極限としての接線の傾き

接線の傾き:y=x2の場合(もっとΔxを小さく)

 ここで、Δxをどんどん小さくしていくという「極限」の感覚を持ってもらいたい。

 ↓のグラフはy=x2のグラフであり、青い線のある場所での接線であり、紫の線は(x,y)と(x+Δx,y+Δy)を結ぶ直線である。

 この二つの線が、Δx→0の極限で一致することを確認しよう。

 アニメーションスタート/ストップと書いてあるボタンを押すと、Δxがだんだん小さくなる、という状況がアニメーションで繰り返される。それをじっくりと見て「極限」というのはこういうことをやっているのか、と納得して欲しい。

x0=1
Δx=1
Δy
Δx
=3
dy
dx
=3
 グラフを↓のボタンで拡大/縮小できるようになっている。が画面の外に出てしまった時は、「◆がグラフの中心に」ボタンを押すこと。

 さらに、2倍拡大などのボタンで、グラフを拡大・縮小することができる。拡大したことで、y=x2のグラフが、より「直線」に近づくことを確認しよう。ある程度拡大するとそこで止まるようになっている(時々バグで線が消えることがある、ごめん)。これは別の言い方をすれば「狭い領域を見ている時は1次の係数に比べて2次の係数は大事じゃない」ということだ。

この「拡大する」という操作は(相対的に)「Δxを0に近づける」という操作と同じなのだと思ってもらえばよい。自然現象を表すような関数の場合はたいてい、グラフをどんどん拡大していけば、結局は直線のグラフになると思ってよい一般的に考える時は、「どんなに拡大しても直線にならないような突拍子もない関数」も頭にいれて考えるため、より慎重になる必要がある。

 次のページでは、三角関数の場合の極限を見よう。


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