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テイラー展開（log）

同様に、 $\log{x}$ も ${x}=0$ の回りでは展開できないが、

$\begin{equation} {\mathrm d \over \mathrm dx}\log {x} = {1\over {x}},~~{\mathrm d \over \mathrm dx}\left({1\over {x}}\right)=-{1\over {x}^2},~~~ {\mathrm d \over \mathrm dx}\left(-{1\over {x}^2}\right)= {2\over {x}^3},~~~まとめて、{\mathrm d^n \over \mathrm dx^n}\log {x} = (-1)^{n+1} {(n-1)!\over {x}^n} \end{equation}$

という高階微分を計算したのちに、 ${x}=1$ の回りに展開すれば（テイラー展開の公式にある ${1\over n!}$ と上で出てきた $(n-1)!$ の積で ${1\over n}$ が残るので）、

$\begin{equation} \log {x}= \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}({x}-1)^n\over n}= ({x}-1)-{({x}-1)^2\over 2}+{({x}-1)^3\over 3}-{({x}-1)^4\over 4}+\cdots \end{equation}$

のような展開ができる。なお、この式を ${x}\to 1+{x}$ と置き直せば、

$\begin{equation} \log (1+{x})= \sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}{x}^n\over n}= {x}-{{x}^2\over 2}+{{x}^3\over 3}-{{x}^4\over 4}+\cdots \end{equation}$

となり、前に出した近似式が出てくる。

では、動くグラフでlogのテイラー展開を見よう。

ここでは、log(x)のx=1を中心とした展開を行っている。現在0番目の項のグラフまでを見せている。
下の「次のステップへ」というボタンを押すと、テイラー展開の低い次数から順に、展開結果の関数が表示される。

表示している関数
log(x)

$f({x})=\mathrm e^{-{1\over {x}^2}}$ という関数を考えよう。この関数は ${x}=0$ での値は定義されていないが、グラフに書いたように、 ${x}=0$ の付近では $0$ に近づく（ $\mathrm e^{-\infty}$ だと思えばよい）ので、 $f(0)=0$ と定義しておくことにすれば ${x}=0$ でも定義された連続した関数になる。

さらに、グラフで ${x}=0$ 付近が水平線になっていることからわかるように、 $n$ 階微分しても ${\mathrm d ^n\over \mathrm dx^n }f(0)=0$ である。一階微分と二階微分だけ計算しておくと、

$\begin{equation} {\mathrm d \over \mathrm dx}f({x})={2\over {x}^3}\mathrm e^{-{1\over {x}^2}},~~ {\mathrm d^2 \over \mathrm dx^2}f({x})= -{6\over {x}^4}\mathrm e^{-{1\over {x}^2}} +{4\over {x}^6}\mathrm e^{-{1\over {x}^2}},\cdots \end{equation}$

のようになるが、 ${x}=0$ に近づけると $\mathrm e^{-{1\over {x}^2}}$ が非常に早く0に近づくので、これらはすべて0となる。よって、右辺が恒等的に（ ${x}$ によらず）0になってしまう。

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