よくわかる初等力学サポート掲示板（2017/04まで） のバックアップ$No.3$

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よくわかる初等力学掲示板

演習問題6-3について †

TM? $2017-04-24(月$ 21:36:27)

運動方程式を変形して、問題を解いてみました。
手にかかる力をF,空中にある紐の質量をｍとします。
運動方程式は、F-mg=d$mv$/dt=vdm/dtとなります（ｖが定数で、ｍがｔに依存する変数であるため）。
長さℓの紐の質量はm=ρℓですので、
dm/dt=ρdℓ/dt=ρvとなります。
よって、F=vdm/dt+mg=ρv^2+mgが得られます。
ℓ=Lのときの質量ｍはm=ρLですので、
F=ρv^2+ρLgとなり、正解と一致します。
運動方程式が、本文176ページの$6.1$のように変形できるということをもとに、さらに式変形をしました。この式の変形は数学的には問題ないと思いますが、物理学的には問題があるかもしれません。
そもそも運動方程式は、質量ｍが一定という条件で作られたため、質量ｍがｔに依存する変数の場合にも適用するのはおかしいのではという反論が出てくることが予想されます。
一方で、新たにｍｖというパラメータを作ったので、ｍが変化する場合でも、さらにｍとｖがともに変化する場合にも適用できるという主張もできるかもしれません。
実際のところ、この式変形と、それに基づいた上記の解法は、物理学的に是認されるのでしょうか。

• その計算は何の問題もないです。やっていることはｍｖという運動量の時間変化が力になる、と言う物理的内容を式にあらわしているだけですから。 -- 前野? 2017-04-25 $火$ 10:41:09
• 早速のご回答ありがとうございます。物理学的な意味があるd$mv$/dtを計算する過程でvdm/dtが出てきたので問題ないというふうに理解しました。逆に、実際にdm/dtを利用できるのであれば、質量ｍが定数の場合だけに限らず、時間ｔに依存する変数の場合であっても運動方程式は成り立つと拡張して考えてもいいのではないかとも思います。この考え方は飛躍しすぎでしょうか。 -- TM? 2017-04-30 $日$ 09:31:09
• 自分なりにしばらく考えてみました。運動方程式はもともと質量ｍが一定という条件で考えだされたもので、実験的にも確証されました。その後、運動量p=mvという概念が考え出され、運動方程式はF=dp/dtという形にも書けることにもなった。これを使えばｍがｔに依存する変数であっても差し支えないことになり、運動方程式を変える必要もない。こんなふうに考えました。 -- TM? 2017-04-30 $日$ 09:50:32
• ちょっと難しく考え過ぎかもしれません。これは最初の時刻で質量ｍで速さｖの物体と質量Δｍで速さ０の物体があり、後の時刻で質量ｍ＋Δｍで速さｖの状態がありました、ということです。 -- 前野? 2017-04-30 $日$ 22:30:19
• で、その運動量の差がこの間に加えられた力積になる、という話で、運動方程式の派生である運動量変化が力積という式を正直に使っていると思っていいです。 -- 前野? 2017-04-30 $日$ 22:33:20

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p65 練習問題　問い2-6　解答について †

駒込ピペット? $2017-04-24(月$ 16:54:34)

p379のヒントではF<μNとなっていますがなぜイコールは含まれないのでしょうか？
動かない条件であれば釣り合っている場合も許されると思うので≦ではないでしょうか？

• すぐ下に同じ質問を見つけました。お騒がせしました。 -- 駒込ピペット? 2017-04-24 $月$ 16:59:43

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演習問題5-2 $2$について †

TM? $2017-04-21(金$ 22:06:01)

解答例は理解できましたが、別の考え方をしてみました。
ロープを引っ張る速度をuとします。ボートの速度vのロープ方向の成分はvcosθですので、vcosθ=uとなり、たまたまかもしれませんが、正解と一致します。
一方、uの水平方向の成分はucosθですので、ucosθ=vとなります。よって、u=v/cosθとなり、正解と一致しません。この考え方のどこが間違っているのでしょうか。

• uの水平方向の成分を出すことに意味がありません。uは「ロープの長さが単位時間にどれだけ短くなるか」であって、「ロープの先端の移動う速度」ではないからです。 -- 前野? 2017-04-23 $日$ 11:13:19

• 上のような図を書いてみると、$u\cos \theta$を計算しても$v$にはならないことがわかります。 -- 前野? 2017-04-23 $日$ 11:21:44
• 納得しました。迷想から抜け出せました。 -- TM? 2017-04-30 $日$ 09:28:00

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垂直抗力について †

$2017-04-19(水$ 16:06:38)

P108,P109の垂直抗力について質問です。

①P108について
P108に（文章は少し違いますが・・・）「垂直抗力は床面全部に働いているが一点に働いていると考えてよい」と書いてありますが、これはある床と接触している点でのモーメントの和を計算すれば出る、という解釈でよろしいでしょうか？


②P109について
垂直抗力が下に行くほど強くなると書いてありますが、もしP109の上の図のように1箇所にNがかかると考えてしまうと物体は回転運動を起こすのでしょうか？モーメントの釣り合いの点を見つけて一か所にまとめて書くことはできないのでしょうか？

初歩的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

• ①についてはそういうことです。実際に力とモーメントのつりあいさえ取れていれば物体は静止するのだから、一点に働いていると考えても全体に広がって働いていると考えても力とモーメントが同一なら違いはないわけです。 -- 前野? 2017-04-19 $水$ 16:43:43
• ②については、そうならないように「どこに力がかかっていると考えるか」の場所が変わります。１０９の上の図では、実際モーメントを作らない位置にNの根元が来るように書いてあります（これだと回りませんがそれがわかるでしょうか？？） -- 前野? 2017-04-19 $水$ 16:45:09
• ②の場合、力のつりあいからNの大きさと向きが決まり、モーメントのつりあいからNの作用点が決まります。 -- 前野? 2017-04-19 $水$ 16:45:56

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p44練習問題2-1について †

迷える工学徒? $2017-03-24(金$ 17:43:41)

$4$の解答に分からないところがあります。
模範解答では最終的にμ1m>μ2$M+m$としていますが、Tはどうしたんでしょうか？
ある現象が起こるか起こらないかの$必要十分$条件を表現する方法って個人的には常につきまとってくる種です。例えば、２つの摩擦係数、２つの質量の値が定まった下で、このTの値で実験$試行$をしたら、期待していた結果となったならなかった、というデータを様々な値で集計したら、模範解答の不等式の両辺にTが挟まれたかたちの不等式が導出された、という方がより正確なのではと思います。
模範解答において最終的に導かれた不等式について個人的には、どのようにTの値をとったら上下の物体が一体となって動くかは知らないが、そのようなTの値が存在する条件はこうですよ、と解釈します。つまり期待した現象が起こるための必要条件を示したに過ぎないと感じます。そこからいえることは、その条件を満たしてはいるけど、もしTがあまりにも大き過ぎたりすれば上の物体しか動かないわけで、それって条件って言ってもいいのか、大いに疑問です。もう少し求めるべきことが何なのかを丁寧に教えてくれる問題なら力学初心者の自分でも安心して解けるのですが・・・
長文失礼ました。

• 明記はしてないですが、ここでは「どんなにTが大きくなってもどちらもすべらないなんてことは有り得ない」ということで最初から「どちらもすべらない」は排除しています。すると「Tを大きくしていくと上だけすべる」か「Tを大きくしていくと上と下が一体となってすべる」かのどちらか、ということになります。 -- 前野? 2017-03-24 $金$ 17:52:43
• （４）で問うているのはこの「どちらか」のうち後者が起こるためにはいかなる条件が必要か、ということで、そういう意味ではことです。そういう意味では「Tの値が存在する条件」という解釈でいいです。 -- 前野? 2017-03-24 $金$ 17:54:17
• というわけで、暗黙の条件として「Tを大きくしていけばいつかはどこかが滑る」ということをちゃんと書いておけばよかったですね。 -- 前野? 2017-03-24 $金$ 17:55:23
• つまり、この問題では「実験時に、ありとあらゆるTの値で調べてみること」を前提とし、上の物体だけが動くという結果が得られるのは先生の導いた不等式が満たされているときである、と認識すればいいのですね。 -- 迷える工学徒? 2017-03-24 $金$ 18:07:12
• どういった前提で話を進めるのかが互いに一致しないと、適切に論ずるのは難しいですね。 -- 迷える工学徒? 2017-03-24 $金$ 18:13:46

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P65練習問題【2−6】について質問です。 †

徳本? $2017-03-13(月$ 13:29:04)

動かない条件を求める問題で、なぜこの問題だけ不等号だけなのですか⁇等号が含まれないのは何故なのですか⁇

• こういう問題でギリギリの（等号の成り立つ）場合を「動く」と考えるか「動かない」と考えるかは気にしなくてもよいと思います。 -- 前野? 2017-03-13 $月$ 19:26:38
• 厳密に考えるならば、等号が成り立っている状態は「ぎりぎりすべらない」状況なので、等号を入れてもいいです。 -- 前野? 2017-03-13 $月$ 19:29:26
• ありがとうございます！ -- 徳本? 2017-03-17 $金$ 14:51:05

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P.159 【演習問題4-4】についての質問です。 †

鮒27? $2017-02-22(水$ 20:05:02)

P.153【補足】のように非斉次部分の解を
$v=\sqrt{\frac{mg}{K}}$とし
斉次部分の解$4.65$と足したものが正解でないのは
$4.69$式が非線形微分方程式だからでしょうか？

• すいません、この質問を見落としてました。答えはそのとおりで、非線形では重ね合わせはできません。 -- 前野? 2017-03-13 $月$ 19:28:06

お名前:

P.158　【演習問題4-1】 についての質問です。 †

鮒27? $2017-02-22(水$ 19:44:05)

解答では
ma = T - mg $F.17$
Ma = Mg - T $F.18$
と運動方程式を立てていますが
上向きを正と考えて
$F.18$をM$-a$ = T - Mg
と立てても考え方に間違いはないでしょうか？
（結果が同じであることはもちろんわかっています。）

というのはP.36の「正味の量」を考えると
この方が自然に思えるからです。
物体mは上向き正なのに、物体Mは下向き正なのが違和感があります。

「正味の量」というのは一つの物体に対してルールを守っていれば
演習問題4-1のように、物体毎に正の向きを設定してもよいのでしょうか？

お名前:

P.119 †

鮒27? $2017-02-20(月$ 21:52:01)

上から10行目ですが、
ここだけ"ガリレイ"になっていましたので
お知らせいたします。
（本当にどうでもいいことで、すみません。）

• ガリレオと書くかガリレイと書くかはいろいろなんですが、同じページの中で混在は変ですね。修正しておきます。 -- 前野? 2017-02-21 $火$ 08:25:38
• 第１０版を見ていますが、修正はされていません。。。 -- 小笠原? 2024-07-27 $土$ 14:57:41

お名前:

【演習問題3-3】 $3$についての質問です。 †

鮒27? $2017-02-20(月$ 21:46:15)

$\overrightarrow{F_{壁}}$の存在できる範囲ですが
${\beta }_0$から${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$までではないのでしょうか？
（板が壁にピタッとついている状態です）
$\overrightarrow{F_{壁}}$が${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$以上の角度になるためには、
手で板を押さないといけないように思うのですが。

$\overrightarrow{F_{床}}$の${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を超えている範囲は
板が壁とは反対側に倒れている状況と理解すればよいでしょうか？

答えには影響ありませんが、気になったので質問させていただきました。

• 角度が$\frac{\pi }{2}$を越えている場合というのは、壁が板を上から押さえつける方向の力になっている場合で、もちろん現実には起こり得ないのですが、${\overrightarrow{F}}_{壁}$という力の性質だけからするとあってもいい状況なので図に描いています。 -- 前野? 2017-02-21 $火$ 08:16:26
• ${\overrightarrow{F}}_{床}$の方も、この力の性質だけからするとあってもいいけど、現実的には「ない」状況です。実際に起こる状況は三つの力（${\overrightarrow{F}}_{壁},{\overrightarrow{F}}_{床}$,重力）の作用線が交点を持つところですから、その条件を入れると実際には直角を超える角度は出てこないことがわかります。 -- 前野? 2017-02-21 $火$ 08:19:02
• なるほどそいうことですか。ご回答ありがとうございました。 -- 鮒27? 2017-02-21 $火$ 20:36:37

お名前:

【演習問題3-4】の解答 †

鮒27? $2017-02-20(月$ 18:38:12)

$\overrightarrow{x_G}$のベクトル記号は不要かと思いますが
いかがでしょうか。

• いらないですね。修正しておきます。 -- 前野? 2017-02-21 $火$ 08:07:56

お名前:

P.369 †

鮒27? $2017-02-18(土$ 18:47:18)

$C.8$式の2行下で
"$C.7$と$C.8$の残りの式も同様"
とありますが
"$C.7$と$C.6$の残りの式も同様"
でしょうか？

• すいません、確かにその通りです。 -- 前野? 2017-02-20 $月$ 09:03:20

お名前:

P.390　【問い3-2】の解答　についての質問です。 †

鮒27? $2017-02-18(土$ 01:54:05)

解答が$1$,$2$と別れていませんが
結局同じ答えになるのでまとめている、
という理解でよろしいでしょうか？

• すいません、ほんとは（２）の方の解答手順も書くべきですが、書いてませんね。 -- 前野? 2017-02-18 $土$ 08:24:15
• （２）の場合は$N_{壁}L\sin \theta +mg\frac{L\cos \theta }{2}=N_{床}L\cos \theta$という式から始まって、最終結果は同じです。 -- 前野? 2017-02-18 $土$ 08:29:50
• ご回答ありがとうございます。 -- 鮒27? 2017-02-18 $土$ 11:46:39

お名前:

P.105 †

鮒27? $2017-02-18(土$ 01:46:55)

$3.19$の3行下
${\rho }_{s}gy$
は
${\rho }_{s}y$
かと思います。

• たしかにその通りです。次の版では訂正します。 -- 前野? 2017-02-18 $土$ 08:15:46

お名前:

P.364 †

鮒27? $2017-02-18(土$ 01:41:50)

$B.36$の3行下
"前ページの図の面を・・・"
とありますが、
これはP.364の2つ目の図のことでしょうか？

• すいません、その通りです。「上の図の面を」と訂正します。 -- 前野? 2017-02-18 $土$ 08:06:39

お名前:

P249の図について †

物理苦手な人? $2017-01-23(月$ 00:56:48)

I-xxの図はx軸回りに回っているリングの様子？だと思うのですが、リングはy軸を軸に回っていますよね？同様にI-yyの図も、リングはx軸を軸に回っていますが、ここで質問なのですが、どちらの図も軸の回転とリングの回転が合っていないのはどうしてでしょうか？解説をお願い致します。

• すいません、第４刷では訂正されているのですが、図が間違ってます。 -- 前野? 2017-01-23 $月$ 05:03:57
• すみません見落としてました。"訂正部分が印刷できるPDF"では -- 物理苦手な人? 2017-01-23 $月$ 08:14:38
• 図がそのままだったので質問してしまいました。お返事していただきありがとうございました。 -- 物理苦手な人? 2017-01-23 $月$ 08:18:47
• すいません、訂正部分が印刷できるPDFを作るときに図版作りをミスっていたようです。修正版をあげます。 -- 前野? 2017-01-24 $火$ 07:48:29

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