「よくわかる初等力学」（東京図書）サポート掲示板（2016/06まで） †
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ニュートン力学における公理について †
ちゃまろ? (2016-06-09 (木) 21:26:51)
ニュートンの運動の法則として3つ挙がっていますが、そもそもこれはどういった公理・原理に基づいた法則なのですか？
- 三法則こそが公理ですよ。 -- 前野?
- そうなのですね。ありがとうございます。 法則というのは証明できるものだと思っていました。 -- ちゃまろ?
p１４６〜の抵抗力が働く場合について質問です †
けい? (2016-06-06 (月) 21:47:35)
よくわかる初等力学で力学を勉強を進めていますが大学の授業では違う力学の教科書を使っています。前野先生の本では抵抗力が働く場合の運動方程式を立てる際に、速度に働く抵抗力としてkvを用いていますが、大学の教科書ではkmvを使って運動方程式を立てています。前野先生の本ではmは定数なのでkにｍを含めているということなのでしょうか？そもそも抵抗力は質量に比例したりするものなのですか？
お忙しいところ申し訳ないのですが、ご教授いただけると幸いです。
- どっちにせよ定数なので物理的意味に違いはありません。mを含めている理由は私にはわかりませんが、f=maのmと割算で消えるように、かもしれません。 -- 前野?
- なるほど。。。空気抵抗に質量ｍは関係あるのでしょうか？空気抵抗をkmvと書くことにあまり納得がいかないのですが、、 -- けい?
- その本でkmvと書いているのはその本の著者なりの思惑があるんでしょうが、私には判断できません。空気抵抗は主に材質や形状(断面積など)で決まります。 -- 前野?
- なるほど。お忙しい中ありがとうございます。 -- けい?
p190 6.5 ロケットの運動 について †
たくみ? (2016-05-15 (日) 12:09:58)
ロケットの運動についてですが、重力を考慮するとした場合、（6.37）式では重力の影響として dm×g が必要なのでしょうか？
また、ガスを後方に噴出することによって推力を得るとありますが、推力の影響は（これは重力の影響がある場所でなく、宇宙空間でも）考えなくてもいいのでしょうか。
- 推力についてですが、時刻tでも時刻t+dtでも推力は同じだから0ということなのでしょうか。 -- たくみ?
- 推力は同じで、F=maより、mが小さい方が加速度は大きくなるのでロケットは加速して飛ぶことができる、ということでしょうか。長くなってしまい申し訳ありません。よろしくお願いします。 -- たくみ?
- 推力についてですが、時刻tでも時刻t+dtでも推力は同じだから0ということなのでしょうか。 -- たくみ?
- 重力がある場合は、$mg\mathrm dt$を加えます（重力は全体の質量に対して掛かるのだから、$m$に$g$を掛けます）。(6.37)で計算しているのは運動量の変化だから、力積に等しくなりますので、時間である$\mathrm dt$も掛けます。 -- 前野?
- 「推力の影響は考えなくてもいいのでしょうか」という質問が出てくるということは、なにか誤解があるように思われます。というのは、ここで計算しているのはまさに「推力の影響がどうなるのか」という計算だからです。(6.37)あたりで計算しているのは「後方に噴射したことでロケットが押される」という現象です。 -- 前野?
- 「時刻tでも時刻t+dtでも推力は同じだから0」というのは、もちろん違います。推力はもう考慮に入ってます。 -- 前野?
- mが小さいほうが同じ推力でも加速が大きいというのは、そのとおりです。 -- 前野?
- 推力の影響はv+dvとvの差、ということでしょうか？ -- たくみ?
- 私が（勝手に）立てた式はm(t+dt)-m -- たくみ?
- ↑は間違えました。私が勝手に立てた式は、m(t+dt)v(t+dt)-m(t)v(t)={F(t+dt)-F(t)}dtだったのですが・・・。速度が時刻tと時刻t+dtで異なるという点に推力の影響があると考えてよろしいのでしょうか。 -- たくみ?
- F(t+dt)-F(t)のF(t)ってなんですか？？重力？？？だとしたら引き算する意味がまったくありませんが。 -- 前野?
- m(t+dt)v(t+dt)-m(t)v(t)はdtという微小時間の間の運動量の変化ですから、これに等しいのは（力）×dtです。 -- 前野?
- m(t+dt)V(t+dt)-m(t)v(t)=mgdtだと、推進剤を噴射した影響は式に入ってませんから、これを（本に書いているのと同じように）入れていく必要があります。 -- 前野?
- F（t+Δt）は時刻t+Δtにおける推進力、F（t）は時刻tにおける推進力です。 -- たくみ?
- 「推力の影響がどうなるか」とい計算をしているのに既に推力が考慮されているのですか？それはv（t+Δt）-v（t）に含まれている、ということでしょうか。 -- たくみ?
- F（t+Δt）は時刻t+Δtにおける推進力、F（t）は時刻tにおける推進力です。 -- たくみ?
- ここで計算しているところの「推力」とは、(6.36)で言えば-dm(v-w)という「後ろに噴射した質量」によって得られる「ロケット本体の運動量変化」を指します。だから(6.36)の部分で推力は考慮されています。 -- 前野?
- つまり(6.36)という式の中にすでにこの意味での「推力」は入ってます。もちろん、これ以外に何か（誰か）が力を加えているのなら、ここに追加する必要がありますが、p191あたりで考えているのはそういうことではありません。 -- 前野?
- dp/dt=Fで運動量が変化したならば力が働いているの逆 -- たくみ?
- 逆の考え方（力が生まれたから運動量が変化している）ということでしょうか。（微分形の場合は質量が増えたのか速さが速くなったのか、あるいはその両方なのかはわかりませんが…） -- たくみ?
- 細かいメカニズムを考察するならば、この場合、力はp190の図にあるように、噴射される推進剤が壁を押すことによって実現してます。 -- 前野?
- ここでは、細かいメカニズムを考察しなくても、運動量保存を手がかりに運動を考えることができる、という話をしているわけです（そういう意味では、運動量変化から力があることを導いている、とも言える） -- 前野?
P76 2.7.2 滑車にかけられた、質量のある糸の張力について †
昔の物理学生? (2016-04-25 (月) 21:54:04)
今、「よくわかる初等力学」を読み始めながら、「よくわかる初等力学」6回目に突入しました。
さて、今まで、分かったつもりになって読んでいたのですが、「T2=T+dTと書けば」が分かりません。
これは、ρRgcosθdθ=dT(2.48)となることを見越して、T2=T+dTと置いたのか、それとも他に何か根拠があるのでしょうか？
お忙しいところ恐縮ですが、ご教示お願い致します。
- そんな難しいことは何も考えずとも、Tより少し増えているだろうからT +dT にするか、というだけのことです。dT が微少量なのはdθを0にすると0になる量である事からわかります。dTの詳しい中身は後で考えるわけです。 -- 前野?
- ありがとうございます。勉強になります。 -- 昔の物理学生?
p19 練習問題 【問い 1-1】の解答について †
杉本? (2016-04-14 (木) 15:27:14)
既出でしたら申し訳ございません。
p386解答に記載されている(1)(2)のN3の答えは
(1) N3 = N2 + mcではなく、N3 = N2 + mcg
(2) N3 = N1 + N2 + mcではなく、N3 = N1 + N2 + mcg
ではないでしょうか？
- はい、その通りですすみません。第２刷で訂正済みです。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- 杉本?
練習問題 問い2-6 †
鷹居? (2016-03-24 (木) 19:05:36)
この問題の解答に“ヒントのつりあいの式からN＝mg＋fcosθ,F＝fsinθだからfsinθ＜μ（mg＋fcosθ）が満たされていればすべらない。”と書いてありますが、fsinθ＝μ（mg＋fcosθ）の場合もすべらないのではないですか？
- そこ（ちょうど＝）は「ギリギリ」のところなので、入れても入れなくてもよい場所です。等号が満たされていると、ほんの少しでも外力が（問題に記されている以外に）働いたら動いてしまうので、「すべらない」と断言しがたい感じはありますね。まぁ、ここはどっちでもいいです。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- 鷹居?
作用・反作用の法則について †
ちゃまろ? (2016-03-21 (月) 20:50:47)
作用・反作用は同時に伝わるのでしょうか？
例えば、相対性理論では同時性が崩れてしまうので、力の同時も崩れてしまうような気がするのですが。
- 本来、初等力学で相対論持ち出すのは適用範囲以外です。とりあえず「作用・反作用は同時」というのはどの場合でも当然成立します。 -- 前野?
- では相対論的にはどう考えるべきかというと、相対論では、「力は常に同時刻、同一地点で働く」というふうに考えます。 -- 前野?
- たとえば電磁気になりますが、クーロンの法則を考えましょう。これを「電荷と電荷の間に力が働く」と考えてそれぞれを作用・反作用と思い、これが同時に働くとすると相対論的には「光より速く力が伝わった」ってことになります。 -- 前野?
- ところが近接作用論をとって、「電荷は電場から力を受ける」と考えて、「電場への反作用」を考えることにすれば、同時刻で同一地点での力になるので、光速以上で力が伝わったことにはなりません。 -- 前野?
- この電場への反作用ってのは、電磁気では「マックスウェル応力」と呼ばれているものです。電場が力を伝えるということになり、かつその伝播速度は光速であるとすると相対論とも矛盾しません。 -- 前野?
- 相対論では「力は常に同時刻、同一地点で働く」というのはどういう意味でしょうか？ -- ちゃまろ?
- もう少し質問を具体的に書きます。相対論では相互作用の伝搬速度の最大値は光速cで、これはどの慣性系から見ても同じですよね？そうすると、ある慣性系からみて同時に起こって見える現象も、異なる慣性系からでは同時に起こって見えなくなります。なので、例えば2つの電荷があって、それに働くクーロン力を考えると、ある系では同時にクーロン力が働いたように見えるが、別の系では同時に働いてないように見えると思います。したがって、作用・反作用の法則は必ずしも同時ではないですよね？ -- ちゃまろ?
- えっと、ですからクーロンの法則を使うのではなく「電場が電荷に力を及ぼす」という法則を使うわけです。電荷に力を及ぼす電場は、「まさに電荷がいる場所」の電場なので、伝播時間０ですぱっと力が働くわけです。 -- 前野?
- あ、そうではなくて、二つの電荷の間に電場を伝えないような障害物があったとして、それを瞬時に取り外した直後の話です。 -- ちゃまろ?
- それでも、作用反作用ペアになっているのは常に電荷vs電場です。 -- 前野?
- あ、もちろん同一地点の、です。クーロン力という電荷vs電荷の力は作用反作用ペアではありません。 -- 前野?
- なるほど。では、電荷は電場によって力を受け、電場も電荷によって力を受けているということですか？また、クーロン力という電荷vs電荷の力は作用反作用ペアではありません。というのは相対論での話ですか？ -- ちゃまろ?
- あと、電荷が電場に力を与えているのであれば、電場はその力によって変化するということはないのですか？ -- ちゃまろ?
- 電荷が動けば変化しますね(磁場も出てくる)。電荷が動かなければ釣り合い状態で電場も変化しません。 -- 前野?
- ありがとうございました。 -- ちゃまろ?
- この -- ちゃまろ?
- 「電荷が動けば」というのは、注目している電荷が動けばという意味ですか？ -- ちゃまろ?
- ここでの意味はもちろん注目している電荷ですが、どんな場合だって電荷が動けば電場が変化するのは当然のことです。 -- 前野?
- 注目している電荷が作っている電場に対して反作用を考えるのですか？ -- ちゃまろ?
- だんだん何が聴きたいのかわからなくなってきましたが、電荷と電場が互いに力を及ぼし合っていて、その力がそれぞれ作用・反作用です（これはどっちかというと初等力学というよりは電磁気学の話題ですけど）。 -- 前野?
- だんだん話が電磁気なってしまってすみません。以前先生は「力は常に同時刻、同一地点で働く」とおっしゃっていました。注目している電荷に働く力は、それ自身が作る電場ではなく、例えば他の電荷によって作られた電場ですよね。つまり、注目している電荷が電場に与える力によって、電場が変化することは変だと思ったのです。 -- ちゃまろ?
- 日本語が変でした。以前先生は「力は常に同時刻、同一地点で働く」とおっしゃっていました。注目している電荷に働く力は、それ自身が作る電場ではなく、例えば他の電荷によって作られた電場によるものですよね。つまり、注目している電荷が電場に与える力によって、電場が変化することは変だと思ったのです。 -- ちゃまろ?
- ん？？ 電荷が力を与えるから電場が変形するという話はしてなかったはずですが（電場が変形しなくても電場は電荷に力を与えますから）。電荷が動けば電場が変化するか、という質問だったので「電荷が動けば変化します」と答えたのですが。 -- 前野?
- 電場というのは静的な時間的に動かないものでも力を及ぼします。そして、電荷が動けば電場も変化します。これらは別々の、しかしどっちも実現する現象です。 -- 前野?
- あっ、それならば、再質問させてください。電荷が電場に力を与えているのであれば、電場はその力によって変化するということはないのですか？ -- ちゃまろ?
p.82 演習問題2-3 †
k? (2016-03-09 (水) 15:39:10)
解答について質問です。
「$T_1$は$T_0$の3倍になる」は「$T_1$の鉛直成分は$T_0$の鉛直成分の3倍になる」ではないでしょうか？
またそれが正しいとすれば、相似関係は
$y_1 : y_2 = (T_0の鉛直成分) : (T_1の鉛直成分)$
となるはずですが、この相似関係はどのようにして導かれているのでしょうか？
恐縮ですが、よろしくお願いいたします。
- すいません、確かに解答には「の鉛直成分」が必要でした。後日訂正をアップします。 -- 前野?
- 相似ですが、重りと重りの水平方向の距離は全て等しいので、$y_1$を高さとする直角三角形と、$y_2$を高さとする直角三角形の底辺が共通になってます。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- k?
- 相似について、そこまでは分かるのですが、そこから何故上記の相似を言えるのかがよく分かりません。幾何の初歩のようなことを聞いて申し訳ないです。 -- k?
- 問題の図とヒントの図と、相似な三角形に色を塗ってみましたが、この図を見たらわかるでしょうか。 -- 前野?
#ref(): File not found: "turushi.png" at page "よくわかる初等力学掲示板２"
- ありがとうございます。共通の底辺を$l$とすれば、相似より$T_0 鉛直 : y_1 = T_0 水平 : l, T_1 鉛直 : y_2 = T_0 水平 : l$ すなわち$T_0 鉛直 : y_1 = T_1 鉛直 : y2 \Rightarrow y_1 : y_2 = T_0 鉛直 : T_1 鉛直$ ですね。わかりました。 -- k?
著作権について †
斉藤? (2016-03-04 (金) 12:53:10)
私は教師になりたいという目標があります。
まず、講座の練習として動画投稿を始めたいと思っています。
youtubeなどの動画投稿サイトに物理講座と銘うって、いろんな本や文献を参考にした内容の動画を投稿したいです。
この場合、引用元を公開しないといけないと思うのです。
引用元もまた別の引用先から引用してできている場合、どこまでを載せないといけないのですか？親子孫どこまで載せればいいのでしょうか？
また、物理は自然科学なので誰かが作ったわけでは無く、観察事実に基づいている物だと思っています。問題集に載っている問題に著作権はあるのでしょうか？
世に出回っている問題集の出版者は、定理や法則を発見した人に特許権なり、著作権料を払って出版をしているのでしょうか？
- 物理法則そのものには著作権はないですが、書籍などの記述をそのまま使うのは、当然著者の承諾が必要です（ただし、「引用」として適正は範囲ならば承諾は不要です）。 -- 前野?
- 引用として適正な範囲というのは、自分の作った「主となる部分」が動画なり文章なりに存在して、引用部分はそれを補強する「従となる部分」になっている、ということです。 -- 前野?
- 引用するときは引用元を載せる必要があるのはもちろんですが、大元がわかっているなら大元だけを引用すればよいと思います。 -- 前野?
- 定理や法則そのものは事実ですから著作権みたいなものは発生しないし、定理や法則の発見者に金を払う必要はないです。 -- 前野?
- これもここで聞くのは場違いな質問でしたね。 -- 前野?
- 解答していただきありがとうございます。掲示板を汚してしまって申し訳ありませんでした。 -- 斉藤?
- みなさんと共有すべきでない話題は直接メールで相談したいと思います。 -- 斉藤?
- 解答していただきありがとうございます。掲示板を汚してしまって申し訳ありませんでした。 -- 斉藤?
数学物理学のコミュニティ †
斉藤? (2016-03-04 (金) 12:41:02)
ここで聞くのは場違いなのは承知で質問させて下さい。
私は秋田県に住んでいる高校生です。大学過程以降の数学、物理の疑問に高校の先生は答えてくれません。数学物理学に詳しい人が集まっているコミュニティを探しています。
インターネットの掲示板で質問しても、答えてくれる人のレベルがわからないから信憑性に欠けるし、文章だと質問の意図を伝えるのも難しいです。
直接会って話がしたいのですが、現役の教授さん達は忙しいだろうし、引退した人達と会えると最高なのですが。どこかいい場所、いい方法をご存じではありませんか？
- これは場違いですし、そもそも私に秋田県のコミュニティはわかりません。 -- 前野?
バックスピン †
斉藤? (2016-03-04 (金) 12:34:11)
ゴルフのアプローチでのバックスピンは跳ね返らずにピタッと止まってキュルキュルいいながらいったん留まってから戻ります。
テニスのバックスピンは戻りますが、同時に跳ねます。
これは接触する面とボールの素材の違いなのでしょうか？
ゴルフボールとテニスボールどっちがはずみやすいのでしょう？
ゴルフボールを打つ際のスロー映像を見たことありますが、ものすごい変形して寸前までクラブと接触してますよね。触れている時間が長いのですから、力積のやり取りも他の素材より多いのでしょう。
ゴルフのグリーンにテニスボールに思いっきりバックスピンをかけて落とすとどうなるのでしょう？
- ゴルフもテニスもやらないのでよくわかりませんが、摩擦係数などはボールや床の材質で違うので「状況による」ということになると思います。 -- 前野?
身近な球体の回転 †
斉藤? (2016-03-04 (金) 12:25:24)
ビリヤードの例で回転中心から離れた所を突くと回転しすぎて留まるとありました。実際のビリヤードの試合の動画をみていると逆回転しながら進んで、ある箇所に行ったら留まり、回転が穏やかになってゆっくり戻っていくという事が観察できます。このことは摩擦による角運動量の減少でv=rwという接触条件をみたすまで留まってそれ以降は戻る方向に移動するのでしょうか？
- 見られた動画がどういうものかわかりませんが、摩擦がある場合はもちろん、$v=R\omega$の状態になるまで角運動量が変化していくということになると思います。 -- 前野?
2.7.1節について †
Pagliacci? (2016-02-22 (月) 11:36:45)
「滑車にかけられた質量が無視できる糸の張力」の部分ですが、糸に働く垂直抗力$N$は$d\theta\rightarrow 0$の極限で0になりますよね。ということは、糸の各点に働く垂直抗力は0だけど、積分したら有限の値になるということでしょうか？
どうも、垂直抗力が点で考えると0といのが納得できなかったので。
- これはそういうものです。$N=T_0d\theta$という式になっているので、角度0の極限では消えます。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- Pagliacci?
p147 (4.40) †
mo? (2016-02-18 (木) 17:04:01)
基本的な質問で大変申し訳ないのですが、式(4.40)の左辺の係数のλはなぜd/dtに代入できたのでしょうか
- $\lambda$を${\mathrm d\over \mathrm dt}$に代入するなどというおかしな計算をしているのではなく、${\mathrm d\over \mathrm dt}v(t)$の$v(t)$に$\mathrm e^{\lambda t}$を代入しています。後は微分の計算をちゃんと実行するだけです。 -- 前野?
【問い2-1】の解答について †
yuki? (2016-01-19 (火) 21:07:05)
上の物体がすべらない条件はT<μ2mg,下の物体が滑らない条件はT<μ1(M+m)gではないでしょうか？
- 上の物体が滑るか滑らないかは「上の物体と下の物体の間の静止摩擦力」で決まるので、$\mu_1$が関与します。下の物体の滑るか滑らないかは「下の物体と床の間の静止摩擦力」が関与するので、$\mu_2$が関与します。 -- 前野?
- P44の問題文には、床と下の物体の間の静止摩擦係数をμ1、下の物体と上の物体の間の静止摩擦係数をμ2と書かれているのですが -- yuki?
- すいません、それは問題文の方が間違ってました。ミスのリストはサポートページにあるので参照してください。ミスが多くてごめんなさい。 -- 前野?
式（８．２２）の質問 †
社会人? (2016-01-15 (金) 22:40:45)
Ｐ２４２の式（８．２２）の導き方が分からないのですが。Ｐ２３１での角運動量の定義の
ベクトルＬ（角運動量）は 位置ベクトルＸと運動量ベクトルＰの外積に等しいとの式に即して解説をお願します。
- (8.22)の中で、微小な質量である$\rho \mathrm dx\mathrm dy$に速度$(\omega \vec{\mathbf e}_z\times(x\vec{\mathbf e}_x+y\vec {\mathbf e}_y))$を掛けたのが微小部分の運動量$\vec p$になり、外積を取って微小部分について足算（積分）していくという計算を行っています。 -- 前野?
- 速度が$\vec \omega\times\vec x$という形になるのは、(8.15)を見てください。この場合原点からの距離は変化しないので、(8.15)における$\dot r$は0です。 -- 前野?
角運動量の保存について (p.241) †
taka? (2015-11-20 (金) 08:34:38)
式(8.21)の後の文章について質問です。
角運動量ベクトルは回転するにしたがって向きを変えることは分かりますが、これがなぜ角運動量が保存していない理由になるのかが分かりません。
- 「保存」というのは向きも含めて変化しない場合をいうので、向きが変わってれば保存してない、ってことです。 -- 前野?
- p.240の運動量が保存しないという部分もそうですが、図の状況から言えば角運動量ベクトルの大きさは常に一定なので、向きは変わっても保存しているように思うのですが… -- taka?
- それとも、一定ではない ということですか。 -- taka?
- 「大きさが一定で向きが変わっている」ということは「ベクトルとしては変化している」ので、それを「保存している」と言ってはいけないのです。「（ベクトル量が）保存する」というのは「大きさも向きも変わらない場合」を言います。ベクトル量が保存するというのはx成分、y成分、z成分がみな変化しない場合、と考えてもいいです。向きが変わったら、大きさが同じでも各成分は変わります。 -- 前野?
- 納得しました。ありがとうございます。 -- taka?
てこの原理について †
ちゃまろ? (2015-10-15 (木) 18:22:11)
2つ質問をさせてください。
1. てこの原理は剛体についてしか成り立ちませんか。もしそうならそれはなぜですか。
2. p.88に「てこの原理はもっともらしいある仮定を置くと示せる。」とありますが、てこの原理は本当に証明できないのでしょうか。(以前何かの本で証明が載っていた気がするのですが。) もし剛体でのみ成立するなら、剛体でしか成立しないという条件(つまり剛体であるための条件:剛体の2点間の距離は一定)などから示せそうな気もしますが。
- 例えば、ある剛体の一点を固定しておく場合を考えます。そこからx1の位置にF1の力、x2の位置にF2の力がかかっているとします。＊数字付き記号はすべてベクトルです。 F1のみがかかった時の運動方程式F1=m(dv1/dt)・・・① F2のみがかかった時の運動方程式F2=m(dv2/dt)・・・② ①、②のそれぞれの両辺に左からx1,x2をそれぞれ外積としてかけるとします。そしてその2式を足すと、x1×F1+x2×F2=m(x1×(dv1/dt)+x2×(dv2/dt))となります。 この式の左側は剛体全体の角運動量を表していますが、動かないときには0になり、てこの原理が導けたことにはなりませんか。 -- ちゃまろ?
- てこの原理は剛体でないと成立ちません。それは変形が起っている時はモーメントがつりあってないからで、変形しても変形が収まっている状態（形状の変化が続いてない状態）なら成り立ってくれます。 -- 前野?
- てこの原理は結局は「モーメントのつりあい」なので証明はモーメントのつりあい条件と同じです。力が作用線方向に平行移動してもモーメントは変わらない、ということと、原点回りに力と作用点をぐるっと回してもモーメントは変化しない、ということを使えば証明できます。 -- 前野?
- 書いておられる角運動量を使った証明ですが、角運動量と力のモーメントの関係というのは、上で書いた「力が作用線方向に平行移動してもモーメントは変わらない」ということと「原点回りに力と作用点を回してもモーメントは変わらない」ということを前提にしてます（それは別に仮定ではなく、運動の法則から出てくることだと考えれば、これで証明できたことになります）。 -- 前野?
- 本の中でなぜ角運動量とモーメントの関係（ひいては運動の法則）を使って説明をしてないかというと、この時点ではまだ静力学のみしかやってないのですね。だからとりあえず「もっともらしい仮定」と置いてます。 -- 前野?
- ご回答ありがとうございます。「力が作用線方向に平行移動してもモーメントは変わらない」、「原点回りに力と作用点を回してもモーメントは変わらない」を仮定ではなく、運動の法則から出てくることだと考える。とありますが、運動の法則からこの2つはどのようにして出てくるのですか？ -- ちゃまろ?
- 運動の法則は$\vec F={\mathrm d\over\mathrm dt}\vec p$とも書けるので、「力は運動量の変化」と考えて「同じ運動量の変化を与えるなら、力としての効果は同じ」と考えることができます。力のモーメントと角運動量の関係も同様に$\vec x\times \vec F={\mathrm d\over\mathrm dt}(\vec x\times \vec p)$から「力のモーメントは角運動量の変化」です。「作用線に沿って平行移動」も「原点回りに回転」も、結果として引き起こす角運動量の変化が変わらない、と考えれば「力のモーメントとしての効果は同じ」と考えていいわけです。 -- 前野?
- なるほど。ありがとうございました。 -- ちゃまろ?
p.170 (5.19)式について †
学生? (2015-10-14 (水) 18:08:58)
(5.19)の式はどのようにしてこのように書き換えられたのでしょうか。
- 矢印→を逆に辿る方がわかりやすいかもしれません。 -- 前野?
- 微分方程式を解くときによくやる手段ですが、$2\dot AB +A\dot B$のような形をした式を見たら「第１項に2が付いているということは、こっちは$A^2$の微分だったのでは？」と考えます。 -- 前野?
- で、両辺に$A$を掛けて$2A\dot AB+A^2B$にすれば、これが${\mathrm d\over \mathrm dt}(A^2B)$とまとまります。 -- 前野?
- 今の場合、$A=r,B={\mathrm d\theta\over\mathrm dt}$です。 -- 前野?
- 理解できました。お忙しいところありがとうございます。 -- 学生?
発言移動 †
「よくわかる解析力学」の掲示板が不調なため、ここに「よくわかる解析力学」についてのarticleがありましたが、「よくわかる解析力学」サポート掲示板２?に移動させました。
演習問題8-2について †
ちゃまろ? (2015-10-03 (土) 12:07:50)
解答の「ターンテーブルの慣性モーメントが自分の10分の1であったなら、ターンテーブルが1800度回った時には自分は180度回っている。」について疑問があります。
自分の角運動量Iωとターンテーブルの角運動量I'ω'を比較して、1800度と180度を導いたと思うのですが、人が左右非対称であれば慣性乗積が0にならず、人の角速度ベクトルωの向きはターンテーブルの角速度の向き(鉛直上向き)とは一致しません、このとき人はどのように回転するのですか。
- 質問の補足です。 -- ちゃまろ?
- ターンテーブルの角運動量の向きは鉛直上向きになります。それに対して、もし人の慣性モーメントが慣性主軸からずれている場合、角運動量の向きはターンテーブルの角運動量を打ち消す方向とは異なるのではと思います。これは角運動量保存則から見ておかしいことだと思いますが、どこで間違えていますか。 -- ちゃまろ?
- 問題では人間が慣性乗積を持っていないという単純な場合で考えてます。そうでない場合どうなるかですが、ターンテーブルは構造上ｚ軸回転の角運動量しか持てないはずで、人間がｚ軸以外の角運動量を持つ、あるいはそういう方向のトルクを発生させてしまうと、ターンテーブルの軸受けの部分にトルクが発生してそれを打ち消すことになると思います。 -- 前野?
- そこで、問題の中で考えているのはｚ軸周りのみの角運動量の保存だということです。ｘ軸やｙ軸周りに角運動量が発生するようなことが起こると、それはターンテーブルが床に接続されいている部分に働く力とトルクによって消されてしまいます（つまり、もともとこの状態で保存すると言ってよい角運動量はｚ軸周りだけです）。 -- 前野?
- ｘ軸周りのトルクはたとえば、人間の右足と左足で垂直抗力が違う、という状況で発生します（まさに、御指摘の「左右対称でない」状況によってこれが起きそうです）。ところがターンテーブルがそこでｘ軸周りに回ってしまわないように床に取り付けられているだろうから、その部分は問題で考えてない理由により関係なくなるわけです。 -- 前野?
- ターンテーブルがｘ軸やｙ軸周りにも回転できるような特殊な設置方法で作られていたら、他の角運動量成分も考えなくてはいけなくなりそうです。 -- 前野?
- なるほど。お忙しい中ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
演習問題8-4について †
ちゃまろ? (2015-10-02 (金) 23:51:24)
解答に「力が同じであっても、回転の中心軸からの距離が長くなればモーメントは増える。先 端を尖らせることは、軸の中心から接している面までの距離をできる限り短く（理想的 には0に）したいからである。」とありましたが、この「接している面」とはどこのことでしょうか？ また、モーメントが増えてはいけない理由はなんですか？モーメントが増える分回転しやすくなり、むしろいいことのように思えるのですが。
- 接している面というのは、軸と軸受けの接している面で、尖っている場合でいえばほぼ点に見えるところになります。ここでの「モーメント」というのは「摩擦力のモーメント」なので、少ない方が「よく回る機械」になります。というわけで、いかにして摩擦力のモーメントを下げればいいか、というのが問題の趣旨です。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
物理のヒヨコ? (2015-09-22 (火) 21:20:01)
今晩は。
お世話になっています。
P.211の上から６行目で、「当然、こんな状況では現実に・・・」の”で”は、
要らないと思います。
- ？「で」は必要ですか？ -- 物理のヒヨコ?
- すいません、コメント忘れてました。「で」は削除すべきですね。 -- 前野?
- > すいません、コメント忘れてました。 いえいえ（笑）３刷おめでとうございます！ -- 物理のヒヨコ?
仕事がマイナスになっていない？ †
物理のヒヨコ? (2015-09-21 (月) 21:01:16)
今晩は。
お世話になっています。
P.210の(7.29)で、斜面の上向きが正の方向だとすると、（マイナス）-μmgcosθ×h/sainθ ではないでしょうか？（下向きが正でもマイナス）
あと、（あくまで主観的な）細かい事なので不要ならスルーして頂たいのですが、
P.205の練習問題【問い7-1】で、「次のような二つの斜面の上の場所に物体（質点）
を置き」という文章は、”の”が続くので「二つの斜面上の場所に・・・」
や「二つの斜面に物体（質点）を置き」の方がスッキリするような気がしました。
それと、二つしか図がないのに「質点の出発点と到着点は全ての図で同じ点であり」
と、”全て”を使っているのに若干の違和感を覚えました。
「二つの図で同じ点であり」とか「両方の図で同じ点であり」のほうがシックリ来る
ような気がしました。重箱の隅を突くようですみません（汗）。
- あ、確かに符号忘れてますね、すみません。文章の方も、次の刷で直しておこうと思います。「全ての」になっているのは、途中まで三つの図で選ばせる問題にしてたからで、図を二つに減らした時の修正漏れです。 -- 前野?
慣性主軸について †
ちゃまろ? (2015-09-18 (金) 18:01:15)
慣性主軸は3つあるということを見かけるのですが、これはx,y,z軸の入れ替えによる数なのですか？
一様な円柱の重心にp.250のようにx,y,z軸を設定したものと、円柱の底面の中心を原点として同じようにx,y,z軸を設定したものはともに、慣性主軸が0になります。つまり、両方共が慣性主軸になり、計3つ以上あると思うのですが。
- 「慣性主軸」は名前の通り「軸」なので「０になる」なんてことはなく、常に３本（互いに直交）でありますが？？？ -- 前野?
- もしかして「慣性主軸が0になる」は「慣性乗積が0になる」のタイプミスですか？？ -- 前野?
- すみません。、タイプミスです。 -- ちゃまろ?
- 慣性乗積すべてが0になるように取ったものが慣性主軸の定義なのであれば、慣性主軸は複数の種類存在しますよね？ -- ちゃまろ?
- 「慣性主軸」は常に３つです。複数種類ある、というのは「慣性主軸の取り方」ですね。要は「慣性テンソル」という３×３の行列で、座標軸を回すことで非対角成分（慣性乗積）を0にすることができる、ということですが、その時の軸はもちろん３つで、そのどれを第１の軸（第２，第３の軸）と呼ぶかは、いろんな選択がありえます。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
マイナス符号 †
物理のヒヨコ? (2015-09-18 (金) 17:40:41)
今晩は。
お世話になっています。
P.203で、（ある力による仕事）＝ -（状態量の変化）とありますが、
もしかしたら （ある力による仕事）＝（（ある）状態量の変化）ではないでしょうか？
- ？？？この場合「状態量」はもちろん「エネルギー」あるいは狭くは「位置エネルギー」です。（ある）はつけてもつけなくてもよいように感じますが。 -- 前野?
- すみません。見ずらかったですが、（状態量の変化）の前のマイナス符号が要らないかなと思ったのですが・・・。要るのですか？？？ -- 物理のヒヨコ?
- ああ、符号ですか。それは仕事をしたらエネルギーが減るという意味を込めてマイナス符号つけてます（これも定義の問題で、状態量はまだ決めてないので、つけててもつけてなくてもどっちでもいいです）。 -- 前野?
- とすると、前ページ（p.202）no -- 物理のヒヨコ?
- （続き）の（7.23)（ある力による仕事）＝〔マイナス符号なし〕（ある状態量の変化）＝ －（位置エネルギーの変化）や、p.201の（7.21）の（ある状態量の変化）と、この（p.203)（状態量の変化）は別の意味（？）なのでしょうか？それとも（7.23)の（ある状態量の変化）も、マイナス符号を付けても付けなくてもどちらでも良いのでしょうか？ -- 物理のヒヨコ?
- （続き）の（7.23)（ある力による仕事）＝〔マイナス符号なし〕（ある状態量の変化）＝ －（位置エネルギーの変化）や、p.201の（7.21）の（ある状態量の変化）と、この（p.203)（状態量の変化）は別の意味（？）なのでしょうか？それとも（7.23)の（ある状態量の変化）も、マイナス符号を付けても付けなくてもどちらでも良いのでしょうか？ -- 物理のヒヨコ?
- (7.21)の「ある状態量」と(7.23)の「状態量」は別物（後者はエネルギーなんですが）と読んでください。 -- 前野?
- なるほど。了解しました。 -- 物理のヒヨコ?
- あれから色々考えたのですが、「ある状態量」を運動エネルギー（∫［x-x0］Fdx（x0=基準点）） -- 物理のヒヨコ?
- 「状態量」の方を位置エネルギー（∫［x0-x］Fdx）と見なすと、全ての辻褄が合うことに気付きました。 -- 物理のヒヨコ?
- 回答ありがとうございました！ -- 物理のヒヨコ?
- 追記： －（ある状態量）＝ －（運動エネルギー）＝ （位置エネルギー） は、（式的に）運動エネルギーが減る、もしくは移動（変位）方向がプラス（＋）と逆の運動エネルギーと見なしました。 -- 物理のヒヨコ?
角速度ベクトルについて †
ちゃまろ? (2015-09-17 (木) 09:23:27)
何度も質問してすみません。
剛体の回転軸が座標原点を通らない場合、角速度ベクトルはどのように表されるのですか？
- 剛体の角速度ベクトルですか？？角速度ベクトルは通常、重心運動は別にして考えるのが普通なので、回転軸というか、角運動量を考える時の原点は剛体の重心に起きますね。 -- 前野?
- だから「剛体の角速度」ってのを「剛体の角運動量÷慣性モーメント」のように考えるなら、角速度を考える時は重心を通る軸で定義すると思います。 -- 前野?
- なるほど。ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
- あと、一つ質問なのですが。 -- ちゃまろ?
- 相対性理論についての質問はどこですればよいですか？ -- ちゃまろ?
慣性乗積について †
ちゃまろ? (2015-09-16 (水) 15:58:58)
慣性乗積の式にマイナスがつくのには何か理由があるのですか？
数式的に付くのはわかりますが。
- う〜ん、理由といっても、大本である(8.29)にマイナスがあるからという素朴な話ですが。このマイナスがどこから来たかというと外積を二回計算したからですね。 -- 前野?
- 回答ありがとうございます。向心力によるモーメントの影響とかでなないのですね。 -- ちゃまろ?
慣性テンソルについて †
ちゃまろ? (2015-09-15 (火) 12:34:30)
慣性モーメントは「回転の始まりにくさ」だと解釈しているのですが、慣性乗積にはどのような意味があるのですか。教えてください。
- 慣性モーメントは回転の始まりにくさ、でいいんですが、その始まりにくさを測るときに「どの軸の周りに回すとき？」ということを指定しないと測れません。実はその軸は互いに垂直な三つの軸の周りで定義されます。 -- 前野?
- ところが、その慣性モーメントの軸（「慣性主軸」とか呼ぶんですが）が、計算の時においた座標系のx,y,z軸と一致するとは限りません。運良く一致してなかった場合、慣性主軸とxyz軸はある回転を施すと一致するということになります。 -- 前野?
- 本で書いた例では、たいてい主軸と座標軸が一致する場合を選んであります。慣性乗積はいわば「主軸と座標軸のずれ具合」を表現している量だ、ということになります。 -- 前野?
- お忙しい中、ご回答ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
- 先生の回答で少し疑問になったところがあります。 「ある回転を施すと一致」とありますが、平行移動による一致はないのですか？ -- ちゃまろ?
- ああ。普通、原点は一致させて考えるので、そこは考慮してませんでした。なにかの理由で慣性モーメントなどを計算する時の原点をxyz軸の原点と違う場所にすることがあれば、平行移動が必要な場合もあるでしょうけど、そういうことはあまりしない筈。 -- 前野?
- なるほど。ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
- 何度もすみません。慣性乗積の式にマイナスがつくのには何か理由があるのでしょうか。数式的につくのはわかりますが。 -- ちゃまろ?
角運動量について †
ちゃまろ? (2015-09-14 (月) 19:23:11)
「よくわかる初等力学」のp.244の図について質問があります。(式8.29の下の図)
質点に対しての角速度ベクトルωは、式8.13で与えられる(角運動量ベクトルLと角速度ベクトルωが平行になる)のにも関わらず、p.244の図の右側のように角速度ベクトルωが上向きになる理由がわかりません。質点を扱っているのだから、角運動量ベクトルと角速度ベクトルは同じ向きになると思ったのですが。
- 式でいえば(8.29)の通りなんですが、こうなるのは「回転の中心」と「角運動量を定義している座標系の中心」がずれている場合に起こります。角運動量は「原点」を定義して、その周りに計算します。座標原点はある意味、人の勝手で選べるので、状況によっては原点は今回転している物体の円運動の円の中心とは一致しません。 -- 前野?
- 角速度ベクトルは今行っている円運動の軸の方向を向いてます。もし円の中心に原点があるなら、角速度ベクトルは角運動量ベクトルと一致しますが、一般にはそうじゃないよ、というのがこのあたりで書いてあることです。 -- 前野?
- 図の右側では、$\vec x$が円錐の形を描いてます。このとき角運動量は保存量ではないです。 -- 前野?
- この場合、物体が「原点を中心としない円運動」を行っているわけですが、円運動を行うからには、「円の中心に向かう力」があるはずです（この物体が糸でつながってるなら、糸の聴力）。この力は原点を通らない力ですから、トルク（力のモーメント）が0ではありません。というわけで、角運動量は時間的に変化していきます。 -- 前野?
- あ、疑問は(8.13)付近に質点なら$\vec \omega$と$\vec L$が平行であるかのように書いてある点なのですね。ああ、これはちょっと書き方がよくないか。ここで考えているのはp236の図の右側のような状態なので、$\vec L$の向きは「軸」になってないんですね。 -- 前野?
- p244のあたりについては、$\vec \omega$の定義が、「剛体の回転軸」になっているので、(8.13)のあたりでの$\vec\omega$と意味が少しずれているんですね。剛体が回転している軸を$\vec \omega$の方向に取ったあと、剛体の一部を構成している質点に関しての角運動量を考えている。 -- 前野?
- というわけで（ちょっと説明が足りなかったのはすみません）、質点だけが回転しているときは$\vec \omega$と$\vec L$は向きが一致するけど、剛体の回転軸$\vec \omega$は剛体を構成している質点一つ一つの回転軸$\vec\omega$とは違うので、話が変わってきている、ということです。 -- 前野?
- ご回答ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
- あと、慣性乗積は、物理的に何を意味しているのですか。教えてください。 -- ちゃまろ?
2.7.2 滑車にかけられた、質量のある糸の張力について †
学生? (2015-08-05 (水) 19:30:49)
面に垂直な方向の釣合の式
T1sin(ｄθ/2)+T2sin(ｄθ/2)+ρRgsinθdθ=N
において
sin(ｄθ/2)=ｄθ/2,T1=T,T2=T+dT
を代入すると
Tdθ+dT(dθ/2)+ρRgsinθdθ=N
となると思うのですが、次の式には
dT(dθ/2)の項が消えています。
このように変形できる理由を教えてください。
- dTとdθは微小量で、今計算しているのは微小量の１次までですから、この積は高次の微小量となって計算する必要はありません。 -- 前野?
演習問題3-3（3）について †
フツーの学生? (2015-07-27 (月) 22:12:08)
F床とF壁の存在可能範囲が解説の図ようになる理由が分かりません。さらなる解説をお願いしたいです。
- 連投すいません。章末演習問題3-3（3）です。 -- フツーの学生?
- 問題の前提である、α が小さすぎても、β が小さすぎても物体はすべってしまう。その限界角度を それぞれ$\alpha_0,\beta_0$とし」の部分はわかっているでしょうか？？ -- 前野?
- この二つから、壁との接点で働く力は壁との角度が$\alpha_0$より小さくなるような扇型の内側でなくてはいけません（床からの力も同様）。一方、三つの力がモーメントも含めてつりあうためには三つの力の延長線が一点で交わらなくてはいけないので、図に書いた線分上のどこかに来なくてはいけないということになります。 -- 前野?
- 返信ありがとうございます。解答が図の線分になることと、$α,β$それぞれの下限は$α0,β0&であることは理解しました。それでは、上限の方はどのようにして求めればいいのでしょうか。問題の解を得るのに直接必要は無いかもしれませんが、気になったので質問しました。 -- フツーの学生?
- 上限と下限は静止摩擦力の最大値で決まりますから、面の垂線に関して対称な位置に来ます（角度$\alpha_0$と角度$\pi-\alpha_0$みたいに）。 -- 前野?
静水圧について †
斉藤? (2015-07-02 (木) 10:44:32)
静水圧は水を容器がどんな形であっても、自由水面からの深さに比例するという認識ですがあっていますか？
水槽に物をいれると、水面が上昇しますよね。
つまり、
物を入れる前と比べて水面から測った、水槽の底面の深さが変わることになる。
深さが増えたので、水圧が上昇する。
この水嵩の増加の分が底面の圧力上昇に等しいと考えていいのですか？
- これはそのとおりです。容器の形は関係ありません。 -- 前野?
静水圧と浮力について †
斉藤? (2015-07-02 (木) 10:35:05)
返答を待たずに連続で質問してしまってもうしわけありません。
続きです。
次は浮力についての確認です。
静水状態の水は、深さに応じた水圧がかかり、その方向はあらゆる方向でつりあっている。
しかし、水中に物があるとその面に垂直な力がかかる。
物を水中に入れると、水平方向はつり合い、鉛直方向は上下で差があるので浮力が生まれる。
この考え方でよろしいでしょうか？
さて、本題です。
わかりやすいように人間を角柱だと思うことにします。
角柱の上面に注目すると、水は角柱を下方向に角柱は水を上方向に押している。この力をＰ（上面)とします。
角柱の下面に注目すると、水は角柱を上方向に角柱は水を下方向に押している。この力をＰ(下面)とします。
角柱の長さ（身長)分Ｐ（上面）より深いところにあるので、
Ｐ(下面)はＰ(上面)より大きな力がかかる。
角柱は上からも下からも水から力を受けるが、下面から受ける力のほうが大きいので浮力をうける。
このとき、角柱と水でやりとりされた力の差は水にも生まれると思うのですが、この影響は水圧の増加という形で現れるのでしょうか？
体重計をゼロセットしたときより水圧があがると体重計のメモリもその分大きくなるので、
体重計が感知する力は、
浮力の反力による水圧の上昇分＋浮力で減らされた人間からの垂直抗力
＝重力
つまり、地上で体重を測っても、水中で測っても変わらない気がするのですが
どうなんでしょうか？
- 「体重計をゼロセットしたときより水圧があがる」というのは、乗る前の人が水槽の外にいるという設定ですね。それなら確かに人間が水槽に入った（しかしまだ体重計に乗っていない）段階ですでに体重計の目盛りは水圧により上昇し、さらに人が（水中で移動して）体重計に乗るときに重力と浮力の差の分目盛りが上がることになります。 -- 前野?
- 問題では明記はしてないので両方の考え方ができるようになってしまってますが、まずは（水中で）体重計の横に立った状態でゼロセットを行なうつもりの問題になってます。 -- 前野?
- 迅速な解答していただいてありがとうございました。 -- 斉藤?
- つまり、大気圧＋人間が入る前の水圧＋人間の体積による浮力＋重力が体重計にかかる。どこの時点を基準にするかそれだけの違いということですね -- 斉藤?
- 間違えました、大気圧＋人間が入る前の水圧＋人間の体積による浮力＋人間からの垂直抗力(重力から浮力を引いた分)でした -- 斉藤?
- 間違えました、大気圧＋人間が入る前の水圧＋人間の体積による浮力＋人間からの垂直抗力(重力から浮力を引いた分)でした -- 斉藤?
- 間違えました、大気圧＋人間が入る前の水圧＋人間の体積による浮力＋人間からの垂直抗力(重力から浮力を引いた分)でした -- 斉藤?
静水圧と浮力について †
斉藤? (2015-07-02 (木) 10:06:27)
pdfのページ番号w2演習問題1-3(4)の水中で体重を量っている問題について質問です。
一番の疑問は、浮力の反力で体重計にかかっている水圧は上がらないのでしょうかということです。
その前にまず、私の問題設定に対する認識が正しいのか確認してほしいです。
問題設定では、体重計は水中で人が乗っていない時は0を指すとなっています。
これは、問題を解きやすくするために条件ですか？
実際に実験したらどうなるのでしょう？
私は、水槽の深さに応じた水圧の分体重計のメモリが増えると思うのですが
それであっていますか？
水は静水状態だと、水圧が深さに比例して大きくなる。
そして、水槽の面に触れていないある点を取り出すと、あらゆる方向から同じ力でおされてつりあっているのですよね？
一方水槽の面は、一定方向としか水と触れていないので、面に垂直な方向な力を水と及ぼしあっているのですよね？
その力が側面だと水平方向、底面だと鉛直方向になるのですよね？
底面に体重を置くと、水槽の底と同じように水から鉛直方向に押され、メモリは増える。
しかし、人間からの影響だけを考えたいので体重計をゼロにセットした。
これでよろしいでしょうか？
長くなったので一度切ります。
- 体重計の目盛りを人が乗っていない時に０にする、というのは問題を解きやすくするためでもありますが、現実の体重計でも「０点合わせ」は行われています（まぁ現実の体重計は水中では使いませんが）。空中で０点合わせをした体重計を水中に持っていけば、当然体重計は０より重い数値を出します。 -- 前野?
極座標の運度方程式 †
社会人? (2015-07-01 (水) 23:03:49)
P１７１の振り子の運動方程式（５．２０）と（５．２１）はP１６３の（５．９）と関連しているのでしょうか？
- もちろん関連していて、$r=\ell$で一定の場合だと思えばいいです。 -- 前野?
無題 †
格? (2015-06-07 (日) 17:18:57)
また、390ページの問２ー11(３)の解答についてですが、
訂正箇所があった条件式の下の式
２M＜m
の不等号の向きが逆であるような気がするのですが。
連続しての質問申し訳ありません †
格? (2015-06-07 (日) 16:58:18)
読み進めています。67ページの滑車にかかる糸の張力の説明で、
T'=T でなければ回ってしまう
とあるのですが、そもそも滑車は回るものでは…？と思ってしまいます。ここでいう回る とはどういう(あり得ない)回り方のことを意味しているのでしょうか。
- ここでは力のつりあい、つまり「静止する条件」を考えているので、「回ってしまう」というのは単に『静止する条件が成り立たない』という意味で、おかしな回転をすることを意味しているわけではありません。 -- 前野?
愚問お許しください †
格? (2015-06-07 (日) 08:17:28)
４４、４５ページの練習問題問２ー１について解答を読んでよくわからないところがあります
まず、これは本質的な問題でないとは分かっていますが、(２)(３)で滑らない条件が不等号＜のみで書かれています。しかし練習問題前の解説では、静止摩擦係数の式は等不等号≦で書かれていました。
何か意図して使い分けられたのでしょうか？
本題は同じ問題の(４)の解答についてです。
上の物体が滑らない かつ 下の物体が滑る 即ち
(２)が成り立ち、かつ(３)の否定 であることまでは納得できますが、
この２式をまとめると、間の「ひもで上の物体が引かれる力T」が消えてしまうのが納得できません。Tはそのまま残っていないと十分条件にはならないと思うのですが。
- まず滑らない条件については、どちらでもたいした違いはありませんが、本来は「滑らない」ぎりぎりが等号ということになるので、両方に等号をつけるべきだったかもしれません。 -- 前野?
- （４）についてですが、ここで考えているのは「（動き出した時に）上の物体と下の物体が一体となって動く条件」です。（動き出した時に）を省略してしまったので混乱させてしまったかもしれません。つまり動き出すのに十分な大きさのTが与えられたということは前提として、そのうえでどのような条件があれば一緒に動くか、を考えていると解釈してください。 -- 前野?
- なるほど。納得しました。速やかな対応ありがとうございました。また質問するかもしれませんがよろしくお願いいたします。 -- 格?
偏微分についてお願いします。 †
力学勉強中です。? (2015-04-14 (火) 19:20:59)
もう一つ質問があります。偏微分についてなのですが、例えばx=x(u,v) y=y(u,v)として逆にu=u(x,y) v=v(x,y)とします。この時δx/δy=0なのが疑問になります。
私の考えとしてはx=x(u,v)=x(u(x,y),v(x,y))=x(x、y)となりxはx自身とyの関数になります。このときyは0という定数でないといけないと思うので、xはyに依存しないと解釈しています。ただそうしますと、今度はx=x(u) y=y(u)
そしてu=u(x,y)として同じ議論をしますとx=x(x、y)となりyは0という定数でないといけませんが、見方を変えればこれは2次元空間で曲線が構成されており、xはyによる関数になるとおもうのです。つまり、δx/δyなどは(というよりdx/dyが正しい表現だと思うのですが)0ではないと思うのです。このように、x、yが2変数で表されている場合と一変数の場合で異なるのですが、このδx/δyなどが0になるかどうかの判断、またはxやyが独立かどうかの判断はどうすれば良いのでしょうか?
- 偏微分のときは「何を固定して微分しているか」が大事です。${\partial x\over \partial y}$とだけ書くと、何を固定しているのかが明確ではないですが、普通の場合、${\partial \over\partial y}$と書くときは「変数が$x,y$の二つで、その一方である$y$で微分する」と解釈するでしょうから、その場合$x$が固定されて微分しているはずです。となれば${\partial x\over\partial y}$は「$x$を固定して『$x$を$y$で微分』」という意味になりますから、これは明らかに0です。 -- 前野?
- この場合、「$y$は定数」であって、0である必要はありません。 -- 前野?
- 少なくとも偏微分という計算に慣れるまでは、「何が変数であるか、何を固定して微分しているか」を常に意識した方が間違いが少ないと思います。なお、『x=x(u,v)=x(u(x,y),v(x,y))=x(x、y)となりxはx自身とyの関数になります』と書かれてますが、実際にはこういう計算をすると結果はyによらなくなります。 -- 前野?
- たとえば直交座標と極座標の変換だと$x=r\cos\theta$ですが、$r=\sqrt{x^2+y^2},\cos\theta={x\over\sqrt{x^2+y^2}}$を代入すれば$x=x$ですね。 -- 前野?
- なるほど。つまりδx/δyとxを固定する場合は固定している時点でもはや定数をyで微分するため0になるということなのですね？？ -- 力学勉強中です。?
- というか、本来「どの変数を固定するか」というのは状況に応じて計算する人が決めるものです。通常は${\partial\over \partial y}$と書く時点で「$x$は固定」と決めた後に計算が始まっているはずです（あまりやりませんが「$r$を固定して$y$で微分」というのだって、必要に応じてやってもよいわけです）。 -- 前野?
- 分かりました。有難うございます。偏微分の際は何を一定にし -- 力学勉強中です。?
- 何を変数にするのか気をつけます。 -- 力学勉強中です。?
力の釣り合いについて教えて下さい。 †
力学勉強中です。? (2015-04-07 (火) 11:39:51)
昨日、電磁気の掲示板でも質問させて頂いたものです。
本当に馬鹿げた質問なのですが力の釣りあいの式を立てるとき、複数の力ベクトルの和をとる際にそれぞれの作用線が決して交わらない力ベクトル同士でも和をとったりしても良いのでしょうか？作用線が交われば、力ベクトルをその作用線に沿って平行移動すれば何処かで作用点が一致して心配なくベクトルの和をとれますが、例えばp94の最初の図のモーメントのご説明ではFaとFbの作用線は交わらず、ましてや支点に働いている力も前者の二つの力ベクトルとは作用線が交わりません。それなのにf=Fa+Fbしていることに違和感があります。他のページでも多々そういうことがあるので質問させて頂きました。
回答よろしくお願いいたします。
- 作用線が交わる所に移動して力の足し算をするテクニックは何の為にあるかというと、ああすることで力の足し算と力のモーメントの足し算が一気にできるからです。だからモーメントのことを気にしないのならそうする必要はありません。 -- 前野?
- また、数式またはベクトル和などでモーメントがちゃんと計算できるならば、作用点を揃えることにこだわる必要はないわけです。 -- 前野?
- 有難うございます。理解するのに時間が掛かりました。お礼が遅れて申し訳ありません。どうやら私は変に難しく考えてしまいっていました。 -- 力学勉強中です。?
p73とp74 †
大学新入生? (2015-04-05 (日) 16:40:11)
初歩的な質問で恐縮ですが、p73とp74にある図中において、張力がそれぞれ斜面に対して、dθ/2とできるのはなぜでしょうか？
- 73ページの図にある$\vec T_1$と$\vec T_2$のなす角がdθなのはわかるでしょうか？？ -- 前野?
- 張力の角度は滑車の中心から見た角度の変化と同じだけ変化していくので、中心から見てdθだけ角度が違う２点に働く張力の角度もdθだけ違います。で、このdθだけ角度が変わることを、中央から見るとdθ/2ずつ違っていることになります。 -- 前野?
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