よくわかる解析力学サポート掲示板３
P285(11.15)について †
昔の物理学生? (2016-08-22 (月) 09:10:21)
2015-09-09 (水) 20:46:45のsabotenさんとの質疑応答において、「②で指摘しているようなルジャンドル変換を意識しているわけではありません。」とあります。
一方、欄外の✝10において、ここでやっていることはルジャンドル変換であるとあります。
ここで二点質問です。
1.
(11.15)は、偶然ルジャンドル変換の形になっているのではなく、最初からルジャンドル変換を行うことを意識しているということなのでしょうか？
2.
もし最初からルジャンドル変換を意識しているとすると、「q*から循環座標のqiを分離しなければならない。とすると、プラスなんとかqiかマイナスなんとかqiのように分離できるはずだ。しかし、循環座標だからqiに対応する運動量piは保存量になるためpiは定数だ。また、qiが循環座標だから∂W/∂qi=piなのでルジャンドル変換っぽいな。だからマイナスなんとかqiではなく、プラスなんとかqiのはずだ。そこで、プラスなんとかのなんとかはpiにしておこう。しかし、piのままだと紛らわしいのでαiとしてプラスαiとして、残ったqi以外のq*と定数αiを含むWをW~としよう」のように考えて(11.15)が出て来たと推測しました。このように回りくどく考えなくても、スパっと(11.15)が出てくる考え方というものがあるのでしょうか？
- ここでやっている計算は難しい手法を使っているわけでもなんでもなく、運動量$p_i$が定数$\alpha_i$だとわかったので、${\partial\over\partial q_i}$を$\alpha_i$にすればいい、という素直な計算です。 -- 前野?
- あまり気を使う必要はなく、「$q_i$ で微分したら$\alpha_i$になるようにしよう」というだけで（符号なんかも含めて）この式は出てきます。 -- 前野?
- ということは、(11.15)を作ってみたら、結果的にルジャンドル変換だったということでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- やっていることは同じなんで、ルジャンドル変換するぞ、と思ってやろうが、上に書いた手順でやろうがどっちでもいいです。 -- 前野?
- よく理解できました。有難うございました。 -- 昔の物理学生?
P281(11.6)について †
昔の物理学生? (2016-08-20 (土) 15:08:17)
P281(11.6)の左辺第二項の∂S/∂tの符号がマイナスですが、プラスではないかと思いますが如何でしょうか？
ここがマイナスですと、真ん中の式の第二項の符号がプラスになり、右辺はゼロになりません。
- はい、ここはプラスです。 -- 前野?
- ありがとうございました。 -- 昔の物理学生?
P278[演習問題10-1]の解答(27w)の(E.155)について †
昔の物理学生? (2016-08-19 (金) 14:49:45)
(E.154)から(E.155)への計算プロセスについて確認させて下さい。
以下の様な計算プロセスで宜しいでしょうか？
1.点変換を応用して、(E.154)の直交座標から極座標の変換式の微分を全てドット付きのものにする。
2.ラグランジアンLにドット付きの(E.154)を適用すると、直交座標の一般化運動量から極座標の一般化運動量の変換式(E.155)になる。
- はい、そういうことです。 -- 前野?
- ありがとうございます。助かりました。 -- 昔の物理学生?
正準変換の変数の選択 †
昔の物理学生? (2016-08-19 (金) 08:55:50)
例えば、P274の慣性系から回転系では正準変換の変数をP262の(2)のq,Pとしてますが、この例に限らず一般に、正準変換の変数を選択する際に、P262の(1)から(4)のどれにするか、に関しては、(1)から(4)を試してみてうまく機能しそうなものを選ぶのか、それとも、色々と経験を積んでみてこんな問題ならばこの変数だ、のように分かるようになるのか、それとも何かコツがあるのか、どうなのでしょうか。
- いくつかの例が書いてありますが、多くの場合は例のようなやり方を踏襲すればできます。「こうやったらできる」というアルゴリズム的なものはありません（あるのかもしれませんが私は知りません）。 -- 前野?
- 理解できました。お忙しいところ、有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P275(10.123)について †
昔の物理学生? (2016-08-18 (木) 14:33:22)
左の式の右辺第2項は-ω^2X
右の式の右辺第2項は-ω^2Y
となっておりますが、共に符号はマイナスではなくプラス、即ち
左の式の右辺第2項はω^2X
右の式の右辺第2項はω^2Y
ではないかと思いますが如何でしょうか？
- 確かにそうです。単振動のときを思い浮かべてしまって間違えたかな。訂正します。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P272[問い10-11]の解答P366～367について †
昔の物理学生? (2016-08-17 (水) 21:01:50)
2点あります。
1.
(D.115)の下の行に
「(q.p)と(Q,P)の立場をそっくり入れ替えた計算を行えば、-∂ql/∂Pk=∂Qk/∂plという式も作れる」とありますが、これでは(D.115)の式と同じ式です。P367で示された二つの式を入れても、P271の(10.104)の4つのうち1つ目の式以外の3つしか証明できていません。
1つ目の式はどう証明すれば良いのでしょうか。
2.P367の2行目から3行目への変形の際に(D.112)で変形したとなっていますが、これは(D.113)ではないかと思いますが、如何でしょうか？
- おっしゃる通りです。これは大失敗で、確かにこの計算はダメですね。やり方ですが、(D.116)と同様に、$\def\allc#1{\{\!#1 \!\}}P_i(\allc{q_\ast},\allc{p_\ast})$を$q_j$で微分するところから始めます。 -- 前野?
\begin{equation}{\partial P_i(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast(\allc{q_\ast},\allc{p_\ast})})\over \partial q_j}=\underbrace{{\partial P_i(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial q_j}}_{第1引数の微分}+\sum_k \underbrace{{\partial P_i(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial Q_k}}_{第2引数の微分}{\partial Q_k(\allc{q_\ast},\allc{p_\ast})\over \partial q_j}
\end{equation}
となる。この後は(D.117)と同様の計算を続ける。
\begin{equation}
\begin{array}{rll}
=&{\partial P_i(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial q_j}+\sum_k {\partial P_k(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial Q_i}
{\partial Q_k(\allc{q_\ast},\allc{p_\ast})\over \partial q_j} &{(D.113)を使う}\\
=&{\partial P_i(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial q_j}-\sum_{k,\ell}{\partial P_k(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial q_\ell}{\partial q_\ell(\allc{Q_\ast},\allc{P_\ast})\over \partial Q_i}{\partial Q_k(\allc{q_\ast},\allc{p_\ast})\over \partial q_j}&{(D.18)を使う}\\
=&-{\partial p_j(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial Q_i}+\sum_{k,\ell}{\partial p_\ell(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial Q_k}{\partial q_\ell(\allc{Q_\ast},\allc{P_\ast})\over \partial Q_i}{\partial Q_k(\allc{q_\ast},\allc{p_\ast})\over \partial q_j}&\\ \end{array}
\end{equation}
となるが、ここで(D.21)より、
\begin{equation}- {\partial p_\ell(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial q_j} =\sum_k{\partial p_\ell(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial Q_k}{\partial Q_k(\allc{q_\ast},\allc{p_\ast})\over \partial q_j}
\end{equation}
を使うと、
\begin{equation}
\begin{array}{rll}
=&-{\partial p_j(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial Q_i}-\sum_{\ell}{\partial p_\ell(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial q_j} {\partial q_\ell(\allc{Q_\ast},\allc{P_\ast})\over \partial Q_i}&{(D.19)を使う} \\
=&-{\partial p_j(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial Q_i}-\sum_{\ell}{\partial p_j(\allc{q_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial q_\ell} {\partial q_\ell(\allc{Q_\ast},\allc{P_\ast})\over \partial Q_i}\\
=&-{\partial p_j(\allc{P_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial Q_i}
\end{array}
\end{equation}
となって、
\begin{equation}
{\partial P_i(\allc{q_\ast},\allc{p_\ast})\over \partial q_j}=-{\partial p_j(\allc{P_\ast},\allc{Q_\ast})\over \partial Q_i}
\end{equation}
が示される。
- ご懇切なご指導有難うございます。計算したところ、同じ計算結果になりました。 -- 昔の物理学生?
- 2.P367の2行目から3行目への変形の際に(D.112)で変形したとなっていますが、これは(D.113)ではないかと思いますが、如何でしょうか？の方についてもお願い致します。 -- 昔の物理学生?
- そちらも、おっしゃる通りです。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P271[問い10-10]の解答P365(D.110)について †
昔の物理学生? (2016-08-16 (火) 21:57:08)
右辺の三行目は
(pθ/r^2)sinθ -prsinθ-pθ(cosθ/r) cosθ -sinθ/r
であると思いますが、如何でしょうか？
それに伴い、P366(D111)も符号が変わります。
さもなくば、(D.111)の計算結果は1にはなりません。
ご確認頂きたくお願い致します。
- はい、その通りです。すみません。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P267の「慣性系から加速系へ」について †
昔の物理学生? (2016-08-15 (月) 19:59:12)
ここではq,Pを独立変数としていることは文脈から分かります。
このように「何かを独立変数とする」といちいち明言せずに話を進めていくのは、一般的なことなのでしょうか。
- 明示しなくても文脈でわかるときには文脈に任せるということはよくあります。 -- 前野?
- 理解できました。お忙しいところ、有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P234(9.86)について †
昔の物理学生? (2016-08-15 (月) 13:59:59)
左辺の第1項と第2項が逆、即ち、
{{A,Lx},Ly}-{{A,Ly},Lx}
ではないかと思いますが如何でしょうか？
これであれば、その下の本文「x軸回りに回転してから～という結果が出る。」と内容が一致します。
- 確かにそうですね。xとyが逆です。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P365(D.106)について †
昔の物理学生? (2016-08-14 (日) 15:09:06)
第3版でP365(D.106)四行目の第二項が(-∂p)/∂tとなっています。
しかし、(2014-07-27 (日) 07:24:37)たにたさんの質問からの前野先生のお答えには(∂p)/∂tとなっています。
私が計算してもやはりマイナスはなく、(∂p)/∂tとなります。
これはどちらなのでしょうか？
- 修正漏れだと思われます。${\partial p\over\partial t}$が正しいです。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P264の下から5行目について †
昔の物理学生? (2016-08-13 (土) 11:51:31)
「Gはq、pではなく新しい変数と古い変数を混ぜた形で表現しなくてはいけない」とあります。
しかし、P257上から5行目には「Gはq、p、Q、Pのどの変数で表してもよい」とあり、更にはP262上から5行目には「q、Qの関数であるG(q,Q)がいわば「基本形」で」とあります。
これら三つの表現は相互に矛盾しているように感じますが、これらは矛盾ではなく整合性がとれているのでしょうか。
もし整合性がとれているとすれば、どのように整合性がとれているのでしょうか。
ご指導お願い致します。
- これは読み進めていくうちにGに関する情報が増えていった結果、と受け止めて下さい。単に関数として表現するだけならどんな変数でもいいが、正準変換として書き下すときのことを考えると新しい変数と古い変数を混ぜた方がいいとわかり、さらにその中でもG(q,Q)が一番単純な形になることがわかります。 -- 前野?
- なるほど、大変よく理解できました。早々のご回答有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P260のルジャンドル変換について †
昔の物理学生? (2016-08-11 (木) 10:28:37)
下から3行目で「変数をq,Qからq,Pに変えるのだからルジャンドル変換」してG(q,Q)=W(q,P)-PQとなっています。
しかし、P333(B.66)を参照するとG(q,Q)-PQ=W(q,P)が出て来ます。
これからpdq=PdQ+dW(q,P)+PdQ+QdPとなります。
ここで「あれっ、これではPdQが消えない。では、GもWも任意だから、両方共マイナスの符号を付けて-G(q,Q)-PQ=-W(q,P)としておこう。そうすると(10.65)になってPdQが消える。では、最初からG(q,Q)=W(q,P)-PQと変換したことにしておこう。」と考えるとやっとP260下から二行目の「G(q,Q)=W(q,P)-PQを代入しておけば」ということが分かります。
このように回りくどく考えなくても、最初から、いきなりルジャンドル変換でG(q,Q)=W(q,P)-PQと思いつくにはどうすれば良いのでしょうか？
- 定義通りのルジャンドル変換は、$W(q,P)=G(q,Q)-Q{\partial G(q,Q)\over \partial Q}$または$G(q,Q)=W(q,P)-P{\partial W(q,P)\over \partial P}$です。常にこの形（ある変数×「ある変数での微分」を引く）で書いておけば、ちゃんとルジャンドル変換になるはずです。 -- 前野?
- この場合、qは両辺に共通なので無視しておくと、G(Q)=W(P)-P(∂W(P)/∂P)は、座標(P,W(P))から座標(∂W(P)/∂P,G(Q))へのルジャンドル変換である、という解釈で宜しいでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- ルジャンドル変換はこの形になります（ラグランジアン→ハミルトニアンのときは全体の符号をひっくり返しますが）。 -- 前野?
- 有難うございます。どうやらPやQの元々の物理的イメージに引っ張られて、幻惑されたようです。ルジャンドル変換の幾何的イメージも完全に理解できました。御礼申し上げあげます。 -- 昔の物理学生?
P256(10.46)について †
昔の物理学生? (2016-08-09 (火) 11:46:03)
P256(10.46)は
P=Qcotθ-(q/sinθ)
p=(Q/sinθ)-qcotθ
ではないでしょうか？
もしそうであれば、(10.47)と(10.48)も符号が変わり、(10.48)は∂G/∂Q=-P,∂G/∂q=-pとなりますが、如何でしょうか？
- (10.46)の符号は御指摘の通りです。(10.48)ですが、最終結果は${\partial G\over \partial Q}=-P,{\partial G\over\partial q}=p$になります。サポートページの方に正しい式を入れました。 -- 前野?
- 確かに∂G/∂q=pでした。ありがとうございました。 -- 昔の物理学生?
P204(8.46)について †
昔の物理学生? (2016-08-08 (月) 16:19:13)
右辺第一項は、
- εxcotθsinφ
ではなく、
- εxcotθcosφ
ではないでしょうか？
- 両式とも前にマイナスを付けたのですが、表示されていません。 -- 昔の物理学生?
- すいません、その通りです。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P252の10.1.5 「ポアッソン括弧を使って無限小正準変換を記述する」について †
昔の物理学生? (2016-08-07 (日) 11:49:29)
(10.30)、(10.31)と(10.32)では{Q,P}とQが先に来ていますが、(10.28)、(10.29),
(10.33)と(10.34)のすべての式においてはPが先に来ています。この点に関して、何か特別な意味があるのか、それとも特に意味は無いのか、どちらなのでしょうか？
- (10.28),(10.29)などでは生成子が後ろに来るという形になってます。 -- 前野?
- すいません。生成子についてではなく、たとえば、(10.29)であれば、P=p+ε{p,G},Q=q+ε{q,G}とありますが、Q=q+ε{q,G},P=p+ε{p,G}という順番でないのはなぜか？ということです。形式的なことで恐縮ですが。 -- 昔の物理学生?
- 単なる習慣なのでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- それはもう、全然意味ないです。その時の気分としか言いようがない。慣習すらないです。 -- 前野?
- などほど、そうでしたか。分かりました。有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P241[演習問題9-2]の解答25w(E.151)について †
昔の物理学生? (2016-08-03 (水) 10:23:13)
「t=t0でx=0」を置いた時、「恒等的に0」も解ならば、(E.151)も解である、とありますが、「t>=0のとき、x=(1/4)(t-t0)^2、t<t0のときx=0」のように「恒等的に0」である条件を取り入れた解であれば、何でも良いということでしょうか？
- 疑問がどこにあるのかよくわからないのですが「恒等的に０」というのは「いつでも０」なので「t>=0のとき、x=(1/4)(t-t0)^2、t<t0のときx=0」は「恒等的に０」でも、それを取り入れた解ともいえません。微分方程式の解である条件は「代入したら成り立つこと」であって「恒等的に０である条件を取り入れた（←すいません、この文章の意味が私にはわかりません）ら解」というわけでもありません。解という意味では代入して成り立ってればなんでも解です。解はたくさんある（一意的でない）ということになります。 -- 前野?
- 「恒等的に０」ならば、なぜt>t0 -- 昔の物理学生?
- 「恒等的に０」ならば、なぜt>t0の場合に、x=(1/4)(t-t0)^2になるのでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- つまり、「恒等的に０」ならば、すべてのxについて0ではないのか？ということです。 -- 昔の物理学生?
- いや、だから「恒等的に０な解」もあれば「恒等的に０でない解」もある、ということです。「恒等的に０」という解はもちろん、どこでもかしこでも０です。 -- 前野?
- 整理しますが、(E.151)は「恒等的に０ではない解」です。そして「恒等的に０」も解です。つまり解は一意的ではない、というのが結論です。 -- 前野?
- であれば、(E.150)は解である、また「恒等的に０」も解である、よって、解は一意的ではない、ということでもよいのでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- いいですね。その場合、(E.150)も「恒等的に0」も「$t=t_0$で$x=0$」という同じ境界条件を満たすのに二つとも解だという点が大事です。これを「一意的ではない」というわけです。 -- 前野?
- 大変良く理解できました。お忙しいところ、有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P241[演習問題9-1]の解答25w(E.149)について †
昔の物理学生? (2016-08-03 (水) 09:07:12)
dPr/dtの右辺第1項はPθ/(mr^3)ではないでしょうか？
- ああ、確かにｍが抜けてます。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P241のグラフについて †
昔の物理学生? (2016-08-02 (火) 11:04:06)
このグラフには(9.109)のMgHcos?θのグラフが描かれていますが、θ=0でMgHcos?θ=1、θ=πでMghcosθ=-1となっています。これはθ=0でMgHcos?θ=MgH、θ=πでMghcosθ=-MgHではないかと考えますが、如何でしょうか？
- ああ、これはグラフの縦軸の単位をちゃんと設定してないのですね。次の版で修正しますが、MgH=1の単位でグラフが描かれていると思ってください。 -- 前野?
- 分かりました。ありがとうございます。 -- 昔の物理学生?
P238の(9.97)について †
昔の物理学生? (2016-07-29 (金) 14:07:34)
最後の行で
{IyyWy?,IxxWx?}が-IzzWz?
{IzzWz?,IxxWx?}がIyyWy?
となっておりますが、
{IyyWy?,IxxWx?}がIzzWz?
{IzzWz?,IxxWx?}が-IyyWy?
ではないでしょうか。
いずれにせよゼロになりますが。
- 少しおかしい表示になってますが、最後の行の︸の下の符号が逆になっているのでは？ということです。 -- 昔の物理学生?
- ああ、確かに逆です、すみません。 -- 前野?
- ありがとうございました。 -- 昔の物理学生?
P237の注記✝30について †
昔の物理学生? (2016-07-28 (木) 11:16:46)
(θ^l)(φ^m)(ψ^n)(ドットは省略)この演算子が掛かると、元のl+m+n倍になる、ということは実際に計算を実行すると理解できます。
しかし、ラグランジアンが例えば
(θ^l)(φ^m)(ψ^n)+4θ^2(ドットは省略)
のように少し形が変わると、この演算子を掛けても、4θ^2の項が邪魔をして、元のl+m+n倍になりません。
これをどう考えれば宜しいでしょうか？
ご教示お願い致します。
- そりゃ単に「そういう場合はこの手は使えない」というだけのことです。ここで考えていたのはみな$\dot \theta,\dot\phi,\dot\psi$の２次だけを含むラグランジアンだったので運良く計算が楽だった、ということになります。 -- 前野?
- ということは、運良く計算が楽でない場合には、勿論楽に計算できる場合もあるけれども、原則的にはこつこつ計算するしかないということでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- どんなときでも計算ってそんなもんだと思いますが。 -- 前野?
- 理解できました。お忙しいところ、有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P231のH=p^2/2mの図について †
昔の物理学生? (2016-07-26 (火) 09:15:53)
3点ご質問致します。
1.この図においては、曲面が最も低い位置がp=0であるという解釈で宜しいでしょうか？
2.この曲面上の左側をqが大きくなる方向に矢印がありますが、これは「時間が経過すると、Hは変わらないまま、qが大きくなる方向(gradHと垂直な方向）に進む」という解釈で宜しいでしょうか？
3.この曲面上の右側をqが小さくなる方向に矢印がありますが、これは、「{*,H}=(p/m)(∂*/∂q)なので、pがマイナスの範囲では、時間が経過すると、Hは変わらないまま、qが小さくなる方向(gradHと垂直な方向）に進む」という解釈で宜しいでしょうか？
- はい、その通りです。図にはp=0の線を描いておけばよかったかな。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。文脈で分かるのですが、p=0が描かれていれば、より分かりやすかったように思います。 -- 昔の物理学生?
P190[演習問題7-4]の解答(21w)の(E.127)について †
昔の物理学生? (2016-07-22 (金) 17:58:03)
(E.127)の第3項のsinの前にφドットが抜けていると思うのですが、如何でしょうか。
- 抜けてますね。すみません。連動して続きも変わります。後で修正版をアップします。 -- 前野?
- ご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
- 念のためお伝え致しますと、私の計算では、(E.130)左辺第3項のC1の後と(E.131)の第2項のC1の後にφドットが入っています。 -- 昔の物理学生?
P223 9.4 リヴィブルの定理 について †
昔の物理学生? (2016-07-22 (金) 09:31:04)
三点ご質問致します。
1.P223下から5行目に「ほぼ同時刻に」とありますが、「ほぼ」とはどういう意味なのでしょうか？完全に同時刻ではないとすれば、どの程度ずれるのでしょうか？
2.P225(9.52)において縦横の真ん中に仕切りのためのものらしき直線が十文字に描かれていますが、この直線には、第一象限∂pi/∂qi（以下同様）のように見やすく区切る以上の意味はあるのでしょうか？
3.P225(9.54)では、各象限に一つづつしか要素が描かれていませんが、実際には(9.52)のように全部で4✕n^2個の要素があるという解釈で正しいでしょうか？
- 失礼しました。リウヴィルの定理についてです。 -- 昔の物理学生?
- 第一の質問についてはmもともとδp、δqの幅に分布しているものですから、その分布の幅の程度、到着にも幅があります。 -- 前野?
- 第二の質問については、その通り、区切りです。 -- 前野?
- 第三の質問についてもおっしゃる通りです、i,jという添字が付いていますが、この添字のとる範囲全部がはいってます。 -- 前野?
- 理解できました。お忙しいところ、有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P170(7.7)について †
昔の物理学生? (2016-07-20 (水) 08:57:59)
(7.7)右辺の二つ目のカッコの中のXはXjではないでしょうか。
- すいません、確かに$\sum_j (X^{(j)})^2$ですね。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
- 失礼しました。そうではなくXj(i)ではないでしょうか、ということです。 -- 昔の物理学生?
- ああ、ほんとだ。これは私がボケてますね。 -- 前野?
- ご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
剛体の回転運動について †
ちゃまろ? (2016-07-14 (木) 15:13:59)
前野先生の本では、重心を中心に剛体が回転している場合を書いていますが、もし重心xGとは別の点x0を中心にして回転している場合は、x0から見た質点の速度を、重心から見た速度に書き直せばいいのでしょうか？
- すいません、ちょっと返信遅れました。重心運動と回転運動を分離して考える方法については169ページの終わり当たりから説明してあるので、そこを参照してください。 -- 前野?
- 重心からずれた位置での運動の場合、「平行軸の定理」（本書には載せてませんが、重心を中心とした慣性モーメントに、（質量）×（中心軸からの距離）${}^2$を足すことで違う軸での慣性モーメントが得られます）などを使ってその位置を中心とした慣性モーメントを考えるのが普通だと思います。 -- 前野?
- ご回答ありがとうございます。では、x0から見た質点の速度を、重心から見た速度に書き直すという方法では無理なのでしょうか？ -- ちゃまろ?
- 169ページに書いてあるのがまさにその「速度を書き直す」をラグランジアンの段階でやっているのですが。 -- 前野?
- p.169では重心周りで回転している場合の話ですよね？ あ、どこを中心に回っていようが重心周りでの回転とみなした話をここではしているのですか？ -- ちゃまろ?
P207(9.4)と(9.5)について †
昔の物理学生? (2016-07-13 (水) 13:39:57)
P207(9.4)と(9.5)でqとpが{q*}となっていたり{q★}となっていたりします。
これはそれぞれの座標の個数が違うということだと思いますが、このケースでなぜ座標の個数を変える必要があるのでしょうか？
- 違う種類の足だから記号を変えているだけで、個数は変えていません。 -- 前野?
- そうでしたか。理解しました。有難うございます。 -- 昔の物理学生?
p.287について †
らい? (2016-07-13 (水) 13:16:52)
p.287の(11.26)式についてなのですが、仮にこの両辺に1/ωをかけると
(1/2mω)(dW/dx)^2+(1/2ω)kx^2=E/ω
となりますが、このE/ωを新しい運動量αとしても問題ないのでしょうか？
そうすると、右辺は作用角変数となりますが、、、
- それでも問題はないです。 -- 前野?
- お返事いただきありがとうございます。1/ωを両辺にかけて計算したのですが正準方程式dQ/dt=0にならない(Q=θ+α−tとでた)と思うのですが、、 --
- その場合、後ろのtはωtになりませんか？ 次元からしてそうでないとおかしいですが。 -- 前野?
- 私もそう考えたのですが、うまくいきませんでした。自分の計算が間違えているはずなのですが、どこが間違えているのかぎよく分からないんです。 --
- そう言われても推測するしかありませんが、$Q={\partial \bar S\over\partial \alpha}$が$Q$の定義で、今は$\alpha={E\over\omega}$にするのだから、$Q={\partial \bar S\over \partial E}{\mathrm dE\over\mathrm d\alpha}$となります。$\bar S$に含まれる$-Et$の部分を微分するときに${\mathrm dE\over\mathrm d\alpha}=\omega$を忘れているとか？ -- 前野?
三体連成振動(p.155)について †
ちゃまろ? (2016-07-11 (月) 23:47:55)
X1で表されるモードは3つのおもりがすべて同じ方向に振動するとありますが、これはなぜ言えるのですか？ x1,x2,x3がすべて同符号という条件がなければ言えないのではないですか？
- $X_1$で表される振動において$x_1,x_2,x_3$は同符号です。$X_i$と$x_i$の関係は155ページの上の方にあるように行列${\bf T}$を掛けるという関係にあります。 -- 前野?
- $\left(\begin{array}{c}X_1\\X_2\\X_3\end{array}\right)={\bf T}\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)$と、（${\bf T}$は直交行列なので）$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)={\bf T}^t \left(\begin{array}{c}X_1\\X_2\\X_3\end{array}\right)$が成立ちます。これを使って確認してください（このあたりの計算は２体連成の場合と同様です）。 -- 前野?
- わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
P202の8.5角運動量保存則の4行目から5行目について †
昔の物理学生? (2016-07-11 (月) 14:48:57)
P202の8.5角運動量保存則の4行目から5行目で「軸方向を向く微小ベクトルをεとして」とありますが、文脈からこのεは定ベクトルということで宜しいでしょうか？
- 軸が動きまわる状況を考えなくてはいけないのでないかぎり、定ベクトルです（通常、軸は動かしません）。 -- 前野?
- 分かりました。ありがとうございます。 -- 昔の物理学生?
P203の1行目 †
昔の物理学生? (2016-07-11 (月) 14:35:02)
ベクトルの公式によりの下の→P336の(C.12)とありますが、(C.9)ではないでしょうか？
- ほんとだ、そうですね。すいません間違いです。 -- 前野?
- ご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P199について †
昔の物理学生? (2016-07-10 (日) 12:34:31)
「この場合、到着する地点」にいる。」とありますが、εだけ時間経過する前にはどこにいて、εだけ時間経過したらどこにいるのかをP199の図で示して頂けないでしょうか？また、その場合のδx(tf)とδx(tf+ε）がどの部分を指しているのかをその図で示して頂けないでしょうか？
- まず、εは時間経過ではありません。「到着時刻のずれ」です。 -- 前野?
- 経路がずれた後でなら、$t_f+\epsilon$では到着点にいます。時刻$t_f$では、それより$\epsilon \dot x(t_f)$だけ「下」にいます。199ページの図にも書き込んであるのですが。 -- 前野?
- 図にある「傾き$\dot x(t_f)$の線」が（ずれた後の）経路だと考えてください。 -- 前野?
- ということは図の左側にある「後εだけ時間経過したら」というのは誤植だということでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- すみません言葉が足りてませんでした。εが時間経過ではないというのは二つの経路を比べるという文脈のことで、ずれた結果の方の経路だけを見ていれば時間経過でもいいです。 -- 前野?
- 最初の質問がずれたあとの経路のみを指しての意味なら、時間経過と言っていいです。 -- 前野?
- ということは、(8.24)はあくまでもずらした後の経路に関する式という解釈で宜しいでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- (8.24)はずらす前の$x(t_f)$と、ずらした後の$x(t-_f+\epsilon)+\delta x(t_f+\epsilon)$が等しいという式です。 -- 前野?
- 到着時刻だけずらしたのだから、ずらす前の到着点x(tf)とずらした後の到着点x(tf+ε）は同じということにはならないのでしょうか。 -- 昔の物理学生?
- ええ、その通りで、だから同じだね、というのが(8.24)です。 -- 前野?
- ずらした後の関数はx+δxです。 -- 前野?
- 何度も恐縮です。ずらした後の関数がx+δxなのは分かります。しかし、そのδxがtf+εではゼロにならずにδx(tf+ε）という形で残っている理由が分かりません。ゼロだけれども、後々の計算のために残しておくということなのでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- δxの意味を誤解されているようです。δxは「同じ時刻で、ずらす前とずらした後の差」です。ですから時刻$t_f+\epsilon$において0ではありません。 -- 前野?
- ということは、(8.24)の右辺の第一項x(tf+ε）は、（図には描かれていないが）ずらす前の経路の時点tf+εにおける到達点であり、そのx(tf+ε）からδx(tf+ε)だけずらした地点x(tf+ε）+δx(tf+ε)は、ずらす前のx(tf)と同じになるということでしょうか。 -- 昔の物理学生?
- ええそういうことです。関数の変化、変分を見るときは引数を揃えて比較します。 -- 前野?
- やっと分かりました。貴重なお時間を長時間頂戴し、有難うございます。どうやら図のεの矢印の方向に幻惑されていたようです。 -- 昔の物理学生?
P195[問い8-1]のヒントP348について †
昔の物理学生? (2016-07-09 (土) 11:56:23)
P195[問い8-1]のヒントP348の「Lを(ti,tf)という範囲」から「-mgε(tf-ti)となる。」は、「P193(8.6)の右辺のカッコ内が-mgεであるので計算すると-mgε(tf-ti)となる」という解釈で宜しいでしょうか？
- はい、そういう解釈です。 -- 前野?
- ありがとうございました。 -- 昔の物理学生?
演習問題7-1の解答18wについて †
昔の物理学生? (2016-07-08 (金) 11:04:13)
楕円体のIzzを計算する際にρが抜けているのではないでしょうか。
- 抜けてますね、すみません。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P183(7.51)について †
昔の物理学生? (2016-07-07 (木) 10:55:42)
P183(7.51)について3点ご質問致します。
第一に、波括弧の下に∂L/∂（φドット）とありますが、このLはLzではないでしょうか。
第二に、-d/dtのカッコ内の式、即ち(7.50)を時間微分したら0になるのではなく、カッコ内は(7.50)をφドットで微分したものですから、カッコ内がそもそも0になるのではないでしょうか？
第三に、Lzが保存量であることを示すには、dL/dt=0でなければならないはずですが、なぜ(7.51)を示す必要があるのでしょうか。
- 失礼しました。「Lzが保存量であることを示すには、dL/dt=0でなければならないはずですが」ではなく、「Lzが保存量であることを示すには、dLz/dt=0でなければならないはずですが」です。 -- 昔の物理学生?
- (7.51)の｝の下は${\partial L\over \partial \dot\phi}$でいいです。これはつまり「ラグランジアンの$\dot \phi$微分」です。「ラグランジアンの$\phi$微分」すなわち${\partial L\over\partial \phi}$は０なので、オイラー・ラグランジュ方程式は$-{\mathrm d\over \mathrm dt}\left({\partial L\over\partial \dot\phi}\right)=0$になります。 -- 前野?
- そしてこの場合、${\partial L\over\partial \dot\phi}=L_z$なので、この式はすなわち${\mathrm d L_z\over\mathrm dt}=0$です。 -- 前野?
- なるほど、このLはP180(7.35)のTのことですか。理解できました。有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P173主軸変換について †
昔の物理学生? (2016-07-06 (水) 09:57:37)
主軸変換の目的は、「基底ベクトル」を「回転運動のエネルギーを慣性テンソルのみで表現できる新たな基底ベクトル」に変換することである、という解釈で宜しいでしょうか？
- 結局は「便利な座標を選ぶ」ってことなので、その理解でOKです。 -- 前野?
- 有難うございます。理解できました。 -- 昔の物理学生?
お答えいただきありがとうございます †
(2016-07-04 (月) 01:11:07)
p,qを変数として見る立場の場合のH＝（1/2m)P^2は大文字のPですか？
何故大文字のPなのでしょうか？何度も申し訳ありません。
- すいません、ミスをしてしまいました。下の質問についてです、申し訳ありません。 -- とむそん?
- ああ、この場合はPとｐは見方が違うだけで量としては同じなので、$H={1\over 2m}p^2$と書いても同じことです（そういう意味では$p$を使うべきだったんですが、うっかりしてました。 -- 前野?
無題 †
とむそん? (2016-07-01 (金) 15:37:03)
P281のEQ(11.7)について質問なのですが、
Q=x-(P/m)t(すいません、添え字iは割愛させていただきます）ですが、これでは
dQ/dt=0にはならないのではないのでしょうか。QはQ(P,x,t)＝constである定値関数という解釈でよろしいのでしょうか？すいません、ここがちょっとしっくりこなくて、、
- P,Qを変数としてみる立場ではH=0なのだから、Qは時間発展せず、一定です。p,qを変数としてみる立場だと、その場合は$H={1\over 2m}P^2$だから${\mathrm dx\over \mathrm dt}={P\over m}$なので$x={P\over m}t+x_0$となって、やはり$Q=x-{P\over m}t$は一定です。つまり、どっちでも一定になります。 -- 前野?
7.3.1のP188の最後の段について †
昔の物理学生? (2016-07-01 (金) 11:03:11)
「LYが正の範囲で変化しつつ、LY、LZは」とありますが、「LYが正の範囲で変化しつつ、LX、LZは」ではないでしょうか。
- すいません、おっしゃる通りです。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P153の(6.60)について †
昔の物理学生? (2016-06-29 (水) 10:23:13)
(6.60)で「θ1:θ2=√m:√Mで」という部分について質問です。
以下の様な理解で正しいかどうかご教示お願いします。
この「θ1:θ2」は、P152の図において定義し(6.50)で使用されたθ1:θ2とは異なる、即ち、固有値λ1、λ2に対応した二つの固有ベクトルの成分である。その二つの固有ベクトルは、二つの基準モードに対応し、それぞれの基準モードは固有ベクトルに比例する。
- 更に考えました。 第6章で一貫して一貫して行っていることは、ラグランジアンをP140の囲みにあるラグランジアンの集合体に分解することである。具体的には、 分解後のラグランジアンは単振動の運動方程式として簡単に解くことができ、その解は分解前のラグランジアンの特解である。 固有値のルートが特解の角速度に相当する。 固有ベクトルによって作られた行列Tを使って分解後の座標を分解前の座標に変換すると、分解前の座標の一般解は特解を使って表現できる。 6.2.4の二重振り子の問題では、(6.53)によって単振動の問題に近似した。 (6.54)のMとTとTの転置行列を使って計算すると、 (1,1)成分は(Mm-√M√m^3)l^2、(2,2)成分は(Mm+√M√m^3)l^2の対角行列となるので、それぞれの成分は定数であり、単位行列にすることができる。 従って、ベクトルX=(φ1,φ2),dx1/dt=v1,dx2=/dt=v2とすると、分解後のラグランジアンは(6.49)と同様に L=(1/2)(v1^2+v2^2)-(1/2)(λ1X1^2+λX2^2) となる。 このラグランジアンからオイラー・ラグランジュ方程式によってφ1,φ2を使った単振動の運動方程式が二本出て、そこから特解が求められる。 φ1=Asin(ω1t+α1) φ2=Asin(ω2t+α1) ただし、ω1とω2は(6.60)のω。 x=(θ1,θ2)とすると、特解φ1, φ2とx=TXによって一般解 θ1= -√mAsin(ω1t+α1)+ √mAsin(ω2t+α1) θ1= √MAsin(ω1t+α1)+ √MAsin(ω2t+α1) となる。 -- 昔の物理学生?
- 最初の質問の「$\theta_1:\theta_2$とは異なる」という意味がよくわからなかったのですが、「実際に揺れる時の角度は二つの基準モードの線形結合になるから、この角度そのものではない」という意味なら、その通りです（少し上に書いてあるように、運動は二つの基準モードの合成です）。 -- 前野?
- 第２の質問については、解釈はその通りです。ただ愛想の式の一般解に二つのAが出ていますが、これは違う文字にしておくべきです。 -- 前野?
- お忙しいところ有難うございます。θ1:θ2の件については前野先生の表現された通りです。質問を正確に表現するのは難しいことだと痛感しております。φ1とφ2のsinの前の定数Aについて訂正有難うございます。何度も読み返したつもりですが、目が字面を追っかけているだけになっていました。失礼致しました。 -- 昔の物理学生?
P141（6.8）について †
昔の物理学生? (2016-06-28 (火) 09:32:18)
d/dt=D,U"(0)=k,x-x0=Xとして(6.7)を解くと、
(D^2+(k/m))X=0
D=±√(-k/m)
変数分離で積分すると
X=Cexp(±√(-k/m)
となります。
従って、(6.8)にはルートの中に「/m」が抜けているのではないかと思うのですが、私の計算違いでしょうか？
- 確かに抜けてます。すみません。 -- 前野?
- とんでもありません。早々のご対応有難うございます。それに、誤植かどうか真剣に確認しなければならないので、頭に定着します。有難うございます。 -- 昔の物理学生?
p194の式(8.9)について †
じぇー? (2016-06-27 (月) 13:32:04)
p194の式(8.9)について質問なのですが、δSが∂S/∂xになるのはどうしてでしょうか？
- (8.9)の左側の式の左辺を$\vec\epsilon\cdot{\partial \bar S\over\partial \vec x_f}$と解釈して、$\vec\epsilon$を外してます。 -- 前野?
時間に依存しない正準変換について †
タナカ? (2016-06-26 (日) 18:00:33)
質問です。
p244の'正準方程式が変化しないこと'の欄の式は、変換前のハミルトニアンH(q,p)と変換後のハミルトニアンK(Q,P)が等しいと考えた上での式であり、p255の作用の式においてもH(q,p)=K(Q,P)となっていますが、時間に依存しない正準変換においてH(q,p)=K(Q,P)となる理由はどのようなものなのでしょうか？
- そのあたりの説明がちょっと少なかったかもしれません。元々「物理を変えずに変数を変える」話をしているので、作用（今の場合、$\int (p\dot q-H)\mathrm dt$）を変えない（正確には、表面項になる$\int {\mathrm dG\over \mathrm dt}\mathrm dt$以外は変えない）ものを最初から扱っています。だから$H$も（$G$が陽に$t$に依存しないなら）変わらないわけです。 -- 前野?
- つまりは、「物理が変わらない」ことは「作用が実質的に変わらない」ことを意味しているので、$H$も変わらない、と考えて話を進めている、ということです。 -- 前野?
- なるほど、合点がいきました。ある意味、時間に依存する変換の方でも包括的に表せているわけですか。従属変数がtを含まない独立変数のみで表されるとき、p262の表から考えて、W(かG)はtに陽には依存sezu, -- タナカ?
- 途中で送信してしまいました。－ーーには依存せず、結果H=Kになると。スッキリしました。ご対応有難うございます。 --
P58について †
昔の物理学生? (2016-06-21 (火) 22:02:29)
P58の8行目「軸e軸を周りに」は「軸e軸の周りに」、下から5行目の「つまり、xに」は「つまり、xi」にではないでしょうか。
- すいません。確かにその方がいいですね。 -- 前野?
- ご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
p88について †
サクラ? (2016-06-20 (月) 10:51:48)
質問です。
p88に｢-∂/∂x(t)(なにか)•δx(t)=0という式は、考えたい範囲の任意の時刻tに対して成立しなくてはいけない。つまりtに定義域内のどんな数字を代入しても成り立つべきである。｣とあるのですが、tに数字(例えば、t_1)を代入する際に、(なにか)の中のtにもその数字を代入するのでしょうか？
- 「ｔに数字を代入する」と言いますが、この「なにか」は$x(t_1),x(t_2),\cdots,x(t_N)$全ての関数で、変数としてのｔはすでにありません。 -- 前野?
- つまり微分する前の「なにか」にはあらゆる時刻の$x(t)$が既に（代入しなくても）含まれています（結果を見てもそうなってますね）。微分する方の$x(t)$は、どこか一つの時刻を選ぶので、$t=t_i$と代入します。 -- 前野?
- 回答ありがとうございました。スッキリしました。tが変数だと誤解していました。 -- サクラ?
P162の(6.87)の2行下の文章について †
昔の物理学生? (2016-06-19 (日) 18:05:35)
P162の(6.87)の2行下に「各々の点が振幅Cpsin(pπx/l)」と唐突に出て来ますが、この振幅Cpsin(pπx/l)は、3ページ先のP165の(6.96)のΣの次にあるCpsin(pπx/l)であるという解釈で宜しいでしょうか？
- 6.3.3がP161の段階でラグランジアンと角振動数までしか求められておらず、ynの一般解が求められていないことから、P161とP162の間に元々ynの一般解を求めるページが入るはずではないでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- 確かに$C_p$の説明がないのは唐突でしたね。 -- 前野?
- (6.70)の段階で連続的でない場合の$y_n$は求めてあって（この段階では予想ですがその後で確認した）、$\sin {p\pi \over \ell}x$というのは、(6.70)の$n$という変数を$x$に翻訳したもの、ということになります。 -- 前野?
- 具体的には、(6.70)で${n\over N+1}$であったものを${x\over \ell}$に置き換えたものになってます。これは「考えている位置は全体の何倍のところか」を表す数字として対応しているわけです。確かにこの説明はもうちょっとつけておいた方が良かったですね。 -- 前野?
- 「(6.75)のnという変数」とありますが、(6.75)のnとはどういうことでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- 「(6.70)ですか、失礼しました。それならば分かります。ありがとうございました。 -- 昔の物理学生?
- すいません、ミスタイプして後で直しました。 -- 前野?
P160の(6.79)について †
昔の物理学生? (2016-06-18 (土) 18:20:31)
(6.79)の対角成分(i,i)要素は4sin2(iπ/2(N+1))ではなく、4ksin2(iπ/2(N+1))というように、kが入るのではないでしょうか。もし4sin2(iπ/2(N+1))であるのならば、つまりkが入らないのならば、(6.71)の段階でKからkを外に出しておかねばならないはずです。
- すいません。sinの前にマイナスが入ります。 -- 昔の物理学生?
- そうですね。すべてkの挿入が必要です。ご指摘ありがとうございます。 -- 前野?
- 計算が合ってホッとしました。有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P162の(6.85)の下の文章について †
昔の物理学生? (2016-06-17 (金) 09:46:33)
P162の(6.85)のすぐ下に(α=pπ/(N+1)）と戻したとありますが、これはP160(6.81)のjがP159の1行目のα=pπ/(N+1)のpに相当するので、(6.81)のjをpに戻した、という意味で宜しいでしょうか？
- αを最初に定義したのは159ページなのでそこまでもどしてまs。和を取る添字なのでpと書いてもjと書いても本質はかわりません。 -- 前野?
- 理解しました。有難うございます。 -- 昔の物理学生?
p.112について †
ちゃまろ? (2016-06-16 (木) 18:50:21)
「SまたはLは不変である。」とありますが、この"または"というのはどういう意味なのでしょうか？ 「Sは不変であるが、Lが不変ではない」or「Lは不変であるが、Sが不変でない」ということでしょうか？
- 「または」はよくなかったかな。「Sは不変である、あるいはLは不変であると言い換えてもいい」という意味での「または」です。つまりともに不変です。 -- 前野?
- なるほど。わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
P161補足(6.84)の最初の2項について †
昔の物理学生? (2016-06-16 (木) 16:23:41)
連投失礼します。
「最初の2項はどちらも単位円上をぐるりと回るベクトルを一周足すことに対応していて、答えは0である。」とありますが、これはどのようなイメージなのでしょうか？大変お手数ですが、図にして頂けると助かるのですが。
#ref(): File not found: "nishuu.png" at page "「よくわかる解析力学」サポート掲示板（2016年７月まで）"
- 図のような感じです。すいません、よく見たら一周じゃなく二周ですね、これ。 -- 前野?
- これは、「原点から半径1の円上に向けて、等角度間隔で重ならないように2N+2本のベクトルが存在しする。従って、向きがπだけ違うベクトルの組がN+1あるということになる。その組ごとに2つのベクトルが打ち消し合う。従って、ゼロになる。」ということでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- ははあ、ベクトルは別に正反対の方向でなくても全体として打ち消しあえば良いわけですね。理解できました。有難うございます。 -- 昔の物理学生?
P157の6.3.3 「N個の物体が連結されている場合の振動」について †
昔の物理学生? (2016-06-16 (木) 15:46:24)
二点あります。
第一に、P158(6.69)の行列の符号が逆ではないでしょうか？これを計算すると(6.67)の第3項、第4項の前の符号がプラスになります。P148の6.2.2の「二体連成振動の行列を使った変数変換」、6.2.3の「質量が異なる場合」、6.3.1の「三体連成振動」からの論理展開を考えても、(6.69)の行列の符号は不自然です。
もし(6.69)の行列の符号が逆だとすると、(6.71)の行列の符号、(6.72),(6.73),(6.74),(6.75),(6.76),(6.79)の符号が全て逆になるのではないでしょうか。
第二に、(6.71)のynの列ベクトルの前に√(2/N+1)が抜けているのではないでしょうか。これが抜けていなければ、(6.77)の2行前にあるように√(2/N+1)をかけるまでもなく(6.77)が出ます。P161の補足で√(2/N+1)の正統性を確認するという議論の展開なので、(6.70)から(6.71)に行く時に、√(2/N+1)を一旦無視しておくということならば納得できます。
- ああ、これは私の書き方が悪いですね「位置エネルギーを行列で書けば」じゃなくて「ラグランジアンの位置エネルギーの部分」、つまり$L=T-U$の$-U$の部分、というつもりで書いてしまってます。 -- 前野?
- 第２の点についてはその通りで、ほんとは(6.70)の段階では係数をつけないでおくべきだったんですが、先回りしてつけてしまってます。 -- 前野?
- なるほど、理解致しました。ありがとうございました。 -- 昔の物理学生?
P153(6.59)について †
昔の物理学生? (2016-06-16 (木) 09:06:44)
左の固有ベクトルが（√m √M)、右の固有ベクトルが（-√m √M)となっておりますが、これは逆ではないでしょうか。即ち、左の固有ベクトルが（-√m √M)、右の固有ベクトルが（√m √M)ではないでしょうか。
- そうなると(6.60)のθ1:θ2の符号も逆になるのではないでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- (6.58)からは固有値の分母が√M-√mの場合、√M・v1+√m・v2=0となり、v1=√m,v2=√Mとなるのではないでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- 計算しなおして「合ってるなぁ」と悩んでいたので返事が遅れましたが、実は(6.58)の$\pm$が$\mp$の間違いでした。すみません。 -- 前野?
- あ、いやまてこの計算も間違いか。すみません、もう一回計算し直します。 -- 前野?
- 確認しました。途中で$\pm$の定義がおかしくなってました。固有値の方の符号が逆になっていると思ってください（細かい訂正は後でサポートページにあげます）。 -- 前野?
- 計算はおっしゃる通りです。 -- 前野?
- サポートページ拝見致しました。細かいことで失礼しました。有難うございます。 -- 昔の物理学生?
作用反作用について †
ちゃまろ? (2016-06-15 (水) 21:10:08)
p.109で、『ポテンシャルが相対座標にしかよらないことから作用反作用の法則が言える』とありますが、もし相対座標に依らないポテンシャルがあれば、そこでは作用反作用の法則は一般的には成立しないということですか？
- はい、成立しません。それは別に不思議なことではないです。たとえば重力が働く場合のラグランジアンは$L={1\over 2}mv^2-mgx$です。ですがこれはxを「地球との相対座標」と考えれば「相対座標にしかよらない」ということになります。しかしその場合「地球」も系の一部なのに、地球のラグランジアンを式に入れてないわけです。つまり「地球に働く重力の反作用」を考えてない分、作用・反作用の法則が成立しなくなります（つまりこの場合相対座標によらないポテンシャルを考えたことは、「力を及ぼし合っている地球を系から外した」ということになるわけです）。 -- 前野?
- なるほど。では、関係するすべてを考えれば、作用・反作用の法則は成立しているということですね？ 例えば、すべてを考えているのにもかかわらず、作用・反作用の法則が成立していない(ポテンシャルが相対座標に依らない)ということはないのでしょうか？ -- ちゃまろ?
- そういう系が存在すればそうなります。普通の理論でなら作用・反作用の法則が成立するようにできているはずだから、なんらかの意味で「変な理論」の場合ですが。 -- 前野?
- ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
P147[問い6-1]の解答P359について †
昔の物理学生? (2016-06-14 (火) 23:07:56)
1行めの「XRについては、」は「Xgについては、」
3行めの「Xgについては、」は「XRについては、」
ではないでしょうか。
- 確かにその通りです。御指摘ありがとうございます。 -- 前野?
- 早朝からご対応ありがとうございました。 -- 昔の物理学生?
p.104について †
ちゃまろ? (2016-06-14 (火) 17:44:56)
(4.51)(4.52)で運動エネルギーの後のマイナスはプラスではありませんか？
- また、①張力の位置エネルギーが存在しないのは、糸が弛んでしまうからでしょうか？ ②存在しないのにもかかわらず位置エネルギーのように導入できる理由としては、数式上rotF=0を満たすからでしょうか？ -- ちゃまろ?
- ああ確かに。どっちかというと（）内の引き算を逆にすべきですね。 -- 前野?
- 糸のたるみは関係ないことはないけど、糸は状況によりいろんな力を出せるので、そもそも$F(\vec x)=-{\rm grad}U(\vec x)$のように表せませんよね。 -- 前野?
- もちろん限定した（糸が常に同じ方向で同じ張力）だからこそここでは位置エネルギー（っぽいもの）を導入できるわけです。 -- 前野?
- なるほど。ありがとうございました。 -- ちゃまろ?
- ちなみに、糸の張力では、F(x⃗)=−gradU(x⃗) 書けないとありますが、このx⃗は物体の位置ベクトルでしょうか？ -- ちゃまろ?
- 糸のある部分の位置を表しているわけではありませんよね？ -- ちゃまろ?
- この場合物体のラグランジアン作っているんだから、物体の位置です。状況を限定しない限り、糸の張力は位置の関数にならないです（同じ位置でも状況により張力が違う）。 -- 前野?
P144(6.19)について †
昔の物理学生? (2016-06-14 (火) 15:47:58)
細かい話で恐縮ですが、2015-04-07 (火) 18:30:52にhiroさんによって既にご指摘されている (6.19)の右辺第２項の３の前のマイナスの符号がプラスに訂正されておりません。取り急ぎお知らせまで。
- ありがとうございます。次回の版では直すようにします。 -- 前野?
- 宜しくお願い致します。 -- 昔の物理学生?
P142の(6.11)の下の文章について †
昔の物理学生? (2016-06-14 (火) 14:26:53)
「θ=0が（U"(0)=-1<0なので）」とあります。
U=-mglcosθ、U'=mglsinθ、U"=mglcosθで、θ=0ならU'(0)=0かつU"(0)=mgl>0で、安定なつり合い点となるのならわかりますが、U"(0)=-1<0で安定なつり合い点となる理由が分かりません。ご教示お願い致します。
- ああ、ここは間違えてます。U''(0)=mglと訂正しておいてください。 -- 前野?
- 早々のご対応有難うございます。 -- 昔の物理学生?
4.2.3の補足について †
ちゃまろ? (2016-06-13 (月) 21:50:37)
速度に比例した抵抗の場合、なぜラグランジアンにそのまま組み込むことができないのですか？
数学的に無理なことはわかりますが、物理的にはどういう理由でダメなのでしょうか？
- これが、ラグランジアンが(運動エネルギー)-(位置エネルギー)で書けない例ということでしょうか？ -- ちゃまろ?
- それとも、位置エネルギーが定義できないからでしょうか？ 連投すみません。 -- ちゃまろ?
- 物理的には、抵抗力に対応する位置エネルギーが定義できないからですね。 -- 前野?
- ご回答ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
- (4.17)のようなまずい場合は別として、普通の作用では変分を取った時の表面項には微分の変分は入ってきませんよ。 -- 前野?
- あ、（4.17）では微分の変分を0ということを課すが、それ以降の議論には影響しないということですね。 -- ちゃまろ?
p.98について †
ちゃまろ? (2016-06-13 (月) 17:51:46)
表面項は端点を固定している場合、無視できると書いてありますが、 例えば表面項の中に微分のような一点だけでは決まらないものが含まれていた場合、端点を固定しても変化し得るのではありませんか？ (微分の場合は定義ができないと思うので、他の相関関数を考えた方が良さそうですが。)
- 98ページで考えている表面項は、ｘとｔの巻数で微分を含んでません。 -- 前野?
- xとtの関数であり、かつ端点と相関を持つような関数であればどうですか？ -- ちゃまろ?
- また、p.93の(4.17)での表面項には微分が入っていますが、これは無視してもよいのでしょうか？ -- ちゃまろ?
- 「端点と相関を持つ」ってどういう意味でしょう？？？ -- 前野?
- (4.17)については、確かにこの場合はちょっとまずいですね。二つの作用の等価性を言うには、端点では微分の変分も０ということにしておかないといけなくなりそうです。 -- 前野?
- 端点との相関をもつ関数というのは、例えばですが、微分ではなく、「G(t_i) = (x(t_i+Δt) － x(t_i))/(Δt) 」というものを考えると、t_iを固定していたとしても t_i+Δtの変化によって Gは変化してしまう気がします。 -- ちゃまろ?
- (4.17)についてですが、そもそも端点での微分は定義できるのでしょうか？ -- ちゃまろ?
- 「G(t_i) = (x(t_i+Δt) － x(t_i))/(Δt) 」は微分です。Δtが有限ならテイラー展開すれば無限階の微分を含んでいることになります。 -- 前野?
- 端点での微分は定義できます。いわゆる「左微分」と「右微分」のどちらか片方しか存在しないことになりますが。 -- 前野?
- なるほど。つまり、端点での微分のへんぶんも0 -- ちゃまろ?
- すみません、途中で挿入されてしまいました。 前野先生の本での作用の導出を考えると、端点での微分の変分も0という条件を課さないと、運動方程式は出てきませんよね？(変な項が残ってしまう。) だから、微分の変分も0（端点付近での経路の変化は二次以上のオーダー）という条件は常に課せられていると考えてよいのでしょうか？ -- ちゃまろ?
- 本にも書いてありますが、端点の変分を０にする理由は、「そうしないと運動が決まらないから」です。まず端点を決めて「じゃあ端点がこうなる運動はどんな運動？」と考えるのが最小作用の原理なので、端点を動かすのは最初からやってはいけない（今やろうとしている計算の意義に反する）ことです。 -- 前野?
- 端点を動かさないとき、必ず端点での微分の変分も0だと言えるのでしょうか？ -- ちゃまろ?
- ありがとうございました。 -- ちゃまろ?
P138演習問題5-3について †
昔の物理学生? (2016-06-13 (月) 14:38:19)
疑問点が二つあります。
第一に、本問題の拘束条件はP138の(5.102)のように微分形で書くとしたら、どのように書くのでしょうか？
第二に、解答15wの(E.90)で方程式が四本ありますが、ラグランジュ未定定数λx、λyを導入した上の二本の方程式がなぜ成立しているのでしょうか？
- 第１の疑問の答は、書いてあるとおり、(5.74)式です。記号を変えて$\delta x=R\delta \phi\cos\theta,\delta y=R\delta \phi\sin\theta$として見比べてください。 -- 前野?
- 第２の疑問については、書いてある通りです。(5.99)が条件であるときは(5.101)が成立したように、(5.102)が条件であるときは(5.103)が成立する、という理屈です。 -- 前野?
- 第一の疑問をもっと詳しく述べると、δx=Rδφcosθが1.拘束条件であること、2.微分形であることは分かりますが、(5.102)のようにΣFa,iδqi=0の形で書くと、δx-Rδφcosθ=0である、ということでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- 実際に今ある拘束に合わせて$F_{a,i}$を調整しているだけのことで、つまりは同じ式です。 -- 前野?
- つまり、Fa,1=1,δq2=δx、Fa,2=-Rcosθ,δq2=δφ -- 昔の物理学生?
- つまり、Fa,1=1,δq2=δx、Fa,2=-Rcosθ,δq2=δφということでしょうか？ -- 昔の物理学生?
- この場合に即すと、$\sum_iF_{x,i}\delta q_i=\delta x-R\cos\theta\delta \phi$なので、$F_{x,1}=1,F_{x,2}=-R\cos\theta(q_1=x,q_2=\phi)$（ｙの方も同様）です。 -- 前野?
- すいません、回答を見ていて気付きましたが、(E.90)の最後の式の符号が逆で、それによって(E.92)の符号も逆になりますね。これは訂正しておきます。 -- 前野?
- よく理解できました。ありがとうございました。 -- 昔の物理学生?
P136一行目 †
昔の物理学生? (2016-06-13 (月) 08:59:32)
細かいことで恐縮ですが、P136一行目に「オイラー・ラグランジュ方程式の右辺を」とありますが、「右辺」ではなく「左辺」ではないでしょうか。
- 御指摘の通りです。 -- 前野?
- ありがとうございました。 -- 昔の物理学生?
p.99の補足について †
ちゃまろ? (2016-06-12 (日) 23:17:35)
運動エネルギーの存在がなぜ経路を"直線に近い方"へと引っ張ると解釈できるのでしょうか？
例えば、位置エネルギーの方は重力が大きくなれば、(端点を固定した場合)より上へと引っ張ることは分かるのですが、運動エネルギーを大きくしたときに、より強く"直線に近い方"へと引っ張るということに納得できません。
- 運動エネルギーは、3.6.1節のモデルで考えるとバネの弾性エネルギーに対応してます。モデルの方では「まっすぐにする」方向への力を出していることを考えてください。 -- 前野?
- ご回答ありがとうございます。 静力学でそのように考えることはわかりましたが、動力学ではどのように考えればいいのでしょうか？ -- ちゃまろ?
- 動力学で「作用を最小にする」という操作が静力学での「バネのエネルギー＋位置エネルギーを最小にする」という操作と同じだということがわかっていれば、それでいい（というかそれが「作用」というものです）。静力学の助けを借りずに理解したいということでしたら、例えば自由粒子を考えれば、そのとき作用は運動エネルギーの時間積分ですが、それを最小にする条件が「加速度=0」、つまり「まっすぐ進む」だということがわかれば十分だと思いますが。 -- 前野?
- わかりました。ありがとうございます。 -- ちゃまろ?
- すみません。もう少し質問させてください。 落体の運動の例において、なぜ運動エネルギーの存在は経路をまっすぐにしようとするのですか？ バネの例ならわかるのですが。 -- ちゃまろ?
- すみません。もう回答していただいていました。申し訳ありません。 -- ちゃまろ?
P132下から3行目について †
昔の物理学生? (2016-06-12 (日) 17:50:08)
「ラグランジアンをL→L-Σλj(t)Gj(xi)と書き直す」とありますが、このGj(xi)はP131(5.75)のGj({x*})と同じものという解釈で宜しいでしょうか？
- はい、そうです。ちょっと書き方が変わってますが、同じGです。ここも本来は$G_j(\{x_*\})$と書くべきでした。 -- 前野?
- お休みの処、有難うございました。 -- 昔の物理学生?
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