よくわかる電磁気学サポート掲示板（2020年12月31日まで） のバックアップ$No.2$

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よくわかる電磁気学サポート掲示板４

ビオ・サバールの法則からのアンペールの法則の導出について †

梅園? $2020-10-31(土$ 15:02:18)

式（8.10）からの（8.14）への変形についての質問です。
まず、式（8.10）の第2項では、BベクトルとAベクトル（微分演算子）との内積の箇所にカッコが付いているので、AベクトルとCベクトルとの演算の前に、まずはBベクトルのAベクトルの内積を計算するものと理解していました。
一方で、式（8.12）の後の説明文では、まずCベクトルの勾配をとる前提で、演算を進めていると理解しました。
式（8.10）第2項のB,A間のカッコは、先に演算をする、という意味合いは特にないということなのでしょうか。

• この括弧は「$(\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B})$は$\overrightarrow{A}$と$\overrightarrow{B}$の内積」という意味しかありません（演算順序は、内積や外積も含め、数の掛算なら順序はどうでもいいです）。ただし、微分演算子が「何を微分するのか」は勝手に変えてはいけないので、本に書いてあるような計算になります。 -- 前野? 2020-10-31 $土$ 17:55:16
• 分かりました。ありがとうございました。 -- 梅園? 2020-10-31 $土$ 18:04:26

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p238 「反磁性」のイラストについて †

梅園? $2020-10-25(日$ 15:44:23)

p238のイラストでは、反磁性のケースとして、下方向にN、上方向にSと記載された磁石が薄くプロットされています。
この場合、両磁極の直近であれば、既存磁界を打ち消す方向に磁場が発生しますが、一方で、他の箇所（例えば両磁極から等距離にある平面上）では、既存磁場を強めていることになると思います。
実際には、磁石は一つではなく、横に大量に並んでいると考えて良いのでしょうか。

• もちろん（反磁性を作るのは原子内の電流なので）たくさん並んでます。弱めると言っているのは「磁石（実際には電流）」付近の話です。あと、実際には反磁性を作っているのは電流なので「極」がある絵はその意味でもイメージで、実際には円電流によるループする磁力線があると思った方が近いです。 -- 前野? 2020-10-25 $日$ 16:18:38
• わかりました。ありがとうございました。 -- 梅園? 2020-10-25 $日$ 16:46:07

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梅園 †

式3.103の導出について? $2020-10-10(土$ 15:09:23)

以前、別の方が同じ質問をされていて、そこでは、微小面積ベクトルを電場ベクトルEに垂直な成分と水平な成分に分ける操作を使っての導出が示されていました。その解法については納得できました。
ベクトルを分解するという操作は同じなので、微小面積（ベクトル）ではなく電場の方を微小面積（ベクトル）と水平・垂直に分けることによっても導出できるのではないか、と思いやってみました。
それぞれの電場（ベクトル）に対応した微小面積（ベクトル）に水平な成分の力は導出出来そうなのですが、微小面積（ベクトル）に垂直な成分の力が、うまく表現出来ませんでした。
やはり微小面積ではなく電場の方を分解してみる、というやり方では微小面積（ベクトル）に垂直な力は導出出来ないのでしょうか。

• $3.103$は$\mathrm{d}\overrightarrow{S}$に関して線形ですが、$\overrightarrow{E}$に関してはそうではないので、分解して別々に計算して後で足す、という計算はできません。 -- 前野? 2020-10-10 $土$ 17:03:48
• 電場が$\mathrm{d}\overrightarrow{S}$と同じ方向を向いている場合は$\frac{\epsilon }{2}|\overrightarrow{E}{|}^2\mathrm{d}\overrightarrow{S}$になり、電場が$\mathrm{d}\overrightarrow{S}$と垂直な方向を向いている場合は$-\frac{\epsilon }{2}|\overrightarrow{E}{|}^2\mathrm{d}\overrightarrow{S}$になるというのは、すぐに示せると思います。 -- 前野? 2020-10-10 $土$ 17:05:14
• わかりました。ありがとうございました。 -- 梅園? 2020-10-10 $土$ 17:17:33

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8.1.2 アンペールの法則との関係 について †

梅園? $2020-10-03(土$ 19:10:31)

この節の式の変形において、ビオ・サバールの法則を、式$8.11$を使って変形しています（実際はBがxの関数ではないので二つの項はゼロ）。式8.11自体は実際に左辺と右辺を計算してみて、成立が納得できました。
少なくとも、微分演算子が入っている場合は式8.11の変換で考えるべきで、式A.11は使えない（式A.11は式8.11の特殊な場合にのみ成立する。例えばA,B,C全てが微分演算子でない場合。）と考えて良いのでしょうか。

• $A.11$は数ベクトル（演算子でないもの）に対する式だと思ってください。微分が入っている場合は「その微分は誰（何）を微分する？」を考えて計算しましょう、ということです。 -- 前野? 2020-10-03 $土$ 20:59:34
• わかりました。ありがとうございます。 -- 梅園? 2020-10-03 $土$ 21:36:31
• わかりました。ありがとうございます。 -- 梅園? 2020-10-03 $土$ 23:11:18

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デルタ関数 †

物理のヒヨコ? $2020-10-01(木$ 19:27:03)

お世話になっています。

P.112の$3.68$は、デルタ関数の定義 ∫f$x$δ$x-\xi$dx = f$\xi$ [1次元]
からすると、δ³$x-x^{\prime }$ではなくてδ³$x^{\prime }-x$のような気がするのですが？

• δ関数は偶関数なので、どっちでも問題ありません。 -- 前野? 2020-10-01 $木$ 19:30:40
• あ、なるほど！遇関数ならδ$$の中が＋になっても－になっても同じですね。有難うございます。 -- 物理のヒヨコ? 2020-10-01 $木$ 21:43:33

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マックスウェルの応力（プラス電荷同士の斥力）について †

梅園? $2020-09-22(火$ 13:25:28)

p129で導出した、ふたつの電荷（+qと-q）の場合であれば、微小面積に対する応力を面積分した場合と、クーロンの法則で求めた力の向きが一致します。一方でp130で言及されているプラス電荷同士の場合は、応力を面積分した場合の力と、クーロンの法則で求めた場合の力の向きが違っているように思います（片方は両電荷から等距離の点に向いていて、もう片方は二つの電荷を含む直線上）。逆符号の場合は計算方法により向きが変わらずに
同符号の場合は計算方法により向きが変わってしまうのに違和感を感じました。これは問題ないと理解して良いのでしょうか。

• 別に向きは変わってない（全体で積分したときに斥力なり引力なりになる）のですが、どこが「変わっている」と思うのでしょうか？ -- 前野? 2020-09-22 $火$ 13:32:33
• 同符号の場合は２つの電荷の真ん中に線を引くと、その線にはマックスウェル応力による圧力があることになり、その圧力を積分して斥力がでます。張力を積分すると引力になり、圧力を積分すると斥力になるということであって、向きはどっちも計算どおりです。 -- 前野? 2020-09-22 $火$ 13:36:45
• ありがとうございました。圧力によって斥力になるという箇所がよく理解できていなかったみたいです。 -- 梅園? 2020-09-22 $火$ 16:55:05
• ありがとうございました。圧力によって斥力になるという箇所がよく理解できていなかったみたいです。 -- 梅園? 2020-09-23 $水$ 20:44:30

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極座標におけるdivの導出について p67 †

梅園? $2020-09-13(日$ 12:40:17)

67ページの図では、微小体積のそれぞれの境界面の中心からfluxが出入りしていると読みました。一方で、各計算式では、各fluxは境界面の頂点と１つの点での値として表記しているようです。微妙にずれているように思うのですが、これは気にしなくて良いのでしょうか。

• 気にしなくていいです。そのずれは今考えているよりも高次の微小量になります。 -- 前野? 2020-09-13 $日$ 18:51:53
• もし、正確を期すなら中点でも端でもなく、${\int }_{\theta }^{\theta +\mathrm{\Delta }\theta }d{\theta }^{\prime }f({\theta }^{\prime })$のような積分にしなくてはいけませんが、今はこれを$f(\theta )\mathrm{\Delta }\theta$と近似していいレベルの計算をしています。 -- 前野? 2020-09-13 $日$ 18:55:59
• わかりました。ありがとうございました。 -- 梅園? 2020-09-13 $日$ 19:09:57

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演習問題1-2の解答について †

梅園? $2020-09-09(水$ 20:28:54)

E.7式の左辺はrの3乗との記載です。積分してR0を代入した結果なので、R0の3乗と考えるべきでしょうか。

• 確かにその通りです。修正します。 -- 前野? 2020-09-09 $水$ 21:42:14
  
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p112 デルタ関数について †

一年? $2020-09-06(日$ 11:35:01)

p113の式$3.72$では$\yen mathbf(x^{\prime })$ で積分していますが、点電荷が$\yen mathbf(x^{\prime })$に存在するなら、ガウスの発散定理を使うためにも、$\yen mathbf(x)$で積分するべきではないでしょうか?
なので、式$3.70$、式$3.71$も理解できていません。
式$3.67$は理解しています。

• 打ち間違えしてまいました。$\yen mathbf{x}^{\prime }$ と$\yen mathbfx$です -- 一年? 2020-09-06 $日$ 11:40:56
• $3.72$はデルタ関数の公式の説明であって、$\overrightarrow{x}$も${\overrightarrow{x}}^{\prime }$も電荷のいる場所とか、そういう意味は特にないダミー変数です。 -- 前野? 2020-09-06 $日$ 11:45:23
• なんなら、$\overrightarrow{x}$の方で積分しても、積分結果が１であることは変わりません。 -- 前野? 2020-09-06 $日$ 11:46:09
• どっちでもいいんですが、文脈的にはここは$\overrightarrow{x}$で積分しておいた方がよかったですね。混乱させてすみませんでした。 -- 前野? 2020-09-06 $日$ 11:48:26
• 返信ありがとうございます。確かに$3.72$ではx'、xのどちらで積分しても同じですね。ありがとうございました。 -- 一年? 2020-09-06 $日$ 12:35:53

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最新刷について †

nao? $2020-09-04(金$ 07:37:08)

現時点での最新刷はいくつでしょうか?
また、サポートサイトに書かれている訂正は最新刷でどれが修正されているのでしょうか?
コンセプト自体はとても良い本なのですが、誤植$というか内容の誤り$の多さにとても困っています。

• 最新は１１刷です。サポートサイトの訂正は、上から見ていけば途中で「以下の誤りは第11刷で修正されました。」のような言葉が出てくるので、自分の持っている版より上の部分を訂正してください。 -- 前野? 2020-09-04 $金$ 08:24:47
• ありがとうございます。今後再刷のご予定はございますか? -- nao? 2020-09-04 $金$ 17:46:49
• ありがとうございます。今後再刷のご予定はございますか? -- nao? 2020-09-04 $金$ 17:52:29
• 間違いなくいつかは出ますが、いつになるかは私にもわかりません。１年１回程度は増刷してませう。 -- 前野? 2020-09-04 $金$ 18:45:59

お名前:

P254について †

K? $2020-08-30(日$ 22:43:00)

　p254の最後の行に「ただし、表面に真電荷や新電流がある場合はこの限りではない」というところがわかりません。１．誘電体内には分極電荷だけではなく、真電荷（自由電子？）も存在するのですか？　２．なぜ真電荷・新電流が存在するのは表面に限られているのですか？ご教授頂けるとありがたいです。

• 「誘電体内には分極電荷だけではなく、真電荷（自由電子？）も存在するのですか」　存在する場合もあるし、存在しない場合もあります。誘電体の中に電荷や電流が存在してはいけない理由はないです。 -- 前野? 2020-08-30 $日$ 23:09:58
• 「２．なぜ真電荷・新電流が存在するのは表面に限られているのですか？」　限られません。「表面に真電荷や新電流がある場合はこの限りではない」と言ったからといって、表面以外に電荷や電流があることを否定していません。 -- 前野? 2020-08-30 $日$ 23:12:34
• 誘電体というと絶縁体なので電気が流れないはず、というふうに考えたのかもしれませんが誘電体は分極する物質のことで、その物質の中に電子やイオンの流れが存在してもいいわけです。 -- 前野? 2020-08-30 $日$ 23:14:47
• 分極があり、かつ電荷や電流が（表面にも内部にも）存在するという状況はありえますから、そういう場合も考えます。p254ではとりあえず簡単な例として真電荷も真電流もない場合を考えているということです。 -- 前野? 2020-08-30 $日$ 23:16:55
• 先生のおかげで理解できました。ありがとうございます。 -- K? 2020-08-31 $月$ 20:20:03

お名前:

オームの法則 †

TS? $2020-08-30(日$ 11:36:47)

P158 $5.4$から$5.5$に至る計算過程、めんどくさいかと思いますが、もし可能でしたら教えてください。eの指数関数が現れる過程が知りたいです。もう一つこの指数関数の微分が$5.6$の$$のなかの結果になる手順をお願いします。~

• よく教科書に載っているタイプの解き方をすると、まず$5.4$の定数項を「ないこと」にして、$m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-k\frac{dx}{dt}$を解きます。 -- 前野? 2020-08-30 $日$ 11:47:01
• これは「$\frac{dx}{dt}$を微分したら元の$-\frac{k}{m}$倍になった」と言う式です。そんな関数は$e^{-\frac{k}{m}t}$と言う形の指数関数です。 -- 前野? 2020-08-30 $日$ 11:48:57
• これで、積分定数を$C$として$C{e}^{-\frac{k}{m}t}$が解になりました。しかしこれは「定数項をないことにした」解（同次解）なので、非同次の解を求めるには定数変化法を使います（定数変化法については微分方程式の教科書でも見てください）。具体的には、$C\to C(t)$と置き換えて元の微分方程式に代入し、$C(t)$の微分方程式を解きます。 -- 前野? 2020-08-30 $日$ 11:52:56
• ここでやっている微分は$-e^{-\frac{k}{m}t}$を$t$で微分したから$\frac{k}{m}{e}^{-\frac{k}{m}t}$になった、と言うだけです。 -- 前野? 2020-08-30 $日$ 11:54:29
• 指数関数$e^{ax}$の微分が$a{e}^{ax}$なのと、やっていることは同じです。-- 前野? 2020-08-30 $日$ 11:59:51
• ご親切なご説明ありがとうございました。私は現在71歳で、いままで電磁気学とは無縁 -- TS? 2020-08-30 $日$ 18:18:11
• 無縁の仕事をしてまいりましたが、従来より電波と光の謎を知りたいとおもって先生の本を購入した次第です -- TS? 2020-08-30 $日$ 18:20:32
• 毎日電磁気学の一端を知ることの感動と驚きの日々を過ごしております。今後ともくだらない質問をさせていただくかとおもいますが、お邪魔にならない範囲で教えていただければ幸甚です。 -- TS? 2020-08-30 $日$ 18:23:34

お名前:

p254について †

K? $2020-08-29(土$ 18:18:28)

　ρ、j＝0かつ真電流、真電荷もない媒質というものは存在しているのでしょうか？
媒質が導体なら真電流、真電荷は存在し、不導体なら分極電荷、分子電流が存在するのでρ、j＝0にはならないと思うのですが。理解が間違っていたら申し訳ございません。

また、同ページの下の右の図で境界面で線がふえているのはなぜですか。

• このページに書いてある式のρ、ｊは真電荷と真電流ですから、ρ＝０，ｊ＝０なら真電荷も真電流も０です。 -- 前野? 2020-08-29 $土$ 20:40:58
• 「媒質が導体なら真電流、真電荷は存在し、」というのは間違いです。導体が帯電してなければρ＝０だし、帯電してたとしても電流が流れていればｊ＝０です。 -- 前野? 2020-08-29 $土$ 20:41:56
• 「不導体なら分極電荷、分子電流が存在するのでρ、j＝0にはならない」も間違いで、真電荷と真電流であるρとｊは分子電流を含みません。 -- 前野? 2020-08-29 $土$ 20:42:40
• 境界線で線が増えるのはE,Hの場合です。つまりdivが０でない場の場合です。真電荷がないならdiv D=0でdivB=0ですが、その場合でもdiv E≠0になったりdiv H≠0になったりすることはありえます。 -- 前野? 2020-08-29 $土$ 20:44:31
• つまり、導体であればあり得るということですか？ -- K? 2020-08-29 $土$ 21:35:44
• つまり、導体であればあり得るということですか？ -- K? 2020-08-29 $土$ 21:35:44
• この「つまり」から始まる質問は最後の「divE≠0になったりすることはありえます」に対してですか？　そうだとして答えますと、違います。 -- 前野? 2020-08-29 $土$ 21:45:14
• 分極電荷や分子電流がある場合には真電荷や真電流がなくてもdiv E≠0になったりdiv H≠0になったりします。つまり誘電体の場合です。 -- 前野? 2020-08-29 $土$ 21:46:13
• 誘電体中の真電荷というものがいまいち理解できません。誘電体中にも真電荷（自由電子？）が一定数存在しているということでしょうか？ -- K? 2020-08-30 $日$ 11:32:47
• 例えば誘電体の真ん中に分子に属して無い電子が一個あれば、それは真電荷です。 -- 前野? 2020-09-04 $金$ 18:47:00

お名前:

分極 †

TS? $2020-08-27(木$ 11:13:48)

P147 角柱の高さがd、正電荷の集まりのずれがd；と同じ量になっているのが理解できないんですが

• 角柱全体の高さはｄではないですね。あくまで「飛び出している部分の角柱」の高さがｄです。 -- 前野? 2020-08-27 $木$ 19:35:34
• 角柱全体の高さはここの考察に不要なんですが、特に説明せずに「高さｄ」と書いちゃっているので、全体の高さだと読んで当然ですね。すいません、確かによくない書き方です。次の版から「高さｄの」を削ることにします。 -- 前野? 2020-08-27 $木$ 19:38:23
• わかりました。ありがとうございました。 -- TS? 2020-08-27 $木$ 20:06:46

お名前:

符号が違う †

後野? $2020-08-22(土$ 20:09:44)

P128の$3.103$は符号が反対になってませんか。dSがEと平行な時をかんがえるとプラスになってしまいます。$外からかかる力と言うならわかるが、それならそれで統一して書いて欲しい$

• 符号はこれであってます。すぐ上に書いてある「もし、$\mathrm{d}\overrightarrow{S}$と${\overrightarrow{E}}_{}$が平行ならば、この面には$\frac{{\epsilon }_0}{2}|{\overrightarrow{E}}_{}{|}^2\mathrm{d}\overrightarrow{S}$の力が働く。一方、$\mathrm{d}\overrightarrow{S}$と${\overrightarrow{E}}_{}$が垂直ならば、$-\frac{{\epsilon }_0}{2}|{\overrightarrow{E}}_{}{|}^2\mathrm{d}\overrightarrow{S}$の力が働く。」という記述に合わせた式になってます。 -- 前野? 2020-08-22 $土$ 23:15:57
• $\mathrm{d}\overrightarrow{S}$と$\overrightarrow{E}$が平行なとき、引っ張る力が働きます。つまり考えている領域の体積を増やそうとする方向なので、それは$\mathrm{d}\overrightarrow{S}$の方向です。垂直なときは押される、つまり体積を減らそうとする方向に力が働くので$\mathrm{d}\overrightarrow{S}$と逆（だから符号はマイナス）です。 -- 前野? 2020-08-22 $土$ 23:20:31
• 平行な時は着目する空間自体が縮もうとし、外部の空間から引っ張られているということですね。分かりました、ありがとうございます。 -- 後野? 2020-08-23 $日$ 05:44:48

お名前:

P213について †

ST? $2020-08-21(金$ 18:09:24)

$8.52$で力のモーメントを求めるとき、図の右側ではうでの長さはLではなく、1/2Lで、図の左側ではlではなく、1/2lではないのですか？

また、その下に「式の上でも全く区別のつかないものになってしまった」とありますが、どの式とどの式の話をしているのか教えてください。

• この場合、偶力なのでどこを基準点にしてモーメントを計算しても結果は同じです。モーメントの基準点を中心にすれば腕の長さは$\frac{L}{2}$または$\frac{\ell }{2}$で、その代わり２つの力がどっちもモーメントを作るので結果は２倍になります。どちらかの一端（電流なり磁極なりの片側）を基準点にすると、腕の長さは$L$または$\ell$となり、その代わり基準にした部分に働く力はモーメントを作りません（２倍にしなくてよい）。 -- 前野? 2020-08-21 $金$ 18:19:51
• ここで「区別がつかない」と言っているのは電流と磁気双極子なので、これら２つの「作る磁場の式」と「磁場中で受ける力のモーメント」が$8.52$が成り立てば同じになる、ということです。 -- 前野? 2020-08-21 $金$ 18:22:03

お名前:

p128 †

ST? $2020-08-12(水$ 22:50:11)

p128の$3.101$の式にマイナスがつくのはなぜですか。

また、その次の行の「yで割る」ではなく、「yで微分」ではないのですか？

• ここでは上で説明しているようにESは一定なのでUのS依存性は$\frac{1}{S}$になってます。$\frac{1}{S}$の微小変化は$-\frac{1}{S^2}\mathrm{\Delta }S$です。 -- 前野? 2020-08-13 $木$ 07:55:50
• この式のなかのy依存性は１次式しかないので、「微分」でも「割る」でも結果は同じです。というより、ここではｙが微少量の役割をしているんで、微分の$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$の$\mathrm{\Delta }x$の役割をyが担っています。 -- 前野? 2020-08-13 $木$ 07:58:04
• ありがとうございます！理解できました。 -- ST? 2020-08-13 $木$ 14:42:16

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デルタ関数の説明 †

ST? $2020-08-10(月$ 18:45:40)

P112の説明でR→０の極限をとることで電荷密度ρが発散するのは理解できます。∆V=-ρ/ε₀より右辺が∞になるので、p112(3.67）の左辺が∞になり、そのときの条件はr=0ではなく、R＝0の時ではないでしょうか？

• また、p112の$3.70$,$3.71$のデルタが3乗表記なのかも教えていただけるとありがたいです。 -- ST? 2020-08-10 $月$ 18:54:35
• ここのデルタ関数はむしろ全部3次元です。だからむしろ$3.68$や$3.69$の方に3乗が足りません。 -- 前野? 2020-08-10 $月$ 22:06:31
• $r=0$でないときは発散せず、0になります。正確にいうと、$R>r$であれば0になりますが、$R\to 0$では$R>r$は$r\ne 0$になります。 -- 前野? 2020-08-10 $月$ 22:13:25
• 理解できました。ありがとうございます！ -- ST? 2020-08-12 $水$ 22:50:59

お名前:

4.2.1点電荷と平板導体 †

清水T? $2020-08-09(日$ 13:32:19)

「・・その分だけ無限遠に電荷Qが現れている」の意味は、「無限遠にQの電気力線が届いている」ということでしょうか？

• 電気力線の話ではなくて、p137の図の平板がもともと電荷０であったとすれば、図のように$-Q$の電荷が現れたなら、トータルの電荷の保存からどこかに$Q$の電荷がなくてはいけない、ということです。その「どこか」は無限遠です。 -- 前野? 2020-08-09 $日$ 14:24:51
• わかりました。ありがとうございます。 -- 清水T? 2020-08-10 $月$ 09:58:54

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クーロン＆位置エネルギーの分母r †

清水T? $2020-08-09(日$ 13:27:49)

r=0では力とエネルギーは無限大になりますがrは0ではないとしなくてよいのですか？

• これは点電荷の式に関する質問ですか？もちろん、$r=0$ではこの式は破綻してます。 -- 前野? 2020-08-09 $日$ 14:26:41
• 実際には電荷には大きさがあるとｓれうば、$3.51$のようになります。 -- 前野? 2020-08-09 $日$ 14:27:24
• わかりました。ありがとうございます。あと一つの質問ですが、+Qの電荷と-Qの電荷 -- 清水T? 2020-08-10 $月$ 09:55:23
• わかりました。ありがとうございます。あと一つの質問ですが、+Qの電荷と-Qの電荷をr離して置いた場合互いに引き合う訳ですが、最終的にどうなるのでしょうか？ -- 清水T? 2020-08-10 $月$ 09:58:10
• そんなのは状況によります。くっついてしまうかもしれないし、水素原子のように互いを回るかもしれないし、そのほかいろいろ考えられます。 -- 前野? 2020-08-10 $月$ 10:21:11
• わかりました。 -- 清水T? 2020-08-10 $月$ 13:01:16

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