先週は

というところまでやったので、今週はまず、これの簡単な例をやってみよう。

$$\begin{equation} {\mathrm d\over \mathrm dx} {y}= {x}+{y} \end{equation}$$

という非斉次線型微分方程式を解きたい。これは「変数分離できる形」にはなってない。

まずは試行錯誤で解を探す。たとえば${y}=a{x}+b$が解になるだろうか、ということを考えてみる。代入してみると、

$$\begin{equation} \begin{array}{rl} \underbrace{a}_{\tiny {\mathrm d\over \mathrm dx} {y}}=& {x}+\underbrace{a{x}+b}_{{y}} \\ 0=&(1+a){x}+b-a \end{array} \end{equation}$$

となるから、$a=-1,b=-1$が解となる。これで${y}=-{x}-1$という解が見つかったわけである。ここで「バンザイ、解が見つかった」と終わってはいけない。なぜならこの解は「特別なある１つの解」であって、全ての解を求めていないのである。

関数${y}=-{x}-1$は上のグラフであり、この線の上という（全$x$-$y$平面から見たらほんとに狭い）範囲の上での「解」を求めたに過ぎない。前に述べたように、このような解を「特解」と呼ぶ。我々が求めたいのは全$x$-$y$平面を埋め尽くす、「一般解」である。

非斉次になっているのは${x}$という項のせいだから、これを消して

$$\begin{equation} {\mathrm d\over \mathrm dx} {y}= {y} \end{equation}$$

という斉次方程式を作ってみると、この解は

$$\begin{equation} {y}=C {\mathrm e}^{{x}} \end{equation}$$

である。非斉次方程式の解は特解にこの「斉次方程式の一般解」を足せば作ることができる。すなわち、

$$\begin{equation} {y}=-{x}-1 + C{\mathrm e}^{{x}} \end{equation}$$

が「一般解」なのである。

グラフを上の図に示した。グラフは$C$を$0.5$ずつ変えた線を示しているが、もちろん線と線の隙間にもちゃんと線があり、全平面を埋め尽くしている。どのような初期値$(x_0,y_0)$から出発しても、この微分方程式に従うその後の変化がわかることになる。

重ねあわせの原理のおかげで

という関係が成立するおかげで、このような計算ができる。

ここでやったことは以下のように考えてもよい。まず特解${y}=-{x}-1$を見つけたから、「実際の解は特解に近い形をしているだろう」と推測し、「とりあえず特解に未知の関数${Y}$を足したものが解だろう」とあたりをつけて、${y}=-{x}-1+{Y}$と置いてみる。これを元の微分方程式に代入すれば、

$$\begin{equation} \begin{array}{rl} {\mathrm d\over \mathrm dx} \left( -{x}-1+{Y} \right)=&{x}\underbrace{-{x}-1+{Y}}_{{y}}\\ {-1} + {\mathrm d\over \mathrm dx} {Y}=& {-1} + {Y} \end{array} \end{equation}$$

となるから、後は${\mathrm d\over \mathrm dx} {Y}={Y}$という微分方程式を解けばよい。