「ヴィジュアルガイド物理数学〜多変数関数と偏微分」(東京図書)サポート掲示板

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p77 (4.29)式について

たこやき? (2021-06-24 (木) 22:32:15)

(4.29)式をyで偏微分すると、(4.29)の第2項
$\int_{y_0}^y dt\frac{\partial Q(x_0,t)}{\partial t} $
の計算結果がQ(x0,y)+Q(x0,y0)となって
$\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}=Q(x,y)+Q(x_0,y_0) $
となってしまうような気がするのですが、私がなにか勘違いをしてしまっているのでしょうか?
お忙しいところ恐縮ですが、ご教授していただければ幸いです。

  • $\int_{y_0}^y dt\frac{\partial Q(x_0,t)}{\partial t} $→$\int_{y_0}^y dt\frac{dQ(x_0,t)}{dt} $でした -- たこやき? 2021-06-24 (木) 22:39:53
  • Q(x0,y)+Q(x0,y0)→Q(x0,y)-Q(x0,y0)でした -- たこやき? 2021-06-24 (木) 22:45:42
  • 最後の式も -- 2021-06-24 (木) 22:47:12
  • Q(x,y)+Q(x0,y0)→Q(x,y)-Q(x0,y0)でした -- たこやき? 2021-06-24 (木) 22:48:35
  • 「yで微分」なのですから、(4.29)の第二項を微分する時に微分されるのは$\int^y_{y_0}$の上端にあるyです。 -- 前野? 2021-06-24 (木) 22:53:43
  • ${d\over dy}\int_{y_0}^y f(x) dx=f(y)$という式「積分してから微分すると元に戻る」を使います。 -- 前野? 2021-06-24 (木) 22:56:48
  • 解決しました。お忙しいところ、このような質問にご回答頂きありがとうございます。 -- たこやき? 2021-06-24 (木) 23:10:05

P106,p196 問6-1について

大学生? (2021-04-26 (月) 10:31:02)

では、微小線分の$\epsilon ^2 =0 $周りでの一次までのテーラー展開で近似していると思いますが、0回りで考えているのは何故でしょうか。円に近いところを見ていることは分かるのですが、単に問題で$\epsilon ^2 $オーダーで考えろという指定があるからでしょうか?

  • 「(C.70)では」です -- 大学生? 2021-04-26 (月) 10:32:18
  • もちろん、${\cal O}(\epsilon^2)$を考えるので$\epsilon=0$の近くを考えてます。 -- 前野? 2021-04-26 (月) 12:18:12
  • 「(C.70)では」です -- 大学生? 2021-04-26 (月) 13:00:26
  • 「(C.70)では」です -- 大学生? 2021-04-26 (月) 13:00:29
  • すみません。リロードしたら余計に送られてしまいました。ご回答ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-04-26 (月) 13:01:19
  • ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-05-16 (日) 11:30:59

P175 (A.41)式について

大学生? (2021-04-12 (月) 19:40:28)

式としては、座標系を決めることで未知数αが求まることは理解できるのですが、なぜ座標系を決めることで未知数が定めることができるかの意味がわかりません。
また、(A38)式自体は座標系に寄らず正しい式でしょうか。

  • (A.38)は座標系によらずに等しい式です。(A.41)までは特定の座標系を決めずに求めてます。 -- 前野? 2021-04-12 (月) 20:20:13
  • そもそも、「外積を取る」という操作が座標系によらずに決まる操作なので、外積を2回やった結果も、座標系によらずに決まることになります。よって、特定の座標系でのαを求めれば、どの座標系でも成り立つことになります。 -- 前野? 2021-04-12 (月) 20:21:36
  • ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-04-13 (火) 11:39:40

問4-5(1) p80 p188 p193

大学生? (2021-03-19 (金) 12:07:36)

P193の記述で$2x\frac{d\lambda}{dx} =\lambda $はp188の式について$\frac{\partial \lambda}{\partial y} =0$から来ていると思うのですが、この時λ名前のマイナスが消えているのはなぜでしょうか?

  • 「名前→の前」です -- 大学生? 2021-03-19 (金) 12:08:31
  • すいません、これはマイナスがついているのが正解で、微分方程式の答えは$\lambda={C\over\sqrt{x}}$になります。 -- 前野? 2021-03-19 (金) 12:23:41
  • ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-03-22 (月) 22:36:56
  • ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-04-10 (土) 17:17:56

大学生

P193 問4-4? (2021-03-14 (日) 13:43:07)

解答の一行目から二行目で、
例えば$\int_{x_0}^x dtP(t,y_0) $を上端を用いて$P(x,y_0)(x-x_0) $などと近似することもできると思うのですが、下端を使って近似しているのは最終的に積分可能条件の式を出すことを意識しているから、という認識であっていますでしょうか。

  • 上端を統一して選んで式変形しても、_0なしの(x,y)の積分可能条件を出すこともできてそれでも正解ということでしょうか? -- 大学生? 2021-03-14 (日) 13:49:00
  • どっちでやっても今考えている近似の範囲では同じ結果が出ます。今$x-x_0$は小さいと考えている(1次の微小量)なので、これが掛かっている計算では$x$と$x_0$の差は2次の微小量です。 -- 前野? 2021-03-14 (日) 17:21:17
  • その場合、$x-x_0$がかかっている式のcが$y-y_0$または -- 大学生? 2021-03-14 (日) 22:53:29
  • すみません。途中で送信してしまいました。「その場合、$x-x_0$がかかっている式のxと$x_0$のときの差が$x-x_0$あるいは$y-y_0$の一一次以上の量で表されることは、U(x,y)を使ってその式テーラー展開することから示せるから、U(x,y)が存在$\Rightarrow $積分可能条件が示せるということですか? -- 大学生? 2021-03-14 (日) 23:01:13
  • すみません。上で言っていることは正しくないですね。お答えいただかなくて大丈夫です。教えていただいたことを元に考えたのですが、(C.34)の積分可能条件は_0なしで、$-\frac{\partial P(x,y)}{\partial y} +\frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} $と書いても同じことでしょうか? -- 大学生? 2021-03-14 (日) 23:28:48
  • 微小量の極限を取った後なら、$x$と書いても$x_0$と書いても中身は同じです。 -- 前野? 2021-03-15 (月) 06:46:58
  • ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-03-16 (火) 12:25:29

P53の最後の文

大学生? (2021-03-09 (火) 17:58:39)

「最終結果は〜と同じ量になっているので」という記述ですが、確かに(3.29)(3.30)を見れば二者は同じ量であるとわかるのですが、この図からは二つが同じ量であることは直感的に分かりません。どのように解釈すればいいでしょうか?

  • 図に示されているのは4つの量の足し算、正確に言えば「+」と書いてある2箇所の量を足して「ー」と書いてある2箇所の量を引くという計算です。「+」と書いている場所と「ー」と書いてある場所が一致しているのですから、結果は同じです。 -- 前野? 2021-03-09 (火) 19:39:15
  • 矢印に意識が行き過ぎてあくまでもスカラ量の足し引きを考えているのを失念していました。ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-03-11 (木) 19:03:17

P 59 (3.51)

大学生? (2021-03-09 (火) 17:35:56)

題名の式において、「微分の結果は二つの式の和になり」というのは、微分のどのような性質を用いていますか?
線形性でもライプニッツ則でもない気がします。

  • 図に書いているように、Z(x,Y(x,z))には二箇所にxがありますから、その2箇所のxをそれぞれ微分した結果がこの式です。 -- 前野? 2021-03-09 (火) 19:37:36
  • 証明が必要なら、少し先の3.4.3に2変数の変数変換の話があります。そこの計算で、変数の一つ(xの方)を変えなかったと思えば同じことです。 -- 前野? 2021-03-09 (火) 19:50:51
  • 証明を追って理解できました。ありがとうございます。 -- 大学生? 2021-03-11 (木) 19:00:10

P.143 (7.43)の図解について 

阿部英樹? (2020-12-29 (火) 11:04:10)

rot(A vector)のr成分とはr方向に垂直な面での線積分に対応する。その結果は・・・のところの(7.44)の導出方法がわかりません。
ご教示いただければ幸いです。

  • やっているのは、微小距離の積分$\int_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x)\mathrm dx$を、(積分範囲が微小なので)$f(x_0)\times \Delta x$のように長方形の面積で置き直しているだけです。 -- 前野? 2020-12-29 (火) 17:19:16
  • (1)の部分では、$\Delta x$に対応する部分が$r\Delta\theta$となり、積分される関数が$A_\theta(r,\theta,\phi)$になっている、という計算です。 -- 前野? 2020-12-29 (火) 17:20:20
  • (3)の部分では積分の向きが逆なのでマイナスがつきます。また、この場所ではφ座標が$\phi+\Delta\phi$になっているところが違います。 -- 前野? 2020-12-29 (火) 17:21:19
  • (2)と(4)では積分の長さが$r\sin\theta\Delta\phi$になって、同様のことをやってます。 -- 前野? 2020-12-29 (火) 17:22:00
  • ご回答いただきありがとうございました。 -- 阿部英樹? 2020-12-29 (火) 20:14:45

p.201 演習問題4-1ヒント(2) 誤記?

ぶつり? (2019-10-14 (月) 16:49:56)

(C.115)が4-1ヒントの(2)の五行目に入っていますが、
これは(1)に入るのが本来でしょうか?

  • ちょっと説明が足りてないかもですが、「ここではまず、」から「となる。」までは積分可能条件の左辺の計算で、以降はそれを(4.43)にそれぞれ代入していく、と言う筋道です。 -- 前野? 2019-10-14 (月) 18:35:41
  • つまり(1)(2)を並行して解いてます。 -- 前野? 2019-10-14 (月) 18:36:18

演習問題6-3のヒント

鮒27? (2019-06-25 (火) 21:25:16)

(C.128)の2行下
dΦに比例する部分をdx(2) は
dσに比例する部分をdx(2) でしょうか。

  • すいません、確かにその通りです。次の刷で直します。 -- 前野? 2019-06-25 (火) 22:04:07

演習問題5-4の解答

鮒27? (2019-06-22 (土) 01:17:06)

(C.196)のようになる理由が分かりません。
ヒントにあるように(3.74)のfをXにすると何故(C.196)の右辺になるのでしょうか?

  • 単純に、(3.74)の$f$のところを$X_i$に変えます。すると(3.74)の右辺と(C.196)の左辺は同じものになります。 -- 前野? 2019-06-22 (土) 09:31:37
  • (3.74)では$x_1,x_2,\cdots$で表したときは$f$、$X_1,X_2,\cdots$で表したときは$g$、と名前を変えていますが、(C.196)では$f$が$X_i$になったので、$g$は「$X_i$を$X_1,X_2,\cdots$で表したもの」で、つまりはそれは$X_i$そのものです。 -- 前野? 2019-06-22 (土) 09:33:40
  • というわけで、計算は単純な代入しかやっておりません。 -- 前野? 2019-06-22 (土) 09:34:02
  • 理解できました。ありがとうございます。 ちなみに(C.196)の1行上の(3.73)は(3.74)でしょうか。 -- 鮒27? 2019-06-22 (土) 23:22:58
  • ここは確かに(3.74)ですね。 -- 前野? 2019-06-23 (日) 15:59:46

p160の問い8-4

高2? (2019-02-26 (火) 19:44:17)

周期境界条件の場合の解を求めるのに、ディリクレ型境界条件を使って出てきた解(8.47)を使うのは何故ですか?
また、ヒントでの「(8.47)の段階でsin,cos両方を入れて」という部分も何をしているのかわからないので、教えてください。

  • (8.47)はもちろんディリクレ型境界条件の場合ですが、周期境界条件ならばどうなるか?を考えてみてください。微分方程式の解は三角関数(sinかcos)です。 -- 前野? 2019-02-27 (水) 07:25:31
  • 次に周期境界条件から、sinとcosの引数が${n\pi\over L}x$でなくてはいけないことがわかります。 -- 前野? 2019-02-27 (水) 07:25:50
  • なので、ディリクレ型ならsinだけを使っていたところに、sinとcos両方を使えばいい、ということです。 -- 前野? 2019-02-27 (水) 07:27:05

P.206 演習問題2-4の解答

鮒27? (2019-02-23 (土) 21:40:46)

解答の最後で$x^2 > 1$ となっていすますが問題文にあるように$x^2 \ge 1$ではないでしょうか?

  • この辺極限の操作が入るところなので微妙ですが、確かに「覆ってない」と続くので$x^2\ge 1$が正しいです。 -- 前野? 2019-02-23 (土) 22:50:46

P.181 (B.8)

鮒27? (2019-02-19 (火) 22:26:29)

$=-n^2$が抜けていませんか?

  • ささいなことで恐縮ですが (B.12)の1行上 $d \over dr$$R \Rightarrow$ $d \over dr$$R(r)$ -- 鮒27? 2019-02-19 (火) 22:40:35
  • すいません、確かにおっしゃる通り、間違ってます。 -- 前野? 2019-02-19 (火) 23:20:42

P.203 (C.134)

鮒27? (2019-02-18 (月) 18:47:45)

$∂ \over ∂r^2$ $\Rightarrow$ $∂ \over ∂r$

  • ご指摘ありがとうございます。次の版で修正します。 -- 前野? 2019-02-19 (火) 07:06:55

p166

あお? (2019-01-12 (土) 12:35:16)

基本的なことなのですが、(8.73)式の部分積分が、どのような過程で(8.74)式になるのかが、分かりません。(多重積分の部分積分が、分かりません。)
お忙しいところすみませんが、よろしくお願いいたします。

  • また、本書の内容から少し逸れて大変申し訳ないのですが、∫ d V ( ∇×A )^2 = ∫ d V A· ( ∇× ( ∇×A ) )  (∇とAはベクトルです) という部分積分もなぜ、このようになるのか理解できません。もしよろしければ、 -- 2019-01-12 (土) 14:00:46
  • ご教授頂ければと思います。 -- 2019-01-12 (土) 14:01:16
  • 偏微分といっても微分する変数以外の変数を定数とみなせば常微分と違いはないので、$\int f(x){\mathrm d^2 f(x)\over \mathrm dx^2}\mathrm dx=-\int{\mathrm df(x)\over \mathrm dx}{\mathrm df(x)\over \mathrm dx}$という部分積分と、やっていることは同じです。- 前野? 2019-01-12 (土) 22:45:01
  • この常微分の部分積分はわかるでしょうか? これを$x,y$それぞれで繰り返せば偏微分でも同様になることはわかるでしょうか? -- 前野? 2019-01-12 (土) 22:47:46
  • ∇×Aの方は、この形ではわからないのなら、成分ごとに書き出して(たとえばz成分は${\partial A_z\over\partial y}-{\partial A_y\over\partial x}$のように)一つずつ考えてみてください。 -- 前野? 2019-01-12 (土) 22:50:15
  • お答え頂き、ありがとうございます。各成分ごとに、部分積分を行えば良いのですね。( ∇×A )^2の方も、成分表示して計算してから各成分ごとに、部分積分してみようと思います。お忙しい中、ご回答頂き、ありがとうございました。 -- あお? 2019-01-13 (日) 10:55:30


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Last-modified: 2021-06-24 (木) 23:10:05 (87d)