はじめに

0.1 我々は自然をどう記述するのか

0.1.1 数学は自然科学のためにある

「自然科学のための数学」というのが本講義のタイトルであるが、そもそも自然科学になぜ数学が必要なのだろう。

 物理(←ここには化学、生物、地学などが入ってもよい)は好きだが数学は嫌いだという人は結構いる。さらに数学なんて勉強せずに済ませたいという人もいるだろう。その気持はわからないでもないのだが、だからといって自然科学を学ぶ者は数学を避けるわけにはいかない。なぜならば、

数学は「自然を表現したい」と願った先人達が作り上げたものだから

である。まず「自然を知りたい」という科学者たちの欲求が先にあり、その目的を果たす為の手段として「数学を使う」に至る(時には「数学を作ろう」に至ることすらある)。数学という教科(科目)があってこれを使うのではないのである。
 これまでの自然科学の発展を考えて見るに、数学を使わなければここまでの発展はなかった、と断言できる。かってガリレオ・ガリレイは

自然という書物は数学の言葉で書かれている。

と言った。

 ゆえに本講義 の主たる目標を「微積分そして微分方程式を自然科学のために使いこなせるようになること」に置こう。

 受講者の中には、微積分??---あれって何に使うの?という感想を持っている人もいるかもしれない(いて欲しくないとは思っているが)。そういう人が本講義 の中盤あたりからは、微積分ってなんてありがたい物なの!と感動してくれるようにしたいと思っている。

 実はそもそも微積分は「自然を記述するための方法として」ニュートン(およびライプニッツ)が「発明」したものである。つまりまず(自然を記述し研究する上での)必要性があって、その必要性を満たすべく「微分」と「積分」を作ったのである。したがって自然科学を学ぶものは、いつかは微積分などの数学テクニックが「必要」になる。その時のために腕を磨いていこう。

 「ニュートンがリンゴを落ちるを見て万有引力を発見した」というのは正しくない。正確にはニュートンは「リンゴが落ちる理由と、月が落ちてこない理由を『万有引力の法則』という共通の法則で説明した」のである。そして、その共通の法則をうまく記述するために、微積分が大きな役割を果たしたのである。

0.2 本講義 で扱うことの「予告編」

0.2.1 微分方程式を解く

 突然「微分方程式を解く」というタイトルの節が始まったので、「え、そんなのまだ勉強してないよ」と思った人もいるかもしれない。ここでは「微分」とか「微分方程式を解く」とかの意味をざっと図形でだけ説明しておこうと思う。つまり「これから始まる本講義 の予告編」である。だから記号の深い意味などは後から知ればよい。たとえば今から${\mathrm dy\over \mathrm dx}={x\over y}$なんて式を「解く」方法を説明するのだが、なにか計算をしようというわけではない(計算のやり方は後でやるが、ここでは扱わない)。

以下で知っておくべきことは、

${\mathrm dy\over \mathrm dx}$は各点における「線」の「傾き」を意味する。

ということだけであるなぜ「線の傾き」を${\mathrm dy\over \mathrm dx}$などと表現するのか、というあたりは後でじっくりと、やる。。「線の傾き」とは図に示したように、向きを「$x$方向の移動と$y$方向の移動の比で表現したもの」である。「傾きが1」とはグラフにおいて45°の方向に線が伸びていくことをしめす(以下では、傾き1をという記号で表現する)。

という交通標識は、道の傾きが0.1であることを示している。 は傾きが$-0.1$であることを示している(道路標識では上りか下りかは絵で表現され、数値としてはどちらでも10%と表現するが、数学における傾きでは下るときは傾きを負の数値とする)。

 グラフにおける「傾き」の意味するところはなにかというと「どれくらいの勢いで増えるか?」を表現していると思えばよいだろう。傾きが大きいということは、道路なら「急な坂を登っている」という状態である。もし考えているグラフの横軸が時間なら、「急速に増えている」という状態でもある。

 では、次のページから、非常に簡単な例で微分方程式を図解していこう。

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授業ではandroidタブレットを使って以下のページにあるアニメーションを実行してもらいながら行いましたが、今日使ったプログラムは、androidの携帯などにアプリとしてインストールすることもできます。
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目次

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1 一番簡単な例:(dy/dx)=a

 まず、${\mathrm dy\over \mathrm dx}=1$という「微分方程式」を考えてみよう。${\mathrm dy\over \mathrm dx}$という記号に「難しさ」を感じてしまう人は「(傾き)=1」という式だと読み直して欲しい。

 次のグラフに描かれたは、その場所での傾きが1であること(つまりは今考えている関数のグラフはこの場所を水平に対して45度の方向に通過するということ)を表現しているもちろん、${\mathrm dy\over \mathrm dx}=1$という数式そのものの意味は「$y$を$x$で微分したら1である」ということであるが、それは図形的に表現することもできるのである。。つまり、この式が成立するなら、$x$-$y$グラフには傾き1の直線がたくさん(隙間なく)引かれていることになる。

 各場所での方向に動けば、どのような線(関数)ができるか?---どうなるかを予想した上で

 ボタンを押してみよう。

 赤い線―で予想どおりの線が引かれたであろうか?

アニメーションを止めたい時は、 を押そう。

 実際に線を引いてみれば、なんのことはない直線なのである。これは${\mathrm dy\over \mathrm dx}=1$を解くことができる人なら容易にわかることではあるが、もちろん図を眺めているだけでもわかることである。

 つまるところ「微分方程式を解く」とはどういうことかというと、この「傾きがそれぞれの場所でどうなっているかを知っている時に「どんなふうに線がつながるか」を知るということである。

 今やったことはつまり「傾き」すなわち「どれくらいの勢いで増えるか?」を表す数字が一定(上では1にした)であれば、直線的に増加していく量になるよ、ということだ(「どこでも同じ傾きなら直線になるのあたりまえじゃん」と思うだろうか---その感覚はとても正しい)。

 このような、「微分方程式を解いた結果出てくる線」を「積分曲線」と呼ぶ「積分も難しいのに、『積分曲線』なんてますますわからないよ」と今思ったとしても心配する必要はない。これから先でじっくり説明していく。ここはあくまで「今からやりたいことを前もって見せておく」という場所である。。上の問題では答えは直線だったが、一般的には曲がった線が出てくるので、「曲線」と呼ぶ。また、この線は一本ではなく(グラフ全体を敷き詰めるように)たくさんの曲線になることが普通である(グラフの、線と隣の線の間にも隙間なく線があると考えて欲しい。全部書いてしまったらで塗りつぶしてしまうことになるのでそうしてない)。

 なぜこういうことを考えるのかというと、自然科学においては「ある場所で成立する法則(局所的な法則)」(今の場合でなら「傾きはだよ」ということ)と「全体で成立する法則(大局的法則)」(今の場合なら「直線だよ」ということ)を結びつけていくことが大事なのである。一瞬々々で成り立つ「局所的な法則」を知れば全体で成り立つ法則もわかる(あるいはこの逆)ということが、自然を見ていくとよくあるのである物理の例だと、運動方程式とエネルギー保存則がそういう関係。。この授業では微分と積分という計算を取り扱っていくが、それは自然に現れる様々な「変化」を記述する時に、このように(あるときは局所的に、あるときは大局的に)変化の様子を記述していくことが有効であることが(自然科学の過去の歴史から)証明されているからである。

 ちょっとだけ計算をやっておくと、${\mathrm dy\over \mathrm dx}=1$の解は$y=x+C$で$C$は任意の定数(積分定数)である。グラフの線の違いは$C$の違いである後でじっくりやることを先取りして説明しておけば、$y=x+C$ならば${\mathrm dy\over \mathrm dx}=1$というのは微分の計算そのものである。

FAQ:方程式を解いたのに、答がたくさん出てくるのですか?

 そこは大事なところ。今解いている方程式は方程式は方程式でも「微分方程式」である。
 微分方程式は、数学的に表現すれば「微分」を決める式であると同時に、図形的に表現すれば「グラフの傾き」だけを決める式である(これは「局所的な法則である」と言ってもいい)。
 グラフの傾きだけ決めても、グラフ全体は「どこを通るか」を変えれば一般に変わる。微分方程式の答として線が得られるが、出発点が違っていれば結果としてできあがる線も違うものになってしまう。そのため、微分方程式の「解」は1つには決まらないのである。

 下のボタンで、

(dy/dx)=a

のa(つまり傾き)の値を(0.1〜5の範囲で)変えることができるので、その変化を観察しよう。

a=1.0

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2 少し方程式らしく:(dy/dx)=ax

 積分曲線がちゃんと「曲線」になる例に行こう。${\mathrm dy\over \mathrm dx}=x$という場合を考えてみる。この場合、$x$が大きくなると(グラフ上で右に行くと)傾きが大きくなっていく。$y$軸の上では$x=0$だから、傾きも0(水平)となる(図では$y$軸の真上には○が存在しないが)。

 また、$x<0$の領域に行くと傾きがマイナス(右下がり)になっていることもわかるであろう。

 こういう性質をもった量は自然科学にもよく登場するたとえばバネは伸び縮みに比例して力が強くなる。力はエネルギーの増加に比例するので、傾きが力に比例するとすれば、この$y$はエネルギーである。

 このグラフで各点各点をこの傾きで通るように線をつないでいくとどうなるか、実際に下の図で考えてみよう。

である。つまり、傾きがxの1次式で変化する(右へ行くほど傾きが急になることを確認しよう)。y軸より左では傾きがマイナスなので、右下がりの傾きになっている。

 では、各場所でこの傾きにしたがって線を引いていくとどうなるか?

予想した後で、 ボタンを押してみよう。

 赤い線―で予想どおりの線が引かれたであろうか?(この線の形が予想できただろうか?)

アニメーションを止めたい時は、 を押そう。

 ちなみに答は、$y={x^2\over 2}+C$、いわゆる放物線であるこの線は「平行光線を一点に集めるにはどのように鏡を配置すればよいか」という問題の解だったりする(BSのアンテナを「パラボラアンテナ」と呼ぶのは「放物線」が英語で「parabola」だからである。中心から離れれば離れるほど鏡を傾けないと一点に集まらない、と思えばだいたいこういう形になりそうだ、というのはわかるだろうか?(それをちゃんと計算で示してしまうのが数学の力だ)。

 下のボタンで、(dy/dx)=aのaの値を(0.1〜3の範囲で)変えることができるので、その変化を観察しよう。

a=1.0

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3 では次は:(dy/dx)=ay

 次に、${\mathrm dy\over \mathrm dx}=y$という場合を考えてみよう。今度は$y$が大きくなると(グラフ上で上に行くと)傾きが大きくなり、$x$軸より下では傾きが負になる。このような場合はどのような曲線が描けるか、考えてみよう。

を考えてみよう。この式は「yが大きいほど傾きが大きくなる」を意味している。図を見て傾きがy座標に比例していることを確認した後、前頁までと同様にグラフを書かせてみよう。

以下のボタン類の意味はこれまでと同様。

a=1.0

 結果のグラフを描き込んでみた人は、横軸の$x$が時間、縦軸の$y$がネズミの数だと思えば、「最初少なくてもふと気づけばどんどん増えていく!!」という関数であることが実感できるだろう。答を見ればわかるように、これは$x$軸($y=0$)から離れよう離れようとする方向に線が伸びていくちなみに答は$y=C\mathrm e^{x}$というものになる。どうしてこうなるのか、これがどういう関数なのかも、後でちゃんとやる。

 このような関数は、たとえば「ネズミ算」式に物(生物の個体数)などが増える時に現れる。餌が豊富なら、何度も出産するような動物の、1世代で増加する量は、今いる個体数に比例すると考えていいだろう。おおざっぱに言えば「100匹のネズミの集団で10匹子供が産まれる間に、200匹のネズミの集団では20匹の子供が産まれるだろう」ということであるもちろんこれはいつでも正しいわけではない。1匹のネズミでは絶対に子供は生まれないだろうし、1000兆のネズミは住処に困りそうだ。。これはつまり「$y$(今いる量=ネズミ口?)が大きいほど、それに比例して増加の割合${\mathrm dy \over \mathrm dx}$(ネズミの出産数)も大きい」ということになるからである。

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4 (dy/dx)=y/x

今度は${\mathrm dy\over \mathrm dx}={y\over x}$を考えてみよう。

 式${\mathrm dy\over \mathrm dx}={y\over x}$を見て「約分したのかぁ」と勘違いする人が時々いる。
---念の為に書いておくが、ここは笑うところである。

 この式の意味するところは「グラフの傾き(下の図の水色の直角三角形の斜辺の傾き)と(y/x)(下の図の青色の直角三角形の斜辺の傾き)が等しい」である。

 よって${\mathrm dy\over \mathrm dx}={y\over x}$は、考えている線に対し、原点から自分のいる場所に引っ張った線と同じ方向に進め!と「線を伸ばすルール」を決めていることになる。

 この下にこれまで同様の「動く図」がある。どのような関数になるか、だいたいわかると思うが、これまで同様に絵を書かせてみよう。

以下のボタン類の意味はこれまでと同様(このページでは、aは変えられない)。

 計算で答を出すのであれば、

${\mathrm dy\over \mathrm dx}={y\over x}$

から(ちょこちょこと計算することで)

$y= C x$

となる(この場合図で考えるより計算する方がむしろ難しい!)。

 この時、$y$軸上では計算できないんですか?
 いいところに気づきましたね。$y$軸上では$x=0$になって分母が0なので、計算できなくなってしまいます。ただ、これを${\mathrm dy\over \mathrm dx}=\pm\infty$と考えると、「まっすぐに立つ」という線が描けることになります。
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5 (dy/dx)=-x/y

 ここで考えるのは、${\mathrm dy\over \mathrm dx}=-{x\over y}$である。これは前頁でやった${y\over x}$と比較すると、「傾きが(逆数)のー1倍」になっている。こういう場合、2つの線は垂直になる(直線の場合ではあるが、中学や高校で習ったはず)。ということは、「線が進む向き」は前頁の場合の90度違う。ということはどうなるか。やはり下の図を見て予想したの後、ボタンを押して線を描かせてみよう。

以下のボタン類の意味はこれまでと同様(このページでは、aは変えられない)。

 ここまで考えてきたことは、図で考えても式で考えても同じ結果が出るのはもちろんだが、${\mathrm dy\over\mathrm dx}$が複雑な式になればなるほど、「図を見て考える」はたいへんなものになっていくたとえば台風の渦の形はなぜああなるのか、はこれよりもっと複雑な微分方程式を立てることで(ある程度)理解することができる。しかしそれは図だけで考えても、式だけで考えても大変だ。

 そういう時に、「数式で考える」ことが重要になってくる。本講義では、図と式の両方で「ある一点での量と量の関係(局所的な関係)から全体を通しての量と量の関係(大域的関係)を得る」ということができるようになることを目指したい。そのために自然法則を数や式で表現し計算するための数学テクニックを磨いていこう。

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プログラム全種ページ:いろいろやってみよう

 さて、最後のページではいろんな関数を表示できるようにしてあるので、自由に遊んでみて欲しい。

 ゆっくりとアニメーションで図を書くのがまっていられない人の為に、一挙に線を引いてしまうこともできるようにした。下にある「描画モード」を選べばよい。

a=1.0

(dy/dx)=
描画モード:

 微分方程式を計算して解いていくのはもちろん大事だが、こういう図のイメージで「微分方程式を解いて関数を求める」というのは何をやっているのかを感じておくのも大事である。
 くどいようだがこの式の意味や、どうしてこうなるかは、今はわからなくてよい。今回は「予告編」であり、「この講義で勉強するとこういう計算がすいすいできるようになる」ということを期待して欲しい。

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受講者の感想・コメント

 青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

タブレットを使っての授業は初めてだった。高校の時までは微分、積分は計算ばかりで意味をよく考えてなかったけど、これからの授業で学んでいきたいと思う。
意味がわからないと「使える数学」になりません。頑張りましょう。

タブレットでの授業を始めて受けました。とても分かりやすかったのですが、どうしても${\mathrm dy\over\mathrm dx}=y$のグラフのイメージがつきません。もう一度、自己学習してみたいと思います。
じっくり考えてみてください。質問あったらいつでもどうぞ。

今後数学をしっかり学びたいと思った。また様々な式を図にしてみると面白いと思いました。
しっかりやっていきましょう。図で考える癖はつけましょう。

タブレットを使った授業はおもしろかった。アニメーションもわかりやすくて、イメージしやすかった。
これからも使っていきます。

タブレット・プリントと2つとも図を使った授業だったのでとてもわかりやすかった。
図解は大事です。イメージをつけながら数学しましょう。

微分(=傾き)を図で見ることで、わかりやすく理解した。
先生は質問されるのが大好き。
はい、どんどん質問してください。

物理をするためには数学が大切だということを知ったので授業をしっかり受けてしっかり復習していこうと思いました。
はい。復習して手を動かして、数学を身につけてください。

今日は、高校の内容の他に${\mathrm dy\over\mathrm dx}={y\over x}$という関数のことについて知れたのでよかった。もっといろんなことを知っていきたいと思う。
いろいろと新しいことを勉強していきましょう!

微分の意味は今までまったくわからなかったけど、今日少しだけわかった。
これからの授業でもじっくりやるので「少しだけ」でなく完璧にしていってください。

授業は集中して全部聞き逃さないように頑張ります。タブレットを使った授業がはじめてでわくわくしました!!
集中よろしく。わくわくを持続させていきましょう。

いろんな方程式の図を見れてよかった。なんでこんな図になるのかと興味が湧いた。
これから先の授業で少しずつ、種明かししていきます。

微分方程式とは簡単に言えばどういうものなのかが分かりました。
後でもっと深く、微分方程式とつきあいましょう。

高1のときのオープンキャンパスで「タイムマシン」についての面白い話を聞いたのですが(理学部のイベントで)あの話をされたのは前野先生でしたでしょうか?
はい、それはまず間違いなく私です。

数学のとらえ方が少し変わった。授業もタブレットを使ってとても分かりやすかった。
自然科学の勉強に役立つ道具として、数学もタブレットも活用していきましょう。

前野先生!!イントロすごく良くて感動しました!今日はやる気に満ちて過ごせそうです!ちなみに、この授業で習う以外の数学を先生に聞いても良いのでしょうか?
それはどうもありがとう。やる気出して頑張ってください。質問はもちろん、答えられることならなんでもいいです(答えられないときはごめん)。

難しい授業になりそうだと思ったけど、頑張ってついていきたいです。
難しいけど、わかれば面白いので、頑張ってください。

ニュートンについて知らなかったことがわかったので良かった。自分が見たことのない関数がたくさんあるのだと分かった。
これからも「知らないこと」がたくさんでてきます。自分のものにしていきましょう。

${\mathrm dy\over \mathrm dx}={ay\over x},{ax\over y}$など、式の中に$y$が入っている数式は元の形に直すとどんな式になるのでしょうか?
「元の形」???? 元も何も、$y$は$y$ですが。

質問したかったことしてくれたので、スッキリしました。図形をイメージすることの大切さを今日は学びました。来週の授業ではたくさん質問したいと思います。
では、次回はあなたが質問して、みんなをスッキリさせましょう。

高校での微積はこういうときはこうみたいな感じであまり好きじゃなかったけど、今日は図とかでぐにゃぐにゃなったりして面白かったです。
微積でもなんでも、数学って本来は面白いもんですよ。

タブレットを使う授業は始めてで、楽しかった。また授業がわかりやすそうで安心しました。これからの授業が楽しみになりました。
これからも、お楽しみに。

${\mathrm dy\over \mathrm dx}=x$などのグラフを見ると2次曲線になるのを見て感動した。
グラフと式を頭の中で結びつけていきましょう。そうすれば数式にも感動がある。

高校までは主に数式や文字で説明を受けたので、タブレットを使ったビジュアル的な方程式はわかりやすくてとてもよかった。
頭にイメージを植え付けましょう。

私は図の方がわかりやすいので、タブレットをつかって図などが見れるのはありがたいです。
イメージを豊かに持っていきましょう。

自然科学を万人が理解できるようにするための道具が数学である。
その通りです。この授業でその道具を手にいれてください。

高校で習ったことを忘れていたので、復習できてよかったです。
なんか心配になるコメントだなぁ。習ったことは頭と身体に染みつけて、忘れないようにしないと。

もともと数学は好きなので楽しかった。自然科学を数学てで解いていくのはどっちも好きなので楽しみです。集中してがんばっていきたい。
集中して、楽しんでください。

自分もよく高校の頃は自転車で問題を解いていたので、今日の話はよくわかりました。今日の授業でわからない事はなかったのでまた次回質問します。よろしくお願いします。
どんな時でも(自転車乗ってても)学問はできる。質問はこちらこそ、よろしく。

数学が少し好きになりそう。イメージすると分かりやすいことがよく分かった。
イメージ豊かに、好きになってください。

今まで数式で全てをとらえていたのを視覚的にとらえられて理解がより深まりました。
数学はいろんな方向から攻めていきましょう。

グラフの線が予想したのとちょっとずつ違っていてあれ?と思いもしましたが、式だけで出されるよりは図で見た方がわかりやすかったです。
予想がズバズバと当たるようになりましょう。

宜しくお願いします。
こちらこそ宜しく。

タブレットを使ってグラフで見ることでとてもわかりやすかったです。
イメージを大切にしていきましょう。

集中する、前を向く。
トイレは自由。
mathは味方。
理解→式→式分野
  →図→図分野
授業は復習で自己学習
∈ってなんでしたっけ?

それぞれ今日話した注意事項ですね。∈ってのは「集合に含まれる」の記号かな??

今日は特にわからないところはありませんでしたが、微分積分にはかなり苦しめられた過去があるので、今後のことを考えると、不安を感じます。
わからなくなったら質問をよろしく。

大学受験の数学と大学で学ぶ数学は全然違うことを実感した。
中身は同じ(もちろん難しくはなるけど)なんですが、取り組む姿勢は変わってくる(変わらないと困る)かもしれませんね。

自分は高校の時の物理の授業がわかりづらく、いつも一人でやったり友達とやったりしておりました。これから授業は楽しくできるよう、しっかり理解できるようにしていきたい。
質問ありましたらいつでもどうぞ。また仲間同士でも教え合いましょう。

高校でやったことを改めて、理解できたり、理解できなかったことを理解できそうでした。やっていて思いました。
理解をどんどん深めていきましょう。

高校よりも難しい曲線がいくつもあっておどろいた。
まぁ、大学来たんだから高校より難しいことをどんどん学ばないとね。

タブレット端末は使ったことがなくて少しとまどいましたが新鮮でよかったです。
今後、どんどん使っていくことになります。

私は数学が得意ではないので、頑張って勉強して、より理科の理解を深められるようにしたいです。よろしくお願いします。
科学をやるには数学を得意にした方が絶対いいです。頑張りましょう。

高校でなんとなく計算できるようになってた微積は、実は自然化学を解明するために発明されたなど、微積の実用性について聞いてびっくりした。おもしろかった。タブレットの図は興味を持てた。もっと遊んでみたい。
これからも使いますし、最初のページに書いたようにダウンロードもできます。

微分は公式どおりというか、傾きを求めるためと聞いていたけど、もっと深いところがわかった。あと、ニュートンはすごいと思う。
勉強していくと、深いところもニュートンのすごさもどんどんわかってくると思います。

初めてタブレットを使った授業をしたのでおもしろかったし、視覚的に考えられてよかった。
アニメーションで得たイメージを大事にして勉強していきましょう。

「微分したら傾きがわかる」という意味が図解でよく理解できました。すごく興味の湧く講義でした!
興味を持続させていきましょう!

すごいおもしろい先生だと思いました。$-{x\over y}$の線がおもしろいなぁと思いました。これからも数学を楽しんでいきたいです。
おもしろく楽しく数学しましょう。

物理とかを学ぶためには数学も必要とはあまり知らなかった。タブレットを使いながらの授業は初めてだったのでとてもおもしろかった。
いやいや、数学は重要ですよ。がんばっていきましょう。

授業の進め方がわかった。
微分のことがアニメーションで振り返れたのでよかった。
入試以来勉強してなかったので、これから頑張って行きたい。
これから先は勉強にどっぷり浸かってください。

微分方程式の意味というか根本的なことを理解することができ、高校のときなぜこういうことをやっていたのかを知ることができました。初めてタブレットを使った授業でとても楽しかったです。
何を何のためにやるのかがわからないと、面白くないですよね。面白く楽しい数学をしましょう。

初めてタブレット使った。テンション上がる。
図のアニメがあるのでとてもわかりやすい。最終的に数式を見るだけで図がイメージできるようになりたい。
これからもテンション上げていきましょう。イメージあふれる数学を。

色々なグラフを見て少し微積が楽しそうだなと思いました。
楽しく勉強しましょう!

タブレット端末を使用した授業を初めて受けたが、図もわかりやすかった。
これからもどんどん使っていく予定です。

数学は昔からあまり好きではなかったけど、微分の意味やアニメーションを使った授業はとても興味があります。これからがんばります。
興味を持続させて、数学好きになってください。

先生の授業が塾の楽しく覚えられるような授業みたいで自分もこういう授業が好きなのでこれから楽しみです。
楽しく数学やっていきましょう。

ハイテクすぎておどろきました(笑)。数学苦手だけど授業楽しいのでがんばれそうです!!
これからよろしくお願いします\(^^)/
最後には数学得意になってください。こちらこそよろしく。

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