「よくわかる電磁気学」(東京図書)サポート掲示板

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P129,p130

大学生? (2018-02-19 (月) 03:11:14)

ふたつの電荷に対してマクスウェル応力の導出がなされています。
電荷に働く力について、砂川電磁気学では、面を電荷をかこむ任意の閉曲面にとっても良いとしています。前野さんの本では閉曲面を無限に大きな球面に置いたのでしょう。前野さんは閉曲面をどうして任意にとっても良いと考えられますか。つまり、電荷が入った閉曲面であれば応力を面積分した値は、面のとりかたによらないず一意であることはどう理解できるのですか。
これがなければp127とp128で応力をエレガントに導出したことが無駄になってしまうと思います。せっかく応力を簡単に出せたのに、面全体にかかる力が面の選び方によって違ってしまったら応力を利用した力の計算ができず、結局クーロンの法則やらで力を計算するしかなくなってしまいます。

  • もちろん、面の選び方にはよりません。今やっているのは静電場なので、各点各点で力はつりあいの状態にあります。そのつりあいはクーロン力と、電荷のある場所には「電荷をその場所の保持する力」を合わせて成り立ってます。電荷のない場所については静電気力だけでつりあいが達成されていなくてはいけません(そして、面のとり方で変わってしまったらつりあってないことになります)。 -- 前野? 2018-02-19 (月) 09:01:53 New

誘導電場と相対論について

高校教諭? (2018-02-07 (水) 17:19:38)

マクスウェル方程式によると、半径rの円の内側を貫く磁束が変化するとき、それを妨げる向きの磁束をつくろうとする起電力が生じ、それに伴って、円周上には誘導電場が生じることになりますが、磁束の変化が円の中心付近の小さい領域で起きたとしても、円周上には直ちに誘導電場が生じることになるようです。(rotB=-dE/dtより 微分は偏微分です)これは磁束の変化の情報がただちに円周に伝わるのであれば相対論の考えに反するように思えます。それとも、磁束を変化させるということは、ローカルなことではないのでしょうか。よろしくお願いします。


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  • 今非常に忙しい時期なので返事が遅れてすみません。というわけで簡潔に結論を言いますと、小さい領域で起きたときの電場の変化は光速で伝わるので、「相対論に反する」なんてことは起こりません。 -- 前野? 2018-02-08 (木) 11:56:23
  • 円の中心付近に置かれた小さなコイルに電流が流れて、それにより磁場が変化して誘導起電力として電場が変化していく、という状況で何が起こるのかを見るために、マックスウェル方程式から電流と電場の関係を作ることにします。まず${\rm rot}\vec E=-{\partial \vec B\over \partial t}$という式の両辺のrotを取ります。${\rm rot}~{\rm rot}\vec E=-{\partial {\rm rot}\vec B\over \partial t}$になりますが、 ここで${\rm rot}\vec B={\mu_0}(\vec j+\varepsilon_0{\partial \vec E\over \partial t})$という式(真空中で考えます)を代入します。-- 前野? 2018-02-08 (木) 11:59:27
  • 左辺は${\rm rot}~{\rm rot}\vec E={\rm grad}~({\rm div}\vec E)-\triangle \vec E$になりますが、${\rm div}~\vec E={\rho\over\varepsilon_0}$で電荷ρは忘れることにしましょう。 -- 前野? 2018-02-08 (木) 12:04:52
  • 右辺は${\mu_0}({\partial \vec j\over\partial t}+\varepsilon_0{\partial^2\vec E\over\partial t^2})$となります。 -- 前野? 2018-02-08 (木) 12:06:17
  • これで$(\mu_0\varepsilon_0{\partial^2\over\partial t^2}-\triangle)\vec E=-\mu_0{\partial \vec j\over\partial t}$という式ができますが、これは$\vec E$が${\partial \vec j\over\partial t}$を源として光速で伝播する波だということを表す式です。 -- 前野? 2018-02-08 (木) 12:09:17
  • つまり小さいコイルに流れる電流を変化させると、それに応じて電場が(電流の増加方向と逆向きに)できてそれが光速で広がる、というのが電磁気の法則の示すところである、ということになります。 -- 前野? 2018-02-08 (木) 12:11:19
  • 大変忙しい中、ご解答いただきありがとうございます。Bの源はjなので、Bを変化させるにはjを変化させないといけない。このjの変化が光速で伝わってい誘導電場をつくるというふうに理解していいのでしょうか。 -- 高校教諭? 2018-02-08 (木) 23:29:36
  • rotE=-dB/dt -- 2018-02-11 (日) 20:37:46
  • rotE=-dB/dtの両辺を半径rの円内で面積積分すると右辺はこの円内を貫く磁束の時間変化になります。左辺はストークスの定理を使うと半径r上の電場の線積分になります。これは電磁誘導の法則を示しているのですが、もし円の中心付近のBのみを変化させたとしても、Eの線積分の値が変化してしまうことになります。これはBの変化が直ちに円周上に伝わったことにならないのでしょうか。 -- 高校教諭? 2018-02-11 (日) 20:47:23
  • 電場と磁場は二つ合わせて一つの場のようなものなので、磁場を局所的に変化させつつ電場の方は変えないということはできません。つまり「円の中心付近のBのみを変化させて」ということができるとしたら、外から電場を掛けるような操作が必要になり、「円周上の電場がすぐに変化」とはいきません。前に言いましたように今非常に多忙なので具体的に計算で書けませんが(↑に書いたのがだいたいのお話になります)。とにかく「円周上にすぐ伝わる」ってことが起こらないのです。 -- 前野? 2018-02-11 (日) 22:24:24
  • 具体的にどういう物理現象を起こせば「局所的にBを増加させる」ことができるかを考えてみてください。どんな状況を想定してもそれは結局上のほうに書いた「電流を変化させる」ということになります(磁石を動かすのも、分子電流が動くと考えれば同じ)。そして、その電流の変化が電場を変える現象が光速でしか伝わらないことがわかっているわけです。 -- 前野? 2018-02-11 (日) 22:30:05
  • 丁寧にお答えいただきありがとうございます。疑問が解決しました。 --  高校教諭? 2018-02-12 (月) 22:02:26
  • 少しだけゆっくり考える時間ができましたので、図で説明しておきます。以下は、大きな2次コイルと、真ん中あたりに小さな1次コイルがあるという状況で、最初は下向きに一様な磁場があるものとします。 -- 前野? 2018-02-12 (月) 23:57:16
coil.png
  • 小さい1次コイルに電流を流すと磁場が発生し2次コイルを貫く磁束が変化する・・・ように思えますが実は1次コイルが最初に作る磁場は図で青で示したような「くるっ」と回る磁力線なので、磁束はプラマイゼロです。 -- 前野? 2018-02-12 (月) 23:59:31
  • この1次コイルの作る磁力線が外に広がっていって、2次コイルよりも外に出ると初めて「2次コイルと貫く磁束」の量が変化する、ということになります。 -- 前野? 2018-02-13 (火) 00:00:16
  • 大変丁寧に答えていただきありがとうございます。痒い所に手が届く解答に感謝しています。 -- 高校教諭? 2018-02-14 (水) 22:23:35


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Last-modified: 2018-02-19 (月) 10:06:06 (3d)