「よくわかる解析力学」(東京図書)サポート掲示板

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いろもの先生!

アサカツ? (2017-08-14 (月) 03:51:31)

p219の
式9.42の変形はテーラー展開でしょうか?お忙しい中すみません。
よろしくお願いします。

  • 1次までですからテイラー展開ってほどのもんではないですが、やってることはテイラー展開同じです。 -- 前野? 2017-08-14 (月) 07:42:48

p41 (2.59)

ぬらりひょん? (2017-08-04 (金) 20:44:59)

いろもの先生。
(2.56)で出現した微分方程式の解法が分かりません。
rに関する二階の微分方程式なので、独立解が2つ出てくるべきです。

今回、$(x')^2$の係数を消す方針を取り単振動の微分方程式に帰着させました。
これは確かに線形独立な2解の和の形ですが、なぜ(2.59)の方針をとってうまくいったのでしょうか。

別に消さなくても解は出る気がしますし、$(x')^2$の係数を消す方針の物理的意味が分かりません。

お忙しい中申し訳ございません。よろしくお願い致します。

  • 微分方程式の解法なんてのは試行錯誤で、うまく行ったら儲けもの、でいいんです。今回は面倒な部分がなくなるような「試行錯誤」をやってみたらうまくいった、というだけのことです。 -- 前野? 2017-08-04 (金) 23:07:41

p.326の下から2行め

中村 幹夫? (2017-07-15 (土) 11:17:11)

G=0のGの右下に付いている*が分かりません。前のどこかで説明済みならば申し訳ありません。

  • 本書では、$G_\ast$のように$\ast$をつけた添字は「全ての添字」を表すことにしています。最初に説明してあるのは33ページなんですが、そのときは{}でくくった場合について説明していましたので、すこし別にはなりますが、気持ちは同じで「$\ast$」は「全部」というつもりで読んでください。 -- 前野? 2017-07-15 (土) 11:36:35

位相空間について

? (2017-07-15 (土) 10:51:03)

P223あたりでは一次元の話がされていますが、例えば2つの粒子がそれぞれ三次元の運動をする場合には6枚(三方向×2枚)の位相平面を考えて運動をみれるということでしょうか。また、(9.51)と(9.52)がどう対応するのか理解できません。類似していますが違うものなのでしょうか?

  • 6枚というか、12次元分の位相空間を考えることになります。その場合でも本質的に大事なのは$(q_i,p_i)$という二成分で作られる面積の変化を足していったものになる、というのが(9.52)以降で説明していることです。 -- 前野? 2017-07-15 (土) 11:40:03
  • (9.52)は2次元だった(9.51)をn次元の場合に拡張したものです。ヤコビアン(行列式)は「n次元の体積」を表現しています(ところが微小量だけを計算するとn次元の体積の変化は2次元の面積変化を足していくだけで計算できた、というのが(9.56)の結果です。 -- 前野? 2017-07-15 (土) 11:42:59

p152 (6.50)

ぬらりひょん? (2017-06-26 (月) 22:59:45)

度々申し訳ございません。
(6.50)のLagrangeanのpotential部分ですが、y軸を下に取っているので
$U=m_1gy_1+m_2gy_2$となると思います。
$L=T-U$ですから、potential部分の符号は全てマイナスになると思います。

  • y軸を下に取っているので、$U=-m_1 g y_1-m_2 gy_2$となると思います。 -- 前野? 2017-06-27 (火) 08:41:21

p151(6.45)

ぬらりひょん? (2017-06-26 (月) 22:45:18)

振動子の質量が同じときの計算は理解できましたが、質量が変わってしまうとよくわかりません。
まず、(6.44)の形になるように行列Tを定めようとした理由はなんなのでしょうか。
合わせて、(6.45)の左側に $\vec{T_1}$ もしくは$\vec{T_2}$を掛けると、対称行列の性質から(6.46)になる の部分がよくわかりません。
お忙しい中申し訳ございません。どうぞよろしくお願い致しますわ

  • なんのためにこうしているかの理由は、(6.49)の形に導く為(つまり、運動エネルギーの項と位置エネルギーの項がどちらも対角行列になるように)ということになります。質量が同じときならば運動エネルギーの項は単位行列に比例してたのですが、質量が違うとそうでなくなるからです。 -- 前野? 2017-06-27 (火) 08:37:19
  • 次に(6.46)の出し方ですが、(6.45)の下に書いてある通りの計算をすれば、$\vec T_2^t{\bf K}\vec T_1=\lambda_1\vec T_2^t{\bf M}\vec T_1$という式と、$\vec T_1^t{\bf K}\vec T_2=\lambda_2\vec T_1^t{\bf M}\vec T_2$という式ができるはずです。 この二つの式の左辺は一致してます(${\bf K}$が対称行列なので)。これから(6.46)が出ます。-- 前野? 2017-06-27 (火) 08:39:32

p200について

? (2017-06-23 (金) 11:58:20)

作用が運動の端点の座標を変えない時間の並進に対して不変ならばエネルギーが保存するというのはわかりましたが、時間を並進させた際の作用(ラグラジアン)の変化の仕方、またそれが0になるような場合がわかりません。(8.13)のような座標の並進ほど単純な話ではないのでしょうか?

  • 単純な話です。その前の8.3.1節の計算の通りです。具体的にわからないということでしたら、具体的なラグランジアン(たとえば$L={1\over2}m\left(\dot x\right)^2 -U(x)$など)で8.3.1節でやっていることを実行してみてください。 -- 前野? 2017-06-23 (金) 13:00:23
  • と、書いた後で気づいたら、8.3.1節の最後にまさにその例が書いてありますね。 -- 前野? 2017-06-23 (金) 13:07:30
  • 8.3.1節で行われているのは時間の並進による作用の変化量がエネルギー和になるという話と受け取っているのですが。それとは別の作用積分を実際に実行するというアプローチでしたら∫[ti+tf] -- ? 2017-06-23 (金) 13:53:39
  • 8.3.1節で行われているのは時間の並進による作用の変化量がエネルギー和になるという話と受け取っているのですが。それとは別の作用積分を実際に実行するというアプローチでしたら∫[ti+tf] -- ? 2017-06-23 (金) 13:53:39
  • 時間並進による作用の変化量が ∫[ti+ε→tf+ε] ε{mv·a + (d/dt)V} dt という感じで問題ないのでしょうか? -- ? 2017-06-23 (金) 13:58:39
  • すみませんでした。変なことを言ってしまっていましたが解決しました。ありがとうございました。 -- ? 2017-06-23 (金) 16:26:29

p194 8,1,3について

? (2017-06-20 (火) 10:45:18)

両端で同じだけの微小な変分をとるとハミルトンの主関数の変化量が両端での運動量の差と等しくなり、さらにハミルトンの主関数の変化量が0ならば着目している運動で運動量保存則が成立すると読んでいたのですが、五行目以降でなぜ作用を並進させる場合のみを考えているのかわかりません。

  • 並進して不変だという作用でない場合は、(8.11)は=0になりません。 -- 前野? 2017-06-20 (火) 12:01:09
  • 運動の両端をεベクトルだけ変化させる場合に、作用の変化量が0になるような経路の変化は存在したとしても並進だけということですか?またp195では作用がある方向に対して並進不変ならその方向の運動量が保存するということを言っていますが、並進の向きと保存する運動量の向きがどうして対応するのか理解できません。教えていただきたいです。 -- ? 2017-06-20 (火) 20:27:12
  • ここで言っているのは「並進不変なら運動量保存」であって「並進だけ」とは言ってないですね。 -- 前野? 2017-06-20 (火) 20:45:57
  • 195ページには具体的計算が書いてあり、また例は(8.13)にある通りです。この例だと、x方向とy方向の並進に対し作用が不変なので、その方向の運動量が保存することになってます。-- 前野? 2017-06-20 (火) 20:48:40
  • 並進の向きと運動量保存の向きが同じなのは、その前のページから説明してある通りで、(8.11)が0になるようならば(8.12)が言えるということです。 -- 前野? 2017-06-20 (火) 20:49:43
  • この$\vec\epsilon$がある方向を向いているときにのみ(8.11)が成り立っていたとしたら、その方向に対してのみ(8.12)が成り立つことになります。 -- 前野? 2017-06-20 (火) 20:50:56
  • (8.11)でεベクトルとの内積を取っていることに注意できていませんでした。εベクトルとの内積を取るのだから言えるのはεベクトルの方向の運動量保存ということですね。だから並進不変性について考察しているということですか。御教授ありがとうございました -- ? 2017-06-21 (水) 02:27:43

p180について

? (2017-06-09 (金) 01:25:04)

(7.35)で用いられている添字が時間変化するデカルト座標に由来する慣性モーメントですが、これは(7.4)以下の手順と同様にしてこの系で作り直したものですか?

  • 失礼しました。(7.13)からの座標変換の際、IをABCと(ABC)^tで挟んだ行列も対称行列になりますね。 -- ? 2017-06-09 (金) 02:04:38
  • では、(7.35)のIxxなどの値は(7.12)での慣性テンソルの線形結合で表されているということで間違いないでしょうか? -- ? 2017-06-09 (金) 02:11:32
  • すいません、質問の意味がわからなくて困っているのですが「添字が時間変化するデカルト座標」ってのは、基底ベクトルが時間変化する、という意味でしょうか。 -- 前野? 2017-06-09 (金) 02:22:22
  • (7.35)の慣性テンソルは(7.12)から主軸変換したもの、というのはそれでいいです。 -- 前野? 2017-06-09 (金) 02:23:54
  • 意味のとりづらい質問をしてしまい申し訳ありません。そういう意味です。お返事ありがとうございます助かりました。 -- ? 2017-06-09 (金) 02:42:26
  • すみませんまた混乱してしまいました。(7.35)のIxxは(7.13)のIを(ABC)I(ABC)^tという具合に変換したものを直交行列で対角化した際の一行一列成分でしょうか?するとωベクトルはABCのみではなく直交行列からも変換を受けてしまい、(7.35)のωxは(7.24)から登場したωxとは違うものになってしまうように思えてしまいます。間違っていましたら教えてくださいお願いします。 -- ? 2017-06-09 (金) 12:36:28
  • これは順番としては$I_{ij}$の直交化が先で、X座標においては直交化されてます。X座標とx座標の関係をつけるのがABCで、それはX座標での直交化とはまた別の計算です。 -- 前野? 2017-06-11 (日) 05:48:46
  • 「これは順番としてはIijIij?の直交化が先で、X座標においては直交化されてます。」という冒頭部分の意味が把握出来ないので詳しく教えていただきたいです。ここでの前提条件は(7.13)の一般の運動エネルギーの話よりも限定的な場合での話なのでしょうか? -- ? 2017-06-11 (日) 09:27:42
  • 全然限定してませんよ。というのは慣性テンソルの対角化はどんな形状の物体でも実行できるからです。 -- 前野? 2017-06-11 (日) 09:34:50
  • 考えている物体の形が決まればその慣性テンソルが対角になるようなXYZ軸は必ず設定できます。 -- 前野? 2017-06-11 (日) 09:36:12
  • 慣性乗積が消えてくれる正規直交基底を(7.13)の対角化により見つけて、以後はその基底を使って運動を記述することにしたということですね。つまり(7.18)以降での小文字の添字xyzの基底は対角化により見つけた基底ということでしょうか?そのような基底を見つけて対角行列を用いて運動エネルギーを書いたとしても(7.39)の関係式を用いるには、せっかく対角行列用いて書いた運動エネルギーをABCで変換しないといけないように思うのですが、ここでは(ABC)I(ABC)^t (Iは対角行列) も、対角行列になるということですか? -- ? 2017-06-12 (月) 16:54:48
  • ABCはX座標からx座標への変換式なんですから、X座標で考えた慣性テンソルが対角になっているかどうかとは「別」です。X座標とx座標は別もので、その関係は時間によって変化していくもので、x座標の方で対角とかどうとか気にしてもしかたありません。もちろん、ABCも対角に限ったりはしません。 -- 前野? 2017-06-12 (月) 16:59:56
  • もう一度書きますが、X座標とx座標の翻訳に使われるのがABCなどの行列で、これらは対角ではありません(いろんな動きをするんですから当然です)。「対角化」をしているのは「X座標系の$I_{ij}$という行列」です。 -- 前野? 2017-06-12 (月) 17:03:55
  • 先生がここでおっしゃてるX座標系とは時間によって変化しない系のことですか? -- ? 2017-06-12 (月) 17:30:29
  • 本文にも書いてありますが「X座標系」は物体(剛体、例としては飛行機の絵が書いてありますね)に固定した座標系のことです。 -- 前野? 2017-06-12 (月) 17:42:48
  • そもそも物体に固定された座標系というのを慣性乗積が0になる系でとっていたということでしょうか?少し質問が反れてしまうかもしれませんがこれらの議論は回転軸が時間変化しても成り立つ議論ですか? -- ? 2017-06-12 (月) 19:46:32
  • X座標系(物体に固定された座標系)を、慣性乗積が0になるようにとった(対角化した)という話です(最初っから)。もちろん、回転軸を固定するなんて話ではないです。 -- 前野? 2017-06-12 (月) 19:57:06
  • まだ怪しいところもあるかもしれませんが解決がみえました。ながいあいだありがとうございました。 -- ? 2017-06-12 (月) 20:01:56

p136(5.93)について

? (2017-05-22 (月) 21:48:45)

(6.83)の式の二つ目の等号を結ぶ操作が理解できません。教えていただきたいです。

  • $\sin^2 pq\pi=\sin^2p(-q)\pi$なので、$q=1$から$N$まで足して2倍するのは、$q=-N$から$N$まで足すのと同じです($q=0$はsinが0になるので勘定に入りません)。 -- 前野? 2017-05-22 (月) 22:17:52
  • ありがとうございました。 -- ? 2017-05-22 (月) 23:44:27

p136(5.93)について

(2017-05-06 (土) 16:44:46)

一行目からの式変形で三行目の最後に付加された項ですが、これはどのような操作で加えられたのですか。

  • 別に付加したわけではなく、最初からある項ですが。1行目には${\partial L\over\partial \dot Q}{\partial \dot Q\over\partial q}$と、${\mathrm d\over\mathrm dt}\left({\partial L\over\partial \dot Q}{\partial \dot Q\over\partial \dot q}\right)$から出てくる${\partial L\over\partial \dot Q}{\mathrm d\over\mathrm dt}\left({\partial \dot Q\over\partial \dot q}\right)$があります(添字は省略)。 -- 前野? 2017-05-08 (月) 16:39:01
  • ありがとうございます。 -- ? 2017-05-08 (月) 20:19:34
  • ありがとうございます。 -- ? 2017-05-08 (月) 20:19:35
  • そのあとの(5.94)の直後に「が0になることを示せば~」とありますが、(5.93)は作用積分の変化量であって、この変化量が0になる場合に導かれるのが運動方程式ではないのですか?0になることを示すという作業の意味が理解できません。 -- ? 2017-05-08 (月) 20:24:31
  • そもそもここでやっていることが何かということが大事です。ここでやっているのは、拘束条件を代入した後のラグランジアン(5.92)から出てくる運動方程式と、ラグランジュ未定乗数を使って作った運動方程式が同じものであること(二つの差がないこと)です。 -- 前野? 2017-05-08 (月) 20:32:10
  • だから、2種類の運動方程式を比べて、その差がないことを確認してます。いったん確認した後は、どっちも正しい運動方程式だということになります。もしここで0だと確認した部分が0でなければ、どっちかの運動方程式は間違いだということになります。そうでなく大丈夫だいうことを確認するという作業をやったわけです(意味あるでしょ?) -- 前野? 2017-05-08 (月) 20:33:59
  • (5.94)−(5.89)ということでしたか助かりました。ありがとうございました(意味ありました)。 -- ? 2017-05-11 (木) 14:49:38


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Last-modified: 2017-08-14 (月) 07:42:48 (6d)