「よくわかる電磁気学」(東京図書)サポート掲示板

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p169の上図について

物理独学者? (2017-08-17 (木) 23:24:02)

頻繁に投稿してすみませんが、質問をさせてください。

p169の上図(スイッチを閉じる前の図)の状況は分かりましたが、回路を繋げてこの状況になるまでの経緯が気になり、以下のように考えてみました。

導線はスイッチのところで分離しているので、これから電池のプラス極に繋げる導線をAとし、同様にマイナス極に繋げる導線をBとします。

この状態ではまだ導線A、Bとも電池と繋がっていないので、周囲の空間と等電位になっています。(自由電子がランダムに運動していると思います。)

次に導線Aを電池のプラス極に繋げます。このとき導線Aの電位は電池のプラス極と等電位になります。導線Bはまだ電池と繋がっていないので、依然として周囲の空間と等電位になっています。(※1)

次に、導線Bを電池のマイナス極に繋げます。このとき導線Bの電位は電池のマイナス極と等電位になります。そして、導線Aと近接しているスイッチのあたりで電位差が生じ、そのため自由電子が力を受け、「小さなコンデンサ」を形成します。これで、p169の上図の状況となります。

以上の考えにおかしいところはないでしょうか。

なお、文中※1のところでは、導線Bの電位と、導線Aの電位との間に電位差があるでしょうから、この時点で既に何らかの「小さなコンデンサ」になっていると考えるべきでしょうか。

初歩的なことと思いますが、よろしくお願いします。

  • その考え方で問題ないです。 -- 前野? 2017-08-19 (土) 09:29:31 New
  • 分かりました。ご回答いただきまして、ありがとうございます。 -- 物理独学者? 2017-08-19 (土) 16:10:02 New!

演習問題4-2の解答

物理独学者? (2017-08-13 (日) 23:18:22)

たびたびすみません。

下から3行目の$D'_{\parallel} = \frac{\epsilon_0}{\epsilon} D_{\parallel}$は、$D'_{\parallel} = \frac{\epsilon}{\epsilon_0} D_{\parallel}$だと思います。よろしくお願いします。 -- 物理独学者? 2017-08-13 (日) 23:23:36

  • すいません、確かに分母分子が逆でした。近日中に修正しておきます。 -- 前野? 2017-08-14 (月) 10:24:25
  • ありがとうございます。ついでに演習問題4-3の解答の() -- 物理独学者? 2017-08-14 (月) 23:16:30
  • →続き (E.50)式の球内部の$\vec{D}$の式の分母が$3_0$と誤植になっていますので、訂正をお願いします。 -- 物理独学者? 2017-08-14 (月) 23:19:06
  • すいません、これも近日中に直します。 -- 前野? 2017-08-15 (火) 11:59:11
  • すみません、p166の下から12行目「C地点はD地点に比べ」は、「D地点はC地点に比べ」かと思います。よろしくお願いします。 -- 物理独学者? 2017-08-16 (水) 23:45:19 New
  • 確かにCとDが逆でした。 -- 前野? 2017-08-17 (木) 08:28:54 New

演習問題3-6の解答

物理独学者? (2017-08-12 (土) 01:16:14)

いつもお世話になります。

p17の下から2行目の$V(r)$は$V(r,\theta)$だと思います。
同様にp17の下から1行目の$V(r)$は$V(r,\theta,\phi)$だと思います。
また、(E.37)式の最後の行で、カッコの前は$\frac{p\cos{\phi}}{4\pi\epsilon r^4}$だと思います。よろしくお願いします。

  • 上でもつけてないので、むしろ(r)がいらなかったですね、すみません。 -- 前野? 2017-08-12 (土) 06:45:26
  • (E.47)の最後も、たしかに分母は$4\pi\varepsilon_0 r^4$ですね。 -- 前野? 2017-08-12 (土) 06:48:47

問い8-1

phys? (2017-08-11 (金) 11:17:27)

問い8-1について質問です。解答を熟読して計算もしてみましたが、解答p319の1番下の式で、第1項の部分積分の仕方と、第2項をどう変形したらdiv$\vec{H}$が出てくるのかが分からないです。特に第1項に関して、左側のナブラは、$\vec{H}$の右側にあるのに、$\vec{H}$を微分するのですか??

  • 第1項の左の$\vec\nabla'$($\vec A$)はもともと左辺の$\vec\nabla'\times\vec H$の$\vec\nabla'$なのですから、微分は$\vec H$に掛からなくてはいけません。そういう計算をやらないとおかしなことになります。 -- 前野? 2017-08-12 (土) 06:40:52
  • 通常とは違う表記ですが、そういう特別な書き方をしていると思ってください。 -- 前野? 2017-08-12 (土) 06:41:18
  • 部分積分は、単純にこの$\vec A$に対応する$\vec\nabla'$を前($\vec H$)ではなく後ろに掛けます。$\vec\nabla$だとわからないのなら、${\partial \over\partial x},{\partial \over\partial y},{\partial \over\partial z}$に分けて考えてみてください。 -- 前野? 2017-08-12 (土) 06:42:58
  • 第2項については、$\vec C$の部分にある$\vec\nabla'$を部分積分して$\vec H$の方に掛ければdiv Hになります。 -- 前野? 2017-08-12 (土) 06:43:37
  • わかりました。ありがとうございました! -- phys? 2017-08-12 (土) 10:33:46

p130 問い3-3

物理独学者? (2017-08-09 (水) 23:57:07)

いつもお世話になります。

下の方のご質問とも関連すると思いますが、問い3-3で面に働く張力が$\frac{q^2}{16 \pi \epsilon_0 L^2}$であるということは、この面は作用反作用の法則により、その張力と同じ力で周囲の電気力線(ゴム紐)を引っ張る。だからその力(異符号電荷間のクーロン力)は引力である、という理解でよいでしょうか。
よろしくお願いします。

  • もちろん、静電気学でも作用反作用の法則は成り立ちます。 -- 前野? 2017-08-10 (木) 07:31:52
  • 力を及ぼし合うのは「電気力線」や「面」ではなく、下の答えに書いたような「□でくくった空間の一部」が「隣(上下作用前後にある)の空間の一部」との間に力を及ぼしあっている、と考えた方がいいと思います。電気力線は「電場を表現する線」で実体あるものではないので。力を及ぼし合うのは空間という実体で、力の作用点は空間と空間の境界です(境界と言っても何かで区切られているわけではない)。 -- 前野? 2017-08-10 (木) 07:37:13
  • なるほど、ありがとうございます。「電場$\vec{E}$が存在する微小空間」は、「その周囲の微小空間との間に(3.103)式で表される応力を及ぼしあう弾性体」とみなすことができる(その様子を示したのが下図)と理解しました。 -- 物理独学者? 2017-08-11 (金) 00:06:07

電場の応力

phys? (2017-08-07 (月) 23:29:04)

電場の応力について質問させていただきます。
p128で、12行目から13行目の力の向きだと電場の「短くなろうとし、混雑を嫌う」性質と真逆の方向を向いているのではと思ったのですが、いかがでしょうか。
($d\vec{S}$は面に垂直で外側を向く面積ベクトルなのでしょうか。)

em_pub8.png
  • 図で描くと上のような感じです。$\mathrm d\vec S$は外に向かうベクトルです。 -- 前野? 2017-08-08 (火) 07:50:47
  • 微小面積どうし引き合ったり押し合ったりして、結果的に考えている面積全体で電気力線が短くなったり混雑を避けたりするということでしょうか? -- phys? 2017-08-08 (火) 09:23:47
  • どうしても、p127の図をみると$\vec{E}$と$\vec{S}$が平行な時は下向きに(ひもが短くなろうとするように)力がかかるのではと思ってしまいます。 -- phys? 2017-08-08 (火) 09:26:55
  • 図の下にある十字に並んだ正方形の真ん中の正方形の気持ちになって考えて下さい。 -- 前野? 2017-08-08 (火) 11:03:56
  • 「引き合う」の場合、自分の上(天井)g上向きの、下(床)が下に力を受けます。これは引っ張られているということです。 -- 前野? 2017-08-08 (火) 11:05:26
  • これは「伸びたゴム紐」と同じ状況です。 -- 前野? 2017-08-08 (火) 11:06:02
  • p127の16行目に「xが増える方向の反対」に張力が生じるとあります。今の御説明だと、真ん中の正方形は、「xが増える方向」に力を受けることになるのではないでしょうか? -- phys? 2017-08-08 (火) 11:17:07
  • 「押しあう」の場合でも同様に、電気力線が広がろうとするのではなくその逆の縮もうとする方向に、真ん中の正方形は、力をうけているのではないでしょうか。 -- phys? 2017-08-08 (火) 11:21:34
  • 「押しあう」の場合でも同様に、電気力線が広がろうとするのではなくその逆の縮もうとする方向に、真ん中の正方形は、力をうけているのではないでしょうか。 -- phys? 2017-08-08 (火) 11:27:59
  • 「押し合う」の場合、この力の結果、正方形が押しつぶされる方向の力です。これは両サイドから押されているわけで満員電車などと同様の状況です。 -- 前野? 2017-08-08 (火) 12:40:29
  • 力の向きはその逆じゃないといけないのではないですか? -- phys? 2017-08-08 (火) 12:48:33
  • 押しつぶされれば電気力線は混雑すると思うのですが。 -- phys? 2017-08-08 (火) 12:49:12
  • 回りの電気力線が、混雑を嫌って私を押しているのです。そして私は混雑を嫌って両サイドを押してます。 -- 前野? 2017-08-08 (火) 13:06:18
  • なるほど!そして面全体では広がるのですね? -- phys? 2017-08-08 (火) 13:41:11
  • 「面全体では」の意味がよくわからないけど、最終的にはいろんな場所に働いた力のバランスが取れた(釣り合った)状態に落ち着いて終わります。 -- 前野? 2017-08-08 (火) 13:54:58
  • バランスのとれた(つりあった)状態では、$\vec{E}$と$\vec{S}$が平行のときは初めより力線が短くなり、$\vec{E}$と$\vec{S}$が垂直のときは初めより力線の混雑が緩やかになる、これは合っていますか? -- phys? 2017-08-08 (火) 14:52:32
  • 始めと今を比較する意味はないです。実際に何かが動くわけじゃないし、電気力線も、初めの線と今の線に対応関係があるわけじゃないので。そもそも「始め」というのがどういう状況なのかを定義しないとなんとも言えない感じです。 -- 前野? 2017-08-08 (火) 18:17:15
  • わかりました。疑問点がわかりとても嬉しいです。ご丁寧な回答ありがとうございました! -- phys? 2017-08-08 (火) 22:03:49

p73、p54

物理独学者? (2017-08-05 (土) 15:05:25)

いつもお世話になっています。
p73の本文中、上から2行目の$V_r$は$E_r$、同じく3行目の$r^2 V_r$は$r^2 E_r$の誤植かと思います。

あと些末ですが、p54の下から7行目の「電場$\vec{E}$」の後ろに$=$が抜けています。

よろしくお願いします。

  • 演習問題2-1の解答で、$\rho < \rho_1$のとき、$E(r)$とあるのは$E(\rho)$と思います。 -- 物理独学者? 2017-08-05 (土) 16:25:27
  • 演習問題2-4の解答で、(E.12)式の2行目の最後の$=0$は、まだ計算が続いているので不要と思います。 -- 物理独学者? 2017-08-05 (土) 20:56:57
  • p81の脚注4の1行目で、「万有引力」のうしろに$-$が抜けています。 -- 物理独学者? 2017-08-06 (日) 01:15:31
  • いろいろ御指摘ありがとうございます。訂正しておきます。 -- 前野? 2017-08-06 (日) 05:13:11
  • 81ページの万有引力は「万有引力の大きさ」と訂正しておきたいと思います(大きさを見ると同じ式だが、向きが違うのでエネルギーの式は変わるということを説明したい部分なので)。 -- 前野? 2017-08-06 (日) 05:15:31

p47 本文中程の式について(再掲)

物理独学者? (2017-07-30 (日) 22:14:57)

計算を間違えていたので再掲させてください。
p47の中程、「微小面積は$\mathrm d S = n_x\mathrm d y\mathrm d z + n_y\mathrm d z\mathrm d x + n_z\mathrm d x\mathrm d y$」とありますが、これは以下のように理解してよいでしょうか。

「いま例として$\vec{n}=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$の微小面積を考える。$\mathrm d z = \frac{1}{\sqrt{3}}$とする。また$\mathrm d x = \mathrm d y$とすれば、$\mathrm d x = \mathrm d y = \frac{-1+\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$と決まる。この例に限らず、あらゆる$\vec{n}$において、$\mathrm d x$か$\mathrm d y$か$\mathrm d z$のいずれか1つを決めることにより、上式を満たす$\mathrm d x,\mathrm d y,\mathrm d z$の組が決まる」

よろしくお願いします。

  • $\vec{n}=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$です。ぐだぐだですみません。 -- 物理独学者? 2017-07-30 (日) 22:16:09
  • 「$\mathrm d x = \mathrm d y = \frac{1}{\sqrt{3}}$と決まる。」です。また計算を間違えていました・・。あと、$\mathrm d S = 1$として計算しています。 -- 物理独学者? 2017-07-30 (日) 22:57:15
  • $\mathrm dx$などは微小量ですから、${1\over\sqrt{3}}$のような数値を与えることはそもそもできません。 -- 前野? 2017-07-30 (日) 23:01:33
  • もちろん、$\mathrm dS=1$と置くことにも意味はありません。$\mathrm dS$には数としての意味はなくて、$\int \mathrm dS$のような積分を行って初めて数になります。 -- 前野? 2017-07-30 (日) 23:05:15
  • だからたとえば、$\vec n$が$z$方向を向いているときなら、$\int_0^{L_x} \mathrm dx\int_0^{L_y}\mathrm dy$のような積分をして初めて意味のある面積という量$S=L_xL_y$になります。$\mathrm dS={1\over\sqrt{3}}(\mathrm dy\mathrm dz+\mathrm dz\mathrm dx +\mathrm dx\mathrm dy+\mathrm dz$の場合なら、この三つの項をそれぞれについている$\mathrm dx$などに関して積分を(それぞれ二回)行って初めて数になります。 -- 前野? 2017-07-30 (日) 23:08:11
  • とにかく、$\mathrm dx$という記号の意味は「微小量」であるという意味がわかってないと、この式の意味は理解できないと思います。 -- 前野? 2017-07-30 (日) 23:09:06
  • ご回答ありがとうございます。この式は直感的に分からなかったので、図を描いて考えていたのですが、微小量ということを見失ってしまいました。改めて、次のように考えなおしてみました。 -- 物理独学者? 2017-07-31 (月) 20:53:09
  • $\mathrm d S$を閉曲面$S$全体に渡って積分すると、$\int_S \mathrm d S = \int_S \vec{n} \cdot \vec{n} \mathrm d S = \int_S (n_x n_x \mathrm d S + n_y n_y \mathrm d S + n_z n_z \mathrm d S)$となる。 -- 物理独学者? 2017-07-31 (月) 20:53:30
  • 右辺第1項のうち$n_x \mathrm d S$は、$\mathrm d S$を$yz$平面に射影したものなので、それを$S$全体に渡って積分するということは、$\int_S \mathrm d y \mathrm d z$とイコールである。(このとき$S$は風船を$x$方向につぶしたような閉曲面になっていて、その面上で微小面積$\mathrm d y \mathrm d z$を足し上げる。) -- 物理独学者? 2017-07-31 (月) 20:54:05
  • $xy$平面、$zx$平面においても同様であるので、$\int_S \mathrm d S = \int_S (n_x \mathrm d y \mathrm d z + n_y \mathrm d z \mathrm d x + n_z \mathrm d x \mathrm d y)$となる。ゆえに、p47中程の式が導かれる。 -- 物理独学者? 2017-07-31 (月) 20:54:48
  • 以上の考えで正しいでしょうか。よろしくお願いいたします。 -- 物理独学者? 2017-07-31 (月) 20:55:16
  • まず最初の$\vec n\cdot\vec n$ってのは何でしょう?? この変な計算をしなくても、$\mathrm d S$のうち$\mathrm dy\mathrm dz$に比例する部分を取りだせば「$yz$平面に射影したもの」が出てくるのですが。 -- 前野? 2017-07-31 (月) 21:08:20
  • ああすいません、$\mathdm d\vec S=\vec n\mathrm dS$のような書き方をしたかったということでしょうか。そう考えなくても、$\vec n=n_x\vec {\mathbf e}_x+n_y\vec{\mathbf e}_y+n_z\vec{\mathbf e}_z$と$\mathrm d\vec S=\mathrm dy\mathrm dz\vec{\mathbf e}_x +\mathrm dz\mathrm dx\vec{\mathbf e}_y + \mathrm dx\mathrm dy\vec{\mathbf e}_z$と内積を取ったと思えばすぐに結果は出ます。 -- 前野? 2017-07-31 (月) 21:17:40
  • お手を煩わせてすみません。$n_x$をあらわに2つ出すことを意識したのでそのような書き方になってしまいました。 -- 物理独学者? 2017-07-31 (月) 23:24:07
  • ただ、そもそも微小面積であるがゆえにp47の上の3つの図より、一般の$\mathrm d\vec{S}=\mathrm d y\mathrm d z\vec{\mathbf e}_x + \mathrm d z\mathrm d x\vec{\mathbf e}_y + \mathrm d x\mathrm d y\vec{\mathbf e}_z$と書けるわけなので、そこから直ちに$\mathrm d S = \vec{n} \cdot \mathrm d\vec{S} = n_x \mathrm d y \mathrm d z + n_y \mathrm d z \mathrm d x + n_z \mathrm d x \mathrm d y$が出てくることがよく分かりました。 -- 物理独学者? 2017-07-31 (月) 23:25:00
  • ベクトル解析(面積分)も併せて勉強していく必要性を感じました。ありがとうございます。 -- 物理独学者? 2017-07-31 (月) 23:25:54

p47 本文中程の式について

物理独学者? (2017-07-30 (日) 22:08:09)

度々の質問ですみません。
p47の中程、「微小面積は$\mathrm d S = n_x\mathrm d y\mathrm d z + n_y\mathrm d z\mathrm d x + n_z\mathrm d x\mathrm d y$」とありますが、これは以下のように理解してよいでしょうか。

「いま例として$\mathrm d z = \frac{1}{\sqrt{3}}$とし、また$\mathrm d x = \mathrm d y$とすれば、$\mathrm d x = \mathrm d y = \frac{-2+\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$と決まる。この例に限らず、あらゆる$\vec{n}$において、$\mathrm d x$か$\mathrm d y$か$\mathrm d z$のいずれか1つを決めることにより、上式を満たす$\mathrm d x,\mathrm d y,\mathrm d z$の組が決まる」

よろしくお願いします。


p40 本文9行目

物理独学者? (2017-07-29 (土) 01:36:46)

お世話になります。
些末なことですが、立方体 は 直方体 ですよね。
よろしくお願いします。

  • すみません、もう一つ。演習問題1-2のヒントで、「その球殻に単位面積あたり$\rho$の電荷があるということは、単位面積あたり$\rho dr$の電荷があるということ」は、「その球殻に単位面積あたり$\sigma$の電荷があるということは、単位体積あたり$\rho dr$の電荷があるということ」ではないでしょうか。よろしくお願いします。 -- 物理独学者? 2017-07-29 (土) 20:54:31
  • すいません、この二箇所は確かにミスしてます。 -- 前野? 2017-07-30 (日) 13:37:06
  • 「その球殻に単位体積あたり$\rho$の電荷があるということは、単位面積あたり$\rho\mathrm d r$の電荷があるということ」が正しいです。 -- 前野? 2017-07-30 (日) 14:02:10
  • ありがとうございます。二つ目は勘違いしていました。 無限に薄い($dr$→$0$)球殻は球面とみなせるので、単位面積あたり$\sigma$(=$\rho dr$)の電荷があるということは、単位体積あたり$\rho$の電荷があることと等価ですね。 -- 物理独学者? 2017-07-30 (日) 16:45:24

gradVの向き

やま? (2017-07-27 (木) 00:31:42)

2度もすみません
P87の電位はV(x,y)で表されていると思いますが、このとき、ベクトルgradVの向きは勾配が最も急な方向を意味すると書かれています。
この向きは、平面的(zベクトルを含まない)な方向でしょうか?
勾配というと図の斜面に沿った方向をイメージしそうになります。

  • v(x、y)と書いている場合、z方向は全く考えてません。この場合の「高さ」に当たるものは電位vという「架空の方向」です。vという架空の方向と実在の方向(ただし今は考えてない)をごっちゃにしてはいけません。 -- 前野? 2017-07-27 (木) 07:09:31
  • そもそもgradの定義の中に「vの方向」の成分は入ってませんね。 -- 前野? 2017-07-27 (木) 07:10:34
  • ということはz(x,y)と書くと斜面に沿った方向を向くのですね。 -- やま? 2017-07-27 (木) 14:09:09
  • では、3変数関数Φ(x,y,z)は架空の方向Φがあるため同様に斜面に沿った3次元ベクトルになるのですか? -- やま? 2017-07-27 (木) 14:14:07
  • $z(x,y)$のgradは$\vec{\mathbf e_x}{\partial z(x,y)\over\partial x}+\vec{\mathbf e_y}{\partial z(x,y)\over\partial y}$です。$z$方向は向きません。定義通りに考えましょう。 -- 前野? 2017-07-27 (木) 14:39:41
  • 3変数関数の場合も定義に沿って考えましょう(適当なフィーリングで考えてはいけない)。gradは$\vec{\mathbf e_x}{\partial \Phi(x,y,z)\over\partial x}+\vec{\mathbf e_y}{\partial \Phi(x,y,z)\over\partial y}+\vec{\mathbf e_z}{\partial \Phi(x,y,z)\over\partial z}$です。これは「3次元空間の中のある1方向を向いたベクトル」ですが「斜面に沿って」なんて要素はどこにもありません(そもそも斜面って何?)。 -- 前野? 2017-07-27 (木) 14:42:12
  • 斜面に沿った方向とはp86の下図の矢印をイメージしていて、この方向がgradだと思っていました。 -- やま? 2017-07-27 (木) 19:23:24
  • もう1度じっくりと読み直してみます。ありがとうございました。 -- やま? 2017-07-27 (木) 19:24:31

gradの意味について

やま? (2017-07-22 (土) 21:57:33)

gradについて質問です。
p86に、ある方向(eベクトル)にh離れた場所との比較と書かれています。
ただ、p87の電位については、gradVの向きは勾配が「最も急」な方向を意味すると書かれています。
これはgradが最も急な方向について定義されているという事でしょうか?

  • p86の説明では、最も急な方向に限定していないので悩んでしまいました -- やま? 2017-07-22 (土) 23:48:40
  • 定義どうりに計算すればgradは自動的に最も急な方向を向きます。 -- 前野? 2017-07-23 (日) 18:36:53
  • そういうことでしたか ありがとうございます -- やま? 2017-07-26 (水) 16:33:35

p140 導体球

ぬらりひょん? (2017-07-02 (日) 00:23:28)

導体球の電位を、内部に電気双極子があると仮定したものと同じになるロジックがよく分かりません。
確かに計算して見ると、導体の境界における接続条件から電気双極子と繋がるのが確認できました。ところが、上手く境界で滑らかに繋がる関数を探せば、必ずしも内部に電気双極子がある としなくても良いような気がします(頑張って探しましたが、結局見つかりませんでした)。

P.S. 物理数学の新刊、出版 おめでとうございます! いつも前野さんの教科書を頼りに勉強してます笑

  • その前のページに書いてありますが、境界条件を正しく満たすようなポアッソン方程式の解は一つしかありません。よって境界条件を満たすような解が一つあれば「他にもあるのでは」と心配する必要はない(というか、他に見つかってしまったら計算を間違えている)ということになります。 -- 前野? 2017-07-02 (日) 07:12:03


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