積分可能条件

偏微分も常微分同様、二階微分、三階微分があり、その記号も

\begin{equation} \left( {\partial\over \partial x} \left({\partial f({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}} \right)_{\!\!{y}} =\left( {\partial^2 f({x},{y})\over \partial x^2}\right)_{\!\!{y}} ,~~ \left( {\partial\over \partial y} \left({\partial f({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}} \right)_{\!\!{x}} =\left( {\partial^2 f({x},{y})\over \partial y^2}\right)_{\!\!{x}} \end{equation}

のように常微分の場合に似た書き方にする。偏微分の場合は、

\begin{equation} \left( {\partial\over \partial x} \left({\partial f({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}} \right)_{\!\!{y}}={\partial^2 f({x},{y})\over \partial x \partial y} \end{equation}

のように「最初に${y}$で微分、次に${x}$で微分」のような計算も出てくる(上の式の右辺は固定する変数を省略する書き方を使った)。分母の書き方が常微分と決定的に違うところなので注意しようここで、${\partial^2 f({x},{y})\over \partial x\partial y}$と${\partial ^2 f({x},{y})\over \partial y\partial x}$は違うのか?---という疑問を持った人もいるだろう。その答はすぐ後で。

この後やりたいことは、
\begin{equation} U({x},{y})=一定~~~を微分して~~~ \underbrace{ \left({\partial U({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}}_{P({x},{y})}\mathrm dx +\underbrace{ \left({\partial U({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}}_{Q({x},{y})}\mathrm dy=0 \end{equation}
の逆、つまり、$P,Q$から$U$を求めるという計算である。そのために、関数$f({x},{y})$の偏微分が持つべき性質を確認しておこう。

偏微分の交換可能性

\begin{equation}\begin{array}{c} {\partial \over \partial x}\left(\left( {\partial f({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}} \right)_{\!\!{y}} = {\partial \over \partial y}\left(\left( {\partial f({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}} \right)_{\!\!{x}} \\[8mm] または\\[4mm] {\partial^2 f({x},{y})\over \partial x \partial y} ={\partial^2 f({x},{y})\over \partial y \partial x}~~~\leftarrow {\scriptstyle 一定にする変数を省略した書き方} \end{array}\label{henbibunkoukan} \end{equation}

上の式、すなわち偏微分が交換可能であることを確認する。これを${y}$で偏微分するということは

\begin{equation} \begin{array}{rl} \left({\partial \over \partial y}\left( {\partial f({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}} \right)_{\!\!{x}} =& \lim_{{\Delta y}\to0} {\left( {\partial f({x},{y}+{\Delta y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}} -\left( {\partial f({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}} \over {\Delta y}} \end{array}\end{equation}

という計算だが、この式の分子にさらに偏微分の定義を代入することで

\begin{equation} \begin{array}{rl} =& \lim_{{\Delta x}\to0\atop{\Delta y}\to0} {{ f({x}+{\Delta x},{y}+{\Delta y}) -f({x},{y}+{\Delta y})\over {\Delta x}} -{f({x}+{\Delta x},{y}) -f({x},{y})\over {\Delta x}} \over {\Delta y}}\\[5mm] =& \lim_{{\Delta x}\to0\atop{\Delta y}\to0} { f({x}+{\Delta x},{y}+{\Delta y}) -f({x},{y}+{\Delta y}) -f({x}+{\Delta x},{y}) +f({x},{y}) \over {\Delta x}{\Delta y}} \end{array}\label{DxDyf} \end{equation}

を得る。次に${x}$で偏微分すると、結果は${x}$と${y}$の微分の順番を変えただけなので、

\begin{equation} \left( {\partial \over \partial x}\left( {\partial f({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}\right)_{\!\!{y}} =\lim_{{\Delta x}\to0\atop{\Delta y}\to0} { f({x}+{\Delta x},{y}+{\Delta y}) -f({x}+{\Delta x},{y}) -f({x},{y}+{\Delta y}) +f({x},{y}) \over {\Delta x}{\Delta y}}\label{DyDxf} \end{equation}

を得る。注意深く見れば、(引き算の順番が入れ替わっているが)同じ式なのがわかる。

図で表現しておこう。省略形で${\partial\over \partial y}\left({\partial f\over \partial x}\right)$になる微分を図で表現したのが次の図である。

一方、${x}$と${y}$の立場を取り替えた${\partial \over \partial x}\left({\partial f\over \partial y}\right)$は次の図のように書ける。

最終的に足したり引いたりしているものは、と、同じ量になっているので、二つの微分は同じになる。別の言い方をすると、偏微分$\left({\partial\over \partial x}\fbox{?}\right)_{\!\!{y}}$をする操作と偏微分$\left({\partial\over \partial y}\fbox{?}\right)_{\!\!{x}}$をする操作は交換する。これから、

\begin{equation} Uが存在する。\Rightarrow \biggl({\partial \over \partial x}\underbrace{\left({\partial f({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}}_{Q({x,{y}})}\biggr)_{\!\!{y}}= \biggl({\partial \over \partial y}\underbrace{\left({\partial f({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}}_{P({x},{y})}\biggr)_{\!\!{x}} \end{equation}

ということがわかる。よってこの対偶「$P\Rightarrow Q$」に対して「$Qでない\Rightarrow Pでない$」をその対偶と呼ぶ。ある命題が正しければその対偶も正しい。を取れば、

\begin{equation}\left( {\partial P({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}=\left( {\partial Q({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}~~~または~~~ \left( {\partial Q({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}- \left( {\partial P({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}=0\label{sekibunkanou} \end{equation}

が成立していなかったら、$\mathrm d\left(U({x},{y})\right)=P({x},{y})\mathrm dx+Q({x},{y})\mathrm dy$となる$U$は存在しない

ということがわかる。この式は「積分可能条件(integrability condition)」と呼ばれる。
上の式の二つ目、$\left({\partial Q({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}- \left({\partial P({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}=0$の、「${y}$に関係する量である$Q$を${x}$で微分したものと、${x}$に関係する量である$P$を${y}$で微分したものを引き算する」という計算は、ベクトル解析で「rot」という名前で登場するもの(${y}$成分を${x}$で微分したもの引く${x}$成分を${y}$で微分したものを含んでいる)と似た形をしている。また複素解析でも同様の形の式が出て来る。 今後、これと同様の式が出てきて、それが0になった時は「積分可能になった(つまり、$U$が求められる!)」とピンと来て欲しい。

ここで示したのは、「$U$が存在$\Rightarrow$積分可能条件が満たされる」である。この逆「積分可能条件が満たされる$\Rightarrow U$が存在する」も成り立つ。これは、実際に$U$を作ってみれば確かめられる。ここで、

よくある間違い

\begin{equation} U_誤({x},{y}) =\int_{x_0}^{{x}}\mathrm dt P({t},{y}) +\int_{y_0}^{{y}} \mathrm dt Q({x},{t})\label{Umachigai} \end{equation}

をしないよう気をつけよう$\int_{x_0}^{{x}}\mathrm dt P({t},{y})$という式を見て、${x}$が入るべきところに${t}$が入っている!」とパニックになってしまう人がたまにいるのだが、別にびっくりするようなことではなく、単に${t}$が(通常${x}$が入っている場所に)代入されているだけのことである。そして、その${t}$という変数が${t}=x_0$から${t}={x}$まで積分されている。積分する間に変化する積分定数${t}$と、積分の上端${x}$は違う量なのだから違う文字を使う。ここで「${x}$に${t}$を代入するのなんて嫌だ」とばかりに$\int_{x_0}^{{x}}\mathrm dx P({x},{y})$などと書いたら混乱が生じてしまう。

「そんな間違いしないよ」と思うかもしれないが、結構ここでひっかかる人はいる。
たとえば、${x}\mathrm dx+{y}\mathrm dy=0$という式から「$P={\partial U\over \partial x}={x},Q={\partial U\over \partial y}={y}$」を読み取る。ここで「${x}$で微分して${x}$ということは${1\over 2}{x}^2$、${y}$で微分して${y}$ということは${1\over 2}{y}^2$。この二つを足して$U={1\over 2}{x}^2+{1\over 2}{y}^2$」と考えるのは間違いではない。
しかし、だからと言って、${y}\mathrm dx+{x}\mathrm dy=0$という式から「$P={\partial U\over \partial x}={y},Q={\partial U\over \partial y}={x}$」を読み取り、「${x}$で微分して${y}$ということは${x}{y}$、${y}$で微分して${x}$ということは${x}{y}$。この二つを足して$U=2{x}{y}$」と、同じパターンを繰り返すと間違いなのである。
↑が納得できないという人は検算してみること!

一見「微分は積分の逆だからこれでOK」と思ってしまいがちだが、この$U_誤$を微分すると、

\begin{equation}\left( {\partial U_誤({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}=P({x},{y}) +\int \mathrm dt \left({\partial Q({x},{t})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}} \end{equation}

となってしまって${\partial U\over \partial x}=P({x},{y})$にならない${\partial\over \partial x}\int_{y_0}^{{y}} \mathrm dt Q({x},{t})=\int \mathrm dt {\partial Q({x},{t})\over \partial x}$に注意。${x}$による偏微分${\partial\over \partial x}$は(${y}$を一定としての微分)であるから、$\int_{y_0}^{{y}}\mathrm dt$という積分とは無関係であり、順番を交換してもよい。。${\partial U\over \partial x}=P({x},{y})$とするのに$U$に必要なのは第1項の$\int_{x_0}^{{x}}\mathrm dt P({t},{y}) $だけであって、これ以外に${x}$の関数を付け加えては答があわなくなってしまう。付け加えてもよいのは${y}$の関数のみである。

というわけで、$Q({x},{y})$を含む項を入れるのをやめて、

\begin{equation} U_試({x},{y})=\int_{x_0}^{{x}}\mathrm dt P({t},{y})+f({y}) \end{equation}

という関数を試しに作ってみる。この関数は

\begin{equation} \left( {\partial U_試({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}=P({x},{y}) \end{equation}

を満たす(第2項の$f({y})$は${x}$で偏微分すると消える)。次に${y}$で微分してみよう。

\begin{equation} \left( {\partial U({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}=\int_{x_0}^{{x}}\mathrm dt \left({\partial P({t},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{t}} +{\mathrm df\over \mathrm dy}({y}) \end{equation}

となる($f({y})$の微分は偏微分にする必要はないことに注意)。

この結果は$Q({x},{y})$にならなくてはいけない。積分可能条件$\left({\partial P({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}=\left({\partial Q({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}$を(${x}$のところに${t}$を代入し$\left({\partial P({t},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{t}}=\left({\partial Q({t},{y})\over \partial t}\right)_{\!\!{y}}$に変えてから)使うと、

\begin{equation} \left( {\partial U_試({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}=\int_{x_0}^{{x}}\mathrm dt\left({\partial Q({t},{y})\over \partial t}\right)_{\!\!{y}}+{\mathrm df\over \mathrm dy}({y}) \end{equation}

となる。ここで、${\partial \over \partial t}$という計算は「${y}$を一定として」という前提のもとでの計算だから、${y}$は定数とみなしてよい。よって、$\int_{x_0}^{{x}}\mathrm dt {\mathrm df\over \dt}({t})=f({x})-f(x_0)$という、定積分と原始関数の関係が偏微分に対しても同様に成り立って、

\begin{equation} \int_{x_0}^{{x}}\mathrm dt\left({\partial Q({t},{y})\over \partial t}\right)_{\!\!{y}}=Q({x},{y})-Q(x_0,{y}) \end{equation}

とすることができる(${t}$で微分してから${t}$で定積分した、ということ)。これを使えば

\begin{equation} \left( {\partial U_試({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}=\int_{x_0}^{{x}}\mathrm dt\left({\partial Q({t},{y})\over \partial t}\right)_{\!\!{y}}+{\mathrm df\over \mathrm dy}({y})=Q({x},{y})-Q(x_0,{y})+{\mathrm df\over \mathrm dy}({y})\label{Utamesite} \end{equation}

を得る。最後の$-Q(x_0,{y})+{\mathrm df\over \mathrm dy}({y})$の分だけ目論見とずれる。そこで、$f({y})$として、「微分すると$Q(x_0,{y})$になる関数」を選べば、ずれがちょうど解消される。そのような関数として$\int_{y_0}^{{y}} \mathrm dt Q(x_0,{t})$を選べば、

\begin{equation} U({x},{y})=\int_{x_0}^{{x}}\mathrm dt P({t},{y}) +\int_{y_0}^{{y}} \mathrm dt Q(x_0,{t})\label{Uintone} \end{equation}

である。この$U({x},{y})$は$\left({\partial U({x},{y})\over \partial y}\right)_{\!\!{x}}=Q({x},{y})$を満たす。${y}$のみの関数を付け加えたのだから、$\left({\partial U({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{y}}=P({x},{y})$の方もそのまま成り立っている。

なお、ここでやった計算で${x}$と${y}$の役割を逆転させれば、

\begin{equation} U({x},{y})=\int_{x_0}^{{x}}\mathrm dt P({t},y_0) +\int_{y_0}^{{y}} \mathrm dt Q({x},{t})\label{Uinttwo} \end{equation}

という式が作られる。これも正しい$U({x},{y})$である。微分してみると、

\begin{equation} \begin{array}{rl}\left( {\partial U({x},{y})\over \partial x}\right)_{\!\!{x}} =&P({x},y_0)+\int_{y_0}^{{y}}\mathrm dt \left({\partial Q({x},{t})\over \partial x}\right)_{\!\!{t}}\\[4mm] =&P({x},y_0)+\int_{y_0}^{{y}}\mathrm dt \left({\partial P({x},{t})\over \partial t}\right)_{\!\!{x}}\\[4mm] =&P({x},y_0)+P({x},{y})-P({x},y_0)=P({x},{y}) \end{array} \end{equation}

となって、ちゃんと$U({x},{y})$の満たすべき条件を満たしている。

この二つの積分が「どの場所の何を積分しているか」を図で表したものが次のグラフである。

場所$({x},{y})$における$U$を求めるために、一方はまず右へ$\to({x},y_0)$進んでから上へ$\to({x},{y})$と進む。もう一方はまず上へ$\to(x_0,{y})$へ進んでから右へ$\to({x},{y})$進んでいる。この二つの積分結果が同じになることが積分可能条件そのものなのである。「微分の逆が積分」ということは何度か述べているが、常微分で成立した$\int_a^b {\mathrm df\over \mathrm dx}({x}) \mathrm dx=f(b)-f(a)$という式を偏微分の時に使おうとすると、「積分ってどの積分?(${x}$方向?、${y}$方向?、斜め?…曲線でもいいし)」という問題が生じてくる。積分可能条件が成立してればそこは気にしなくてよい。

【授業後に出た質問↓】

この積分って重積分ですか?
いや、重積分ってのはたとえば「$x$で積分した後で$y$で積分する」のようにして、この面を覆い尽くすような積分。この積分はむしろ「線積分」になる。
二つの積分の積分範囲が短いとして$\int_a^b \mathrm dx f(x)\simeq f(a)(b-a)\simeq f(b)(b-a)$のような近似を行うと、二つの積分が等しいという式から積分可能条件を導ける。やってみよう。

以上からわかるように、ある微小量があったとき、それが全微分であるかどうかというのは非常に大事である。ある量が微小量で、かつ全微分である量であったとすれば、そのある量を$\mathrm dX$と書いて、「微分される前の量」である$X$を定義することができる。そうやって定義された$X$は、「変化のさせ方にはよらず、変化後の状態だけで決まる量(状態量)」になり、便利である。

いったん「状態量」であることが証明された量は、「これまでどんな変化をしてきたか」という経歴を一切考慮することなく「今どうなっているか」だけを見て計算し表現することができる。たとえばエネルギーなどがこれにあたる(例えば「この物体が昨日どこにいたかを知らないとこの物体の位置エネルギーは計算できない」と言われたらどれだけ面倒くさいことになるか、と想像してみればよい。エネルギーが状態量であることの有難味がわかる)。ある微小量が全微分となり、対応する状態量が定義できる(逆にいえば、これを微分すれば最初考えていた「ある微小量」が出て来る)という状況は、たいへん有り難い状況なのである。

一方、微小量ではあるが全微分ではない量(もちろんこういう量も存在する!)についてはこれができないから、対応する状態量を定義できない 例としては「熱」がある。気体をある状態から微小に違う別の状態に変化させる時に、微小な熱が移動することになるが、一般的には変化のさせ方で移動する熱量は変わる。だから、「微分すると熱になる量」は特別な場合を除けば定義できない。。そういう量は$\mathrm dy 'X$のように${}'$をつけて「全微分じゃないよ」ということを表すこともある。

受講者の感想・コメント

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受講者の感想・コメント

 青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

今日はクリスマスです。今日の講義ではあまり集中出来ず、分からない所がたくさんでました。次回年明け頑張りたいと思います。よいお年を!
集中は切らさないように、よいお年を。

完全に理解していろいろ使えるようにしたいと思いました。
使い途は多いですよ、全微分と偏微分。

偏微分の図解をもう一度復習して理解したい。ポテンシャル、保存力について再確認しました。
図解はじっくり考えてみてください。わかると面白いです。

先生は何か、数学の本は書かれているのでしょうか。あと、ケーキが食べたいです。
この授業のプリントをいずれ本にまとめるつもりです。ケーキは私はいいや(太るから)。

積分可能性がすごかった。メリークリスマス
すごいかな? メリークリスマス。

今年はありがとうございました。来年も宜しくお願いします。
はいこちらこそよろしく。

全微分された式から出来た微分方程式の大まかな解き方がわかってきたが、数式を使った具体例があればもっと理解が深まると思う。
是非練習問題やっておいてください。

なんとなく分かったようなぼやっとしてる。
ハッキリしよう。

今日の講義はとても内容がこかったので、大変でした。家で復習がんばります。
そう?? 毎回これぐらいの内容はあると思うんだけど。

微積で偏微分を習ったときは全微分との違いがわからなかったけど、今日の授業で理解することができた。
違いを理解しておいてください。

全微分、少しだけ理解できました。一つ一つ確認して、いろいろな計算をやってみたいと思いました。グラフに式をうつして考えるのは、とても理解しやすかったです。式だけで考えずに、図にするのも大切だと思いました。
いろんな計算をやってみて、「少し」の理解を「完璧」にしてください。図は大事ですよ〜〜

証明もあってたいへんだった。
大事なところは証明も理解しておかないとね。

積分可能条件について、おもしろいと思った。自分は物理をやっていないが、科学の分野にいおいて状態量という知識を今回知ってよかったと思う。
いろんなところで出てくる概念だと思います。

xの変化量とyの変化量を頭の中でちゃんと整理して理解していきたい。
うまく整理しておきましょう。

$\left({\partial \over \partial y}\left({\partial U\over \partial x}\right)\right)$と$\left({\partial \over \partial x}\left({\partial U\over \partial y}\right)\right)$が一緒であるという証明がわかりやすかった。
よく理解しておいてください。あと、この条件の大切さも。

今回の講義でよりイメージがしやすくなりました。勘違いしないよう気をつけます。
じっくり計算してみてください。

積分可能条件がエネルギーの話とつながっているのは驚きだった。
エネルギーに限らず、いろんな量が積分可能条件を満たすかどうか、ってのは大事な視点ですよ。

全微分の式がどういう時に成り立つのかわかった。
あの条件は是非、きっちり理解しておいてください。

今日はけっこうわかりました。
それはよかった!

自然が数式で表せるということに驚くばかりである。何故ここまで完璧にルールにそうのだろうか。面白い。
全くですね。自然に合わせて数学を作っていった面もあるとはいえ、うまく表せ過ぎだと思います。

偏微分の式での説明は理解できましたが、図の方がよくわからなかったです。
わかった方でまずは理解しておいてください。そのうち、両方がつながります。

よいお年をお迎え下さい!!
あなたも、よいお年を!!

全微分について、難しくなってきたので頑張りたい。
ここを乗り越えていって下さい(その先には偏微分方程式も待っている)。

$\left({\partial \over \partial y}\left({\partial f(x,y)\over \partial x}\right)_y\right)_x$と$\left({\partial \over \partial x}\left({\partial f(x,y)\over \partial y}\right)_x\right)_y$の証明は、式の方がわかりやすいと思いました。
このあたりは、人によるみたいです。自分にわかりやすい方で理解しておいてください。

積分可能条件OK→積分の経路によらない、ということについて、深く考えてみたいと思った。
深く深〜く考えてみてください。

定義からしっかり数式の意味をおってみたいと思った。
いやそれ「思った」じゃなくて、常にそうやってください。それが数学を使うということです。

積分可能条件が成り立てば、Uは経路によらない状態量であると分かり、納得した。復習します!!
そこが納得できたなら、今日の授業は成功。

基本的な内容の徹底を目指す。
うん、目指して下さい。

前野先生の授業が面白いが真であるので、面白くなければ前野先生の授業でないも真になるのでしょうか。ゴマスリスリ。
前提が真ならね(^_^;)。

難しい難しい。とりあえず、$\left({\partial \over \partial y}\left({\partial f(x,y)\over \partial x}\right)_y\right)_x$ $\left({\partial \over \partial x}\left({\partial f(x,y)\over \partial y}\right)_x\right)_y$。最初$x$で微分して$y$で微分=最初$y$で微分して$x$で微分。
それが「当然じゃん」と思えるようになるまで、じっくり式を(あるいは図を)いじくってみてください。

積分可能条件を導くまでの過程がとても解りやすかったです。
それはよかった。大事なところなのでよく理解しておいてください。

最近、風邪がひどいです。
お大事に。

今日の講義は全微分の積分でしたが、とてもわかりやすい講義でした。いつになく楽しかったです。1番「なるほど!」と思った講義でした。最高のクリスマスプレゼントをありがとうございます。
どういたしまして。なるほど!と思ってもらえて、私も嬉しい。

積分可能条件

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