物体が$F$という力を受けるとき、運動方程式$m\left({\mathrm d\over \mathrm dt}\right)^2 {x}= F$が成り立つことが力学で知られている。この$F$が$-K{\mathrm d\over \mathrm dt}{x}$のように${x}$の時間微分に比例する場合（実際、速度が遅い場合の空気抵抗はだいたいこの式であっている）、すなわち、

$$\begin{equation} m\left({\mathrm d\over \mathrm dt}\right)^2 {x}= -K{\mathrm d\over \mathrm dt}{x}\label{FKv} \end{equation}$$

という微分方程式この式は実は<の式とほぼ同じである。結果を比べてみよ。ここではこのまま解いたが、${\mathrm d\over \mathrm dt} {x}={v}$と置いて${v}$の式にしてから解くという方法でもすぐ解ける。が成り立つ場合を考えよう。

初速度=

再スタート

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この方程式に${x}={\mathrm e}^{\lambda{t}}$を代入すると、 $$\begin{equation} m\lambda^2 {\mathrm e}^{\lambda{t}} = -K\lambda {\mathrm e}^{\lambda{t}} \end{equation}$$

となり、特性方程式は$m\lambda^2=-K\lambda$となる。

特性方程式の解は$\lambda=0,-{K\over m}$なので、 $$\begin{equation} {x}({t})= C_1 + C_2 {\mathrm e}^{-{K\over m}{t}} \end{equation}$$

が解である。グラフは右に描いたようになり、積分定数の意味は、$C_1$が${t}\to\infty$での${x}$の値、$C_1+C_2$が${t}=0$での${x}$の値である。

この微分方程式の解は、ボールなどを床に転がした時この状況であればボールは水平に動くので、重力は運動とは関係ない。にどのようにボールが運動するかを表している。最初に${x}=0$にあるとして、いろいろな初速度を与えた場合の運動の様子が次のグラフである。

初速度=

再スタート クリアして再スタート

グラフでは、$C_1=v_0{m\over K},C_2=-v_0{m\over K}$と選んである。 $$\begin{equation} {\mathrm d\over \mathrm dt}{x}({t})= -{K\over m}C_2{\mathrm e}^{-{K\over m}{t}} \end{equation}$$ であるから、これで${x}(0)=0,{{\mathrm d\over \mathrm dt}}{x}(0)=v_0$になる。初速度に比例した距離だけ移動できることがわかる（ただし、「止まるまでの時間」は$\infty$である！）。