「よくわかる電磁気学」(東京図書)サポート掲示板

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2.3.1直交座標系における発散

清水T? (2020-06-08 (月) 13:30:33)

ここの意味は以下の理解でよろしいでしょうか?
・微小領域には電気力線のみ存在し、電荷はない。
・底面と天井の間にベクトルE方向の電気力線が多数底面から入り天井に抜け、
 電気力線の本数相当のZ成分がΔZ増える。
・ΔZが微小領域における「湧き出し」量Z成分である。

 もしこの理解が正しいとすると、P59の「底面から抜けてゆく」の意味が理解
 できませんが、どこがまちがっているのでしょうか?

  • 「微小領域には電気力線のみ存在し、電荷はない」←電荷はあってもいいし、なくてもいいです。発散を考えるときに電荷のあるなしは関係ありません。 -- 前野? 2020-06-08 (月) 18:13:41
  • 「電気力線の本数相当のZ成分がΔZ増える。」←これは変。電気力線の本数とΔzは次元が合わない。 -- 前野? 2020-06-08 (月) 18:14:42
  • 「ΔZが微小領域における「湧き出し」量Z成分である。」←これも同じ。湧き出しのz成分というのがあるとしたら、${\partial E_z\over\partial z}\Delta x\Delta y\Delta z$であり、Δzではない。 -- 前野? 2020-06-08 (月) 18:15:54
  • というわけでなんか理解もおかしいですが、さらに「底面から抜けていく」の意味がわからないという意味もわからないです。ここでは「底の部分に上向きの電場がある」場合「下向きにマイナスの電気力線が抜けていく」という計算をしてます。「上向き+10」は「下向き−10」と同じ、という計算です。 -- 前野? 2020-06-08 (月) 18:18:44
  • ご指摘ありがとうございます。考えてみます。 -- 清水T? 2020-06-08 (月) 20:01:27
  • p58の図の天井のEzのベクトルの長さが底面のベクトルより長くなっています。これはP60で説明されているように、箱の中で湧き出しがあり -- 2020-06-10 (水) 09:47:14
  • Ezが増加したことをあらわしているのでしょうか? -- 清水T? 2020-06-10 (水) 09:48:36
  • しかし、天井と底面から抜けてゆく電気力線の本数は同じですね。 -- 清水T? 2020-06-10 (水) 10:05:17
  • 図にしろグラフにしろ一例ですので、増えていることもあるし減っていることも実際にはあります。「天井と底面から抜けてゆく電気力線の本数」も、同じであることもあれば違うことも、もちろんあります。${\partial E_z\over\partial z}=0$なら、天井と床で抜けていく本数は同じ、と判断できます。 -- 前野? 2020-06-10 (水) 18:54:46
  • 理解できました。ありがとうございます。 -- 清水T? 2020-06-11 (木) 08:38:02

(11.31)について

小泉? (2020-06-06 (土) 07:13:03)

(11.31)の(1番目の積分)=(2番目の積分)=M$I_{1}$$I_{2}$となり、よって
(11.31)は、2M$I_{1}$$I_{2}$ではないでしょうか?ご教示をお願いします。

  • 逆に$MI_1I_2$を微分したと考えてみてください。$M{\mathrm dI_1\over \mathrm dt}I_2+MI_1{\mathrm dI_2\over\mathrm dt}$になります。2が付いてたら計算が合いません。 -- 前野? 2020-06-06 (土) 09:08:34
  • $I_{1}$,$I_{2}$ともtの関数なので、$int$M$I_{2}$d$I_{1}$=M$I_{1}$$I_{2}$とはなりません。理解しました。 -- 小泉? 2020-06-06 (土) 16:23:58

1.5.3 球殻状の電荷による電場E

清水T? (2020-06-05 (金) 11:00:04)

(1.29)式 R^=r^+z^-2rzcosθの微分が2RdR = 2rzsinθdθ となる計算過程を教えてください。左辺はRで微分、右辺はθで微分らしいですが、なぜdRとdθが出てくるのでしょうか?
これは微分のマークとはちがうのでしょうか? 次ページ(1.30)式で分子のdRのRが分母のR^と約分されているのでマークではなさそうな気もしますが?
ー微積分の知識が足りないとても初歩的な質問だとおもいますが、よろしくお願いいたします。

  • ここでやっているのはR→R+dR、θ→θ+dθと変化したとき(rとzは変化させない)、等式の左辺と右辺がどう変化するかを書いたものです(それを「微分」と呼んでます)。 -- 前野? 2020-06-05 (金) 12:47:18
  • 具体的には、左辺は$(R+\mathrm dR)^2-R^2=2R\mathrm dR +\mathrm dR^2$で二次の項($\mathrm dR^2$)を無視します。 -- 前野? 2020-06-05 (金) 12:48:11
  • 右辺は$r^2+z^2-2rz\cos(\theta+\mathrm d\theta)-\left(r^2+z^2-2rz\cos\theta\right)=-2rx(\cos(\theta+\mathrm d\theta)-\cos\theta))$です。 -- 前野? 2020-06-05 (金) 12:49:21
  • 二次以上を無視すれば$\cos(\theta+\mathrm d\theta)=\cos\theta-\sin\theta \mathrm d\theta$なので後は両辺を比較すれば出てきます。 -- 前野? 2020-06-05 (金) 12:50:10
  • 早速のご回答ありがとうございました。やっと解りました! -- 清水T? 2020-06-05 (金) 13:47:02
  • あともう一つ教えてください。上記(1.30)式3行目のdRのRと分母のR^2を約分しているようですが、dRは一塊の小さな値なので、dとRを切り離して分母のRと約分することはできないと思ってましたが?又次の行の∫を外した式が積分されていない又頭にマイナスがついている?どうしてこのようになるのかおしえてください。 -- 清水T? 2020-06-06 (土) 10:07:01
  • そんな変な約分は、もちろんしていません。RdRと$R^3$の約分ならしてますが。 -- 前野? 2020-06-06 (土) 11:03:26
  • その後の積分も、割と普通の計算です。${1\over R^2}$の項と、定数項に分けて各々積分してます。 -- 前野? 2020-06-06 (土) 11:07:06
  • ${1\over R^2}$の積分が$-{1\over R}$になります。 -- 前野? 2020-06-06 (土) 11:09:16
  • dRは小さい値なので無視しているということでしょうか? -- 清水T? 2020-06-06 (土) 11:31:26
  • 無視なんてしてません。普通に、普通の、積分をしているだけです。落ち着いて、一歩積分やってみて下さい。 -- 前野? 2020-06-06 (土) 11:39:19
  • 解りました!勘違いしてました。 お時間とらせすみませんでした。 -- 清水T? 2020-06-06 (土) 12:02:45

分極電荷の相殺

0? (2020-05-22 (金) 12:11:48)

p149の右上図について,「他の場所の分極電荷は相殺して消える」とありますが,これは電荷がそれぞれ+と-だから相殺するという理解で正しいでしょうか.もしそうであれば,この正電荷と負電荷の間にはなぜ電場が発生しないのでしょうか.
また,最も外側の正電荷は打ち消されないような気がしますが,これらの作る電場の影響は考慮しなくてもよいのでしょうか.p147上部「しかし,現実の誘電体には必ずdiv P≠0の場所がありその影響は誘電体内部にも及ぶのである」とあります.p149の例の場合,最も外側の正電荷の部分がdiv P≠0だと思いますが,それが誘電体内部に及ぼす影響は無視できる程度なのでしょうか.

  • 最初の疑問「相殺して消える」はもちろん、+とーで消えます。同じ場所に同じだけの正電荷と負電荷がいるので、電場は作りません。正電荷から出た電気力線がすぐ、その場所にいる負電荷に吸われます(もちろんミクロな目で見ればミクロな電場のゆらぎはあるとは思いますが)。 -- 前野? 2020-05-22 (金) 12:25:19
  • 次に一番外側の正電荷ですが、今考えている状況は球対称なので、外にある正電荷から出た電気力線は、全部「外」に向かいます。よって誘電体内部に影響しません。 -- 前野? 2020-05-22 (金) 12:26:13
  • あ、ちょっと今のは誤解される言い方だった。むしろ「外周部の正電荷から出た電気力線が内周部の負電荷に入る」と考えた方がいいですね。 -- 前野? 2020-05-22 (金) 12:27:29
  • 電気力線の図を書くと、下のようになります(どっちも正しい)。 -- 前野? 2020-05-22 (金) 12:40:44
    QQ.png
  • 左の図で見れば、外側の正電荷から出た電気力線があるから誘電体の中の電場が弱くなった、ように見えるし、右側の図では「外側の正電荷があるから、誘電体内では弱まっていた電場が、外に出るとまた電場が強くなる」と言えます。 -- 前野? 2020-05-22 (金) 12:43:33
  • なるほど,理解できました.丁寧なご教授,ありがとうございます. -- 0? 2020-05-22 (金) 17:24:49

9.2 電流素片の間に働く力

数学苦手? (2020-05-20 (水) 16:07:39)

(9.6)式で∇2を使っていますが、式の変換が成り立つように思えません。自分はx1→x2に関する∇を計算するべきに思えるのですが、なぜ違うのでしょうか?

  • 1「成り立つように思えません」ということですが、それなら実際に計算してみるのが一番だと思います。${1\over |\vec x_2-\vec x_1|}={1\over\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}}$ですから、これに$\vec\nabla_2=\vec e_x{\partial \over\partial x_2}+\vec e_y{\partial \over\partial y_2}+\vec e_z{\partial \over \partial z_2}$を掛けてみます。 -- 前野? 2020-05-20 (水) 16:18:08
  • x成分だけ計算しておくと、${\partial \over\partial x_2}\left({1\over\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}}\right)=-{x_2-x_1\over\left((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2\right)^{3\over2}}$です。 -- 前野? 2020-05-20 (水) 16:20:13
  • あとはy成分、 -- 前野? 2020-05-20 (水) 16:22:23
  • z成分も同様に計算して、それぞれ$\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z$を掛けて足してみてください。 -- 前野? 2020-05-20 (水) 16:22:59
  • 長々と書きましたが、これは静電場の電位のところでやっている$\vec \nabla\left({1\over r}\right)=-{1\over r^2}\vec e_r$という計算で、原点を$\vec x_1$にずらしていると思えば同じ計算です。 -- 前野? 2020-05-20 (水) 16:30:21
  • 理解できました。ご教示いただきありがとうございます。 -- 数学苦手? 2020-05-20 (水) 17:45:18

(4.23)の第2式=第3式での表面項=0の理由について

小泉? (2020-05-18 (月) 11:17:37)

(4.23)の第2式=第3式での表面項は、どのように解釈して表面項が0になるのでしょうか。
積分区間、例えば、z軸方向に電束線が伸びていた場合、z=0からz=cとすると表面項=D(z=c)V(z=c)-D(z=0)V(z=0)となります。
誘電体内での電束線の数は変化しないので、
電束密度$\vec D$は一定電位であるから、D(z=c)=D(z=0)と理解しました。
すると、表面項=0の為には、電位Vが一定(0も含む)となる必要があります。電位は距離に依存して決まります。分極していると、負電荷からの距離によって電位が異なる、つまりV(z=c)-V(z=0)>0なるので表面項は0とはならないとなります。
表面項=0は、どのように解釈したらよいか、ご教示をお願いします。

  • 表面としては無限遠を取るのが普通ですが、無限まで離れても電束密度が弱まらないような状況を考えたらどうなるか??ということでしょうか???(普通はそんな極端な状況は考えないのですが)。 -- 前野? 2020-05-18 (月) 13:17:24
  • p123と同様の考え方をすることが、理解出来ました。気が付いたのですが、(3.93)は、$\left[\fac{\epsilon_0}{2}Ex(\vec x)V(\vec x)\right]^x=∞_x=−∞$、つまり積分記号は不要、ではないでしょうか? -- 小泉? 2020-05-19 (火) 12:43:38
  • Mathjaxの記載ミスですみません。(3.93)の積分記号がいらないと思います。 -- 小泉? 2020-05-19 (火) 12:45:34
  • これはxの積分は終わってますが、まだyとzの積分が残ってます。 -- 前野? 2020-05-19 (火) 13:13:11
  • 失礼しました。dydzを見落としておりました。ありがとうございます。 -- 小泉? 2020-05-19 (火) 14:32:39

誤植(?)

0? (2020-05-17 (日) 09:58:13)

・p129の式(3.104)の少し上「(電荷からこの点までの距離...」の閉じかっこがないかもしれません.
・p137の図の左「点電荷Qの作る電場Eは面に平行な分を持っているから...」は「面に平行な成分」でしょうか.

既にご指摘ありましたら,申し訳ありません.

  • 確かに誤植です。ご指摘ありがとうございます。 -- 前野? 2020-05-17 (日) 16:02:06

電位差の計算(演習問題4-2)

0? (2020-05-17 (日) 09:48:56)

p142の練習問題4-2についての質問です.
電位差は,二つの導体の電位の差だから,一方の電位から他方の電位を引いて,絶対値を取れば電位差が求まるという考え方で式(C.28)の結果は理解できます.
解答では,積分を用いて電位差を計算していますが,これはどのように考えて積分の式を導いているのでしょうか.

  • $\vec E=-{\rm grad}V$のr成分である$E_r=-{\partial V\over\partial r}$を逆に積分している($V=-\int E_r \mathrm dr$)だけで、特別なことはしてません -- 前野? 2020-05-17 (日) 09:57:26
  • $E_r=-\frac{\partial V}{\partial r}$を逆に積分すると,なぜ(電位ではなく)電位差になるのでしょうか. -- 0? 2020-05-17 (日) 10:09:06
  • 式を書きますね。$$\begin{array}{rl}E_r=&-{\partial V\over\partial r}\\ \int_{r_1}^{r_2} E_r \mathrm dr=&-\int_{r_1}^{r_2}{\partial V\over\partial r}\mathrm dr\\ \int_{r_1}^{r_2} E_r \mathrm dr=&V(r_1)-V(r_2)\end{array}$$という計算をしてます。 -- 前野? 2020-05-17 (日) 15:54:32
  • 積分を「場所$r_1$から$r_2$まで」にすれば、積分は$\int_{r_1}^{r_2}$になるから、それは電位差です。 -- 前野? 2020-05-17 (日) 15:56:30
  • なるほど,理解できました.ありがとうございます. -- 0? 2020-05-18 (月) 10:57:21

演習問題3-5

0? (2020-05-17 (日) 09:42:11)

演習問題の解答p17wの式(E.33)の$V(r)$のうち,$r<R_0$と$R_1<r$がなぜそう求まるのかがわかりません.
式(E.33)が$\vec{E}=\mathrm{grad}\, V$を満たしていることは理解できるのですが,電場から電位を求めるときに,どのように考えれば$r<R_0$と$R_1<r$の$V(r)$が求まるのでしょうか.
電場が0になるような電位は$r$によらない定数になるはずだから,そうなるような何らかの境界条件を与えているのでしょうか.

  • 境界条件の与え方は、110ページあたりでやっていること(V(r)の接続条件)と同じです。 -- 前野? 2020-05-17 (日) 09:52:46
  • 理解できました -- 0? 2020-05-17 (日) 10:03:16
  • ありがとうございます. -- 0? 2020-05-17 (日) 10:03:29

真電荷の無い場合の$\vec P$,$\vec D$,$\vec E$について

(2020-05-16 (土) 11:41:38)

真電荷がない場合、p151でdiv$\vec D$=0とあります。真電荷がない場合、~
誘電体は外部からの電場の影響がない、つまり$\vec E$=0で、電場によって~
発生する分極は$\vec P$=0 と解釈し、よって、(4.17)から、$\vec D$=0となるといった論理展開になるのでしょうか?ご教示をお願いします。~

  • 「誘電体は外部からの影響がないから$\vec E=0$は間違いです。外部電場がなくても分極する物質(強誘電体)というのがあるので。その場合は電場はすべて分極が作った電場になり、「分極の作った電場」を「電場」から除くと0になります。 -- 前野? 2020-05-16 (土) 11:43:42
  • 「4.6 強誘電体と自発分極」に読み進み、外部電場がなくても電場がある場合があることを理解しました。先生の「強誘電体の分極が作った電場」を”電場”から除くと0とありますが、”電場”とは何によるものでしょうか?真電荷の無い状態で引かれる電場はないと考えます。先生が説明されている通り「電場はすべて分極が作った電場」の場合、理解できない状況です。ご教授ください。 -- 小泉? 2020-05-16 (土) 14:26:24
  • 分極電荷だって電荷(正電荷と負電荷のペア)なんだから、電場は作りますよ。なぜ「電場はない」と決めつけるのでしょうか??? -- 前野? 2020-05-16 (土) 14:28:26
  • 「そこにある電場」は「分極電荷の作った電場」と「真電荷の作った電場」の和です。真電荷がない場合には後者はなくなりますが、前者があることもあります(もちろん両方ない場合もある)。 -- 前野? 2020-05-16 (土) 14:29:47
  • 質問の文章が「電場はない」と決めつけたように先生に読み取れたこと申し訳ありません。また、div$\vec D$=ρには分極により電荷を含んでいないことを理解できていませんでした。ありがとうございました。 -- 小泉? 2020-05-16 (土) 15:20:52

p146 (1/ε_0)Dの解釈について

小泉? (2020-05-15 (金) 09:48:43)

(1/ε_0)D は、「実際の電場から、分極によって発生した電場を除いたもの」
と記載ありますが、式は(1/ε_0)D=E + (1/ε_0)P となるので、「実際の電場から、分極によって発生した電場を加えたもの」となるのではないでしょうか?
ご教示をお願いします。

  • 分極によって発生した電場は$-{1\over\varepsilon_0}\vec P$なので、それを除くということは$+{1\over\varepsilon_0}\vec P$ということです。 -- 前野? 2020-05-15 (金) 10:07:42
  • p146 の(4.19)の上部に、多くの物質では$\vec P$, $\vec D$, $\vec E$が皆同じ方向を向くと記載あります。p147では$\vec P$, $\vec E$は反対方向と理解するのでしょうか? -- 小泉? 2020-05-16 (土) 10:26:20
  • まさにその147ページの図で、$\vec P$と$\vec E$は同じ方向を向いてますが?(図には$-{1\over\varepsilon_0}\vec P$が描かれていますが、それは$\vec E$と逆を向いています)。 -- 前野? 2020-05-16 (土) 11:23:30
  • 何か勘違いしておられるような感じですが、図では、「$\vec E$と$\vec P$は同じ向き」で「$\vec E$と$-{1\over\varepsilon_0}\vec P$が逆向き」です。 -- 前野? 2020-05-16 (土) 11:25:41
  • あ、もしかして「除く」という言葉を「弱くなる」という意味だと解釈していませんか。この場合「逆向きのベクトルを除く」ので、${1\over \varepsilon_0}\vec D$は$\vec E$より強くなります。 -- 前野? 2020-05-16 (土) 11:28:02
  • $\vec E$と${1\over\varepsilon_0}\vec P$は同じ向きなので、足し算した${1\over\varepsilon_0}\vec D=\vec E+{1\over\varepsilon_0}\vec P$は$\vec E$より強いです。そしてそれは「$\vec E$から$-{1\over\varepsilon_0}\vec P$を除いた」ものです。 -- 前野? 2020-05-16 (土) 11:28:52
  • 向きのあるベクトルの足し算なので「加えたから強くなる」「除いたから弱くなる」とは限りません。 -- 前野? 2020-05-16 (土) 11:32:01
  • ご教示ありがとうございます。$\vec P$は正電極から負電極での向かうベクトルと間違って理解していました。 -- 小泉? 2020-05-16 (土) 11:39:56

7.5 章末演習問題 7ー3

山本? (2020-05-14 (木) 16:51:08)

境界ラウンドSが同じならば、どんな形でも同じ答えを出すことになる。と書いてありますが、定常電流の場合、境界が違えど全て0になりませんか?

  • 右辺は「Sを通り抜ける電流」なので、定常であろうとなかろうと、とにかくSという領域を通り抜ける電荷があれば、0になることはありませんが???(Sは閉曲面ではありません、念の為) -- 前野? 2020-05-14 (木) 19:12:27
  • 閉曲面でないので、そうですね。 ただ閉曲面で0になるのと、境界が同じならば、どんな形でも同じ答を出すことになることの関係性がいまいちわかりません。 -- 山本? 2020-05-14 (木) 20:31:38
  • その関連性はガウスの法則そのものですので、そのあたり(3章とか)を読み返してみてください。 -- 前野? 2020-05-14 (木) 22:05:02
  • 読み返します。ただ境界が同じならば、形は一つに決まると思うのですが、それは違いますか? -- 山本? 2020-05-15 (金) 16:55:37
  • 境界が同じでも「面」は変わりますよ。同じ境界を持つ「平面」と「曲面」はいくらでも作れます。 -- 前野? 2020-05-15 (金) 17:44:38
  • 地球の赤道を境界するとする面として、赤道を通る平面(円)を考えてもいいし、北極を通る半球の表面を考えてもいいし、南極を通る半球の表面を考えてもいい(もちろんもっと自由に考えてもいい)。 -- 前野? 2020-05-15 (金) 17:46:17
  • 地球を定常電流が通り抜けている(地球内部のどこかに電荷がたまる場所はないものとする)と、「北半球を通り抜ける電流」と「南半球を通り抜ける電流」は等しく「地球表面を通り抜ける電流の正味の和」は0です。 -- 前野? 2020-05-15 (金) 17:48:23
  • ようやく理解できました。何度もありがとうございます。 -- 山本? 2020-05-15 (金) 17:53:53

5.9 章末演習問題 5-2

山本? (2020-05-12 (火) 17:39:21)

この問題では解答が1つですが、2つの金属でどちらから電流がどちらへ流れるかが違うと答えも変わると思いますが、間違っていますか?

  • jを-jに変えれば逆向きが出てくるということにはなりませんか? -- 前野? 2020-05-12 (火) 17:47:49
  • なるほど、ありがとうございます。 -- 山本? 2020-05-12 (火) 18:16:24

5.9 章末演習問題 5-1

山本? (2020-05-12 (火) 17:25:52)

重ね合わせの原理を使うと言ってますが、どれとどれを重ね合わせてるのかわかりません。

  • 「他の部分の電池がなく、仮想的な電池だけがある回路」と「他の部分の電池があって、仮想的な電池はない回路」を重ね合わせると、「仮想的なのも含めてすべての電池がある回路」になる、という重ね合わせです。 -- 前野? 2020-05-12 (火) 17:49:52
  • ありがとうございます。ただそれぞれの式がどうなるのかがよくわかりません。 -- 山本? 2020-05-12 (火) 18:14:35
  • 書いてあるように、「回路の他の部分に電池がなく、仮想的な電池だけがある」場合は、キルヒホッフより、$I(R+R_0)=V$になります。必要なのはこれと、「すべての電池がある場合」には追加した抵抗$R$には電流が流れない、という事実だけです(これだけで$R$に流れる電流はわかる) -- 前野? 2020-05-12 (火) 18:58:42
  • この場合、R0とR1は直列に成るんですか? -- 山本? 2020-05-12 (火) 20:37:49
  • すみません、R0とRです。 -- 山本? 2020-05-12 (火) 20:38:25
  • 回路図があるんだから回路図の通りです。見えてないブラックボックスの部分を一個の抵抗とみなすと直列なのは、見ればわかりますね。無理やりみれば(外からさらに導線つなぐときはどうなるか、みたいな話をするなら)並列と見ることもできますが、それは今考えている状況じゃないし。 -- 前野? 2020-05-12 (火) 21:05:01
  • 理解しました、ありがとうございます。 -- 山本? 2020-05-13 (水) 16:06:23

球殻状の電荷による電場 P39 z=rの時の電場

山本? (2020-05-09 (土) 18:01:44)

極限をとったあと÷2をする理由がわからないので、教えていただきたいです。

  • 「÷2」をするのではなく、計算した結果を見たら「(1.33)の$z\to r$極限の半分だった」ということです。 -- 前野? 2020-05-09 (土) 18:15:59
  • 具体的な計算をやっているのですから、その具体的な計算を信じましょう。 -- 前野? 2020-05-09 (土) 18:18:25
  • 「なぜ半分になるのか」というと、外側に$E$の電場があり、内側に0の電場があるので、境界はちょうど半分${E\over 2}$、と理屈をつけようとすればつけられます。 -- 前野? 2020-05-09 (土) 18:19:29
  • 質問が曖昧でした。z^2-r^2 / |z-r|はz→rにしても0にならないと思います。 -- 山本? 2020-05-09 (土) 20:23:49
  • ああ、そっちの話でしたか。そっちをちゃんと考えたいのでしたら、$z>r$か$r<z$かで$\pm(z+r)$になるので、ちょうど$z=r$のところではその真中の0、という考え方をするか(いやこれはあんまりちゃんとしてないか)、もっとちゃんとするなら、もっと前まで戻って積分を最初から$r=z$にしてから計算するか、どっちかをしないといけませんね。 -- 前野? 2020-05-09 (土) 20:45:19
  • (1.30)の途中で$z=r$にすると、積分が${\sigma\over 2\varepsilon}\int^{2z}_0 \mathrm dR {R^2\over 2zR^2}$になって、この結果は${\sigma\over 2\varepsilon}$となります。 -- 前野? 2020-05-09 (土) 20:48:05
  • 理解できました。ありがとうございました。 -- 山本? 2020-05-09 (土) 21:14:07

p.132 演習問題3-2 (a)

小泉? (2020-05-06 (水) 11:13:26)

r<R_0の場合、電場E=0となる理由が分かりません。r<R_0ではその側の電荷+Q
から内側の電荷-Qに対して電気力線があり、すなわち電場が0ではないと考えます。どのように解釈すすればr<R_0で電場=0となるのか、ご教示をお願いします。

  • 問題は3-5の(a)ですね?? 電荷は$r=R_0$と$r=R_1$にあるので、$r<R_0$のところでは電荷Qと電荷-Qはどちらも「外」にあるし、$R_1<r$のところでは電荷Qも電荷-Qも「内側」にあります。だから、$r<R_0$で「内側の電荷-Q」は何か勘違いしてませんか? -- 前野? 2020-05-06 (水) 12:07:00
  • ああ、もしかして「外側に電荷Q、内側に電荷-Q」というのを球殻のそれぞれの外側と内側、と読んでますか??(そうだとしたら今度は電荷を与えてないのと同じことになるのですが) これは「外側の球殻に電荷Q、内側の球殻に電荷-Q」という意味です。 -- 前野? 2020-05-06 (水) 12:09:54
  • 「外側に電荷Q、内側に電荷-Q」と問題を解釈していました。球殻は厚さ0の表面ということで、そこに電荷が在るという意味であると理解しました。ありがとうございます。 -- 小泉? 2020-05-06 (水) 14:59:06

表面項は消えるか

後野? (2020-05-05 (火) 16:11:05)

P123(3.93)で積分の表面項の値が0としていますが、これはどのように判断すればよいのでしょうか。
電場x方向の表面項はもう少し詳しく書くと
(ε₀/2)∫(-∞→∞)dy∫(-∞→∞)dz[EₓV](x=-∞→∞)
であり、[EₓV](x=-∞→∞)は0になるが、yとzの積分を含めて0に収束するかというのは私にはよく分かりません。前野さんや他の理論物理学者はどのように表面項が一般的に0に収束すると判断しているのでしょうか。

  • とても短絡的に考えればEₓV=O(1/xᵃ)でᵃが2を超えていればyとzを積分した際に0に収束すると思います。 -- 後野? 2020-05-05 (火) 16:19:42
    boundary.jpg
  • 上のように、積分する「表面」は面白いことが起こっている(我々が興味を持っている)「$\vec E$が0でない領域」から離れた場所にある、という考え方をします。 -- 前野? 2020-05-05 (火) 16:55:38
  • 「興味を持っている場所に無いこと」と「表面項が0になる」の関係がよく分かりません。興味が無いところにあるから0とするようなことをして良いのでしょうか。 -- 後野? 2020-05-05 (火) 17:19:12
  • え、だって積分している「表面」はオレンジの線のところで、そこは0なんだから積分しても0でしょ? -- 前野? 2020-05-05 (火) 17:38:57
  • 「表面項」の積分している部分というのは、「表面」つまりオレンジ色の線の上、皮の部分で、皮の内側(水色斜線)部分に何があろうと、「表面」の積分には関係ないです。むしろ「表面」を積分しているときに「内側」を計算に入れてはいけない。 -- 前野? 2020-05-05 (火) 17:40:17
  • あ、「興味を持っている部分」以外にも電場がある場合の話をしているのかな?? いや、その場所以外には電場がない状態です。通常は電場は減衰するから、「表面」が十分遠方なら0です。 -- 前野? 2020-05-05 (火) 17:41:11
  • ありがとうございます。そうです、興味を持っている外側にも電場があるようなケースを話していました。分かりにくくてすみません。極限を取ればx方向の積分のみを考えれば表面項は0になりますが、yやzの積分を完遂していないので、そういう取り扱い方(x方向の積分を先にやってしまって0に収束するからy,z方向の積分をする前に極限を取ってしまい、0とするやり方)は出来ないと思います。例えばEₓV=O(x⁻¹)である時に∫∫∫(∂ₓ(EₓV))dxdydz=O(L)(L→∞)(積分範囲をx,y,zに関して-∞→∞を-L→Lとしその後極限をとる)というふうに考えると表面項は消えませんよね。結局表面項が消える理由はEₓV=O(x⁻³)だから(?)なのでしょうか。 -- 後野? 2020-05-05 (火) 20:01:05
  • 現実的な問題では電場は最も強い場合でも逆自乗で落ち、電位は最も強い場合でも距離に反比例で落ちるので、電場×電位だったら${\cal O}(x^{-3})$ですね。 -- 前野? 2020-05-05 (火) 20:15:35
  • 実際は電荷がトータルで中和しているともっと早く0になります。 -- 前野? 2020-05-05 (火) 20:21:45
  • 分かりました。ありがとうございます。 -- 後野? 2020-05-06 (水) 00:47:24

p128 応力について

小泉? (2020-05-05 (火) 12:23:12)

dSとEが平行ならば、面dSには「正の応力」、垂直ならばdsには「負の応力」の主旨の説明がありますが、何故平行では「正」、垂直では「負」となるのか、分かりません。どのように考えれば良いか、ご教示をお願います。

  • その前の3.7.1が張力(正の応力)、3.7.2が斥力(負の応力)の説明なのですが、そこは理解できているでしょうか。 -- 前野? 2020-05-05 (火) 13:33:05
  • それとも、(3.103)式がそういう式になってることがわからない、ということでしょうか。たとえば$\vec E$と$\mathrm d\vec S$が垂直なら、第1項が消えて負の応力になる、という理屈です。 -- 前野? 2020-05-05 (火) 13:34:41
  • 垂直面に対しては電気力線の張力で負の応力、また、平行つまり側面に対しては、電気力線の圧力で正の応力でありことが理解できました。(3.103)に関しては他の方の質問の解答で理解しました。ありがとうございます。 -- 小泉? 2020-05-06 (水) 10:01:22

説明が不十分

後野? (2020-05-03 (日) 23:08:31)

P254において、電場と磁場の境界条件を導出する際にガウスの発散定理やストークスの定理を使っているのかと思います(予想)。しかしそうなると、ここでは「電場や磁場が連続では無いかもしれない」と思いつつも発散定理やストークスの定理を使ってしまったことになります。発散定理やストークスの定理は着目するベクトル場がC¹級の際に使えるものですよね。
もし、ガウスの発散定理やストークスの定理を用いていない説明があれば教えてください(もしくはガウスの発散定理やストークスの定理を拡張できるという証明を教えてください)。

  • 発散定理やストークスの定理が使えないような電場・磁場だと、そもそもマックスウェル方程式を満たせてないということになります(${\rm div}\vec D=\rho$で${\rm div}\vec D$が定義できないなら、$\rho$が現実にはありえない電荷密度だということになる)から、そこを心配する必要はないのではないかと思います。 -- 前野? 2020-05-04 (月) 08:53:23
  • なお、$\rho$や$\vec j$をデルタ関数的なものにすることはあるので、その場合が心配になるかもしれませんが、$\rho,\vec j$をデルタ関数的なものにするのは、本当は連続的な一点に集中している(けど発散はしてない)電荷/電流分布の極限として扱えばやはり問題なく発散定理やストークスの定理は使えます。 -- 前野? 2020-05-04 (月) 08:55:31
  • ありがとうございます。ストークスの定理などが使えない場合でも(電場や磁場が連続でない場合でも)左右微係数をつかってマックスウェル方程式を満たすように出来ると思います。なので発散定理やストークスの定理が使えない⇒マックスウェル方程式を満たせてない、とはならないと思います。 -- 後野? 2020-05-04 (月) 12:03:24
  • 現実的な問題を考えると、現実ではマックスウェル方程式は満たしているのだから、${\rm div}\vec D=\rho,{\rm rot}\vec H=\vec j$などの左辺も右辺も、計算できないような状況というのはないわけです。そして${\rm div D},{\rm rot}\vec H$がちゃんと発散もしない通常の関数である限り、発散定理やストークスを使うのに何の支障もありません。 -- 前野? 2020-05-04 (月) 13:03:56
  • なるほど。理解するのに時間がかかってしまいました。ありがとうございました。 -- 後野? 2020-05-04 (月) 14:44:20

p43. 章末演習問題1-1

0? (2020-05-02 (土) 10:54:13)

図の微小部分の長さが$dz$となっていますが,$d$はイタリックでない方がこの書籍の書き方に適していると思います.
どうでもいいことかもしれませんが.すでにご指摘あればすみません.

  • 確かにここは立体にすべきですね。次の版で直します。 -- 前野? 2020-05-02 (土) 13:04:29

p.55,2.2.2一様に帯電した無限に長い棒

0? (2020-05-02 (土) 10:47:44)

「無限に長い棒を考えているので,それが作る電場$vec{E}$は対称性から$z$成分を持てない」のに,なぜ$z$軸に垂直な電気力線は打ち消しあわないのでしょうか.
(いや,もし$z$軸に垂直な電気力線が打ち消しあえば,電場は生じないというおかしなことが発生するため,打ち消さないのだろうとは思うのですが.)

  • ちょっと質問の意図がつかめないのですが「z軸に垂直な電気力線」を消してしまうような対称性はこの問題の場合、ありません。「z軸に平行な電気力線」は、舞台設定が「z軸を反転しても同じ」という対称性があるので、消されてないとこの対称性に反します。 -- 前野? 2020-05-02 (土) 13:00:29
  • 一方、「z軸に垂直な方向」は、今電場を求めたいポイントを中心として反転すると、導線の位置が変わりますから、対称性はありません。 -- 前野? 2020-05-02 (土) 13:02:53
  • 質問の意図が伝わりにくく,すみません.p.55上図で,例えば一番上の電気力線が描かれている微小部分について考えてみると,微小部分からはすべての3次元方向に電気力線が出ていて,z軸の上方向と下方向は互いに打ち消しあっている,という風に考えると,同様に右方向と左方向が打ち消しあい,右奥方向と左手前方向が打ち消しあい...結果として全体の電気力線が打ち消されるということになぜならないのでしょうか,という意図の質問でした. -- 0? 2020-05-02 (土) 14:45:22
  • p.28の1.5.1に戻って考えてみたのですが,混乱してきました.p.29の図では,分割した微小区間が作る電場のベクトル和が直線全体の作る電場である,ということは理解できます.しかし,これをz軸を中心に360度足し合わせれば,(例えば右方向と左方向の電気力線が打ち消しあって)結果として棒が作る電場は0になってしまうような感じがします. -- 2020-05-02 (土) 14:53:33
  • p28の図に、棒の各部分の作る電場を書き込むと、下のようになります。 -- 前野? 2020-05-02 (土) 16:35:25
bouE.jpg
  • この矢印を全部足すと、z方向は消えます(それは対称性からもわかる)。でもx方向は(全部右向き成分を持っているので)消えません。「z軸を中心に360度足し合わせれば」とおっしゃっている意味がわからないんですが、もしかして、棒の反対側にできている電場を足してませんか??(だったら、違う場所の電場と足し算することは意味がないです)。 -- 前野? 2020-05-02 (土) 16:40:26
  • 棒の反対側にできている電場も足し合わせていました.理解できました,ありがとうございます. -- 0? 2020-05-02 (土) 18:42:15
  • あと,これは言葉の問題なのですが,p.55 2.2.2「電場$\vec{E}$を求めること」は,「電場$\vec{E}$の大きさ(強さ)を求めること」と同じと考えてよいのでしょうか.厳密に(正しく?)表記するなら,円筒座標系の$r$方向の単位ベクトルを$\vec{\mathbf{e}}_r$としたとき,電場$\vec{E}$は,$\displaystyle{\vec{E}=\frac{\rho}{2\pi \epsilon_0 r} \vec{\mathbf{e}}_r}$で,その大きさが$\vec{\mathbf{e}}_r$の係数で表されるという理解で間違いないでしょうか. -- 0? 2020-05-02 (土) 18:55:18
  • 電場はベクトル量なのですから、「電場を求める」というのは向きも大きさも求めることになります。向きと大きさをどう表記するかはいろいろです(向きはこっちで強さはこれだけ、と書いてもいいだろうし、単位ベクトルを使って表現したっていい)。 -- 前野? 2020-05-02 (土) 20:59:13
  • 表現方法は様々,ということですね.ご丁寧にご教授いただき,ありがとうございます. -- 0? 2020-05-02 (土) 22:40:21


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Last-modified: 2020-06-11 (木) 08:38:04 (32d)