「よくわかる電磁気学」サポート掲示板3

重ね合わせの原理2

ちゃまろ? (2016-08-08 (月) 22:48:28)

以前にも質問したのですが、やはり理解しきれていないのでもう一度質問させてください。
重ね合わせの原理は線形な系に対して一般的に成立するものなのですよね?
では、クーロンの法則を認めてしまった時点でそれは重ね合わせの原理が成立すると言えるのではないのでしょうか? 

  • 下に書いてあることをもう一度読みなおしてください。すでに説明済みだと思います。「クーロンの法則」の中に「複数個の電荷があったときはそれぞれの電荷からの力の和になる」というのも含めて考えるならば、「クーロンの法則には重ねあわせの原理が入っている」ということになります。 -- 前野? 2016-08-08 (月) 23:28:04
  • 「クーロンの法則」という言葉を狭い意味で捉えれば、複数個の電荷がある場合の式を含みませんから重ねあわせの原理は入ってません。広い意味で捉えるなら入ってます。それは「クーロンの法則」という言葉にどこまでを入れるか、というだけの話しで、物理と言うよりは言葉の定義の問題です。 -- 前野? 2016-08-08 (月) 23:29:23
  • 重ねあわせの原理は、クーロンの法則でなければ成り立たないものではなく(たとえば距離の3乗に反比例するが重ねあわせの原理は成り立つ力を考えることはできる)、クーロンの法則とは別に法則とすべきものだと思います。 -- 前野? 2016-08-08 (月) 23:31:08
  • そもそも重ね合わせの原理というのはf(x+y)=f(x)+f(y)が成立するという原理ですよね? また、狭い意味でのクーロンの法則はF=kQq/r^2であって、2つの電荷があってその間に働く力のことですよね? Qに働く力を考えたいとき、q/r^2をまとめてxと書くことにすれば、F=F(x)となります。F=kQ(x_1)とF=kQ(x_2)がそれぞれ成立しているとき、その和はkQ(x_1+x_2)とまとめることができ、これもF(x_1+x_2)となり、クーロンの法則を満たします。F(x_1)+F(x_2)=F(x_1+x_2)が成立するので重ね合わせの原理は証明できたと思ったのですが。 もしかすると、F(x_1+x_2)なる力が本当に働いているかどうかを確かめないといけないのですか? -- ちゃまろ? 2016-08-08 (月) 23:59:11
  • クーロンの法則はあくまで一つの電荷がもう一つの電荷に与える力を表したものであり、それに対して複数個の議論すること自体がダメなのでしょうか? -- ちゃまろ? 2016-08-09 (火) 00:04:11
  • クーロンの法則はあくまで一つの電荷がもう一つの電荷に与える力を表したものであり、それに対して複数個の議論すること自体がダメなのでしょうか? -- ちゃまろ? 2016-08-09 (火) 00:04:22
  • 「クーロンの法則」という言葉を狭くとれば、一個の電荷が与える力についての法則であって、複数個の時は足せばいいよ、というのが重ねあわせの原理です。それぞれ別の法則だと思ってください。 -- 前野? 2016-08-09 (火) 07:13:45
  • 2個の電荷から受ける力はそれぞれの電荷の力の和でいいよ、というのは何の実験もせずに「そうに決っている」と言えるものではないです。実験で確認した結果として成り立っていることがわかってます。 -- 前野? 2016-08-09 (火) 07:15:11
  • なるほど。何度もすみませんでした。ありがとうございました。 -- ちゃまろ? 2016-08-09 (火) 11:41:19

divB=0について

ちゃまろ? (2016-08-08 (月) 17:11:14)

divB=0に違和感があります。E-B対応で電荷に対するものは電流だとしながらも、なぜdivB=0の方では磁極がないから0と言えるのでしょうか。むしろこれでは電流がないとなりそうなのですが。

  • EーB対応と言うのは「なんでも同じ形になる」という意味ではありません。div D=ρとrotH=j+∂D/∂tが「ソースと場の式」という意味で対応してます。 -- 前野? 2016-08-08 (月) 18:04:24
  • 電場のソースはρというスカラー、磁場のソースはjというベクトルなので式が違うのは当然で、そもそもそこまで同じにするのは無理な相談です。 -- 前野? 2016-08-08 (月) 18:05:47
  • なるほど。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-08 (月) 19:02:28
  • 「磁極がない」→divB=0に飛躍があるように感じます。 磁極はなくても電流が磁場を作るのだから、それが湧き出さないと言えるのでしょうか? -- ちゃまろ? 2016-08-09 (火) 14:09:12
  • 話が逆です。「divB=0になるような磁場しか観測できない」という実験結果から「磁極はないんだな」と判断しているのです。 -- 前野? 2016-08-09 (火) 19:18:19
  • また、電流の作る磁場は磁力線が常にループした形になっているので、湧き出しや吸い込みはありません。 -- 前野? 2016-08-09 (火) 19:20:09
  • なるほど。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-09 (火) 19:53:42

磁場中の電流が受ける力

ちゃまろ? (2016-08-08 (月) 16:27:09)

磁場中で電流が受ける力を磁力線を用いて説明していますが、この説明だと、電流が近づくにつれて、どんどん磁力線が密になっていき、混雑を嫌って反発しそうなのです。

  • しかし、電流はどんどんと近づいていきそうな気がします。これはどう解釈すればよいのですか? -- ちゃまろ? 2016-08-08 (月) 16:28:23
  • ちゃんと絵を描くと、同行電流の場合で「どんどん密になる」なんてことは起きないことがわかるので、図を描いてみてください。 -- 前野? 2016-08-08 (月) 18:00:24
  • わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-08 (月) 19:00:35

誘電体中の静電場の持つエネルギーについて

ちゃまろ? (2016-08-07 (日) 22:31:35)

p.153での質問なのですが、積分範囲は誘電体の体積なのでしょうか?それとも無限遠方なのでしょうか? 誘電体の体積ならば、表面項が消せる理由が知りたいです。

  • また、2015-02-25 (水) 13:15:23の質問と少しかぶるのですが、Eというのは実際の電場なのだから、これのエネルギーだけを考えればよい思ったのですが、どうですか? -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 22:41:14
  • 全範囲のエネルギーが知りたいなら全範囲で、誘電体のある部分のエネルギーが知りたいならその部分を積分します。ここで全空間と考えればいいでしょう。 -- 前野? 2016-08-08 (月) 08:09:54
  • ページの一番下をよく読んでください。電場のエネルギーだけでなく、分極している物質の持つエネルギーも含まれているのが${1\over 2}\vec E\cdot\vec D$です。Eの持つエネルギーだけ考えたいならもちろん、そうしてもいいです。しかしエネルギーってのは「それを使ってどれだけ仕事ができるか」ということを知るために使うものです。分極している物質の持っているエネルギーだってちゃんと仕事をするのに使えるので、わざわざ分けて考えてもメリットはあまりないです -- 前野? 2016-08-08 (月) 08:12:55
  • 誘電体の体積で積分する場合は、表面項は残りますよね? -- ちゃまろ? 2016-08-08 (月) 08:23:15
  • そりゃ残りますよ。 -- 前野? 2016-08-08 (月) 09:10:14
  • そうですよね。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-08 (月) 11:38:50

図の投稿について

ちゃまろ? (2016-08-07 (日) 18:21:22)

このサポート掲示板で図(絵)を載せるにはどのようにすれば良いのでしょうか?

  • 添付してファイルを編集するんですがパスワード知ってないと(つまり私でないと)できません。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 20:48:18
  • あっ、そうなんですね。わかりました。 -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 21:08:00

p.162の注釈について

ちゃまろ? (2016-08-07 (日) 14:49:20)

『この力は電荷が回路を一周する間にエネルギーを与えているので、保存力ですらない』とありますが、この意味がわかりません。。

  • 「保存力」という言葉の意味がわかってればわかると思います。一周したら仕事しない(エネルギーを与えない)のが保存力です。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 15:52:36
  • なるほど。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 17:03:42

強誘電体について

ちゃまろ? (2016-08-07 (日) 11:44:22)

なぜ「強」の字を使うのですか? 弱誘電体なるものもあるのでしょうか?

  • 普通の誘電体が「弱」に当たるんじゃないですかね。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 12:00:39
  • 何が「強」なんでしょうか? また、p.152で電束線の絵が描かれていますが、なぜ逆向きになるのでしょうか? 今回,実際の電場Eは分極によって作られる電場そのものであるのに、D=0とならないのはなぜなのですか? -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 12:33:25
  • 本にも書いてある通り、「外から電場がかかってなくても分極している」というのが「強」の意味です。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 12:37:18
  • 逆になるのはDの定義である$\vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec P$を考えるとわかります。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 12:38:39
  • また、今真電荷はないのでdiv D=0にならなくてはいけません。強誘電体外部ではEとDは比例関係なのでもちろん0にはならないので、内部に入った途端0になったりしたらdiv D=0になれません。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 12:42:13
  • 誘電体の内部では、Eが下向き、Pが上向きですよね? 打ち消しそうな気がするのですが。 -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 12:45:50
  • 大きさが同じになる保証はありません。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 12:47:35
  • P -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 12:56:43
  • Pga -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 12:56:53
  • すみません。間違えて送ってしまいました。 Pが大きさ的に勝つ理由がわかりません。 -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 12:57:29
  • 現象の因果関係がわかってないのではないでしょうか。強誘電体の場合、まずPがあります。そしてそのPによって表面電荷が発生し、それが電場を作ります。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 15:53:21
  • 表面電荷によって作られた電場は、当然外にも広がるので、誘電体内のPを打ち消すほどの大きなものにはなりません。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 15:55:07

    #ref(): File not found: "PD.png" at page "よくわかる電磁気学サポート掲示板"

    ↑また雑な絵ですが、こんな感じ。
  • なるほど。しっかり理解できていなかったです。お忙しい所ありがとうございました。 -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 17:02:30

p.151について

ちゃまろ? (2016-08-06 (土) 20:55:07)

誘電率が異なる誘電体の境界面での条件についてですが、divD=0の計算で、天井と床についてのみ考えていますが、円柱の側面でのdivを含める必要はないのですか?

  • 即面積を0にする極限とってください。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 12:03:37
  • 確かに、そうすればうまくいくのですが、それをやっていいのか少し疑問です。 ガウスの法則(積分形)で考えれば, -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 12:38:49
  • ガウスの法則(積分形)で考えれば、任意の閉曲面だから大丈夫そうなのですが、ガウスの法則(微分形)で考えれば、∂Dx/∂x+∂Dy/∂y+∂Dz/∂z=0となり、ここから∂Dz/∂z=0と言えるのか? と思います。 -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 12:42:44
  • ガウスの法則の曲面は任意に取っていいので、どのような極限を取るかも貴方次第です。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 12:42:56
  • 今は境界面(誘電率やらPやらが突然変化している場所)の話をしているので、微分形は使い勝手が悪いです。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 12:44:33
  • 使い勝手は悪そうですが、使えないということではないですよね? なぜ今回の場合うまくいかないのですか? -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 12:54:59
  • 例えば、境界面では"ない"ところで、同じように円柱の側面がほぼ0の極限をとれば、天井と床の成分は常に一致してしまいませんか? -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 13:17:19
  • Pが内部ではノンゼロ、外に出た瞬間0なので、div Pはデルタ関数になります。それをちゃんと計算するなら問題ありませんが、面倒です。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 15:51:12
  • 境界面でないところでは天井と床で成分が一致するのは当たり前なので、問題はありません。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 15:51:42
  • 何度も申し訳ありません、「Pが内部ではノンゼロ、外に出た瞬間0」というのはどこから出てきたのですか?  -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 21:09:18
  • あ、外が真空の場合で答えてました。誘電体と誘電体の境界なら、単にPが突然変化する、と思っていればよいです。 -- 前野? 2016-08-08 (月) 08:06:21
  • なるほど。わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-08 (月) 08:24:04

静電遮蔽について 3

ちゃまろ? (2016-08-05 (金) 07:52:36)

以前に質問させていたただいた内容なのですが、少し納得がいかないので再質問させてください。
質問:「ある程度厚みのある有限の大きさの導体板2枚を平行に設置し、一様平行な電場をかける。その内側での電場は0になるのですか?」
前野先生の回答:「回り込む電場の影響で0にはならないが弱まる。」

疑問:「電場をより強めてしまうのではないでしょうか?」
この場合、p.134の図のような長方形の導体が二つ平行に並んでいることになると思いますが、二つの導体に誘起される電荷は、[-,+] [-,+]のように並ぶと思います(電場の向きは→)。
この場合、内側には、誘起された電荷によって作られる電場は左向き、外部からの電場も左向きで、結局強め合ってしまうと思うのです。

  • ああ。前回は問題の設定を勘違いして、2枚の金属板はなにか導線でつながっているものと考えて答えてました。それぞれ絶縁されているなら、おっしゃる通りです。その場合なら無限に広い場合でも板と板の間は0になりません。 -- 前野? 2016-08-05 (金) 14:26:24
  • ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-05 (金) 20:38:35
  • また、以前の回答での [回り込み]という意味がよくわかりませんでした。導線で繋げただけで何故回り込みが起きるのですか? -- ちゃまろ? 2016-08-05 (金) 23:18:36
  • 落書きのようですが、次の図を見てください。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 12:09:54

    #ref(): File not found: "mawari.png" at page "よくわかる電磁気学サポート掲示板(2016年前半)"

  • 極板によって消された部分に、外側の電場が「回り込み」を起こします。これは、電気力線の「平行なものは反発する(混雑を嫌う)」という性質のせいと考えてもいいです。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 12:18:03
  • なるほど、わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 12:34:34

電束密度について

ちゃまろ? (2016-08-05 (金) 00:26:40)

4.15式でρ真があることに疑問があります。 ある位置において、真電荷と分極電荷が同位置に存在するということを考慮するのはなぜですか?

  • 別に同一地点に存在している、という意味の式ではないです。ある場所ではρ真がノンゼロ、ある場所ではdiv Pがノンゼロ、という場合でも(4.15)のような式になりますから。 -- 前野? 2016-08-05 (金) 14:27:28
  • また、真電荷と分極電荷が同一場所にあっても別に構わないと思います。 -- 前野? 2016-08-05 (金) 14:27:58
  • 真電荷と分極電荷が同一場所にある とはどういう状況ですか? -- ちゃまろ? 2016-08-05 (金) 20:37:52
  • たとえば誘電体の液体(水だってそう)の中にイオンが多数含まれている場合、平均的にみればρもdiv Pもそのあたり一帯でノンゼロですね。 -- 前野? 2016-08-05 (金) 21:46:32
  • つまり、微小立方体を考えたときに、分極電荷と真電荷が混じっている場合というでしょうか? -- ちゃまろ? 2016-08-05 (金) 23:10:45
  • そんな場合はいくらでも起こり得ます。 -- 前野? 2016-08-07 (日) 12:01:53
  • ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-07 (日) 12:23:19

鏡像法について

ちゃまろ? (2016-08-02 (火) 17:55:48)

何度も質問すみません。 鏡像法について質問があります。
平板導体と点電荷によって作られる電場と、点電荷二個で作られる電場が必ず一致すると言えるのでしょうか? それとも鏡像法は直感的に正しく、また鏡像法以外で計算した結果と一致するから使えるという意味でしょうか?

  • 今考えている微分方程式は境界条件が等しいなら一つの解しかないので、一致してないということは起こりえません。という話しは、補足や脚注に書いてあります。 -- 前野? 2016-08-02 (火) 18:01:33
  • なるほど、ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-02 (火) 18:15:53

p.139について x=0での値

ちゃまろ? (2016-08-02 (火) 17:24:17)

(4.4)での式はx<0での式であり、これを左極限とることでσを出していますが、真の意味でのx=0での電場はどう書けるのでしょうか? 

  • 「真の意味」って、どういう意味でしょう??ここではx>0側から極限を取ると電場は0、x<0側から極限を取ると前場は(4.4)式の通りということしかわかりません。「真の意味』と言うのは、いったい何が知りたいのでしょう?? -- 前野? 2016-08-02 (火) 17:31:15
  • 真の意味と書いたのは、右極限、左極限といった極限値ではなく、まさにx=0での電場という意味です。 -- ちゃまろ? 2016-08-02 (火) 17:49:53
  • じゃあ、そんなものはないと思ってください。実際には幅を持って分布している電荷を表面だけに分布していると近似して考えている時点でX=0での電場は定義できなくなります(このあたりは点電荷の話と同じです)。 -- 前野? 2016-08-02 (火) 17:59:36
  • わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-02 (火) 18:15:21

導体表面の電場について

ちゃまろ? (2016-08-02 (火) 14:41:49)

導体の表面で、電場が垂直でないが、誘起された周りの電荷の影響(反発)によって、移動が止まるなどということは起きないのですか?

  • 周りの電荷の影響って、つまりは電場が伝わってくるという形の影響なんだから、移動が止まるってことは電場が垂直になった、ということです。もちろんそれ以外の力が働いているのなら話は別ですが。 -- 前野? 2016-08-02 (火) 14:48:16
  • あっ、総合的に打ち消した結果、垂直になるのですね。わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-02 (火) 15:07:10

静電遮蔽について2

ちゃまろ? (2016-08-01 (月) 23:27:53)

導体の形によっては静電遮蔽が起こらないという可能性はないのですか?
形によっては、外部の電場とそれに誘起された電荷が作る電場によって内部の電荷が常に動き続けることもありうるかなと思ったのですが。(電荷が動けばそれによって周りの電荷も動き、を繰り返すなど)

  • 動き続けているとしたら、それは「静電場じゃない」ということになります。電流が流れれば抵抗で熱が発生したり、磁場ができたり、あるいは電磁波が放出されたりするので、そんな可能性はないです。 -- 前野? 2016-08-02 (火) 03:08:17
  • なるほど、ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-02 (火) 14:39:57

静電遮蔽について

ちゃまろ? (2016-08-01 (月) 20:03:34)

p.135の図でくり抜かれた導体がありますが、これでも内部の電場が0になるのであれば、
例えば、厚みのある導体板2枚を平行に設置した場合も、その内側では電場が0になるのですか?

  • 外部から観測して測れるものが、まず総電荷、次に双極子モーメントだからです。同じ電荷、同じ双極子モーメントを持っている電荷分布の作る電場は遠方に行けば区別できなくなります。 -- 前野? 2016-08-01 (月) 23:19:55
  • この前野先生の回答は明らかに違うものだと思うのですが。バグでしょうか? -- ちゃまろ? 2016-08-01 (月) 23:29:41
  • あれ、これは前に回答したのが混じってますね。上のは無視してください。 -- 前野? 2016-08-02 (火) 03:05:24
  • あつみのある導体板というのが無限に広ければ0になります。でなかったら、回りこむように入ってくる電場もあるので(弱まりますが)完全に0にはなりません。 -- 前野? 2016-08-02 (火) 03:06:51
  • 一様平行な電場の場合なら、0になりませんか? -- ちゃまろ? 2016-08-02 (火) 10:14:27
  • 導体板が有限だと、一様平行を保てず、「回り込み」が発生してしまいます。 -- 前野? 2016-08-02 (火) 12:02:14
  • なるほど、ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-08-02 (火) 14:40:21

p.110について

ちゃまろ? (2016-07-30 (土) 19:49:12)

dV/drがジャンプすると、一か所に二つの電場があることになると書いてありますが、そうとは限らないのではないですか? 例えば、f(x)=sign(x) (符号関数) のような場合だってある気もします。 

  • 符号関数のような電場がありえません。 -- 前野? 2016-07-31 (日) 00:47:57
  • たとえば符号関数のような電場があったとして、「点電荷がその場所にあったらどんな力を受けるのか?」と「その電場はどんな電荷分布が作るのか?」を考えてみると不合理なのがわかると思います。もちろん計算の都合上実際はそうではないけど近似したらそうなるものとして考えることはできないことはないですが。 -- 前野? 2016-07-31 (日) 07:52:39
  • なるほど。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-07-31 (日) 08:43:37

演習問題3-2について

ちゃまろ? (2016-07-30 (土) 19:01:37)

rotE=0で判断していますが、rotE≠0つまり、電位が定義できない静電場は存在しないと言い切れるのですか? 

  • 言い切れます。本の中でもそう書いてますし、マックスウェル方程式からもrotEがノンゼロなら静的な場になりません。 -- 前野? 2016-07-31 (日) 00:46:35
  • なるほど。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-07-31 (日) 08:44:05

演習問題8-4 について(p.214)

taka? (2016-07-30 (土) 17:44:56)

(8.54)式から積分を用いて(8.56)式にしておりますが、どのようにして単位長さあたりの巻き数 "n" がでてきたのでしょうか。お願いします。

  • $\ell={1\over n}$からです。(8.55)の置き換えをするとき、$\ell\times{1\over \ell}$を掛ける必要があります。 -- 前野? 2016-07-31 (日) 00:41:38
  • (8.54)式の Σ 記号の直後に " l " がないので l ×(1 / l ) を掛け、1 / l を外に出す。その後に、(8.55)式の置き換えをしたという解釈で正しいですか。 -- taka? 2016-07-31 (日) 10:01:39
  • (8.54)式の Σ 記号の直後に " l " がないので l ×(1 / l ) を掛け、1 / l を外に出す。その後に、(8.55)式の置き換えをしたという解釈で正しいですか。 -- taka? 2016-07-31 (日) 10:02:07
  • すいません。2度同じものを送ってしまいました。 -- taka? 2016-07-31 (日) 10:03:35

p.128 (3.103)式の導出について

ちゃまろ? (2016-07-30 (土) 17:17:10)

(3.103)式はどのように導出するのですか?
私なりに考えて計算してみた結果、第二項は出たのですが、第一項にdivEが残り、これをガウスの定理を使って整理するのかと思いましたがうまくいきませんでした。

  • これはガウスの法則を使って出すようなものではなく、単純に幾何学的な計算です。 -- 前野? 2016-07-31 (日) 00:32:16
  • 考え方は、まずどの方向にも$-{\varepsilon_0\over 2}|\vec E|^2$だったらと考えると、それが第二項です。しかし実際は電場と同じ方向だけは${\varepsilon_0\over 2}|\vec E|^2$ですから、電場の方向を向いた($\vec E$に比例する)項を足して、電場方向の力がうまくでるようにするとあの式になります。 -- 前野? 2016-07-31 (日) 00:35:49
  • 具達的には、$C\vec E-{\varepsilon_0\over 2}|\vec E|^2 \mathrm d\vec S$と置いた後で、$\mathrm d\vec S$と内積を取り、それを $|\mathrm d\vec S|^2$で割ったものが${\varepsilon_0\over2}|\vec E|^2$になるように$C$を決めます。 -- 前野? 2016-07-31 (日) 07:46:32
  • なるほど。ある面での力を導きたいとき、その面の面積ベクトルの方向に対するエネルギーの微小変化を考えればいいのですよね? -- ちゃまろ? 2016-07-31 (日) 08:48:45

電気双極子モーメントについて

ちゃまろ? (2016-07-24 (日) 16:37:32)

連投すみません。 電気双極子モーメントをなぜ固定して極限を取るのでしょうか? 原子レベルでもマクロなレベルでも電気双極子モーメントは一定なのですか?

  • 外部から観測して測れるものが、まず総電荷、次に双極子モーメントだからです。同じ電荷、同じ双極子モーメントを持っている電荷分布の作る電場は遠方に行けば区別できなくなります。 -- 前野? 2016-07-24 (日) 21:31:44
  • 観測される双極子モーメントと、d→0の極限をとった双極子モーメントが一致する -- ちゃまろ? 2016-07-26 (火) 14:02:56
  • ことは自明なのでしょうか? -- ちゃまろ? 2016-07-26 (火) 14:03:16
  • 遠方から見れば、双極子モーメントが一致すれば(ほぼ)同じ電場を作るので、極限をとってもとらなくても遠方では同じ電場になってます(そうなるように、双極子モーメントを同じにするような極限を取っている)。だから、観測に合うような極限を取っているのだといえます。 -- 前野? 2016-07-26 (火) 21:32:27
  • なるほど。観測される電場を同じにするために、この極限をとったのですね。 -- ちゃまろ? 2016-07-26 (火) 21:53:58

p.74 FAQについて

ちゃまろ? (2016-07-24 (日) 10:13:00)

適用範囲外で発散しても関知しないとありますが、電場は物理的実体でありながら発散してもよいのですか?また、点電荷の位置での電場はどのように定義するのですか?

  • 「適用範囲外」ということは「その場所(今の場合原点)では使うな」ってことです。 -- 前野? 2016-07-24 (日) 11:17:50
  • 点電荷というのがそもそも物理的には無いもの、と思ってください。だから点電荷の位置での電場は定義しません。 -- 前野? 2016-07-24 (日) 11:19:19
  • 物理で登場する点電荷は「有限の半径を持つ球」の半径→0の極限だと考えた方がいいです。 -- 前野? 2016-07-24 (日) 12:32:31
  • わかりました。ありがとうございます。ガウスの法則(微分形)から電場を出すときにはr=0も適用範囲に入りますが、そもそもガウスの法則もクーロンの法則から出したものなのに、r=0で適用できると言えるのですか? -- ちゃまろ? 2016-07-24 (日) 13:40:22
  • ガウスの法則は電荷を取り囲む閉曲面上の電場に関する法則なので、点電荷の位置の電場は入ってません。 -- 前野? 2016-07-24 (日) 14:16:56
  • なるほど。ありがとうございます。 -- ちゃまろ? 2016-07-24 (日) 16:27:52

rotについて

ちゃまろ? (2016-07-23 (土) 13:20:42)

rotは『微小面積を一周~』とありますが、一周させるときのベクトル場V↑の値の取り方について疑問があります。微小長方形のある一辺について考えるとします(二次元で考える)。その1辺の両端のどちらのベクトル場の値に合わせて仕事を考えようとも、rotの計算は同じになると思うのですが、

  • 実際に計算してみると、1辺の右端の値に合わせて一周させた場合と左端に合わせた場合とでは値が異なりました。具体的には、右端に合わせた場合はrotの定義に合うのですが、左端に合わせた場合、⊿x⊿yの項以外に、(⊿x)^2などの項が残ってしまいます。これでいいのでしょうか? -- ちゃまろ? 2016-07-23 (土) 13:25:38
  • すみません。上の右端と左端は逆です。 -- ちゃまろ? 2016-07-23 (土) 13:26:38

勾配gradについて

ちゃまろ? (2016-07-19 (火) 19:54:45)

gradはなぜ最も急な方向を意味すると言えるのですか?

  • ある方向に$\vec a$だけ微小移動したとすると、そのときの関数$f$の変化は$\vec a\cdot{\rm grad}f$で表せます。$\vec a$と${\rm grad}f$が平行な時がこれが一番大きくなります。 -- 前野? 2016-07-20 (水) 08:52:13
  • ありがとうございます。数学的には納得できましたが、物理的なイメージとかはあるのでしょうか? -- ちゃまろ? 2016-07-20 (水) 09:19:08
  • 物理的イメージは本にも書いてある通りというか「勾配」という名前の通りで、「坂道を登る方向のベクトル」ということになりますが。 -- 前野? 2016-07-20 (水) 09:37:02
  • ありがとうございます。あと、a→とgradfが平行のときに最大をとるとありますが、そのときに最も急だと言えるのでしょうか? -- ちゃまろ? 2016-07-20 (水) 10:35:24
  • 高低差が最大なんだから、それを傾き最大でないなんてことは有り得ないと思います。そうでないとしたら「急」という言葉の定義が傾き以外の意味がある場合でしょうか。 -- 前野? 2016-07-20 (水) 10:48:22
  • すみません、考え違いをしていたようです。ありがとうございました。 -- ちゃまろ? 2016-07-20 (水) 18:28:08

面積ベクトルについて

ちゃまろ? (2016-07-18 (月) 14:13:39)

前野先生の本の書き方的には、面積ベクトル(dS→)=dydz(e_x)+dzdx(e_y)+dxdy(e_z) ということになりますが、この書き方をした場合、一般の方向n→と面積ベクトルは同じ方向だと言えるのでしょうか?

  • 単に$\mathrm d\vec S=\mathrm dy\mathrm dz\vec {\mathbf e}_x+\cdots$と書いただけでは方向は指定されていません。考えている面に合わせて$\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz$を選んで、初めて面積ベクトルの方向が指定されます。その選んだ方向を$\vec n$などと書いている、ということです。 -- 前野? 2016-07-18 (月) 14:25:41
  • 考えている面に合わせてdx,dy,dzを選ぶというのは、dxとdyとdzの間になんらかの関係が付く(例えば、dxとdzの比が決まるなど)ということになりますよね?そうするとdx,dy,dzが独立ではなくなりますが、よいのでしょうか? -- ちゃまろ? 2016-07-18 (月) 14:47:03
  • ええ、だから関係をつけなきゃいけませんよ、という話をしてます。3次元の中で線積分や面積分をするときは常にそうで、三つの変数(x,y,z)を独立に動かしちゃったら立体積分になってしまいます。1個の条件をつければ2次元積分(面積分)に、2個の条件をつければ1次元積分(線積分)になります。 -- 前野? 2016-07-18 (月) 18:31:00
  • なお、47ページの面積ベクトルについては「p47の二つの図に挟まれている文章部分の下の方にある「面積ベクトルは~~と書かれることになる」は「微小面積は$ \mathrm d S= n_x \mathrm d y \mathrm d z +n_y \mathrm d z \mathrm d x +n_z \mathrm d x \mathrm d y $ と書かれることになる」と最近訂正を入れてます(訂正前のだとベクトルとしては正しい式になってません)。 -- 前野? 2016-07-18 (月) 18:33:24
  • なるほど。ありがとうございます。よくわかりました。 -- ちゃまろ? 2016-07-18 (月) 18:51:26

ごくつまらないことですみません

老学生? (2016-07-11 (月) 15:07:09)

8刷のP.32で、最後から3行目「微小長さdzはΘの微小変化dΘを使って表現すると dz=x/cos2Θ X dΘとなる。」とありますが、なぜこうなるのか教えていただけないでしょうか?よろしくお願いします。

  • その下の図の中で説明してありますが、三角形の相似を使ってdzを表現すると出てきます。 -- 前野? 2016-07-11 (月) 19:40:55
  • あるいは、これも図からわかりますがz=x tanθなのでこれをθで微分します。 -- 前野? 2016-07-11 (月) 19:42:16
  • ありがとうございます。分かりました。恐縮ですが、P.33の5行目[SIN]α-αはゼロに -- 老学生? 2016-07-12 (火) 08:29:39
  • なるのではないかと思いますが?引き続きつまらないことで申し訳ありません。ご教示ください。 -- 老学生? 2016-07-12 (火) 08:31:13
  • 失礼しました[SIN]α-αは2SINαです。申し訳ありません。お騒がせしました。 -- 老学生? 2016-07-12 (火) 09:25:10

アンペールの法則とガウスの発散定理について

舩?? (2016-07-04 (月) 18:28:02)

P193の演習問題7-3に関して質問です。

アンペールの法則に対してストークスの定理を用いると、電流密度の面積分が現れます。これに対してさらにガウスの発散定理を適用すると、∬j・dS=∭∇・jdVとなります。
ここで状況は定常電流を用いてるとすると、∇・j=0となるので、∬j・dS=0となります。すると、∫H・dx=0になってしまうと思います。

この計算はループを電流Iを含むようにとった場合にでも∫H・dx=0となってしまうと思うのですが、アンペールの法則からするとこの場合∫H・dx=I(≠0)となるべきです。
このことはどのようにして理解すればよろしいでしょうか。

  • アンペールの法則に対してストークの定理を用いた結果として出てきた電流密度の面積分$\int_S\mathrm d\vec S\cdot\vec j$の面積は閉曲面ではありません。ガウスの発散定理で「${\rm div}\vec j=0$なら面積分が0」となるときの「面積分」は閉曲面での面積分ですから、この場合とは違います。 -- 前野? 2016-07-04 (月) 19:10:33
  • それではアンペールの法則にストークスの定理を用いて得た∬j・dSはガウスの発散定理に含まれる∬j・dSとは意味が異なるから結び付けてはいけない、ということですか(アンペール→ストークスで得た∬j・dSに対して、∬j・dS=∭∇・jdVとはできない)。 -- 舩?? 2016-07-04 (月) 21:07:04
  • ガウスの発散定理は閉曲線の積分に関する法則なので、閉曲線になってない場合(今の場合はそう)使いようがありません。 -- 前野? 2016-07-04 (月) 21:16:36
  • 閉曲面の面積で考えたら、∬j・dS=0、閉曲線の面積で考えたら∬j・dS=I(≠0)ということでしょうか。 -- 舩?? 2016-07-04 (月) 21:28:01
  • 閉曲線の面積というのは閉曲線に囲まれた面積ってことですか? だったらその積分で出てくるのはその面積を通り抜ける電流ですから0にならなくて当然ですね。 -- 前野? 2016-07-04 (月) 21:33:55
  • 閉曲線の面積についてはそのように解釈してます。ストークスの定理で出てくる面積とガウスの定理で出てくる面積を同一なものと考えてしまったのが混乱の原因だったようです。ありがとうございます。 -- 舩?? 2016-07-04 (月) 21:38:20

演習問題4-2

? (2016-06-21 (火) 17:22:21)

演習問題4-2の電束密度の平行成分の係数は
ε0/εではなくε/ε0ではないでしょうか…

  • ああほんとだすみません。そっちが正解です。 -- 前野? 2016-06-22 (水) 00:14:43

電場E(ベクトル)から電荷分布を求める

なか? (2016-06-21 (火) 10:52:34)

電荷分布から電場E(ベクトル)を求める例題は幾つもありますが、
逆に、電場E(ベクトル)が与えられて電荷分布を求める例題は掲載されて
いるでしょうか。


一般の方向を向いた面積ベクトル(面積素)の式は誤りではないでしょうか?

NS? (2016-06-19 (日) 16:48:45)

NS

電磁気学担当の大学教員をしております。
下記、鳥飼潤様の (2016-01-06 (水) 10:33:40)の質問と同一箇所に関して質問があります。

47ページ中ほどの「面積ベクトルは $d\vec {S} = n_x d_y d_z \vec {e}_x + n_y d_z d_x \vec {e}_y + n_z d_x d_y \vec{e}_z$ と書かれることになる」
とありますが、この式は誤りではないでしょうか?

通常、面積分の際に用いる面積素はデカルト座標では
$d\vec {S} = d_y d_z \vec{e}_x + d_z d_x \vec{e}_y + d_x d_y \vec{e}_z$
となると思います。
(例えば、
ttp://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/SurfaceIntegralApp?/
を参照。)

「よくわかる電磁気学」で独自の記号を使っているという可能性も検討したのですが、
$d\vec{S} = n_x d_y d_z \vec{e}_x + n_y d_z d_x \vec{e}_y + n_z d_x d_y \vec{e}_z$
と言う表式は、この本で採用している定義 $d\vec{S} = \vec{n} dS = (n_x \vec{e}_x + n_y \vec{e}_y + n_z \vec{e}_z) dS$ と矛盾しているので、やはり誤りだと思います。

ただ、単純に式を訂正するだけではだめで、前後の文章も含めて訂正しないと文脈が通らなくなる気がします。

  • ↑vec とあるのはtexでベクトルにしたかったのですが、うまく出ないようですね…。 -- NS? 2016-06-19 (日) 16:52:46
  • 入力のしかたによっては、本来同じコードが割り当てられているはずの「日本語の円記号」と「逆スラッシュ」が区別されてしまうみたいで、MathJax?は円記号を逆スラッシュと見てくれてないみたいです。なぜかは私にもわからないのですが、とりあえず修正しました。 -- 前野? 2016-06-19 (日) 17:50:05
  • で、式の問題ですが、ここはほんとうは「面積ベクトル」じゃなくて「$\vec n$方向に垂直な面積要素」であるべきで、正しい式は$\mathrm dS=n_x\mathrm dy\mathrm dz+n_y\mathrm dz\mathrm dx+n_z\mathrm dx\mathrm dy$ですね(両方ともベクトルでない形に書かなくてはいけない)。そのように訂正したいと思います。 -- 前野? 2016-06-19 (日) 17:53:30
  • ただ、確かにこれだけだと後ろの説明とうまくつながらないですね、もう少し考えます。 -- 前野? 2016-06-19 (日) 18:03:14
  • ご回答ありがとうございます。 確かに $dS = n_x d_y d_z + n_y d_z d_x + n_z d_x d_y$ なら問題ないですね。 $d\vec{S} = \vec{n} dS$ の両辺に $\vec{n}$を内積すると、 $\vec{n} \cdot d\vec{S} = dS$ となるので、上で述べた通常の表記 $d\vec{S} = d_y d_z \vec{e}_x + d_z d_x \vec{e}_y + d_x d_y \vec{e}_z$ とも整合的です。 -- NS? 2016-06-19 (日) 18:24:53
  • 他方、前後の文脈とつながらない問題についてですが、座標軸に平行な面積ベクトルの結果から、一般の方向に一般化するところで論理に飛躍がありませんか? 例えば、田崎晴明さんの物理数学の教科書のp563、9.4.4節は(rotと絡む場合についてですが)方向の一般化について面倒な議論を行っています。注釈27も要注意。 面倒な議論を書きたさないにしても、注釈を加えたほうが親切ではないでしょうか? -- NS? 2016-06-19 (日) 18:40:50
  • 上記教科書はこれです。 ttp://www.gakushuin.ac.jp/~881791/mathbook/ 念のため。 -- NS? 2016-06-19 (日) 18:42:06
  • ありがとうございます。勿論田崎さんの教科書は持ってるので、参考にして何かうまく収まる方法を考えます。 -- 前野? 2016-06-19 (日) 18:56:41
  • 上記教科書はこれです。 ttp://www.gakushuin.ac.jp/~881791/mathbook/ 念のため。 -- NS? 2016-06-19 (日) 18:57:59

原点にある点電荷Qによる電場E(ベクトル)が、なぜ発散のない電場div E(ベクトル)=0なのでしょうか

なか? (2016-06-19 (日) 14:17:15)

p.63

原点にある点電荷Qによる電場E(ベクトル)が、なぜ発散のない電場div E(ベクトル)=0
なのでしょうか。

電荷がないところではdiv E(ベクトル)=0となるとあるのに、原点に点電荷Qがあ
る電場E(ベクトル)がdiv E(ベクトル)=0になるのでしょうか。

  • 63ページあたりで計算しているのは「原点以外の場所」だからです(原点では分母が0になっちゃいますから、63ページでやっているような計算は破綻します)。「電荷のないところ」というのは「どこにもない」ということではなく「この場所にはない(ここではない近所にあるのはかまわない)」ということです。 -- 前野? 2016-06-19 (日) 15:21:51
  • ガウスの法則の積分形では閉曲面や体積といった領域で見ているが、微分形の 場合はピンポイントで見ているということでしょうか。 -- なか? 2016-06-19 (日) 21:40:14
  • その通りです。微分形というのはlocalな法則ですから、まさにそういうことになります。 -- 前野? 2016-06-19 (日) 21:50:55

等速円運動は運動エネルギーの増減がないのでしょうか

なか? (2016-06-01 (水) 19:34:56)

p.222 L.2
磁場は仕事をしないので、粒子の運動エネルギーは増えることも減ることもな
いまま、運動方向を変え続ける。このような運動は等速円運動である。

磁場は仕事をしないというが、運動方向を曲げるという仕事をしており、
粒子は曲げられるという仕事をされているのではないか。
エネルギーの増減がないというのがなかなか腑に落ちません。
向心力と速度は垂直であるので、仕事はゼロのような気もしますが。

粒子の運動エネルギーの増減がないということは、磁場のエネルギー(この言
葉の有無は未理解です)の増減もないのでしょうか。

  • 「仕事」はもちろん力学で定義された「仕事」で、式で書くならば$\int \vec F\cdot \mathrm d\vec x$ですから、力と移動方向が垂直なら0です。力学での「仕事」の意味では「運動方向を曲げる」は仕事の範疇に入らないのです。 -- 前野? 2016-06-01 (水) 20:02:34
  • 等速運動を続けている間はエネルギーの出入りはありません(ただし、電磁波が放出されるという形でのエネルギーロスは実はあります)。 -- 前野? 2016-06-01 (水) 20:03:47

N極とS極の定義と磁場の向きについて

とぽす? (2016-05-29 (日) 18:35:42)

N極とS極の定義とはなんでしょうか。それは、磁場の向きと関係があるのでしょうか(例えばN極からs極に向かって磁場の向きがあるなど)(右手系と左手系では、磁場の向きが反対になりますよね)
大学入試問題でリング状の導線にN極を近づけるとどちらに電流が流れますか、のような問題がありますが、N極からs極に向かって磁場の向きがあるとするなら、左手系、右手系どちらを考えているかで答えががかわってしまうように思うのです。
どうすれば、整合性のある理論になるのでしょうか。

  • 普通は磁力線がN極から出てS極に入ると考えます。通常右手系に固定した話です。 -- 前野? 2016-05-29 (日) 19:29:24
  • 空間反転(パリティ変換)を行えば磁力線の向きもNSもひっくり返る、と考えても良いし、「S極から磁力線が出るようになる(NSはひっくり返らない)」と考えてもいいでしょう。前者の考え方をすることが多いですが。 -- 前野? 2016-05-29 (日) 19:32:10
  • 通常はわざわざ空間反転した結果を考えたりしないので、N極を近づけるとどうなるかを問うことに問題はありません。 -- 前野? 2016-05-29 (日) 19:33:59
  • なお、左手系と右手系の違いは単に表記方法の違いのようなものですから、字面が違っても式の示す物理法則が変わるわけではありません。 -- 前野? 2016-05-29 (日) 19:36:51
  • この問題に関して整合性が取れてない場所はどこにもないと思います。 -- 前野? 2016-05-29 (日) 19:42:46
  • 現実にN極をリング状導線に近づけると右ネジの法則にしたがって電流がながれますよね。なぜか、右手系が選ばれているように見えます。なぜなのでしょう。 -- とぽす? 2016-05-29 (日) 19:48:24
  • 別に右手系を選んでません。左手系なら左手系で字面が違う(けど本質的には同じ)物理法則が成り立って、やはり同じ様に電流が流れます。 -- 前野? 2016-05-29 (日) 20:13:00
  • 教科書にはたいてい右手系での法則が書いてあるわけですが、左手系を使うのであればそれ用に法則の方を修正して使えばよいだけのことで、それは人間が物理現象をどう表現するかという都合の部分であって、物理的本質が右手系を優遇したりはしません。 -- 前野? 2016-05-29 (日) 20:35:11
  • 先生の -- とぽす? 2016-05-29 (日) 20:41:04
  • おっしゃったN極の定義で考えたら分かりました。ありがとうございました。 -- とぽす? 2016-05-29 (日) 20:42:23

演習問題3-3の解答について

2001年? (2016-05-05 (木) 22:34:10)

(E.23)の上の行のVrの微分の式が有りますが、右辺第一項の分母のπは誤記だと思いますが、いかがでしょうか。

また、(E.25)の右辺第一項の分子のr^2は(r1)^2だと思いますが、いかがでしょうか。

  • すいません、確かに二つともミスです。後日、訂正版をアップします。知らせていただいてありがとうございます。 -- 前野? 2016-05-05 (木) 22:39:15

極座標でのVの添字の意味 (その2)

なか? (2016-04-29 (金) 11:08:34)

甘えついでに下記を確認します。

p.68 式(2.27)
r^2V(r,θ,φ) の r が r+Δr の時の値 (r+Δr)^2Vr(r+Δr,θ,φ)

      〃             r     の時の値   r^2Vr(r,θ,φ)


の左側のr^2V(r,θ,φ)の V には添字 r が付くのでしょうか。

  • はい、つきます。エラーです、すみません。 -- 前野? 2016-04-29 (金) 17:01:13

VxΔx の単位は何か?

なか? (2016-04-28 (木) 23:01:08)

p.97
「rotのイメージ1:ボートの周回」での VxΔx は仕事、Vx は流速だと思うの
ですが、単位はどう考えたらいいのでしょうか。

式(3.28)において Vx(x,y+Δy,z)、Vx(x,y,z) と z がありますが、以降の説
明では z がないので不要ではないでしょうか。

  • rotの説明はあくまでイメージなので、単位は「よきにはからえ」で読んでもらってかまわないんですが、厳密に考えるとしたら、流速に比例する力$kV_x$(←単位はニュートン)が働き、その力のする仕事が$k V_x \Delta x$(単位ジュール)という感じになるでしょう。 -- 前野? 2016-04-28 (木) 23:47:26
  • zに関してはこのページに関してはあってもなくてもよいわけですが、本来rotは3次元空間で定義すべきものなので、全てにつけておく方がよかったですね。そういう意味ではむしろ、(3.28)の次の行ではzが省略されている、と思って補って読んで下さい。 -- 前野? 2016-04-28 (木) 23:49:36
  • 理解度が浅いため本筋と喩えの区別をする余裕がなく、末梢的な ことで突っ掛って しまい申し訳ありません。 -- なか? 2016-04-29 (金) 20:48:06

極座標でのVの添字の意味

なか? (2016-04-28 (木) 14:32:09)

p.67
V(r,θ,φ)、Vr(r,θ,φ)、Vθ(r,θ,φ)、Vφ(r,θ,φ) の違いが掴めません。
因みに、V(Vx,Vy,Vz) のように V(Vr,Vθ,Vφ) という表記もあるのでしょうか。

  • すいません、67ページの5行目と6行目にある$V$は添字$r$が抜けてます($V_r$が正しい)。 -- 前野? 2016-04-28 (木) 23:42:08
  • $(V_r,V_\theta,V_\phi)$という表記はあります。$\vec V=V_r \vec {\mathbf e}_r+V_\theta \vec {\mathbf e}_{\theta}+V_\phi \vec {\mathbf e}_\phi$という意味です。 -- 前野? 2016-04-28 (木) 23:43:50
  • つまりは、ベクトル$\vec V$の$r$方向成分が$V_r$、$\theta$方向成分が$V_\theta$、$\phi$方向成分が$V_\phi$です。 -- 前野? 2016-04-28 (木) 23:44:57
  • 理解の糸口は掴めたように思います。演習等で場数を踏み極座標に馴染む必要がありそうです。 -- なか? 2016-04-29 (金) 20:36:31

『一様に帯電した球』での「消しあう」とは

なか? (2016-04-28 (木) 14:16:50)

p.56、L.3
『この部分が作る電場Eは、原点からの距離rの位置では、ちょうど消しあって
0になるわけである。』何と何が消しあうのか掴めません。
原点からの距離rがRの時点で、内側にある電荷量が変数から定数Qに代わるだ
けだと思うのですが。

  • 「何と何が」ですが、「この部分」というのは直前にある「原点からrより大きく離れている部分」です。つまり半径Rの球から半径rの球を取り除いた部分です。 -- 前野? 2016-04-28 (木) 23:38:00
  • 「この部分」は電荷が連続的に広がっていて、広がった電荷の作る電場を積分してあげると積分結果として消し合って0になります。 -- 前野? 2016-04-28 (木) 23:39:05
  • つまりこの部分は、「なぜ内部にある電荷量だけを考えればよいのか」を説明している部分です。 -- 前野? 2016-04-28 (木) 23:40:24
  • p.13, p.39, p.42 で予告されていた内容であることを理解しました。 -- なか? 2016-04-29 (金) 17:11:29

P197の積分について

イルカ0号? (2016-04-10 (日) 23:19:27)

質問です。
P197の式(8.6)の積分で、z' - z = r・tanθとして計算していますが、z - z' = r・tanθとしてθを-π/2からπ/2まで積分するのではダメなんでしょうか?

  • それだとθが逆符号になりますね。そこに気をつけて積分も逆にしてやれば結果は同じになります。 -- 前野? 2016-04-11 (月) 00:13:58
  • 早速のご回答ありがとうございます。θの取り方を勘違いしていました。z' - z = r・tanθとする方が素直ですね。 -- イルカ0号? 2016-04-11 (月) 23:07:15

rotについて

たくみ? (2016-03-15 (火) 23:23:53)

rotを「仕事」を使って説明されていますが、これはアンペールの法則が「仕事を求める法則」だからでしょうか。
ベクトル解析の教科書を何冊か調べてみたのですが、定義は書かれているのですが、なぜそのように定義するのかが書かれていませんでした。
私の担当の先生が「ベクトル解析は電磁気の為に作られたもの」と言っていたので、rotがアンペールの法則を説明するために作られたものだというのなら納得いくのですが…。

  • 歴史の話はかなり複雑なんですが、今で言うならrotに対応する演算をマックスウェルが考案した(divやgradに対応するのも)のは本当なので、「ベクトル解析は電磁気のため」は間違いではないです。 -- 前野? 2016-03-16 (水) 00:48:53
  • rotはどう定義されるかですが、歴史は置いておいて「理解しやすい手順」で考えると、いわゆる「積分可能条件」、つまり「E=-grad Vと表すことができる条件(これは別の言い方をすれば、Eの積分でVが表現できる条件、です)」がrot E=0だ、ということから理解するのがよいと思います。 -- 前野? 2016-03-16 (水) 00:50:39
  • 電流の回りの磁場については周回積分が0にならないので(Hの積分でVにあたるものが定義できないので)、rot H≠0になる、と言うことになります。右辺が電流そのもにになるのはアンペールの法則の積分形から逆に微分形を出してきた、という結果で、その方法でもrotが定義できます。 -- 前野? 2016-03-16 (水) 00:53:48
  • ご丁寧な回答ありがとうございました。 -- たくみ? 2016-03-21 (月) 20:38:17

重ね合わせの原理について

ちゃまろ? (2016-03-08 (火) 18:35:14)

「重ね合わせの原理が実験的に得られている関係として認めなければならない」と書かれていますが、クーロンの法則が線型方程式であることを示せばいいのではないのですか?
また、どのような実験で得られたのでしょうか?

  • クーロンの法則が線形で書けるのは、重ね合わせの原理が実験的に認められているからです。実験としてはもちろん、複数個の電荷がある場合の電場を測定して重ね合わせの原理を確認するということになります。 -- 前野? 2016-03-09 (水) 08:31:44
  • クーロンの法則が数学的に線形であることを示すというのではダメなのですか? -- ちゃまろ? 2016-03-09 (水) 17:27:12
  • 例えば、電荷qから複数の電荷qiがそれぞれ距離riにある時のクーロン力をFiとすると、 Fi=kq(qi/ri^2)です。 この方程式は(qi/ri^2)に対する1次関数なので、線形方程式。 従って重ね合わせの原理が適用できる。 といった証明ではいけないのですか? -- ちゃまろ? 2016-03-09 (水) 17:44:30
  • 複数の電荷によるクーロン力が各々の電荷による力のベクトル和で書ける、と言った時点で、それは重ねあわせの原理を使ったことになります。そう書けるということは、実際の実験で複数の電荷があるときにそうなるということを確認しているからです。実験による確認なしには、ベクトル和になるかどうかは判定できないですね。 -- 前野? 2016-03-09 (水) 18:33:22
  • スカラーとしての和ならば証明できるが、ベクトル和ではできないという理解であってますか? -- ちゃまろ? 2016-03-10 (木) 01:01:51
  • スカラーだって実験なしに重ね合わせの原理は出てきませんよ。1個の電荷に対する法則と複数個の電荷に対する法則は別々に実験的検証が必要です。 -- 前野? 2016-03-10 (木) 08:05:01
  • あ、なるほど。 数学的証明では暗に f(x)+f(y)=f(x+y) のようなものが仮定されているので、これ自身を実験で示さなければならないということですね。 -- ちゃまろ? 2016-03-10 (木) 23:09:11
  • この理解であっていますか? -- ちゃまろ? 2016-03-12 (土) 16:11:25
  • はい、そうです。 -- 前野? 2016-03-12 (土) 17:00:53

箔検電器について

ちゃまろ? (2016-03-07 (月) 18:02:37)

p.9で指が触れると負電荷が逃げる図が書いてありますが、これはなぜ起こるのですか?
地球が正電荷に偏っているからですか?もし、そうだとするならば、箔に逃げた負電荷だけでなく、箔以外に存在する負電荷まで逃げていきそうなのですが。

  • 同じ質問が別の掲示板にありましたのでそちらで答えました。 -- 前野? 2016-03-10 (木) 09:40:04

P107電位のグラフについて

J.T.? (2016-03-03 (木) 14:44:11)

やっとP107まで進んできました。
グラフ中の電位が、Q/4πε0rと書かれていますが、ρR^3/3ε0r では無いでしょうか。
宜しくお願いします。

  • $Q={4\pi R^3\over 3}\rho$なので、同じことです。 -- 前野? 2016-03-03 (木) 16:09:09

演習問題10-2(3)について

moba? (2016-02-07 (日) 13:59:42)

演習問題10-2(3)についてです。
解答のp.28、(3)のtanθ2の式のμの添え字が1,2逆ではないでしょうか。
よろしくお願いします。

  • ご指摘ありがとうございます。確かに、おっしゃる通りです。こちらも直しておきます。 -- 前野? 2016-02-07 (日) 14:24:56
  • 誤植だったのですね。回答ありがとうございます -- moba? 2016-02-07 (日) 20:27:34
  • ↑コメントの重複ミスです。すみません。 -- moba? 2016-02-07 (日) 20:29:49

演習問題9-2(4)について

moba? (2016-02-06 (土) 21:04:40)

質問です。
章末演習問題の解答を読みました。解答のp.26の(3)にて
Ω=(-qB±√( (qB)^2+4(mω)^2))/2m
とありますが、(4)の答に
X=Ae^( (-qB+√( (qB)^2+4m(ω)^2))t/2)+Be^( (-qB-√( (qB)^2+4m(ω)^2))t/2)
とあります。X=e^(iΩt)にΩの値を代入したのだと解釈しましたが、√の中のm^2がmに、分母の2mが2になっている理由がわかりませんでした。
またiはどこに行ったのでしょうか。
力不足ですみません。
宜しくお願いします。

  • すいません、それは答えが間違ってました。おっしゃる通り、√の中のm^2がmに、分母の2mが2で、eの肩にiが必要です。近日中に訂正をアップします。 -- 前野? 2016-02-07 (日) 07:43:21
  • 誤植だったのですね。回答ありがとうございます -- moba? 2016-02-07 (日) 11:18:44

磁束密度について

たわ? (2016-02-04 (木) 12:10:42)

6章まで読みました。
P181後半にIが1本あるだけではBは1つに決まらないと書いていましたが、
定義B=μ0H,F=I×Bと
P174よりF=mH=m1m2/4πμ0r^2
より求めることはできないんですか?
他の電流の向きが決まってないと力の向きが定義できないから
という意味でしょうか?
宜しくお願いします。

  • これはある場所のBを測りたい、という文脈です。電場だとその場所に電荷をおけば、働く力の向き即ち電場の向きですが、磁場はそうはいかないということです。 -- 前野? 2016-02-04 (木) 23:08:33
  • つまり、この場所に一本の電流があるだけではダメ、って意味です。 -- 前野? 2016-02-04 (木) 23:09:40

磁場 Hについて

ボーム? (2016-01-21 (木) 19:52:07)

1つ下のコメントに同じ質問を書いたのですが、少し見にくかったのではないかと思い、もう一度同じ質問を載せさせていただきます。
p174で定義した磁場Hとp250で定義した磁場Hは等価なのでしょうか。真空中の場合は等価だとわかるのですが、物質中だとどうなるのかわかりません。
よろしくお願いします。

  • p174で定義している磁場というのは「磁極」という実際はない仮想的なものを使って定義されているもので、ほんとうの意味では「定義」されてないわけです。実際には磁極は存在せず、磁気二重極(つまりはNS両方があるもの)が存在していて、それは円電流と等価です。 -- 前野? 2016-01-21 (木) 20:10:59
  • で、実際に透磁率が無視できないような物質中に磁気二重極を置いた場合どうなるかですが、BやHの境界条件(254ページあたりに書いてあります)からわかるように、磁気二重極が円電流のようなもので、その電流が存在しているのが磁場に垂直な面上であれば、境界条件によりBの法線成分が連続なので、この円電流は磁束密度Bに対応した力を受けることになります。 -- 前野? 2016-01-21 (木) 20:19:03
  • 一方、考えている磁気二重極が棒磁石のような形状で、物質を磁場の方向にそってくりぬいた穴にその棒磁石を刺した、という状況なら、Hの境界条件(接線成分が連続になる)からして、くりぬかれた内部とはHが接続されることになり、F=mHに対応する力が棒磁石のN極、S極にかかります。というわけで、状況と境界条件によりいろんな場合がある(物質が存在している場合のBとHはいつもそうですが)ということになりそうです。 -- 前野? 2016-01-21 (木) 20:22:25
  • こういう話で悩んだときは「磁場を表現する本物の物理量はBの方であり、Hは(名前は「磁場」だけど)補助的な量に過ぎない」と考えて、Bにより電流が力を受ける、と考えていくのが間違いがない方法だと思います。 -- 前野? 2016-01-21 (木) 20:23:51
  • 大変丁寧な回答ありがとうございました。とても勉強になりました。 -- ボーム? 2016-01-21 (木) 21:18:25

磁化による電流について

ボーム? (2016-01-18 (月) 11:22:40)

質問です。
p248の一番最初に
rot(B/μ0)=j_真+j_M
とあるのですが、どうして磁束密度Bに対しては真電流(j_真)と磁化による電流(j_M)が対等に寄与するのでしょうか。
よろしくお願いします。

  • 真電流も磁化による電流も電流であることには違いはないので、対等に寄与するのが当たり前で、むしろHを使った時に磁化による電流の影響が消える(ように見える)ことの方が「珍しい(ありがたい)こと」だといえます。 -- 前野? 2016-01-19 (火) 19:27:20
  • ご回答ありがとうございました。気になっていたことがすっきりしました。もう1つ磁場Hについての質問なのですが、p174で定義した磁場Hとp250で定義した磁場Hは等価なのでしょうか。真空中の場合は等価だとわかるのですが、物質中だとどうなるのかわかりません。よろしくお願いします。 -- ボーム? 2016-01-19 (火) 20:03:53

面積ベクトルについて

鳥飼 潤? (2016-01-06 (水) 10:33:40)

老体のボケ防止に「よくわかる電磁気学」で改めて電磁気の基礎を学び直しています。
さて、P47中ほどの「面積ベクトルは」以降の式が腑に落ちません。
dS→=nxdydzex→+・・・
ex→、ey→、ez→は電場E→のx,y,z成分ではないのでしょうか?
またその下の
a→=axex→+・・・も
a→=axnx→+・・・と記述すべきなのではないでしょうか。
ご指導宜しくお願いします。

  • $\vec {\mathbf e}_x,\vec{\mathbf e}_y,\vec{\mathbf e}_z$は、電場ではなく、それぞれの方向の単位ベクトルです。 -- 前野? 2016-01-06 (水) 11:11:31
  • $a_x\vec{\mathbf e}_x+a_y\vec{\mathbf e}_y+a_z\vec{\mathbf e}_z$という書き方は、$(a_x,a_y,a_z)$という書き方と同じで「$x$成分が$a_x$、$y$成分が$a_y$、$z$成分が$a_z$」を意味してます。 -- 前野? 2016-01-06 (水) 11:13:10
  • 全部成分で書けば$\vec{\mathbf e}_x=(1,0,0),\vec{\mathbf e}_y=(0,1,0),\vec{\mathbf e}_z=(0,0,1)$ですね。 -- 前野? 2016-01-06 (水) 11:13:59


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Last-modified: 2016-09-19 (月) 11:46:04 (1155d)