「よくわかる初等力学」(東京図書)サポート掲示板

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P252(8.52)

大学生? (2017-06-25 (日) 21:47:32)

軸周りの角運動量の式について、
座標が動いている状況でも、N=dL/dtは成り立つのですか。
また座標が動いているなら慣性力を考慮した式にするべきではないのですか。

  • その前の8.6.1の最後で運動エネルギーが重心の並進運動によるものと重心周りの回転運動によるものにきれいに分かれるという話をしています。ここでの運動方程式についても同様のことができます。 -- 前野? 2017-06-26 (月) 18:25:23 New!
  • 慣性力が働くとして考えてもいいですが、この場合の慣性力は重力と同様に「重心一点に働くもの」と考えることができるので、慣性力は重心周りのモーメントを作らないので、心配しなくてよいと思います。 -- 前野? 2017-06-26 (月) 18:27:01 New!

P.94 下から4行目

鮒27? (2017-06-23 (金) 20:14:57)

  • faとありますが、このマイナスは何を意味するのでしょうか?
    P.90の定義に従えばfaは正のモーメントではないのでしょうか?
  • 相対的符号が大事で、後ででてくるモーメントを正にしたのでこっちは負になってます。 -- 前野? 2017-06-23 (金) 20:41:36 New
  • 反時計回りを正にする事が多いので、確かにその定義からすると逆です。 -- 前野? 2017-06-23 (金) 20:42:40 New
  • なるほど分かりました。ありがとうございます。 -- 鮒27? 2017-06-23 (金) 22:03:21 New
  • わかりました。 -- 大学生? 2017-06-25 (日) 21:34:44 New
  • 下の記事についてのコメントです。 -- 大学生? 2017-06-25 (日) 21:35:41 New

質点の角運動量と角速度ベクトル

大学生? (2017-06-20 (火) 18:06:59)

P234の(8.13)では角運動量と角速度ベクトルは平行。P244の(8.29)では角運動量と角速度ベクトルは平行でない。
なぜこのようなことが起きるのですか。

  • (8.13)では極座標なのでつねに位置と軸が垂直になるように回転の軸自体が回転しているからでしょうか。 -- 大学生? 2017-06-20 (火) 18:17:29
  • (8.13)は質点。(8.29)は剛体。対象としている物体がまるで違います。 -- 前野? 2017-06-20 (火) 18:19:46
  • (8.29)の$\vec\omega$は「剛体全体の角速度ベクトル」であって、そもそも(8.13)で使っているものとは別のベクトルです。 -- 前野? 2017-06-20 (火) 18:21:25

P246 8.4.1

大学生? (2017-06-19 (月) 15:28:01)

重心を原点とする座標に移して慣性テンソルを計算しています。いままでは回転の軸が原点を通るようにしていたので、v=ω×xとなっていました。ですが、重心を原点としてしまうとv=ω×(x'+x_g)となり、(8.31)の式と(8.32)の式は正しいものではなくなってしまうと思うのですが、(8.35)のように式変形してよいのでしょうか。

  • ???? 原点が違えば慣性テンソルが違うからこそ、(8.35)のように$I_{zz}$をあえてダッシュ付きの座標で計算して、$I_{z'z'}$との違いを見よう、というのがここでの計算です。 -- 前野? 2017-06-19 (月) 15:59:27
  • 完全に勘違いでした。ごめんなさい。 -- 大学生? 2017-06-20 (火) 08:06:19
  • ちなみに(8.37)はどうして0になるのですか。ρ_v(x')なら0になることはわかるのですが、ρ_v(x)では重心分ずれたところの密度をかけてしまうことになります。 -- 大学生? 2017-06-20 (火) 08:08:42
  • むしろ$\rho(\vec x')$にしてしまったらずれてしまいます。$\rho(\vec x)$は「場所$\vec x$での質量密度」ですから。それに「重心からのずれ$\vec x'$を掛けて積分」をするから0になります。 -- 前野? 2017-06-20 (火) 09:02:01
  • そうですよね。ありがとうございました。 -- 大学生? 2017-06-20 (火) 14:01:45

p252(8.52)

ぬらりひょん? (2017-06-13 (火) 14:09:52)

回転体の問題では、運動方程式と回転の方程式が必要であることは理解しました。$I$が運動方程式の質量に対応する量であることもp243に書いてあります。
ここで、(8.52)に登場したIは、慣性テンソルにおける何に対応しているのでしょうか。具体的には、
$I \frac{d \omega}{dt}=fR$ とありますが、この$I$は$ I = \sum_{i,j}^{}I_{ij} $ ということでしょうか。
よろしく御願いいたします。

  • (8.52)で考えているのは考えている円柱の特定の軸の回りの運動だけ(3次元だから「軸」は三つあるけど、そのうち一つだけを考えて、あとは考えてない)のですから、ここの$I$は、その特定の方向に関する慣性テンソルです(たとえば、紙面に垂直な方向をz軸としているなら、$I_{zz}$)。 -- 前野? 2017-06-13 (火) 14:17:33
  • ありがとうございました。 -- ぬらりひょん? 2017-06-13 (火) 16:04:07

角速度ベクトル

大学生? (2017-06-12 (月) 22:49:33)

P241の(8.21)の下にω↑=ωe_z
とあるのですが、(8.13)の定義からすると角速度ベクトルはe_zの向きではないのではないでしょうか。

  • (8・13)は質点の話、p241でやっているのは剛体棒ですから、話が違います。ここでの定義は図で示している通りです。 -- 前野? 2017-06-13 (火) 05:21:26
  • 剛体についての議論を進めるのに便利なので、角速度ベクトルを再度定義し直した。ということですか。その定義とは、角速度ベクトル=(軸に直交する位置ベクトル成分)×(「軸に平行な位置ベクトル成分」と軸の両方に直交する速度成分)/│(軸に直交する位置ベクトル成分)│­^2 で良いですか。p241ではそもそも軸を回転の軸と重なるようにうまくとっているので角速度ベクトル=(軸に直交する位置ベクトル成分)×(「軸に平行な位置ベクトル成分」に直交する速度成分)/│(軸に直交する位置ベクトル成分)│­^2 -- 大学生? 2017-06-13 (火) 13:53:03
  • となります。 -- 大学生? 2017-06-13 (火) 13:54:35
  • そんな難しいこと言わなくても、剛体の回転軸は決っている場合の話なんですから、向きは軸の方向(回転に大して右ねじの進む向き)、大きさはその剛体が1秒に何ラジアン回ったか、ってだけで十分です。つまり素直に物がくるくる回っているときに「1秒にどんだけ回ってる?」と問えば返ってくる答えだと思えばいいです。 -- 前野? 2017-06-13 (火) 14:00:37
  • そうですよね。ありがとうございました。 -- 大学生? 2017-06-18 (日) 16:19:53

P.240

鮒27? (2017-06-10 (土) 22:36:45)

(8.20)の2つ目の等号の後ろ、ωが抜けています。
その1行下、(8.19)より(8.17)を参照したほうが比較しやすいと思います。

  • ありがとうございます。次の版で修正します。 -- 前野? 2017-06-11 (日) 05:50:47

無題

m.y? (2017-06-06 (火) 18:15:22)

P.374: 圧力の次元

  • 何だろう?と思ってみてみましたら、圧力の次元が間違ってますね。${\rm ML}^{-1}{\rm T}^{-2}$が正解です。 -- 前野? 2017-06-07 (水) 09:24:38

P97

大学生? (2017-06-03 (土) 23:36:11)

力のモーメントがベクトルとして足し算できることを書いてありますが、これはp98のように、偶力の元になっている力が重なる時、つまり二つの偶力の軸が直交する時のみベクトルとして足し算できるということでしょうか。

  • いいえ。節の最後の結論にありますように、任意の力でできます。 -- 前野? 2017-06-04 (日) 09:06:23
  • P97で原点に等大逆向きの力を加えるというのはそこに物体がなくても定義することは出来るのでしょうか。 -- 大学生? 2017-06-05 (月) 20:26:16
  • ttps://www.fastpic.jp/viewer.php?file=9532108515.jpg この画像では原点に等大逆向き後からを加え偶力を移動したものです。二つの現象は同じと言えるのでしょうか。 -- 大学生? 2017-06-05 (月) 20:36:47
  • 等大逆向き後ろからを加え→等大逆向きの力ををあとから加え の誤りです。 -- 大学生? 2017-06-05 (月) 20:39:06
  • ここでは力の掛かり具合を「変形」させているわけですが、どういう変形を考えているかというと「力の総和」と「力のモーメントの総和」が変わらないような「変形」です。そういう変形であれば何をやってもいい。実際にその「変形によって作られた仮想的な力」の働く場所に何か物体があるかどうかはどうでもよいことです。 -- 前野? 2017-06-05 (月) 21:08:15
  • 結局つりあいの式なり運動方程式なりを立てるときには「総和」が変わって無ければ式は変わらないのだから、そこを守れば何をやってもいいよ、と考えてください。 -- 前野? 2017-06-05 (月) 21:09:12

P.188 (6.28)

鮒27? (2017-05-28 (日) 01:52:08)

(6.29)のように2つ目の等号(と、それに続く式)を書いたほうが良いと思います。

  • うーん、確かに。なんでこれ書いてないのか、自分でもわかりません。次の版で直したいと思います。 -- 前野? 2017-05-28 (日) 08:56:06
  • ご対応ありがとうございます。 サポートページのeの添え字、x1とx2が逆ではないでしょうか?ご確認ねがいます -- 鮒27? 2017-06-10 (土) 22:44:50
  • すみません、前にマイナスがついていました。私の勘違いです。 -- 鮒27? 2017-06-10 (土) 23:12:21

P.221 (7.46)の2行上

鮒27? (2017-05-28 (日) 00:54:03)

Δx_iですが、ベクトル記号が抜けています。

  • これもご指摘の通りです、すみません。 -- 前野? 2017-05-28 (日) 08:54:56

P214 下から2行目

鮒27? (2017-05-27 (土) 19:15:16)

7.2.1節(P.202)とありますが
7.3.1節(P.207)かと思います。

  • 確かにそうですね、ご指摘ありがとうございます。 -- 前野? 2017-05-28 (日) 08:54:27

速度は状態量であることについて

どいちゅ? (2017-05-24 (水) 14:25:58)

「速度は状態量ではないと考えるのは間違い」であることの説明の部分でわからなくなりました。
運動方程式を解けば任意の時刻で速度が一意に決まるから、ということなんでしょうか?

  • むしろ逆で、ある一瞬を考えると位置(0階微分)と速度(1階微分)は運動方程式からは決まりません。加速度(2階微分)から上は運動方程式から決まります。つまり「状態を指定するには、0階微分と1階微分という情報がいる」という意味で「速度は状態量のうち」 -- 前野? 2017-05-24 (水) 23:21:14
  • 間違えてました。わかりました。 -- 2017-05-25 (木) 12:40:43
  • 同じような質問なのですが、p129で、「慣性の法則が伝えているのは速度という物理量もまた状態量であるということである」となっています。これはどういう意味なんでしょうか。この場合の状態っていうのは作用が加えられているか、いないかということですか? -- どいちゅ? 2017-05-25 (木) 16:46:14
  • ある物理量が「状態量」と呼べるためには、回りから何の影響も受けてないときにフラフラ変化されては困るわけです。慣性の法則は「速度は何もしなければ変わらない」ということを言っているので、これのおかげで速度が「状態量である資格」を持っていることがわかります。 -- 前野? 2017-05-25 (木) 17:58:13
  • アリストテレス的な考えに想いを馳せてたら混乱して気分が悪くなりましたがやっとわかりました。ありがとうございます。 -- どいちゅ? 2017-05-25 (木) 20:39:09

糸の張力について

(2017-05-21 (日) 19:00:32)

「よくわかる初等力学」のp.20の右下にある拡大した図に書かれている2つの力は、作用・反作用の法則によるものですか?

  • 一番下の図の、○の形をした吹き出しの内側にある力のことですね? それなら本文中にも「互いに引っ張り合うような力」と書いてある力ですから、この二つは「作用と反作用」です。 -- 前野? 2017-05-21 (日) 20:26:49
  • ありがとうございます。 -- 2017-05-21 (日) 21:09:57
  • 続けて質問すいません。「よくわかる初等力学」のp22の練習問題(1)について質問です。物体Bは糸の張力T2によって引かれていて、これの反作用を考えると、物体Bは糸を引くと思うのですが、その反作用は物体Aから出ています。なぜ、糸から反作用が出ていないのですか? -- 2017-05-21 (日) 22:40:50
  • 解答の図の$T_2$のことでしょうか。物体Bが糸を引く力は、煩雑になるので図に書いてません。 -- 前野? 2017-05-21 (日) 22:49:11
  • 図で$T_2$と書いてある力は二つ「物体Aが糸に引かれる力」と「物体Bが糸に引かれる力」ですが、この他に$T_2$で表される力は「糸が物体Aに引かれる力」と「糸が物体Bに引かれる力」があります。後ろの二つは、図には描いてないだけでもちろん存在してます。 -- 前野? 2017-05-21 (日) 22:50:50
  • 「物体Aが糸に引かれる力」と「物体Bが糸に引かれる力」は同じ大きさで逆向きですが、作用・反作用の関係ではありません。 -- 前野? 2017-05-21 (日) 22:52:24
  • 「糸が物体Aに引かれる力」はT1ではないのですか? -- 2017-05-21 (日) 23:04:15
  • 糸は3本ありますが、今言っている「糸」は物体Aと物体Bを結んでいる糸です。$T_1$は「天井と物体Aを結んでいる糸」の力です。 -- 前野? 2017-05-21 (日) 23:08:17
  • 物体Aに張力T2が加わる理由がよく分かりません。「糸が物体Bに引かれる力」が糸を伝って、物体Aに伝わったということでしょうか? -- 2017-05-21 (日) 23:17:16
  • これがわからないとしたら、たぶん20ページの説明がまだわかってないんじゃないかと思いますので、そこを読み直していただきたいところです。 -- 前野? 2017-05-21 (日) 23:18:10
  • 20ページに「糸の質量を無視できる場合、糸の張力はどこでも同じ強さになる」と書いてあります。その説明は大丈夫でしょうか。 -- 前野? 2017-05-21 (日) 23:19:16
  • ですから、糸を物体Bが下から$T_2$で引っ張っている時は同じ糸を物体Aが上から$T_2$で引っ張っていることになります。 -- 前野? 2017-05-21 (日) 23:19:45
  • 読み直してみます。何度も質問に答えていただきありがとうございます。 --

力の変数について

(2017-05-16 (火) 22:56:24)

運動エネルギーを導出するときに疑問に思ったことなのですが…(よくわかる初等力学には細かく書かれていなかったので、別の本も読んでみたのですが…)
運動方程式 d^2r/dt ^2=Fにおいて、r(位置ベクトル)は時刻tの関数だと思うのですが、このときのFの変数がtならば納得できるのですが、Fがrの関数のときがあるのですか?(つまり、左辺はtの関数なのに右辺はrの関数ということがあるのでしょうか?)

  • Fがrの関数ならば位置ベクトルrの変数がrでないと右辺と左辺で変数が異なり違和感があるのですが、位置ベクトルが位置ベクトルの変数になるというのも違和感があります。 -- 2017-05-16 (火) 22:59:24
  • 仮に位置ベクトルが位置ベクトルの関数で与えられるとしたら、運動方程式はrの関数をtで微分しろと言っていることになると思います。 -- 2017-05-16 (火) 23:00:44
  • 質点の運動方程式を考えているのでしたら、右辺のFってのは正確に書けば$\vec F(\vec r(t))$のはずです。つまり、位置ベクトルが時間の関数で、力はその位置ベクトルの関数である。 -- 前野? 2017-05-17 (水) 00:38:44
  • 他の本にどう書いてあるかは知りませんが、物体の運動を考えて式を立てているのだから、運動方程式に出てくる力Fがrの関数で、rが時間の関数であるという意味でFが合成関数の意味でtの関数になっていることは何も不思議はないです。 -- 前野? 2017-05-17 (水) 00:41:08

誤植?

TM? (2017-05-01 (月) 20:49:28)

誤植と思われる個所がありましたので、ご確認ください。
・p218の下から10行目:(腕の長さに比例して)がa:b....
「が」をトル
・p218の下から3行目:内側の滑車の糸が引っ張る距離(C→D)よりも短い
(誤)短い → (正)長い
・p232の「三つの保存則のFからの導出の図解」:Fから角運動量保存則を導出できることを示す矢印の下の説明
(誤)dx×をかけて積分 → (正)x×をかけて積分
(xは→を付したベクトル)

  • 「短い」→「長い」は前にも指摘がありました。サポートページの方にはまとめてますので御覧ください。 -- 前野? 2017-05-03 (水) 12:21:51
  • 最初のa:bのところのが「が」は確かに不要です。次の版で訂正させていただきます。御指摘ありがとうございました。 -- 前野? 2017-05-03 (水) 12:22:21
  • 最後の「$\mathrm d\vec x\times$をかけて」はこれでいいです。元の式の$\vec F$に$\mathrm d\vec x\times$をかけて$\mathrm d\vec x\times \vec F$で、これに積分記号をつけて$\int \mathrm d\vec x\times\vec F$とした後で(右辺も同様の計算)をした結果が角運動量保存則です。 -- 前野? 2017-05-03 (水) 12:24:31
  • dx ⃗ ×F ⃗ から角運動量保存則を導く力がなかったので、誤植ではないかと思ってしまいました。ただ、x×を左からFにかけることによって、自分なりに角運動量保存則を導くことができました。時刻tの質点(質量m)の位置ベクトルをx、,質点にかかる外力をFとします。x×F=Nは力のモーメントで角運動量とp231の(8.5)式の関係が成り立ちます。(8.5)式の両辺をtについて積分すると、右辺は(8.4)式になります。一方、左辺は0ですので、積分すると 定数になります。したがって、(8.4)式は時間tにかかわらず一定になり、角運動量保存則を示しています。これでは間違いでしょうか。 -- TM? 2017-05-03 (水) 20:42:22
  • それでいいです。というか、そういう理屈をp231で説明済みなので、p232の図にはいちいち書いてなかっただけです。 -- 前野? 2017-05-04 (木) 02:58:51

p292について

? (2017-05-01 (月) 10:55:04)

質問です。
p292に「慣性の法則が静止と等速直線運動を区別していないこと」とあるのですが、具体的にどのようなことなのかわかりません。
初歩的な質問ですが、よろしくお願いします。

  • 慣性の法則の文章を見てもらうと、「静止」または「等速直線運動」であって、慣性の法則だけでは、このどちらが起こるのかわかりません。こういう意味で「区別ができない」ということにになります。 -- 前野? 2017-05-01 (月) 12:10:23
  • たとえば加速度のある運動と等速直線運動は、「力がつりあっているかどうか」(慣性の法則が成り立つ場合かどうか)で区別可能です。 -- 前野? 2017-05-01 (月) 12:11:19
  • ご回答ありがとうございました。無事理解することができました。もう1つ質問です。どうしてこのことが、運動方程式がガリレイ変換に対して共変となることに効いてくるのかがわかりません。質問が続いて申し訳ありません。 -- ? 2017-05-01 (月) 14:49:31
  • あと、それに関連して質問です。ガリレイの相対性原理の"相対"とは、どういう意味で相対的なのでしょうか?よろしくお願いします。 -- ? 2017-05-02 (火) 21:29:55
  • 「見る立場が変わっても物理法則が変わらない」というのが相対性原理で、「相対的だ」というのは「見る人の立場によって変わらない(立場が変わったからといって物理法則を変更する必要はない」ということです。 -- 前野? 2017-05-03 (水) 12:30:09
  • ご回答ありがとうございます。でも、僕のイメージだと「立場によって変わらない」というのは、逆に絶対的を指しているものだと思えてしまいます。よろしくお願いします。 -- ? 2017-05-03 (水) 21:02:39
  • 「変わらない」という言葉の意味を誤解してませんか。「変わらない」というのは「どの人でも同じ物理法則を使っている」ということです。ですから逆に「この人だけが物理法則を使うことができる」というような特別な立場(絶対的な立場)がないわけです。これを「相対的」と言ってます。「絶対的」というのは特権的な立場の人がいる場合です。 -- 前野? 2017-05-04 (木) 02:54:50
  • ご回答ありがとうございます。理解できました。 -- ? 2017-05-04 (木) 06:17:49

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Last-modified: 2017-06-26 (月) 18:27:01 (14h)