「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板

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P.287 調和振動子

? (2021-09-19 (日) 12:54:17)

ハミルトニアンがtに依存しないので変数分離でき、保存量として
Eが見つかり、それを新しい運動量Pとするとハミルトンの主関数において、
独立変数をq,Pにとると新しい座標Qが(∂S ̅)/∂Pになるのはわかるのですが、なぜその新しい座標Qが保存すると言えるのでしょうか

  • ここでやっているハミルトン・ヤコビ方程式の流れというのは「正準変換することで新しいハミルトニアンを0にする」という計算です。ですから、新しい座標Qと新しい座標Pで表現したハミルトニアンが0なので、時間発展しません。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 13:44:41 New!
  • 新しいハミルトニアン0の式に代入すると確かに0になりますね。 -- 2021-09-19 (日) 16:25:09 New!
  • Wを求めないといけないと思い込んでいました。理解しました、ありがとうございます -- 2021-09-19 (日) 16:27:18 New!
  • すいません、もう一つ質問させてください -- 2021-09-19 (日) 16:39:43 New!
  • 上の場合、新しい運動量PはS⁻に含まれる定数以外の保存量なら何を選んでもよいのでしょうか -- 2021-09-19 (日) 16:44:47 New!
  • そのあたりの手順は285ページあたりに書いてあるとおりで、保存量となる数が見つかればそれが運動量になるように正準変換していけるわけです。「何を選んでもいい」と言われると自由度がありそうですが、実際にはむしろ難しい問題では定数が見つからないです(例として挙げているのは解ける問題なので見つかりますが)。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 17:05:38 New!
  • 納得しました。ありがとうございます -- 2021-09-19 (日) 17:49:57 New!

p.110 演習問題4-2について

michi? (2021-09-18 (土) 21:41:30)

表題文中にある「重心の運動が自由粒子の運動と等価になる」とはどういうことかご教授いただけないでしょうか.

  • 「等価になる」というのは「ラグランジアンが同じ形」ということです。つまり、${1\over 2}M(\dot X)^2$のようになります。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 08:13:58 New!
  • 運動方程式が$M\ddot X=0$のようになる、と言っても同じです。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 08:14:21 New!
  • やはりよくわかりません.問題のヒントと回答に沿って教えてください. -- michi? 2021-09-19 (日) 08:52:55 New!
  • ヒントでは3つの質点個別の運動エネルギーとポテンシャルからラグランジアンを求めて,そこから書く質点ごとの運動方程式を求めていると思います. -- michi? 2021-09-19 (日) 08:55:16 New!
  • その後,回答に移ったときの「$\Sigma mi\ddot{x}i$が0になるために」がどこから出てきたものなのかがわかりません. -- michi? 2021-09-19 (日) 08:59:51 New!
  • ああ、ごめんなさい。解答の1行目の式に(つけたつもりだったのですが)${\mathrm d\over\mathrm dt}$が抜けてますね(古いバージョンではこうなってましたが、今アップロードされているバージョンでは$\ddot x$になってました)。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 09:20:50 New!
  • ヒントの式がどこから出てくるかとうと、まず、重心の「運動方程式」を考えてみると、${\mathrm d\over \mathrm dt}\left((m_1+m_2+m_3)\dot{\vec x_G}\right)=0$です(重心の運動は自由粒子なので)。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 09:27:19 New!
  • これは${\mathrm d\over \mathrm dt}\left(m_1\dot{\vec x_1}+m_2\dot{\vec x_2}+m_3\dot{\vec x_3}\right)=0$と同じです。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 09:28:28 New!
  • 問題で何を問われているのかがわかりました.ありがとうございました.加えて(E.77)式,(E.78)式について教えてください. -- michi? 2021-09-19 (日) 09:59:33 New!
  • (E.77)式は「各質点の位置で求めたポテンシャルの勾配ベクトルの総和が0ベクトルになる」という意味だと思いますが,ポテンシャルの並進不変性とどうつながるのかがわかりません. -- michi? 2021-09-19 (日) 10:02:53 New!
  • やはりよくわかりません.問題のヒントと回答に沿って教えてください. -- michi? 2021-09-19 (日) 10:03:57 New!
  • 微分というのはそもそも「xをちょっと変化させたときの変化」を計算するものです。(E.77)は、$x_1,x_2,x_3$を全部一斉に変化させたときの変化量を計算していることになります。これが0だというのは物理的にいうと、「$x_1,x_2,x_3$を同時に動かしても物理的内容は変わらない」ということです。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 10:21:38 New!
  • (E.78)がまさに「$x_1,x_2,x_3$を一斉に$\vec \epsilon$だけ動かしても、ポテンシャル$V$が変化しない」ということを表現した式になってます。これをテーラー展開して$\epsilon$の1次を取り出したと思えば、それは$\sum_i{\partial V\over\partial \vec x_i}=0$ということになります。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 10:23:19 New!
  • (E.78)は$\vec{\epsilon}$の位置変化に対して,各質点位置のポテンシャルの変化がそれぞれ0という式ですよね?(E.77)はあくまで「総和が0」という式なので必ずしも同じことを言っているとは思えないのですが... -- michi? 2021-09-19 (日) 10:55:26 New!
  • (E.78)は$V(\vec x_1+\vec\epsilon,\vec x_2+\vec\epsilon,\vec x_3+\vec\epsilon)-V(\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3)$の省略形と読んでください。省略をしすぎたかもしれません。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 10:58:04 New!
  • 理解しました.ありがとうございました. -- michi? 2021-09-19 (日) 12:19:11 New!

問い10-11

吉川晃生? (2021-09-17 (金) 22:04:36)

$\frac{\partial P_i (q,p)}{\partial q_j} = \frac{\partial p_j (Q,P)}{\partial Q_i}$  の導出過程を詳しく教えていただきたいです。

  • 解答に書いてあるのでは、どこが不満なのでしょう? -- 前野? 2021-09-17 (金) 22:11:23 New
  • (D.117)をまねて $\frac{\partial P_i (q,Q(q,p))}{\partial q_j} =\frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}+ \Sigma_k \frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial Q_k}\frac{\partial Q_k (q,p)}{\partial q_j}= \frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}+\Sigma_k \frac{\partial P_k (q,Q)}{\partial Q_i}\frac{\partial Q_k (q,p)}{\partial q_j}= \frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}-\Sigma_{k,l} \frac{\partial P_k (q,Q)}{\partial q_l}\frac{\partial q_l (Q,P)}{\partial Q_k}\frac{\partial Q_k (q,p)}{\partial q_j}= \frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}+\Sigma_{k,l} \frac{\partial p_l (q,Q)}{\partial Q_k}\frac{\partial q_l (Q,P)}{\partial Q_k}\frac{\partial Q_k (q,p)}{\partial q_j}$ まで計算したところで八方ふさがりになりました。 -- 吉川晃生? 2021-09-18 (土) 15:40:21 New
  • まず、最後の式は$= \frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}+\Sigma_{k,l} \frac{\partial p_l (q,Q)}{\partial Q_k}\frac{\partial q_l (Q,P)}{\partial Q_i}\frac{\partial Q_k (q,p)}{\partial q_j}$ですね。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 07:53:18 New!
  • ここで(D.21)から$- {\partial p_\ell(q,Q)\over \partial q_j} =\sum_k{\partial p_\ell(q,Q)\over \partial Q_k}{\partial Q_k(q,p)\over \partial q_j}$が言えます。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 08:00:26 New!
  • これでまず、$=\frac{\partial P_i (q,Q)}{\partial q_j}-\Sigma_{l} \frac{\partial p_l (q,Q)}{\partial q_j}\frac{\partial q_l (Q,P)}{\partial Q_i}$になります。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 08:03:24 New!
  • 次に(D.19)から${\partial p_l(q,Q)\over\partial q_i}={\partial p_i(q,Q)\over\partial q_l}$です。もうひとつ、 (D.18)から${\partial P_i(q,Q)\over\partial q_j}=-{\partial p_j(q,Q)\over\partial Q_i}$を使うと、$=-{\partial p_j(q,Q)\over\partial Q_i}-\sum_l{\partial p_j(q,Q)\over\partial q_l}{\partial q_l(Q,P)\over\partial Q_i}$となります。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 08:10:48 New!
  • これは$=-{\partial p_j(P,Q)\over\partial Q_i}$です。使っている式は(D.18)、(D.19)、(D.21)です。第1項にも(D.18)が使えるところがわかりにくかったでしょうか。 -- 前野? 2021-09-19 (日) 08:13:01 New!

問い10-5

吉川晃生? (2021-09-14 (火) 22:18:55)

$\frac{\partial P}{\partial p} = \frac{\partial q}{\partial Q},
\frac{\partial Q}{\partial p} = -\frac{\partial q}{\partial P}$
を示せれば$J=1$となるのはどうしてですか?

  • (10.5)のJの式にそれを代入してみてください。「qをqで微分する」式になります。 -- 前野? 2021-09-14 (火) 23:22:37
  • 自分の本を読み直してみたら、(10.6)を使えばすぐにわかりますね。 -- 前野? 2021-09-15 (水) 11:55:45 New
  • 理解できました。ありがとうございました。 -- 吉川晃生? 2021-09-17 (金) 22:01:20 New

P.38 FAQについて

michi? (2021-09-08 (水) 23:03:32)

$\int(なにか)\delta y(x) dx =0$について,なぜ$\delta y(x)$が独立でなければ$(なにか)=0$とすることができないのか,詳しく教えていただけないでしょうか.

  • 例をあげますと。$a$と$b$が独立ならば「$ax+by=0$なら$x=0$かつ$y=0$」といえます。しかし、$a=b$という関係がある場合、$ax+by=0$からは$x+y=0$しか言えません。 -- 前野? 2021-09-09 (木) 07:26:28

無題

yamashita? (2021-05-18 (火) 20:15:44)

先生に質問して良いのか、迷ったのですが、質問させてください。
(教科書には載っていない内容なので迷いました。)
磁場がある場合の荷電粒子のラグランジアンで共役運動量を求めると、p=mv+eAとなりますが、
このeAの部分には何か物理的な意味合いがあるのでしょうか?
それとも解析力学で形式上出てきた項なのでしょうか?

  • もちろん、共役運動量がデカルト座標の運動量と違うことが多々あるのは知っているのですが、項ごとに物理的な意味合いがあるのでしょうか? -- yamashita? 2021-05-18 (火) 20:18:24
  • 物理的意味があるに決まってます。「解析力学で形式上出てきた項」だからこそ、物理的意味があります(この二つは排他的なものではない)。ベクトルポテンシャルがどういう意味を持っているかは電磁気の本を読めばよいと思いますが。 -- 前野? 2021-05-18 (火) 21:08:41
  • そもそも運動方程式を作ったときに磁場の影響が出てくるように導入しているものなのだから、物理的意味はそこにあります。 -- 前野? 2021-05-18 (火) 21:09:36
  • ありがとうございます。「運動方程式に磁場の影響が出てくるように導入した」という意味で、自然界に存在する量(?←この書き方もどうかと思いますが)ではない(かも知れない)ということでしょうか? -- yamashita? 2021-05-19 (水) 05:22:14
  • ?? 「運動方程式に出てくるんだから自然界に存在しているでしょ」と上で言ったつもりなんですが。 -- 前野? 2021-05-19 (水) 05:43:10
  • 要領を得ず、すみません。p=mv+eAのmvは電子の運動量、では残りのeAは何なのでしょうか?結局、共役運動量が何なのかが分からないでいるのです。 -- yamashita? 2021-05-19 (水) 21:41:12
  • では逆に、あなたの言う『運動量」って何なのです?? 解析力学での運動量の定義は${\partial L\over\partial \dot x}$だったり、${\partial S\over \partial x}$だったりするものですから、mv+eAこそが運動量です。「運動量はmv」という考えは解析力学では違います。 -- 前野? 2021-05-19 (水) 22:04:29
  • 「運動量はmvであって欲しい」ということなら、解析力学での運動量はそうではなく、もっと広い概念です。 -- 前野? 2021-05-19 (水) 22:05:05
  • ありがとうございます。『mv+eAこそが運動量です。「運動量はmv」という考えは解析力学では違います』や『解析力学での運動量はそうではなく、もっと広い概念です』とある様に、解析力学の中の概念だ、ということなのですね。(結局やはり共役運動量が分かってないわけですが。) -- yamashita? 2021-05-19 (水) 22:27:04
  • 初等力学(?)に焼き直して考えられないものか、と考えてしまうので、勉強します。 -- yamashita? 2021-05-19 (水) 22:29:24

p.158式(6.70)及びp.162下2行

Inaba? (2021-04-24 (土) 21:39:19)

・式(6.70)で$y_n=$と置いてますが、この式の右辺は行列Kの固有ベクトルの成分であって、n番目の質点の変位ではないと思うのですが、どういうことなのでしょうか?
・p.162の下2行で、「この解の一個一個のモードをみると〜」とあるのですが、「この解」が示されてはいません。ここで示されているのは極限をとった結果の角振動数だけです。単純な問題ではあるので、解の形を求めるのは省略して結果だけ書いたということでしょうか?

  • 式(6.70)の$y_n$は「固有ベクトルの成分」です。そしてそれは「その固有ベクトルで表される振動をしているときの、n番目の質点の変位」に比例してます(一般的な振動の変位は、いろんなpの$y_n$の線形結合になってます)。 -- 前野? 2021-04-25 (日) 00:15:12
  • p162については、三角関数で表されることはわかっているので、振動数がわかれば「この解」の中身はもうわかっているでしょ、というつもりです。 -- 前野? 2021-04-25 (日) 00:18:02
  • ありがとうございます。 -- Inaba? 2021-04-25 (日) 12:19:52
  • ありがとうございます。 -- Inaba? 2021-04-25 (日) 12:19:53
  • 固有ベクトルの成分がn番目の質点の変位に比例するというのは{\bf y}={\bf TY}から言えることでしょうか?あくまでも$y_n$は{\bf y}の成分の一つで、固有ベクトルの成分は{\bf T}を構成する固有ベクトルの成分のひとつであるというのが私の認識で、「比例する」も「$y_n$=固有ベクトルの成分と置くこと」もピンと来ないです...。(ベクトルは太字で書かせていただきました) -- Inaba? 2021-04-25 (日) 12:44:51
  • すみません、太字をうまく書けませんでした。{\bf 〇}としたものが太字です。 -- Inaba? 2021-04-25 (日) 12:47:02
  • (6.70)のあたりで計算していることは、Lの中の位置エネルギーの部分に入っている行列${\bf K}$の固有ベクトルを求めようとして、$y_n$のそれぞれに「固有ベクトルの候補」となる$\sqrt{2\over N+1}\sin{np\pi\over N+1}$を代入してみましょう、ということです。 -- 前野? 2021-04-25 (日) 13:49:04
  • つまり、(6.70)を書き下した時点では、右辺は「n番目の質点の変位がこうなってくれたらこのベクトルは${\bf K}$の固有ベクトルになってくれるんじゃないかな?」という「予想」の式です(その予想はあたっていることがそのあとでわかるわけですから)。 -- 前野? 2021-04-25 (日) 13:50:33
  • そういう予想なので、$y_n$が「n番目の質点の変位」なのは元々そうだからで、「固有ベクトルの成分」なのは「これからそうなることを証明しよう」ということです。 -- 前野? 2021-04-25 (日) 13:51:27
  • つまりは(6.69)までの$y_n$は一般的な変位で、(6.70)は「もしも変位がこうなってたら、それは${\bf K}$の固有ベクトルになっている(だろう)」という条件つきの$y_n$です。 -- 前野? 2021-04-25 (日) 13:52:38

p.155変数変換

きょんきょん? (2021-04-07 (水) 17:43:00)

155ページの変数変換は小文字と大文字を入れ替えて「$\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{array}\right]=\mathbf{T}\left[\begin{array}{c}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\\\end{array}\right]$となるように新しい変数を導入してラグランジアンを書き直すと、…」としたほうがいいかもしれません。そうしないと$\mathbf{T}$が対称行列でないときにうまくいかないことがあります。

  • あ、すみません。確かにこれは、固有ベクトルを並べた行列にXの方を書けるようにしないとだめですね。 -- 前野? 2021-04-07 (水) 20:04:45
  • 「(新しく導入される記号)=(なにか)」の形のほうがきれいなので$\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}&X_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\end{pmatrix}\mathbf{T}$のほうがいいかもしれません。 -- きょんきょん? &new{2021-04-07 (水) 20:10:51};
  • 20時10分の投稿は撤回します。 -- きょんきょん? 2021-04-07 (水) 20:43:26


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Last-modified: 2021-09-19 (日) 17:49:58 (13h)