三角関数の微分（tan）

上の図のように、底辺1で底辺と斜辺のなす角が

${\theta}$ である直角三角形を描く（この直角三角形の高さが

$\tan{\theta}$ である）。角度が\mathrm d\theta だけ大きくなった時、この直角三角形の高さがどれだけ高くなるか、を考えれば

$\tan {\theta}$ の微分がわかる。

この直角三角形の斜辺の長さは

${1\over \cos{\theta}}$ であるこれを求めるのに、「公式

$1+\tan^2{\theta}={1\over \cos^2{\theta}}$ を使って…」などとやり始める人がたまにいるのだが、そんな面倒なことは全く必要ない。

${底辺\over 斜辺}=\cos {\theta}$ という式を思い出せばすぐに出る。から、図に書いた円弧の部分の長さは

${\mathrm d\theta\over \cos{\theta}}$ である。また相似な三角形ができているから、その相似の関係を使えば、高さの増加は

${\mathrm d\theta\over \cos^2{\theta}}$ とわかり、結果として

${\mathrm d \over \mathrm d\theta}\tan{\theta}={1\over \cos^2{\theta}}$ が導かれる。

　下左の図は底辺を1で固定した直角三角形を描いたもので、その直角三角形の高さがtanθである。

　アニメーションのように、θが変化していったときに縦軸の座標tanθがどのように変化していくかを考えると、微分がどうなるかがわかる。

　左の図は上のグラフに長さを描き込んだものである。この場合、底辺が1なので、高さが(1/cosθ)であることに注意しよう。

　動径の棒をドラッグして動かすことができるので、いろんな場合について確かにtanθの変化（増減）が(1/cos²θ)に比例していることを動かしながら実感して欲しい。

${y}=\tan{\theta}$ の微分を数式を用いて行うには、

$\tan {\theta}={{\sin {\theta}\over \cos{\theta}}}$ としてから、以下のように行う（もちろん分数関数の微分の式に代入して考えていってもよい）。

tanの微分

$\begin{equation} \begin{array}{rl} \mathrm d (\tan{\theta})=&{1\over \cos^2{\theta}}\mathrm d\theta\\ {\mathrm d\over \mathrm d\theta} (\tan{\theta})=&{1\over \cos^2{\theta}} \end{array} \end{equation}$

二つの方法でtanθの微分をやってみたわけだが、ここで、「どっちがわかりやすい？」というアンケートを取ってみた。
図解の方がわかりやすい：だいたい40％
数式の方がわかりやすい：だいたい60％
という結果でした。
こういうのは人それぞれでどっちが得意かは違うものなので、まず自分が得意な方で理解して、もう片方でも理解できるように考えてみてください。