

p.337_付録C.1_練習問題【問いC-1】について

kf? (2020-05-26 (火) 16:52:38)

p.337_付録C.1_練習問題【問いC-1】の解答(p.369)について、(C.12)をレヴィ・チビタ記号で計算したものは掲載されていましたが、(C.13)についての解答はありませんでした。
サポートページのログ及びこちらの掲示板にもないようでしたので、こちらの問題の解答を教えていただきたいです。
万一既に掲載済みで私が気が付いていないだけでしたら申し訳ありません。
ご回答よろしくお願いいたします。

  • (C.13)の方は、ヒントより、$(\vec A\times\vec B)\cdot (\vec C\times \vec D)=\sum_i \sum_{j,k}\epsilon_{ijk}A_jB_k\sum_{\ell,m}\epsilon_{i\ell m}C_\ell D_m$に$\sum_{i} \epsilon_{ijk}\epsilon_{i\ell m}=\delta_{j\ell}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{k\ell}$を代入して、 $$ \sum_{j,k,\ell,m}\left( \delta_{j\ell}A_j C_\ell\delta_{km}B_k D_m-\delta_{jm}A_j D_m\delta_{k\ell}B_k C_\ell\right)=(\vec A\cdot\vec C)(\vec B\cdot\vec D)-(\vec A\cdot\vec D)(\vec B\cdot\vec C) $$ となる。 -- 前野? 2020-05-26 (火) 17:14:38
  • すいません、答えは↑のようになります。ヒントの式も少し間違ってました。 -- 前野? 2020-05-26 (火) 17:15:08
  • 昨日の今日でご返信くださり、忘れない内に答え合わせができました。ありがとうございます。 -- kf? 2020-05-27 (水) 14:12:38

p.151(6.47)式について

SP? (2020-04-21 (火) 00:12:32)

(6.47)式の下の説明に「T_1とT_2を定数倍して、T^tMT=Eとなるようにできる。」とありますがどのように定数倍すればよろしいのでしょうか。
浅学ゆえの質問ですが、回答宜しくお願い致します。

  • シンプルな話です。たとえば$(\vec T_1)^t {\bf M}\vec T_1=a$だったとすれば、$\vec T_1$を${1\over\sqrt{a}}$倍すれば($\vec T_1\to {1\over\sqrt{a}}\vec T_1$と置き換えれば)、$(\vec T_1)^t {\bf M}\vec T_1=1$になります。 -- 前野? 2020-04-21 (火) 08:53:05
  • 同様に$(\vec T_2)^t{\bf M}\vec T_2$も1にすれば、行列は単位行列になります。 -- 前野? 2020-04-21 (火) 08:54:09
  • 理解しました。素早い返信ありがとうございました。 -- SP? 2020-04-21 (火) 15:27:52

p.151(6.47)について

SP? (2020-04-18 (土) 23:33:42)

(T1)t M (T2)=0ならば(6.47)が成り立つ理由がわかりません。
また、行列内の(T1)1から(T2)2の意味するところがわからないので教えていただけますか。
回答よろしくお願いいたします。

  • $(\vec T_1)_1$の意味がわからなかったら(6.47)が成り立つ理由もわかるわけはないので、そっちから説明すると、$(\vec T_1)_1$はベクトル$\vec T_1$の第1成分です。$\vec T_1=\left(\begin{array}{cc}(\vec T_1)_1\\(\vec T_1)_2\end{array}\right)$と書いてもよい。 -- 前野? 2020-04-19 (日) 00:06:23
  • という意味を知った上で(6.47)の左辺を計算してみてください。非対角な部分に出てくるのは$(\vec T_2)^t{\bf M}\vec T_1$とその転置になって、0だとわかります。 -- 前野? 2020-04-19 (日) 00:06:44
  • 理解できました。 -- SP? 2020-04-19 (日) 00:48:16
  • 丁寧なご回答ありがとうございました。 -- SP? 2020-04-19 (日) 00:48:40

P254(10.38)について

やまだ? (2020-04-15 (水) 18:36:36)

「n回繰り返し」の項についている係数についての質問です。Nを無限大にした時、
nがNに対して十分に小さい有限な値なら確かに係数は(10.38)にある通りに収束します。
ですが、nは0からNの範囲を取りうるはずです。nがNに十分に近づいても本当にこの係数は保たれますか?
Nを無限大にしない時、係数は
$\prod_{i=0}^{n-1} \frac{N-i}{N}\frac{1}{n!}$
です。ここでnをNに対して十分に大きく(例えばNのおおよそ半分)すれば、
$\prod_{i=0}^{n-1}\frac{N-i}{N}$
はNを無限大にすると0に収束するはずです。
返答よろしくお願いします。

  • Nは→∞の極限をとるという話しなので、有限個であるnは「Nの半分」にはできないです(どんなnに対しても、それを「小さい」と思えるような大きなNが取れる、というのが極限の考え方です)。 -- 前野? 2020-04-15 (水) 19:30:35
  • あと、${N-i\over N}$は($N$は$i$に比べいくらでも大きくなれるのだから)1に収束すると考えます。 -- 前野? 2020-04-15 (水) 19:31:39
  • TeXの変換まずかったところも直しました。 -- 前野? 2020-04-15 (水) 19:33:20
  • わかりました。ありがとうございます。 -- やまだ? 2020-04-15 (水) 19:49:35

p.39練習問題(問2-4)について

med? (2020-04-15 (水) 14:29:34)

p.39練習問題(問2-4)の解答についての質問です。
I の変分の第一項のルートの中にδy'が含まれていないのはなぜなのでしょうか。
回答よろしくお願い致します。

  • ここでは経路の変更を「yを変えずにx方向に動かす」という形にしているからです。xを変えずにy方向に動かすという変分もできますが、それは同じ「直線」という結果になります。 -- 前野? 2020-04-15 (水) 14:59:44
  • 納得しました。ありがとうございました。 -- med? 2020-04-15 (水) 19:17:33

p363 問い10-5の解答について

小泉? (2020-03-20 (金) 09:23:45)

1)D.98でPを一定にしてQでPを微分した場合、 

  ∂P/∂Q=0ではないでしょうか?

  私は次のようにしました。qを一定と仮定,(D,12)を利用
  ∂P/∂p=(∂P/∂Q)×(∂Q/∂p)=(∂P/∂Q)×(-∂q/∂P)=-∂q/∂Q

   となります。

  ∂P/∂p=-∂q/∂Q、∂p/∂Q=-∂P/∂qを使うと{Q,P}=0となってしまいます。

2)D.98, D.99が成立した場合でも、D.100に於いて
  (∂Q/∂q)*(∂q/∂Q)=1, (∂P/∂q)*(∂q/∂Q)=1

  なので、{Q,P}=1+1=2 となるのではないでしょうか?

よろしくお願い致します。

  • こういうとき、「何を変数としてどの変数を固定してどの変数で微分しているか」をちゃんと把握してないと間違えます。まず本文の(D.98)の上に「$P=P(q(Q,P),Q)$をPを一定としてQで微分して」というのは「P,Qを変数としてPを一定としてQで微分」です。 -- 前野? 2020-03-20 (金) 11:42:34
  • 「Pを微分」というのは「Pの変化量を考える」ことなので、「Pを一定として」という条件をつけて微分したら0に決まってます。だから(D.98)の左辺が0なのはこれでいいわけです。 -- 前野? 2020-03-20 (金) 11:43:48
  • (D.98)の右辺でやっているのは、$P(q(Q,P),Q)$の中にはQが2箇所あるので、その両方微分して、足しましょうということで、もちろんこうやって微分したって答えは0になるよね、というのが(D.98)という等式です。 -- 前野? 2020-03-20 (金) 11:45:01
  • 2)の、${\partial Q\over\partial q}*{\partial q\over\partial Q}=1$というのは間違いです。偏微分ではこういう単純な「約分」はできません。 -- 前野? 2020-03-20 (金) 11:49:23
  • 正確に書いておくと、${\partial Q(p,q)\over\partial q}\biggr|_p{\partial q(Q,P)\over\partial Q}\biggr|_P$(ポアッソン括弧に出てくるのはこの式)は、1ではありません。 ${\partial Q(p,q)\over\partial q}\biggr|_p{\partial q(p,Q)\over\partial Q}\biggr|_p$なら1です(固定する変数が共通で、p)。-- 前野? 2020-03-20 (金) 11:52:24
  • ご説明いただきよく理解できました。(D.99)はqを言ってウニ -- 小泉? 2020-03-21 (土) 17:00:40
  • ご説明いただきよく理解できました。(D.99)ではqは一定なので、∂q(Q,P)/∂Q=0 -- 小泉? 2020-03-21 (土) 17:06:16
  • 当方のPCの調子が悪く同じことを記載して申し訳りません。上記から続けます。従って、D.100の第一項は0となり、第二項はQを一定にしているので1となるといった理解でよろしいでしょうか? -- 小泉? 2020-03-21 (土) 17:10:23
  • いいえ違います。1+0=1になるというのは大間違いです。 -- 前野? 2020-03-21 (土) 17:39:40
  • ポアッソン括弧を真面目に書くと${\partial Q(q,p)\over\partial q}\bigr|_q{\partial P(q,p)\over\partial p}\bigr|_q-{\partial P(q,p)\over\partial q}\bigr|_q{\partial Q(q,p)\over\partial p}\bigr|_q$です。 -- 前野? 2020-03-21 (土) 17:41:23
  • (D.100)までで証明したことは${\partial Q(q,p)\over\partial p}\bigr|_q=-{\partial q(Q,P)\over\partial P}\bigr|_Q$と、${\partial P(q,p)\over\partial p}\bigr|_q={\partial q(Q,P)\over\partial Q}\bigr|_P$です。 -- 前野? 2020-03-21 (土) 17:45:36
  • この二つを入れると、ポアッソン括弧が${\partial Q(q,p)\over\partial q}\bigr|_p {\partial q(Q,P)\over\partial Q}\bigr|_P+{\partial P(q,p)\over\partial q}\bigr|_p {\partial q(Q,P)\over\partial P}\bigr|_Q$になりますが、これは $q(Q(q,p),P(q,p))$を$q$で微分したものだから、1です。 -- 前野? 2020-03-21 (土) 17:52:40
  • このあたりは練習問題なのとスペースの関係で省略記法を使ってますが、最初のうちは引数や固定する変数をいちいち書きながら計算することを勧めます(慣れてくれば省略記法で計算できるようになりますが)。 -- 前野? 2020-03-21 (土) 17:54:46
  • 大変丁寧にご説明いただき、ありがとうございます。よく理解できました。引数、固定する変数を書きながら計算するように致します。 -- 小泉? 2020-03-22 (日) 06:46:06

p219 (9.42)について

小泉? (2020-03-01 (日) 13:59:55)

H=ΣP_i(dq_i/dt)-Lであるが、(9.42)ではラグランジアンLの扱いが省略されており、何故 H(q+ε・・,p-ε・・)=H(q,p)となるのか、理解できません。ご教示をお願いします。

  • (9.42)の1行目は$f(x+\epsilon b,y)=f(x,y)+\epsilon b {\partial f(x,y)\over\partial x}$のような偏微分の計算をやってます($b={\partial H\over\partial p}$とかになっている)。 これはラグランジアンの形とかは関係なくできる計算です。 -- 前野? 2020-03-01 (日) 16:45:44
  • 二つめの=は、${\partial H\over\partial p}{\partial H\over\partial q}-{\partial H\over\partial q}{\partial H\over\partial p}=0$を使って消しているだけで、これもラグランジアンの形とは関係なく成り立つ式です。 -- 前野? 2020-03-01 (日) 16:47:50
  • よくわかりました。テイラー展開が使われていることに気が付きませんでした。ご教示ありがとうございます。 -- 小泉? 2020-03-07 (土) 09:56:51

p.267(10.83)について

tatsu? (2020-02-27 (木) 16:32:24)

$L=\frac{1}{2}m\left(\dot{Q}+gt\right)^2$

という加速系のラグランジアンから求めた運動量は$P=m\left(\dot{Q}+gt\right)$であり、

$K=P\dot{Q}-\frac{P^2}{2m}=\frac{P^2}{2m}-Pgt$ (10.83)

がハミルトニアンである。

という説明がありますが、$\left(q,p\right)\rightarrow \left(Q,P\right)$において、$\left\{Q,P\right\}_{\left(q,p\right)}=1$を確認しておりません。その後の母関数を使った変換で導いたハミルトニアン$K$と(10.83)のハミルトニアン$K$は一致するのですが、"(10.28)の段階"でのハミルトニアン$K$は正準変換によるハミルトニアンと言えるのでしょうか?

お忙しいところ申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。

  • ここでは、加速度系の作用から直接ハミルトニアンを求めてます。このハミルトニアンは、「作用から通常の手続きで作った」という意味で、正しいハミルトニアンです。 -- 前野? 2020-02-27 (木) 18:51:30
  • 要は「慣性系のラグランジアン」と「それを座標変換したラグランジアン」があって、それぞれを元にハミルトニアンを二つ作り、その二つが果たして正準変換でつながるかどうかをその先で調べるわけです。(10.83)のKが正しいハミルトニアンで、Q,Pのポアッソン括弧が正しい形なのは、「作用から作ったから」で保証されてます。 -- 前野? 2020-02-27 (木) 18:53:58
  • 分りました。ありがとうございます。 -- tatsu? 2020-02-27 (木) 18:54:01

p.255の説明の件

tatsu? (2020-02-24 (月) 06:31:30)

p.255に以下のような説明があります。

$\left(q,p\right)\rightarrow\left(Q,P\right)$という正準変換を行ったとき、作用も

$\int\left(p\dot{q}-H\left(q,p\right)\right)dt\rightarrow\int\left(P\dot{Q}-H\left(q\left(Q,P\right),p\left(P,Q\right)\right)\right)dt$

と変化する。それでも正準方程式が変化しない為には、どんな条件が必要だろうか。・・・・・・・・・

つまりこの場合、正準方程式が変わらずにラグラジアンが変化する。そうなるのは

$\int\left(p\dot{q}-H\left(q,p\right)\right)dt=\int\left(P\dot{Q}-H\left(q\left(Q,P\right),p\left(P,Q\right)\right)+\frac{dG}{dt}\right)dt$

のように「表面項」になる量が付け加わった場合である。

上記の説明だと、$p\dot{q}=P\dot{Q}+\frac{dG}{dt}$という条件は正準方程式が変化しない条件というより、作用が変化しないための条件だと読み取れるのですが、$p\dot{q}=P\dot{Q}+\frac{dG}{dt}$という条件が正準方程式が変化しない条件である理由を教えて頂けませんでしょうか?

宜しくお願いいたします。

  • ${\mathrm dG\over\mathrm dt}$の項が運動方程式(正準方程式)に効かない、ということはいいですね? だとすると、$(p,q)$系の正準方程式は$\int (p\dot q-H(p,q))\mathrm dt$の変分から、$(P,Q)$系の正準方程式は$\int (P\dot Q-H(P,Q))\mathrm dt$の変分から得られます。 -- 前野? 2020-02-24 (月) 08:27:24
  • するとどっちも$\dot p=-{\partial H\over\partial q},\dot q={\partial H\over\partial p}$、$\dot P=-{\partial H\over\partial Q},\dot Q={\partial H\over\partial P}$の形の正準方程式になります。$p\dot q=P\dot Q$にG以外の余分なのがつくと、変分から導かれる方程式がこの形になりません。 -- 前野? 2020-02-24 (月) 08:29:07
  • 理解できました。ありがとうございます。 -- tatsu? 2020-02-24 (月) 10:15:29
  • すみません。まだ良く分っていなかったです。$\frac{dG}{dt}$を加えて作用を等しくする理由は何故でしょうか? -- tatsu? 2020-02-24 (月) 10:21:44
  • 作用を等しくしないと正準方程式は同じ形にならないです。${\mathrm dG\over\mathrm dt}$は加えたいから加えるのではなくて「この形になっていれば加えても支障はない」ということです。 -- 前野? 2020-02-24 (月) 10:23:17
  • 一般的には座標変換すれば、$p\dot q\to P\dot Q+(?)$になりますが、$(?)$の部分が「悪い形」だと、新しい変数は正準方程式を満たしません。$(?)$の「悪くない形」が${\mathrm dG\over\mathrm dt}$です。 -- 前野? 2020-02-24 (月) 10:25:21
  • 分りました。お忙しいところありがとうございました。 -- tatsu? 2020-02-24 (月) 10:35:23

P.240の(9.40)式について

tatsu? (2020-02-20 (木) 00:10:50)

P.240の(9.40)式に$\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$という式がありますが、これは$\sum_i\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$ではないでしょうか?宜しくお願い致します。

  • Texが上手く変換されなかったので、再度質問を書きます。P.240の(9.40)式に -- tatsu? 2020-02-20 (木) 00:16:52
  • Texが上手く変換されなかったので、再度質問を書きます。P.240の(9.40)式に $\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$ がありますが、これは $\sum_i\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$ ではないでしょうか? よろしくお願いいたします。 -- tatsu? 2020-02-20 (木) 00:19:12
  • 度々間違えてすみません。p.240の(9.40)式ではなく、P.214の(9.40)式の$\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$が\$sum_i\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$ではないか?という質問です。 -- tatsu? 2020-02-20 (木) 11:41:35
  • 度々度々間違えてすみません。p.240の(9.40)式ではなく、"P.214"の(9.40)式の$\frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$が$\sum_i \frac{d\left(p_i\delta q_i\right)}{dt}$ではないか?という質問です。 -- tatsu? 2020-02-20 (木) 11:47:05
  • コメント遅れましたすみません。この式は間違ってますが、むしろ$\sum_i$の位置が最初のカッコの後ろにあるのが間違いで、最初のカッコより前にあって、全部にかかっているべきですね。 -- 前野? 2020-02-20 (木) 11:51:29
  • 訂正としてはもちろん、${\mathrm d(p_i\delta q_i)\over \mathrm dt}$の前に$\sum_i$をつけても構いません。 -- 前野? 2020-02-20 (木) 11:52:25
  • $-{\partial H\over\partial p_i}$の後ろに二つある)のうち一つを、${\mathrm d(p_i\delta q_i)\over\mathrm dt}$の後ろに持っていく、という修正でもいいですね。 -- 前野? 2020-02-20 (木) 11:53:57
  • 分りました。ありがとうございました。 -- tatsu? 2020-02-20 (木) 11:58:49

ネーターの定理が時間並進性のとき成り立つ条件について

tatsu? (2020-02-18 (火) 16:52:05)

p.202のネーターの定理に「ある変数変換 $q_i \rightarrow q_i+\delta q_i$を行ったとき、

$L\left(\left\{q_*\right\},\left\{\dot{q}_i\right\}\right) \rightarrow L\left(\left\{q_*\right\},\left\{\dot{q}_i\right\}\right)+\frac{\text{d}J}{\text{d}t}$

とあった時」とありますが、単振動の時のラグラジアン

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$

は、$x\rightarrow x-\epsilon\dot{x}$の時、$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon kx\dot{x}-\frac{1}{2}\epsilon^2 k\dot{x}^2$ ・・・・(1)

となりますが、

$L\left(x,\dot{x}\right) \rightarrow L\left(x,\dot{x}\right)+\frac{\text{d}J}{\text{d}t}=L\left(x,\dot{x}\right)+\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(-\epsilon L\right)$

の条件は、$L(x,\dot{x})+\frac{d}{dt}(−ϵL)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2−\frac{1}{2}kx^2ーϵ(m\dot{x}\ddot{x}−kx\dot{x})$ ・・・・(2)

となり、(1)式と(2)式が一致しません。
ここで、(1)式において$\epsilon^2$の項は無視して、更に(2)式において$m\ddot{x}=-kx$を代入すると、(1)式は

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon kx\dot{x}$ ・・・(3)

(2)式は、

$L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2-\frac{1}{2}kx^2+\epsilon2kx\dot{x}$ ・・・(4)

となり、(3)式と(4)式は$\epsilon kx\dot{x}$の分だけ一致しません。
これは、一次元単振動のラグラジアン$L$が時間並進性を持たないと理解して宜しいでしょうか?宜しくお願い致します。

  • 最後の行は「時間並進性をもたない」ではなく「時間の並進不変性をもたない」でした。すみません。 -- tatsu? 2020-02-18 (火) 17:28:01
  • 最後の行は「時間並進性をもたない」ではなく「時間の並進不変性をもたない」でした。すみません。 -- tatsu? 2020-02-18 (火) 17:44:10
  • 時間の並進不変性 -- tatsu? 2020-02-18 (火) 20:34:29
  • すみません。途中で送信してしまいました。時間の並進不変性があるラグラジアンを教えていただけないでしょうか。よろしくお願いいたします。 -- tatsu? 2020-02-18 (火) 20:36:28
  • (1)を出すとき、$\dot x$も$\dot x-\epsilon\ddot x$とずらす必要があります。 -- 前野? 2020-02-19 (水) 00:36:54
  • 分りました。$\epsilon^2$の項は無視するという理解で宜しいでしょうか? -- tatsu? 2020-02-19 (水) 07:34:00
  • $\epsilon^2$は無視です。無視したくないなら、そもそも$x-\epsilon\dot x$という展開を1次で止めてはいけません。 -- 前野? 2020-02-19 (水) 08:16:26
  • 分りました。お忙しいところお時間を割いて頂きありがとうございました。 -- tatsu? 2020-02-19 (水) 09:57:25

p151 λ_1 = λ_2 の場合扱い

小泉? (2020-01-25 (土) 09:41:25)

λ_1 = λ_2の場合、最終的には(6.49)の1行目のLの式を、対角行列に変換することが目的で論理を組み立てる必要があると考えます。シュミットの直交化と同様の方法を使うと欄外に説明がありますが、シュミットの直交化は互いに直交するベクトルをつくることが目的。どのように利用するかヒントをいただきたいと思います。

  • $\lambda_1\neq\lambda_2$なら自動的に$\vec T_1^t{\mathbf M}\vec T_2=0$になりますが、$\lambda_1=\lambda_2$ではそうはいかないのが今の困ったところで、要は$\vec T_1^t{\mathbf M}\vec T_2=0$になるようにしてやればよい。 -- 前野? 2020-01-25 (土) 11:34:17
  • そのためにシュミットの直交化と似た方法を使います。具体的には$\vec T_3=\vec T_1 + a\vec T_2$のようなベクトルを作って、$\vec T_1^t{\mathbf M}\vec T_3=0$になるように定数を決める。 -- 前野? 2020-01-25 (土) 11:35:34
  • $\vec T_2$を使うのをやめて新しく作った$\vec T_3$を使う(規格化が必要ならやりなおす)ことにすれば後は同じようにできます。 -- 前野? 2020-01-25 (土) 11:36:27
  • 素直にaを計算し、a=-(T_11*T_11*m_1+T_12*T_12*m_2)/(T_11*T_21*m_1+ -- 小泉? 2020-02-01 (土) 10:53:02
  • T_12*T_22*m_2)となりT_3を求めてあとは教科書通りすすめることができました -- 小泉? 2020-02-01 (土) 10:54:56
  • ただ、aの分母がゼロになる場合を考えるとT_1ベクトル、T_2ベクトルが平行 -- 小泉? 2020-02-01 (土) 10:56:22
  • になることまでは理解できましたが、その場合の阻害に関してはこれから考えようと思います。 -- 小泉? 2020-02-01 (土) 10:59:16
  • ご教示ありがとうございます。 -- 小泉? 2020-02-01 (土) 10:59:37
  • システム更改で業務多忙であったため検討が遅れて申し訳ありませんでした。 -- 小泉? 2020-02-01 (土) 11:04:01
  • T_1、_2ベクトルは固有値ベクトルですので独立である必要があり、平行ではないので分母はゼロになってはいけないことに気が付きました。 -- 小泉? 2020-02-01 (土) 11:10:35

p66 3.3 仮想仕事の原理を使う例題 変位δθの扱い

小泉? (2020-01-03 (金) 09:51:48)

角θがδθ増える場合、手の仕事がFδθd(Lcosθ)/dθとあります。
これまでの議論から推論するに、δX=δθd(Lcosθ)/dθと考えることができると思いますが。なで、この等号=が成り立つか理解できないので、ご教授いただきたく思います。よろしくお願いいたします。

  • $X=L\cos\theta$なので、このθがδθ変化したら?という計算をしています。 -- 前野? 2020-01-03 (金) 12:15:35
  • $\delta X=L\cos(\theta+\delta\theta)-L\cos\theta$で1次までの展開をしているだけです。 -- 前野? 2020-01-03 (金) 12:17:16
  • よくわかりました。ありがとうございます。 -- 小泉? 2020-01-13 (月) 11:26:44


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Last-modified: 2020-11-20 (金) 19:13:02 (4d)