積分ってなあに？（その６）
と言われても「ギザギザの階段でN→∞にしても、ほんとうにグラフの面積と同じだろうか？ 三角形ならうまくいくけど、いつでもうまくいくんだろうか？」と心配になる人もいるかもしれない。
そうなることをきっちり証明するには、ちゃんとした極限を取って考える必要がある。ここでは証明はしないのだが、「こういう感じで考えればいい」という雰囲気だけ（グラフで）表現しておく。
a=0.3
N=5
上の図のように、やはり階段状ではあるが、実際の量を上回るような階段状の操作を考える。
（その４）で考えた階段では、実際よりは水量が少なくなる状況であったことと比べてみよう。N→∞の極限でこの二つが一致することを示せばよい（この場合、それは大丈夫だということは図でもわかるし、式でも示せる）。
極限が一致しないような場合は積分が定義できないが、そんな無茶苦茶な関数は物理ではまず出てこない。
この両極限がちゃんと一致してくれるということは、ここまでの計算で高次の微小量を無視できた（具体的には、NΔtと(N-1)Δtを同じとして扱った）理由でもある。つまり、高次の微小量の部分の計算はこの極限で消滅するので、計算する必要がなかったのである。
というわけで、今度こそほんとにおしまい。