「よくわかる熱力学」(東京図書)サポート掲示板

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等温環境で準静的でない操作をした場合の系の圧力・温度について

梅園? (2021-09-08 (水) 19:12:03)

p77では、準静的でない膨張を行なった場合、[温度が下がるので圧力が下がり、]という表記でした。(p70では、[ピストンに近い部分で「気体が膨張する」「気体の温度が下がる」という変化が起こる]、との表記でした。)。この点について、質問があります。

準静的な膨張に比べて、準静的でない膨張それ自体が直接に影響を与えるのは温度の低下のみ、ということではなくて、準静的でない膨張それ自体により、圧力の低下・温度の低下が同時に起こる(そうなるのは準静的な操作に比べて、ピストンに近い部分の単位体積あたりの物質量が少なくなるからだと理解しました。)、との理解であっていますでしょうか。

  • もちろん、同時に起きますよ。 -- 前野? 2021-09-08 (水) 20:19:59
  • 分かりました。確認ありがとうございました。 -- 梅園? 2021-09-08 (水) 20:31:55

p301の†22

草間? (2021-07-16 (金) 06:13:43)

(14.20)のμi(T,Pi)はGi[T,Pi,Ni]を微分したものなのでμi(T,Pi,Ni)になると考えましたが、(12.14)からμi(T,Pi)になると考えるのか、†22の内容と関係があるのか混乱しています。どうか宜しくお願い致します。

  • $G_i[T,P_i;N_i]$を$N_i$で微分したので$\mu_i(T,P_i;N_i)$になりそうですが、実は$G_i$は$N_i$の1次式なので微分すると$N_i$がなくなる、という結果が(14.20)の最後の式です。 -- 前野? 2021-07-16 (金) 06:26:47
  • (12.14)から、と考えてもいいですね。 -- 前野? 2021-07-16 (金) 06:29:59
  • †22は、(14.6)と見比べて「この式にはNが入ってない」と思った人のための注です。実は$P_i={N_i\over N}P$という形で考えると、このμは$T,P_i$の関数ともいえるが$T,P;N,N_i$の関数とも言えるわけです(後者の方が(14.6)と似た形になっている) -- 前野? 2021-07-16 (金) 06:34:17
  • 回答頂きありがとうございます。μi(T,P)は分かったのですが、(14.20)の両辺をNiで微分すると左辺がμi(T,P,{N})になりますが、右辺はPi=P(Ni/N)よりμi(T,Pi)+RT/Niになってしまうのですが、何を勘違いしているのかが分からなく。どうか宜しくお願い致します。 -- 草間? 2021-07-16 (金) 07:29:09
  • 回答頂きありがとうございます。μi(T,P)は分かったのですが、(14.20)の両辺をNiで微分すると左辺がμi(T,P,{N})になりますが、右辺はPi=P(Ni/N)よりμi(T,Pi)+RT/Niになってしまうのですが、何を勘違いしているのかが分からなく。どうか宜しくお願い致します。 -- 草間? 2021-07-16 (金) 07:29:18
  • 何を一定にして偏微分してますか?(左辺と右辺で一定にするものを統一しておかないと微分の結果は同じにならなくて当然です)。 -- 前野? 2021-07-16 (金) 07:35:53
  • 右辺はTとP、左辺はTを一定として微分しました。全圧Pはそもそも一定なので気にしていませんでしたが、これが原因でしょうか。 -- 草間? 2021-07-16 (金) 08:23:06
  • 一定にする変数を左辺と右辺で変えたら意味のない計算ですから、やり直すべきです。 -- 前野? 2021-07-16 (金) 08:33:02
  • Ni以外の{N}を固定してもNはNiと共に変化するので、dPi/dNi=P/Nとしたのが間違っていました。どうも失礼致しました。 -- 草間? 2021-07-16 (金) 09:32:33

p280の(13.13)

草間? (2021-07-11 (日) 06:07:16)

(13.13)が(11.14)と同様に導かれるならば、左辺はGG、右辺はGLの偏微分になるかと考えました。どうか宜しくお願い致します。

  • その下にある(13.14)がありますからどちらでも成り立ちます。ここでは全体のGに対する条件を求めてます。 -- 前野? 2021-07-11 (日) 07:20:25
  • 全体のGをNGで偏微分したものと、気相のGGをNGで偏微分したものは、ともにμGで等しいという事でしょうか。 -- 草間? 2021-07-11 (日) 11:34:54
  • そうです。 -- 前野? 2021-07-11 (日) 11:55:39
  • そのようになるのは、全体のGが気相のGGと液相のGLの和になる事からくると考えてよいのでしょうか。 -- 草間? 2021-07-11 (日) 12:55:58
  • 考えてもよいです。それは式をみてもわかると思います。 -- 前野? 2021-07-11 (日) 20:35:39
  • どうもありがとうございました。 -- 草間? 2021-07-12 (月) 12:23:34
  • どうもありがとうございました。 -- 草間? 2021-07-13 (火) 03:03:10

p235の(11.22)と(11.23)

草間? (2021-06-29 (火) 05:38:22)

(11.22)を(12.24)と同じ要領で変形してΔSを求めると、logの中身がN/NAとN/NBとなって(11.23)と一致しません。理由が分からなく、どうか宜しくお願い致します。

  • 「(12.24)と同じ要領」って、具体的にはどういう計算でしょう??? -- 前野? 2021-06-29 (火) 06:20:31
  • (11.22)から(11.21)を引いたものをΔFとすると(11.20)と同じ式になるというのがシンプルな引き算の結果で、それから(11.23)が出てます。 -- 前野? 2021-06-29 (火) 06:33:05
  • なお、最初の状態で密度が等しいことを仮定すると${N\over N_A}={V\over V_A}$になりますが、その仮定は置いてません(置いているのは11.3.3節の話)。 -- 前野? 2021-06-29 (火) 06:41:42
  • (11.22)を1成分のF[T,V,N]とNuA+NuBの和の形に変形させて、それ以外の項がΔSになると考えました。どうか宜しくお願い致します。 -- 草間? 2021-06-30 (水) 04:26:20
  • 失礼しました。余った項は-TΔSになると考えました。 -- 草間? 2021-06-30 (水) 05:20:51
  • その計算で出てくるのは「1成分だったときと2成分だったときの差」で、今計算している「前と後の差」とは別では。 -- 前野? 2021-06-30 (水) 07:53:06
  • 仰る通りで、下名の勘違いでした。どうもありがとうございました。 -- 草間? 2021-07-02 (金) 05:10:39

p284の14行目

草間? (2021-06-21 (月) 21:56:44)

共存状態で化学ポテンシャルがT,Pの関数でNG,NLに依らないという事が理解できず、どうか宜しくお願い致します。

  • 一成分の物質だと、G=μN(GはNの一次式)なので(∂G/∂N)であるμはNを含みません。 -- 前野? 2021-06-21 (月) 22:16:11
  • 自分の質問の仕方が悪くてすいません。μGとμLがそれぞれNGとNLの関数にならないというのが分からなく。そもそも共存状態ではμGとμLは等しく一定なのだから引数にはならないというこですね。 -- 草間? 2021-06-22 (火) 13:32:53
  • 話は単純で、1成分の量の場合、G[T,P;N]の中に示量性の変数はNしかないので、Gは(Nによらない量)×Nという形にしかなれません。この「Nによらない量」がμです。 -- 前野? 2021-06-22 (火) 13:52:38
  • 理解出来ました。因みに(13.14)よりμGN=μLN=G3からμGとμLも一定と考えてよいのでしょうか。 -- 草間? 2021-06-26 (土) 10:15:45
  • 理解出来ました。因みに(13.14)よりμGN=μLN=G3からμGとμLも一定と考えてよいのでしょうか。 -- 草間? 2021-06-26 (土) 10:43:51
  • もちろん一定です。相転移している間は、液体←→気体の入れ替わりしているだけの事で、気体、液体それぞれの自強変数は変わらないです。 -- 前野? 2021-06-26 (土) 14:06:58
  • ありがとうございました。また先に進みます。 -- 草間? 2021-06-27 (日) 10:37:41

p273の5行目

草間? (2021-06-20 (日) 08:48:20)

気相と液相が共存している体積がVLからVGまでの間では、F[T;λVL,NL]+F[T;(1-λ)VG,NG]が滞留することからμG=μLは言えても一定値になるのが解りません。どうか宜しくお願い致します。

  • 左のFとVのグラフを見てください。接線を引いたときの「切片」がGです。-- 前野? 2021-06-21 (月) 19:40:35
  • $V_L$と$V_G$の間では、接線の切片はずっと$G_3$になってます。 -- 前野? 2021-06-21 (月) 19:41:20
  • Gが一定なのは分かるのですが、μが一定になるのが解りません。どうか宜しくお願い致します。 -- 草間? 2021-06-21 (月) 21:47:39
  • μは単位物質量あたりのGですから、Gが一定ならが一定になりますが?? -- 前野? 2021-06-21 (月) 22:06:54
  • 共存状態ではNGは変化するのでμG=G/3NGが -- 草間? 2021-06-22 (火) 05:38:51
  • 一定になるのが分からなかったのですが、μG=G/NG=dG/dNGからμGが一定になるという事でしょうか? -- 草間? 2021-06-22 (火) 05:44:13
  • 共存状態ではFのグラフが直線になるから、直線になっている間「接線の切片で計算されるとG」は一定になり、そのGをNで割ったμも一定になる、ということです(上にも説明した通り)。あと、共存状態では$\mu_G=\mu_L$です。 -- 前野? 2021-06-22 (火) 06:40:23
  • 直線である間$G=G_G+G_L$が一定。もちろん$N=N_G+N_L$でもある。$G_G=\mu_GN_G,G_L=\mu_LN_L$で$N_G,N_L$が変化しているのにトータルの$G$が変化しないなら、$\mu_G=\mu_L$でないとおかしい(と説明した後で最初の質問を見ると、$\mu_G=\mu_L$は分かっている、とのことですね)。 -- 前野? 2021-06-22 (火) 06:44:58
  • 一定になるのが分からなかったのですが、μG=G/NG=dG/dNGからμGが一定になるという事でしょうか? -- 草間? 2021-06-22 (火) 08:15:40
  • すいませんでした。μと、μGおよびμLを勘違いしていました。どうもありがとうございました。 -- 草間? 2021-06-22 (火) 13:26:26

p347の【問い5-7】の解答

Jun? (2021-06-18 (金) 21:31:14)

本当に細かいことかもしれませんが(B.58)の最後の項の分母の指数は1/24が正しいと思いますが、どうでしょうか。よろしくお願いします。

  • 確かに、 -- 前野? 2021-06-18 (金) 21:52:08
  • ここは1/24が正しいです。 -- 前野? 2021-06-18 (金) 21:52:33

p355の【問い10-4】の解答

草間? (2021-06-08 (火) 09:23:39)

最後の行の(B.121)の右辺の符号が逆かと思いました。
どうか宜しくお願いします。

  • あ、すいません、確かに逆です。 -- 前野? 2021-06-08 (火) 12:42:32

p272のV-Fグラフ

草間? (2021-06-06 (日) 08:09:30)

Fが上に凸の領域ができるのは、温度が臨界温度以下なので低温かと考えたのですが。どうか宜しくお願い致します

  • すいません、これは確かにグラフのミスです。上下関係が逆になってしまっていますね。 -- 前野? 2021-06-06 (日) 08:41:03
  • dF=-SdTでSが正と考えると、低温の方が上に来て正解です。 -- 前野? 2021-06-06 (日) 08:43:52
  • 納得できました。どうもありがとうございました。 -- 草間? 2021-06-07 (月) 04:44:29
  • 納得できました。どうもありがとうございました。 -- 草間? 2021-06-07 (月) 08:09:19

式9.38の理解について

梅園? (2021-05-17 (月) 16:41:26)

P182の「第一段階と第二段階を合わせると体積一定で温度が上がるという不可逆な操作だから、S(T1;V1,N)<S(T';V,N)である。」というところは、

説明文の中に、「不可逆な操作だから」との文言があったので、もしかしたら、9.1.5 clausiusの不等式の項目で,「一般的操作ではTdS≧(Qの微小変化)」ということだったので、その部分から(P182のケースではQの微小変化はゼロなので)説明できるのではないか、とも思いました。ただ、P181で例示されているサイクルでは、エントロピーSが操作の前後で変化していない一方で、P182の事例では操作の前後でエントロピーの値が変わっている、ということなので、「TdS≧(Qの微小変化)」から「S(T1;V1,N)<S(T';V,N)である」の説明は無理なのではないか、とも思いました。

P182の後段に記載があるように、(9.32)の(∂U[S,V,N]/∂S)(V,Nは一定)=T(S,V,N)から求められる、と考えればよいのでしょうか。

  • ここでエントロピーが増える、としているのは、第5章の終わり(5.5節)で「手書きのS」として登場したときからずっと、エントロピーが「断熱操作では減らせない量」として導入し、そういうふうに定義されてきた、という流れに乗ってます(9.1.5のClausiusの話は断熱ではない話なのでこの流れとは別)。 -- 前野? 2021-05-17 (月) 17:16:48
  • 断熱操作でV,Nが元に戻る操作のときは温度が上がる方向にしかいかない、というのはPlanckの原理からで、これに「Sは断熱操作では減らせない」ということを加えると、「ここでSは増えているはずだね」ということになるわけです。 -- 前野? 2021-05-17 (月) 17:18:21
  • 分かりました。ありがとうございました。 -- 梅園? 2021-05-17 (月) 17:21:34
  • 確かにここで、Sが増えているということの説明は不足しているかもしれないですね。おっしゃるとおり、「仕事をされてUが増えているはずだからdUが正なのでdSも正になる」という考えをした方がすっきりするかもしれません。 -- 前野? 2021-05-17 (月) 17:23:26
  • エントロピーの定義で分子をU-Fと置いた時点で(-(U-F)と置いてもP169の(1),(2)の条件は満たされる)、断熱線が上に行く時、Sも増加させるように作っていた、ということかと思いました。そこに気づけばしっくり理解できたかもしれません。回答ありがとうございました。 -- 梅園? 2021-05-17 (月) 19:01:56

p237の【補足】の直前の式

草間? (2021-05-15 (土) 19:25:01)

S A+B=S A=S Bは、エントロピーは示量変数なのでS A+B=S A+S Bとなると考えたのですが。どうか宜しくお願い致します。

  • 引数をよく見ましょう。$S_{A+B}(T;V,N_A,N_B)$は物質量が$N_A$と$N_B$なので合計AとBが同じ物質なら$N_A+N_B$の物質がいることになりますが、$N_A+N_B=N$です。後ろの式の$S_A(T;V,N)$は物質がすべてAだったときの式なので、同じ量になります。 -- 前野? 2021-05-15 (土) 19:32:24
  • 要はAとBが同じなら$S_{A+B},S_A,S_B$が全部いっしょなので、(11.27)の$S_{A+B}-xS_A-(1-x)S_B$は0になる、ということです。 -- 前野? 2021-05-15 (土) 19:33:34
  • S AとS Bの引数が同じである事を見落としていました。AとBが同じならS AとS Bの引数が同じなので等しくなって、(11.27)よりS A+B=S A=S Bとなる事が理解出来ました。ありがとうございました。 -- 草間? 2021-05-16 (日) 07:32:02
  • S AとS Bの引数が同じである事を見落としていました。AとBが同じならS AとS Bの引数が同じなので等しくなって、(11.27)よりS A+B=S A=S Bとなる事が理解出来ました。ありがとうございました。 -- 草間? 2021-05-16 (日) 10:26:33

p183のエントロピーに関する記述について

梅園? (2021-05-15 (土) 11:27:11)

p183の図の事例で、「第一段階と第二段階を合わせると体積一定で温度が上げるという不可逆な操作だから、S(T;V,N)<S(T’;V,N)である。」との記載がありました。

不可逆な操作をした後(温度が上昇する)に示量変数が同じになればSが大きくなるという箇所が、そのまま理解出来ませんでした。

エントロピーはΔS=Q/Tで定義されているので、操作の間中は、断熱壁で囲まれていれば、エントロピーは変化しないと考えたのですが、どこに間違いがあるのでしょうか。

ご教示いただいてよろしいでしょうか。

  • 本書のエントロピーの定義は$\Delta S={Q\over T}$ではありません。$S={U-F\over T}$であり、たとえば$F$が減れば$S$は増えます。 -- 前野? 2021-05-15 (土) 12:17:19
  • 「断熱壁で囲まれていればエントロピーは増えない」というのも、操作が準静的とは限らないときには間違いです。 -- 前野? 2021-05-15 (土) 12:17:54
  • 分かりました。ありがとうございました -- 梅園? 2021-05-15 (土) 12:23:39

p242の<具体例>

草間? (2021-05-13 (木) 05:33:27)

p241では理想気体の分圧の和が全圧になるため仕事はしないとありますが、p242の具体例では仕事をするとあって、両方の内容の関係が分かりません。p242の解釈としては、左側の領域の左の壁には分圧PAが左向きに作用しているので、実際には仕事は0と考えればよいのでしょうか。どうか宜しくお願い致します。

  • p241の「仕事をしない」というのは理想気体という具体例の、全体の壁の話です。p242の「仕事をする」のは理想気体という具体例の、さらに片側の壁の話です。ですから理想気体の例ですべての壁を考えるなら、0です。 -- 前野? 2021-05-13 (木) 06:55:09
  • つまりはp241とp242では「誰が仕事をされるか」(全壁か、片側の壁か)が違います。 -- 前野? 2021-05-13 (木) 06:56:26
  • 理想気体に限らない場合は、全壁に対しても仕事をする場合があります。 -- 前野? 2021-05-13 (木) 06:58:48
  • p242の具体例は片側の壁に着目しての話という事で理解出来ました。ありがとうございました。 -- 草間? 2021-05-13 (木) 16:56:03
  • p242の具体例は片側の壁に着目しての話という事で理解出来ました。ありがとうございました。 -- 草間? 2021-05-13 (木) 18:11:43

p233の気体の混合でのF

草間? (2021-05-09 (日) 06:52:56)

二つの区画を体積Vにする操作で、それぞれの気体は自由膨張をしていて仕事をしていないように思ってしまうのですが、相手の気体を押しのけるという仕事をしていると考えるのでしょうか。どうか宜しくお願い致します。

  • ここでやっているのは等温操作だから、自由膨張では全然ないですよ。p234の図の場合、二つの気体は切り離して仮想的壁を考えているので、仕事をする相手は相手の気体ではなくて仮想的壁です。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 09:06:25
  • 仮想的壁だと考えた場合、p100の断熱自由膨張では系のする仕事は0となっており、これとの違いが分からなく。等温膨張は体積を増やすのに熱浴から熱を貰っているという事が仕事をしていると考えるのでしょうか。どうか宜しくお願い致します -- 草間? 2021-05-09 (日) 18:55:55
  • 仮想的壁はちゃんと圧力を受け止めるので、自由膨張とは全く違います。力を出すもの(仮想的壁)と力を出さないもの(真空)との違いは明白ではないでしょうか?? -- 前野? 2021-05-09 (日) 19:05:23
  • なお、今は壁が透熱壁なので、周りからは当然、熱をもらってます。全部そういう環境での話なので、断熱自由膨張がここで登場することはそういう意味でもありません。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 19:06:12
  • p100の断熱自由膨張は周りの壁も全部断熱壁ですね。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 19:09:45
  • なお、「熱浴から熱を貰っているという事が仕事をしていると考える」というのは間違いです。熱は熱、仕事は仕事で、熱を仕事をしていると考えるということはありません。この仮想的壁を使った仮想的過程では、気体は仮想的壁に対して仕事をしてます。そして、当然ながら熱も周囲からもらってます。この二つは別ものです(理想気体なら値は一致するかもしれませんが、それは理想気体の特殊事情)。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 19:11:10
  • もしかして仮想的壁は「仮想」だから仕事はしない・されない、というふうに考えておられるのかな?? そんなことはなくて、ちゃんと仕事をしたりされたりする物体と考えてください。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 19:12:31
  • というか、実は「気体のした仕事」を考えるときは相手が何かなんて考える必要はなくて、「気体の出した力に距離を掛ける(気体の圧力に体積変化を掛ける)」ということをすればそれはすなわち気体のした仕事ですね。今は準静的(そういう意味でも仮想的)操作をしているので、気体の圧力は常に状態方程式から求められるPになってます(自由膨張の場合、準静的でない操作なので気体の圧力は場所によって違い、真空に接する部分の気体の圧力も0になっているので仕事は0になるが、今はそういう状況は考えてない)。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 19:15:57
  • 自由膨張の場合に真空に接する部分の圧力が0になっている事に気付きませんでした。大変良く分かりました。ありがとうございます。 -- 草間? 2021-05-10 (月) 07:11:12

dF,dH,dGの各項と物理的意味について

yamashita? (2021-05-06 (木) 14:01:43)

dFの中のSdTの項には物理的意味はあるのでしょうか?
私はヘルムホルツの自由エネルギーの温度依存性の部分だと考えたのですが、エネルギーと仕事という観点からは何かあるのでしょうか?
先生の教科書に「Fを等温エネルギーと書くと、温度変化を伴う状態変化にはFは使えないと思う人が出てくる」とあったので、何か物理的意味があるのでしょか?

同じようにdHやdGにVdpの項は物理的意味はあるのでしょうか?
「工業仕事」という名前があるようですが、物質のフローのある場合に意味を持つ様なのですが、体積変化するかしないかは問わず、閉じられた容器内の物質でもVdpは出てきます。
Fの時と同様、等圧以外の場合でも任意の状態変化でHやGは使うのでしょうか?
「状態変化を指定することで、せっかくF,H,Gを状態量にしたのに。」と思ってしまいます。

  • エネルギーと仕事の観点に持っていくなら、(Fは「変化量が等温でできる仕事」なので)「仕事ができる量が量が温度変化によってどう変化するか」を表現しているのがしているのがS, -- 前野? 2021-05-07 (金) 08:19:37
  • という、シンプルな答えになると思います。 -- 前野? 2021-05-07 (金) 08:20:03
  • 例えば温度Tでそのまま仕事をさせるのと、温度T‘に変えてから仕事をさせるのでは(T-T’)ΔSだけ、できる仕事の量が違うよ、みたいな。 -- 前野? 2021-05-07 (金) 08:21:50
  • お返事ありがとうございます。 -- yamashita? 2021-05-09 (日) 15:43:01
  • 温度を変えた場合でも、できる仕事は最大仕事なので、温度を変える前は変える前の温度で、温度を変えた後は変えた後の温度で、それぞれ行わなければなりませんよね? -- yamashita? 2021-05-09 (日) 15:44:10
  • そうすると、結局異なる温度で最大仕事を比較することはない様に思うのですが。 -- yamashita? 2021-05-09 (日) 15:44:54
  • 温度変化はS一定で行うため、断熱変化でなければならないので、温度変化の前後で体積も変わりますし、温度変化の前後で仕事をさせるにも体積変化も共通にできない気がするのですが、どうなのでしょうか? -- yamashita? 2021-05-09 (日) 15:50:54
  • 「温度変化はS一定で行うため、断熱変化でなければならない」←そんなことないです。体積を変化させずに温度変化させる(Sは当然変わる)こともできます。実験者が、そういうふうに状態変化を設定してあげればいいだけのことですし、そんなことはいくらでもやってます。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 15:55:40
    IMG_0525.jpeg
  • 上のように温度$T_1$での等温操作でできる仕事$\Delta F(T_1)$(実際には体積や物質量の関数でもありますが省略)と、温度$T_2$でできる仕事$\Delta F(T_2)$を考えて、この二つはどれだけ違うか?と考えることはできます。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 16:03:22
  • 体積$V_1$を保って(図に書いてないけど物質量はずっと変化させず)温度を$T_1\to T_2$と変化させたときのFの変化を$\Delta F(V_1)$と書くことにします。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 16:05:24
  • 同様に体積を$V_2$に保って温度変化させたときのFの変化を$\Delta F(V_2)$と書いたとします。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 16:06:00
  • Fは状態量なので、この4つの$\Delta F$は「一周回ると元に戻る」という性質を持ってないいなくてはいけません。と考えると、わからないとおっしゃっている$\Delta F(V_1),\Delta F(V_2)$は、$\Delta F(T_1),\Delta F(T_2)$と関係のある量だということになります。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 16:07:48
  • 念の為追記。$\Delta F(T_1),\Delta F(T_2)$は(Tを一定にしてVを変化させるので)$-P\mathrm dV$の積分として得られる量、$\Delta F(V_1),\Delta F(V_2)$の方は$-S \mathrm dT$を積分して得られる量です。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 16:40:18
  • ありがとうございます。まだ完全に分かったわけではないのですが、Fの温度依存性とSdTは直接関係ないのですね。 -- yamashita? 2021-05-09 (日) 20:28:54
  • ??? -- 前野? 2021-05-09 (日) 20:34:48
  • Fの温度依存性は$-S\mathrm dT$そのものなので「関係ない」と言われると何がどうしてそうなっているのやら?? -- 前野? 2021-05-09 (日) 20:35:29
  • 言われてみれば、確かにそうです。Fの温度依存性はSdTそのものですね。すみません。 -- yamashita? 2021-05-09 (日) 21:17:49
  • Fの温度依存性は断熱変化でSが変化しないことから求めましたよね?では、今回の等温と定積の一周積分が0という条件からは温度依存性は求まらないのでしょうか? -- yamashita? 2021-05-09 (日) 21:19:06
  • 本の中でも、まさにそれで決めたんですが。Sが状態量であれという条件は、Fが状態量であれという条件と同じです。 -- 前野? 2021-05-09 (日) 21:22:23
  • Sが状態量であれば、Fも状態量になりますね。Sを断熱変化という状態変化に固有のものだと考えすぎていたのだと思います。ありがとうございます。 -- yamashita? 2021-05-09 (日) 21:43:06
  • すみません!やっと理解できました!Sの定義(式)とFの温度依存性を混同していました。ありがとうございました。 -- yamashita? 2021-05-09 (日) 22:17:25

FとUがルジャンドル変換の関係にあることは

草間? (2021-05-02 (日) 07:01:32)

FとUがルジャンドル変換の関係にあることは、エントロピーの定義がたまたまそのようになっていた偶然だったのでしょうか。それともカルノーは分かっていたのでしょうか。とても感動してしまいました。宜しくお願い致します。

  • 偶然ではなく、自然がエントロピーという状態量を持っていたことからくる必然だったのだと想います。歴史のことはよく知らないでカルノーが分かってたかどうか断言はできませんが(エントロピーという状態量を定義したのはむしろクラウジウスかな)。何か「状態量があるからそれを探そう」という考えがあればエントロピーや、FとUがLegendre変換の関係にあることにはたどり着けるのではないかと想います。 -- 前野? 2021-05-03 (月) 09:25:07
  • エントロピーという状態量に、そもそもその様な性質が備わっていたという事ですね。これからも先へ進んでいきます。ありがとうございました。 -- 草間? 2021-05-03 (月) 10:39:01

演習問題9-4

草間? (2021-04-29 (木) 09:33:15)

問題の系にエントロピーの変化無しに仕事をさせるには、T1’+T2’<T1+T2を満たすT1、T2、x1、x1’を選べばよいと考えてよいでしょうか。宜しくお願い致します。

  • そりゃ、$T_1'+T_2'$が$T_1+T_2$より小さくないとエネルギーが減らないということになるので、正の仕事はできないのはもちろんのことだと思います。 -- 前野? 2021-04-29 (木) 10:12:36
  • 問題に正の仕事ができることを示せとあったので、具体的なT1、T2、x1、x1’の関係式を求める必要があるかと思いました。どうもありがとうございました。 -- 草間? 2021-04-29 (木) 14:07:13

P215

草間? (2021-04-26 (月) 16:30:33)

エントロピーが保存して内部エネルギーが変化する場合で、断熱準静的操作だけの場合は系に仕事をさせて、終状態で逆に系に仕事をして元に戻すと、2つの部屋は全く同じ状態に戻ってdS1は0になると考えていいのでしょうか。その場合はdUも負ではなく0となりますでしょうか。また、dUが負になるのは不可逆変化があった場合と考えるのでしょうか。どうか宜しくお願い致します。

  • 断熱準静的操作だけで元にもどってきたのなら、元の状態に戻るわけですから、状態量であるSもUも、当然元に戻ります。全く同じに戻ったと考えたなら、UやSが変化してはいかんわけです。 -- 前野? 2021-04-27 (火) 11:14:21
  • 最後の質問は、断熱操作で不可逆変化があって、V,Nなどの示量変数が元に戻った(しかし温度は元に戻ってない)という状況でしょうか。だったら本にも書いてある通り、Planckの原理により系は負の仕事をするのでUの変化量は正です(温度が上がってUも増える)。元にもどってdUが負というのは熱力学第2法則からありえません。 -- 前野? 2021-04-27 (火) 11:17:24
  • 続けて質問致します。部屋の間の壁が熱透過壁だとした場合にはd -- 草間? 2021-04-27 (火) 19:30:35
  • dUが負になって内部エネルギーが最小が平衡状態になるというのは、熱の移動があって内部エネルギーが減少するというのが解らないのですが。どうか宜しくお願いいたします。 -- 草間? 2021-04-27 (火) 19:36:08
  • ああすみません、タイトルを読み飛ばしてしまっていたので、一般的な話をしているのだと思って答えてました。上の私の答えは2つの部屋があっての状況に即して無い答えになっていました。 -- 前野? 2021-04-27 (火) 20:02:10
  • p215の下の部分の話をしているのでしたら、熱の移動はありません(周りは全部断熱壁ですから)。エネルギーは、「仕事をする」ことによって減ります。 -- 前野? 2021-04-27 (火) 20:05:39
  • あ、ごめんなさい。それも間違いだな。2つの系を合わせての断熱準静的操作だけを許すので、2つの系の温度を等しくした後で断熱壁を透熱壁にとりかえてまた準静的に動かすのはありです(この場合は熱の移動はありますが、等温の間の移動なのでエントロピー増加はありません)。 -- 前野? 2021-04-27 (火) 20:11:23
  • 具体的な例としては、演習問題9−4で長々と説明している操作です。これだと、透熱壁に変えた後の2つの部屋相互には熱が移動しますが外には熱は移動しません。そして全体のSは一定ですが正の仕事をするので、内部エネルギーは下がります(ちなみに、2つの系の温度も変化してますので、厳密に元の状態には戻ってません)。 -- 前野? 2021-04-27 (火) 20:16:20
  • ここの、「断熱準静的操作だけを許して(間の壁も断熱壁にして)、系に仕事をさせ、終状態では体積を始状態と同じに戻しておく」という文章がすごく混乱を招く文章になっているようなので、「断熱準静的操作だけを許して、系に仕事をさせ、終状態では体積を始状態と同じに戻しておく(例:演習問題9-4の操作)」と訂正しておきたいと思います。 -- 前野? 2021-04-27 (火) 20:24:49
  • 理解出来ました。ありがとうございました。 -- 草間? 2021-04-28 (水) 18:20:44

Kelvinの原理の示量変数について

山田? (2021-04-24 (土) 07:31:38)

Kelvinの原理の説明で「示量変数が元に戻る」とありますが、ここでの「示量変数」はSやUを含むでしょうか?それとも{V}、{N}(だけ)が元に戻るという意味でしょうか?

  • 書いた意図としてはV,Nについて言及したものです。とはいえ、等温環境だからTは変わらず、V,Nが元に戻るのなら結果として状態が元に戻るのだから、UやSも戻りますね。 -- 前野? 2021-04-24 (土) 07:59:31
  • ありがとうございました。 -- 山田? 2021-04-24 (土) 08:17:23
  • ありがとうございました。 -- 山田? 2021-04-24 (土) 09:02:35
  • 続けて質問いたします。Planckの原理では「示量変数を変化させない」とありますが、こちらの場合はp.84で温度がT→T'と変化するとあるので、UやSは変化するのでしょうか? -- 山田? 2021-04-24 (土) 09:07:10
  • そりゃ、します。 -- 前野? 2021-04-24 (土) 10:27:17
  • いちいち断り書きはしてないですが、このあたりでは状態をT,{V},{N}などで指定しているという文脈なので、「示量変数を変化させない」の示量変数は{V},{N}のことです。 -- 前野? 2021-04-24 (土) 10:30:11
  • エントロピーの章を読んでいて分からなくなってきたので、表紙裏のチャートのPlanckの原理を見て「示量変数を変化させない」とあったので、Sは示量変数だよな、でも変化しないのだろうかと混乱してきたため質問しました(Kelvinの原理について質問したのは勘違いでした)。教えていただいてスッキリしましたので、先を勉強いたします。 -- 山田? 2021-04-24 (土) 13:06:23

dWやdQが全微分ではない意味

草間? (2021-04-04 (日) 17:07:25)

仮にdWがPdVだけではなく、dTの項も加われば全微分として、その積分値が経路に依らないと考えてよいのでしょうか。どうかよろしくお願いします。

  • dTの項を加えたら、それはもうdWじゃない(仕事という意味を持ってない)ですが、本にも書いてあるようにーSdT-PdVならば全微分です。 -- 前野? 2021-04-04 (日) 17:16:32
  • 仰る通りですね。状態変数の全ての微分で記述されれば、状態量の積分になって経路に依らなくなると考えました。どうもありがとうございました。 -- 草間? 2021-04-04 (日) 19:07:22
  • 一般論として、df(x,y)の全微分ではない(∂f/∂x)dxを積分してもyが決まらないので、経路(x,y)に依って値が変わるというイメージは間違っていますでしょうか。どうか宜しくお願いいたします。 -- 草間? 2021-04-05 (月) 14:02:56
  • 「(∂f/∂x)dxを積分してもyが決まらない」は当たり前のことではないですか?(「(∂f/∂x)dxを積分」はそもそもyを求めようという計算ではないのだから)。「(∂f/∂x)dxを積分」というときに、通常はyは変化させませんが、させる場合を考えるのですか??そりゃ答は変わるだろうけど、それも当たり前過ぎる当たり前のことです。「経路(x,y)」という言葉も意味がわかりません。(x,y)はある一点であって経路ではありません。というわけで、その「イメージ」が間違っているのかどうか、私にはわかりません。「イメージ」が何を示しているのかがわからないので。 -- 前野? 2021-04-05 (月) 22:11:22

P172

草間? (2021-03-27 (土) 08:25:28)

P172の7行目の「任意の操作」は準静的と考えてよいでしょうか。どうか宜しくお願い致します。

  • いえ、これはほんとに「任意」です(準静的でないものも含む)。状態量である条件は、準静的かどうかに関係なく「経路によらない」ことです。 -- 前野? 2021-03-27 (土) 10:34:19
  • SをQ/Tではなく、状態量として(U–F)/Tで定義したので、任意の操作でも元に戻れるという事ですね。ありがとうございました。 -- 草間? 2021-03-28 (日) 08:45:35
  • そう言うとdS=dQ/Tで定義(S=Q/Tは間違ってます)したら状態量じゃないみたいですが、そう定義してもやっぱりSは状態量です(Sが状態量であることは定義の流儀によりません)。 -- 前野? 2021-03-29 (月) 07:33:26
  • dS=dQ/Tの場合、Sが状態量となるのは等温準静的操作に限られるため、それを一般操作に拡張するためにS=(U-F)/Tと定義したと考えてしまいました。 -- 草間? 2021-04-05 (月) 05:36:41
  • Sが状態量になるのは「いつでも」で、dS=dQ/Tと書けるのは「準静的操作に限られる」です。Sがちゃんと状態量になったのはUとFとTが状態量だからで、Fがそうなるように、FのT依存性を定義していったということになります。 -- 前野? 2021-04-05 (月) 06:26:47

P140の等温準静的断熱操作と断熱操作の等価性について

草間? (2021-03-12 (金) 08:03:23)

準静的に限らない断熱操作による状態(T;V´,N)から状態(T;V,N)(ただしV´>V)への操作が可能となるのが分かりません。P92のT-V線図で考えると、状態(T;V,N)から状態(T;V´,N)は分かるのですが、逆の操作がどうしても考えられないです。どうかよろしくお願いいたします。

  • もちろん、逆はできないですよ。双方向できる必要はなく、どちらかができれば良い、ということを本にも書いてます。というか、一方ができたならその逆ができるのは準静的変化のときだけです。 -- 前野? 2021-03-12 (金) 12:33:38
  • 圧縮操作でのT-V線図の経路はどのようになりますでしょうか。断熱不可逆操作は温度を上げるしか出来ないので、断熱操作で等温圧縮は無理にみえるのですが。どうか宜しくお願いします。 -- 草間? 2021-03-12 (金) 13:14:35
  • 断熱で温度が変わらない圧縮操作はできない、と(本の中でも上でも)言っているのですが?? つまり「無理にみえる」のはそれでいいのです。 -- 前野? 2021-03-12 (金) 13:52:09
  • V'→Vの場合はV'<Vということですね。ありがとうございました。 -- 草間? 2021-03-12 (金) 16:25:56

7.2.1での現象について

梅園? (2021-03-06 (土) 14:03:28)

7.2.1の現象については、もし、系が等温操作ということなら、「(系+熱浴)の内部エネルギー(U_系+U_熱浴)の減少はWに等しい」ので、(U_系の減少)=0になり、(U_熱浴)の減少=Wになると思います。

ということは、内部エネルギーは温度の関数なので、U_熱浴 自体が等温状態のままではいられない、ということになると思います。

このケースでの熱浴は、正確には等温状態を保てない、と考えても良いのでしょうか。もしくはp87のケースのように、熱浴のサイズが∞(仕事をしても等温のまま)と考えれば良いのでしょうか。

  • 等温に保てるほどにサイズがでかいものを熱浴と呼びます。 -- 前野? 2021-03-06 (土) 15:12:47
  • 分かりました。ありがとうございました -- 梅園? 2021-03-06 (土) 15:43:19

p16.の仕事をロスする例についての実例について

大澤? (2021-02-22 (月) 22:14:35)

先日は回答有難うございました。

題目の件、色々と考えておりますが、
「摩擦のない板2枚がくっついた状態をたもちつつ、しかしすべりながら動く、みたいな」イメージがどうしても思いつかないです。

物体A,Bの変位$dx_{A},d_{B}$が互いの相互作用に起因するもの
とした場合は、一次元では思いつかないです。

変位$d_{B}$は$F_{AB}$によって生じる, 同様に$d_{A}$は$F_{BA}$によって
生じる変位と考えると、変位の差$d_{A}-d_{B}$に垂直な力を
$F_{AB}=-F_{BA}=F$として,$F・(d_{A}-d_{B})=0$は分かるのですが、
この関係は結局、$F_{AB}$はBの変位に対して,$F_{BA}$はAの変位に
対しての垂直な力で,変位の差$dx=dx_{A}-dx_{B}$以前に
単独に$F_{AB(BA)}・d_{B(A)}=0$と成り立ち,
$F_{AB}$,$F_{BA}$はそれぞれ変位$d_{B}$,$d_{A}$の起因には
なってないように、つまり,A,Bそれぞれになされる
仕事に関わる力にはなってないように
思えます。

例えば、初速度を与えられて摩擦のない滑らかな(動かない)床面上を
滑る小物体のイメージで,
床面上に小物体を束縛する垂直抗力と変位の関係という
理解でよろしいでしょうか。

長くなって申し訳ございませんが、
ご教授のほど宜しくお願いいたします。

  • ここでどうして「起因するもの」どうこうという話が出てくるのかわかりません。仕事は誰に起因する力とか何の関係もなく、単に$\vec F\cdot \mathrm d\vec x$で定義されるものです。 -- 前野? 2021-02-22 (月) 22:24:04
  • 摩擦のない板2枚がくっついた状態をたもちつつ、しかしすべりながら動く、というのは次の図のような動きです。 -- 前野? 2021-02-22 (月) 22:24:32
    IMG_0389.jpeg
  • 物体の接触面は(摩擦なく)すべるので$\mathrm d\vec x_A$と$\mathrm d\vec x_B$は一致しません。しかし、(摩擦がないので)$\vec F_{AB}$と$\vec F_{BA}$は接触面に垂直です。そして、$\vec F_{AB}\cdot \mathrm d\vec x_B$と$\vec F_{BA}\mathrm d\vec x_A$は、大きさは同じで符号が逆になります。 -- 前野? 2021-02-22 (月) 22:29:48
  • これはこのページに書いてある○と□がぶつかる絵で、物体が変形しなかった場合だと考えてくれればいいです。 -- 前野? 2021-02-22 (月) 22:30:33
  • 物体に力が(誰からであろうと何が原因であろうと)$\vec F$だけ働いて、そのときその物体が(何の理由であろうと)$\mathrm d\vec x$動いたならば、それは「物体が$\vec F\cdot \mathrm d\vec x$の仕事をされた」というのが力学での仕事の定義です。図のような動きをしたときには、二つの力の二つの仕事はそれぞれ逆符号になります。 -- 前野? 2021-02-22 (月) 22:32:42
  • この場合、「$\mathrm d\vec x_A$と$\mathrm d\vec x_B$の差」は力に垂直です。 -- 前野? 2021-02-22 (月) 22:33:22
  • すみません、”起因するもの”使い方が間違ってました。早速の対応,丁寧なご回答有難うございました。 -- 大澤? 2021-02-24 (水) 17:05:02
  • 変位の$d_{A(B)}$など,変位$x$の忘れなども失礼いたしました。 -- 大澤? 2021-02-24 (水) 17:30:42

p339の問い8-3の解説について

梅園? (2021-02-19 (金) 08:11:57)

逆カルノーサイクルにおいて、系が低温熱源から吸収する熱は、Q(T低;V低小→V低大)になるので、式8.3と同じ式を使えば、低温熱源から奪う熱(つまり系が低温熱源から吸収する熱)はQout低になると考えました。

解説では、低温熱源から奪う熱が-Qout低となっています。

ということは、Qout低は8.3式とは別の値(符号が逆)として用いられている、と理解すべきなのでしょうか。

  • すいません、ここは私が、符号を2回ひっくり返すみたいな間違いをしてます。両方マイナスを取るのが正解です。 -- 前野? 2021-02-19 (金) 08:21:26
  • 確認ありがとうございます -- 梅園? 2021-02-19 (金) 09:46:58

p16.の仕事をロスする例について

大澤? (2021-02-18 (木) 13:29:36)

三行目後半の"二つの$dx$ の違いが$\overrightarrow{F}$と垂直な場合であれば、・・・"というのは、$d\overrightarrow{x}_{A}$,$d\overrightarrow{x}_{B}$ともに$\overrightarrow{F}$と垂直の意味で、続く4行目の式は、
$d\overrightarrow{x}_{A}\neq d\overrightarrow{x}_{B}$であっても,
$\overrightarrow{F}_{BA}\cdot d\overrightarrow{x}_{A}=-\overrightarrow{F}_{AB}\cdot d\overrightarrow{x}_{B}$は$=0$という理解で宜しいでしょうか?
物体が変形することもなく摩擦もなく,接触する面が滑っている場合がイメージし難いのですが、例えば摩擦のないローラー上の物体というイメージでしょうか?その場合だと変位$dx$が・・・

また,6行目「BがAにされる仕事」は「BがAにする仕事」じゃないでしょうか?

宜しくお願いいたします。

  • 二つの違いが垂直、というのは文字通り、$\vec F\cdot(\mathrm d\vec x_A-\mathrm d\vec x_B)=0$という意味です。 -- 前野? 2021-02-18 (木) 19:08:08
  • $\vec F_{BA}\cdot \mathrm d\vec x_A=-\vec F_{AB}\cdot\mathrm d\vec x_B$はこの式を変形すると出てきます。 -- 前野? 2021-02-18 (木) 19:09:21
  • 6行目は確かに打ち間違いです。「BがAにする仕事」で正しいです。 -- 前野? 2021-02-18 (木) 19:10:07
  • 理解できました、早速の回答有難うございます。 -- 大澤? 2021-02-19 (金) 11:25:17
  • 実例を書くのを忘れてましたが、摩擦のない板2枚がくっついた状態をたもちつつ、しかしすべりながら動く、みたいなのを考えるとよいかと思います。 -- 前野? 2021-02-19 (金) 11:33:51
  • 有難うございます。 -- 大澤? 2021-02-19 (金) 14:01:13

p160の式8.13について

梅園? (2021-02-11 (木) 20:49:35)

式8.12とp160の「T,T3の熱源で働くときの吸熱比を関数f(T)と表現する」という文言を照らし合わせると、「T2,T3の熱源で働くときの吸熱比」はf(T2)になり、「T1,T3の熱源で働くときの吸熱比」はf(T1)になると思うので、式8.13の右辺は、f(T1)/f(T2)になるように思います。

その理解で合っていますでしょうか。

  • すいません、ここは確かに、分子と分母が逆でした。 -- 前野? 2021-02-12 (金) 06:29:22
  • 確認ありがとうございます -- 梅園? 2021-02-12 (金) 07:35:27

p153の注9について

梅園? (2021-02-11 (木) 13:29:19)

注9でT>0でなくてはKelivinの原理が破れてしまうとのことでした。ただ、今議論しているのはカルノーサイクルなので(Kelvinの原理は等温サイクルが前提だと思います)、Kelvinの原理を当てはめて良いのかどうか疑問に思いました。

後ろのページで、結果14(正味の吸熱がない等温準静的操作は断熱準静的操作に置換可)が認められてられているので、それを踏まえると、Qout=0の場合にQin=W(正)になれば、Kelvinの原理が成り立たないのは納得できます。

注9の文言は、結果14を踏まえなくても理解できるものなのでしょうか。

  • ここで言っている「Kelvinの原理が破れる」というのは、「$T_低=0$にすると$Q_{\rm out}$が0にできる」という意味です。すると低温熱源に熱を与えずに仕事ができたことになる、という意味です。 -- 前野? 2021-02-11 (木) 16:19:27
  • 熱を与えてない低温熱源はないのと一緒、というのはちょっと飛躍と感じられるかもしれませんが、そこを納得したかったら、おっしゃるとおり、結果14を先取りして考えることになります。 -- 前野? 2021-02-11 (木) 16:21:58
  • ということまで考えると、ここでは「破れてしまう」ではなく「破れてしまう(ことが後でわかる)」の方が正しかったですね。 -- 前野? 2021-02-11 (木) 16:25:23
  • 分かりました。ありがとうございます。 -- 梅園? 2021-02-11 (木) 17:13:48

p163 熱の出入りについて

emblem? (2021-02-05 (金) 14:06:39)

p163で Q_in <= αq_out となっていますが, 入ってきた熱より出ていく熱の方が多いという状況はどういうことですか?

  • この場合、系は負の仕事をしてます(別の言い方をすれば、外から正の仕事をされてます)。このサイクルを動かすために外部からせっせと何らかのエネルギーを供給しているわけです。 -- 前野? 2021-02-05 (金) 14:16:49
  • そう思えば、出る熱が入る熱より多くても不思議なことは何もないです。 -- 前野? 2021-02-05 (金) 14:17:49
  • わかりました, ありがとうございます -- emblem? 2021-02-05 (金) 15:00:02
  • もう一つよろしいでしょうか, p166 のクラウジウスの原理の図についてですが, Q_out が高温熱源に戻るということは, Q_in = Q_in + Q_out として 熱が供給されるという意味でしょうか. ( よって, する仕事は W=Q_in で W > 0 となってkelvinの原理に反する?) -- emblem? 2021-02-05 (金) 15:34:30
  • 「高温熱源」の立場にたてば$Q_{\rm in}$を与えたあとで$Q_{\rm out}$が戻ってきたので$Q_{\rm in}-Q_{\rm out}$の熱をこの「Kelvinの原理を破る機械」に与えたことになります。 -- 前野? 2021-02-05 (金) 16:16:43
  • この機械のする仕事は与えられた熱量そのものなんで、同じ引き算で与えられます。 -- 前野? 2021-02-05 (金) 16:19:34
  • その仕事が正になってはいけない、というのは、そのとおりです。 -- 前野? 2021-02-05 (金) 16:23:02
  • ありがとうございます, -- emblem? 2021-02-05 (金) 16:59:21
  • ありがとうございます, -- emblem? 2021-02-05 (金) 16:59:21
  • そもそもクラウジウスの原理を破ってQ_outを高温熱源に戻せることで何が変わるのかがよく理解できません. 仕事はW=Q_in - Q_out はクラウジウスの原理を破らなくてもカルノーサイクルでできる仕事では無いのでしょうか? -- emblem? 2021-02-05 (金) 17:07:02
  • ここでやろうとしているのは、「単一の温度の熱源だけから熱をもらって仕事をする」です。カルノーサイクルは二つの熱源がないと動きません。クラウジウスの原理を破る機械があれば片方の熱源を「なかったこと」にできるので、「単一の熱源で動く機械」ができてしまうということです(もちろん、クラウジウスの原理を破る機械は実際にはありませんが)。 -- 前野? 2021-02-05 (金) 17:38:14
  • 分かりました, ありがとうございました -- emblem? 2021-02-05 (金) 22:22:44

p36 (2.42) の偏微分について

sakamo? (2021-01-31 (日) 15:51:15)

(2.42) の微分された式の中に, なぜ d f(x,y)/dy の項が出てくるのですか? (関数のままの微分がよく分かりません)

  • 今微分しようとしているのは(2.39)の$\tilde f(p_x,y)=f(x(p_x,y),y)-x(p_x,y)p_x$です。微分は「$p_x$を一定にして$y$で微分」したいのだから、$p_x$は変えずに$y\to y+\mathrm dy$と変化したときの変化量を見積もります。-- 前野? 2021-01-31 (日) 21:12:28
  • $y\to y+\mathrm dy$と変化したことにより、$f(x(p_x,y+\mathrm dy),y+\mathrm dy)-x(p_x,y+\mathrm dy)p_x$と変化しますが、第1項については第2の引数の方の$y$の変化による変化が入ってます。これが${\partial f(x,y)\over\partial y}$の項です。 -- 前野? 2021-01-31 (日) 21:15:11
  • このあたりの変数が変わる場合の偏微分は、付録のA.4あたりで説明してます。 -- 前野? 2021-01-31 (日) 21:17:40
  • A.4ではx,y→X,Yという変数変換をやってますが、このYの方はyのままだったと思えば今やってる計算です。 -- 前野? 2021-01-31 (日) 21:19:51
  • ありがとうございました -- sakamo? 2021-02-01 (月) 22:21:44

p28の(2.31)について

草間? (2021-01-30 (土) 08:55:22)

U(x)を位置エネルギー、外力を-FとしてU(x)+Fx=-Mgx+Fxが停留する条件から-Mg+F=0よりF=Mgなら分かるのですが、(2.31)の解釈が分かりません。どうか宜しくお願い致します。

  • ここのU(x)は-Mgxじゃないですよ。図に四角で書いてある「なにか」の持っている位置エネルギーがU(x)です(たとえばバネなら${1\over 2}kx^2$とかでもいい)。 -- 前野? 2021-01-30 (土) 18:23:43
  • 「系」と「おもり」の二つがそれぞれU(x),-Mgxの位置エネルギーを持っているので、合わせてU(x)-Mgxのエネルギーを持っている、ということです。 -- 前野? 2021-01-30 (土) 18:25:12
  • 全位置エネルギーがU(x)-Mgxで、F=Mgより、なにかの位置エネルギーに張力を外力として導入した位置エネルギーがU(x)-Fxと解釈出来るという事でしょうか。 -- 草間? 2021-01-31 (日) 16:06:05
  • 一定の力が働く例として重力があり、その場合位置エネルギーは$-Mgx$なのだから、一定の力$F$が働く場合のいちエネルギーは$-Fx$でいいよね、というのがここでやっていることです。 -- 前野? 2021-01-31 (日) 21:09:14

p303平衡定数のところ

h? (2021-01-29 (金) 09:53:36)

式(14.26)では、平衡定数をK(P)と書いてあるのですが、P依存性はなく、Tに依存しているので、これはK(T)でしょうか。

  • はい、すいません、これは$K(T)$ですね。 -- 前野? 2021-01-29 (金) 12:40:31
  • ありがとうございます -- h? 2021-01-29 (金) 14:15:31
  • あと、これは質問ではなく、報告?なのですが、同じページの問い14-2について、Δh_反応(T,P_0)の定義が最初読んだ時はよく分かりませんでした。式(14.14)の右辺は引数が(T,P;X)となっていて、μも一成分でなく多成分系のものだったのでどういう意味か迷いました。(結局hの方も一成分系のhの和を取ればいいと後から分かりました)。 -- h? 2021-01-29 (金) 15:47:55
  • あと、これは質問ではなく、報告?なのですが、同じページの問い14-2について、Δh_反応(T,P_0)の定義が最初読んだ時はよく分かりませんでした。式(14.14)の右辺は引数が(T,P;X)となっていて、μも一成分でなく多成分系のものだったのでどういう意味か迷いました。(結局hの方も一成分系のhの和を取ればいいと後から分かりました)。 -- h? 2021-01-29 (金) 16:09:30
  • 確かに、ここには「今は理想気体を考えているので、$\mu$は物質量にも$X$にも依らなくなっていることに注意」ぐらいのことは書いておけばよかったですね。 -- 前野? 2021-01-29 (金) 20:19:25
  • はい、Δμ_反応 や Δh_反応 を定義したときは、多成分のμ_iの和で、今回の平衡定数の中のμ_iは一成分で、RTlogx_iが含まれてないものだったので、定義と違く、これをΔμ_反応とみなしてよいものかと迷いました。今回の、平衡定数の中の方は、化学でいう標準反応ギブズエネルギーということですよね。 -- h? 2021-01-30 (土) 10:07:53

式8.6について

梅園? (2021-01-27 (水) 06:58:42)

p155の式8.6について、Qin高の値がQ(T高;V高大→V高小)と記載されています。ここでは、カルノーサイクル内の気体が吸収した熱を記載するので、式8.3と同様にQ(T高;V高小→V高大)と記載しなくてよいのか、と考えました。この理解では間違いでしょうか。

  • すいません、たしかに間違いで、高小→高大が正しいです。 -- 前野? 2021-01-27 (水) 07:09:38
  • 確認ありがとうございました。 -- 梅園? 2021-01-28 (木) 22:34:10

熱力学第一法則の微分系について

梅園? (2021-01-23 (土) 14:20:23)

p144の熱力学第一法則で、dUは始状態と終状態だけが分かれば経路に依存しないとのことでした。その理由としては、P135の「Uの定義」のためだと考えました。ただ、そこでは、「任意の断熱操作において」という記載もありました。
式7.12(熱力学第一法則の微分系)は、どのような操作においても成立するので、断熱操作でない場合においても、「dUは始状態と終状態だけが分かれば経路に依存しない」と考えて良いのでしょうか。

  • 断熱操作でない場合でも、dUは始状態と終状態だけで決まります。その理由は、ここまでの話の中で、Uが「状態量」つまり状態を一つ指定すれば決まる量であることがわかっているから、ということになります。 -- 前野? 2021-01-23 (土) 14:34:04
  • Uは断熱操作で定義するので、定義するときは断熱操作に限ってますが、いったん定義されたら任意の操作で(始状態と終状態が同じなら)のdUは同じになります。 -- 前野? 2021-01-23 (土) 14:34:21
  • 分かりました。ありがとうございます。 -- 梅園? 2021-01-23 (土) 15:59:14

p78の上段の「逆」に関する記述について

梅園? (2020-12-30 (水) 16:59:14)

4行目からの

「ピストンを引く/押す」といういっけん「逆」に見える現象は、細かく見ると「逆」になっていない。

との記述については、膨張時でも圧縮時でも、どちらの場合においても、準静的でない操作の方が、準静的な操作の場合よりも気体のする仕事が小さくなる(逆にならない)という意味だと理解していました。

また、p72の物体を動かす時に動摩擦力が働く事象においては、行きと帰りとで動摩擦力の向き自体が変わるので、床が物体にする仕事はどちらも符号が同じで逆にならないという意味でしょうか。

でも、その場合だと、同様と言って良いものかどうかが分からなくなってきました。「ピストンを引く/押す」操作の場合には、膨張時と圧縮時において、気体のする仕事の符号が逆になる(膨張時はプラスで圧縮時はマイナス)からです。

上記の理解はどこか間違っていますでしょうか。

  • 摩擦力と気体の力を合わせた合力を「ピストンが受ける外力」として考えると、「動摩擦力が働くこと」も「準静的な操作でないこと」もどちらも「ピストンに働く合力がする仕事を小さくする」(これらのどちらも、それがなければピストンにされる仕事が増える)ということになります。どちらも外力の仕事が減じられるという意味で同様です。 -- 前野? 2020-12-30 (水) 18:03:50
  • 分かりました。ありがとうございました。 -- 梅園? 2020-12-30 (水) 18:13:19
  • 分かりました。ありがとうございました。 -- 梅園? 2020-12-30 (水) 19:42:32

p182のクラウジウスの不等式と最大級熱について

田島? (2020-10-14 (水) 22:20:29)

A(S,V)①→B(S+dS,V+dV)②→A(S,V)というサイクルにおいて、解説にあるとおり、dQ,dSの正負は特に指定がないとのことですが、①ではdQという熱をもらい、dWという仕事をし、②ではTdSという熱を放出し、-PdVという仕事をしたとして立式していますが、
(1)dQ<0ならば、「熱を放出した」ということになると思いますが、このように①②の立式において、正の方向(dQならば吸熱ベースで立式)しているのはなぜでしょうか?熱力学に慣れていないためかこのあたりがピンときません。また、②においてPdVではなくーPdVとなっているのもピンときません。
(2)「最大級熱」に関してはp138等温過程において、準静的過程を経るとき、最大吸熱が発生するということをやりましたが、p182は等温過程に限定しているわけではないですよね?

  • そんなのは、$\mathrm dQ$という記号をどう定義するかだけの問題なので、「放熱を$\mathrm dR$」としたっていいわけです(文字を$R$にしたのは$Q$とは別にしたかっただけです)。放熱で考えても吸熱で考えても、物理は変わりません。 -- 前野? 2020-10-14 (水) 22:34:07
  • 仕事が$-P\mathrm dV$になっているというのは、図の中でしょうか。図ではBからA、つまり体積が$V+\mathrm dV$から$V$に変化しているときの仕事を書いているので、($V$から$V+\mathrm dV$に変わるときとは符号が逆になって)$-P\mathrm dV$となります。同様に$T\mathrm dS$は吸熱でなくB→Aの過程での放熱になります。 -- 前野? 2020-10-14 (水) 22:36:21
  • ここでは等温操作に限ってませんが、$T\mathrm dS\ge\mathrm dQ$は示せたので、$T\mathrm dS$は「最大吸熱」です。 -- 前野? 2020-10-14 (水) 22:37:53
  • 簡単には出せないので、$\mathrm dQ$などの$\mathrm d$にはバー(横線)を引いてません。 -- 前野? 2020-10-14 (水) 22:38:42
  • ありがとうございます。心配が晴れました。 -- 田島? 2020-10-14 (水) 23:21:10

p51のオイラーの関係式について

(2020-10-13 (火) 17:57:16)

「xの次数+yの次数=1」という関係式の1というのは問3-4にあるように、示量変数の総次数ということでしょうか?(√xyならば1/2乗ずつで,合わせて1次です)


p38のコンデンサーの例でのルジャンドル変換

田島? (2020-10-13 (火) 00:56:34)

U(V,l)=U(Q,l)-(∂U/∂Q)Qは(2.35)のU全とはQ全Vの差があり、これは定数項とありますが、どちらもVを独立変数としているので、変数ではないでしょうか?この文はどういう意味なのでしょうか?

  • ここでは「一つの電池を繋いでいる」という状況を動かさずにコンデンサの曲板間距離を変えて要る、という文脈で見て下さい。Vはその文脈では一定です。 -- 前野? 2020-10-13 (火) 01:55:35
  • ありがとうございます。 -- 田島? 2020-10-13 (火) 11:39:08

p25の補足に関して

田島? (2020-10-12 (月) 00:06:18)

xが座標でないことの説明として、mの位置はxだけでは指定できないというのがよくわかりません。mは天井からの距離xを指定すれば位置が指定されるのではないのですか?

  • 指定はできますよ、もちろん。この補足で言っているのは「【単純に】xでは表現できない」ということです。xは「2倍して$\ell-a$を引く」という操作をして初めて位置が表現できるので【単純に】は位置を表現する座標じゃない、ということです。 -- 前野? 2020-10-12 (月) 09:15:56
  • ああ、ご質問はMはともかくmだけなら座標と呼んでもいいのでは、ということですね。それはそうかもしれません。 -- 前野? 2020-10-12 (月) 09:18:17
  • ありがとうございます。(m,M)=(x,l-a-2x)というのは「座標」ではなく、「一般化座標」ということですね? -- 田島? 2020-10-12 (月) 10:47:49
  • xという変数は、Mに関しては位置を直接示してないので座標ではない、ということです。、ということです。mの位置だけの話をしているのなら「座標」と呼んでもいいでしょう(という意味では本の記述はちょっと言い過ぎてました)。xはそういう意味で一般化座標です。 -- 前野? 2020-10-12 (月) 18:17:06
  • ありがとうございます。 -- 田島? 2020-10-12 (月) 23:07:08

p247の5行目の計算

田島? (2020-10-11 (日) 11:07:58)

p247の5行目で、F0[T;V,(1-x)N]+F1[T;V,xN]を計算しておりますが、それは11.42と11.43のという関数のxに関係する部分(ここではx前と固定されていますが)を調べているのですか?そうすると、(1-x)F0[T;V,N]の項はF0[T;(1-x)V,(1-x)N]となるのでF0[T;V,(1-x)N]とは一致しないと思うのですが、勘違いでしょうか。

  • すいません、これは(11.42)と(11.43)の方が間違ってます。体積Vの中に(1-x)NおよびxNの物質がいる、という状況なので、前も後も$F[T;V,N]=F[T;V,(1-x)N]+F[T;V,xN]$とならなくてはいけません。 -- 前野? 2020-10-11 (日) 11:56:18
  • ありがとうございます。 -- 田島? 2020-10-11 (日) 12:27:03

表紙裏 熱力学攻略チャート

kiyora? (2020-10-10 (土) 13:14:51)

熱力学攻略チャートについてです。(わかりやすくて大変助かっております)
結果4から結果3に向かって矢印が伸びています。
本文によると、この矢印の向きは逆だと思ったのですが、合っていますでしょうか。

  • すいません、たしkにこの矢印は逆です。 -- 前野? 2020-10-10 (土) 16:46:59

系への操作の分類について

kiyora? (2020-10-10 (土) 01:20:38)

平衡状態の遷移をもたらす系へのすべての操作として、
断熱操作と等温操作
の2つが挙げられていますが、
この2つの操作だけで、平衡状態の遷移をもたらす現実の操作はすべて記述できるのでしょうか。
お忙しいところ突然の質問で恐縮ですが、どうぞ宜しくお願い申し上げます。

  • 現実の操作としては等温・断熱以外にもたくさんあります(熱の出入りがありつつ等温じゃない変化はどちらでもないですから)。「ある状態Aからある状態Bへの操作は断熱操作と等温操作だけで実現できるか?」という質問なら、YESです。後者が言えるので、すべての状態の間の関係を等温操作と断熱操作だけを手がかりに考えることができあます。 -- 前野? 2020-10-10 (土) 10:31:57
  • ありがとうございます。 -- [[kiyora ]] 2020-10-10 (土) 10:59:26

p241の中間dF(途中)の計算

田島? (2020-10-08 (木) 00:12:35)

dλ(~)という部分の()の項で消えているはずの項①(∂FAB/∂NA2)×(dNA2/dλ)+②(∂FAB/∂NB2)×(dNB2/dλ)について、「化学ポテンシャルが等しい」という条件、∂FAB/∂NA2=∂FA/∂NA1と∂FAB/∂NB2=∂FB/∂NB3により消えるそうですが、①②が絶対値が等しく、符号反対となるのが考え落としがあるのかピンときません。教えてください。

  • 消えている項は${\partial F_{\rm A}\over\partial N_{\rm A1}}{\mathrm dN_{\rm A1}\over\mathrm d\lambda}+{\partial F_{\rm AB}\over\partial N_{\rm A2}}{\mathrm dN_{\rm A2}\over\mathrm d\lambda}$と${\partial F_{\rm AB}\over\partial N_{\rm B2}}{\mathrm dN_{\rm B2}\over\mathrm d\lambda}+{\partial F_{\rm B}\over\partial N_{\rm B3}}{\mathrm d N_{\rm B3}\over\mathrm d\lambda}$です。 -- 前野? 2020-10-08 (木) 08:22:42
  • ${\partial F_{\rm AB}\over\partial N_{\rm A2}}{\mathrm dN_{\rm A2}\over\mathrm d\lambda}+{\partial F_{\rm AB}\over\partial N_{\rm B2}}{\mathrm dN_{\rm B2}\over\mathrm d\lambda}$は、もちろん消えません。 -- 前野? 2020-10-08 (木) 08:24:33
  • ありがとうございます。依存性を正確に捉えておりませんでした。 -- 田島? 2020-10-08 (木) 12:09:37

λの示強性に関して

田島? (2020-10-07 (水) 21:41:42)

p239の一番下の式F(途中)を見ると、λ(無次元量)は示強性の変数となっていますが、これはどうしてでしょうか。ピンときません。

  • ある量が示強変数か示量変数かは、「系のコピーを複数持ってきたとしても変わらないか、そのコピーの数だけ増えるか」で決まります。λは「元の体積と混合が終わった体積の比」ですから、コピーを持ってきても増えません(コピーをN個持ってくると、「元の体積」も「混合が終わった体積」も同時にN倍になる)。 -- 前野? 2020-10-07 (水) 21:50:32
  • ご説明ありがとうございます。定義がまだ十分に定着しておりませんでした。 -- 田島? 2020-10-07 (水) 22:20:35

P.242の(11.39)について

FumaRu? (2020-10-06 (火) 08:25:00)

題名の通り(11.39)式についてです。この$P_{AB}$の式で$F{AB}$がVで偏微分されていますが、正しくは$V{AB}$ではないでしょうか?私の理解不足や勘違いでしたら申し訳ありません。

  • FABは$F_{AB}$、VABは$V_{AB}$のことです。入力ミスをしてしまいました。お手数おかけしてすみません。 -- FumaRu? 2020-10-06 (火) 08:46:32
  • ありがとうございます。確かに、ここの微分は$V_{\rm AB}$による微分です。 -- 前野? 2020-10-06 (火) 08:56:16
  • ありがとうございます。安心しました。 -- FumaRu? 2020-10-06 (火) 12:30:38

p192のエントロピーが最大になる条件に関して

田島? (2020-09-30 (水) 15:36:10)

(9.50)の等号が成り立つとき、エントロピーが最大になる。と下から4行目にありますが、これはどのように考えているのでしょうか。

  • エントロピーは大抵増えるので大抵は$\mathrm dS_1+\mathrm dS_2>0$だが、最大になる点があるならそこでは微分が0になっているはずなので$\mathrm dS_1+\mathrm dS_2=0$になる、というのが「エントロピー最大」の点の条件です。(9.50)は$\mathrm dS_1+\mathrm dS_2$に$T_1$を掛けてから$T_1\mathrm dS_1=-T_2\mathrm dS_2$を使ったものですから、等号が成り立つのはエントロピー最大の点です。 -- 前野? 2020-09-30 (水) 17:26:12
  • ありがとうございます。 -- 田島? 2020-09-30 (水) 20:26:57

p191の図に関して

田島? (2020-09-30 (水) 12:03:18)

p191の9.4.2の図に関してですが、説明と照らし合わせると、(また、ほかのページの図と比べると)最初の状態は複合系を外部と区切っている壁は断熱壁、複合系内部の壁は透熱壁ではないでしょうか?それ以下の図も透熱と断熱が入れ替わっているように思います。勘違いでしたらすみません。

  • ありがとうございます。銀色が断熱壁、灰色が等温壁で、それが正しいです。原稿では合ってたんですが、印刷段階のどこかで入れ替わったようです。次の版で訂正します。 -- 前野? 2020-09-30 (水) 12:26:32
  • 私の勘違いでなくてよかったです。ご確認いただいてありがとうございました。 -- 田島? 2020-09-30 (水) 12:32:18

p8w C.28 の係数

shino? (2020-09-28 (月) 13:13:42)

C.28 の第 2 項(M のポテンシャル側)に平方根(1/2乗)の微分から落ちてくる 1/2 が抜けてるかも? と思いました。

  • すいません、たしかに抜けてますね。分子の4が2になります。 -- 前野? 2020-09-28 (月) 16:37:35
  • 確認ありがとうございました。 -- shino? 2020-09-29 (火) 09:18:17

p112に関して

田島? (2020-09-22 (火) 22:44:43)

p112の最後の段落「ここで操作(1)(2)は準静的に元に戻せるから~」とありますが、操作(1)(2)が準静的操作といえるのはなぜでしょうか?

  • (1)の「仕切りを入れる操作」が準静的であることは69ページあたりに書いてあります。(2)に関してはそういう設定で考えるということです。 -- 前野? 2020-09-23 (水) 00:45:12
  • ありがとうございます。 -- 田島? 2020-09-23 (水) 08:50:54

P.167の図について

FumaRu? (2020-09-18 (金) 08:00:23)

題名の通り、P.167の図についてですが、おそらく本来はCausiusの原理、逆Carnotサイクルと書いてあるところが、「Cl ausi の原理」や「逆r nKl evサイクル」と言ったようにアルファベットの綴りが少し変になっていました。誤植かなと思い、掲示板に書き込ませていただきました。

  • ご指摘ありがとうございます。確かにその通りで、原稿段階ではちゃんと「Clausiusの原理」「逆Carnotサイクル」だったのですが、書籍にする段階で何かエラーが発生したようです。次の版で修正します。 -- 前野? 2020-09-18 (金) 19:07:59

P.22

FumaRu? (2020-09-12 (土) 21:26:51)

つりあいの位置や条件をポテンシャルの微分が0であることから求める際に、「力がつりあっている」のは物体が静止するための必要条件にすぎないので、つり合いの条件というのは静止または等速直線運動するための条件となると思うのですがこれは正しいでしょうか。

  • すみません。23ページでした。 -- FumaRu? 2020-09-12 (土) 21:27:42
  • つりあっているのは「静止または等速直線運動」の条件なのは正しいです。ここでは等速直線運動は考えてないだけです。 -- 前野? 2020-09-13 (日) 05:47:57
  • ただ考えてないというだけなのですね。理解出来ました。ありがとうございます。 -- FumaRu? 2020-09-18 (金) 01:17:39


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