「よくわかる熱力学」（東京図書）サポート掲示板 †
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章末演習問題10-8の解答について †
tenn? (2025-06-07 (土) 10:08:45)
「章末演習問題解答p(21W)の上から14行目の式（C103式とC104式の間）」と「本文p221の(10.46)式」が異なるのですが（L^2の有無?)、結局ρ0あるいはλ2に吸収されるので、どうでもよいということでしょうか？
C106式はξ/T^c→T^c/ξ？
- すいません，これは$L^2$が必要です。 -- 前野?
- ヒントの（ C.11）式の$\lambda_2$の後ろにも$L^2$が必要です。 -- 前野?
p176 2行目 †
エンジン屋? (2025-04-25 (金) 20:14:59)
はじめまして
p176 上から2行目の
dF=(∂F/∂T) dT + (∂F/∂V) dV
という式はどこから出てきたのでしょうか
- 偏微分の公式です。今はNが変化しない場合なのでdNの項がありません。 -- 前野?
- 納得です。p319のA.25式、関数f(x,y)の微小変化と同じになるのですね -- エンジン屋?
エントロピーとClausiusの不等式について †
なかね? (2025-04-15 (火) 16:10:00)
お世話になります。
エントロピーとClausiusの不等式について質問させてください。
エントロピーという状態量が、カルノーサイクルにおいて断熱線が鉛直線になるような座標系が欲しい、という要望から生まれた物理量だということはわかりました。エントロピーの定義式は$(U-F)/T$すなわち1ＫあたりのＵとＦのエネルギー差であり、そのflowが$Q/T$すなわち1Ｋあたりの熱量であること、9.3 熱の移動から、温度と熱の移動を表現できる物理量であることが抽象的ながらもなんとなくわかったような気にはなったのですが、UとFはflowである仕事を使って定義した(Fについては最大仕事そのもの)のに対し、エントロピーSはflowである$Q/T$を使って定義しなかったのは何故なのでしょうか。
また、エントロピーのflowである$Q/T$は、カルノーサイクルにおいては温度に依らず一定であるため、物質に依らず1Kあたりの熱量はどんな温度でも同じである、ということが直感的に理解しやすい(熱力学的温度はカルノーサイクルの吸熱比から定義しているのだから、$Q/T$がカルノーサイクルにおいて熱と温度の普遍的な関係になるのは当然に思える)のですが、そもそもこの理解であっているでしょうか。
それから、Clausiusの不等式は準静的ではないサイクルも含めた結果になっていますが、そもそも準静的でないサイクルに対してエントロピーＳを定義していいものなのでしょうか。
それとも、Clausiusの不等式はあくまで微小変化量の積分であって、準静的でない部分はそもそもエントロピーの微小変化量とは関係のない、ただの$Q/T$の微小変化量として扱っているだけ、ということなのでしょうか。
座標系がSとTなので、そもそもSとして扱えない量であればこの座標系では扱えない気がするのですが、Sの定義は前述のように$(U-F)/T$だから、値としては座標系に記すことができるということなのでしょうか。
- SはU,F,Tという状態量で定義されたので、flowを使って定義し直す必要はないと思います。 -- 前野?
- 「${Q\over T}$が一定」というのは、カルノーサイクルの二つの等温操作に関しては、という制限付きなら正しいです。 -- 前野?
- エントロピーは「状態」に対して定義されていて「サイクルに対して」定義するものじゃありません。一つの状態に対してF,U,Tが決まっているのだから、Sも決まります。Sが各状態に対して定義されているなら、カルノーサイクルでなくても（あるいはサイクルでさえなくても）状態が変化したときのエントロピーの変化を計算することはもちろん可能です。 -- 前野?
- 途中の変化が準静的だろうが準静的でなかろうが、始状態と終状態が決まればエントロピー変化は常に計算可能ですが、その変化中にできる仕事と出入りする熱は途中経過によって変わるということになると思います。あなたの疑問がどこにあるのかが正確に掴めてないので、これで答えになるかわかりませんが、「状態が決まればSが決まる」ように定義したということが大事です。 -- 前野?
- ご回答頂きありがとうございます。 -- なかね?
- 自分でもわかったような気がするが分かっていないような気もする、というモヤモヤした状態でして、結局のところエントロピーという抽象的な概念を身体感覚で理解できないためにつかみにくい質問になっています。1KあたりのUとFの差ってなんだ？というところが根本的に理解できていないのだと思います。Fを使ってした仕事とUを使ってした仕事の差ならそれは熱だ、となるのですが、これは仕事でなくポテンシャルエネルギー同士の差な訳で、それが何を示すのかよく理解できていないのです。それはエントロピーのflowである$Q/T$にも言えて、1K当たりの熱量というのはわかりますが、それがflowになるというのがどういうことなのかイメージができないのです。 -- なかね?
- そのため、エントロピーを導入した目的を持ってきて、それは準静的なサイクルを前提として導入したものだから、それ以外のものに定義してもいいものだろうか、という疑問が沸いてきたわけです。 -- なかね?
- そのため、エントロピーを導入した目的を持ってきて、それは準静的なサイクルを前提として導入したものだから、それ以外のものに定義してもいいものだろうか、という疑問が沸いてきたわけです。 -- なかね?
- それから追加の質問になるのですが、Sの定義にflowを使わないのはflowを使わなくても状態量で定義できるから、ということは、導入段階ではUとFについてはflowを使うか不完全な微分形でしか定義できなかった（なぜならSが定義できていないから）ということなんでしょうか。 -- なかね?
- (途中の変化が準静的だろうが準静的でなかろうが、始状態と終状態が決まればエントロピー変化は常に計算可能ですが、その変化中にできる仕事と出入りする熱は途中経過によって変わるということになると思います。) -- なかね?
- 途中で投稿してしまいましたが、上記の文章はp.188の†26に書いてある通り、途中の微小変化量そのものは平衡状態ではないので定義できない、ということに加えて、始状態と終状態さえわかればdSは計算できる（なぜなら（9.35）にある通り、dSは全微分として表せるから）ということですね。準静的でない操作ではTもSも定義できないので微小変化量をTとSで表すことは出来ないが、始状態と終状態さえ決まってしまえばトータルの変化量から微小変化量を定義できる、それができるのはSが状態量だから、というところがようやくつながりました。 -- なかね?
- すみません、上記のdSは計算できる（なぜなら（9.35）にある通り、dSは全微分として表せるから）というところは準静的な場合の話で、分かるのは微小変化量ではなく全変化量であるΔSですね。間違えました。 -- なかね?
- ちょっと気になるんですが、温度Tは示強変数で示量変数じゃないので「１Kあたり」のような割り算は意味がないです。「1Kあたりの熱量」という考え方はしないほうがいいです。 -- 前野?
- dSが全微分になるようにつけた係数が${1\over T}$だった、というのは正しいのですが。$S$が決まる前にはFの変化は等温操作でしか定義されてません。断熱操作を含む一般操作に対してdFを定義したいとき、$S={U-F\over T}$のように温度で割った量なら状態量にできる、というのが大事なポイントです。ですから「UとFが不完全にしか定義できてなかった」のは「Sがまだなかったから」という考え方はそういう意味では正しいです。 -- 前野?
- ご回答頂きありがとうございます。1Kあたりの熱量という考え方をしないほうがいいということは、単に熱量を温度で除算したものがflowしているんだな、熱そのものではないけど熱のようなものがflowしてstockされるのがSなんだな、くらいに思っておけば良くて、重要なのはSを使って熱の移動を表現できること、SによってUとFを完全に定義できることだと考えておけばいいでしょうか。エントロピーはエネルギーと同様にあくまで自然現象を数式として表現するための道具としての概念であって、エネルギーがある仕事をするだけの能力を表現できるのに対し、エントロピーは熱の移動を表現できる概念だよ、くらいのことで、例えば定積熱容量のように、体積を変えずに物質1molを1K温度を上げるのに必要な熱量、というような、具体的な意味を示しているものでは無くて、それを知るための道具がエントロピーだ、と考えれば良いでしょうか。 -- なかね?
- エントロピーを使えば熱の移動によって接触している系の温度が等しくなるように変化することを簡単に表現出来るので、温度と熱の関係性を示す何かがエントロピーなのだ、ということは分かっても、その関係性を具体的に日本語として上手く言語化できずにエントロピーと呼ぶしかない、というのが私のモヤモヤの原因ですが、エネルギーは単に慣れ親しんだ概念だから受け入れられているだけで、この概念を使えばこういう表現ができる、という理解で良いのなら、エントロピーは熱の移動を表現できる概念だ、と理解すれば良いのではないかと思えてきました。 -- なかね?
p353 問9-11の回答B.108について †
なかね? (2025-04-08 (火) 13:09:23)
ご無沙汰しております。
表題の件ですが、B.108の式のうち、$T1/T2$は$T2/T1$ではないでしょうか。
- すいません、おっしゃるとおり、逆でした。 -- 前野?
ヘルムホルツの自由エネルギー †
としお? (2025-02-16 (日) 04:20:21)
超高温の時を除いて負になることはありますか。負になるということはU<TSなので負になると言うことの意味が分かりません。
- ヘルムホルツに限らずエネルギーの原点のシフトは自由なので、負になっても驚く必要はありません。物理的に意味があるのはエネルギーの変化量です。 -- 前野?
- ありがとうございます。U<TSつまりCv＜Sもありうるということでしょうか、それともヘルムホルツ自由エネルギー、内部エネルギー、エントロピーの原点を合わせれば負にはならないということでしょうか。束縛エネルギーが内部エネルギーを上回るという事態が理解できないので。 -- としお?
- 何を心配してるのかよくわからないのですが、上にも書いた通り、UだろうがFだろうが、FとF＋定数で物理は変らないので正でなくてはいけない理由は何も有りません -- 前野?
- 例えば、理想期待の内部エネルギーを${3\over2}nRT+A$($A$は絶対値のとっても大きい負の数）としたらなにかこまるかというと、何にも困りません（こうやってもモル比熱が${3\over2}R$なのは変わらないし）。というわけで、いったい何をどう心配しているんでしょうか？ -- 前野?
- 再度ので返事ありがとうございます。あくまでΔF=ΔUーTΔS（等温過程）であって、F=U-TSではないということでしょうか。第一法則もΔU =ΔQーΔWだからですね。 -- としお?
- F=U-TSはいいですよ。F=U-TS＋（定数）でも物理は変わりません。 -- 前野?
- また、F=U-TSのままであっても、そのFが負であってはいけない理由はなんにも無いのです。 -- 前野?
- 何かGIVEUPです。お世話をおかけしました。 -- としお?
- F=U-STが負ならばU<ST・・（１）U=CvT・・（２）（２）を（１）に代入CvT＜ST・・（３）Tで割るCv<S・・（４）は正しいですか。（３）は束縛エネルギーが内部エネルギーを超えていることになりますが物理的にOKですか？ （４）は熱容量をエントロピーが上回るとはどういうことなんでしょう熱容量をコップとしたら、エントロピーがそれより大きいコップになり、最初のコップに入らないと思います -- としお?
- すいません何を心配しておられるのかが具体的にわかりません。Cv<Sだと何が困ります？ -- 前野?
- コップの下り、この系がUより大きい仕事ができるという心配でしょうか？ それでしたら１２８ページのFAQにも書いてますがFは熱浴の持つエネルギーも含めた量です。 -- 前野?
- 本を見てやっとわかりました。全系で考えるのですね。コップの水は仕事としてどんどん環境に戻すということか、1リットルのバケツでも何回も使えば何リットルでも運べるということですね。大変ありがとうございました。熱力学ってなんか独特の難しさがあります。 -- としお?
- 本を見てやっとわかりました。全系で考えるのですね。コップの水は仕事としてどんどん環境に戻すということか、1リットルのバケツでも何回も使えば何リットルでも運べるということですね。大変ありがとうございました。熱力学ってなんか独特の難しさがあります。 -- としお?
電磁気学、量子力学とう †
堀田良憲? (2025-01-27 (月) 09:35:18)
なぜ修正箇所が膨大なのでしょうか。事前の確認を怠っていたのか、単純な編集上のミス、または両方。ひどすぎぎます、膨大な作業を掛けて修正シュル必要があります。著者におつたえください
- 著者です（このサポートページは出版社ではなく、著者本人が運営してます）。事前の確認は複数名のボランティア査読者にお願いして、かなりやりました。それでもミスがなくならなかったのはエラーを根絶するのは非常に難しいということだと思います。たくさんのエラーが残ってしまったことは、申し訳ないと思っています。 -- 前野?
解決 †
としお? (2025-01-11 (土) 02:31:42)
CopilotとGeminiに交互に聞いて、最後には相互にコピペしてディベートさせた結果、私が質問した最初のCopilotの回答が間違っていたことがわかりCopilotも修正しました！結論は同時であり、因果関係もどちらも成り立つことがわかりました。お騒がせしました。
無題 †
としお? (2025-01-11 (土) 01:05:14)
【続報】Genimiに聞いたところ同時という答えが返ってきました！
flowとしての熱と仕事 †
としお? (2025-01-01 (水) 19:21:30)
熱と仕事は経路によって変化するということですが、可逆過程でも経路によって変化しますか。
- 可逆なら準静的で、仕事と熱は確定しますね。 -- 前野?
- p.2のStockとFlowの例に関してですが、お金は借金可能とすれば、系に入るFlowが先でも、系から出るFrowが先でもよいと思います。熱と仕事の場合は、Co-pilotによると、系に入るFrowが先で、系から出るFrowが後だと聞きました。（カルノーサイクルの等温膨張では熱の流入が仕事に変換される、等温収縮では外からの仕事が廃熱を促す) これは本当でしょうか。またCo-pilotはその理由のひとつとして熱力学第1法則をあげましたが、そうだとすると熱力学第1法則は時間に対して非対称なのでしょうか。平衡状態を扱う熱力学を超えた？質問かもしれませんがご容赦下さい。 -- としお?
- どうも質問の意味が理解できないのですが、「Flowが先」とか「同時」という言葉からして、誤解しているのではないかと思います。stockとflowの関係は「時刻Aでのstock」がまずあって「時刻Aから時刻Bまでの間のflow（出るだろうが入るだろうが）」によって変化した結果、「時刻Bでのstock」になる、というものです。出るが先とか入るが後とかはもちろんなく「同時」と限定されるものでもありません。 -- 前野?
- カルノーサイクルの仕事はサイクルの面積なので経路に依存しますね -- としお?
- 言葉足らずで申し訳ありません。FlowとStockの後先ではなく。カルノーサイクルのA点（等温膨張過程の始点）とC点（等温収縮過程の始点）それぞれで、熱と仕事というFlow同士のどっちが先か、どっちが原因かという話でした。 -- としお?
- ああすいません、なんとなく「始状態と終状態と固定して、操作（断熱とか等温とか）も固定しての話」と思って答えてしまいましたが、あるところは断熱、あるところは等温のように操作を変えます、という話なら（カルノーサイクルはこうですね）、そりゃ経路に依存します。 -- 前野?
- なお、どっちが先かというのはあまり意味のない質問であるのは上に書いた通りです。たとえば等温操作なら同時に起きたいと等温保てないですね（準静的でなくなる）。 -- 前野?
- なお、Flowは「状態A→状態B」の途中について定義されるものなので「点」に対するflowはないです。「この等温操作の間のflow」ということになります。等温準静的操作の話をしているなら、どっちも一緒に起こってないと「準静的」になりません。 -- 前野?
- ありがとうございました。AIもまだまだですね。（壁打ちの効果はありますが -- としお?
カルノーサイクルの章について †
たにもと? (2024-11-21 (木) 20:13:48)
お世話になっております。
第8章のp150ページのCarnotサイクルの図に描かれている放出される熱Qoutについて、なぜこれが吸収ではなくて放出される熱なのかが分かりません。
理想気体では、Q=Wで収縮時の仕事は負だから、もらった熱量も負つまり熱を放出するというのは分かるのですが、内部エネルギーを完全に無視出来ない時にはどのように考えたらよいでしょうか？
- まずこの段階では$Q_{\rm out}$は正とも負とも決めてませんので、もし吸収するのだったら$Q_{\rm out}<0$となるということになると思います。 -- 前野?
- サイクル一周で正の仕事をしていて、サイクルを回ったということは内部エネルギーは元に戻っているので、吸収した熱量のトータルは正であること（$Q_{\rm out}-Q_{\rm in}>0$）はすぐわかります。$Q_{\rm out}<0$だと$Q_{\rm in}$も負で、しかも大きな絶対値を持たないとだめですね￥。 -- 前野?
- さらに考察が進むとCarnotの定理から$Q_{\rm out}$と$Q_{\rm in}$は同符号でないとまずいということになるので、$Q_{\rm out}$が負になる可能性は消えます。 -- 前野?
- ２つ目の文章で、 -- たにもと?
- ２つ目の文章で、Qout-Qinを吸収した熱量と書いているのは何故ですか？ -- たにもと?
- あ、すいません、引き算が逆です。 -- 前野?
- というわけで、上の説明は間違ってますね。Carnotの定理から$Q_{\rm in}$と$Q_{\rm out}$が同符号なのは正しいです。 -- 前野?
- Carnotの定理からもう一つ、$Q_{\rm out}$の絶対値は$Q_{\rm in}$の絶対値より小さいこともわかるので、両方正であることがわかります。 -- 前野?
- Carnotの定理(後半)が大事だったのですね。よく分かりました。丁寧なご説明ありがとうございます。 -- たにもと?
P127~128 F[T; V, N]について †
なかね? (2024-10-04 (金) 13:05:35)
お世話になっております。
P128の式$(6.9)$において、右辺第一項の$-NRTlog(V/N)$のうち、$NRTlogN$に相当する項は、式$(6.7)$のVに依らない部分からやってきたものと考えていいでしょうか。
- はいそうです。Vによらない部分をそう選んだということです。 -- 前野?
- わかりました。ご回答ありがとうございます。 -- なかね?
Planckの原理と断熱操作の不可逆性について †
なかね? (2024-09-23 (月) 13:28:12)
お世話になっております。
第5章から非常に難しく、理解度を確認するためにも、Planckの原理について質問させてください。
P.115には実現できる断熱操作についてのグラフがありますが、このグラフと解説をまとめると、「断熱操作において、系がする仕事が最大になるのは準静的操作(つまり、常に平衡状態を保って示量変数を変化させる動作)を行ったときである」「例えば点Pから点Cの体積にする場合、準静的動作を行うと温度は実現できる最低の温度になり、準静的でない動作を行った場合は準静的動作を行った場合よりも必ず温度が高くなる=系のする仕事の絶対値は小さくなる」ということだと理解しました。つまり、P77 4.1.3で言及されていた等温操作で成り立つ最大仕事が断熱操作でも成り立つということであり、そのため、最大仕事である準静的動作を行った場合の断熱線を越えて温度を下げる操作は不可能=温度が下がるだけの状態変化で仕事を取り出す機関を実現することは不可能であると理解したのですが、このような理解で問題ないでしょうか。
- 同じ体積変化をP→（Cと同じ体積）を比較しているのでしたら、準静的操作のときが最低温度になるのはそのとおりです。 -- 前野?
- p77の4.1.3で話している操作は周りの熱浴と接触しているときの話なので、その仕事は断熱操作で考えた仕事とは一致しません。なので「最大仕事が断熱操作でも成り立つ」というのは違います。 -- 前野?
- ご回答いただきありがとうございます。「最大仕事が断熱操作でも成り立つ」というのは違う、というのは、断熱操作においては準静的動作を行ったときの仕事が最大になるとは限らないということでしょうか。それとも、最大仕事という用語は等温操作の場合に用いた言葉であって、断熱操作には用いない、ということでしょうか。 -- なかね?
- ご回答いただきありがとうございます。「最大仕事が断熱操作でも成り立つ」というのは違う、というのは、断熱操作においては準静的動作を行ったときの仕事が最大になるとは限らないということでしょうか。それとも、最大仕事という用語は等温操作の場合に用いた言葉であって、断熱操作には用いない、ということでしょうか。 -- なかね?
- 間違えて二重投稿になってしまいました、申し訳ないです。 -- なかね?
- はい、「最大仕事」というのは等温操作のときの用語なので、それ以外のときに使うのはよくないという意味です。 -- 前野?
- わかりました。ご回答ありがとうございました。 -- なかね?
二点 †
物理のヒヨコ? (2024-09-05 (木) 06:53:30)
お早うございます、お世話になります。
P.368の式（B.216）で、一番上の式の右辺第一項は∫［x₀,x₀+⊿x］P…
ですか？ また、末尾に U（x₀,y₀）の項が付け加えられるのでしょうか？
P.319の上から四行目の「微係数」は「微分係数」のことでしょうか？
- おっしゃるとおり（B.２１６）の第１項の積分の上限は$x_1$じゃなく$x_0+\Delta x$です。$U(x_0,y_0)$の項も必要です。 -- 前野?
- 「微係数」は「微分係数」のことです。 -- 前野?
p67 脚注†64について †
なかね? (2024-08-27 (火) 08:13:37)
お世話になります。
p67の脚注†63中の「dt間に発生するJoule熱」についている脚注†64についての記載が全くないのですが、これはどういった内容になりますでしょうか。
なお、所有しているのは第一版になります。
サポートページにも記載がありませんので質問させて頂きました。
ご回答いただければ幸いです。
- すいません、手違いで脚注が迷子になってました。「James Prescott Jouleはイギリスの物理学者。日本語読みは「ジュール」。Joule熱もそうだが熱と仕事の変換についても仕事をしている。SIのエネルギーの単位 J の由来となっている。」という内容の脚注（脚注の脚注）がつくはずでした。 -- 前野?
- ご回答頂きありがとうございました。また質問させて頂きますのでよろしくお願いいたします。 -- なかね?
物理のヒヨコ †
微分積分学の基本定理? (2024-08-22 (木) 04:40:22)
お早うございます、お世話になります。
P.367の式(B.210) U(x₁,y₁)/dy₁ = ∂/∂y₁(∫[y₀,y₁]Q(x₁,y)dy) で、
微分積分学の基本定理 d/dx(∫[a,x]f(t)dt) = f(x) ※ a は変数 t の一つの
数=定数（積分の開始点）、x は変数 t の任意の数=変数（積分区域） より、 y₀ は変数 y の一つの数=定数 で、y₁ は変数 y の任意の数=変数と見なせばよいのでしょうか？
つまり、P330の式(A.73) U(x₁,y₁) = ∫[x₀,x₁]P(x,y₀)dx + ∫[y₀,y₁]Q(x₁,y)dy + U(x₀,y₀) の x₀、y₀ は x や y の一つの数=定数で、
x₁、y₁ は x や y の任意の数=変数と見て良いのでしょうか？
- この式においては$y_1,y_2$ともに変化させていいものですが、偏微分${\partial \over\partial y_2}$を行うときは$y_1$は定数扱いとなります（これは偏微分のときは常にそうですね）。 -- 前野?
- A.73も同様で、$x_0,x_1,y_0,y_1$はすべて、「変化させていい数」という意味で変数です。どれを定数扱いするかは、自分が何を計算したいかによります。今考えたい積分可能条件の式では、$x_1,y_1$が変数で、$x_1$による偏微分を行うときには$y_1$も定数扱いします。 -- 前野?
- つまり、∂/∂y₁｛∫[y₀,y₁]Q（x₁,y）dy｝（B.210）の式に置いては（微分積分学の基本定理と同様に）y₀をyの一つの数として固定し、 -- 物理のヒヨコ?
- y₁をyの任意の数=変数＝変化する数として計算するという事ですか？（勿論、偏微分なのでxの方は固定して） -- 物理のヒヨコ?
- 上にも書いたとおりです。 -- 前野?
- ああ、y₁、y₂ は y₀、y₁ のことなんですね。回答有難うございました。 -- 物理のヒヨコ?
- ああ、上で書き間違いをして$y_1,y_2$を使って書いてますが、とにかく一個の変数だけを変えるという話です。 -- 前野?
- すいません、見逃していました。∂/∂y₁｛∫［y₀,y₁］Q（x₁,y）｝という式の、y₁による偏微分のカッコの中に（定）積分記号が入っていたので少し戸惑ったのですが、y₀をどんな数に固定して積分しても原始関数は定数Cだけしか違わないので（Q（の原始関数）+ C）、それをy₁で偏微分した時に（y₀をどんな数で固定してたとしても）結果が変わらない事に気づき自分なりに納得出来ました。有難うございます。 -- 物理のヒヨコ?
物理のヒヨコ †
動摩擦力? (2024-08-15 (木) 21:49:17)
今晩は、お世話になります。
P.16のピストンの話で分からなくなってしまったのですが、
ここで出て来る釣り合いの式は F - F' - f = 0 （全てベクトル）では
ないのですか？
あと、ピストがシリンダーの内壁（床）にする（動摩擦力による）仕事は
0 になるから、（指で押すことによる）仕事の損失は起きてないと考えて
良いのでしょうか？
- まず、働く力は$\vec F,-\vec F,\vec f$なのですから、つりあいはこの３つを足して０です（全部ベクトル）。 -- 前野?
- 動摩擦力は、シリンダーの内壁には仕事をしませんが（シリンダーは動いてないので）、この力の反作用にあたる力（こっちも動摩擦力）はピストンには負の仕事をします。 作用と反作用のする仕事が消し合えば仕事の損失はありませんが、そうなってないから仕事が損失してます。-- 前野?
- ピストンの図によると、F は右向きのベクトルで F' の反作用である -F' は左向きで f も左向きなので、F - F' - f = 0 つまり F = F' + f にならないのですか？ P.15の図でも、物体に働く左向きの動摩擦力は -f になっていますし。あと、「手が仕事 F・dx をしているのに気体は～仕事の損失が起きていると思ってしまう」という件は、だから仕事の損失は起きていないという意味ではなくて、「ピストンに対する動摩擦力の（負の）仕事によって仕事の損失が起きている」という意味ですか？ -- 物理のヒヨコ?
- ベクトルの$\vec F$や$\vec f$には向きも含めての意味があるので、左向きの$\vec f$と右向きの$\vec F$の足し算は$\vec F+\vec f$です。 -- 前野?
- （1,0）というベクトルと（-2,0)というベクトルの足し算は（-1,0）となるのと同じです。（-2,0）が逆向きだからと引いたら（3,0）になってしまいます。 -- 前野?
- なお、足すべきなのはピストンに働いている力三つなので、図でピストンに作用点のある三つの力、$\vec F,-\vec F',\vec f$となります。 -- 前野?
- 今仕事（というかエネルギーの流れ）は手→ピストン→気体となっているわけですが、「手のする仕事＞気体のする仕事」になっていることが「仕事の損失」です。摩擦がなければ「手のする仕事＝気体のされる仕事」になってます。 -- 前野?
- すいません、しつこい様ですが💦お答えいただいた様に、ベクトルは向きも含む量なのだからとも思ったのですが、それでは、なぜP.15の図の物体に働く（左向きの）動摩擦力には－fとマイナス記号が付いているのでしょうか？物体に働く動摩擦力をピストンに働く動摩擦力と置き換えれば、ピストンの図の方も－fになるのでは？そこが気になって他の意味が有るのじゃないかと考え続けていました（ベクトルだから－を付けても付けなくても良いとは思いますが...）。それと、シリンダーの内壁（床）がピストンにする（動摩擦力による負の）仕事によって手のする仕事に損失が起こるとも考えていたのですが、そうすると、手のする仕事が動摩擦力によって損失するので「手のする仕事＞気体のされる仕事」になるとも解釈できるので、「手が仕事 F・dx をしているのに気体はF’・dxしか仕事をされないので、｛動摩擦力による（※こうとも読み取れる）｝損失が起きていると『思ってしまう』」という説明と食い違ってしまうので、自分が思い違いをしていると再考し続けてもいました。 -- 物理のヒヨコ?
- p15の図は、「床に働く動摩擦力」の方を$\vec f$にしたので「物体に働く動摩擦力」（その反作用）は$-\vec f$にしてます。もちろん、逆（床の方を$-\vec f$、物体の方を$\vec f$）にしても物理的内容は変わりません。 -- 前野?
- 「損失が起こっていると思ってしまう」のは「手のする仕事＞気体のされる仕事」の結果なので、動摩擦により損失したと考えてもそれでいいです。 -- 前野?
- なるほど。マイナス記号には反対向きと言う意味しかないのですね（例えば、X軸から30度の方向にある力 （作用）f の反作用 -f （210度）みたいな。あと、考えてみたら 手 ➡ ピストン ➡ 気体 と言うエネルギーのフローなら、ピストンで（摩擦熱として）散逸しているのが分かりますが、ピストンを抜かして 手 ➡ 気体 のフローだけを見ると、例えばシリンダーが断熱ではなくて熱が外に逃げたから F・dx から F'・dx に仕事がロスして減ったとか思うかもしれまんせよね（違うかな😅）。しかし・・物理ってムズイですよね。理解していると思っていても全然理解できてないし、あちこちに落とし穴があるし😖。お答え有難うございました。 -- 物理のヒヨコ?
エンタルピーの統計力学的な定義 †
山崎? (2024-04-14 (日) 17:31:20)
エンタルピーの統計力学的な定義はあるのでしょうか。ヘルムホルツの自由エネルギーやギブスの自由エネルギーの統計力学的な定義は拝見したことがあるのですが、エンタルピーに関しては調べても見つかりませんでした。平衡状態を統計力学的に扱い、エンタルピーの熱力学的関係式H=U+PVは導けるのでしょうか。
- ここは熱力学の本のサポートページなので細かい話はやめますが、統計力学でもUを求めることはできるしPVを求めることはできるので足せば出るということになります。「H=U+PV」を導きたいというのはどういう意味でしょう？？（これが導かれるとすると、これではない「エンタルピーの定義」があってそれから導かれることになりますが、どういう「定義」からなのか、私にはわかりません。 -- 前野?
P.34 から始まるLegendre変換の説明について †
Ke? (2024-04-01 (月) 00:47:30)
Legendre変換の意義は理解したと感じているのですが、その性質？がよくわからないので質問させていただきます。
①$\tilde{f}$が一つに決まらないと例えばどのような不都合が起こるのでしょうか？（次の質問と関係してる？）
②P.39,40でLegendre変換を二回施すと元に戻るという記述がありますが、この"元に戻る"というのはどのような関数でも大丈夫なのでしょうか？
（例えば、対象の関数に微分不可能な点があるとき、傾き$p_{x}$の直線が、対象の関数の二重接線であるとき、対象の関数が上に凸のとき、下に凸のときなどは元の戻るのか）
また、Legendre変換について参考になる文献をご存じでしたらご教授お願いいたします。
- ①の$\tilde{f}$はP. -- Ke?
- ①の$\tilde{f}$はP.39,40にあるようなLegendre変換後の関数です。 -- Ke?
- 一つに決まらないと言われると、今考えているのは物理的状態量なんだから「一つの状態に対して二つの状態量がある」ってのはもうそれ自体困った状態です。元に戻るかどうかですが、戻らない場合もあって、凸な関数でないと駄目です。 -- 前野?
- 文献・・・そうですねぇ、古い本だとクーラン／ヒルベルトの「数理物理学の方法」か、キャレンの「熱力学および統計力学入門」、新しいのだと田崎さんか清水さんの熱力学あたりでしょうか。数学の本より熱力学関係の本の方が理解しやすいかと思います。 -- 前野?
- あと自分の本で言うと「よくわかる解析力学」の付録の部分でも説明していて、同じ内容が同書サポートページのhttp://irobutsu.a.la9.jp/mybook/ykwkrAM/sim/LegendreTR.htmlにあります。 -- 前野?
- 返信ありがとうございました。 -- Ke?
- すみませんもう一つ質問があるのですが、P.41の下の図で、傾き $p_{x}$ の直線が対象の関数の二重接線の場合、その二つの接点の間の情報が変換後の関数に反映されないのはなぜですか？ -- Ke?
- だって接線が一度もこの部分（図だと破線）には接しないでしょ？ この破線の形がちょっと違ってとしても、Legendre変換の結果は一緒になっちゃいます（なんなら図を描いて納得してください）。 -- 前野?
p.147 等温環境について †
田中? (2024-01-04 (木) 17:09:25)
p.147で「サイクルは等温環境の中で動かせるから」とありますが、等温環境の定義では常に環境温度と系の温度が等しい必要は無く、熱浴が存在した上で、始状態と終状態で系の温度と環境温度が等しければ良いということでしょうか。（そもそも準静的でない場合は系の温度が定義できなさそうですが）
- そして、断熱準静的操作をしている間、示量変数Vが変動しているので、系の温度と環境温度が一致しなくても要請3との矛盾は生じないという認識で良いですか？ -- 田中?
- 等温環境では始状態と終状態では環境の温度と系の温度が等しいが、途中については何も言えないのは、その通りです。 -- 前野?
- このページの動きは準静的ですが「断熱準静的」の方は周りの環境との接続を切ってから準静的に動かすということをしています（断熱線に沿って動かすというのはそういうことです）。Vが変化するかというより、等温環境の中で断熱材に囲まれた場所だから途中の温度は変化してもいいわけです。 -- 前野?
- 系内に断熱材で囲まれた場所を作っていることで、もはや単純系ではなく、要請3に引っかかることもないということでしょうか。 -- 田中?
- はい、断熱壁で取り囲んだ領域があって分断されていると単純系ではないです。 -- 前野?
- ありがとうございます。お時間がありましたらこの質問より前に送ったp.146についての質問にも答えて頂けると嬉しいです。 -- 田中?
p.146 断熱線と等温線の交点 †
田中? (2024-01-04 (木) 16:32:21)
p.146で「ここで、断熱準静的操作によって温度を任意の温度に調整することが必ずできる。」とありますが、これは本書での要請の内どれから示されるのでしょうか。
- 膨張により必ず温度は下げられるとは思うんですが、０じゃない正の値に漸近する可能性はなんで排除できるかというと、この段階ではまだ言えないかもしれないです。ちょっと考えますが、とりあえずはここは「できると考えて次へ進む」と思ってください。これができなくてある等温線とある断熱線が一回も交わらないなんてことがあると、後で作るカルノー・サイクルを閉じさせられない可能性が出てくるので、どこかでまずいことが起きます。 -- 前野?
- 分かりました。ありがとうございます。 -- 田中?
演習問題の式変形 †
田中? (2023-12-30 (土) 15:55:21)
演習問題2-4の解答において、(dx/dt)*dv=(dv/dt)*dxとしていますが、なぜdtの作用する相手を変えることができるのでしょうか。
- dtの作用する相手を変えているのではなく、単に分数の分母を変えているだけです。${a\over x}b=a{b\over x}$と同じ計算です。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- 田中?
新しい刷が出たのでしょうか †
(2023-07-22 (土) 22:11:16)
失礼します。サポートページで、”ここより下のミスは第2刷で訂正されました”というのが２ヶ所ありますが、上の方は第3刷での訂正でしょうか。
（実は第3刷の発行を待ち望んでいました。）
あと、掲示板違いで恐縮ですが、よくわかる量子力学も第11刷が出ていて、最近の誤植訂正が反映されているようです。よろしくお願いします。
- すいません、たしかに第３刷の間違いです。 -- 前野?
p330 十分条件の証明について †
メッシ? (2023-01-20 (金) 15:26:52)
p330の十分条件の証明についてですか、議論の流れがよくわかりません。問A-5も計算を追いかけることは出来たのですが、なぜこれで十分条件が証明されるのかよくわからないです。
証明の全体の議論の流れと、問A-5の各小問が何を意味しているのか教えてください。
よろしくお願いいたします。
- 十分条件で証明したいことは「Uが存在すること」なので、(A.73)と(A.74)でUを実際に作っている（しかもこの２つの式は同じ結果で矛盾しない）ので「ほら、できたでしょ」というわけで十分条件が証明されたわけです。 -- 前野?
- 問いA-5の(1)は、(A.73)と(A.74)からdUを作ったらPdx+Qdyに戻ることを確認してます。 -- 前野?
- しかし、もし計算してみて(A.73)と(A.74)が一致してなかったら「Uが求められてないじゃん！」という悲しい結果になるので、そうではないことを確認しているのが(2)と(3)です。 -- 前野?
p328 ヤコビアンについて †
メッシ? (2023-01-19 (木) 20:46:10)
(A.62)の下1行目の、「(x,y)→(f,g)という変換と〜」の説明が理解できません。(x,y)→(f,g)という変換というのは、(A.62)の右辺のことを指しているのですか？ (A.62)右辺は(f,g)→(x,y)の変換を意味するような気がするのですが...。
- $f(x,y),g(x,y)$のように、新しい変数f,gを古い変数x,yで表すことを「(x,y)→(f,g)という変換」と呼んでます。 -- 前野?
- f,gがX,Yの関数でX,Yがx,yの関数になっているのは「(x,y)→(X,Y)→(f,g)という変換になります。 -- 前野?
- ありがとうございました！ -- メッシ?
p14について †
メッシ? (2023-01-16 (月) 16:48:06)
もう一つ質問させてください。
p14に関してですが、右上のイラストの操作において、「物体と重力場を含めた系」が-mghの仕事をしたということですよね。このとき、この系に仕事をされたものは「手とヒモをあわせた系」という解釈でよろしいですか？
この解釈が正しいとして、手とヒモはエネルギーがーmghだけ変化していることになりますが、筋肉の化学エネルギーがmgh減ったということですか？
- 手とひものエネルギーの減少は、もちろん筋肉の化学エネルギーということです。 -- 前野?
- 二つとも納得できました。ありがとうございました。 -- メッシ?
p16 仕事をロスする例について †
メッシ? (2023-01-16 (月) 16:25:00)
動摩擦力が働く例で、手が仕事Fdxをしているのに気体はF'dx'しか仕事をされないから、仕事の損失が起きていると「思ってしまう」と書いてあるところに関して質問です。
思ってしまう、というのはどういう意味でしょうか？実際に仕事のロスは起きていますよね？つまりピストンに関する釣り合いの式を用いて考えれば、F=F'-f'だから、手がした仕事と気体がされた仕事には
-f'dxの差があり、これが摩擦熱となってロスしているという解釈で合ってますか？
まとめるとお聞きしたいことは以下の2点です。よろしくお願いいたします。
なぜ「思ってしまう」と表現したのかについて。
上の解釈で合っているか。
- 「思ってしまう」と書いている理由は、その上に「ピストンを見ず判断すると」とあるからで、ピストンを見ない人（不注意な人です）からしたら「ピストンのところで摩擦がある」とか「摩擦熱が発生している」とかが見えないので「摩擦熱となってロスしている」ということがわからないということです。もちろん、見えている人は摩擦熱でロスしたと判断すればよいことです。 -- 前野?
p287 混合気体の沸騰について †
クリロナ? (2022-12-21 (水) 20:51:07)
p287の後半が理解できません。具体的には、p287の下から4行目の「大きいから、」の次からが分かりません。なぜTがTvより小さいと、G気>G液 なのでしょうか？
- エントロピーは${\partial G\over\partial T}=-S$という式でGの傾きと関係してます。Sが大きいということは「Tが減ったときつまり温度が下がったときのGの増える割合が大きい（あるいは、温度が上がったときのGの減る割合が大きい）ということです。 -- 前野?
- グラフでも描いてみると納得できると思います（Sが大きい気体の方が急激な傾きでGが変化する）。 -- 前野?
- 理解できました。ありがとうございます。 -- クリロナ?
p284 総体積が一定 について †
メッシ? (2022-12-19 (月) 11:21:25)
質問させてください。p284の下から4行目に、総体積が一定、と書いてありますが、そこが理解できません。例えば、NLが減って、その分NGが増えたら、総体積Vは大きくなるのではないのでしょうか？(p271の図のように)
初歩的なことかと思いますが、よろしくお願いいたします。
- なぜ三重点の場合、総体積が一体になるのでしょうか？ -- メッシ?
- $N_G,N_L,N_S$が変化できるので、$N_L$の変化に応じて$N_G,N_S$が「総体積が変化しないように」変化するということが起こりえます（三重点なので、気体・液体・固体が適当な割合で存在できる）。 -- 前野?
- お返事ありがとうございます。多分理解できました。もう一つ確認させてください。最後の行で要請1の例外に関する話がありますが、今の話における要請1の｛V｝,｛N｝に対応するのは、総体積Vと総物質量Nですよね？｛N}は｛NG,NL,NS｝ではありませんよね？ -- メッシ?
- あと、p287の7行目ですが、窒素ではなく酸素の物質量分率ではありませんか？ -- メッシ?
- 要請で考えている{V},{N}というのは外から操作できる変数ですね。人間は$N_G$などを個々に操作できないので、こちらは要請における{N}には入りません。 -- 前野?
- p287の「窒素」はおっしゃるとおり、「酸素」です。 -- 前野?
- お忙しいところありがとうございました！ -- メッシ?
ポアソンの関係式における比熱比について †
物理難民? (2022-07-28 (木) 15:31:39)
p107において、ポアソンの関係式の乗数である比熱比 γ＝1＋（1/c）は『断熱』の条件下で導出されています。一方、p253,254において、定圧比熱 Cp＝（c＋1）R は『定圧』の条件下で導出されています。そこで、質問です。p107のポアソンの式の比熱比γをp254の比熱比γ＝Cp / Cvと書き、使える前提条件の異なる関係式を混ぜて使えるのはなぜでしょうか？『断熱』変化のポアソンの関係式には『定圧』の条件が無いので、『定圧』変化の条件下でしか成り立たない定圧比熱 Cp＝（c＋1）Rを代入して使うことはできないのではないでしょうか？
- 定圧の条件下で$C_P$がこれこれであると、大きさを求めることができます。断熱という条件化でポアッソンの関係式はこれこれである、とγの大きさを求めることができます。二つの（定積の条件で$C_V$を求めるということも含めれば三つの）別々の現象で求めた量の間に関係がついている、ということです。違う現象であってもそれぞれで使われる物理量の間には関係があるということですね。 -- 前野?
- お忙しい中ご返答感謝致します。納得がゆかないので、時間をかけてご返答の意味をじっくり考えてみます。頭が悪くてすみません。 -- 物理難民?
p70上の「気体の温度が下がる」との記載について †
梅園? (2022-05-05 (木) 12:50:21)
p70における、
ピストンを急に引いたときには温度や圧力は全体が一斉に変化するのではなく、ピストンに近い部分でまず「気体が膨張する」「気体の温度が下がる」という変化が起こる。
との記載についての質問です。
「気体の温度が下がる」については、自明なこととは思えませんでした。（ピストン急に引いたので、「気体が膨張する」ことは自明だと思いました。）
「気体の温度が下がる」ことは、経験上明らかである、ということなのでしょうか。
少なくとも理想気体では、必ずしも温度Tが下がるとは限らないと考えました。（PV=nRTのうち、nが減少・Pが減少・Vが増加する）
- 通常の気体（理想気体を含む）では確実に温度が下がります。それは「気体が膨張する」ということは「気体が正の仕事をしている→気体の内部エネルギーが下がる」ということだからです。 -- 前野?
- 準静的な操作なら、周りの熱浴から熱の形でエネルギーが補給されるので、温度は下がらずに済みますが、「急に引く」という操作では仕事をするためのエネルギーは気体が自前で用意しなくてはいけないわけです。 -- 前野?
- わかりました。ありがとうございました。 -- 梅園?
p92 結果2について †
齋藤? (2022-01-29 (土) 13:55:11)
結果2の証明での｢T''は始状態と{V'}を決めれば一つに決まる｣がp92までの記述だけでは納得できなかったのですが、ここはp114の結果7｢断熱線は同じ示量変数を二回通過しない｣を先取りしているという理解でよろしいですか？
- ああ、ちょっと説明足りないですね。この結果２では「どんな断熱準静的操作をしてもT’’が一つに決まる」ことは必要なくて、最初の{T;V,N}と最後の{V',N}をつなぐ【一つの】準静的操作があって、その準静的操作をしたときの結果の温度T’’が一つに決まることしか使ってません（が、たしかにこの書き方だとわかんないですね）。p114の方はその【一つの】断熱準静的操作の他に到着温度が違う、別の準静的操作があったりはしない、ということを言ってます。 -- 前野?
- つまり、p92の結果２の下３行めの「断熱準静的操作で」は「ある一つの断熱準静的操作で」です。 -- 前野?
- その後の「T’’は始状態と〜」は「T''はこの断熱準静的操作のやり方と始状態と〜」 -- 前野?
- この段階ではまだ、この「ある一つの」以外の断熱準静的操作があるかどうかは考えてないわけですが、示量変数が同じで温度が違う状態に到着する「別の断熱準静的操作」がない、ということが判明するのが結果７だということになります。 -- 前野?
- よく理解できました。丁寧に解説していただきありがとうございます。 -- 齋藤?
p.98 の記述について †
秋? (2022-01-15 (土) 19:18:48)
p.84 に書かれている「結果 1」では断熱操作 (T; V, N) → (T'; V, N) を行うと系は「0 以下」の仕事をすると書かれていますが、p.98 ではそれが「負」の仕事をするというふうに引用されていて、逆の操作を行うと正になってしまい矛盾、という展開になっているようにお見受けします。
ここには飛躍があるように思えるのですが、どのように考えれば良いでしょうか。
(p.84 の「結果 1」の下にある「仕事が 0 になるのは断熱準静的操作のときに限る(つまり、実際問題としては実現しない)。」はこの段階では示されておらず天下り的に降ってきた知識で、本で述べられている論理展開とは独立した内容だと考えていますが、その解釈で正しいでしょうか。)
- すいません、これは確かにロジックに抜けがありますね。結果１で仕事が０になる場合は、「仕事なしでV,Nを変えずに温度が変更できる」という状況なので、比熱が０の物質がある、と認めたことになります。ですから「結果１の下」では「断熱準静的操作のときに限る」より先に「比熱が０であるような物質がある場合に限る」ということを書くべきでした。比熱が負の物質があると要請を考え直さなくてはいけない、ということは少し先に書きましたが、比熱が０の場合は今のところ要請の範囲内なので、別に考えなくてはいけません（ただ、存在し難い物質なので考えずに省いてしまう方が物理的にはいいかも）。 -- 前野?
- というわけで、仕事が０になるケースを考えてないのは「比熱が０の系はないものとして考えている」（著者である私がうっかりと暗黙のうちにそうだと思ってしまった）ということなります。要請などをどう修正するかは考えますが、とりあえずそういう抜けがあるというのはご指摘の通りです。すみません。 -- 前野?
- 了解しました。ありがとうございます。 -- 秋?
これより古いものは以下に移動しました。
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