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方向微分 †
dattoikou? (2018-08-18 (土) 22:55:56)
ｐ８８の「grad fと欲しい方向の単位ベクトルとの内積を取ることによって、全ての方向の偏微分係数がわかる。」とありますが、単位ベクトルとの内積は、常に|grad f|になってしまいませんか。∇fが最大傾斜角を維持するとしても。
- なりませんよ。たとえばその「単位ベクトル」が$\vec{\mathbf e}_x$なら内積は${\partial f\over\partial x}$になります。 -- 前野?
- $\vec{\mathbf e}_y$なら、${\partial f\over\partial y}$になります。$|{\rm grad}~f|$は$\left({\partial f\over\partial x}\right)^2 + \left({\partial f\over\partial y}\right)^2$です。 -- 前野?
全微分と二階偏微分 †
dattoikou? (2018-06-10 (日) 21:04:10)
f(x,y)を全微分することと、x,yで2階偏微分することは、同じ操作なのでしょうか。
- いえ全然違います。全微分はむしろ一階微分です。 -- 前野?
つまらないことですが †
dattoikou? (2018-05-27 (日) 21:48:56)
ｐ９３．
（５．４０）の掛け算になるところのイメージがわかりません。
- 掛算って、$\mathrm d\theta$と$\vec e_\theta$の掛算ですか？？？ 長さが$\mathrm d\theta$で向きが$\vec e_{\theta}$の方向なのでこう書けるのですが。長さが3で$x$方向を向いたベクトルが$3\vec e_x$なのと同様に。 -- 前野?
つまらないことですが †
dattoikou? (2018-05-27 (日) 21:40:10)
ｐ９3のdxベクトルがｘ軸と平行でないのは、どうしてですか。
- ｄｘベクトルって$\mathrm d\vec x$のことですか？？ $\vec x$といういろんな方向を向くベクトルの変化なんですから、いろんな方向を向けます。 (5.39)式を見てください。$\mathrm dx,\mathrm dy$に依存していろんな方向を向きます。 -- 前野?
二階偏微分の図形的意味 †
角? (2018-04-27 (金) 08:22:01)
p48-49で二階偏微分の解説をしてますが、
最初にyで偏微分、次にxで偏微分したときの
図形的意味が理解できません。
p51の図【z=f（x,y）=xy】でいえば、
例えば（x=0,y=0）から（x=1,y=1）へと引いた線の曲がり具合を表してると考えてよいのでしょうか。
（3Dモデルで言えば、x軸とy軸からなる角を45度になるように斜めに切って、横から見た断面図といえばいいのでしょうか）
どうか宜しくお願い致します。
- 曲り具合と解釈したいのでしたら、４９ページの(3.21)の下にある図が参考になると思います。二つの図が「両端」と「真ん中」での引算を示してますが、これはつまりおっしゃる通りの「４５度の断面で考えたときの曲り具合」と解釈できることを示しています。 -- 前野?
- p49の図を参考に、色々と絵を描いてみましたが、両端＞真ん中 であれば、両端の点のうちいずれかまたは両方の点が、真ん中よりも高い位置にあるので、Zが下に凸の線となる、ということなんですね（間違っていたら勉強し直します）。もう一点お聞きしたいのが、∂z/∂x∂yを微少変化量の比として見た場合、これは、xとyをそれぞれ同時に変化（＋∂x,＋∂y)させた微少変化量に対する、Zの微少変化量の比ということでしょうか。重ねての質問で大変申し訳ありませんが、どうか宜しくお願いします。 -- 角?
P61（3.61）と（3.62） †
サラリーマン? (2018-04-25 (水) 08:38:38)
P61の図について、以下の解釈であってますでしょうか。
（１）P61脚注32の文中にある原点とはx軸、y軸、z軸が交わる点
（２）Aは曲面とx軸の交点で、そのx座標はΔxである。
もし上記でよければ、Aは定点であり、Δxは定数だと思うのですが、だとすると、それを"→０とする極限"をとるの意味が分からなくなります。どこで勘違いしているのでしょうか？
- 解釈はそれでいいです。Aは別に定点ではありません（Δｘは任意の小さい値です）。A,B,Cという三つの点を原点に近づけていて、その極限を考えると考えてください。あるいは「→０」に抵抗があるのでしたら、あくまで有限のΔｘを考えているが${\cal O}((\Delta x)^2)$は無視していると考えてください。 -- 前野?
- 曲面が変化するということですか？たとえば3.4.2の２自由度の例、x^2+y^2+z^2=R^2、みたいな固定された曲面があり、その曲面上のある１点において(3.62)が成り立つということを説明されていらっしゃると思っているのですが、固定された曲面のほかに変化する曲面があるということですか？あと、原点というのは固定された曲面上のある1点のことのように思えてきたのですが、違いますでしょうか？（まったくトンチンカンな質問だったすいません） -- サラリーマン?
- 考えているのは固定された曲面です。そしてその曲面のある一点を考えてます。考えている極限においてはOもAもBもCも曲面上の同一点に収縮してしまうような状況です。 -- 前野?
- そういう意味では、面を動かしているのではなく座標軸の方を（原点が面上に来るように）近づけているというイメージが近いと思います。 -- 前野?
P34脚注15 †
サラリーマン? (2018-04-11 (水) 09:28:50)
P34脚注15のtとxは、(2.43)のtとxと同じですか？それとも一般的な話をされているのですか？
いずれの場合でも、どうやって両辺を比較してCとγを求めることができるのかがわかりませんでした。tとxの関係には関係無くCとγを求めることができるのですか？掲示板で完全な手順を示すのは大変だと思いますので、計算の概略だけでもご説明いただけないでしょうか。
- すいません、脚注の式右辺の$x$は$\omega t$の誤りです。(2.43)の２行したの文章中の$C\cos(x+\gamma)$も同様に、$C\cos(\omega t+\gamma)$の間違いです。 -- 前野?
- Cとγを求める方法としては、この式は恒等式なので、$t$にいろんな値を入れます。たとえば$\omega t+\gamma=0$になるように$\omega t=-\gamma$と置けば$C$が分かります。ガンマの方は、例えば$\omega t=0$と置きます。 -- 前野?
- ご回答ありがとうございました。cosとcosの和がcosで表せるのは知りませんでしたが、加法定理を使って自己解決しました。 -- サラリーマン?
P.159 (8.41) †
鮒27? (2018-04-08 (日) 14:35:28)
F_αをF_nとF_-nで置き換えていますが、F_nとF_-nは異なる値になるのでしょうか？
αがn^2に比例するので、F_nもF_-nも同じ値をとるように思えるのですが。
- $\tilde F_n$と$\tilde F_{-n}$は別々の値を取ってもいいです。ただ、実際の答えに現れるのは(8.41)に出てくる$\tilde F_n - \tilde F_{-n}$という組み合わせだけになります。 -- 前野?
- αが同じでも、解が二つあるけど、二つの解の特別な線形結合だけが残っている、ということです。 -- 前野?
- F_n ー F_-n =０なので(8.42)が０になるのでは、と思いましたが勘違いしてました。 F_αの中身がαの式ではなく、あるαに対応した係数がF_αでした。 ありがとうございました。 -- 鮒27?
P158 (8.36) †
鮒27? (2018-04-08 (日) 13:41:07)
最後に =0 があったほうが良いのでは？（（8.38）ではつけています。）
P.138 †
鮒27? (2018-04-07 (土) 20:01:34)
(7.25)の１行上の数式で最後のVrに(r,θ)が付いてないのが気になりましたのでお知らせします。
- 確かに、ここもついているべきですね。 -- 前野?
P.212 演習問題7-2の解答 †
鮒27? (2018-04-07 (土) 13:36:25)
(C.221)でθ積分をするとき、∂Ax/∂yは定数として積分記号の外に出していると思います。しかしAxはθの関数なのに、外に出してしまってもよいのでしょうか。
- ここでの$A_x,A_y$およびその微分は、もともとの$\vec A(x_0+\Delta r\cos\theta,y_0+\Delta r\sin\theta)$を$\Delta r$が小さいとしてテイラー展開（ヒントの(C.130)式）した結果の係数なので、すでに$\theta$依存性はなくなっています。 -- 前野?
- なるほど、分かりました。ありがとうございました。 -- 鮒27?
P.203 演習問題7-1のヒント †
鮒27? (2018-04-07 (土) 12:08:42)
A->BはO->A, C->AはB->O, B->CはA->Bかと思います。
- すいません、図の方を変えたときにヒントを直し忘れたようです。おっしゃる通りに訂正します。 -- 前野?
P.211 演習問題6-4の解答 †
鮒27? (2018-03-29 (木) 23:11:42)
(C.215)の最初の行で、θの積分範囲は-π/2 -> π/2ではなく
0 -> πではないでしょうか。（結果は同じですが。）
- 確かにそうですね（しかも２行めで０〜πになっている）。これも直します。 -- 前野?
P.111, P.196 †
鮒27? (2018-03-27 (火) 19:13:23)
P.111 (6.24)の１行上の式ですが、積分記号は不要ではないでしょうか。
P.196 問い6-3の解答で、第３の積分の置き換えはtan(θ-π/2)ではなく、tan(π-θ)ではないでしょうか。
- すいません、これも間違ってますね。直します。 -- 前野?
P.210 演習問題5-7の解答 †
鮒27? (2018-03-27 (火) 01:13:35)
(C.205)について
2行1列目⇒1行2列目
1行目最後 cosΦ/rcosθ⇒cosΦ/rsinθ
2行目の２つ目の=の前に -sinΦcosΦ が抜けています。
- 御指摘ありがとうございます。確かに間違ってます。 -- 前野?
P.208 演習問題5-1の解答 †
鮒27? (2018-03-25 (日) 17:33:40)
(C.189)の最後 ∂/∂r ⇒ ∂/∂θ かと思います。
- 御指摘ありがとうございます。次の刷で直します。 -- 前野?
P.101 問い5-9 †
鮒27? (2018-03-25 (日) 14:30:39)
極座標での表現（３行目）⇒ （２行目）かと思います。
問い5-3の解答 †
鮒27? (2018-03-24 (土) 21:03:22)
"α方向の方向微分が(C.37)となり、"とありますが
(C.37)はどこから出しているのでしょうか。本文の(5.14)と思いましたが少し違います。
あと、(C.37)の上の図で線分ｒと線分ａのなす角が直角でないと
ａcosα=-ｒdθsinθ,ａsinα=ｒdθcosθが成り立たないのではないでしょうか。
αは任意の角度ではないのでしょうか？
- ｒと書いた線分とaと書いた線分はもちろん垂直です。ここで考えているのはθ方向なので。 -- 前野?
- (C.37)の出し方ですが、その少し前で$a\cos\alpha$と$a\sin\alpha$が求められているので、それを方向微分の式（たとえば(5.14)）に代入します。 -- 前野?
- ご回答ありがとうございます。 線分が直角なのは理解できました。 しかし(C.37)の出し方がまだ分かりません。 (5.14)の右辺でcosα=-rdθsinθ/a=-sinθ、sinα=rdθcosθ/a=cosθ を代入すると(C.37)とは異なるように思います。 -- 鮒27?
- すいません、上のはちょっと正確じゃなかったですね。(5.14)は方向微分の式ですが、それは「差を$a$で割ってから$a\to0$の極限を取る」という計算をやってます。それの$a$で割る前の量に対して$a\cos\alpha=-rd\theta\sin\theta,a\sin\alpha=rd\theta\cos\theta$を代入したものが(C.37)です。 -- 前野?
- したがって、(C.37)を$a$すなわち今の場合$r d\theta$で割ったものが方向微分になります。つまり、(C.37)で$\underbrace{~~~~~}_{方向微分}$と書いてある部分が方向微分になります。 -- 前野?
- あぁやっと分かりました。 そういうことでしたか。 確かに(C.37)をdθで割ればθ微分と方向微分がｒ倍違うことが分かりますね。解答を読んでいて(C.37)が方向微分だと思い込んでいました。ありがとうございました。 -- 鮒27?
P.89 †
鮒27? (2018-03-21 (水) 16:40:41)
細かいことですが最初の立体グラフでx軸の"-3"が軸より離れた位置にあります。
- すいません、ずれてますね。次の刷で直します。 -- 前野?
演習問題4-2の解答 †
鮒27? (2018-03-14 (水) 14:35:13)
(C.182)の2つ目の項(α+1)nRT^(α+1)/VでT^(α+1)はT^(α)ではないのでしょうか？
(C.183)の右辺の'-'は'+'ではないのでしょうか？
(C.184)の右辺でlogT^(2/3)は(3/2)logTではないのでしょうか？'-'は'+'ではないのでしょうか？
熱力学がよく分かっていないので的外れな質問かもしれませんが、よろしくお願いします。
- (C.182)、(C.183)についてはおっしゃる通りです。(C.184)は符号は＋です。$\log\left(T^{3\over2}\right) = {3\over 2}\log T$なので、これについてはどっちで書いても同じです。 -- 前野?
- 分かりました。ありがとうございます。 -- 鮒27?
演習問題4-1のヒントと解答 †
鮒27? (2018-03-14 (水) 14:26:44)
P.201 (C.115)の式は余分ではないでしょうか？ (1)のヒントの式がそのまま載っています。
P.208 (C.181)で'='と数式がかぶっています。
- 上記の１つ目は私の勘違いでした。 (1)で出した式を(4.43)に代入したものが(C.115)ということですね。 -- 鮒27?
- ２つ目のご確認をお願いします。 -- 鮒27?
- すいません、見落としていました。208ページは確かに変ですね。これも直しておきます。 -- 前野?
問い4-5 †
鮒27? (2018-03-13 (火) 19:50:35)
P.188 (3)最後の項λτx ⇒ λtanx
P.193 (4)最初の項dλ/gdx xlogx ⇒ dλ/dx xlogx (gが余分)
かと思います。
- すいません、これもタイプミスです。増刷のときに直したいと思います。 -- 前野?
P.73 (4.15) †
鮒27? (2018-03-13 (火) 00:28:49)
x^m*y^n=nCで右辺はCのほうが自然な気がします。
- すいません、このnは単なるミスタイプです。 -- 前野?
いつ †
大学生? (2018-01-29 (月) 16:04:23)
よくわかる熱力学はいつ発売ですか？待ち遠しいです。
- 申し訳ないですが、２年ぐらいはかかると思ってください。 -- 前野?
- わかりました；； -- 大学生?
- 特殊相対性理論の方が先に発売されますか？ -- 大学生?
問い4-4の解答 †
鮒27? (2018-01-28 (日) 23:08:43)
(C.34)の3行上からですが、
∂P(x_0,y_0)/∂y → ∂P(x_0,y)/∂y
∂Q(x_0,y_0)/∂x → ∂Q(x,y_0)/∂x
ではないでしょうか。
- 下の式の場合、$x-x_0$の1次までの近似をしているので、$Q(x_0,y_0)$と書いても$Q(x,y_0)$と書いても同じです。二つの書き方の違いは$\left({\partial Q(x,y_0)\over\partial x}-{\partial Q(x_0,y_0)\over\partial x}\right)(x-x_0)$となりますが、これは${\cal O}((x-x_0)^2)$です。 -- 前野?
- なるほど、ヒントと違っていたので気になったのですが理解できました。 ありがとうございます。 -- 鮒27?
演習問題3-4の解答、問い4-2(3)の解答 †
鮒27? (2018-01-27 (土) 12:05:05)
演習問題3-4の解答
(c.167)で3πr^3 -> 3πr^2かと思います。
（その後の説明も）
問い4-2(3)の解答
∂y/∂y = 1 -> ∂ytanx/∂y = tanx
∂tanx/∂x =1/cos^2x -> ∂(-1)/∂y = 0
かと思います。
- すみません、問い4-2(3)の解答ではなく問4-3の解答(問い4-2(3)について）です。 -- 鮒27?
- すいません、確かに間違ってます。 -- 前野?
演習問題3-2 解答 †
鮒27? (2018-01-24 (水) 19:07:04)
(1) ∂f(xy)/∂x = ∂(xy)/∂x * f'(xy) = y*f'(xy)
∂f(xy)/∂y = ∂(xy)/∂y * f'(xy) = x*f'(xy)
となっており、f'(xy)がx,yの偏微分で同じ表記ですがこれは良いのでしょうか？
確かにf(xy)=(xy)^2 + xy などで実際に計算すると
∂f(xy)/∂x = 2xy * y + y = y(2xy + 1).
∂f(xy)/∂y = 2xy * x + x = x(2xy + 1).
となりy*(何か), x*(何か)という形になるのは分かるのですが。
(2) ∂f(x^m*y^n)/∂x = ∂(x^m*y^n)/∂x * f'(xy)となっていますが
このf'(xy)はf'(x^m*y^n)ではないのでしょうか？
- ああ、たしかに$x^my^n$が正しいです。 -- 前野?
p66 †
角? (2018-01-21 (日) 14:21:23)
p66のdxだけの移動による関数の変化量が
∂f/∂xと書かれていますが、
微小変化量なら∂f/∂xdxと書く気がするのですが、
これは私の間違いでしょうか。
どうぞ宜しくお願いします
- そうですね、ここは変化量ではなく、「変化の割合」と書くべきでした。 -- 前野?
P.128 (7.1) †
鮒27? (2018-01-20 (土) 02:01:39)
(7.1)式の真ん中の式ですが、dxは必要でしょうか？
素直にgradΦを入れると必要に思うのですが。
- すいません、これはミスで、dxは必要です。次の刷で直します。 -- 前野?
P61 (3.61)と(3.62) †
サラリーマン? (2017-11-26 (日) 12:24:39)
(3.61)の左辺にはマイナスが三つあるのですが、(3.62)の左辺にはマイナスがありません。(-1)x(-1)x(-1)=-1だから(3.62)の左辺にもマイナスを付けなくていいんですか？
- 図をよく見てください。今の場合、${\partial z \over \partial y}={\Delta z\over -\Delta y}$です。 -- 前野?
- ちょっと混乱してきちゃったのですが、(3.14)や(3.15)で定義した偏導関数とは別物ということですか？ -- サラリーマン?
- 同じ物です。zの変化割るyの変化です。この場合yの変化がーΔyなだけです。図をよく見てください。 -- 前野?
- Δyの定義が違うということですね。 -- サラリーマン?
- 脚注に書いてある通りです。 -- 前野?
- すいません。見落としてました。注を前提にして考え直してみます。 -- サラリーマン?
いつ †
大学生? (2017-11-07 (火) 15:13:10)
第三巻が早く欲しいです。
いつ発売ですか。
- すいません、刊行予定の次が「よくわかる特殊相対論」か「よくわかる熱力学」になったので、ヴィジュアルガイド物理数学の３冊目は遅れそうです。 -- 前野?
- ；； -- 大学生?
全微分と勾配の違いについて †
(2017-09-24 (日) 18:00:36)
全微分と勾配の違いがわかりませんでした。
関数fがあるとき、「fを全微分する」と「grad(f)」は同じ操作ですか？
- 似ている部分はありますが、違います。「全微分する」というのは$f(x,y)$のような２変数以上の関数から、${\partial f\over\partial x}\mathrm dx+{\partial f\over\partial y}\mathrm dy$を作るという「操作」もしくは操作の結果の名前です。 -- 前野?
- 勾配は${\partial f\over\partial x}\vec e_x +{\partial f\over \partial y}\vec e_y$というベクトルです。同じ部品が出てきてはいますし、計算の内容は同じ感じに見えるかもしれませんが、一応別です。 -- 前野?
- さっそくのご回答、ありがとうございます。大変勉強になりました。ありがとうございました。 --
P126 (6.74) †
大学生? (2017-09-02 (土) 01:55:19)
x＝e_zDsinσ＋(R＋Dcosσ)e_ρ
ではありませんか？
またヒントにある変位ベクトルがなぜ、そうなるのかわかりません。dσ変化させたら位置は(Dcosσe_z－Dsinσe_ρ)ではありませんか？
- これは確かに、図が正しいとすれば$\vec x=\vec{\mathbf e}_zD\sin\sigma+(R+D\cos\sigma)\vec{\mathbf e}_\rho$ですね。 -- 前野?
- そしてそうならば、これを微分して考えると$\vec{\mathbf e}_z\cos\sigma-D\sin\sigma\vec{\mathbf e}_\rho$です。 -- 前野?
- 図のσの位置が間違っていると考えてもいいです（図にσと書かれている角度が実は${\pi\over2}-\sigma$だと思う）。その場合は本に書いてある式は正しくなります（図と式の対応がおかしい）。 -- 前野?
- こちらの方が修正箇所が少なくて済むので、角度σの定義を次の図のように直してください。すみません。 -- 前野?
- ヒントと解答の微分した値が異なるところも修正ありますか？ -- 大学生?
- ああすみません、ヒントの$\left(-\vec{\mathbf e}_x D\sin {\sigma}+\vec{\mathbf e}_y D \cos{\sigma}\right)\mathrm d \sigma$は間違ってますね。 --
- 解答の方の、$\left(-\vec{\mathbf e}_z D\sin {\sigma}+\vec{\mathbf e}_\rho D \cos{\sigma}\right)\mathrm d \sigma$が正解です。 -- 前野?
- わかりました！ -- 大学生?
P81 熱力学の積分因子 †
大学生? (2017-08-11 (金) 00:24:30)
演習4-2の答えが1/Tとなっていますが、V^(2/3)も正解ですか？
- そっちは、積分因子の形を$V^\alpha$と仮定すれば出てきます。 -- 前野?
- 有難うございます。 -- 大学生?
P41 †
大学生? (2017-08-08 (火) 15:22:05)
なぜ、f(x,y)に対して、p41に書いてあるような操作をすると接平面の式になるのですか。
数学の授業ではx,yについて(1,0,0)の偏微分係数をかはx方向y方向の傾きを決め、z＝(xの傾き)×(x-1)＋(yの傾き)×(y-0)のようにすると教わりました。
- その二つは相反するものではなく、どっちも同じ計算です。つまり「一階微分する」という計算は「展開して１次以外を忘れる」という計算と本質的に同じだからです。 -- 前野?
- 返事が遅れでごめんなさい。わかりました。ところでこの操作は多項式のみに有効ですか。 -- 大学生?
- 「２次以上を省略する」という操作ができれば有効ですが、それが簡単にできるのは多項式の場合ですね。 -- 前野?
- わかりました。有難うございます！ -- 大学生?
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