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2.3 微分の性質と簡単な関数の微分

微分という演算の持つ性質

まず、よく使う式をまとめておこう。ここまでで「微分」という演算の意味がわかっていれば、どの性質も少し考えれば納得できるはずである。

微分の性質

線型性： $\alpha,\beta$ は定数として、
${\mathrm{d} \over \mathrm dx}\left(\alpha f({x})+\beta g({x})\right)=\alpha {\mathrm{d} \over \mathrm dx}f({x})+\beta{\mathrm{d} \over \mathrm dx}g({x})$
または
$(\alpha f({x})+\beta g({x}))'=\alpha f'({x})+\beta g'({x})$
ライプニッツ則：
${\mathrm{d} \over \mathrm dx}\left(f({x})g({x})\right)=\left({\mathrm{d} \over \mathrm dx}f({x})\right)g({x})+f({x}){\mathrm{d} \over \mathrm dx}g({x})$
または
$(f({x})g({x}))'=f'({x})g({x})+f({x})g({x})$
合成関数の微分：
${\mathrm{d} \over \mathrm{d} x}g(f({x}))=\left({\mathrm{d} \over \mathrm dx}f({x})\right)\left({\mathrm{d} \over \mathrm df}g(f({x}))\right)$
または
$\left(F(f({x}))\right)'=f'({x})F'(f({x}))$

線型性

という言葉はこの後もよく出てくる。これは

足算と微分の順番はどちらが先でもよい $\left({\mathrm{d} \over \mathrm dx}(f({x})+g({x}))={\mathrm{d} \over \mathrm dx}f({x})+{\mathrm{d} \over \mathrm dx}g({x})\right)$ 。
定数を掛けるという計算と微分の順番はどちらが先でもよい $\left({\mathrm{d} \over \mathrm dx}(\alpha f({x}))=\alpha{\mathrm{d} \over \mathrm dx}f({x})\right)$ 。

の二つの性質を合わせ持っているということである。

確認するには、 $\alpha f({x})+\beta g({x})$ を微小変化させてみればよい。

$\begin{equation} \begin{array}{rl} \alpha f({x}+\mathrm dx)+\beta g({x}+\mathrm dx) =& \alpha \underbrace{(f({x})+f'({x})\mathrm dx)}_{\small f({x}+\mathrm dx)}+\beta \underbrace{(g({x})+g'({x})\mathrm dx)}_{\small g({x}+\mathrm dx)} \\ =&\alpha f({x})+\beta g({x}) +\underbrace{(\alpha f'({x})+\beta g'({x}))}_{\left(\alpha f({x})+\beta g({x})\right)'}\mathrm dx \\ \end{array} \end{equation}$

となって線型性が確認できる（ここ以後しばらくの計算では ${\cal O}((\mathrm dx)^2)$ には興味がないので、常に省略する）。この式をあえて図で表現しておくと以下のようになる。

次のライプニッツ則は具体的には、

$\begin{equation} \begin{array}{rl} f({x}+\mathrm dx)g({x}+\mathrm dx) =&\underbrace{(f({x})+f'({x})\mathrm dx)}_{\small f({x}+\mathrm dx)}\underbrace{(g({x})+g'({x})\mathrm dx)}_{\small g({x}+\mathrm dx)}\\ =&f({x})g({x})+f'({x})g({x})\mathrm dx+f({x})g'({x})\mathrm dx\\[3mm] =&f({x})g({x})+\underbrace{(f'({x})g({x})+f({x})g'({x}))}_{(f({x})g({x}))'}\mathrm dx\\ \end{array} \end{equation}$

という計算をやると、右辺の $\mathrm dx$ の1次のオーダーの係数（つまり、微係数）が $f'({x})g({x})+f({x})g'({x})$ であることがわかる。下の図はこの微分演算の時に行われている微小変化のイメージである。

最後に{\bf 合成関数の微分}（このルールは「連鎖律(chain rule)」とも呼ばれる）を数式で表現しておこう。 $g(f({x}))$ という合成関数を考えて、その独立変数 ${x}$ を ${x}+\mathrm dx$ と微小変化させる。

結果、 $f({x})$ は

$\begin{equation} f({x}+\mathrm dx)= f({x})+ \underbrace{f'({x})\mathrm dx}_{\mathrm{d} (f({x}))} \end{equation}$

へと変化する。ここで $\mathrm{d} (f({x}))=f'({x})\mathrm dx$ という記号を使った。のように $\mathrm{d}$ をつけることで「(なんとか)の微小変化」という意味を持たせる。ライプニッツの記号の方を使うと、 $\mathrm{d} (f({x}))={\mathrm df\over \mathrm dx}({x})\mathrm dx$ と書けて、この式を「 $\mathrm dx$ を約分している」というイメージで捉えることができる。

$f({x})$ の ${x}$ が微小変化すると、 $g(f({x}))$ は

$\begin{equation} g(f({x}+\mathrm dx))= g(f({x})+\underbrace{f'({x})\mathrm dx}_{\mathrm{d}(f({x}))}) \end{equation}$

と微小変化する。上にも書いたように、 $f'({x})\mathrm dx$ の部分を $\mathrm{d} (f({x}))$ と考えれば、

$\begin{equation} g(f+\mathrm{d} (f({x})))= g(f)+g'(f)\mathrm{d} (f({x})) \end{equation}$

という展開をもう一度考えて、

$\begin{equation} g(f({x}+\mathrm dx))= g(f({x}))+ g'(f({x}))\underbrace{f'({x})\mathrm dx }_{\mathrm{d} (f({x}))} \end{equation}$

とすることで、 $g(f({x}))$ の導関数が $g'(f({x}))f'({x})$ だとわかる。

これを図で表現したのが右の図である。合成関数のときのように、 ${x}\to{y}\to{z}$ （ ${y}=f({x}),{z}=g({y})$ ）という関係がある時、 ${x}$ を微小変化させた時にそれに応じて ${y}$ が、そして連鎖して ${z}$ が変化する。

図には三つの導関数

${\mathrm dy\over \mathrm dx}({x}),{\mathrm dz\over \mathrm dy}({y}),{\mathrm dz\over \mathrm dx}({x})$

を表す三角形（この三角形の傾きが導関数の値）が描かれている。導関数は $\mathrm dx,\mathrm dy,\mathrm dz$ という三つの微小量の比でここでも計算しているのは微小変化の「比」だけであって、微小変化そのものではない。計算されるものだから、

$\begin{equation} {\mathrm dz\over \mathrm dy}({y}) {\mathrm dy\over \mathrm dx}({x})={\mathrm dz\over \mathrm dx}({x})~~~~ただし、{y}=f({x}) \end{equation}$

が成立する。

$\begin{equation} {\mathrm dz\over {\mathrm dy}}{{\mathrm dy}\over \mathrm dx}={\mathrm dz\over \mathrm dx} \end{equation}$

という「約分」を行った、と考えてもよい。

くどいようだが、もう一度確認しておこう。

${\mathrm dy\over \mathrm dx}$ は「分数」の形で書いているが普通の意味の割り算ではない。しかし「比の極限」ではあるので、分数と同様に「約分ができる」という性質は持っている。そういう意味で、この計算を「約分」と見ることは正しい。

例として $F({x})=({x}^2+{x})^3$ の微分をしてみよう。これを $f({y})={y}^3,{y}=g({x})={x}^2+{x}$ として、 $F({x})=f(g({x}))$ と考えてから微分すると、

$\begin{equation} {\mathrm{d} \over \mathrm dx}F({x})=\underbrace{ {\mathrm{d} \over \mathrm dx}g({x})}_{(2{x}+1)} \underbrace{ {\mathrm{d} \over \mathrm dy}f({y})}_{3{y}^2} = 3(2{x}+1)({x}^2+{x})^2 \end{equation}$

となる。慣れてきたら ${y}$ を導入するのも省略して、

$\begin{equation} \begin{array}{rrl} & ({x}^2+{x})^3+ \mathrm{d} \left(({x}^2+{x})^3\right)=& \left( {x}^2 + {x} + \mathrm{d} ({x}^2+{x}) \right)^3 \\ &\mathrm{d} \left(({x}^2+{x})^3\right)=& \left( {x}^2 + {x} + \mathrm{d} ({x}^2+{x}) \right)^3- ({x}^2+{x})^3\\ &\mathrm{d} \left(({x}^2+{x})^3\right)=&3\left( \mathrm{d} ({x}^2+{x})\right) ({x}^2+{x})^2\\ &=&3(2{x}+1)({x}^2+{x})^2\mathrm dx \end{array} \end{equation}$

のように計算したってよい。

冪の微分

$x^2,x^3$ の場合をここまで考えたが、 $x^n$ の微分も同様に

$\begin{equation} {y}+\mathrm dy=\underbrace{({x}+\mathrm dx)({x}+\mathrm dx)({x}+\mathrm dx)({x}+\mathrm dx)\cdots }_{n個} \end{equation}$

の中にある $\mathrm dx$ の1次は $n$ 個の ${x}^{n-1}\mathrm dx$ であろうと考えるか、もしくは

$\begin{equation} \underbrace{{y}}_{これが変化すると}=\underbrace{\overbrace{ {x}\times{x}\times{x}\times{x}\times{x}\times{x}\times{x}\times\cdots }^{n個}}_{\tiny このうち一つが\mathrm dx 変化したもの\atop が全部でn種類出てくる} \end{equation}$

と考える（二つ以上の ${x}$ が変化して $\mathrm dx$ になったものは、 ${\cal O}(\mathrm dx^2)$ となって出てこない）と、

$\begin{equation} \mathrm dy = n{x}^{n-1}\mathrm dx~~~すなわち、{\mathrm dy\over \mathrm dx}= n{x}^{n-1} \end{equation}$

と分かる。

上の式は $n$ が自然数なら正しい。では、指数が負の整数ならどうなるだろうか。その場合は、 ${y}={x}^{-n}$ をまず、 ${x}^n {y}=1$ に直してから、その微小変化を考えると、

$\begin{equation} \begin{array}{rll} \underbrace{({x}+\mathrm dx)({x}+\mathrm dx)({x}+\mathrm dx)({x}+\mathrm dx)\cdots }_{n個}\times({y}+\mathrm dy)=&1\\ \underbrace{{x}^n {y}}_1 + n{x}^{n-1}\mathrm dx{y} + {x}^n \mathrm dy =&1\\ {x}^n \mathrm dy =&-n{x}^{n-1}\mathrm dx \underbrace{{x}^{-n}}_{{y}} \\ \mathrm dy =& -n {x}^{-n-1}\mathrm dx\\ \end{array}\label{fubekibibun} \end{equation}$

となる（結果 ${\mathrm dy\over \mathrm dx}= -n x^{-n-1}$ を上の ${\mathrm dy\over \mathrm dx}=nx^{n-1}$ と見比べると、単に $n\to -n$ と置き換えただけの式になっている）。

指数が整数でない場合についても考えよう。たとえば ${y}={x}^{1\over n}$ については、これをまず ${y}^n = {x}$ になおしてから、

$\begin{equation} \underbrace{({y}+\mathrm dy)({y}+\mathrm dy)({y}+\mathrm dy)({y}+\mathrm dy)\cdots }_{n個}= {x}+\mathrm dx \end{equation}$

とすれば（これまで同様、1次のオーダーを取り出すことで）こちらも慣れてくれば、 ${y}^n = {x}$ からすぐに $n {y}^{n-1}\mathrm dy = \mathrm dx$ が出せるだろう。、

$\begin{equation} \begin{array}{rl} n {y}^{n-1}\mathrm dy =& \mathrm dx\\ {\mathrm dy\over \mathrm dx} =& {1\over n {y}^{n-1}}={1\over n}{x}^{{1\over n}-1}\\ \end{array} \end{equation}$

がわかる。同様に、 ${y}={x}^{m\over n}$ に関しても ${y}^n={x}^m$ としてから

$\begin{equation} \begin{array}{rl} \underbrace{({y}+\mathrm dy)({y}+\mathrm dy)({y}+\mathrm dy)({y}+\mathrm dy)\cdots }_{n個}=& \underbrace{({x}+\mathrm dx)({x}+\mathrm dx)({x}+\mathrm dx)({x}+\mathrm dx)\cdots }_{m個}\\ n{y}^{n-1}\mathrm dy =& m {x}^{m-1}\mathrm dx \end{array} \end{equation}$

のように考えれば、

$\begin{equation} {\mathrm dy \over \mathrm dx}= {m\over n} {x}^{{m\over n}-1} \end{equation}$

が示せるから、一般の有理数 $\alpha={m\over n}$ に対して ${y}={x}^\alpha$ の微分は

$\begin{equation} {\mathrm dy\over \mathrm dx}= \alpha {x}^{\alpha-1} \end{equation}$

としてよい。ここまでくれば、「無理数に対しても極限操作で定義すればよさそうだ」とわかるので、 $\alpha$ は任意の実数でよい。この式を見ると微分により ${x}$ の冪を1ずつ下がることが言える。例外は定数（すなわち $x^0$ の時）で、この時だけは $(定数)\times x^{-1}$ とはならず、0となるでは微分すると $x^{-1}={1\over x}$ になる関数はないのかというと、ちゃんとある。。

ここでは $x^\alpha$ だけを考えたが、すでに微分が線型性を持つことは知っているので、

$\begin{equation} {\mathrm{d} \over \mathrm dx}\left( a {x}^\alpha + b {x}^\beta + c{x}^\gamma+\cdots\right) = a\alpha {x}^{\alpha-1}+ b\beta {x}^{\beta-1}+ c\gamma {x}^{\gamma-1}+\cdots \end{equation}$

のように冪の和の微分も簡単にできる。

　この後テキストでは分数関数や逆関数の微分の話があったが、それは後日にまわして、まず三角関数の微分についての話をした。

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