はじめに:先週の復習

 先週は「関数とはなにか」から始めて、3次多項式の関数までを考えた。
 そこで、3次関数 y=ax3+bx2+cx+d のそれぞれの係数にはどんな意味があったかについて復習した。特に、cすなわち1次の係数は「原点x=0におけるグラフの傾き」という意味が、bすなわち2次の係数には「原点x=0におけるグラフの曲がり具合(上に凸か下に凸か)という意味があった。なぜ次数が低い方が重要かというと、原点付近(xの絶対値が小さい)を考えていると次数が低い方が「効く」からである。今日は三角関数の話を主にするが、最後の方で少し「θが小さい時の三角関数」について触れる。

 次数があがるとグラフの複雑さは増していく。n次多項式のグラフはn-1個の山/谷を持つ(重なって変曲点になる場合はその分減るが)。右は7次多項式関数の例である(山が三つ、谷が三つある)。この式はf(x)=0が7つの解を持っているが、f(x)=C(Cは定数)が最大いくつの解を持つことができるか、ということと、山や谷の数には関係がある。

 7次多項式=0という式の解はグラフで表現すれば、y=7次多項式を表す線とy=0が表す線(x軸)との交点である。7次方程式は最大で7つの解を持つが、7つの解を持つためには、グラフは6回、増加/減少を切り替える(つまり山/谷が6つある)ことが必要である。だから、グラフの複雑さと解の数には結びつきがある。
 お願い。

 この授業はプリントでやっていますが、時々、「プリントがどっか行ってしまったので試験勉強できませんでした」というタワケタことを言う人がいます。
 そういうことにならぬよう、生協なり文具屋さんなりで、ファイルなどを買ってプリントを一冊に整理しておいてください(前期だけで100ページ以上にはなります)。
 授業ではプリントの内容全部はしゃべれませんので、自宅などで読み返して学習してください。

 では、今日は三角関数を考えていこう。

授業ではandroidタブレットを使って以下のページにあるアニメーションを実行してもらいながら行いましたが、今日使ったプログラムは、androidの携帯などにアプリとしてインストールすることもできます。
「三角関数」をダウンロード(←クリックでダウンロードできない場合は「リンク先を保存」をしてください)
 インストールするためには、androidの「設定>セキュリティ>提供元不明のアプリ」で、「提供元がPlayストアでないアプリのインストールを許可する」にチェックを入れておいてください。

 プログラムについて御質問、御要望、バグ報告などございましたら、前野[いろもの物理学者]昌弘へメールくださるか、または、twitterにてirobutsuまでメンションしてください。

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三角形の辺の比による定義

 三角関数というのは「角度→直角三角形の辺の比」という関数としてまず定義される。つまり、「直角三角形の角度を一つ決めると、辺の比が決まる」という関係が「三角関数」である。理工学では、角度は「度」ではなく一周を$2\pi$とする角度がよく使われることが多いなぜか、というのはこの後三角関数の性質を考えていくなかで理解できるはずである。

この角度の単位は「rad」と書いて「ラジアン」である。

 一周を2πラジアンとすると何が都合がいいかというと、半径r、頂角θの扇形の弧の長さが rθとなり、計算が楽になる(円は頂角2πの扇形と考えれば、その弧すなわち円周は2πrになる)。特に運動を考えているときは物体の移動する距離(長さ)の計算ができる限り簡単な方がよいので、以後も角度はラジアンを使う。

ちなみに360度が一周なのは、360が約数がたくさんある数字だから。

 角度を表す文字として、ギリシャ文字のシータ(θ)を使おうこういうのはあくまで慣例であって、別に角度にどんな文字を使ったって構わない。

「そのケーキ、${\pi\over 6}$ぐらいちょうだい」と言われて正しく切り分けられるようになってこそ、理学部の学生と言える。

 直角三角形の3辺を底辺高さ斜辺と右の図のように名付ける(名づけ方の意味は明白だと思う)。この三辺の比は、3×2=6通りの組み合わせがある。それぞれを、

sinθ=高さ
斜辺
   cosθ=底辺
斜辺
   tanθ=高さ
底辺
 
cosecθ=斜辺
高さ
   secθ=>斜辺
底辺
   cotθ=底辺
高さ

と名付けるcosecは長いので、cscと略す場合もある。

 上の段にある三つが一番よく使われるもので、下の段の三つは対応する上の段の逆数$\left({1\over \sin \theta}={\rm cosec}\,\theta, {1\over \cos \theta}=\sec\theta, {1\over \tan\theta}=\cot\theta\right)$になっているややこしいことに、「サイン」の逆数が「コ}セカント」で、「コ}サイン」の逆数が「セカント」、と「コ」のつくのが入れ替わる。。だから、下の段三つは使わないで済ませることもできる(以下でも上三つの$\sin,\cos,\tan$を主に考えていく)。

「これってどんな役に立つの?」と思う人もあるだろうから、簡単な例を述べよう。
 右の図のように、ある建物の高さを知りたいとする。建物までの距離を知っていて、その建物のてっぺんを見上げる角度θを測定することができれば、tanθを掛けることで高さを求めることができる。

 なお、「底辺」と名前はつけたものの、これは別に「底になっている」という意味ではない(三角形の方向がどっちを向いているかはあまり重要ではない)。

 むしろ、角度θの角と直角を結ぶ辺を「底辺」、直角以外の角を結ぶ辺を「斜辺」、残りの辺を「高さ」と呼んでいると思った方がよい。

 以下の図の直角三角形はドラッグして動かすことができ、直角以外の頂点を動かすことで変形できる(ただし、天辺の頂点は上下にしか動かないし、底辺のうち直角でない方の点は左右にしか動かない)。点を動かしながら、それぞれの辺の比(sin,cos,tan)がどういう量かを実感しよう。




sinθ=
=
cosθ=
=
tanθ=
=
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θの範囲について

 ここまでで示した「直角三角形の辺の比」という定義では、角度θは$0<\theta<{\pi\over 2}$でなくてはいけない。ではθが${\pi\over2}$を超えた(ただしまだπは超えてない)場合は$\sin\theta,\cos\theta$は値がないのかというと、ここで定義を拡張することでθが${\pi\over2}$を超えても大丈夫なようにする。

 具体的には、下の図のように逆側に三角形を作り、その「高さ」と「-(底辺の長さ)」(マイナス符号に注意)をそれぞれ${\sin\theta}$と$\cos\theta$の定義とする。

 これはどんな時に使うのか?たとえばさっきのビルの高さを角度で測る、という話なら、
のようにビルを行き過ぎてのけぞって後ろを見ているような場合だろうか。
 前のページで遊んでみた人は、θという角度が0からπ/2という範囲以外にもなることに気づいただろうか???発見できる人には自分で発見して欲しいと思って、あえて説明していなかったが、点は元々の三角形の裏側まで動かすことができる。

のようにθが直角より大きくなり「高さが負」であったり、のようにθが負になり「底辺が負」になる場合であったりする位置にも移動できる。

 前のページで気づいてなかった、という人は、下の図でやってみよう(下の図は前のページのものと機能は同じである)





sinθ=
=
cosθ=
=
tanθ=
=

 ここでθが${\pi\over2}$を超えた時、底辺が伸びる方向はさっきまでとは逆向きになった(図ではそれを表現するために$\cos\theta$を左右反転した文字で書いた)ので、負の値とすることにして、${\cos\theta}$を「$-(底辺の長さ)$」と決めた。

 このように考えたのだから、θが最初考えていた領域をちょうど超える場所である$\theta={\pi\over 2}$については、${\sin{\pi\over2}}=1,{\cos{\pi\over2}}=0$とするのが適当である。「$\theta={\pi\over 2}$では三角形はできないではないか!」と言いたくなる人もいるかもしれないが、定義を拡張するというのはそういうことであるそしてこの拡張が、ちゃんと役に立つ場合、それが一般に使われるようになる。どう役に立つのかについては、以下を読んで欲しい。

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斜辺を1に固定した直角三角形

 下の図は斜辺を1で一定にして角度θを変化させていったときの直角三角形の高さ底辺の変化の様子である。斜辺を1とすると高さは$\sin\theta$、底辺の長さは$\cos\theta$であるが、角度が大きくなるに従って$\sin\theta$は大きくなり、$\cos\theta$は小さくなる(こうなるのは、$0<\theta<{\pi\over 2}$の範囲に限って考えているからであり、${\pi\over2}$を超えると事情が変わってくる)。

 ここでも直角以外の角を結ぶ辺が長さ1となっていて、角度θの角と直角を結ぶ辺長さ$\cos \theta$、それ以外の辺が長さ$\sin\theta$となっている。

,  sinθ=,  cosθ=
 上の図もドラッグで直角三角形を移動・変形できるが、斜辺の長さは一定になっている。角度とcosθsinθの変化の様子を観察しよう。
 sin,cosが正になったり負になったりするが、からに向かう方向が「上」「右」の時にsin,cosは正であり、「下」「左」の時にはsin,cosは負である。図ではそれをが鏡文字になることで表現している。

 次に、底辺を一定(1)にした場合に角度を変えると高さがどのように変わるかを示したのが右の図である。

斜辺の長さは図に示していないが、$\sec\theta={1\over \cos\theta}$であり、θの変化に伴い変化する。

 上の定義から、三角関数相互の関係を出してみよう。たとえば、

\begin{equation} {{\sin\theta}\over{\cos \theta}}={{{高さ}\over{{\scriptstyle 斜辺の長さ}}}\over {{\scriptstyle 底辺の長さ}\over {{\scriptstyle 斜辺の長さ}}}}={{{高さ}}\over {{\scriptstyle 底辺の長さ}}}=\tan\theta \end{equation}

である。同様に${\cos \theta\over \sin \theta}=\cot\theta$であるこの後θの範囲は最初に定義した$0<\theta<{\pi\over 2}$からどんどん広がっていくのだが、これらの式はθがどのような範囲でも成立する。

 斜辺の長さが1である三角形、底辺の長さが1である三角形、高さが1である三角形を書いてみると次の図のようになる(この図の三つの三角形は互いに相似である)。

 これらの図に、三平方の定理(ピタゴラスの定理)すなわち$\left(底辺の長さ\right)^2+\left(高さ\right)^2=\left(斜辺の長さ\right)^2$を適用すると、以下の式が導けるこういう式を「新しい公式だ!」と単に覚えようとするのではなく、三平方の定理という「おなじみの式」の1つの変形なのだ、という事実も含めて頭の中に(図と関連付けて)整理しておこう。バラバラに覚えた「公式」はすぐに忘れてしまうが、相互につながりを持って認識された知識は、なかなか忘れない。

三角比と三平方の定理の式

cos2θ+sin2θ=1
1+tan2θ=1/(cos2θ)=sec2θ
cot2 +1=1/(sin2θ)=cosec2θ

$(\sin\theta)^2$は$\sin^2\theta$と書くのが昔からの慣習である($\cos$や$\tan$も同様)。$\sin \theta^2$と書いてしまうと、「$\theta^2$という角度の$\sin$」と解釈される。慣れないうちは戸惑うかもしれないが、省略記法というのは「そういうものだ」と思って慣れるしかない。
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任意の角度のsin

 次に、任意の角度でのsinとcosを以下の図のように定義しよう。ここまでで動かしてみてθという角度の意味はからに向かう方向を表すものであることがわかったと思うので、ここからはを固定して、斜辺にあたる角度の変わる部分の長さを1に固定して考える。

 まず、sinθの方だけを考えることにしよう。

 ↑の棒の角度はドラッグによって変えることができる。

 この図のは半径1の円(単位円)を描いたもので、中心から円周の一点に向かっている棒の角度に応じて、sinθの値が決まる。 のように2πより大きい(何周も回る)角度にしたり、
のように負の角度にしたりもできるので、いろいろ変えて状況を確認して欲しい。

 以上で図に描いたように考えることでθが$0<\theta<{\pi\over 2}$でない時も$\sin \theta,\cos \theta$が意味のある量となる。具体的には、下の図のように座標原点に一端を置いた長さ1の棒(これは直角三角形の斜辺を1に固定したことに対応する)をx軸からどれだけの角度回したか、という変数としてθを定義して、棒のもう一端のx座標を$\cos \theta$、y座標を$\sin\theta$と定義するのである。

 こうすればθは$2\pi$も超えて$\infty$まで任意の角度を取ることができる。θが$2\pi$を超えた時は、上右の図のように、棒が何周も回ったと考えればよいのである。また、右の図に描いたように、「負の角度」に対しても定義できる。

 こうして、任意の実数に対して$\sin \theta,\cos \theta$を定義することができた。グラフで表現すると次のようになる。

 三角関数のうち$\sin\theta,\cos \theta$以外の他の4つ($\tan\theta,\sec\theta,{\rm cosec}~\theta,\cot\theta$)に関しては「定義できない値」がある。たとえば$\tan\theta={\sin \theta\over \cos \theta}$は$\cos \theta=0$となる場所では定義できない。

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任意の角度のsin,cos

 次に、sinθとcosθを同時に表示してみよう。さっきはθは任意の角度にしておいたが、今度は-πからπまで(-180度から180度まで)にしておく。

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三角関数の間の公式

 三角関数の「公式」として、

sin(θ+π)=-sinθ

cos(θ+π)=-cosθ

というものがある。この式がなぜ成立するか、は下の図でしばらく遊んでみればわかるのではないかと思う。

 図のの部分の薄い色になっているの方が、θよりπラジアン(180度)大きい角度の場合の「長さ1の棒」になっている。sin,cosがπ足されることでどう変化するかを、図から読み取っていけば、公式が作られる(この公式は式として覚えようとしなくても、意味を考えればすぐにわかる)。

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三角関数の間の公式(続)

 前ページ同様によくでてくる三角関数の公式として、

sin(θ+π
2
)= cosθ

cos(θ+π
2
)= -sinθ

がある。これも下の図で遊びながら理解して欲しい。

これが分かれば、

sin(θ-π
2
)= -cosθ

cos(θ-π
2
)= sinθ

の方も理解できるだろう。

 あと一つのよく使う三角関数である$\tan\theta$についても$\sin ,\cos $同様、長さ1の棒を使っての定義とグラフを書いておこう。$\tan\theta$は${高さ\over \scriptstyle 底辺の長さ}$と定義したから、「底辺の長さを1にした時の高さ」と考えればよい。よって下の図左側に描いたように、底辺を1にして、(つまり、棒の長さをそれに応じて変えつつ)角度θを変化させ、その時の三角形の高さを$\tan\theta$とする。ただしこの手順では「棒」が左を向いた時には(図で点線で表現したように)斜辺を逆に伸ばして三角形を作る(こうすることでちゃんと$\tan\theta={\sin \theta\over \cos\theta}$が成立するようになる)。

 上でも述べたように、$\tan\theta$は$\theta={\pi\over 2}+n\pi$(これは$\cos\theta=0$となる場所)では定義できない。同様に${\rm cosec}~\theta={1\over \sin\theta}$は$\theta=n\pi$では定義できず、$\sec\theta={1\over \cos\theta}$は${\pi\over 2}+n\pi$では定義できない。

 これらの定義から、nを整数として「θに$2\pi$を何回足しても、すなわちを一周あるいは複数回だけ回しても、$\sin \theta$や$\cos \theta$の値は変わらない」ということ

\begin{equation} \sin (\theta+2n\pi)=\sin \theta,~~~ \cos (\theta+2n\pi)=\cos \theta \end{equation}

および、「θにπを何回足しても、すなわちを半周もしくはその整数倍回だけ回しても、$\tan\theta$の値は変わらない」ということが結論できる。

\begin{equation} \tan (\theta+n\pi)=\tan \theta \end{equation}

ところで、θから$\cos \theta$や$\sin \theta$を「計算」するにはどうしたらいいだろう?---たとえば角度θが${\pi\over 6}$(30度)、${\pi\over 4}$(45度)などの「三角比のわかる角度」であれば、$\cos {\pi\over 6}={\sqrt{3}\over 2}$とか、$\sin {\pi\over 4}={\sqrt{2}\over 2}$などと計算できる。では例えば$\sin 1$(1ラジアンの角度に対する$\sin$)はどう計算しよう??---すぐに思いつく方法は「斜辺1メートルで角度1ラジアンの直角三角形を一個描いてみて、高さを(物差しで)測る」というものだ(測った後で、表を作っておけばよい)。電卓でsincosなどのキーを押すと$\sin 1$だろうが$\cos 100$であろうが答が出る(ちなみに、$\sin 1 \fallingdotseq 0.841470984807897,\cos 100\fallingdotseq 0.862318872287684$)が、それはどうやって計算しているのだろう(誰かが測ってくれた表があるのか??)---この疑問の答は、ずっと先で出てくる「テイラー展開」という計算法を知ることによって与えられる。

手元の「電卓」でsin 0.1,sin 0.01,sin 0.001,sin 0.0001などを計算してみよ(単位はラジアンで計算することを忘れずに)。結果から何か思いつくことはないか?
手元のandroidでやってもらったが、結果は
sin0.1=0.099833416647
sin0.01=0.009999833334
sin0.001=0.000999999833

であった。
 これから、θが小さいときはsinθ≒θであることがわかる。これはどういう意味があるかというと、図に示したように、小さい角度の時はsinθとθはほぼ同じなのである(ラジアンを使っているおかげであることに注意!)
 今日の授業の最初で「1次の項の係数を見れば原点付近におけるグラフのだいたいの変化がわかる」という話をしたが、実はこれもその例である。ただし、当然θとsinθは等しくないので、少しのずれは当然ある。

 では、sinθとθのずれはどのくらいで、どんなふうに計算すればよいだろうか。そのあたりは、微分の話をある程度してからまた話すことにしよう。
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受講者の感想・コメント

 青字は受講者からの声、赤字は前野よりの返答です。

先週やっていた事をけっこう忘れていたので、授業が週一回しかないのはおそろしいです。復習がんばります。
授業で勉強終わりじゃなくて、プリントをまとめて読み返したり、あるいは授業ホームページに行ってプログラム動かすとかやってみてください。

どうしてラジアンで角度を表すと便利なのかわかった。sinθとθの関係が面白かった。
sinθとθが角度が小さいと同じになるのも、ラジアンで表しているおかげですね。

三角関数で、ラジアンの単位に直す意味とか考えたりした事なかったので、考えて学べて楽しかったです!! sinθの計算もおもしろかったです。
計算するからには、何かしら意味はあります。そこを理解していきましょう。

ラジアンが、円周の長さ2πrを基準にしているのはびっくりした。
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$の式はとてもよく理解できた。
どんな式や決まりにも由来というのはあるので、そこを知って理解していきましょう。

一周が360度の理由が割り算行いやすいというもので驚きました。もっとすごい理由があると思ってました。
割り算が簡単(約数が多い)ってのはすごく大事なことですよ。

ラジアンのところは今までなんとなく使っていましたが、今回は納得できてよかったです。
「なんとなく」は駄目ですよ、何事も。

ラジアンが2πの理由がわかった。
理由わからないで使っていると気持ちわるいですよね。

ただ公式を覚えるよりも図やグラフを書いて理解した方が記憶に残るし楽しいと思った。
どんな式にも意味はあるので、そこをじっくり理解しましょう。

三角関数は難しい。苦手なので、しっかり理解して進みたい。
苦手意識は早めに克服しましょう。

sinθ、cosθ、tanθの意味が詳しく分かった。でもやっぱり苦手。
意味を考えたうえで、得意にしていってください。

三角関数の復習をして、思い出した、公式を。
図で理解して、忘れないようにしましょう。

$\sin\left(\theta+{\pi\over2}\right)=-\cos\theta,\cos\left(\theta+{\pi\over2}\right)=\sin\theta$って$\cos\left({\pi\over2}-\theta\right)=\sin\theta,\sin\left({\pi\over2}-\theta\right)=\cos\theta$より大事ですか。
使う場面が違うので、どっちも大事。

高校の復習だったので、これからの大学の勉強のために、おこたらず、やっていきたい。
少しずつ大学の数学が染みこんできてますよ。

今まで数学は得意だと思っていたけど、実際の意味を知らなかった事に気付かされた。真の数学の力をこの授業で身につけたい。
数学は(そして他の自然科学も)とても深いです。掘れば掘るほど意味が湧き出てくる。

公式も今まではただ覚えているだけだったけど図で見るとどうしてそうなるのかがすぐ理解できて、楽しかった。
「ただ公式覚えるだけ」なんていうつまらない勉強はしちゃ駄目ですよ。

三角関数は昔から苦手で、イメージもしずらかったので、タブレットや説明などを聞いて理解できたのでよかったです。
今度こそ苦手を克服してください。

sin,cosを図で見るとまた違った感覚で見れるので想像しやすくて面白かった。
三角関数は幾何学からくる関数なので、図で理解するのが一番です。

三平方の定理から三角比を出したことはなかった。sin,cos,tanの逆数にも名前があることを知った。これからよくお目にかかることになるのかな?
「よく」ではないですが「たまには」出てきます。

cotθやcosecθがあるのは始めて知った。$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$などの式を暗記していたので三平方でやった方が簡単だと思った。後先生の曲線がきれいだと思った。
図でわかることは図で理解した方がいいですよ。曲線ってなんだろう??

三角関数の公式を図や式で理解した。やっぱ公式は覚えるのではなく理解すべきものだと改めて思いました。
もちろん、その通りです。覚えるだけではつまらない。

cos,sec,cot。始めて聞きました。
タブレットって指が乾燥していたら反応しなかったりしますか?
乾燥していると反応しにくくなることはあります。

三角関数についてよくわかりました。特に三平方の定理で三角関数の関係式を出せることは始めて知って納得できました。
う〜ん、意外と知らない人いたりするんだなぁ。

sin,cosの変動ぐあいみたいなのを改めて実感しました。
実感を持って関数を使いましょう。。

三角関数の根本的な性質、また高校で習った相互関係の式を図で理解しました。相変わらず今日も楽しい授業で、今まで習った分野での新しい発見がたくさんあった授業でした。
楽しく勉強できているようで、何よりです。

始めて聞いたcosecθやsecθなど、まだまだ数学でわからないことがあるとわかった。
まぁcosecやsecは単に逆数ですから「わからないこと」と言っても可愛いもんです。

$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$などの暗記で覚えてた式の成り立ちがわかってよかった。
グラフや図から理解していきたいと思った。
こういう幾何学的な式は図形で理解しないと。

三角関数という分野は30度を${\pi\over6}$と表記したりするπの導入があって、僕は度で考えるので(みんなそうだけど)πに直したりする時に計算ミスをよくしました。
最初からラジアンで考えればよいんですよ。自然科学をやる人にとっては「ラジアン」の方が普通で、「度」はむしろ使いにくい。

「三平方の定理から公式を導く」というのが目からウロコでした。
う〜ん、高校の数学の教科書にも載っているはずの話なんだけど。

図で理解するのがとても苦手です…。この授業で慣れるといいな。(´ω`)今日いいことがあるとうれしいです。すずしい。てんてんてん。
自分が理解しやすい方向から理解して、その上で他の考え方にも慣れていく、というのがいい方法です。式が得意ならそっちを手がかりにして考えたっていいんですよ。ま、いいことはそのうちあります。

三角関数は難しいイメージだったけど、今日の授業を聞いて、できそうだと思った。
得意になってくださいね。

三角関数の公式はよく忘れますが、これからは憶えなくてよさそうです。
「憶える」じゃなく「理解する」ことが大事。

タブレットを使うことでsinθやcosθの動きがよくわかった。
イメージで理解しておきましょう。

tanθのグラフはドラクエのワールドマップのように見えますね。
う〜ん、ドラクエのマップがわからないからコメントできない。

憶えにくかった公式が図で簡単に理解ができると知って感動した。
ほんとはあの公式は図から出てくるものなんですが。

sin0.1,sin0.01とかあたりまえのことだけどあ〜!!となった。図をぐるぐるするの楽しかった。
電卓一個でもけっこう遊べるもんなんですよ。

三角関数は図で理解すること!! 納得しました。今一度、図を書き、理解してきます。
図をたくさん自分で書くと、また理解が進むと思います。

今日は三角関数を学んだ。公式はああやって図形といっしょに憶えると理解が深まるのでそうしようと思った。
特に三角関数はもともと図形のための関数なので、図は大事。

高校で習った三角関数の公式がよくわかった。
図を書いて理解していきましょう。

三角関数の式の作り方を今まで知らなかったので今日知れてとてもよかった。これから三角関数をもっと深く学びたい。
式の由来ってのは大事です。

sinθやcosθやtanθの逆数がcosecθやsecθやcotθというのを始めてしりました。
これから先、また出てくるかもしれません。

図だとすごくわかりやすかったです。θを180度以上にした時の図がすごかったです。sin0.1,sin0.01などの計算のしかたが気になります。
sin0.1をどうやって計算するのかは、この後のお楽しみに。

sin0.1,sin0.01,sin0.001が、十の位ずつずれて小さくなっているのにびっくりし、さらに角度を小さくすればsinθ≒θで、0.09983‥はsinθとθの差になっていて、すっごく面白い、と思いました。
しばらくすると、どういう式でこういう計算になるか、を授業で説明しますね。

なんとなく使っていただけの三角比のことがようやくわかった気がしました。
「なんとなく使う」のはつまらないので、しっかり理解して、使いこなしましょう。

三角関数の定義を再確認することで、より理解が深まった。
定義を把握したうえで、理解していきましょう。

今回は三角関数について学んだ。cosec,sec,cotを始めてみたので、大学の数学らしいことをしていると実感した。また図を使うと三角関数の関係式を簡単に考えられることがわかった。
大学の数学っぽい数学は、これからもどんどんと出てくるでしょう。

高校で勉強した三角関数の復習もできた。物理でも三角関数を使うのでしっかり使えるように勉強していきたい。
三角関数はこれからもお世話になります。

三角関数のイメージがわきやすくてわかりやすい。
イメージをしっかりつかんでおこう。

タブレットで三角関数のグラフや図をいじるのが三角関数の特徴をとらえやすくて、分かりやすかった。授業を欠席すると損するなと思った。
そりゃ、損です。

当てられて答えられなかったのがくやしかったです。でも、おかげで先週の授業もわかってないと知ることができたので、しっかり復習しようと思いました。
次はいけるように。復習がんばりましょう。

図が動いての授業は楽である。sin,cos,tanの動きが苦手だったがおもしろかった。
動きでイメージつかんでください。

三角関数のグラフがタブレットで視覚的にわかりやすく理解できました!
どんな関数か、覚えておいてください。

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