「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板

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p234の質問

あお? (2018-09-19 (水) 10:54:34)

p234の上から3行目に、「z軸まわりの回転」(passiveな変換‥‥)、どあるのですが、なぜactiveな変換ではなくpassiveな変換なのかが、理解できません。
ここでは座標系の回転ではなく、点の回転を考えていると認識していますが、そこが違うのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

  • ここで考えているのは運動ではなくて、「角運動量とポアッソン括弧を取った結果として座標がどう変わるか」の話ですので、座標の変換(passive)の方です。 -- 前野? 2018-09-19 (水) 12:45:30
  • なぜ、ポアッソン括弧を取ることが、座標系の変換になるのかが分かりません。また、p343の(C.38)にθ=εを代入して近似すると、x'=x+y、y'=x-yとなり、(9.82)とは符号が逆になるように思えるのですが、ここはどのように理解したらよいのでしょうか。よろしくお願いいたします。 -- あお? 2018-09-19 (水) 14:02:17
  • $x'=x-\epsilon y,y'=y+\epsilon x$というのはまさに$(x,y)$から$(x',y')$への座標変換で、それは$x'=x+\epsilon\left\{x,L_z\right\}$のような変換で得られます。 -- 前野? 2018-09-19 (水) 14:12:17
  • これはたとえば$p_x$とポアッソン括弧を取ると$x'=x+\epsilon\left\{x,p_x\right\}=x+\epsilon$という座標変換の変化部分になったのと同様で「$p_x$とポアッソン括弧を取ると$x$方向に並進したときの変化量が得られる」のと同様に「$L_z$とポアッソン括弧を取ると$z$軸周りに回転させたときの変化量が得られる」ようになってます。 -- 前野? 2018-09-19 (水) 14:16:37
  • すいません、向きは確かに逆になってますね。これは「passive」という説明が間違っているようです。 -- 前野? 2018-09-19 (水) 14:23:05
  • ごめんなさい。私が勘違いしてました。12:45の回答は間違ってます。これはactiveな方の変換だと思ってください。 -- 前野? 2018-09-19 (水) 14:24:22
  • 上で書いた「並進」は座標系の並進でなく、点の移動と捉えるべきでした。というわけで、文章を「activeな変換」に訂正してください。すいません、混乱させてごめんなさい。 -- 前野? 2018-09-19 (水) 14:25:48
  • ポアッソン括弧を取ることが、座標変換に対応することは、分かりました。p343の(C.38)のpassiveな方にθ=εを代入した式についてですが、sinε=ε、cosε=1と近似すると、x'=x+εy、y'=y-εxとなり、(先程は、この式を打ち間違えてしまいました。) -- あお? 2018-09-19 (水) 14:36:51
  • 途中で送信されてしまいました。とりあえず、理解できたと思います。何度もご対応頂き、ありがとうございました。 -- あお? 2018-09-19 (水) 14:42:57

演習問題4-1の質問

あお? (2018-09-13 (木) 15:02:41)

演習問題4-1にある、重心の並進運動とは、どのような運動でしょうか。
並進運動は、物体の各点が平行移動する運動であると認識していますが、重心(一点)の並進運動が、理解できません。
また、解答にあるように、重心の二回微分が0のときに、なぜ重心は並進運動するといえるのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

  • たしかにこれは並進は言葉が悪いですね、等速直線運動、つまり加速度0の運動です。 -- 前野? 2018-09-13 (木) 15:19:02
  • 分かりました。早速のご回答ありがとうございました。 -- あお? 2018-09-13 (木) 15:25:56

9.6.3節外力なしの無重力場での対称コマの運動

荻野正規? (2018-09-11 (火) 21:39:30)

9月10日付けご回示ご指導有難うございました。本件落着致しました。


ネーターの定理の質問

アルトリア・ペンドラゴン? (2018-09-11 (火) 19:33:04)

8.4節のネーターの定理の計算に疑問があります。時間並進対称性の場合に、8.30式の計算が成り立つのはどうしてでしょうか?8.30式の上側の式の第1項目の積分区間は、8.20式のように端点を動かす必要があり、ti+ε〜tf+εだと思うのですが、それではどうしてNGなのでしょうか?よろしくお願いします。

  • (8.30)の下に「これは0もしくはなんらかの表面項である」と書いてあることに注意してください。-- 前野? 2018-09-11 (火) 19:37:16
  • tをずらすことによる変化は、まさに「表面項」なので、そっちの方に入ります。そちらで計算することになるので、(8.30)の段階では入れていません。 -- 前野? 2018-09-11 (火) 19:38:41
  • 迅速なご対応、感謝しています。ただ今検討してみたところ、解決致しました。前野先生の参考書を読む度に新しい発見があり、読んでいていつもワクワクして物理が一層楽しくなります。大変お忙しいかと思いますが、くれぐれもお身体にご無理のないようにご自愛ください。次の「よくわかる」シリーズも楽しみにしております。今後のご活躍を期待させて頂きます。 -- アルトリア・ペンドラゴン? 2018-09-11 (火) 20:00:42

正準変換

白上吹雪? (2018-09-10 (月) 18:39:58)

・P250の下の図でp,qの位相空間の流れの図が楕円から円になってるのに軸はp,qのままなのはどうしてですか?
それと、正準変換は、位相空間の積分要素において変わらないと言えるのに、図ではqだけが変わりpは元のままで、正準変換(dpdq=dPdQ)した図の見た目では成り立たないように見えます。

・(9.70)は、方向微分とあるのですが、(9.69)にある∂/∂qや∂/∂pはどうして含まれないのですか?✳がpまたはqの微分で消えたからですか?

・P257の【FAQ】で、dq,dp,dQ,dPが独立でないと「dqの係数を比較して」という計算に意味がなくなる理由が読んだのですが分かりません。

・P260の(10.63)の式が分かりません。どうしてGがG(q,Q)のようにq,Qの関数になっているのですか?自分はG(q,P)だと思いました。

  • 250pの図は「スケール変換」つまり「図を横にぎゅっと圧縮」した結果です。よく見ると、pとqの文字が細くなってます(^_^;)。 -- 前野? 2018-09-10 (月) 18:45:29
  • なお、単純なスケール変換は正準変換ではないので、これを$q\to kq$のような変換だと思うなら、正準変換ではありません(正準変換になるのは、$q\to kq,p\to {p\over k}$という変換)。 -- 前野? 2018-09-10 (月) 18:46:35
  • (9.70)にはp微分もq微分も全部含まれていますよ。この(、、、)で一つのベクトルです。 -- 前野? 2018-09-10 (月) 18:47:43
  • p257のFAQですが、これは9月1日の質問の「独立ではない変数は消去しなくてはいけない」という話と同じです。 -- 前野? 2018-09-10 (月) 18:49:25
  • (10.63)はLegendre変換の式なのですから、$q,Q$の関数から$q,P$の関数にしないとそもそも変換する意味がありません。 -- 前野? 2018-09-10 (月) 18:50:38
  • なお、厳密に両辺の変数をあわせたいのならば、$G(q,Q(q,P))+\left(-{\partial G(q,Q)\over\partial Q}\bigr|_{Q=Q(q,P)}\right)Q =W(q,P)$となるでしょう。つまり左辺の$Q$には$Q(q,P)$が代入されます。このあたりは省略記法です。 -- 前野? 2018-09-10 (月) 18:52:21
  • なお、左辺はそのままで右辺の$P$に$P(q,Q)$を代入してもいいです。 -- 前野? 2018-09-10 (月) 18:52:56
  • (9.69)では、∂A/∂pには、✳に掛かっていた∂/∂qも付いていました。✳に付いていた∂/∂pや∂/∂qは、(9.70)に影響してこないのですか?つまり、自分は(9.70)を(∂A/∂p∂/∂q, ∂A/∂p∂/∂q,・・・、∂A/∂q∂/∂p ∂A/∂q∂/∂p・・・)になると思っていました。 -- 白上吹雪? 2018-09-10 (月) 23:17:38
  • すいません。9月1日の質問を見たのですが、「独立ではない変数は消去しなくてはいけない」の意味が分かりませんでした。独立でないならdqだけの係数を括弧でくくっても他の変数部分が関係してくるからdqでくくった係数は、正確なdqの係数ではないということと考えました。 -- 白上吹雪? 2018-09-10 (月) 23:21:38
  • どうやら「方向微分」という言葉の意味がわかってないようです。$x,y$の2次元空間で言うと、 $a{\partial \over \partial x}+b{\partial \over\partial y}$は「$(a,b)$方向への方向微分」です。ベクトル$(a,b)$とグラディエント$({\partial \over\partial x},{\partial\over\partial y})$の内積です。 -- 前野? 2018-09-11 (火) 06:34:00
  • (6.70)と「位相空間内のグラディエントにあたるベクトル」の内積を取ると(6.79)の微分演算子になります。 -- 前野? 2018-09-11 (火) 06:35:00
  • $\def\diff{\mathrm d}a\diff q+b\diff p+c\diff Q+d\diff P=A\diff q+B\diff p+C\diff Q+D\diff P$という式があったとき、$\diff q,\diff q,\diff Q,\diff P$が独立ならば$a=A,b=B,c=C,d=D$と言えるが、そうでなかったらそうは言えない、という話です。 -- 前野? 2018-09-11 (火) 06:37:41
  • 例えば実は$\diff P=\diff p$なのなら、この式は実は$a\diff q +(b+d)\diff p +d\diff Q=A\diff q+(B+D)\diff p+C\diff Q$なので、$b+d=B+D$という式になり、$b=B,d=D$とは結論できません。 -- 前野? 2018-09-11 (火) 06:39:29
  • 少し考えたのですが、{A,p}、{A,q}をA(q,p)として(9.69)と見比べて見ました。つまり、(9.70)は、A(q,p)方向への方向微分ということですか?それだと{✳,A}での✳と✳の偏微分は、{✳,A}でどういった意味を持つのですか? -- 白上吹雪? 2018-09-13 (木) 00:21:39
  • 文脈を読めてないようなのですが、{*,A}が「(9.70)の方向への方向微分を*に掛けた結果」なのです。 -- 前野? 2018-09-13 (木) 07:20:26
  • {*,A}は(9.69)の右辺のように(これは*に微分演算子$a{\partial \over\partial q}+b{\partial \over\partial p}$が掛かった形、ただし$a={\partial A\over\partial p},b=-{\partial A\over\partial q}$)書けます。 -- 前野? 2018-09-13 (木) 07:22:26
  • 微分演算子$a{\partial \over\partial q}+b{\partial \over\partial p}$は「$(a,b)$方向の方向微分」なのですから、微分演算子${\partial A\over\partial p}{\partial \over\partial q}-{\partial A\over\partial q}{\partial \over\partial p}$は「$({\partial A\over\partial p},-{\partial A\over\partial q})$方向の方向微分」です(簡単のため添字iはないとして2次元位相空間で書いてます)。 -- 前野? 2018-09-13 (木) 07:26:08
  • もう一回書きますが(9.69)に現れている微分演算子が、(9.70)の方向への方向微分です。 -- 前野? 2018-09-13 (木) 07:27:09
  • やっと納得できました。何度も質問に答えていただいてありがとうございました。 -- 白上吹雪? 2018-09-14 (金) 11:26:08

9.6.3節外力なしの無重力場での対称コマの運動ではθは一定の筈

荻野正規? (2018-09-10 (月) 12:46:06)

9月9日のご回示ご指導有難うございました。貴本p189掲載の対称コマの図がθ=一定を意味してない事を理解できました。しかし、8月19日付け貴回示内容に関して、下記の通りご質問致します。
Q1.無重力無拘束自由空間での対称コマ運動に於いては、全角運動量は保存される筈ですから、これを観測座標系の小文字z軸方向に合致するLzと仮定して、何ら一般性を失いません。この場合当然0=Lx=Lyとなり、従って貴方も8月19日付け貴回示にて認められている通り、θ(全角運動量とコマの対称軸との間の角度)は一定となります。即ち、ランダウの自由空間での対称コマに関する記述「自由空間での対称コマの運動は主軸周りの回転と全角運動量軸周りの歳差運動だけで表現電出来る」は正しいと思います。貴本9.6.3節では更にθの変動(即ち章動)が存在するとの主張を展開されておりますが、これは貴方の小文字のz軸を全角運動量方向とは異なる任意の勝手な方向に採った場合の話ではないでしょうか? もし、そうだとすれば、その運動は単純な対称コマの運動をわざと、分かり難い座標系を採用して複雑に見せているだけの話のように思えるのですが如何でしょうか? 
 尚、貴本9.6.4節:軸先拘束対称コマの記述に関してはランダウと実質的に同一の内容であり、異論はございません。

  • もちろん、座標系の取り方の違いによりフクザツに見える、という解釈でよいでしょう。 -- 前野? 2018-09-10 (月) 12:59:25
  • ご回示ご指導有難うございました。9.6.3節無重力場での対称コマの運動落着しました -- 荻野正規? 2018-09-11 (火) 21:37:15

7.3.2節対称コマ 9.6.3節外力なしの無重力場での対称コマの運動

荻野正規? (2018-09-09 (日) 21:36:23)

9月1日ご回示ご指導有難うございました。更に下記ご指導ご回示戴けると幸いです。
Q1.貴本p189掲載の対称コマの図は、エネルギ一定且つ角運動量の大きさ一定から導かれておりますが、この図の意味する物理現象は何でしょうか? Q2.楕円と球との交線の白矢印は何を意味するのでしょうか? Q3.白矢印はθ一定の自励歳差運動を意味しているのではないのでしょうか?  Q4.白矢印はθの変動運動(即ち章動)をも包含するのでしょうか?

  • p189の図はp187の図が、$I_{XX}=I_{YY}$になったことで対称性がよくなったものなので、起こっている現象はやはり同様です。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 22:34:25
  • 白矢印は$L_X,L_Y$の時間変化の方向です。ここで、変化しているのは$L_X,L_Y$という「角運動量を$X,Y,Z$軸方向に分解したときの成分」であることに注意してください。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 22:35:42
  • p189の図の上に書いてあること(あるいは、式(7.70)で記述されていること)は、$L_X,L_Y$(または、$\omega_X,\omega_Y$)が回転運動を起こす、ということです(空間$x,y,z$の回転ではなく、$\vec \omega$というベクトルの回転)。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 22:39:01
  • 白矢印は$\omega_X,\omega_Y$が「円運動」をしていることを示していますが、それは$\theta=$一定を意味しません。$\omega$と$\theta$の関係は(7.29)です。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 22:53:35
  • じゃあ、実際にどういうふうにθが変化しているのかというのは、この本の中ではハミルトン形式に行ってから、9.6.3節で概略を示してます。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 23:10:36

ハミルトンについて・・・

白上吹雪? (2018-09-09 (日) 01:08:53)

・ハミルトン形式では、運動量はon-shellにして初めてqやq'と結び付くとあるのですが、on-shellによる運動方程式の解の代入するときの運動方程式は、ハミルトニアンの主関数とハミルトン形式ではラグラジアン方程式と正準方程式で違いますか?
・P227(9.62)から6行目の文でBから{A,B}を計算するとはどういう意味ですか?
・(9.67)の下の文で「右からp(j)とのポアッソン括弧を取る({✳、p(j)})」は、∂/∂q(j)と同じとは、∂✳/∂q(j)だと思いました。✳はなぜ付いてないのですか?
・何故、{✳,H}の方向は、q(または、{✳,p})の方向と同じなのですか?『H=p^2/2mの時Hの速度の演算子はp/m∂/∂qですが、pを保存量として、この∂/∂qの寄与でq方向なら{✳,H}のときの他(∂/∂p)の寄与はどうなるのですか?
・P234の(9.84)では、Lzzとポアッソン括弧を取るのはΦで微分するのと同じとあるのに、P237の(9.94)で上の文にLzz=Izzωz=p(φ)で、p(φ)とポアッソン括弧を取るということはφで微分することと同じとあるのですが、記号が異なるのはどうしてですか?Φ,φはP345のオイラー角のZ,Z''軸回りを参考にしたのですが。

質問が多くて申し訳ありません。

  • 「運動方程式は違うか?」→見た目は違いますが、物理的中身は一緒(ということは本に書いてありますが、「違いますか?」という質問は何を確認したいのでしょうか?) -- 前野? 2018-09-09 (日) 07:47:13
  • 「Bから{A,B}を計算する」→文字通り、Bがわかったら(Aはその前からわかっていたとして){A,B}もわかるという意味で「Bから{A,B}を計算する」と書いてます。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 07:49:21
  • 「右からpとのポアッソン過去を取る」という演算を行うということは「左から${\partial \over\partial q}$を掛ける」のと同じ、という意味です。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 07:50:35
  • 「ポアッソン括弧を取った結果」は{*,p}で、それは${\partial *\over\partial q}$です。「ポアッソン括弧を取る」という操作に対応しているのは、微分演算子${\partial \over\partial q}$です。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 07:52:05
  • (9.84)は極座標の$r,\theta,\phi$を使った計算、(9.94)はオイラー角の$\theta,\phi,\psi$を使った計算。全然別です。記号が違うだけじゃなく、そもそも中身が違います。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 07:55:56
  • さらに言えば、極座標の$\phi$は$z$軸周りの角度。オイラー角の$\psi$は$\theta,\phi$で回した後の$Z$軸($z$軸ではなく)の周りの回転角。これも意味が全く違います。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 07:58:45
  • 聞きたかったのが、ハミルトン形式では、運動量はon-shellにして初めてqやq'と結び付くとあるのですが、P199~201でハミルトンの主関数の変分からハミルトニアンHを出したと思い、それならHの中のLもon-shellになになるのでLを含むハミルトンの方程式Hはon-shellと言えてq,pは関係がつきδq,δpは独立とは言えないのでは、ということです。 -- 白上吹雪? 2018-09-09 (日) 13:07:50
  • onshellにして初めて関係がつく→onshell になる前は関係ない(つまり独立)→だからδpとδqも独立、って事なのですが。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 13:12:23
  • p199〜201でハミルトニアンの出し方の一つであり、そこでは主関数を使いましたが、だからon-shellにならなければいけないというものではないです。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 13:14:59
  • $p\dot q-L(q,\dot q)$と書いたときのLは別にon-shellではありません。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 13:15:49
  • {✳,H}は、∂✳/∂q ∂H/∂p-∂✳/∂p ∂H/∂q となり、Hのp,qの両方の微分があるのでH=p^2/mのようにqだけの微分とは言えないと思ったので。 -- 白上吹雪? 2018-09-09 (日) 13:15:13
  • ↑の意味がわかりません。もちろんHは一般にpとq両方の関数で「qだけの微分」だなんてことはありません。$H={p^2\over 2m}$になるような場合なら、確かに$\left\{*,H\right\}={\partial *\over\partial q}{p\over m}$ですが。 -- 前野? 2018-09-09 (日) 13:17:36
  • $H={p^2\over 2m}$ならば、${\partial H\over\partial q}=0$ですが、それはわかってますか?? -- 前野? 2018-09-09 (日) 13:20:47
  • 本当に申し訳ありませんでした。H=p^2/mの計算を忘れていました。 -- 白上吹雪? 2018-09-09 (日) 17:36:06

P91 式(4.13)について

大2? (2018-09-07 (金) 19:40:09)

(4.13)をオイラー・ラグランジュ方程式で求めるにはどうしたらいいですか?内積があり、式変形を行うと自分では辻褄の合わない式になってしまいす。

  • そのすぐ上の「うっかりものの予想」の下に書いてる通りです。 -- 前野? 2018-09-07 (金) 22:19:47
  • 「内積があり」と書いておられるところを見ると、なにかおかしな計算をしているのかもしれませんが、内積があるからわからないというのならば、成分ごとに分けて($\vec A\cdot\vec B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$のように)から計算すればよいでしょう。 -- 前野? 2018-09-07 (金) 22:32:49
  • 成分ごとに分けて計算するとうまく出来ました。ありがとうございました。 -- 大2? 2018-09-08 (土) 17:20:55

P187~188  自由に回転する剛体

白上吹雪? (2018-09-04 (火) 23:39:26)

P187~188の角運動量Lを軸とした図では、球と楕円の表面が交わるところが運動可能な範囲とあるのですが、
・あの図からどうやって運動の様子が見分けられるのですか?

あの図中の球と楕円の表面が交わる場所で書かれている矢印について、
・何故、矢印の方向があの向きなのですか?
・あの矢印はどんな意味があるのですか?

  • その答えは全部本文内に書いてあります。矢印は時間変化の方向で、なぜその向きかの説明も188ページの6行めにあります。 -- 前野? 2018-09-05 (水) 03:09:14
  • 矢印は納得できたのですが、p188の最初の図の下の文で「Lyが正の」 -- 白上吹雪? 2018-09-07 (金) 23:47:29
  • 「Lyが正の範囲で変化しつつ、LyLz?は正負に振動する」とあるのですが、何故、Lyは正で変化してるのに負にも振するのですか? -- 白上吹雪? 2018-09-07 (金) 23:52:41
  • また、図のLの振動によって運動が大体分かるとあるのですが、Lの方向は、例えばLxなら実際のX軸の方向ですか? -- 白上吹雪? 2018-09-07 (金) 23:56:41
  • $L_X$が正のときは$L_Y,L_Z$が振動し、$L_Y$が正のときは$L_X,L_Z$が振動します。 -- 前野? 2018-09-08 (土) 00:47:06
  • 「実際の」って何ですか?(どういうのを「実際」と呼んでますか?)。$X$軸の定義はそれよりも前に書いてあるとおりです。 -- 前野? 2018-09-08 (土) 00:47:42
  • はい。実際のとは、前に定義されたものです。それにおいてLx,Ly,Lzの方向を教えていただけないかと。 -- 白上吹雪? 2018-09-08 (土) 01:35:21
  • ??? ですからX軸の定義は書いてある通りですよ。 -- 前野? 2018-09-08 (土) 02:32:55
  • 7.2節の最初の方で定義したそのまんまです。 -- 前野? 2018-09-08 (土) 02:35:13
  • XYZ軸とxyz軸の関係が知りたいのなら(7.18)にあります。 -- 前野? 2018-09-08 (土) 02:38:02
  • 今になって気づきましたが、$L_X,L_Y,L_Z$は成分ですからそれらには「向き」はないですね。$L_X\vec{\mathbf e}_X+L_Y\vec{\mathbf e}_Y+L_Z\vec{\mathbf e}_Z$はベクトルだから向きがあります。どっち向いているかはもちろんベクトルの成分による。 -- 前野? 2018-09-08 (土) 10:45:01
  • 質問が「$L_X\vec{\mathbf e}_X$は$X$軸方向を向いてますか?」という意味なのなら、もちろんそうです(式にあらわれている通りです)。 -- 前野? 2018-09-08 (土) 10:49:36
  • 分かりました。助かりました。ありがとうございます。 -- 白上吹雪? 2018-09-08 (土) 12:46:21

P38,P39のFAQ

大学生? (2018-09-04 (火) 01:26:45)


(なにか)=0が結論できるのは、(なにか)の後ろについてくるもの、つまりδy(x)が独立な時だけ~
という主張の根拠はなんでしょうか。~
また、δy'が独立でないということもよくわからないです。~
なぜ、δy(x+Δx)を共有しているから独立ではないという結論が出るのでしょうか。~
独立とはなんのことを言っているのでしょうか。~

  • 326ページの(B.37)辺りの説明を読んでください。独立でないので(なにか)=0と言えない例が書いてあります。 -- 前野? 2018-09-04 (火) 07:53:30
  • 24ページ辺りにもありました。 -- 前野? 2018-09-04 (火) 07:57:36
  • 27ページで考えている正三角形の問題も、参考になると思いますので、見比べてみてください。 -- 前野? 2018-09-04 (火) 08:03:36
  • 今独立なのは$\delta y(x)$($x$は任意の場所)です。$y(x+\Delta x)$を変化させると、$y'(x)$と$y'(x+\Delta x)$が連動して変わります。そういう意味で独立ではないです。 -- 前野? 2018-09-04 (火) 08:05:31

行列による計算が・・・・

白上吹雪? (2018-09-03 (月) 19:27:56)

P148から行列を使われ始めたのですが、対角化による座標変換の表現が未だによく分かりません。それに加え、P148~P160で分からない文や途中計算が大量に出てきて読むのをストップしてしまいました。一応、本書の付録の他にネットや別の本を見たのですが。余りにも質問する回数が多くなると思いその前にこの質問を書きました。
・この部分の行列が理解出来ないとその先の内容は難しいですか?

  • 6.2.2節はその前の節を行列を使って書き直しているものです。本来行列を使った方が楽だから行列を使っているので、使い方をわかればその後の方が理解が楽になるはずです。行列がわからないなら飛ばしておいても、次の章から先の内容でもわかるところはわかるでしょう。けど、行列をわかった方が楽になる場面はあちこちにあるので、勉強しておいた方がいいとは思います。 -- 前野? 2018-09-03 (月) 22:11:14
  • 分かりました。もう少し時間をかけて地道にやっていこうと思います。早速なのですが、P170でどうしてωにiのの(7.9) -- 白上吹雪? 2018-09-03 (月) 23:13:21
  • すいません。謝って先に送信してしまいました。P170で(7.5)でωに添字があるのですか?その前では、ωは添字は要らないと会ったのですが。その後に(7.8)では、Xの添字はiなのにその下では、Kになってるのはただの添字の変更ですか? -- 白上吹雪? 2018-09-03 (月) 23:17:32
  • ・(7.9)のω(i)ω(j)を含む項では、ωとXでiとjのように添字が二つも出てくるのですか?それぞれの(7.7)(7.8)には、iとjのΣが両方ある訳でもないのに。 -- 白上吹雪? 2018-09-03 (月) 23:24:16
  • 「添字がつかない」のは$\vec \omega$で、$\vec \omega$はベクトルなのですから3成分あります。$(\omega_1,\omega_2,\omega_3)=\vec\omega$です。 -- 前野? 2018-09-04 (火) 00:34:33
  • (7.8)ではiなのにその下ではkなのには、深い意味は何もありません。 -- 前野? 2018-09-04 (火) 00:36:18
  • (7.9)に添え字が2つあるのは、(7.8)を真面目に計算すれば嫌でも出てくるからです。実際に計算してみてください。 -- 前野? 2018-09-04 (火) 00:37:42
  • 行列やベクトルの計算に慣れてないのなら、まずは(7.8)を$-\left(\omega_1X^{(i)}_1+\omega_2X^{(i)}_2+\omega_3X^{(i)}_3\right)^2$のようにばらしてから計算してみてください。 -- 前野? 2018-09-04 (火) 00:45:06
  • ありがとうございます。そのように計算してみたら納得できました。 -- 白上吹雪? 2018-09-04 (火) 12:40:06

P134~P135 5.3.3変数の消去

白上吹雪? (2018-09-01 (土) 17:18:18)

(5.88)の2つ上の文で、{Q★}の方は「拘束条件を解いてしまうと消えてしまう座標」であり、拘束条件G(j)=0を解いた後ではQ(i)=Q(i)({q✳})のように{q✳}だけで書き直すことができ、{q✳}の方だけが座標になるものとする。とありますが、
・どうして{Q★}は拘束条件を解くと消えてしまうのですか?{Q★}に対して拘束条件を解くということが呑み込めません。
・拘束条件G(j)=0を解いた後では、上文のようにQ(i)を{q✳}だけで書き直すことができるとありますが、そもそも座標変換の時にQはqだけの関数なのではないのですか?拘束条件G(j)を解くことでそのように書き直すことができる理由が分かりません。
・(5.92)では、拘束条件を代入すると(5.87)のラグランジアンの要素{Q★}は、{Q★({q✳})}になるのは、上の拘束条件を解くとは、拘束条件を代入することですか?
・どうしていきなり(5.96)=0が言えるのですか?
質問が多くて申し訳ありません。

  • たとえば、すぐ上に書いてありますが$x^2+y^2+z^2=a^2$という拘束条件(つまりは物体が半径$a$の球上にあるという拘束条件)があったとしましょう。これは極座標では$r=a$ということです(この場合、$Q$が$r$です)。拘束がなければ$r$はれっきとした座標ですが、拘束条件があれば定数ですから「拘束条件を代入してしまうと座標としての意味がなくなって、$a$という定数になってしまう」変数です。 -- 前野? 2018-09-01 (土) 18:09:51
  • この例では$r$という変数が定数になってしまうわけですが、もっと一般的な例では、$Q$という変数が他の変数$q$で表されるようになってしまう、ということもあり得るわけです。 -- 前野? 2018-09-01 (土) 18:15:13
  • 拘束条件を解かなければ、$Q$はあくまで「$Q$という独立な変数」です。それがなんらかの拘束条件を使って「解いた」結果として$q$の関数になっちゃった、という場合がここで考えてる状況です。 -- 前野? 2018-09-01 (土) 18:16:39
  • (5.92)はもちろん、$Q$を$q$で表して代入した結果です。 -- 前野? 2018-09-01 (土) 18:17:19
  • (5.96)は$G=0$が言えるのだから、その$G$を$q$で微分したって0でしょ、という式です。 -- 前野? 2018-09-01 (土) 18:18:16
  • 拘束条件を代入するとQ(=r)が定数としたら、Qはqという変数で表すとなんだか変数のようにみえてしまいます。それとも、Qは定数だがその値はqという変数で変わってしまうということですか? -- 白上吹雪? 2018-09-01 (土) 23:13:55
  • G=0でもそのGの微分は0になるとは限らないと書いてあったのですが、この時は少し状況が違うのでしょうか?この場合のGは、qとQの要素をふくんでいるので、たとえ拘束条件を代入してQが定数になっても、拘束条件にはqとQが関わっているのでその微分は拘束の制限を越えてしまいうので0とは限らないのではないと思いました。きちんと微分を計算するにしてもどんな式か分からないのもあります。 -- 白上吹雪? 2018-09-01 (土) 23:28:09
  • たとえばシンプルな例として$a,b,c,d$という変数があるが$G=a+b+c+d$という拘束がついているとしましょう。この場合、$b,c,d$が決まれば$a$は決まってしまいます($a$は独立な変数ではありません)。 -- 前野? 2018-09-02 (日) 07:48:10
  • $G=0$だが微分が0でないのは(本でも説明してありますが)拘束の外れる方向へ微分する場合です。 -- 前野? 2018-09-02 (日) 07:49:36
  • 先の例だと、$a$は$b,c,d$で決まる量になって、$a(b,c,d)$という従属変数($b,c,d$の関数)になってしまっています。これを$b$で偏微分($c,d$を止めて$b$で微分すれば、${\partial a(b,c,d)\over\partial b}+1$となりますが、$a(b,c,d)=-b-c-d$だから偏微分の結果は$-1$です。 -- 前野? 2018-09-02 (日) 07:52:23
  • もう一度確認しますが、$a=-b-c-d$は「$b,c,d$を決めると決まってしまう」という意味で「変数ではない(より明確に言うならば「独立な変数ではない」)」わけです。$Q$はこの$a$のような量です。 -- 前野? 2018-09-02 (日) 07:54:46
  • 納得できました。忙しい中丁寧にありがとうございました。 -- 白上吹雪? 2018-09-02 (日) 13:52:06

9.6.3節外力なしの無重力場での対称コマの運動

荻野正規? (2018-08-30 (木) 19:09:37)

 8月19日ご回示ご指導有難うございました。更に、貴前野本とランダウ本を読み比べた結果下記の結論に達しました。①無重力無拘束条件に於ける対称こまの考察に関して、貴本7.3.2節の内容は、ランダウ本の内容と完全に合致している。(オイラーの運動方程式とエネルギ保存と角運動量大きさ保存だけに基づき自励歳差運動までを描出)~
②重力拘束条件於いて、天頂角θとその時間微分に関するオイラーラグランジュ方程式を解く事による章動運動(mutation)の考察は細部を除いて両本(貴本9.6.4節/ランダウ本3章問題1の解)で実質的に合致している。~
③貴前野本は無重力無拘束条件に於いても章動が存在する事を9.6.3節にて記している。然るにランダウは、対称コマの対称性に関する潜在観念から、天頂角θは一定であるとした。~
(ランダウはラグランジアンを求めているので、天頂角θとその時間微分に関するオイラーラグランジュ方程式から容易に章動が存在する事を予測し得た筈なのに。。。)~
 そこで、質問です。~
Q1. 自由空間の対称こまに関して、貴本及びランダウ本にも記されている通り、エネルギ保存と角運動量大きさ保存から、天頂角θ一定の自励歳差運動による主回転軸軌跡だけが求まります。この結果は章動運動(天頂角θの早い時間変化)の余地を否定するような気がするのですが、どう解釈するべきでしょうか?~
Q2. 章動運動まで考慮した場合、エネルギ保存の式または角運動量大きさ保存の式を修正する必要があるのでしょうか?~

  • ランダウはあくまで「角運動量がz軸を向いている場合」を考えているので、そこで主張しているのは「そういう場合ではθが一定だ」ということだと思います。そうでない場合にはθが変化しても構わない。つまり自由空間の対称コマは、座標軸を選ぶことにより「θが一定」にもできるし、そうしなくても構わない、というだけの話だと思います。 -- 前野? 2018-09-01 (土) 18:20:58
  • 「章動」という言葉がどこまでを表現しているのか、私は厳密なる定義を知りませんが、実際に起こる運動に関しては合致しているのであれば、特に問題があるように思えません。外力が係ることによる章動(摂動?)に関してはどんな外力が係るかに応じて考えるべきことかと思います。 -- 前野? 2018-09-01 (土) 18:25:53

P66 角度θを用いた梯子の表現について

白上吹雪? (2018-08-29 (水) 19:39:56)

P65の(x,y)では、xがδx変位すると手のする仕事は、-2Fδxとなるのに、P66の角度θの表現では、角度θがδθ増える場合の仮想変位で、手のする仕事が-Fδθ(d(Lsin))/dθとなるのは、どうしてですか?

  • この場合、(図を見るとわかるように)$2x=L\cos\theta$なので、同じ式ですよ。 -- 前野? 2018-08-29 (水) 21:16:09
  • 返信ありがとうございます。そうのですが、私の分からないところは、何故δθにd(Lsinθ)/dθが掛かっているのかです。2δxは変位の距離なら、δθd(Lsinθ)/dθも距離と言うことなのでしょうか? -- 白上吹雪? 2018-08-29 (水) 22:39:34
  • $2x=L\cos\theta$に$x\to x+\delta x,\theta\to \theta+\delta \theta$という変化を加えると、$2x+2\delta x=L\cos\theta+\delta \theta{\mathrm d(L\cos\theta)\over\mathrm d\theta}$となります。 -- 前野? 2018-08-30 (木) 06:59:55
  • というわけで、$\delta \theta{\mathrm d(L\cos\theta)\over\mathrm d\theta}$も変位距離です。 -- 前野? 2018-08-30 (木) 07:02:56
  • つまり、2(x+δx)=Lcos(θ+δθ)で、cos(θ+δθ)→[加法定理]→ cosθcosδθ-sinθsinδθ → cosθ-sinθδθ → cosθ+δθ(dcosθ)/dθ という解釈で大丈夫でしょうか? -- 白上吹雪? 2018-08-30 (木) 17:02:00
  • 加法定理使ったんなら、そのまま$-\delta\theta\sin\theta$でいいんではないかと思いますが、そういう計算です。 -- 前野? 2018-08-30 (木) 17:12:26
  • -δθsinθをδθ(dcosθ)/dθのように表せた理由はありますか? -- 白上吹雪? 2018-08-30 (木) 20:37:03
  • $\cos(\theta+\delta\theta)=\cos\theta+\delta\theta{\mathrm d\cos\theta\over\mathrm d\theta}$というのは微分の意味(定義)そのものです。「理由」というより、そういうものを我々は微分と呼びます。 -- 前野? 2018-08-30 (木) 21:20:33
  • 少し基礎が抜けていました。自分でもまた見直してきます。回答ありがとうございました。 -- 白上吹雪? 2018-08-30 (木) 23:48:09

時間に露わに依存する正準方程式について

すや? (2018-08-27 (月) 19:09:02)

 (9.40)式で変分原理から正準方程式を導かれていますが、この場合は時間に露わに依存していない場合です。時間に露わに依存する場合、δHから(∂H/∂t)δtの項が出てきてしまうと思うのですが変分原理から正準方程式を求める手法は時間に露わに依存する場合でも可能なんでしょうか?
 またpp.244-246で正準方程式が共変である条件として(10.10)が示されていますが、これも時間に露わに依存しない場合です。(10.81)は時間に露わに依存する場合だと思うのですが、ここで(10.10)が適用されています。なぜ適用が可能なのでしょうか?

  • (9.40)で取っている変分は運動方程式を出すための変分なので、tの関数としてのp(t)とq(t)は変化させてますが、tは変化させてませんので、δtの項は出ません。 -- 前野? 2018-08-27 (月) 22:38:37
  • それは10章の10.3.2のような場合でも同じなのでしょうか?ここではラグランジアンが明らかにtが変化しうると思うのですが? -- すや? 2018-08-27 (月) 23:52:32
  • 同じです。変分原理でやっている計算というのはあくまで力学変数である量(x(t)やらp(t)やら)を変える(別の関数へと置き換える)という話です。tはその変数のラベルでしかありません(tは力学変数じゃありません)。 -- 前野? 2018-08-27 (月) 23:59:07
  • 「ラグランジアンが明らかにtが変化しうる」という意味は何ですか?? ここで取っている変分は、tを固定して各点各点のp(t)やq(t)を変えてますので「明らかにtを変化させたりしてません」。 -- 前野? 2018-08-28 (火) 00:03:40
  • なお、(10.10)のあたりで示しているのはポアッソン括弧が不変だということです。それは変数と変数の関係の話で、ハミルトニアンに時間があらわに含まれているかどうかと別のお話です。 -- 前野? 2018-08-28 (火) 00:04:52
  • ここでx(t)という関数を変えているのであってtを変えているのではない、というのは、37ページあたりで変分と微分が交換する条件の話でy(x)でyを変えてxは変えてない、という話と同じです。そこを読み返してみてください。「y(x)という関数の変分を取る」というのと「xを変化させる」というのは全く別の操作です。 -- 前野? 2018-08-28 (火) 00:08:21
  • わかりました、ありがとうございます。もう一つ質問させてください。p.266で時間依存する場合でも基本ポアッソン括弧が変化しないなら任意のポアッソン括弧は両方の座標で変化しないとありますが、これを一般的に証明する際はどのようなアプローチを取れば良いのでしょうか? -- すや? 2018-08-28 (火) 00:23:46
  • それはやってみれば、時間の関数であることはあまり関係ないということがわかると思います。ポアッソン括弧という計算は「ある瞬間(固定されたt)」の中で閉じてますから。 -- 前野? 2018-08-28 (火) 00:39:18
  • 固定されたtとは、例えばqやpで偏微分しているから固定されてると言う理解で良いのでしょうか? -- すや? 2018-08-28 (火) 00:50:05
  • というより、計算の中でそもそもtを変化させる場所がどこにもないでしょ(ポアッソン括弧の計算の中には)。 -- 前野? 2018-08-28 (火) 00:56:23
  • そうですね、わかりました。夜分遅くに回答ありがとうございました。 -- すや? 2018-08-28 (火) 01:02:23

サポートページまとめのお願い

yougoemon? (2018-08-23 (木) 13:10:39)

サポートページでの読者と前の先生のやり取りを、「よくわかる解析力学」の該当ページの昇順に、記載し直した資料を作成していいただくことはできないでしょうか?
 現在、「よくわかる解析力学」を読んでいますが、今読んでいる章について、過去にどのようなやり取りがされたのかを参照するには、現在の掲示板では過去の一つ一つの掲示板を見なければならず、とても大変です。身勝手なお願いですが、ご検討願います。

  • 誠に申し訳ありませんが、現状そんなことをやる余裕はないです。時間的精神的余裕ができたときに考えます。 -- 前野? 2018-08-23 (木) 16:38:50
  • 多くの読者のためにも、余裕ができたときにご検討願います。 -- yougoemon? 2018-08-23 (木) 18:41:29
  • 多くの読者のためにも、余裕ができたときにご検討願います。 -- yougoemon? 2018-08-24 (金) 06:18:22

p40(2.49)の下の文について

大2? (2018-08-18 (土) 16:05:44)

なぜdXとdYがそれぞれr'とrの変分であると考えられるのですか?

  • $F(X,Y)$というのは一般式で、そこに$X=r',Y=R$を代入したら$\sqrt{(r')^2+r^2}$になる、というふうに考えてます。ですから$r'$であるところの$X$の変化は$\delta r'$と考えられます($\delta r$の方も同様)。 -- 前野? 2018-08-18 (土) 16:15:50
  • dXがdrならわかるのですが、δr -- 大1? 2018-08-18 (土) 16:54:22
  • この場合drとδrは等しいと考えられるのなぜですか? -- 大1? 2018-08-18 (土) 16:55:20
  • δを使ってようがdを使ってようが、「微小な変化」という意味に違いはないんで、等しいというより同じものが別の記号で書いてあるだけのことです。 -- 前野? 2018-08-18 (土) 17:40:04
  • ここでδを使っている意味は、rというのを一つの変数でなく「関数」だと考えているからです(くどく書くなら「$r(\theta)$」です)。変数rの微小変化ならdrと書くところを、関数$r(\theta)$がθの各点ごとに微小変化$\delta r(\theta)$するとして考えてます。そういう意味の違いから文字を変えていますが「微小変化である」という点は一緒なので、偏微分の式はそのまま使ってます。 -- 前野? 2018-08-18 (土) 17:43:15
  • 理解できそうな気がしてきました。もう少し考えてみます。解答ありがとうございました。 -- 大2? 2018-08-18 (土) 19:14:41

9.6.3節外力なしの無重力場での対称コマの運動ではθは一定の筈

荻野正規? (2018-08-18 (土) 13:14:02)

 貴本9.6.3節ではオイラーの天頂角「θは周期的に振動する」旨 記されています。
しかし、ランダウの力学英語本第3版の35章オイラー角の式(35.4)には、[θ の時間微分≡0]
と明記されています。
 失礼ながら、ランダウの方が正しくて、貴本の方が間違いではないでしょうか?  
ご回示ご指導宜しくお願い致します。 2018/8/18荻野

  • ランダウの35章をチェックしてみましたところ、「角運動量ベクトル(${\mathbf M}$)とZ軸を一致させる」「$x_1$軸をline of nodes(節線?)と一致させる」という2つの条件を置いているようです。9.6.3節のθはランダウが書いているθとは違うものになってます(私の本では角運動量はz軸を向いてませんから)。 -- 前野? 2018-08-18 (土) 14:02:49
  • ランダウの計算の方は追いかけてませんが、詳しくみた結果違いがわかったらまた報告します。 -- 前野? 2018-08-18 (土) 14:04:15
  • 「よくわかる解析力学」のp183の(7.48)からの式で$L_x=L_y=0$にしてやるとたしかに$\dot\theta=0$になります。ランダウの本の該当箇所ではそういう状況を選んだということになってます(確かにこう選ぶと楽です)。 -- 前野? 2018-08-19 (日) 10:18:45
  • 9.6.3節外力なしの無重力場での対称コマの運動 -- 荻野? 2018-08-30 (木) 17:46:30


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Last-modified: 2018-09-19 (水) 14:42:57 (33d)