自然科学のための数学2014年度第８講

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arcsin,arccos,arctanの微分

この三つは $\sin,\cos,\tan$ の逆関数だから、逆関数の微分の式を使ってもよいし、たとえば ${y}=\arcsin{x}$ を微分するなら、まず ${x}=\sin{{y}}$ とした後、

$\begin{equation} \begin{array}{rl} {x}=&\sin{y} \\ \mathrm dx=&\cos{y}\mathrm dy\\ {\mathrm dx\over \mathrm dy}=&\cos {y}=\pm\sqrt{1-{x}^2}\\ {\mathrm dy\over \mathrm dx}=&\pm{1\over \sqrt{1-{x}^2}}\\ \end{array} \end{equation}$

のように微分を行う。ここで複号 $\pm$ をどうするかが問題となるが、グラフを見るとわかるように、 $\arcsin$ はこの定義域・値域の中では常に増加する関数であるから、 ${\mathrm d\over \mathrm dx}\arcsin{x}={1\over \sqrt{1-{x}^2}}$ とする値域を変えると、増加する関数とは限らないから、その場合は符号を調整する必要がある。。

$\arccos$ の微分も同様に、

$\begin{equation} \begin{array}{rl} {x}=&\cos{y} \\ \mathrm dx=&-\sin{y}\mathrm dy\\ {\mathrm dx\over \mathrm dy}=&-\sin {y}=\pm\sqrt{1-{x}^2}\\ {\mathrm dy\over \mathrm dx}=&\pm{1\over \sqrt{1-{x}^2}}\\ \end{array} \end{equation}$

となるが、今度はグラフからわかるように減少関数（右下がり）なので、 ${\mathrm d \over \mathrm dx}\arccos {x}=-{1\over \sqrt{1-{x}^2}}$ となる。

最後に $\arctan$ の微分は ${x}=\tan{y}$ から ${\mathrm dx\over \mathrm dy}={1\over \cos^2{y}}=1+\tan ^2{{y}}$ として、

$\begin{equation} \begin{array}{rl} {\mathrm dx\over \mathrm dy}=&1+\tan^2{y}=1+{x}^2\\ {\mathrm dy\over \mathrm dx}=&{1\over 1+{x}^2}\\ \end{array} \end{equation}$

となるので、 ${\mathrm d \over \mathrm dx}\arctan{x}={1\over 1+{x}^2}$ となる。 $\arctan$ という「ややこしそうな関数」の割に、微分の結果が単純な ${1\over 1+{x}^2}$ になるというのは面白いところである。

以上をまとめておく。

arcsin,arccos,arctanの微分

$\begin{eqnarray} {\mathrm d \over \mathrm dx}\arcsin{x}=&{1\over \sqrt{1-{x}^2}}~~~&(-{\pi\over 2}\leq {y}\leq{\pi\over 2})\\ {\mathrm d \over \mathrm dx}\arccos{x}=&-{1\over \sqrt{1-{x}^2}}~~~&(0\leq {y}\leq\pi)\\ {\mathrm d \over \mathrm dx}\arctan{x}=&{1\over 1+{x}^2}~~~&(-{\pi\over 2}< {y}<{\pi\over 2}) \end{eqnarray}$

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