二階線形微分方程式の定数変化法

二階線型微分方程式の場合、定数変化法は使えるだろうか？---一般的な形として、

$$\begin{equation} f''({x}) +p({x})f'({x}) +q({x})f({x})=r({x}) \end{equation}$$

のような形の微分方程式を考えよう。

これを斉次方程式にした（つまり、$r({x})=0$と置いた）式$f''({x}) +p({x})f'({x}) +q({x})f({x})=0$の解が、$F({x}),G({x})$と二つ求ったとしよう（線型二階微分方程式だから独立な解が二つある）。非斉次方程式の一般解を$C({x})F({x})+D({x})G({x})$と置くのだが、ここで$C({x}),D({x})$は任意ではなく

$$\begin{equation} C'({x})F({x})+D'({x})G({x})=0\label{CdFDdG} \end{equation}$$

を満たしているとしよう。

元の微分方程式に$f({x})=C({x})F({x})+D({x})G({x})$を代入すると、

$$\begin{equation} \begin{array}{rl} \left({\mathrm d\over\mathrm dx}\right)^2\left(C({x})F({x})+D({x})G({x})\right) +p({x}){\mathrm d\over\mathrm dx}\left(C({x})F({x})+D({x})G({x})\right)&\\ +q({x})\left( C({x})F({x})+D({x})G({x})\right)=&r({x}) \\ \end{array} \end{equation}$$

となるが、ここで大事なのは、上の条件のおかげで、

$$\begin{equation} \begin{array}{rl} {\mathrm d\over\mathrm dx}\left(C({x})F({x})+D({x})G({x})\right) =& \overbrace{C'({x})F({x})}^{足して0→} + C({x})F'({x})+\overbrace{D'({x})G({x})}^{←足して0}+D({x})G'({x})\\ =& C({x})F'({x})+D({x})G'({x})\\ \end{array} \end{equation}$$

となることである。二階微分は

$$\begin{equation} \left({\mathrm d\over\mathrm dx}\right)^2\left(C({x})F({x})+D({x})G({x})\right) = C({x})F''({x})+D({x})G''({x}) +C'({x})F'({x})+D'({x})G'({x}) \end{equation}$$

となる。以上を微分方程式に代入すると、

$$\begin{equation} \begin{array}{rl} &C'({x})F'({x})+D'({x})G'({x}) + C({x})F''({x})+D({x})G''({x}) \\ +&p({x})\left(C({x})F'({x})+D({x})G'({x})\right) +q({x})\left( C({x})F({x})+D({x})G({x})\right)=r({x}) \\ \end{array} \end{equation}$$

となり、さらに$F({x}),G({x})$が斉次方程式の解である（$F''({x})+p({x})F'({x})+q({x})F({x})=0,G''({x})+p({x})G'({x})+q({x})G({x})=0$）ことから、

$$\begin{equation} C'({x})F'({x})+D'({x})G'({x})=r({x}) \end{equation}$$

だけしか残らない。これと条件$C'({x})F({x})+D'({x})G({x})=0$を連立方程式として解く。

たとえば$C'({x})=-{D'({x})G({x})\over F({x})}$として代入してもよいし、 $$\begin{equation} \left( \begin{array}{cc} F({x}) & G({x}) \\ F'({x}) & G'({x}) \\ \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} C'({x})\\D'({x}) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\r({x}) \end{array}\right)\label{matrixCD} \end{equation}$$

のように行列で書いて逆行列を掛けたってよい行列はこういう時にこそ使うものである。。計算の結果は

$$\begin{equation} C'({x})=-{r({x})G({x})\over F({x})G'({x})-F'({x})G({x})},~~~ D'({x})={r({x})F({x})\over F({x})G'({x})-F'({x})G({x})} \end{equation}$$

という微分方程式が出る。右辺は既知関数であるから積分すればよい（積分定数として未定パラメータが一個ずつ出る）。

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FAQ:分母の$F({x})G'({x})-F'({x})G({x})$は0になることはないですか？

この式は「ロンスキアン」という名前がついた式で、要はここで出てきた行列の行列式なのだが、$F({x})$と$G({x})$が線型独立な関数なら、0にはならない。逆に、これが0なら$G({x})$は$F({x})$の定数倍になることが証明できる。

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具体例として、バネ振り子に外力$F_0\cos \omega t$を加えた運動方程式

$$\begin{equation} m\left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x}= -k{x}+F_0\cos\omega t \end{equation}$$

を解こう。ただし、$\omega=\sqrt{k\over m}$で、斉次方程式$m\left({\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x}= -k{x}$の解は

$$\begin{equation} {x} = A\cos\omega t +B\sin\omega t\label{ABconst} \end{equation}$$

である。つまり、普通に振動させると$\omega=\sqrt{k\over m}$の角振動数で振動する振り子に、外から同じ振動数の外力を加えているという状況である。

ここで係数$A,B$をそれぞれ$A(t),B(t)$と時間の関数にすればよい。前と同様に、

$$\begin{equation} {\mathrm d A\over \mathrm dt}(t)\cos \omega t+{\mathrm d B\over \mathrm dt}(t)\sin \omega t=0\label{mkcon} \end{equation}$$

という条件をつける。すると、

$$\begin{equation} \begin{array}{rl} {\mathrm d\over\mathrm dt} {x} =&-\omega A(t)\sin \omega t+\omega B(t)\cos \omega t \end{array} \end{equation}$$

となる（微分${\mathrm d\over\mathrm dt}$が$A(t),B(t)$に掛かった項は条件により消える）。もう一度微分して、

$$\begin{equation} \begin{array}{rl} \left( {\mathrm d\over\mathrm dt}\right)^2 {x} =& -\omega {\mathrm d A\over \mathrm dt}(t)\sin \omega t+\omega {\mathrm d B\over \mathrm dt}(t)\cos \omega t -\omega^2 A(t)\cos \omega t-\omega^2 B(t)\sin \omega t \end{array} \end{equation}$$

がわかり、元の方程式に代入すると$A,B$が微分されない項は全て消えるので、

$$\begin{equation} -m\omega {\mathrm d A\over \mathrm dt}(t)\sin \omega t+m\omega {\mathrm d B\over \mathrm dt}(t)\cos \omega t =F_0\cos \omega t \end{equation}$$

を条件と連立させて解く。

$$\begin{equation} {\mathrm d A\over \mathrm dt}(t)=-{F_0\over m\omega}\sin \omega t\cos \omega t={F_0\over 2m\omega}\sin 2\omega t,~~ {\mathrm d B\over \mathrm dt}(t)={F_0\over m\omega}\cos^2\omega t ={F_0\over 2m\omega}\left(1+\cos 2\omega t\right) \end{equation}$$

という解が出るから、後はこれを積分して

$$\begin{equation} A(t)=-{F_0\over 4m\omega}\cos 2\omega t +A_0,~~~ B(t)={F_0\over 2m\omega}\left( t+{1\over 2}\sin 2\omega t \right)+B_0 \end{equation}$$

が解である（$A_0,B_0$は積分定数）。$B(t)$は時間が経過するに従ってどんどん増加する関数になっている。つまり単振動の周期と同じ周期で外力を加えると、単振動の振幅がどんどん増加する（共振または共鳴と呼ばれる現象である）。