第14講　受講者からの感想・コメント

ハイパボリックの話しはとても興味深くて面白かった。今までハイパボリックの意味がわからなかったけど、少し分かってきた。

いっけん、妙な関数なんですが、これがなかなか「使える奴」なのです。

$\int\sqrt{1-x^2}\mathrm dx$を$y=\sqrt{1-x^2}$とすると、$y^2=1-x^2$が円の式になり、【三角形の図】より$x=\cos\theta$とおくこと、またθを増やせばxが減ることから$\mathrm dx=-\sin\theta\mathrm d\theta$で「ー」がつここが驚きでした。公式からなぜそんな式になるのかわからなかったので、知れてよかったです。

式の中にある意味は、常に考える癖をつけてみてください。

積分（数式）→「絵で理解する」（おもしろい！）。$\sinh x,\cosh x$とテイラー展開を、もう一度復習してみます。

$\sinh \theta,\cosh \theta$など、また難しい言葉でてきたなと思った。

新しい言葉ではありますが、難しくはありません。それに、これから先「難しい積分」を解く時に味方になってくれるものです。

部分積分・置換積分のやり方がわかった。でもやっぱり積分は難しいなと思った。

最近、高校の数学を復習したらほぼ忘れていて、駄目だなーと思いました( ´ー｀)。あとやっぱり記号が出てきてほしくないです（無理）。白身フライって何の生き物かは知りませんが、安価で美味しいしソースなどのバリエーションも増やしやすいのでとても良い食品だと思う。

θを使った置換積分はどういうことになっているのかわかりやすかった。

図で考えると簡単にできるやつもあっておもしろかった。

今回は、部分積分と置換積分についてくわしく知れた。高校で学んだことを忘れかけていたので勉強して復習したい。

積分のことを忘れているとこれから先困るので、今度こそ定着させてください。

積分でわからなかった部分積分がとてもわかってスゴイと思いました。理解ができているかはわからないので、家でしっかり復習したいと思います。

双曲線関数を微積の時間に見たときはなんやこれって感じでしたが、先生のおかげですごいなこれになりました。

今日は部分積分・置換積分と図解しました。高校では公式で解いていましたが、今日初めて図解して、楽しかったです。

いろんなやり方で、自分でやってみると、積分を実感できると思います。

$\sinh\theta,\cosh\theta$について、しっかり理解して使えるようにしたい。

$\sinh,\cosh$は習ったけど使い方を知らなかった。積分で$\sinh,\cosh$を使うことで簡単にすることができるとしって面白いなと思った。

前回の復習を最初にやって、理解できてなかった所が少しわかったので、うれしかったです。練習がんばります。

理解してないところを残さないようにやっていきましょう。

積分は図を書くことで求めることができるのもあるのが面白かった。また$\cosh,\sinh$が便利だと思った。

いろんな積分をやってみて、少しずつ理解できたと思う。ハイパボリックが難しかったです。

“サインハイパボリック”、名前もカッコイイし、式としてもとても面白いですが、知っていないと使えないんですね。

$\cosh\theta,\sinh\theta$など新しい？初めて学びました。とてもおもしろい！！と思いました。勉強します。

やっぱり部分積分は苦手ですが、置換積分が以前よりあっさりできて驚きました。

今日のはすべて知ってましたが、改めて聞いて、自分の考えが合っていたんだなと確認できました。

$\cosh\theta,\sinh\theta,\mathrm e^{\theta}$の関係が面白いと思った。今までこの形がでたらこの置換積分とおぼえていたものの、なぜその形で積分すればよいのかという理由がわかった。

やり方を自分で工夫していきましょう。そうすれば何を使うべきかわかってくるので。

積分を図形的な意味で考えるのが難しい。コツがあれば教えて欲しい。

コツというほどのものはないなぁ。やはり経験で分かってくる感じなので、まずは練習かと。

楽しく微分することができたと思う。テスト勉強がんばる。

$\cosh,\sinh$のところ、面白かったです。双曲線の式が$x^2-y^2=1$というのは知っていたので、それを$\sqrt{1+x^2}$で利用する。そういう発想ができるようにしたいです。

積分はいろいろやってみることが大事なので、使えるものはどんどん使っていきましょう。

$\sinh\theta$と$\cosh\theta$と$\mathrm e^\theta$の関係が面白かった。$\sinh\theta$と$\cosh\theta$を置換積分で使えるというのが予想外だった。

前は積分を式で見ていたが、今日は図でみて本当の意味がわかった。

積分（置換）について$\sqrt{1-x^2}$の$x$を$\sin t$とおいて置換することは当たり前のように計算してきたけど、図解などを通してわかった。

それぞれ「どうしてこうやるといいのか」を理解しながら使っていきましょう。

今日も積分について学んだ。置換積分をするときになぜ$x=\tan\theta,x=\sin\theta$と置き換えるのか、図を見て理解できたので良かった。

$\sinh\theta$と$\cosh\theta$がなぜ双曲線関数なのかということを、$\cosh^2\theta-\sinh^2\theta=1$の式をも見て気づいたとき、感動した。

三角関数に似ている関数が、関係式も似てくるというのが面白いところです。

もうすぐテストなのに$\sinh$や$\cosh$みたいな奴が新しくでてきて覚えるのがたいへんです。

何度も言っていることですが「覚える」というつもりで勉強してはいけません。sinhやcoshはむしろ「これがなかったら積分が難しくなる」という道具です。

高校のときは適当に出てきた問題を先生に言われたやり方で積分していたけれど、今回の授業で図を使ったりしてわかりやすかった。

やっぱり何をやるにも「動機」があってやらないとなかなかできるようにはならないと思います。

なんとかやっていた部分積分や置換積分の仕組みがわかると、拍子抜けした気分です。実際に自分でやれればいいのですが。

もちろん、自分で手を動かしてやってみてください。でないと身につきませんよ。

便利です。というか、これがないと積分なかなかできない。

今日の置換積分のところは高校の時にもやったので、わかりやすかった。$\infty\mathrm e^{-\infty}=0$というのが初めてわかった。

厳密には、xが大きくなる割合とexp(-x)が小さくなる割合を考えていくと0に近づくのがわかります。

受講者の感想・コメント